estudiando ecuaciones diferenciales

Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer Orden

U.N.P.S.J.B. Facultad de Ciencias Económicas Sede Comodoro Rivadavia Matemática II

Ing. Nilda E. Belcastro

yxdx

dy ⋅⋅= 2.0

U.N.P.S.J.B. Fac.de Cs. Econ. Sede Com. Riv. Matemática IIEcuaciones diferenciales ordinarias de primer Orden

¿Qué es una ecuación diferencial?

Una ecuación diferencial se trata de una relación entre una función, su variable independiente y las derivadas de dicha función, donde la función

es la incógnita.

Por ejemplo:

2( )d y x yd x

= + 6dy

x ydx

= ⋅ ⋅


20.6 ( ) xy x e ⋅=

6dy

x ydx

= ⋅ ⋅Que es un ejemplo de ecuación diferencial

Su derivada es:

20.6 1.2 xdyx e

dx⋅= ⋅ ⋅


Si



Es una ecuación que contiene las derivadas de una o más variables dependientes, con respecto a una o más variables independientes.

yxdx

dy ⋅⋅= 2.0

variable dependiente

variable independiente



5 ey dx

dy x=+

1) Ecuación diferencial ordinaria Una ecuación que contiene sólo derivadas ordinarias de una o más variables dependientes de una sola variable independiente.

Ejemplo :

puede contener más de una variable dependiente:

Clasificación por tipo:

yx dt

dy

dt

dx +=+ 2



2) Ecuación diferencial parcial :

Una ecuación que contiene derivadas parciales de una o más variables dependientes de dos o más variables independientes.

Ejemplos:

t

u

t

u

x

u

y

u

x

u

∂∂−

∂∂=

∂∂=

∂∂+

∂∂

2 02

2

2

2

2

2

2

2



Notaciones

Notación de Leibniz: dy/dx, d2y/ dx2,...

Notación con primas: y', y'', y'''… y(n),...

Notación de Newton:

Notación de subíndice: ux, uy, uxx, uyy, uxy , …

En la notación de Leibniz localizamos rápidamente cuál es la variable dependiente y la independiente:

5 ey dx

dy x=+



xeydy

dx

dx

yd =−

+

↓↓

45

3

2

2

Clasificación según el orden:

El orden de una ecuación diferencial es el orden mayor de la derivadas involucradas en la ecuación.

Ejemplo:

segundo orden primer orden

Entonces es una ecuación diferencial de segundo orden.



Grado

El grado de una ecuación diferencial es el grado algebraico de su derivada de mayor orden, es decir, el grado de una ecuación diferencial es la potencia a la que esta elevada la deriva que nos dio el orden de la ecuación diferencial.

Ejemplo:La siguiente ecuación diferencial:

es de tercer grado, dado que la primera derivada, que nos da el orden de la EDO, está elevada cubo.

87 53

−=

xxydx

dy



Ejercicios

Determinar el grado de las siguientes ecuaciones:

a)

b)3

2

22

6

2

2

7

+=

+

dx

ydx

dx

dyx

dx

yd

735 25

2

22

4

4

+=

+

−

x

dx

dy

dx

yd

dx

yd

cuando alguna derivada esté dentro de un radical o en polinomio, que a su vez esté elevado a una potencia fraccionaria, tendremos que eliminar dicho radical para determinar el grado de la ecuación diferencial.

17 2 += xdx

dy3

2

2

dx

dyx

dx

yd =+



ydx

dyx

dx

yd53

3

3

+

=

3 53 3

3 323 9

dy d y d yx

dx dx dx

+ = +

3

37 19

d y dyx

dx dx − =

2 3

72 3

9d y d y

xdx dx

+ =

Ejercicios

Determinar el orden y grado de las siguientes ecuaciones diferenciales:

a) b)

c)

d)



A veces se escriben las ecuaciones en forma diferencial

0),(),( =+ dyyxNdxyxM

Por ejemplo, supongamos que y es la variable dependiente y x la independiente en la ecuación diferencial en forma diferencial:

0'4

'

04)(

=+−

=

=+−

xyxydx

dyy

xdydxxy



Forma general de orden n de una ecuación diferencial:

Forma normal de orden n de una ecuación diferencial :

Por ejemplo, las formas general y normal de la ecuación diferencial

son:

0) , ,' , ,(variables2

)( =+

n

nyyyxF

) , ,' , ,(variables1

)1(

+

−=n

nn

n

yyyxfdx

yd

f(x, y)x (x – y)/y’

x y)/ y’ - (x –)F(x, y, y’

====

4

04

x, y xy’ =+4



Clasificación según la linealidad:

Se dice que una ecuación diferencial de orden n es lineal si F (en la forma general) es lineal en y, y’, y”, …, y(n).

)()()()()( 011

1

1 xgyxadx

dyxa

dx

ydxa

dx

ydxa

n

n

nn

n

n =++++ −

−

−

0)()()()()( 011

1

1 =−++++ −

−

− xgyxadx

dyxa

dx

ydxa

dx

ydxa

n

n

nn

n

n

O bien:

)()()()( 012

2

2 xgyxadx

dyxa

dx

ydxa =++

primer orden

segundo orden

)()()( 01 xgyxadx

dyxa =+



)()()()()( 011

1

1 xgyxadx

dyxa

dx

ydxa

dx

ydxa

n

n

nn

n

n =++++ −

−

−

Lineal homogénea: El término independiente g(x) es nulo.

