estudiar los procesos estocásticos definidos por las matrices · pdf file3 = segundo...

Problemes de IOE. Enunciats 1

�

�

�

�� Estudiar los procesos estocásticos definidos por las matrices:

0.4 0.2 0.3

0.6 0.8 0.2

0 0 0.5

P 1 =

0 1/4 0

1 1/4 1/2

0 1/2 1/2

P 2 =

0.4 0 0.4 0.5

0.1 0.5 0.2 0.1

0.5 0.2 0 0.3

P 3 =

0 0.3 0.4 0.1

0.4 0.1 0.6 0.2

0.1 0.2 0 0.4

0.4 0.2 0.2 0.1

P 4 =

0.1 0.5 0.2 0.3

1/4 1/4 1/2

0 1/2 0

3/4 1/4 1/2

P 5 =


�� Considerar un proceso markoviano con la siguiente matriz de

probabilidades de transición:

1/8 1/2 3/4

1/8 1/4 0

3/4 1/4 1/4

P =

� � �� ¿Cual es el tiempo medio de primer paso de 3 a 2?

�� ¿Cuales deberian ser las probabilidades iniciales de estado

π 0 = π 1 0 , π 2 0 , π 3 0 para que el proceso entrase en estado

estacionario despues de una transicion? �

�

�� Un taller de reparaciones puede efectuar el trabajo A o el trabajo B pero no

los dos simultaneamente; la tarea A requiere 2 dias y la B 1 dia. Los posibles

estados del taller son pues:

1 = ninguna tarea, 2 = primer dia de la tarea A

3 = segundo dia de la tarea A 4 = tarea B�

� � La probabilidad de una nueva demanda de tarea A al principio de cada dia

es a; la de la tarea B es b. No hay colas, si el taller está a mitad de ejecución de una

tarea A, la llegada de una nueva demanda se pierde. La única ambigüedad se

plantea cuando el taller termina un trabajo al final de un dia y tiene la posibilidad de

empezar al dia siguiente con una tarea A o una B. Las dos políticas son posibles:

1) Empezar siempre con una tarea A con preferencia a una B

2) Empezar siempre con una tarea B con preferencia a una A

�� Demostrar que para la política 1 la matriz de probabilidades de transicion

es:

a 0 a a

0 1 0 0

P =

(1- a) (1- b) 0 (1- a) (1- b) (1- a) (1- b)

b (1- a) 0 b (1- a) b ( 1- a)

�� Encontrar las probabilidades límite de estados para este proceso

� Encontrar la matriz de probabilidades de transición para la política 2

�� ¿Cual es la relación entre los porcentajes límite de dias de desocupación de

ambas políticas?


�� El siguiente proceso de Markov empieza en el estado 1

0 0.4 0

0.5 0 0.2

0.5 0.6 0.8

P =

Encontrar las probabilidades de que:

�� El proceso esté en el estado 3 despues de tres transiciones

�� El proceso llegue al estado 3 por primera vez después de n transiciones

� El proceso no haya llegado aún al estado 2 después de n transiciones

�� Después de la tercera transición desde el estado 3 hasta el 2 las dos

transiciones siguientes sean 2→ 1 → 3 o 2→ 3 → 3 � El proceso entre en el estado 2 exactamente una vez en las tres primeras

transiciones

�� El proceso realice la transición 1 → 2 exactamente una vez en las tres

primeras transiciones

�� El número esperado de veces que el proceso entrará en el estado 2

durante las tres primeras transiciones.

�� Supongamos que la probabilidad de que mañana llueva si hoy está

lloviendo es 0.6, y que la probabilidad de que mañana haga buen tiempo si hoy hace

buen tiempo es 0.4.

�� Determinar la matriz de probabilidades de transición de la cadena de

Markov correspondiente.

�� Hallar la distribución de probabilidad del estado estacionario.

�� Determinar las clases de las siguientes cadenas de Markov y decir si son o

no recurrentes

0 1 0 0

0 0 1 1

1/3 0 0 0

a)

2/3 0 0 0

1 0 0 1/2

0 1/2 1/2 0

0 1/2 1/2 0

b)

0 0 0 1/2


�� Consideremos el siguiente juego: un jugador apuesta una unidad en cada

partida. Tiene una probabilidad p de ganar y q=1-p de perder. seguirá jugando

hasta que se arruina o alcanza una fortuna de T unidades.

Sea Xn la fortuna del jugador en la n-ésima partida.

X n+1 =

Xn + 1 con probabilidad p

Xn - 1 con probabilidad q = 1 - p 0 < Xn < T

Xn+1 = Xn Xn = 0 ó T

X n es una cadena de Markov. Supongamos que las sucesivas partidas

del juego son independientes y que la fortuna inicial del jugador es X0

�� Determinar la matriz de probabilidades de transición de 1 paso de la

cadena de Markov

�� Hallar las clases de la cadena de Markov

� Sean T = 3 y p = 0.3 Hallar ƒ10, ƒ1Τ, ƒ20, ƒ2Τ

�� Sean T = 3 y p = 0.7 Hallar ƒ10, ƒ1Τ, ƒ20, ƒ2Τ

¿Qué se puede deducir de c) y d)?

�� Supongamos que una red de comunicaciones transmite dígitos binarios 0 o

1. Al recorrer la red, existe una probabilidad q de que el dígito binario se reciba de

forma incorrecta en el siguiente paso. Si X0 denota un dígito binario que entra en el

sistema, X1 el dígito recibido después de la primera transición, X2 el dígito recibido

después de la segunda transición, ... Xn , entonces es una cadena de Markov.

Hallar la matriz de probabilidades de transición y la distribución de

probabilidad del estado estacionario.


