estructuras de acero tomo 10

8/12/2019 Estructuras de Acero Tomo 10

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Placas láminas

Instituto Técnicode la Estructura

en Acero

I T E A

10



ÍNDICE DEL TOMO 10

PLACAS Y LÁMINAS

Lección 10.1: Introducción al Comportamiento y Diseño de placas . 1

1 INTRODUCCIÓN ............................................................................................. 4

2 COMPORTAMIENTO BÁSICO DE UN ELEMENTO PLACA ......................... 5

2.1 Condiciones geométricas y de contorno ........................................... 5

2.2 Carga en el plano .................................................................................. 5

2.3 Carga fuera del plano ........................................................................... 6

2.4 Determinación de la carga del elemento placa .................................. 6

2.5 Variaciones en el modo de pandeo ..................................................... 7

2.6 La analogía del enrrejado para el pandeo de placas ........................ 8

2.7 Comportamiento posterior al pandeo y anchuras eficaces ............. 9

2.8 Influencia de las imperfecciones en el comportamientode placas reales .................................................................................... 10

2.9 Comportamiento elástico de placas con carga lateral ...................... 11

3 COMPORTAMIENTO DE PLACAS RIGIDIZADAS ........................................ 14

4 RESUMEN FINAL ........................................................................................... 16

5 BIBLIOGRAFÍA ADICIONAL .......................................................................... 16

Lección 10.2: Comportamiento y Diseño de Placas no Rigidizadas .. 17

1 INTRODUCCIÓN ............................................................................................. 20

2 PLACAS NO RIGIDIZADAS BAJO CARGAS EN EL PLANO ...................... 21

2.1 Distribución de las cargas ................................................................... 21

2.1.1 Distribución derivada de la teoría de membrana ................... 21

I

ÍNDICE



2.1.2 Distribución derivado de la teoría lineal-elástica,empleando la hiótesis de Bernouilli ........................................ 21

2.1.3 Reparto derivado de los métodos de elementos finitos ....... 22

2.2 Estabilidad de placas no rigidizadas .................................................. 22

2.2.1 Teoría de pandeo lineal ............................................................ 22

2.2.2 Resistencia a la rotura de una placa no rigidizada ............... 26

3 PLACAS NO RIGIDIZADAS SOMETIDAS A CARGAS FUERADEL PLANO .................................................................................................... 34

3.1 Distribución de la carga ....................................................................... 34

3.1.1 Distribución derivado de la teoría de placas .......................... 34

3.1.2 Distribución derivada de los métodos de elementos finitos(“finite element methods” (FEM)) ............................................ 36

3.2 Flecha y resistencia a la rotura ........................................................... 36

3.2.1 Flechas ....................................................................................... 36

3.2.2 Resistencia a la rotura .............................................................. 37

4 INFLUENCIA DE LA CARGA FUERA DEL PLANO EN LA ESTABILIDADDE PLACAS NO RIGIDIZADAS ..................................................................... 38

5 RESUMEN FINAL ........................................................................................... 39

6 BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................... 39

Lección 10.3: Comportamiento y Diseño de Placas Rigidizadas ....... 43

1 INTRODUCCIÓN ............................................................................................. 44

2 PLACAS RIGIDIZADAS SOMETIDAS A CARGAS EN EL PLANO .............. 46

2.1 Distribución de la carga ....................................................................... 46

2.1.1 Distribución derivada de la teoría de membrana ................... 46

2.1.2 Reparto de la carga derivada de la teoría lineal-elásticaempleando la hipótesis de Bernouilli ..................................... 46

2.1.3 Reparto derivado de los métodos de elementos finitos ....... 46

2.2 Estabilidad de las placas rigidizadas .................................................. 47

2.2.1 Teoría de pandeo lineal ............................................................ 47

2.2.2 Resistencia a la rotura de placas rigidizadas ........................ 51

3 PLACAS RIGIDIZADAS SOMETIDAS A CARGAS FUERA DEL PLANO .... 56

3.1 Reparto de la carga ............................................................................... 56

3.1.1 Reparto derivado de la teoría de placas ................................. 56

II



3.1.2 Reparto derivado de un emparrillado con carga lateral,rellenado con elementos secundarios no rigidizados .......... 56

3.1.3 Reparto derivado de métodos de elementos finitos (FEM) ..... 56

3.2 Flechas y resistencia a la rotura ......................................................... 56

4 INFLUENCIA DE LA CARGA FUERA DEL PLANO EN LA ESTABILIDADDE LAS PLACAS RIGIDIZADAS .................................................................. 57

5 RESUMEN FINAL ........................................................................................... 58

6 BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................... 58

Lección 10.4.1: Comportamiento y Diseño de Vigas Armadas I ........ 59

1 INTRODUCCIÓN ............................................................................................. 62

1.1 Tipos ....................................................................................................... 62

1.2 Dimensiones .......................................................................................... 63

2 CONCEPTOS DEL DISEÑO ........................................................................... 67

3 INFLUENCIA DEL PANDEO EN EL DISEÑO ................................................ 67

3.1 Pandeo del alma por cizalladura ......................................................... 67

3.2 Pandeo de la viga por torsión lateral .................................................. 67

3.3 Pandeo local del ala comprimida ........................................................ 67

3.4 Pandeo del alma por flexión ................................................................ 67

3.5 Pandeo vertical del ala comprimida .................................................... 68

3.6 Pandeo local del alma ........................................................................... 68

4 RESISTENCIA DEL ALMA POSTERIOR AL PANDEO ................................. 69

5 PLANTEAMIENTOS DEL DISEÑO ................................................................ 70

6 RESUMEN FINAL ........................................................................................... 71

7 BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................... 718 BIBLIOGRAFÍA ADICIONAL .......................................................................... 71

Lección 10.4.2: Comportamiento y Diseño de Vigas Armadas II ....... 73

1 INTRODUCCIÓN ............................................................................................. 76

2 RESISTENCIA AL PANDEO POR CIZALLADURA ....................................... 77

2.1 Cálculo de la resistencia al pandeo por cizalladura medianteel método post-crítico simple .............................................................. 77

III

ÍNDICE



2.2 Cálculo de la resistencia al pandeo por cizalladura medianteel método de campo de tensión .......................................................... 79

3 INTERACCIÓN ENTRE CORTANTE Y FLEXIÓN .......................................... 83

3.1 Interacción entre cortante y flexión en el métodopost-crítico simple ................................................................................ 83

3.2 Interacción entre cortante y flexión en el método de campode tensión .............................................................................................. 84

4 RESUMEN FINAL ........................................................................................... 85

5 BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................... 85


Lección 10.4.3: Diseño de vigas Armadas-Particularidades ............... 87

1 INTRODUCCIÓN ............................................................................................. 90

2 RIGIDIZADORES DE ALMA TRANSVERSALES .......................................... 91

3 ELEMENTOS EXTREMOS Y DIAGONALES ................................................. 94

4 “INESTABILIDAD LOCAL” DEL ALMA ......................................................... 97

5 RIGIDIZADORES DE ALMA LONGITUDINALES .......................................... 996 VIGAS DE ALMA CON ABERTURAS ........................................................... 100

7 RESUMEN FINAL ........................................................................................... 101

8 BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................... 101


Lección 10.5.1: Diseño de Vigas Cajón ................................................. 103

1 INTRODUCCIÓN ............................................................................................. 106

2 CARACTERÍSTICAS PRINCIPALES DE LAS VIGAS CAJÓNCOMPARADAS CON LAS VIGAS ARMADAS .............................................. 108

3 ANÁLISIS GLOBAL ........................................................................................ 109

4 DISEÑO DE RIGIDIZADORES ....................................................................... 110

5 PANDEO DEL ALMA ...................................................................................... 111

6 TORSIÓN ......................................................................................................... 112

7 DIAFRAGMAS ................................................................................................. 113

IV



7.1 Función y descripción generales ........................................................ 113

7.2 Diafragmas intermedios ....................................................................... 113

7.3 Diafragmas de apoyo ............................................................................ 1138 DETALLES ..................................................................................................... 114

9 RESUMEN FINAL .......................................................................................... 116

10 BIBLIOGRAFÍA ADICIONAL ......................................................................... 116

Lección 10.5.2: Métodos Avanzados para Puentes de Vigas Cajón .. 117

1 INTRODUCCIÓN ............................................................................................ 120

2 MÉTODOS DE ANÁLISIS GLOBAL .............................................................. 121

3 EMPARRILLADO ........................................................................................... 122

3.1 Selección del emparrillado ................................................................... 122

3.2 Puentes esviados .................................................................................. 122

3.3 Efectos locales sobre los tableros ...................................................... 122

3.4 Rigidez de los elementos del emparrillado a la torsión y a la flexión . 123

3.5 Elementos longitudinales del emparrillado ........................................ 124

3.6 Interpretación del resultado de un análisis de emparrillado ............ 1244 ANÁLISIS DE PLACA ORTOTRÓPICA ........................................................ 125

5 ANÁLISIS DE PLACA PLEGADA ................................................................. 126

5.1 Análisis de placa plegada: viga de alma llena sobre cimientoselásticos.................................................................................................. 126

6 ANÁLISIS DE ELEMENTOS FINITOS .......................................................... 127

7 DISTORSIÓN DE LA SECCIÓN TRANSVERSAL ........................................ 128

7.1 Cálculo de las fuerzas en los diafragmas .......................................... 128

7.2 Diafragmas sobre pilas ......................................................................... 1298 DEFORMACIÓN POR CORTANTE ............................................................... 131

9 RESUMEN FINAL .......................................................................................... 132


Lección 10.6: Introducción a las Estructuras de Láminas .................. 133

1 INTRODUCCIÓN ............................................................................................. 136

2 POSIBLES MODOS DE COMPORTAMIENTO .............................................. 139

V

ÍNDICE



3 IMPORTANCIA DE LAS IMPERFECCIONES ................................................ 141

4 RESUMEN FINAL ........................................................................................... 144

5 BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................... 144

Lección 10.7: Análisis Básico de Estructuras de Láminas ................. 145

1 INTRODUCCIÓN ............................................................................................ 148

2 FLEXIÓN Y ESTIRAMIENTO DE LÁMINAS DELGADAS ............................ 149

3 PANDEO DE LÁMINAS-TEORÍA DE PANDEO LINEAL Y NO LINEAL ...... 151

4 COMPORTAMIENTO DE LÁMINAS DELGADAS POSTERIORAL PANDEO ................................................................................................... 153