Lineal con coeficientes constantes: Los coeficientes a0(x),...,an(x) son constantes.

Lineal con coeficientes variables: Enfatiza el hecho de que al menos uno de los coeficientes a0(x),...,an(x) NO es constante.



)()()()()( 011

1

1 xgyxadx

dyxa

dx

ydxa

dx

ydxa

n

n

nn

n

n =++++ −

−

−

xeyyy =+− 2')1(

024

4

=+ ydx

yd

En una ecuación diferencial lineal de orden n: 1) y, y’, y”, …, y(n) son de primer grado. 2) Coeficientes a0, a1, …, dependen solo de la variable independiente x.

Ejemplos de Ecuaciones no lineales:

El coeficiente depende de y.

0siny2

2

=+dx

yd

O función no lineal de y:



4416

322/142/1 xx

xx

xxy =⋅=

⋅=

Ejemplo:

Comprobar que la función indicada es la solución de la ecuación diferencial dada.

(a) dy/dx = xy1/2. Solución: y = x4/16.

Solución: Existe la derivada dy/dx = x3/4 para todo x de (-∞, ∞).

(a) Lado izquierdo :

Lado derecho:

Y la igualdad se cumple para todo x de (-∞, ∞).


4164

33 xxdxdy =⋅=


xxeyyyy ==+′−′′ ;02

Solución:

(b) Derivando la solución dos veces:

y' = x ex + ex

y'' = x ex + 2 ex

y(x) = 0 se conoce como solución trivial.

Otro ejemplo:


0)(2)2(2 =++−+=+′−′′ xxxxx xeexeexeyyy


Solución de una ecuación diferencial

Llamamos solución de una ecuación diferencial a una función tal que al sustituirla en la ecuación reduzca a ésta a una identidad.

O sea, posee al menos n derivadas y cumple :

IxxxxxF n ∈∀= 0))( , ),(' ),( ,( )(φφφ



Una ecuación diferencial puede tener:

Infinitas soluciones:

Una única solución:

Ninguna solución:

tCexyxyy sin)(;cos' ==

0)(;0)'( 22 ==+ xyyy

0)'( 22 =+ xy



La solución general de una ecuación diferencial de orden n es una relación entre sus variables que contiene a n constantes arbitrarias linealmente independientes y satisface idénticamente la ecuación diferencial.

Una solución particular de una ecuación diferencial es aquella que se obtiene de la solución general por medio de la asignación de valores específicos a las constantes arbitrarias que aparecen en tal solución.

Solución general una ecuación diferencial

Solución particular una ecuación diferencial


Cuando se resuelve una ecuación diferencial de orden n, se busca una familia no paramétrica de soluciones G(x, y, c1, c2, …, cn) = 0.

F(x, y, y') = 0



Por ejemplo :

y = cx – x cos x

es la solución general de

xy’ – y = x2 sin x

Tomando c = 0, tenemos:

y = x cos x que es una solución particular.

La solución particular es una solución libre de parámetros arbitrarios.


EjemploComprobar que la y = x 2 + C no es solución de la ecuación diferencial:

xdx

dy2=

Sustituyendo el valor de la derivada encontrada en la ecuación diferencial tenemos:

Por lo tanto y = x 2 + C no es solución de la ecuación diferencial dada.

SoluciónDerivando y = x 2 + C tenemos

xdx

dy =



Ejercicios

Determine si cada ecuación es solución o no de la ecuación diferencial dada:

yxdx

dyxCxxy +=

+= 22 ;

025);5cos()5(2

2

=++= ydx

ydxBxAseny

( ) 084; 23

2 =+

−

−= y

dx

dyxy

dx

dyCxCy

( ) 2412 ''; yxxyyCxCy =++= −



Ejemplo:

Encuentre la ecuación diferencial cuya solución general es y = x 2 + C.

Solución

Sólo tenemos una constante de integración, entonces derivamos una sola vez la solución general y = x2 + C

Nos queda

Como en esta ecuación no aparecen constantes de integración, esta es la ecuación diferencial de la solución general presentada al inicio.

xdx

dy2=



Ejemplo

Encuentre la ecuación diferencial cuya solución general es y = C x2.

xx

y

dx

dy

=

222x

yC =

Por lo tanto:

es la ecuación diferencial de la solución general, puesto que ya no aparecen constantes de integración.

x

y

dx

dy 2=

Solución

Observemos que sólo aparece una constante de integración, de manera que derivamos una sola vez la solución general y = C x2.

Despejamos C de la solución general y se sustituye el valor encontrado en la ecuación diferencial.



Ejercicios

Encuentre la ecuación diferencial de las siguientes soluciones generales de

xx eCeCy −+= 21

)3tan( Cxy +=

( ) 22

221 CyCx =+−


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