�� Considerar la siguiente política (k,Q) de gestión de inventarios. Sean

D1,D2,... las demandas de un producto en los períodos 1,2,...., respectivamente.Si la

demanda durante un periodo excede el número de items disponibles, la demanda

insatisfecha es retenida, de manera que se satisface cuando llega el siguiente pedido

de reposición del inventario. Denotemos por Zn (n=0,1,2,...) la cantidad de

inventario disponible menos el número de unidades retenidas antes de efectuar un

pedido de reposición de inventario al final del periodo n (Z0=0). Si Zn es cero o

positivo, no se retienen órdenes. Si Zn es negativo, entonces -Zn representa el

número de unidades de demanda retrasada y no queda inventario disponible. Si al

principio del periodo n, Zn<k=1, se efectua un pedido de reposición de 2m (Qm en

el caso general) unidades, donde m es el menor entero tal que Zn+2m>=1. (La

cantidad pedida es el menor múltiplo entero de 2, que lleva el nivel de inventario

hasta al menos una unidad). Sean Dn variables aleatorias independientes e

identicamente distribuidas que toman cada uno de los valores 0,1,2,3,4 con

probabilidad 1/5. Denotemos por Xn el valor del stock disponible después de

efectuar el pedido al final del periodo n (X0=2). Resulta entonces:

Xn= Xn-1 - Dn+2m, Si Xn-1-Dn<1

(n=1,2,3,....)

Xn= Xn-1 - Dn, Si Xn-1-Dn >=1

y Xn es una cadena de Markov con solo dos estados: 1,2.

�� Encontrar la Matriz de Transiciones

�� Encontrar las probabilidades del estado estacionario

� Suponer que el coste de efectuar un pedido de reposición es (3+3m).

El coste de mantenimiento del stock es Zn, si Zn>=0, y cero en caso

contrario.

El coste de ruptura del stock es -4Zn, si Zn<0. Encontrar el coste medio

esperado por unidad de tiempo.

�� Comprobar que, en general, para una politica (k,Q) los estados posibles

son k,k+1,k+2,......,k+Q-1.


�� El Servicio Hidrológico de la Comunidad Autónoma de X planea construir

un embalse para regular la cuenca de uno de sus rios con el objetivo de satisfacer

los requerimientos de agua para regadío. La capacidad máxima del embalse previsto

será de 4.000.000 m3, o, de manera abreviada 4 unidades de agua (1 unidad de agua

= 1.000.000 m3 ).

Antes de proceder a la construcción el Servicio desearia tener alguna idea

sobre la efectividad del mismo a largo plazo. Para ello se ha llevado a cabo un

estudio sobre los volúmenes semanales de agua aportados por el río, encontrándose

con que ppueden aproximarse por medio de la siguiente distribución de

probabilidad discreta:

Aportación semanal

en unidades de agua 2 3 4 5

-------------------------------------------------------------------

Probabilidad 0.3 0.4 0.2 0.1

El Servicio está considerando la posibilidad de contratos de regadío que

requeriran el consumo de 2 unidades de agua por semana, pero adicionalmente, para

mantener los estándares de calidad del agua para otros usos, deberá dejar salir al

menos 1 unidad de agua por semana. Por lo tanto el objetivo semanal será dejar

salir 3 unidades de agua. Si el estado del embalse (nivel del embalse) más la

aportación de agua del rio es menor que esta cantidad se tendrá que dejar salir

menos agua, afectando la carencia a los regadios. Si el embalse está lleno,

cualquier exceso será vertido por los aliviaderos. El nivel mínimo admitido del

embalse (estado mínimo) no podrá ser inferior a una unidad de agua.

�� Representar el diagrama de transiciones, encontrar la matriz de

probabilidades de transición, y comprobar que se trata de un proceso

markoviano.

�� ¿Cual será el número medio de semanas transcurrido desde que el embalse

se encuentra en el estado con 2 unidades de agua hasta que esté totalmente

lleno?

� Supuesto el embalse en el estado mínimo con 1 unidad de agua, ¿Cuantas

semanas tardará, en promedio, en volver a estar en la misma situación?

�� Suponiendo que la primera semana partimos de una situación en la que se

embalsaban 3 unidades de agua ¿Cual es la probabilidad de que dos

semanas después se encuentre al mínimo?.


�

�� Una tienda de venta de ordenadores personales tiene un modelo particular

cuyo stock puede reponerse semanalmente.

Representemos por D1, D2,....., la demanda de este modelo durante la

primera semana, la segunda, etc.. Suponemos que las demandas Di son variables

aleatorias independientes e identicamente distribuidas, que tienen una distribución

de Poison de parámetro λ=2. Supongamos que X0 representa el número de

unidades del modelo en el momento inicial, X1 el número de unidades disponibles

al final de la primera semana, X2 el número de unidades disponibles al final de la

segunda semana, y así sucesivamente. Supongamos que X0=3.

El sábado por la noche la tienda efectúa un pedido al almacén central que

le es servido el lunes por la mañana aprimera hora. La tienda utiliza la siguiente

política de gestión de stocks: si el número de unidades disponibles al final de la

semana es menor de 2 unidades, la tienda efectúa un pedido de reposición de 3

unidades. En caso contrario no efectua ningún pedido. Se supone que las ventas se

pierden cuando la demanda es superior al inventario disponible. Los posibles

estados del proceso son los enteros Xt que representan el número de unidades

disponibles al final de cada semana. Se pide:

�� Encontrar una expresión que permita evaluar iterativamente las variables

aleatorias Xt.

�� Comprobar que las Xt, t=0,1,2,...., constituyen una cadena de Markov.

� Calcular la matriz de probabilidades de transición.

�� Partiendo de un estado con tres unidades disponibles, ¿Cual es el tiempo

medio hasta que el stock es cero.

� Suponiendo que cada unidad en stock comporta un coste semanal de 300

pts., ¿Cual seria el coste medio semanal esperado a largo plazo?.


�� Una máquina tiene dos piezas colocadas en paralelo de manera que para

funcionar utiliza solo una de ellas, quedando la otra de repuesto para reemplazar a

la que trabaja cuando esta se estropea, si está en condiciones de trabajar. Las piezas

trabajan de manera que se estropean durante un periodo de tiempo dado con una

probabilidad q.

Supongamos que la pieza que está trabajando, en caso de que se estropee,

lo hace al final de un periodo, de manera que la pieza de repuesto empieza a

trabajar, si está en condiciones de hacrlo, al principio del periodo siguiente. Hay un

ínico mecánico para reparar las piezas estropeadas, que tarda dos periodos en

reparar una pieza estropeada.