5 ANÁLISIS NUMÉRICO DEL PANDEO DE LÁMINAS .................................. 155

6 COMPORTAMIENTO DE PANDEO Y POSTERIOR AL PANDEODE BARRAS, PLACAS Y LÁMINAS ............................................................. 157

7 SENSIBILIDAD A LAS IMPERFECCIONES ................................................. 161

8 RESUMEN FINAL .......................................................................................... 164

9 BIBLIOGRAFÍA .............................................................................................. 164


Lección 10.8: Diseño de Ciindros No Rigidizados ............................... 165

1 INTRODUCCIÓN ............................................................................................. 168

2 CILINDROS NO RIGIDIZADOS SOMETIDOS A COMPRESIÓN AXIAL ...... 169

3 CILINDROS NO RIGIDIZADOS SOMETIDOS A PRESIÓN EXTERNA ........ 175

4 CILINDROS NO RIGIDIZADOS SOMETIDOS A COMPRESIÓN AXIALY PRESIÓN EXTERNA ................................................................................... 178

5 RESUMEN FINAL ........................................................................................... 179

6 BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................... 179

Lección 10.9: Diseño de Láminas Cilíndricas Rigidizadas ................. 181

1 INTRODUCCIÓN ............................................................................................. 184

2 PANDEO DE LÁMINAS RIGIDIZADAS .......................................................... 185

VI



3 LÁMINAS CILÍNDRICAS CON RIGIDIZADORES LONGITUDINALESY SOMETIDAS A COMPRESIÓN MERIDIONAL .......................................... 187

4 LIMITACIÓN DE LAS IMPERFECCIONES ................................................... 188

5 CONDICIONES DE RESISTENCIA ............................................................... 189

6 PANDEO DE PANEL LOCAL ........................................................................ 190

7 PANDEO DE ELEMENTO RIGIDIZADO ....................................................... 191

8 PANDEO LOCAL DE LOS LARGUEROS ..................................................... 194

9 RESUMEN FINAL .......................................................................................... 195

10 BIBLIOGRAFÍA .............................................................................................. 195

VII

ÍNDICE



ESDEP TOMO 10PLACAS Y LÁMINAS

Lección 10.1: Introducción al Comportamientoy Diseño de placas

1



3

OBJETIVOS/CONTENIDO

OBJETIVOS/CONTENIDO

Servir de introducción a la serie de leccio-

nes sobre placas, mostrando sus diferentes usospara el soporte de cargas en el plano y fuera delplano y los principales modos de comportamien-to, como placas simples y como montajes de pla-cas rigidizadas.

CONOCIMIENTOS PREVIOS

Ninguno.

LECCIONES AFINES

Lección 10.2: Comportamiento de Placasno Rigidizadas

Lección 10.3: Comportamiento de PlacasRigidizadas

RESUMEN

Esta lección sirve de introducción alempleo de placas y de montajes de placas enestructuras de acero. Se describe el comporta-miento básico de elementos placa sometidos auna carga en el plano y fuera del plano, subra-yando la importancia de la geometría y de lascondiciones de contorno. Se presentan losmodos básicos de pandeo y la interacción de las

mismas. Se presenta el concepto de anchuraeficaz y se describe la influencia de los defectosen el comportamiento práctico de las placas.También se hace una introducción al comporta-miento de las placas rigidizadas.



2. COMPORTAMIENTO BÁSICODE UN ELEMENTO PLACA

La comprensión de una estructura de pla-cas ha de comenzar con la compresión de losmodos de comportamiento de un elementoplaca.

2.1 Condiciones geométricas yde contorno

Los parámetros geométricos importantesson el espesor t, la anchura b (medida por lo

general transversalmente a la dirección de lamayor tensión directa) y la longitud a, ver figura1a. La relación b/t, denominada a menudo esbel-tez, influye en el pandeo local del elementoplaca; la relación a/b también puede influir en losmodelos de pandeo y tener unefecto significativo sobre la resis-tencia.

Además de por las dimen-siones geométricas, la resistenciade la placa se rige por las condi-ciones de contorno. La figura 1muestra cómo la respuesta a dis-tintos tipos de carga está influen-ciada por diferentes condicionesde contorno. La respuesta a unacarga en el plano que no causapandeo de la placa se ve influen-ciada únicamente por condicio-nes de contorno en el plano, detensión planal, figura 1b. En prin-cipio, la respuesta a una carga

fuera del plano solo está influen-ciada por las condiciones de con-torno para movimiento transversaly momentos de borde, figura 1c.Sin embargo, con cargas mayoreslas respuestas a ambas condicio-nes de carga están influenciadaspor las cuatro condiciones decontorno. Las condiciones fueradel plano influyen en el pandeolocal de la figura 1d; las condicio-

nes en el plano influyen en elefecto membrana que desarrolla

grandes desplazamientos (> t) bajo cargas late-rales, figura 1e.

2.2 Carga en el plano

Como se muestra en la figura 2a, lostipos básicos de carga en el plano aplicada enel borde de un elemento placa son la cargarepartida, que puede aplicarse a todo un lado, yla carga por zonas, que puede aplicarse local-mente.

Cuando una placa se pandea es especial-

mente importante distinguir entre los desplaza-mientos aplicados, figura 2b, y las tensiones apli-cadas, figura 2c. Los primeros permiten unaredistribución de la tensión por elemento; la zonacentral, más flexible, deja escapar las tensiones

5

COMPORTAMIENTO BÁSICO…

Figura 1 Condiciones de borde significativas para paneles de chapa



hacia los bordes proporcionando una valiosaresistencia posterior al pandeo. Las segundas,más raras, conducen a un colapso más tempra-no de la zona central de la placa, con una defor-mación en el plano por parte de los bordes

sometidos a carga.

2.3 Carga fuera del plano

La carga fuera del plano puede ser:

• Uniforme por todo el elemento, figura3a, por ejemplo la base de un depósitode agua.

• Variable por todo el elemento, figura 3b,

por ejemplo un lado de un depósito deagua.

• Una zona localizada en parte del ele-mento, figura 3c, por ejemplo la carga deuna rueda sobre un tablero de puente.

2.4 Determinación de la cargadel elemento placaEn algunos casos, como en el de la figura

4a, el reparto de las cargas de borde en los ele-mentos de una estructura de placas es obvia. Enotros, las flexibilidades en el plano de los ele-mentos dan lugar a unos repartos de las tensio-nes que no pueden predecirse desde la simpleteoría. En la viga cajón de la figura 4b, la flexibi-

lidad a cizalladura en el plano de las cabezasconduce a una deformación en el plano de cara

6

Figura 3 Tipos de acciones fuera de plano

Figura 2 Tipos de acción en el plano



superior. Cuando éstas se interrumpen, porejemplo al cambiar de dirección el esfuerzocortante en el diafragma central, el cambio

resultante en la deformación a cizalladura dalugar a un reparto no lineal de la tensión direc-ta en la cara superior; esto se denomina“deformación por cizalladura” (“shear lag”).

En cuerpos constituidos por elementosplaca, como la viga cajón de la figura 5,muchos de los componentes de la placa estánsometidos a más de un componente de efectoactivo en el plano. Solo el elemento A carecede cizalladura coincidente con la compresión

longitudinal.Si el sistema de viguetas EFG fuera un

medio de introducir acciones adicionales en lacaja, habría también tensiones directas trans-versales derivadas de la interacción entre laplaca y los rigidizadores.

2.5 Variaciones en el modode pandeo

i. Relación de dimensiones a/b

En un elemento placa largo, como elque muestra la figura 6, la mayorinhibición inicial al pandeo es la rigi-dez transversal a la flexión de laplaca, entre bordes no cargados. (Almoverse la placa más hacia el régimenposterior al pandeo, los efectos mem-brana transversales se hacen impor-tantes al deformarse la placa en una

forma no desarrollable).

Como ocurre con cualquier inestabili-dad de un medio continuo, es posiblemás de un modo de pandeo, en estecaso con una semionda transversal-mente y semiondas longitudinalmente.Conforme aumenta la relación dedimensiones el modo crítico cambia,tendiendo a una situación en la que lalongitud de la semionda a/m = b. El

comportamiento de un elemento placalargo puede por tanto diseñarse de

forma precisa tomando un elementocuadrado, de apoyo simple.

ii. Condiciones de flexión

Como muestra la figura 7, las condi-ciones de contorno influyen en las for-mas de pandeo y en las tensiones crí-ticas de las placas elásticas. La mayorinfluencia la ejerce la presencia oausencia de apoyos simples, por ejem-plo la retirada del apoyo simple a unborde entre la casilla 1 y la 4 reduce latensión de pandeo en un factor de4,0/0,425 o 9,4. Por el contrario, la

introducción de embridado rotacionalen un borde entre la casilla 1 y la 2

7


Figura 4 Efecto de desfase de cortante en la distribuciónde la tensión en perfiles de chapas



aumenta la tensión de pandeo en1,35.

iii. Interacción de modos

Cuando haya más de un compo-nente de efecto activo habrá más deun modo, y por ello puede haberinteracción entre los modos. Así, en

la figura 8b(i) la presencia de unacompresión transversal pequeña nomodifica el modo de pandeo. Sinembargo, como se muestra en lafigura 8b(ii), una compresión trans-versal elevada hará que el panel sedeforme en una sola semionda. (Enalgunas circunstancias este forza-miento a un modo más alto puedeaumentar la resistencia; por ejem-plo, en el caso 8b(ii) la compresión

transversal/de deformación previapuede aumentar la resistencia a la

compresión longitudinal). El pandeocizalladura, según se muestra en lafigura 8c, es básicamente la interac-

ción entre la compresión diagonaldesestabilizadora y la tensión estabili-zadora de la otra diagonal.

Cuando existen modos de pandeosimilares sometidos a efectos activosdistintos, las tensiones de pandeo bajolas acciones combinadas son menosque las que hay bajo acciones indivi-duales. La figura 9 muestra las interac-ciones de pandeo bajo compresión

combinada, y bajo compresión uniaxialy esfuerzo cortante.

2.6 La analogía del enrejadopara el pandeo de placas

Una forma útil de plantearse el com-portamiento de pandeo de una placa es en

8

Figura 5 Ejemplos de los componentes de la acción en placasde viga cajón

Figura 6 Variaciones en el modo de pandeo respecto a la rela-

ción largo/ancho para una placa con compresión lon-gitudinal



la forma del enrejado de la figura 10. Unaserie de pilares longitudinales soportan lasacciones longitudinales. Cuando se pande-an, las más próximas al borde poseen unmayor embridado que las cercanas al centrodesde los miembros de flexión transversa-les. Poseen por ello una mayor rigidez pos-terior al pandeo y soportan una mayor pro-porción de la carga. Conforme el enrejadose mueve más hacia el régimen posterior al

pandeo, la acción de membrana transversalincrementa el embridado de pandeo trans-versal.

2.7 Comportamiento posterioral pandeo y anchuras efica-cesLas figuras 11 a, b y c describen con

más detalle la variación del reparto de las ten-

siones conforme la placa se pandea siguiendola trayectoria de equilibrio que muestra la figu-

ra 11d. Cuando la placa comienza a pandearselas tensiones se redistribuyen hacia los bordesrigidizados. Según prosigue el pandeo esta

redistribución se hace más extrema (la franjacentral de placas esbeltas puede traccionarseantes de que la placa falle). También se formantensiones de membrana transversales. Estas seautoequilibran salvo que la placa tenga bordesen el plano empotrados; a la tracción en la zonacentral, que restringe el pandeo, se opone lacompresión en los bordes, que quedan empotra-dos a consecuencia del movimiento fuera delplano.

El examen de las tensiones longitudinalesno lineales de las figuras 1a y c demuestra quees posible reemplazar estas tensiones por blo-ques de tensión rectangulares que poseen lamisma tensión máxima y el mismo efecto deacción. Esta anchura eficaz de la placa (inclu-

9


σ πυ

Figura 7 Coeficiente de pandeo de placa en compre-

sión para varias condiciones de borde

Figura 8 Modos de pandeo de placas



yendo beff

/2 en cada lado) resulta serun concepto de diseño muy útil. La figu-ra 11e muestra cómo la anchura eficazvaría con la esbeltez (λp es una medidade la esbeltez de la placa, independien-te de la tensión de fluencia; λp = 1,0corresponde a valores de b/t de 57, 53y 46 para fy de 235, 275 y 355 respec-tivamente).

En la figura 12 se muestra cómose pueden combinar las anchuras efi-

caces de los elementos de una placapara proporcionar la sección transver-sal eficaz de un miembro.

2.8 Influenciade las imperfeccionesen el comportamientode placas reales

Como todas las estructuras deacero, los elementos placa contienen

tensiones residuales procedentes de la fabri-cación y posterior soldadura en montajes deplaca, y no son perfectamente planos. Lo que

se ha expuesto anteriormente sobre el com-portamiento de los elementos placa se refierea una placa ideal, perfecta. La figura 13 mues-tra cómo las imperfecciones modifican el com-portamiento de las placas prácticas. El com-portamiento de una placa esbelta esasintótico respecto al de la placa ideal, y laresistencia disminuye poco. Cuando se tratade placas de esbeltez intermedia (lo que seda con frecuencia en la práctica), la placaimperfecta presentará una resistencia consi-

derablemente menor a la prevista para laplaca perfecta.

La figura 14 representa un resumen dela resistencia de placas reales de distintaesbeltez. Muestra la disminución de la resis-tencia debido a las imperfecciones, así comola resistencia posterior al pandeo de placasesbeltas.

10

σ

σ σ

σ

ττ

ττ

σ

σ

σ σ

σ σ

σ

Figura 9 Diagramas de interación de modos de pandeode placas panel

∫ σ

Figura 10 Modelo emparrillado de placa en compresión



2.9 Comportamiento elásticode placas con carga lateral

El comportamiento elástico de placas concarga lateral está influenciado de forma conside-rable por las condiciones de apoyo. Si la placa

descansa sobre soportes simples, figura 15b, seflectará en una forma parecida a un platillo y laszonas de las esquinas se levantarán de sus apo-yos. Si está unida a los soportes, figura 15c, porejemplo mediante soldadura, se evita ese levan-tamiento y aumenta la rigidez y capacidad de laplaca. Si los bordes están empotrados, figura15d, los momentos de contorno aumentan tantola rigidez como la resistencia.

Las placas esbeltas puede muy bien flec-

tarse elásticamente en un amplio régimen dedesplazamiento (típicamente d > t). En esos

casos la respuesta de flexión mejora demanera significativa merced a la acción demembrana de la placa. Esta acción de mem-

brana alcanza su máxima eficacia si los bor-des están completamente empotrados.Incluso si solo se mantienen parcialmentederechos por su propia rigidez en el plano, escon grandes flechas cuando más se aprecia elaumento de la rigidez y la resistencia.

La figura 15 compara el comportamien-to de una placa semejante con diferentes con-diciones de contorno.

En la figura 16 se representan losmodos de comportamiento que tienen lugar silas placas están sometidas a la suficientecarga como para que se desarrollen marcaslineales de fluencia total. El mayor número delíneas de fluencia conforme mejoran las con-diciones de contorno constituye una medidacualitativa del aumento de resistencia.

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Rígido

Rígido

Rígido

Rígido

Rígido

Rígido

δ

λλ

λ σσ

Figura 11 Comportamiento a pandeo de placa cuadradaen compresión con extremos simplemente apoyados,libre para tirar de los extremos rigidizados

Figura 12 Aplicación de anchos efectivos de placas paradeterminar la sección transversal efectiva



12

σσ

σ

σ

Figura 13 Influencia de las imperfeccionesen el comportamiento de placasen compresión de diferente esbeltez σ

σ

λ

λλ

λ

Figura 14 Relación entre esbeltez de chapa y esfuerzo en compresión



13


δ

δ

Figura 15 Comportamiento elástico de placa cuadrada

para cargas laterales con diferentescondiciones de borde

Figura 16 Líneas típicas de fluencia en placas cuadradas bajocargas laterales con varias condiciones de borde



3. COMPORTAMIENTODE PLACAS RIGIDI-ZADAS

Muchos aspectos del com-portamiento de placas rigidizadasse puede deducir sencillamente delos conceptos básicos del compor-tamiento de las placas no rigidiza-das. Sin embargo, al hacer estasextrapolaciones se ha de tener encuenta lo siguiente:

• “Extender” los rigidizado-

res por toda la anchura dela placa solo puede confi-gurar el comportamientoglobal de la misma.

• Los rigidizadores suelenser excéntricos respectode la placa. El comporta-miento de flexión de lasección equivalente en Tinduce tensiones localesdirectas en los elementosplaca.

• Los efectos locales sobreelementos placa y rigidi-zadores individuales hande ser estudiados separa-damente.

• La naturaleza discontinua de la rigidiza-ción introduce la posibilidad de que apa-rezcan modos locales de pandeo. Por

ejemplo, la cabeza rigidizada de la figu-ra 17a muestra varios modos de pan-deo. Los ejemplos son:

(i) pandeo del elemento placa someti-do a una compresión global, máscualquier compresión local derivadade la acción combinada del elemen-to placa con la rigidización a élunida, figura 17b;

(ii) pandeo del elemento rigidizadoentre rigidizadores transversales,

figura 17c. Esto ocurre si los últimosposeen la suficiente rigidez comopara impedir un pandeo global. Laacción de la placa no es muy signi-

ficativa, pues el único miembrotransversal es la propia placa. Lamejor manera de configurar estaforma de pandeo es considerar elelemento rigidizado como una seriede secciones en T que se pandeancomo pilares. Debe tenerse encuenta que esta sección es monosi-métrica y presentará un comporta-miento distinto si el extremo de laplaca o del rigidizador está someti-

do a una gran compresión;

14

Figura 17 Modos de pandeo en placas rigidizadas sometidas a compresión



(iii) pandeo global u ortotrópico, figura17d. Esto ocurre cuando las vigue-tas son flexibles. La mejor manera

de configurar esta forma de pandeoes considerar el montaje de placascomo una placa ortotrópica.

15

COMPORTAMIENTO DE PLACAS RIGIDIZADAS



4. RESUMEN FINAL

1. Las placas y elementos placa tienen un

uso amplio en estructuras de acero, pararesistir las acciones en el plano y fuera delplano.

2. Los elementos placa sometidos a compre-sión en el plano y/o esfuerzo cortanteestán sujetos al pandeo.

3. La tensión de pandeo elástica de unaplaca perfecta está influida por lo siguien-te:

• esbeltez de la placa (b/t)

• relación de dimensiones (a/b)

• condiciones de contorno

• interacción entre acciones, es decir,compresión biaxial, y compresión yesfuerzo cortante.

4. La anchura eficaz resulta un medio útil dedefinir el comportamiento posterior al pan-deo de un elemento placa bajo compresión.

5. El comportamiento de las placas realesestá influenciado por las tensiones resi-duales y las imperfecciones geométricas.

6. La respuesta de un elemento placa a lacarga fuera del plano está influenciado porlas condiciones de su contorno.

7. El montaje de elementos placa en una estruc-tura de placas rigidizada puede presentar

modos de inestabilidad locales y globales.

5. BIBLIOGRAFÍA ADICIONAL

1. Timoshenko, S. and Weinowsky-Kreiger, S.,“Theory of Plates and Shells” Mc Graw-Hill, NewYork, International Student Edition, 2nd Ed.