El proceso puede describirse mediante un vector Xt de dos componentes U

y V, donde U representa el número de piezas hábiles, trabajando o en condiciones

de trabajar, al final del periodo t-ésimo, y V toma el valor 1 si el mecánico requier

únicamente un periodo adicional para completar una reparacion, si ya está

procediendo a ella, y 0 en caso contrario. Por lo tanto, el espacio de estados consta

de cuatro estados:

(2,0), (1,0), (0,1), y (1,1)

(Por ejemplo, el estado (1,1) implica que una componente opera y la otra necesita

un periodo adicional para acabar de ser reparada).

Denotemos los cuatro estados por 0,1,2 y 3 respectivamente (Es decir Xt = 0

quiere decir Xt = (2,0), por ejemplo).

�� Comprobar que X t , t=0,1,2,......, es una cadena de Markov.

Describir el diagrama de transiciones y hallar la matriz de probabilidades

de transición.

�� Hallar la distribución de probabilidad del estado estacionario.


�� Las familias de cierto país se clasifican según residan en áreas rurales,

urbanas o suburbanas. Los estudios de movilidad demográfica estiman que, en

promedio, en el curso de un año, el 15% de las familias urbanas cambia de

residencia y se traslada a un área suburbana, y el 5% a un área rural; mientras que el

6% de las familias residentes en áreas suburbanas se traslada a áreas urbanas, y el

4% a áreas rurales, y finalmente el 4% de las familias rurales migra a las áreas

urbanas y el 6% a las suburbanas.

�� ¿Cúal es la probabilidad de que una familia que vive ahora en un área

urbana siga viviendo en un área urbana dentro de dos años?. ¿Y en una

suburbana?. ¿Y en una rural?.

�� Supongamos que en el presente el 40% de las familias del país viven en

áreas urbanas, el 35% en suburbanas y el 25% en rurales. ¿Qué

porcentaje de familias vivirá en áreas urbanas dentro de dos años?.

� ¿Qué distribución de población es de prever en el futuro si las tendencias

no cambian?.

�� Un bosque consta de dos tipos de árboles: jóvenes (entre 0 y 3 mts de

altura) y adultos (más de 3 mts). Cada año, el 30% de los árboles jóvenes muere, el

10% se vende por $20 cada uno, el 20% se mantine entre 0 y 3 mts y el 40% crece

superando los 3 mts. Cada año, el 40% de los árboles adultos se vende por $50, el

20% se vende por $20, el 30% permanece en el bosque y un 10% muere.

�� ¿Cuál es la probabilidad de que un árbol joven muera antes de ser

vendido ?

�� Si plantar un árbol joven cuesta $5, ¿cuál es el beneficio esperado para

cada árbol joven plantado ?


�� Supongamos que un sistema de colas tiene dos sirvientes, distribución de

tiempo entre llegadas exponencial, de media 2 horas, y distribución de tiempos de

servicio exponencial de media 2 horas. Sabemos que un cliente ha llegado al las

12:00 de mediodía.

�� ¿Cuál es la probabilidad de que la siguiente llegada sea antes de la 1:00pm?,

¿Entre 1:00 pm y 2:00 pm.?, ¿Despues de las 2:00pm?

�� Supongamos que no llegan más clientes antes de la 1:00 pm ¿Cuál es la

probabilidad de que la siguiente llegada sea entre 1:00pm y 2:00pm?

� Cual es la probabilidad de que el número de llegadas entre 1:00pm y

2:00pm sea cero?, ¿Uno?, ¿Dos o más?.

�� Supongamos que a la 1:00pm ambos sirvientes están atendiendo

clientes.¿Cual es la probabilidad de que ninguno de los 2 clientes haya

completado su servicio antes de las 2:00 pm.?, ¿antes de la 1:10pm?,

¿Antes de la 1:01pm?.

�� Una tienda de alimentación tiene un único dependiente. Los clientes llegan

a la tienda según una distribución de Poisson de tasa media 30 por hora. Cuando

sólamente hay un cliente, éste es atendido por el dependiente con un tiempo de

servicio esperado de 1.5 minutos. Sin embargo, cuando hay más de un cliente en la

tienda, se ha dado instrucciones al encargado del almacen para que ayude al

dependiente a envolver los productos comprados. Esta ayuda reduce el tiempo de

servicio empleado a 1 minuto. En ambos casos, la distribución de los tiempos de

servicio es exponencial.

�� Construir el diagrama de flujos para este sistema de colas.

�� ¿Cual es la distribución de probabilidad del nº de clientes en la tienda en el

estado estacionario?

� Obtener L (longitud esperada del sistema) para este sistema. Utilizar la

información obtenida para determinar Lq, W y Wq


�� Una compañía aerea tiene dos empleados que recogen las reservas de

billetes que se realizan por teléfono. Además una llamada puede situarse en una

linea de espera hasta que uno de los empleados quede libre para atenderla. Si las 3

líneas telefónicas (las dos de los empleados y la línea de espera) están ocupadas, un

cliente potencial recibe una señal de que el sistema está ocupado y la llamada se

pierde. Se supone que las llamadas llegan según una distribución de Poisson de

tasa media de 15 por hora. La duración de una conversación telefónica tiene una

distribución exponencial de media 4 minutos.

�� construir el diagrama de flujos para este sistema

�� Hallar la probabilidad de estado estacionario de:

i) Una llamada sea atendida inmediatamente

ii) Una llamada se pase a la línea de espera

iii) Una llamada reciba señal de ocupado.

�� Una tienda en la que se realizan fotocopias está abierta 5 días a la semana.

Disponen de 3 máquinas idénticas, pero sólamente hay 2 operadores trabajando con

ellas, de forma que la 3ª máquina sólo se usa cuando alguna de las otras dos se

estropea. Cuando una máquina está en servicio, el tiempo hasta que se estropea

sigue una distribución exponencial de media 2 semanas. Si la máquina se estropea

mientras las otras 2 están operativas, se llama a un técnico para su reparación cuyo

tiempo medio hasta que se repara sigue una distribución exponencial de tasa media

0.2 semanas. Sin embargo, si una 2ª máquina se estropea antes de que la 1ª se haya

arreglado, la 3ª máquina se para mientras que los 2 operadores trabajan juntos para

arreglarla rápidamente. La distribución del tiempo que transcurre hasta que los dos

operadores consiguen arreglar ésta 2ª máquina es exponencial de media únicamente

1/15 semanas. Si el técnico acaba de arreglat la 1ª máquina antes que los 2

operadores terminen el arreglo de la 2ª, los operadores vuelven a hacer servir las 2

máquinas operativas, mientras que el técnico termina el 2º arreglo, en cuyo caso el

tiempo restante de arreglo sigue una distribución exponencial de media 0.2

semanas.