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Lección 10.2: Comportamiento y Diseño de Placasno Rigidizadas

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19

OBJETIVOS/CONTENIDO

OBJETIVOS/CONTENIDO

Tratar el reparto de las cargas, la estabilidad

y la resistencia a la rotura de placas no rigidizadassometidas a carga en el plano y fuera del plano.


Lección 10.1: Introducción al Comporta-miento y Diseño de Placas

LECCIONES AFINES

Lección 10.3: Placas Rigidizadas

Lección 10.4: Comportamiento y Diseño deVigas Armadas

Lección 10.6: Introducción a las Estructurasde Láminas

RESUMEN

Se expone el reparto de las cargas enestructuras de placas rigidizadas sometidas auna carga en el plano. Las cargas críticas depandeo se deducen mediante la teoría lineal-elástica. Se explica el método de la anchura efi-caz para determinar la resistencia a la rotura dela placa, al igual que las exigencias sobre la ade-cuada realización del modelo de un elemento de

placa finito. También se estudia la carga fueradel plano y se expone su influencia en la estabi-lidad de la placa.



2. PLACAS NO RIGIDIZADASBAJO CARGASEN EL PLANO

2.1 Distribución de las cargas

2.1.1 Distribución derivadade la teoría de membrana

La distribución de tensiones en las placasque responden a una carga en el plano con ten-siones de membrana puede determinarse, en el

campo elástico, resolviendo el problema elasto-estático de la tensión plana gobernado por lasecuaciones de Navier, ver figura 2.

donde:

u = u(x, y), v = v(x, y): son los componentes de

desplazamiento en las direcciones x e y

υeff = 1/(1 + υ) es el coeficiente eficaz dePoisson

G: es el módulo de elasticidad transversal

X = X(x, y), Y = Y(x, y): son los componentes delas fuerzas de masa.

Las funciones u y v deben cumplir las

condiciones de contorno (apoyo) establecidas enel contorno de la placa. Por ejemplo, para unborde paralelo al eje y, u = v = 0 si está fijo, o σx= τxy = 0 si puede moverse libremente en elplano de la placa.

El problema puede plantearse tambiénempleando la función de tensiones de Airy, F =F(x, y), mediante la siguiente ecuación biarmóni-ca:

∇4F = 0

Esta formulación resulta conveniente silas condiciones de contorno de tensión estánestablecidas. Los componentes de tensión serelacionan con la función de tensiones de Airymediante:

2.1.2 Distribución derivadode la teoría lineal-elástica,empleando la hipótesisde Bernouilli

En estructuras de placas esbeltas, dondelas placas se someten a tensión como membra-nas, no es necesario aplicar la función de tensio-nes de Airy gracias a la hipótesis de repartos de

deformación plana, que puede utilizarse tanto enel régimen elástico como en el plástico, figura 3.

τ ∂

∂ ∂xyt

F

x y= 1 2

σ ∂

∂y

t

F

x= 1 2

2 ;σ

∂∂

xt

F

y= 1 2

2 ;

∇ +−

+

+ =2 1

1 2

10v

y

u

x

v

y GY

effυ∂

∂∂∂

∂∂

∇ +−

+

+ =2 1

1 2

10u

x

u

x

v

y GX

effυ∂

∂∂∂

∂∂

21

PLACAS NO RIGIDIZADAS BAJO CARGAS…

Figura 2 Ejemplo de distribución de accionesen el plano



Sin embargo, en el caso de estructuras deplacas de cabezas anchas, la aplicación de lafunción de tensiones de Airy conlleva desviacio-

nes significativas de la hipótesis de deformaciónplana, figura 4, a causa del efecto de deforma-ción por esfuerzo cortante. La deformación por

cizalladura puede tenerse en cuenta tomandouna anchura de cabeza reducida.

2.1.3 Reparto derivadode los métodos de elementosfinitos

Al emplear métodos de elementos finitospara determinar la distribución de tensiones,

puede hacerse el modelo de la placa como unadisposición perfectamente plana de elementosplaca secundarios. Debe prestarse atención a laaplicación de la carga en los bordes de la placa,de modo que se tendrán en cuenta los efectos dela deformación de esfuerzo cortante. Los resul-tados de este análisis pueden utilizarse para laverificación del pandeo.

2.2 Estabilidad de placas

no rigidizadas

2.2.1 Teoría de pandeo lineal

Bryan fue el primero en investigar, en1891, el pandeo de elementos placa, en relación

con el diseño del casco de un barco [1].Las hipótesis para la placa en estudio (figu-ra 5a) son los de la teoría de placas delga-das (teoría de Kirchhoff, ver [2-5]):

a) El material es elástico, homogé-neo e isotrópico.

b) La placa es perfectamente planay está libre de tensiones.

c) El espesor “t” de la placa espequeño comparado con lasdemás dimensiones.

d) La carga en el plano atraviesa suplano central.

e) Los desplazamientos transversa-

les w son pequeños comparadoscon el espesor de la placa.

22

Figura 4 Ancho efectivo debido al desfase de cortante

Figura 3 Distribución de tensiones en el plano



f) Las inclinaciones de las superficiescentrales flectadas son pequeñas com-paradas con la unidad.

g) Las deformaciones son de tal maneraque las líneas rectas, inicialmente per-pendiculares al plano central, siguensiendo líneas rectas y perpendicularesa la superficie central flectada.

h) Las tensiones perpendiculares alespesor de la placa son de un ordende magnitud despreciable.

Debido al supuesto (e), las rotaciones de lasuperficie central son pequeñas y sus cuadradosdespreciables en las relaciones de desplazamientode deformación correspondientes al estiramiento dela superficie central, que se simplifican como sigue:

(1)

Una consecuencia importante de estesupuesto es que no se produce estiramientoalguno de la superficie central debido a la flexión,

y que las ecuaciones diferenciales que rigen ladeformación de la placa son lineales e indepen-dientes. Así, la ecuación de una placa sometidaa flexión y estiramiento simultáneos es:

(2)

donde D = Et3 /12(1 - ν2) es la rigidez a la flexiónde la placa de espesor t, módulo de elasticidad Ey coeficiente de Poisson ν; q = q(x,y) es la cargatransversal; y k es un parámetro. Los componen-tes de tensión σx, σy, τxy son en general funcio-nes del punto x, y del plano central, y se deter-minan resolviendo independientemente elproblema elasto-plástico de tensión plana que,en ausencia de fuerzas interiores en el plano, serige por las ecuaciones de equilibrio:

(3)

complementadas por la ecuación de compatibili-dad:

∇2 (σx + σy) = 0 (4)

Las ecuaciones (3) y (4) se reducen, yasea a la ecuación biarmónica por medio de la

función de tensión de Airy:

∇4 F = 0 (5)

definida como:

o a las ecuaciones de equilibrio de Navier, si se

emplean las relaciones de desplazamiento detensiones:

τ δ

δ δxyx y

F=2

σ δ

δ σ

δδ

xy

yx

F F= = =

2

2

2

2 0, ,

δτ

δ

δσ

δxy

x

y

y

+ = 0δσδ

δτ

δx

x

xy

y

+ = 0,

+ +22 2

2τ

δδ δ

δδ

xyx y y

w w)

D w q kt wx

x

∇ = − +42

2(σ

δδ

γ

δ

δ

δ

δxy

u

y

v

x= +ε

δ

δ ε

δ

δx

u

y

v

yx= =, ,

23


σ

σ

σ

σ

Figura 5 Notación de pandeo lineal



Combinación de tensiones σx, σy y τ

En situaciones prácticas de diseño sehacen necesarias algunas otras aproximaciones.Estas se ilustran por medio del ejemplo de unaviga armada representado en la figura 7.

Las tensiones perpendicular y de esfuer-zo cortante, σx y τ respectivamente, en los bor-des opuestos de un elemento secundario no son

iguales, dado que los momentos de flexión M ylas fuerzas de cizallamiento V varían a lo largo

del elemento. Sin embargo, M y V se considerancomo constantes para cada elemento secunda-rio e iguales al valor mayor en un borde (o igua-les al valor a una cierta distancia de él). Estesupuesto conservador da lugar a tensiones igua-les en los bordes opuestos a los que se aplican

los diagramas de kσ y kτ. La verificación suelellevarse a cabo en relación con dos elementossecundarios: uno con el valor mayor de σx y otrocon el valor mayor de τ. En la mayoría de loscasos, como en la figura 7, cada elementosecundario se ve sometido a una combinaciónde tensiones perpendiculares y de esfuerzo cor-tante. Es posible determinar directamente el coe-ficiente de pandeo correspondiente a una combi-nación concreta de tensiones, pero esto exige unesfuerzo numérico considerable. Para situacio-

nes prácticas se halla una tensión de pandeoequivalente σ creq mediante una fórmula de inte-

25


σ

α

Figura 6 a-b Coeficientes de pandeo kσen modos de compresióny pandeo

τ

α

θ σ

σ

θθθθθθθθθ

α

Figura 6 c-d Coeficiente de pandeo kτ para cortante



lineal-elástico del acero da como resultado lareducción de la resistencia a la rotura en ele-mentos robustos.

Tampoco se cumplen nunca en estructu-ras reales los supuestos segundo y cuarto: unaplaca sin imperfecciones geométricas ni tensio-nes residuales, sometida a una carga simétricaen su plano central. Aun manteniendo el supues-to de pequeños desplazamientos, el estudio deuna placa con imperfecciones exige un análisisde segundo orden. Este análisis no posee nin-gún punto de bifurcación, ya que se puedendeterminar los desplazamientos w correspon-dientes a cada nivel de tensión. La trayectoria de

equilibrio (figura 10a) presenta una tendenciaasintótica respecto del valor de σcr con despla-

zamientos crecientes, como secomprueba de acuerdo con la teo-ría de segundo orden.