�� Suponiendo que los estados del sistema son el número de máquinas que no

están funcionando, construir el diagrama de flujos.

�� Hallar la distribución de estado estacionario del número de máquinas que

no funcionan.

� ¿Cúal es el número esperado de operadores haciendo copias?


�� Un técnico en reparaciones se ocupa del mantenimiento de 3 máquinas.

Para cada máquina, la distribución de probabilidades del tiempo antes de que se

estropee es exponencial de media 9 horas. El tiempo de reparación también es

exponencial de edia 2 horas.

�� Calcular la distribución de probabilidades en el estado estacionario del nº

de máquinas que no funcionan

�� Haciendo una aproximación muy burda, supongamos que la población de

llegada es infinita de forma que el proceso de llegada sigue una

distribución de Poisson de tasa media de 3 cada 9 horas. Comparar el

resultado obtenido en a) con el que se obtiene al hacer esta aproximación:

1) Utilizando el modelo de cola infinita

2) Utilizando el modelo de cola finita

� Supongamos ahora que podemos disponer de un 2º técnico para reparar las

máquinas siempre que haya más de una máquina estropeada. Calcular en

este caso, lo mismo que en el apartado a).

�� Actualmente se está realizando la planificación para una nueva fábrica. Un

departamento va a recibir una gran cantidad de ciertas máquinas automáticas y

deseamos determinar cuantas máquinas deberían asignarse a cada operador para sus

servicio (carga, descarga, ajuste, arranque, etc.) Para realizar este análisis se

proporciona la siguiente información:

El tiempo de espera (tiempo desde que se completa un servicio hasta que la

máquina requiere un nuevo servicio) de cada máquina, es exponencial de media 150

minutos.

El tiempo de servicio tiene una distribución exponencial de media 15

minutos. Cada operador atiende únicamente tres máquinas y no ayuda ni recibe

ayuda de los otros operadores.

Para que el departamento alcance la tasa de producción necesaria, las

máquinas deben funcionar por lo menos el 89 % del tiempo en media.

�� ¿Cual es el máximo nº de máquinas que puede asignarse a cada

operador manteniendo la tasa de producción?

�� Cuando a cada operador se le asigna el máximo nº obtenido en a), ¿Cual

es la fracción de tiempo esperada en la que los operadores estarán

ocupados atendiendo las máquinas?


�� Consideremos un sistema de colas con llegadas de Poisson, en el que el

sirviente debe realizar dos tareas diferenciadas de forma secuencial para cada

cliente, de forma que el tiempo total de servicio es la suma de los tiempos de las 2

tareas (estadísticamente independientes).

�� Supongamos que el tiempo de la 1ª tarea es exponencial de media 3 minutos

y que el tiempo de la 2ª tarea tiene una distribución de Erlang de media 9

minutos y K = 3. ¿Qué modelo debe utilizarse para representar este

sistema?

�� supongamos que a) se modifica de forma que el tiempo de la 1ª tarea

tambien sigue una distribución de Erlang con K = 3 (la media se mantiene

en 3 minutos). ¿Qué modelo debería utilizarse para representar este sistema?

�� Una base de mantenimiento de aviones dispone de recursos para revisar

únicamente un motor de avión a la vez. Por tanto, para devolver los aviones lo

antes posible, la política que se sigue consiste en aplazar la revisión de los 4

motores de cada avión. En otras palabras, solamente se revisa un motor del avión

cada vez que un avión llega a la base. con esta política, los aviones llegan según

una distribución de Poisson de tasa media uno al día. El tiempo requerido para

revisar un motor (una vez que se empieza el trabajo) tiene una distribución

exponencial de media 1/2 dia. Se ha hecho una propuesta para cambiar la política

de revisión de manera que los 4 motores se revisen de forma consecutiva cada vez

que un avión llegue a la base. a pesar de que ello supondría cuadruplicar el tiempo

esperado de servicio, cada avión necesitaría ser revisado únicamente con una

frecuencia 4 veces menor.

Utilizar la Teoría de colas para comparar las 2 alternativas.


�� El servicio de información telefónica de un instituto meteorológico consta

de una centralita con 4 lineas atendida por una única persona que es la que

proporciona la información. Cuando llega una llamada, ésta se rechaza si en ese

momento todas las líneas están ocupadas; en caso contrario, se aceptará la llamada

y ésta ocupará alguna linea desocupada. la telefonista atiende las llamadas según

una disciplina FIFO, tardando en cada una de ellas una media de 60 segundos. La

tasa de llegada de las llamadas es de 3 por minuto. Suponiendo que el número de

llamadas que se reciben sigue una distribución de Poisson y que el tiempo que se

tarda en atenderlas sigue una distribución exponencial, responder a las siguientes

cuestiones;

�� ¿Qué modelo permite estudiar el comportamiento de la centralita?.

Dibujar el diagrama de tasas

�� ¿Cual es el tiempo medio de espera hasta que se atiende una llamada?

� ¿Con qué probabilidad se rechaza una llamada?

�� Actualmente se está considerando la posibilidad de ampliar el servicio

de la centralita para reducir la probabilidad de rechazar una llamada. Las

posibilidades que se están estudiando son:

1) Conectar a la centralita otras 4 lineas nuevas, manteniendo una única

telefonista

2) Mantener las 4 lineas actuales pero contratar una nueva telefonista que

trabajaría conjuntamente con la que ya está y a un ritmo de trabajo similar.

¿Cual de las 2 alternativas te parece más conveniente?


�� Consideremos los siguientes diagramas de tasas, correspondientes a

diferentes modelos de colas para procesos de nacimiento y muerte.