Sin embargo, el límite derotura generalmente es menor queσcr, pues la tensión combinadaresultante de la tensión de pandeoy de la de membrana está limitadapor la tensión de fluencia. Esta limi-tación adquiere importancia paralas placas con imperfecciones geo-métricas, en la gama de esbeltezmoderada, dado que el valor de la

tensión de pandeo no resultapequeño (figura 10b). En placascon tensiones residuales la reduc-ción del límite de rotura se debesobre todo al bajo valor de σp (figu-ra 9b) al que el comportamiento delmaterial se hace no lineal. En con-clusión, puede afirmarse que lasimperfecciones debidas a la geo-metría, las tensiones residuales ylas excentricidades de la carga oca-sionan una reducción del límite derotura, especialmente en la gamade esbeltez moderada.

El supuesto de los desplaza-mientos reducidos (e) no es válidopara tensiones próximas a σcr,como muestra la figura 10a.

Cuando se plantean desplazamientos grandes,la ecuación (1) debe extenderse a los términoscuadráticos de los desplazamientos. Las ecua-ciones correspondientes, expresadas por razo-

nes de simplicidad para una placa sin imperfec-ciones iniciales, son:

(12)

El resultado es un emparejamiento entre

las ecuaciones que rigen el estiramiento y la fle-xión de la placa (ecuaciones (1) y (2)).

τ δ

δδδ

δδxy

u

y

w

y

v

x+ +

u

xw

xy

v

y

w

y

+

= +

1

2

1

2

2 2δδ

ε δ

δδδ

, ,

27


σσ

ττ

σ

σ

σ

σ

τ

τ

τ

ψ

σ

σψ

σσ

σψ

ψ

Figura 8 Placa bajo tensión combinada de cortante y directa en el plano



(13a)

(13b)

donde F es una función de tensión de tipo Airy.Las ecuaciones (13) se conocen como ecuacio-nes de von Karman, y constituyen la base de lateoría de pandeo (geométricamente) no lineal.En una placa sin imperfecciones la trayectoria deequilibrio sigue teniendo un punto de bifurcaciónen σcr, pero, a diferencia de la teoría de pandeolineal, el equilibrio para tensiones σ > σcr conti-núa siendo estable (figura 11). La trayectoria deequilibrio para placas con imperfecciones pre-

senta una tendencia asintótica respecto de lamisma curva. El límite de rotura puede determi-

narse limitando las tensiones a la tensión defluencia. Puede apreciarse que las placasposeen una resistencia portante post-crítica

considerable. Este comportamiento post-críti-co es más pronunciado cuanto más esbelta esla placa, es decir, cuanto menor es el valor deσcr.

Curva de pandeo

Por las razones esbozadas anterior-mente, resulta evidente que la curva de pan-deo de Euler para la teoría de pandeo lineal(figura 6c), no puede ser utilizada para el dise-

ño. Se han realizado muchas investigacionesexperimentales y teóricas con el fin de definirla curva de pandeo que mejor represente elauténtico comportamiento de los elementosplaca. En Dubas y Gehri [7] se encontrará labibliografía pertinente. Por lo que respecta aldiseño, resulta ventajoso expresar la curva de

+ + −

2

2

2

2

2

2

2

2

2 2

2t

D

F w F w F w

y x x y x y x y

δδ

δδ

δδ

δδ

δδ δ

δδ δ

∇ = +4w q

D

∇ = −

−

4 2 2

2

2

2

2φ δδ δ

δδ

δδ

E w w w

x y x y

28

σ

σ

ε

ε

ε

∞

σ

σ

σ

σσ

σ

σσ

σ

Figura 9 Diagrama σ-ε para el acero y sus correspondientescurvas de pandeo

σ

σ

σ

σ

Figura 10 Curvas acción-deformación de una placa

con imperfecciones y curva de pandeosegún teoría lineal con plasticidad



pandeo de una forma adimensional, como sedescribe a continuación.

La esbeltez de un elemento puede expre-sarse, conforme a (7) y (8), como:

(14)

Si se introduce una esbeltez de referenciadada por:

(15)

la esbeltez relativa es entonces:

(16)

El límite de rotura se expresa también de

una forma adimensional introduciendo un factorde reducción:

k = σu / σy (17)

La figura 12 ilustra las curvas adimen-

sionales correspondientes a las tensionesperpendiculares y de esfuerzo cortante,según propone el Eurocódigo 3[8].

Estas curvas de pandeo presentanvalores correspondientes a esbelteces gran-des, mayores que los de la curva de Euler,debido al comportamiento post-crítico, y selimitan a la tensión de fluencia. Sin embargo,para esbelteces intermedias los valores sonmenores que los de Euler, como consecuen-

cia de las imperfecciones geométricas y lastensiones residuales.

λ λ

λ

σ

σpp

y

y

cr

= +

λ πσy

y

E=

λ µ

µσσ

pcr

b

t k

E=

−=

12 1 2( )

29


σσ

Figura 11 Curvas acción-deformación de placas conimperfecciones según la teoría de pandeo no lineal

κ σ σ

κ τ τ

λ σσ

λ ττ

Figura 12 Curvas de pandeo para (a) tensión normaly (b) tensión cortante



caz, según muestran los ejemplos dela figura 13b. Las verificaciones sebasan, finalmente, en los Ae, Ie, y We

característicos de la sección transver-sal eficaz. Para la sección transversalde la figura 14b, sometida a fuerzasperpendiculares y momentos de fle-xión, la verificación se expresa como:

donde e es la desviación en el centro

de gravedad de la sección transversalcon respecto al lado de tracción, y γ mel factor de seguridad parcial de la

resistencia.

El método de la anchura eficaz no se haextendido a elementos sometidos a combinacionesde tensiones. Por otro lado, las fórmulas de interac-ción presentadas en la sección 2.2 no describen deforma precisa la resistencia portante de la placa,pues están basadas en la teoría de pandeo lineal ypor tanto en un comportamiento elástico del mate-rial. Se ha comprobado que estas normas no pue-den extenderse a los casos de comportamientoplástico. En la figura 15 se representan algunas cur-vas de interacción, en el estado de límite de rotura,estando todas las tensiones referidas a los límitesde rotura correspondientes al caso en el que cadauna de ellas actúa individualmente. En algunoscódigos europeos recientes se han incluido fórmu-las de interacción importantes, ver también [9,10].

Métodos de elementos finitos

Cuando se emplean métodos de elementosfinitos para determinar la resistencia a la rotura deuna placa no rigidizada se deben tener en cuentalos siguientes aspectos:

• El modelo del elemento placa debeincluir las condiciones de contorno de laforma más precisa posible con respecto

a las condiciones de la estructura real,ver figura 16. Para una solución conser-

σ σ γ = + +

≤N

A

M N

Iy

e

ey m /

31


Figura 14 Determinación de la sección transversal efectiva

σ

σ

τ

σ

Figura 15 Diagramas de interacción de tensión límitede acuerdo a las referencias [9] y [10]



vadora se pueden aplicararticulaciones en los bor-des.

• Deben utilizarse elementosde lámina delgada en unamalla adecuada, para hacerposibles la fluencia y curva-turas grandes (grandesdesplazamientos fuera delplano).

• Debe suponerse que laplaca presenta una imper-fección inicial con unaforma similar al modo decolapso final.

El modo de pandeo de primerorden de Euler puede utilizarsecomo primera aproximación a esaforma. Además, puede añadirse adicho modo una perturbación con el

fin de evitar problemas de roturarepentina (“snap-throuh”) mientras

corre el programa, ver figura 17. La amplitud dela forma imperfecta inicial debe estar relacionadacon las tolerancias de planitud.

El programa empleado debe ser capaz detomar en consideración una auténtica relacióntensión-deformación, ver figura 18, y, si es nece-sario, un patrón de tensión inicial. Este últimopuede también incluirse en la forma inicial.

El modelo de ordenador debe utilizar unacarga igual a la carga prevista multiplicada porun factor de carga. Este factor debe incremen-tarse desde cero hasta el nivel de carga desea-

do (factor de carga = 1). Si la estructura siguesiendo estable en el factor de carga = 1, debecontinuarse el proceso de cálculo hasta el colap-so o incluso más allá del colapso, hasta el com-portamiento de descarga inestable (ver figura19). Para calcular el comportamiento de descar-ga inestable el programa debe ser capaz de uti-lizar métodos incrementales e iterativos más refi-nados para alcanzar la convergencia enequilibrio.

32

Figura 16 Modelo FEM para estructura real

δ

δ δ

δδ

Figura 17 Imperfecciones iniciales del modo FEM



33


σ

ε

σ

σ

σ

ε

Figura 18 Modelo material del modelo FEM

δ

δ

δ

Figura 19 Desplazamientos característicos con acciones dentro y fuera de plano



3. PLACAS NO RIGIDIZADASSOMETIDAS A CARGASFUERA DEL PLANO

3.1 Distribución de la carga

3.1.1 Distribución derivadode la teoría de placas

Si las deformaciones de la placa sonpequeñas en comparación a su espesor, el planocentral de la placa se puede considerar como un

plano neutro sin tensiones de membrana. Estesupuesto es similar a la teoría de flexión de viga.Solo los momentos de flexión y las fuerzas decizallamiento mantienen las acciones en equili-brio. Las tensiones de una placa isotrópica sepueden calcular en el régimen elástico resolvien-do una ecuación diferencial parcial de cuartoorden, que describe el equilibrio entre las accio-nes y las reacciones de la placa perpendiculares

respecto al plano central de la misma, en térmi-nos de flechas transversales w debidas a la fle-xión.

donde:

q = q(x, y): es la carga transversal

D = Et3 /12(1-υ2): es la rigidez de la placa deespesor t, módulo de elasticidad E y coeficientede Poisson υ.

es el operador biarmónico

Al resolver la ecuación de la placa debentenerse en cuenta las condiciones de contorno

(apoyo) establecidas. Por ejem-plo, para un borde paralelo al ejey, w = ∂w/ ∂n = 0 si el borde estáempotrado, o w = ∂w2 / ∂n2 = 0 si elborde está simplemente apoyado.

La figura 20 representaalgunas soluciones correspon-dientes a la placa isotrópica.