1)

0 1 2 3

c µ

λ λ λ

c 2 µ c 3 µ

n-1

λ λ

n n+1

c n+1 µ c n µ Donde c es una constante, 0 < c < 1

2)

0 1 2

λ

3

λ λ

n-1

λ λ

n n+1

λ λ

2 4 5

µ 2 µ 2 µ 3 µ 3 µ 3 µ 3 µ

3)

0 1 2

λ

3 n-1 n n+1 2

µ

λ /2 λ /3

µ µ µ µ

λ /n λ /n + 1

Responder a las siguientes cuestiones:

�� Para todos los modelos anteriores (1,2 y 3) describir brevemente con qué

tipo de situaciones se corresponden.

�� Para los modelos 2 y 3 dar una expresión (lo más compacta posible) de P0.

� Para el modelo 3 obtener el tiempo medio de espera en el sistema. ¿Cual

será la longitud media del sistema cuando λ=µ ?

Nota:

an �n = 0

∞ = 1

1 - a , si a < 1.

�n = 0

∞an

n! = ea


�� Una gestoría dispone de tres personas que atienden al público; cada una de

ellas tarda una media de 10 minutos en atender a un cliente.

��Supongamos que los clientes llegan con una tasa de 15 por hora.

a.1) ¿Con qué probabilidad un cliente tiene que esperar para ser

atendido?

a.2) ¿Cual es el número medio de clientes en la cola?

a.3) ¿Cual es el tiempo medio de espera en el sistema?

�� Supongamos que se estructura la gestoría en tres servicios: uno

dedicado a las gestiones de compra/venta, el segundo para

documentación (DNI, pasaportes, carnets de conducir,...) y el tercero

para las restantes gestiones. Ahora, la tasa de llegada de los clientes a

cada uno de los servicios es de 5 por hora. Además, cada uno de los

tres empleados está asignado a un único servicio.

b.1) ¿Con qué probabilidad un cliente tiene que esperar para ser

atendido?

b.2) ¿Cual es el número medio de clientes en la cola?

b.3) ¿Cual es el tiempo medio de espera en el sistema?

� ¿Cual de las 2 alternativas anteriores te parece más conveniente?

Razónalo.

�� Una estación de servicio tiene una única bomba de gasolina. Los coches

que requieren servicio llegan según un proceso de Poisson con una tasa media de 20

vehículos por hora. Si la bomba ya está sirviendo a un cliente los clientes

potenciales pueden marcharse para ser atendidos en otra estación de servicio

próxima. En particular si hay n coches en la estación de servicio, la probabilidad

de que un cliente potencial se marche es de n / 4 para n = 1,2,3,4. El tiempo

requerido para servir un coche es exponencial de media 3 minutos.

�� Hallar la distribución de probabilidad del estado estacionario

�� Encontrar el tiempo medio de permanencia en el sistema


��. Un vendedor de helados ha instalado un puesto de venta en un area de

descanso de una autopista de manera que puede atender a los clientes sin que tengan

que apearse. El concesionario de la autopista le ha alquilado un espacio con

capacidad para cuatro vehículos contando el que esta siendo atendido. La tasa

media de llegadas de los clientes es de 40 coches por hora y el puesto puede servir

hasta 50 coches por hora. El beneficio neto por los helados vendidos a cada coche

es de 50 pesetas. Teniendo en cuenta que el puesto de venta de helados está abierto

durante 14 horas diarias, y que el concesionario de autopistas está dispuesto a

alquilarle espacio adicional a 500 pesetas/día por plaza de coche, ¿Qué debe hacer?

¿Ha de alquilar plazas extra?. En caso afirmativo, ¿cuantas?.

�� En cierto centro oficial existe un aparcamiento público gratuito con cuatro

plazas. Los coches con intención de aparcar llegan a un ritmo de 6 por hora en

promedio. Si encuentran plaza aparcan, si no deben buscar otro lugar, por ejemplo

un aparcamiento subterráneo, de pago cerca de allí. En promedio cada coche

permanece aparcado 30 minutos. Se pregunta:

�� Probabilidad de que un coche que llegue al aparcamiento público gratuito

pueda aparcar.

�� Suponiendo que el aparcamiento público gratuito esté completo ¿Cuánto

deberá aguardar, en promedio, un coche situafdo en doble fila, hasta que

quede plaza libre?

� ¿Cuántas plazas de aparcamiento público gratuito deberian exixtir para

que el 85% de los coches que se dirigen al centro oficial puedan aparcar

en él?


�� Un taller cuenta con tres máquinas idénticas que se averian según un

proceso poissoniano de parámetro λ . El coste de tener una máquina parada

durante un día es de A pts.

El taller cuenta, asimismo, con dos equipos para la detección y reparación

de averías. Para cada uno de ellos el tiempo necesario para una reparación se

distribuye según una ley exponencial. Uno de los equipos, el más antiguo, tiene un

coste de funcionamiento de R pts/día y puede realizar hasta µ reparaciones/día, el

doble de la tasa de averías de cada máquina. El otro equipo, más moderno, tiene un

rendimiento triple que el del primero y un coste de funcionamiento también triple.

El jefe de taller tiene que decidir entre dos políticas, para lo cual desea

estimar los costes medios:

�� Utilizar el equipo antiguo cuando sólo hay una máquina averiada

�� Utilizar el equipo moderno cuando sólo hay una máquina averiada

(Evidentemente, cuando hay dos máquinas averiadas, o las tres,

trabajan los dos equipos de reparación)

� ¿Cual es la política óptima en función de la relación de costes A/R)

�� En un taller hay cuatro máquinas que se averian, en promedio, cada 200

horas. Las averias son reparadas por un único equipo que tarda un promedio de 8

horas por averia. Cada máquina parada produce una pérdida de 8.000 pts/hora.

�� ¿Qué fracción de tiempo hay por lo menos dos máquinas trabajando?

�� ¿Resultaria rentable la instalación de una máquina que funcionase

cuando alguna de las otras se averia sustituyendola, si la instalación

supone una inversión de 10.000.000 pts a amortizar en cuatro años,

considerando que hay 2000 horas de trabajo al año?


�� Una estación de servicio tiene una bomba de gasolina. Los coches que

requieren servicio llegan según un proceso de Poisson con una tasa media de 20

vehículos por hora. Si la bomba está ocupada los clientes potenciales pueden

marcharse para ser atendidos en otra estación. En particular, si hay n coches en la

estación, la probabilidad de que un cliente potencial se marche es de n / 5 para n =

1,2,3,4,5. El tiempo requerido para servir un coche es de 3 minutos, en promedio,

exponencialmente distribuidos.

�� Identificar el modelo de colas y calcular el porcentaje de clientes

perdidos.

�� Calcular el tiempo medio de permanencia en el sistema

� ¿Cual sería la ventaja si hubiesen 2 bombas de gasolina?

�� En una pequeña ciudad operan dos empresas de taxis. Cada una de ellas

tiene dos taxis, y ambas se reparten el mercado en condiciones de igualdad. Esto

resulta evidente por el hecho de que las llamadas telefónicas que llegan al servicio

de atención al público de cada una de las empresas, siguen una distribución de

Poisson de tasa media �=10 llamadas por hora en ambos casos. La duración media

de una carrera de taxi es de 11.5 minutos, y sigue una distribución de probabilidad

exponencial.

Uno de los hombres de negocios de la ciudad ha comprado recientemente las dos

empresas, y su primera preocupación es fusionar los dos servicios de atención al

público en uno sólo, con el objetivo de ofrecer un servicio más rápido a los clientes,

es decir, que tengan que esperar menos a que los recoja el taxi solicitado. ¿Es esto

cierto, qué un único servicio de recepción de llamadas que fusione los dos

existentes será más eficiente que los dos trabajando independientemente?.

A pesar de todo, operando con un servicio único de atención al cliente, el

propietario de la empresa fusionada piensa que el tiempo de espera hasta que el

cliente recibe el servicio es excesivo, y como no dispone de capital para incrementar

el número de taxis decide que la oficina que atiende las llamadas de los clientes

para pedir servicio les comunique que no puede atender su petición cuando la lista

de clientes a la espera de ser atendidos sea de 16. ¿Qué efectos tendrá esta decisión

en los tiempos de espera?. ¿Cúal será el porcentaje de clientes perdidos?.


�� Cada año, durante el mes de agosto, el edificio de la FME permanece

cerrado con llave. Para poder entrar salir, alguno de los 3 guardias de seguridad nos

tiene que abrir la puerta. La misión de estos guardias no es tan solo controlar la

puerta sino que también deben hacer rondas de vigilancia de forma aleatoria por el

edificio. Un guardia pasa una media de 1 hora en la entrada y entonces decide hacer

una ronda que por termino medio dura 40 minutos (se supone que tanto el tiempo

de duración de las rondas como el de permanencia en la entrada están distribuidos

exponencialmente, y que el comportamiento de cada guardia es independiente del

de los demás).

�� ¿Cuál es la probabilidad de que alguien que llega a la FME tenga que

esperar a que vuelva algún guardia de su ronda para que le abra la

puerta?

�� ¿Cuántos guardias habrá en la puerta de entrada, por termino medio?

� ¿Cuál es el número medio de rondas que se hacen por dia (24 horas)

entre todos?

�� El Tri-Cities Bank disposa d'un únic caixer tipus drive-in. Els divendres

pel matí, els clients arriben a la finestreta de forma aleatòria, seguint una

distribució de Poisson amb una taxa mitjana de 30 per hora.

a) Quants clients arriben per minut en mitjana.

b) Quants clients s'esperaria que arribessin en un interval de 10 minuts ?

c) Seguint la llei de Poisson determini's la probabilitat de que exactament hi

hagin n=0, n=1, n=2 i n=3 arribades en un interval de 10 minuts. (Utilitzeu la

funció �� de l'Excel ).

d) Quina és la probabilitat de que hi hagin més de tres arribades en un

interval de 10 minuts ?.


��. Fent referència a la situació descrita en el problema 1. anterior, suposem

ara que la taxa de servei és de 40 clients per hora i segueix una distribució

exponencial. Es demana:

a) Quina és l'esperança del temps de servei per client?

b) Seguint l'equació:

��

�

�� −−− −=∫=≤≤

determineu quina és la probabilitat de que el temps de servei d'un client sigui

inferior o igual a 1 minut.

c) Calculeu les probabilitats de que el temps de servei d'un client estigui

entre dos i cinc minuts, menys de quatre minuts i més de tres minuts.

�� Un concepte extremadament important en teoria de cues és la diferència

entre taxes i temps. Si λ és una taxa d'arribades de clients per unitat de temps,

raoni's perquè 1/λ és un temps entre dues arribades.

�� Exposi's la relació bàsica que existeix entre la distribució exponencial i un

procés de Poisson. Exposin-se també les diferències entre la distribució

exponencial i la distribució de Poisson en relació als tipus de variables que

descriuen aquestes dues distribucions.


�� Genereu en un full de càlcul 200 números aleatoris que segueixin una

distribució exponencial de taxa λ = 1/3. Utilitzeu l'expressió �� !�"��

. Inseriu, per exemple, aquesta expressió en la cel.la A4 i copieu-la en el rang de

cel.les A5:A203. Trieu la comanda Edit/Paste Special amb l'opció Values (l'efecte

és el de congelar els números generats, de forma que no canviïn si es recalcula la

fulla). Exploreu les propietats d'aquests números de la forma següent:

a) Determineu la mitjana dels 200 números amb la funció AVERAGE. A

quin valor teòric hauria d'aproximar-se aquesta mitjana?.

b) Determineu la desviació standard dels 200 números amb la funció

�#"$%. A quin valor teòric hauria d'aproximar-se aquesta desviació?.

c) Dibuixeu un histograma dels números aleatoris generats, utilitzant 15

subintervals de longitud unitat pels valors possibles de la variable aleatòria ( el

primer subinterval seria el [0, 1] ). Té l'histograma la forma que és d'esperar ?

d) Suposeu que els números aleatoris generats corresponen als temps entre

arribades a un magatzem. Així, el valor a la cel.la A4 seria el temps en minuts

fins la primera arribada, el valor a la cel.la A5 seria el temps en minuts entre la

primera i la segona arribada, el valor a la cel.la A6 el temps entre la segona i

tercera arribada… etc. Com comprovaries que els temps entre arribades es

corresponen de fet amb una distribució exponencial ? . Quin hauria de ser el valor

de la taxa d'arribades en clients per minut que caracteritzaria aquesta distribució

exponencial ?