Puede obtenerse unaaproximación mediante un mode-lo de la placa en forma de enrejado y no teniendo en cuenta los

momentos de torsión.

Las placas pueden reac-cionar al flexionarse con unpatrón de líneas de fluencia que,por analogía con el mecanismode rótula plástica de las vigas,puede dar forma a un mecanis-mo plástico en el estado límite(figura 21). La posición de laslíneas de fluencia puede determi-

narse por medio de planteamien-tos de energía mínima.

∇ = +

= + +4

2

2

2

2

2 4

4

4

2 2

4

42

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂ ∂

∂∂x y x x y y

∇ =4w q

D

34

Figura 20 Superficies de influencia debida a fuerzas específicas internasen una placa



Si las deformaciones de la placa sonsemejantes al espesor de la misma, o inclusomayores, entonces sí que han de tenerse encuenta las tensiones de membrana de la placa aldeterminar sus reacciones.

Las tensiones de membrana solo tienenlugar si la superficie central de la placa sufreuna deformación curvada. Esta deformaciónsolo puede estar generada por tensión, com-

presión o esfuerzos cortantes sobre la superfi-cie central.

Puede ilustrarse este comportamientomediante la placa circular deformada represen-tada en la figura 22b. Se supone que la línea a cb (diámetro d) no cambia durante la deforma-ción, de manera que a’c’b’ es igual al diámetro d.Los puntos situados en el borde “akb” estánahora en a’k’b’, que ha de encontrarse en unradio menor comparado con el original.

Así pues, la distancia akb se reduce, lo

que significa que existen tensiones de membra-na en las fibras anulares de la placa.

La distribución de las tensiones de mem-brana puede verse si se congela la deforma-ción.

Solo puede aplanarse si se practicanuna serie de cortes radiales, figura 22c, repre-

sentando los espacios el efecto de las tensio-nes de membrana; esto explica por qué lassuperficies curvadas son mucho más rígidasque las planas, y muy adecuadas para la cons-trucción de elementos tales como cúpulas paratechos, etc.

Las tensiones de la placa pueden calcu-larse con dos ecuaciones diferenciales empare- jadas de cuarto orden, en las que, además de ladeformación desconocida de la placa, se ha de

determinar una función de tensión tipo Airy quedescribe el estado de la membrana.

35

PLACAS NO RIGIDIZADAS SOMETIDAS A…

Figura 21 Líneas de rotura en una placa Figura 22 Modelo de acción de membrana en placa

circular bajo acciones fuera de plano



En este caso el problema es no lineal. Lasolución es mucho más complicada en compara-ción con la simple teoría de flexión de la placa,

que no tiene en cuenta los efectos de membra-na.

El comportamiento de la placa estágobernado por las ecuaciones de von Karman(13).

donde F = F(x, y) es la función de tensión de Airy.

3.1.2 Distribución derivadade los métodos de elementosfinitos (“finite elementmethods” (FEM))

Se mantienen más o menos los mismos

planteamientos al emplear los FEM para determi-nar el reparto de tensiones en placas sometidas acargas fuera del plano, que cuando se utilizan paraplacas con cargas en el plano (ver sección 2.1.3),

exceptuando lo siguiente:

• El elemento placa debe sercapaz de describir grandes fle-chas fuera del plano.

• El modelo de material empleadodebe incluir plasticidad.

3.2 Flecha y resistenciaa la rotura

3.2.1 Flechas

Salvo en lo que respecta a la teo-ría de mecanismo de líneas de fluencia,todos los métodos analíticos destinados

a determinar el reparto de tensiones pro-porcionarán también las deformaciones,siempre y cuando las tensiones estén enla zona elástica.

El empleo de métodos adecuadosde elementos finitos permite determinar conprecisión las flechas que tienen en cuenta ladisminución de rigidez, debida a la plastici-dad en ciertas zonas de la placa. La mayo-ría de códigos de diseño contienen límites a

estas flechas, que han de cumplirse conniveles de carga de servicio (ver figura 23).

q

t

w

x

F

y

F

x

w

y

F

x y

w

x y+ + −

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂ ∂

∂∂ ∂

2

2

2

2

2

2

2

2

2 2

6 2

∂

∂

∂

∂ ∂

∂

∂

4

4

4

2 2

4

42

w

x

w

x y

w

y

t

D+ + =

∂∂

∂∂ ∂

∂∂

∂∂ ∂

∂∂

∂∂

4

4

4

2 2

4

4

2 2 2

2

2

22

F

x

F

x y

F

yE

w

x y

w

x

w

y+ + =

−

36

δ

δ

δ

Figura 23 Comportamiento de los desplazamientos fuera de planodebidos a acciones fuera de plano



3.2.2 Resistencia a la rotura

La resistencia de la placa determinada

únicamente mediante la teoría de placas linealqueda por lo general muy subestimada, pues nose tiene en cuenta la resistencia adicional debi-da al efecto membrana ni la redistribución defuerzas debida a la plasticidad.

Puede hallarse un límite superior de laresistencia a la rotura por medio de la teoría delíneas de fluencia.

Se pueden obtener resultados más preci-sos con los FEM. El programa FEM debe enton-ces incorporar las opciones descritas en la sec-

ción 3.1.2.

A través de un procedimiento incrementalse puede aumentar el nivel de carga desde cerohasta la carga prevista deseada, o incluso hastael colapso (ver figura 23).

37

PLACAS NO RIGIDIZADAS SOMETIDAS A…



4. INFLUENCIA DE LA CARGAFUERA DEL PLANOEN LA ESTABILIDADDE PLACAS NO RIGIDIZADAS

La carga fuera del plano perjudica la esta-bilidad de un elemento placa no rigidizado enaquellos casos en los que la deformación resul-tante es similar al modo de colapso por pandeode la placa sometida únicamente a una carga enel plano.

La estabilidad de un elemento placa cua-

drado está pues muy influenciada por la presen-cia de cargas fuera del plano (de dirección trans-versal). Así, si la relación dimensional α esmenor que , la estabilidad de la placa debe

verificarse teniendo en cuenta la carga fuera delplano. Esto puede hacerse de forma similar a laempleada para un pilar sometido a compresión y

a una carga transversal.

Si la relación dimensional α es mayor que, la estabilidad de la placa debe verificarse sin

tener en cuenta el componente de carga fueradel plano.

En el caso de la verificación de la resis-tencia se han de tener en cuenta ambas cargassimultáneamente.

Cuando se utilizan métodos de elementosfinitos adecuados se puede simular el comporta-miento completo de la placa teniendo en cuentala combinación total de cargas.

2

2

38



5. RESUMEN FINAL1. Se describe la distribución de la carga en

placas sometidas a cargas en el plano.

2. Se expone la teoría de pandeo lineal, sussupuestos y resultados.

3. Se tratan las diferencias de comportamien-to de placas reales en relación con lossupuestos de la teoría lineal.

4. Se trata asimismo la resistencia a la roturade placas sometidas a cargas en el plano.Las placas presentan una resistencia post-crítica considerable, sobre todo en la zonade grandes esbelteces. Sin embargo, las

placas robustas y de esbeltez moderadase ven perjudicadas por las imperfeccio-nes geométricas y del material, y por laplasticidad.

Se ejemplifica la aplicación del método deanchura eficaz.

Se presentan algunos diagramas para ladeterminación de la resistencia portantede placas sometidas a una combinaciónde tensiones.

5. Se describe el reparto de la carga en pla-

cas sometidas a cargas fuera del plano.6. Se expone la resistencia a la rotura de pla-

cas sometidas a cargas fuera del plano.

7. Se describe la influencia de las cargasfuera del plano en la estabilidad de placasno rigidizadas. Puede concluirse que lacarga fuera del plano perjudica la estabili-dad de un elemento placa no rigidizado silas deformaciones resultantes de esta solacarga son similares al modo de colapsopor pandeo de la placa sometida única-

mente a una carga en el plano.8. Se describe la utilización de los métodos

de elementos finitos para el análisis de laestabilidad y el comportamiento fuera delplano de las placas.

6. BIBLIOGRAFÍA

[1] Bryan, G. K., “On the Stability of a Plane

Plate under Thrusts in its own Plane withApplication on the “Buckling” of the Sides of aShip”. Math. Soc. Proc. 1891, 54.

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[4] Wolmir, A. S., “Biegsame Platten undSchalen”, VEB Verlag für Bauwesen, Berlin,1962.

[5] Timoshenko, S., and Winowsky-Krieger, S.,“Theory of Plates and Shells”, Mc Graw Hill,1959.

[6] Chwalla, E., “Uber dés Biégungsbeulung derLangsversteiften Platte und das Problem derMindersteifigeit”, Stahlbau 17, 84-88, 1944.

[7] Dubas, P., Gehri, E. (editors), “Behaviour andDesign of Steel Plated Structures”, ECCS, 1986.

[8] Eurocode 3: “Design of Steel Structures”:ENV 1993-1-1: Part 1.1: General rules and rulesfor buildings, CEN, 1992.

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[10] Linder, J., Habermann, W., “Zur mehrachsi-gen Beanspruchung beim” Plattenbeulen. InFestschrift J. Scheer, TU Braunschweig, 1987.

39

RESUMEN FINAL




Lección 10.3: Comportamiento y Diseño de Placas Rigidizadas

41



43

OBJETIVOS/CONTENIDO

OBJETIVOS/CONTENIDO

Exponer la distribución de la carga, la

estabilidad y la resistencia a la rotura de placasrigidizadas sometidas a cargas en el plano yfuera del plano.



Lección 10.2: Comportamiento y Diseño de

Placas no Rigidizadas

LECCIONES AFINES



RESUMEN

Se expone la distribución de la carga enestructuras de placas no rigidizadas sometidasa cargas en el plano, y se deducen las cargascríticas de pandeo mediante la teoría lineal-elástica. Se describen y comparan dos méto-dos de cálculo para la determinación de laresistencia a la rotura de placas rigidizadas.También se plantea la carga fuera del plano y

se expone su influencia en la estabilidad. Losrequisitos de los modelos de elementos finitospara placas rigidizadas se esbozan utilizandocomo base los correspondientes a placas norigidizadas.



1. INTRODUCCIÓN

La automatización de los procedimientos

de soldadura y la necesidad de diseñar los ele-mentos no solo para que tengan la resistenciaportante necesaria, sino también para que cum-plan exigencias estéticas y de utilidad, hace queexista una mayor tendencia hacia el uso deestructuras de placas de paredes delgadas,sobre todo cuando se descarta el empleo desecciones laminadas debido a la forma y tamañode la estructura. La selección adecuada de losespesores de placa, de las calidades del acero yde la forma y posición de los rigidizadores per-

mite la mejor adaptación de las secciones trans-versales a las condiciones de carga y utilidad,ahorrándose así en peso del material. Son ejem-plos de estas estructuras, como muestra la figu-ra 1, las almas y cabezas de vigas armadas, lasparedes de vigas cajón, las techumbres de pare-des delgadas, fachadas etc.

Los elementos de placas soportan simul-táneamente:

a) cargas perpendiculares al plano,

b) cargas en el plano.

En estos elementos de acero la acciónfuera del plano tiene una importancia secunda-ria, puesto que, debido a los típicamente peque-ños espesores de placa involucrados, no suelenutilizarse para soportar cargas transversales. Sinembargo, la acción en el plano sí reviste unaimportancia considerable en las estructuras deplacas.

El propósito del diseño es aprovechartoda la resistencia del material. Al poseer estoselementos de placas una gran esbeltez debida aesos reducidos espesores, su resistencia por-tante disminuye a causa del pandeo. Puede noobstante obtenerse un diseño económico cuan-do se disponen rigidizadores longitudinales y/otransversales. Estos rigidizadores pueden serde secciones abiertas o cerradas rígidas a latorsión, como muestra la figura 2. Cuando los

44

Figura 1 Ejemplos de placas rigidizadas

Figura 2 Placas rigidizadas:(a) abiertas

(b) rigidizadores cerrados(c) placas corrugadas



rigidizadores se disponen en un enrejado regu-lar ortogonal, y la separación es lo bastantereducida como para “extenderlos” de un modocontinuo en el análisis, la placa rigidizada recibeel nombre de placa ortogonal anisotrópica o,abreviado, placa ortotrópica (figura 3). En estalección se presentará el comportamiento de ele-mentos placa rigidizados sometidos a cargas en

el plano. También se expondrá el comporta-miento bajo cargas fuera del plano, así como lainfluencia de éstas en la estabilidad de las pla-cas rigidizadas.

Las lecciones sobre vigas armadas seocupan de temas específicos como la carga porzonas y el método del campo de tensión.

45

INTRODUCCIÓN

Figura 3 Placa ortotrópica



2. PLACAS RIGIDIZADASSOMETIDAS A CARGASEN EL PLANO

2.1 Distribución de la carga

2.1.1 Distribución derivadade la teoría de membrana

Distribución de tensiones puede determi-narse a partir de las soluciones a las ecuacionesde Navier (ver lección 10.2, sección 2.1.1), pero

en el caso de placas rigidizadas esto se limita aaquéllas en las que la separación entre los rigi-dizadores longitudinales y transversales es redu-cida, disponiéndose éstos simétricamente aambos lados de la placa y produciendo igual rigi-dez en dirección longitudinal y transversal, ver

figura 4. Esta configuración da lugar a un com-portamiento isotrópico cuando los rigidizadoresse difunden. En la práctica no es una rigidización

útil y por lo tanto no suele utilizarse.

Al calcular el reparto de tensiones en laplaca deben tenerse en cuenta todas las desvia-ciones de la situación “ideal” (rigidizadoresexcéntricos, etc.).

2.1.2 Reparto de la carga derivadade la teoría lineal-elásticaempleando la hipótesisde Bernouilli

Al igual que con las placas no rigidizadas, elmodo más práctico de determinar el reparto detensiones en el elemento es empleando la hipóte-

sis de deformación plana. Sin embar-go, dado que las placas rigidizadasposeen una anchura relativamentegrande, el reparto de tensiones realpuede diferir sustancialmente de lacalculada debido al efecto de la defor-mación por cizalladura (“shear lag”).

La deformación por cizalladu-ra puede tenerse en cuenta pormedio de una anchura de rebordereducida, concentrada a lo largo delos bordes y en torno a los rigidiza-dores en la dirección de la carga (verfigura 5).

2.1.3 Reparto derivadode los métodos deelementos finitos

Se puede realizar un modelode los rigidizadores como elementosde viga-columna unidos excéntrica-mente a los elementos placa, verlección 10.2, sección 2.1.3.

En caso de que los rigidiza-

dores sean vigas relativamente pro-fundas (con almas grandes) es

46

Figura 4 Comportamiento isotrópico de placas rigidizadas simétricamente



mejor que el modelo de lasalmas presente elementosplaca y el de la cabeza, si la

hay, un elemento de viga-columna.

2.2 Estabilidadde las placasrigidizadas

2.2.1 Teoría depandeo lineal

El conocimiento de lacarga crítica de pandeo enplacas rigidizadas revisteimportancia no solo porque eldiseño estuvo una vez basadoen ella (y hasta cierto puntosigue estándolo), sino tam-bién porque se utiliza comoparámetro en los modernosprocedimientos de diseño. Lossupuestos de la teoría de pan-deo lineal de placas son los siguientes:

a) la placa es totalmente plana y estálibre de tensiones;

b) los rigidizadores están perfectamenteenderezados;

c) la carga es absolutamente concéntri-ca;

d) el material es lineal-elástico;

e) los desplazamientos transversales sonrelativamente reducidos.

La trayectoria de equilibrio presenta unpunto de bifurcación que corresponde a la cargacrítica (figura 6). En las placas rigidizadas lassoluciones analíticas, a través de una integracióndirecta de las ecuaciones diferenciales que lasrigen, solo son posibles en casos específicos;por eso se emplean generalmente métodosnuméricos aproximativos. En este sentido es dela mayor importancia el enfoque de Rayleigh-

Ritz, basado en el método de la energía. Si Πo,y ΠI representan la energía potencial total de la

placa en el estado inicial no reformado y el puntode bifurcación, respectivamente (figura 6), laaplicación del principio de los desplazamientosvirtuales da lugar a la expresión:

(1)

pues ΠI está en equilibrio. Pero el estado inicialtambién está en equilibrio, y por tanto δΠo = 0.La condición de estabilidad pasa a ser:

δ(δ2Πo) = 0 (2)

en el caso de placas rigidizadas, δ2Πo incluye laenergía de deformación de la placa y los rigidi-zadores, así como el potencial de las fuerzasexternas que actúan sobre ellos. Los rigidizado-

res se caracterizan por tres coeficientes adimen-sionales δ, γ , υ que expresan su rigidez relativa

δ δ δ( ....)Π Π Π= + + + =0 02

01

20

δ δ( ) ( )Π Π ∆ΠI = + =0 0

47

PLACAS RIGIDIZADAS SOMETIDAS A CARGAS…

Figura 5 Desfase de cortante en una placa rigidizada



al alargamiento, la flexión y la torsión, respecti-vamente.

En placas rectangulares con apoyo simpleen todos los lados (figura 6), se puede hacer unaaproximación a los desplazamientos transversa-les en estado pandeado por medio de la seriedoble de Fourier:

(3)

que cumple las condiciones de contorno. El cri-terio de estabilidad, ecuación (2), pasa a ser:

(4)

dado que los únicos parámetros desconocidosson las amplitudes amn, las ecuaciones (4) for-man un grupo de ecuaciones lineales y homogé-

neas cuyo número es igual al número de coefi-cientes distintos a cero amn contenidos en la

expansión Ritz. El establecimientodel determinante de los coeficien-tes iguales a cero da como resulta-

do las ecuaciones de pandeo. Elvalor propio mínimo es el denomi-nado coeficiente de pandeo k. Lacarga crítica de pandeo vieneentonces dada por la expresión:

(5)

Los estudios más ampliossobre placas rigidizadas rectangula-res de apoyo simple fueron llevadosa cabo por Klöppel y Scheer[1], yKlöppel y Möller[2]. Estos autoresofrecen diagramas, como los que

muestra la figura 7, para determinar k en funciónde los coeficientes δ y γ , antes descritos, y de losparámetros α = a/b y ψ = σ2 / σ1 según se definenen la figura 6a. También existen soluciones paracasos específicos de placas con bordes totalmen-te empotrados, rigidizadores de rigidez sustanciala la torsión, etc. El lector encontrará la bibliografíapertinente en las obras de Petersen[3] y Dubas yGehri[4].

Cuando hay más de dos rigidizadores enuna dirección se requiere un considerable esfuer-zo numérico para determinar k; por ejemplo, unelemento placa con 2 rigidizadores longitudinales y2 transversales requiere una expansión Ritz de

120. Pueden hallarse soluciones prácticas “exten-diendo” los rigidizadores por toda la placa. El com-portamiento de la placa es entonces ortotrópico yse puede determinar el coeficiente de pandeo conel mismo procedimiento antes descrito.

Una alternativa a las placas rigidizadas,con un gran número de rigidizadores a distanciasiguales y con los elevados costes de soldadura aellas asociados, son las placas onduladas (figu-ra 2c). También éstas pueden tratarse como pla-

cas ortotrópicas, utilizando rigideces ortotrópicasequivalentes [5].

con E

b tEσ

µ=

−Π2

2 212 1( ) ( / )

σ σ τ σσ τcr crk kE E

= = =0

δ δδ( )2

0Π

amn

=

n y

bm nsen ( , , , ...)=

Π1 2 3

w x y a m x

amn

nm

( , ) sen= ∑∑ Π

48

σ

σ

σ

σ

σ

σ

α ψ

Figura 6 Rigidización ideal de placa bajo cargas desestabilizadoras



Hasta aquí se ha tenido en cuenta única-mente una carga simple. Para combinaciones detensiones perpendiculares y de cizalladura lainteracción lineal, según la describe Dunkerley,resulta muy conservadora. Por otro lado, ladeterminación directa del coeficiente de pandeofracasa, debido al gran número de combinacio-nes que se han de tomar en consideración. Poreso se ha desarrollado un método aproximativobasado en la correspondiente interacción paraplacas no rigidizadas, siempre y cuando la rigi-dez de los rigidizadores sea tal, que el pandeo

tiene lugar en el elemento secundario no rigidi-zado antes de que lo sufra la placa rigidizada. Latensión crítica de pandeo se determina en estoscasos mediante la expresión:

(6)

donde σE significa lo mismo que en la ecuación(5).

s viene dado por los diagramas (Figura 8b).