�� Fent referència a la situacions descrites en els problemes 1 i 2 anteriors,

es demana:

a) Quina és la probabilitat de que la finestreta estigui buida?

b) Quina és la probabilitat de que un client hagi d'esperar a ésser atès ?

c) Quina és l'esperança del número de cotxes que estan esperant a ésser

servits ?

d) Quin és el temps mig emprat per un client des de que arriba al banc fins

que surt d'ell?

e) Quin és el temps mig emprat per un client fent cua?

f) Quina hauria de ser la taxa de servei per tal de reduir el temps mig

emprat per un client en el banc a uns dos minuts ?.

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R1. Supóngase que la vida de un subsistema en su fase final se distribuyede según una ley normal de esperanza 10000 horas y desviación 1000 horas.Determinad la fiabilidad para un período de operación de 500 horas dado quea) la vida del componente es ya de 9000 horas, b) la vida es ya de 11000 horas.

R2. Un sistema con tres componentes independientes funcionacorrectamente si por lo menos uno de sus componentes funcionacorrectamente. Las tasas de fallos de los componentes individuales son λ1 =0,0001 h-1, λ2 = 0,0002 h-1, λ3 = 0,0004 h-1 ( con tiempo de vida distribuidoexponencialmente). Determinar:

a) La probabilidad de que el sistema funcione correctamente durante 1000horas consecutivas.b) La función de densidad de probabilidad del tiempo de vida del sistema.

R3. Los proyectos presentados a una administración pública poseenpresupuestos que se distribuyen según una ley exponencial de parámetro λ €-1.La oficina gestora mantiene la política de admitir de forma prioritaria losproyectos con menor presupuesto de entre los proyectos presentados y queesperan ser subvencionados. Si en un momento determinado hay n de estosproyectos,

a) desarrollar la función de distribución del presupuesto del proyecto másbarato y del proyecto más caro.b) Repetir el desarrollo anterior, pero supóngase ahora que el presupuesto delos proyectos sigue una distribución Weibull de tres parámetros.

R4. Un sistema funciona con n componentes de entre los que sólonecesita k < n para su correcto funcionamiento. La probabilidad de que uno deestos componentes presente un fallo de forma inmediata es p0 = 0.2, mientrasque si consigue arrancar la tasa de fallos que presenta es λ=0.0001 h-1,

a) Desarrollar la expresión de la fiabilidad de este sistema.b) Para el caso n=3, k=2 calcular la probabilidad de que el sistema funcione almenos 2000 horas.

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R5. El tiempo entre fallos de un sistema presenta una distribucióngamma de media 40 horas y de varianza 400 h2,

a) Encontrar el parámetro de forma α y el parámetro de escala λ.b) Un tiempo de funcionamiento inferior a 20 horas tiene consecuenciascatastróficas. Calcular el número medio de fallos que se presentará entre dossituaciones catastróficas.

R6. Un sistema requiere de k componentes para su correctofuncionamiento, cada uno de ellos con una tasa de fallos poissoniana deparámetro λ=0.0001 h-1 y tiempos de vida mútuamente independientes. Alproducirse el fallo de uno de estos componentes debe ser reemplazado por otrocomponente nuevo que se extrae de un stock de seguridad que posee ncomponentes nuevos. Los reemplazamientos pueden efectuarse de formainmediata sin reportar pérdida alguna; sin embargo encargar uno de estocomponentes por ruptura del stock de seguridad tiene consecuenciasinaceptables y catastróficas. Determinar el número de componentes que debehaber en stock si se quiere tener una probabilidad de 0.9 de mantener el sistemafuncionando durante 1500 horas sin consecuencias graves. Compárese elresultado de mantener tres stocks por separado, cada uno de ellos para elcorrespondiente componente en funcionamiento del sistema.

R7. Un avión posee cuatro motores, dos en cada ala y se mantendrá envuelo si al menos en cada ala hay un motor funcionando. Suponiendo que cadamotor presenta un tiempo entre fallos exponencialmente distribuido deparámetro λ, encontrar las expresiones de la fiabilidad del sistema y del tiempomedio entre fallos.

R8. Un cable flexible en una cadena de montaje robotizada tiene unadistribución del tiempo de vida que viene ajustada mediante una ley Weibull detres parámetros α= 150 horas, β= 1,7 , η= 300 horas. Si ocurre un fallomientras se está produciendo el coste de parar la línea de montaje y de efectuarla reparación es de 5000€, mientras que el coste de un reemplazamientopreventivo programado con antelación es de 500€. El tiempo defuncionamiento anual de la línea de montaje es de 5000 horas al año y demomento está operativo un mantenimiento preventivo onsistente en reemplazarel cable cada 100 horas de trabajo.

a) Evaluar los costes implicados en la política actual de reemplazamientopreventivo y el número medio de fallos que es de preveer ocurriránanualmente por rotura del cable.

b) Encontrar un período optimo T* , para efectuar reemplazamientospreventivos cuando el tiempo de funcionamiento del cable llegue a T*.

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R9. Supongamos que en el problema anterior se opta por disponer uncable funcionando de forma redundante con el que ya opera en el equipo, perode un modelo diferente que posee un tiempo de vida distribuido según una leyexponencial, esperanza 500 horas. Los costes de reemplazamiento preventivoson los mismos que para el problema anterior.

a) Calcular la probabilidad de que el sistema de cables funcione correctamentemás de 500 horas sin realizarse ningún reemplazamiento preventivo.

b) Se sustituye el segundo cable por otro de características iguales a las delproblema anterior. En esta situación comparar el punto de reemplazamientoy los costes de las políticas tipo 1 y tipo 2 de Barlow & Hunter.

RC1. Se celebra una carrera de obstáculos en la que participan trescorredores con idénticas características de preparación atlética. Los obstáculosestán distanciados 50 metros uno de otro y al terminar la carrera han de serlevantados de nuevo para la siguiente tanda de corredores por el equipo demantenimiento de pista. Se sabe que tras haber derribado un obstáculo elsiguiente será superado siempre sin derribarlo, pero que el segundo obstáculotiene una probabilidad de 0.05 de ser derribado y que el tercero será superadosólo con una probabilidad de 0.94 en caso de que se supere el segundo.Curiosamente los atletas nunca consiguen superar un cuarto obstáculo. Lavelocidad de los atletas en pruebas sin obstáculos es de 25 km/h. Cadaobstáculo derribado los retarda 0.3 segundos.

a) Establecer una Cadena de Markov {Xk} correspondiente al número detramos recorridos por un atleta desde el último obstáculo derribado.Calcular la matriz de probabilidades de transición, dibujar el diagramacorrespondiente, las clases de la cadena y la periodicidad de sus estados.

b) Distancia media que un atleta recorre entre dos obstáculos derribados.c) Fracción de los tramos con un obstáculo abatido en un carril y probabilidad

de que un tramo de 50 metros tenga al menos un obstáculo derribado.Distancia media que el equipo de mantenimiento de pista ha de recorrerhasta llegar al siguiente punto donde hay un obstáculo derribado.

d) Velocidad media de los atletas en la carrera de obstáculos.e) La carrera se repite pero ahora en la modalidad de relevos y participan tres

equipos. Se releva un atleta por un compañero de su equipo si consiguesuperar tres obstáculos consecutivos sin derribarlos, pero si un atletaderriba un obstáculo entonces todo su equipo pierde la carrera y deberetirarse. Calcular la probabilidad de que un atleta haga perder la carrera asu equipo por derribar un obstáculo

RC 2. Un aparell està composat per tres components i pel seu correctefuncionament precisa de tots tres en bon estat. Per conèixer com es distribueix

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el temps de vida d’aquests components s’ha efectuat una prova amb 122 unitatsdeixant-les funcionar fins que s’ha produït un fallo.

Setmanes d’us 0 1 2 3 4 5 6 7Unitats enfuncionament

122 122 116 109 98 78 39 0

Fracció d’unitatsavariades

0 0.05 0.06 0.1 0.2 0.5 1

En produir-se el fallo del component es considera que aquest queda inserviblei ha de ser reemplaçat per un de nou amb un cost total (operació+preu delcomponent) de 6$. En fallar un component l’aparell pateix una aturada la qualprovoca un cost de 8$. Es demana establir la política òptima de reposició delscomponents que integren l’aparell que ocasiona el mínim cost total persetmana y aparell de entre les següents:

1) No efectuar cap reemplaçament dels components fins que aquestspresentin un fallo.

2) Efectuar el reemplaçament de un component quan aquest arribi a les jsetmanes de vida des de que es va instal.lar a l’aparell, determinant j. ( j< 6 ) . Cada j setmanes es reemplacen tots els components de l’aparellper altres de nous, i a més a més (és clar) es reemplacen els componentsque hagin fallat abans d’efectuar el reemplaçament global.

RC3. Un equipo presenta un tiempo de vida x no superior a 1 año que vienemodelizada mediante una distribución beta de parámetros 0,2 y 0,8. Su función deintensidad de fallos hx(t) viene mostrada en la figura siguiente:

a) Reproducir la función de intensidad de fallos representada mediante MINITABy obtener los valores hx(t), Rx(t) para t = 0, 0.5, 1, 1.5, 2, 2.5 ….12 meses.

b) Utilizar una aproximación mediante cadenas de Markov para calcular lasprobabilidades πi de que el tiempo de funcionamiento del equipo supere i=1, 2

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,….12 meses y compararlas con los valores correspondientes de la función defiabilidad necesariamente obtenidos en el apartado anterior.

c) Si el coste de un reemplazamiento preventivo es de 20€ y el coste de un fallodel equipo es de 500 €, calcular de forma gráfica mediante MINITAB el puntode reemplazamiento de forma que se minimize el coste económico.

d) Si se opta por efectuar un reemplazamiento preventivo cada 3 meses y el tiempoque se tarda en reponer uno de estos equipos es de dos semanas, calcularaproximadamente la disponibilidad a largo término de dicho equipo y el númeromedio de reemplazamientos anuales.

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I1. Una compañía de fabricación de televisores produce su propio modelo dealtavoz. Los aparatos de TV se ensamblan en una cadena de producción continua auna tasa de 8000 al mes, necesitándose un altavoz por aparato de televisión. Losaltavoces, sin embargo, se fabrican por lotes dado que es más barato así queestablecer una cadena propia de producción para estos componentes. Por lo tanto,una vez fabricados se generará un stock de estos componentes y se utilizarán losaltavoces en stock para alimentar la cadena de producción de TV's a medida queestos componentes vayan necesitándose. La compañía desea saber cuántosaltavoces debe producir cada vez y a qué tasa. El coste de disponer una producciónde altavoces es de 12000€, hay un coste de mantenimiento de los altavoces en stockde 0.3€/altavoz y mes y la tasa de demandas de aparatos de TV de los clientes estambién de 8000 unidades/mes. El retardo entre el instante de tiempo que se ordenala fabricación de los altavoces y que éstos llegan a la línea de montaje de aparatosde TV es de 1mes. El coste de penalización por no disponer de un altavoz a tiempoes de 5€. Las interrupciones en la producción de aparatos de TV producidas por lafalta de altavoces pueden considerarse una variable aleatoria con una esperanza de8000 interrupciones/mes. Se supone que la demanda de aparatos de TV sedistribuye uniformemente de t=0 a t=16000. Calcular: el tamaño de lote q* dealtavoces a producir en cada ocasión, el nivel mínimo de stock s* para el que seordena la producción de otros q* altavoces y la probabilidad de incurrir en rupturade stock.

I2. Para el problema anterior, calcular según el modelo EOQ sin permitirseruptura de stock, q*, t* (ciclo). En caso de que se permita la ruptura de stock,calcular q*, S* .

I3. Un distribuidor al por mayor de bicicletas tiene problemas con la falta deexistencias que la demanda de un modelo muy popular le ocasiona y está pensandoen revisar la política de almacenamiento que sigue hasta el momento. Estedistribuidor compra mensualmente al fabricante las bicicletas que posteriormentevenderá a sus clientes. Este distribuidor se plantea un establecer un modelo para unúnico periodo con un coste de liquidación de stock de 45€/unidad y un coste decompra de 20€ y un coste de manteniminto de 9€/unidad y mes. Supóngase que lademanda, considerada como una v.a. continua presenta una distribuciónexponencial con media 10000, calcular la cantidad de bicicletas a comprar en cadaperíodo.

estudiar los procesos estocásticos definidos por las matrices · pdf file3 = segundo...

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