σ σσver Ek Z s= 1

49


δ δα α

Figura 7 Coeficiente de pandeo kσ

para placa rigidizada

σσ

στ

σ τ

σγ

τ

τσ

σ ττ

σσ

ττ

Figura 8 Diagrama de interacción



kσ, kτ son los coeficientes de pandeo corres-pondientes a tensiones perpendiculares y decizalladura actuando independientemente

El lector encontrará más detalles en labibliografía antes mencionada.

Rigidez óptima de los rigidizadores

Suelen definirse tres tipos de rigidez ópti-ma de los rigidizadores γ *, basados en la teoría

de pandeo lineal [6]. El primer tipo γ I* se definecomo aquél en el que para valores γ > γ I* no esposible un mayor aumento de k, como muestra lafigura 9a, pues para γ = γ I* los rigidizadores per-manecen derechos.

El segundo tipo γ II* se define como elvalor con el que dos curvas de los coeficientesde pandeo, pertenecientes a un número distintode ondas, se cruzan (figura 9b). El coeficiente depandeo correspondiente a γ < γ II* se reduce con-siderablemente, mientras que experimenta un

ligero aumento en relación con γ > γ II*. La defor-mación de un rigidizador con γ = γ II* es simultá-nea al pandeo de la placa.

El tercer tipo γ III* se define como aquél enque el coeficiente de pandeo de la placa rigidizadase iguala al coeficiente de pandeo del elementosecundario no rigidizado más crítico (figura 9c).

Así pues, el procedimiento para determi-nar la rigidez óptima o crítica es muy simple. Sinembargo, debido a las imperfecciones inicialestanto de la placa como de los rigidizadores, cau-sadas por las tensiones alternativas y de solda-

dura, el uso de rigidizadores con una rigidez crí-tica no va a garantizar que éstos permanezcanderechos cuando la placa no rigidizada contiguasufra el pandeo.

Este problema puede solventarse multipli-cando la rigidez óptima (crítica) por un factor, m,al diseñarse los rigidizadores.

Este factor se establece a menudo comom = 2,5 para los rigidizadores que forman con laplaca una sección transversal cerrada, y como m

Z k k121 3= + ( / )τ σ

50

α

ψ

α

ψ

α

ψ

α

α

γ

γ

α

γ

γ

γ

γ

Figura 9 Definición de rigidizadones óptimas γ *



= 4 para los de sección transversal abierta comolos de gran ángulo y en T.

2.2.2 Resistencia a la roturade placas rigidizadas

Comportamiento de placas rigidizadas

Se han dedicado muchas investigacionesteóricas y experimentales al estudio de las pla-cas rigidizadas. Esta investigación se intensificótras la destrucción en los años setenta, debida alpandeo de las placas, de cuatro grandes puen-

tes de acero en Austria, Australia, Alemania yReino Unido. Muy pronto se puso de manifiestoque la teoría de pandeo lineal no puede describirde forma precisa el comportamiento real de lasplacas rigidizadas. La razón principal es que nopuede tener en cuenta lo siguiente:

a) la influencia de imperfecciones geo-métricas y de tensiones residuales dela soldadura;

b) la influencia de grandes deformacio-nes y, en consecuencia, de un com-portamiento posterior al pandeo;

c) la influencia de deformaciones plásti-cas debidas a la fluencia del material;

d) la posibilidad de que el rigidizadorfalle.

En lo que respecta a la influencia de lasimperfecciones, se sabe que su presencia perju-

dica la resistencia portante de las placas, sobretodo en la gama de esbeltez moderada y contensiones de compresión (no de cizalladura) per-pendiculares.

Por otro lado, las grandes deformacionespermiten por lo general a la placa soportar cargasen el régimen post-crítico, aumentando de estemodo su resistencia portante especialmente en lagama de gran esbeltez. Sin embargo, el compor-tamiento posterior al pandeo que muestran las pla-

cas no rigidizadas no siempre está presente en lasrigidizadas. Tomemos, por ejemplo, el borde rigidi-

zado de una viga cajón sometida a compresión, talcomo la muestra la figura 10. Dado que la anchu-ra global del elemento, medida como la distancia

entre las almas portantes, es generalmente gran-de, la influencia de los soportes longitudinales esbastante reducida. Así, el comportamiento de estealma se parece más al de una barra sometida acompresión que al de una placa. De acuerdo conesto, esta placa rigidizada no posee resistenciaposterior al pandeo.

Como en los paneles no rigidizados, lasdeformaciones plásticas juegan un papel tantomás importante cuanto menor es la esbeltez,

dando lugar a cargas de rotura inferiores.El ejemplo de una placa rigidizada some-

tida a compresión, como la de la figura 11, sirvepara ilustrar por qué la teoría de pandeo lineal nopuede predecir la modalidad de fallo del rigidiza-dor. En esta placa pueden observarse dosmodalidades diferentes de fallo: la primera estárelacionada con el fallo por pandeo del elemento

51


σ σ

Figura 10 Modelo de placa rigidizada, considerando cadarigidizador separadamente



placa; la segunda con el fallo por pandeo torsio-nal de los rigidizadores. Las deformaciones glo-bales tras el pandeo se dirigen, en el primercaso, hacia los rigidizadores, y en el segundo,hacia los elementos placa, debido al movimientohacia arriba o hacia abajo del centro de grave-dad de la sección transversal central. Las inves-tigaciones experimentales sobre elementos rigi-

dizados han demostrado que la modalidad defallo del rigidizador resulta mucho más críticapara los rigidizadores abiertos y cerrados, puesda lugar por lo general a menores cargas derotura y al colapso repentino. De acuerdo conesto, no solo es importante la magnitud de lasimperfecciones, sino también su dirección.

Como consecuencia de las deficienciasantes mencionadas del modo en que la teoríade pandeo lineal describe el comportamiento de

las placas rigidizadas, recientemente se handesarrollado dos métodos de cálculo diferentes.

El primero, según se formuló inicialmenteen las recomendaciones ECCS [7] relati-vas al cálculo de tensión admisible, y

ampliado más tarde por DNI 18800, parte3 [8], al cálculo en estado límite de rotu-ra, sigue utilizando valores tomados de lateoría de pandeo lineal para placas rigidi-zadas. El segundo, según se formula eslos recientes borradores de las recomen-daciones ECCS [9, 10], se basa en sulugar en diversos modelos simples deestado límite para configuraciones geo-métricas y condiciones de carga especí-ficas. Ambos métodos se han contrasta-

do con resultados experimentales yteóricos. Ahora se presentarán y expon-drán brevemente.

Método de cálculo con valores toma-dos de la teoría de pandeo lineal

Haciendo referencia a una placarigidizada con apoyo a lo largo de sus bor-des (figura 12), se distingue entre los ele-mentos individuales, es decir IJKL, ele-mentos parciales, o sea EFGH, y elelemento global ABCD. El cálculo se basaen la condición de que las tensiones pre-vistas de todos los elementos no deberán

exceder las correspondientes resistencias pre-vistas. El ajuste de la teoría de pandeo lineal alcomportamiento real de las placas rigidizadas serealiza básicamente conforme a lo siguiente:

a) introducción de curvas de pandeosegún se ilustran en la figura 12b;

b) estudio de la anchura eficaz, debida alpandeo local, correspondiente a losbordes asociados a los rigidizadores;

c) fórmulas de interacción para la presen-cia simultánea de tensiones σx, σy y τen el estado límite de rotura;

d) factores de reducción adicionales parael comportamiento de la placa comopilar;

e) disposición de rigidizadores con una

rigidez torsional mínima, con el fin deevitar el pandeo lateral de torsión.

52

Figura 11 Imperfecciones geométricas:(a) fallo de placa(b) fallo de rigidizador



Método de cálculo con modelos simples deestado límite

Se han publicado borradores de códigoseuropeos y recomendaciones que se ocupan deldiseño de los siguientes elementos:

a) Vigas armadas, solo con rigidizadorestransversales (figura 13a) - Eurocode3[11].

b) Almas de vigas armadas y vigas cajón,con rigidización longitudinal (figura13b) -ECCS-TWG 8.3, 1989.

c) Alas comprimidas rigidizadas de vigascajón (figura 13c) - ECCS[10].

Aquí solo se expone un esbozo breve de

los modelos propuestos; se encontrarán másdetalles en las lecciones 10.4, 10.5.1, 10.5.2,

10.6.1 y 10.6.2 sobre vigas armadas y vigascajón.

La placa rigidizada puede considerarsecomo un emparrillado de vigas-columnas concarga de compresión. Por razones de simplicidad,en la resistencia a la rotura no se tienen en cuen-ta las placas no rigidizadas, que solo transfieren lacarga a las vigas-columnas, consistentes en lospropios rigidizadores y las anchuras eficacesadyacentes de la placa. Esta anchura eficaz de laplaca se determina por el pandeo de las placas norigidizadas (ver la sección 2.2.1 de la lección10.2). La resistencia a la flexión Mu, reducida lo

necesario debido a la presencia de fuerzas axia-les, se determina haciendo uso de las caracterís-ticas de la sección transversal eficaz. Cuandoestán presentes simultáneamente fuerzas decizallamiento y momentos de flexión se da unafórmula de interacción. Se encontrarán más deta-lles en las recomendaciones originales.

53


σ

σ

σσλ

κ

Figura 12 (a) Definición de subpaneles en placa rigidizada(b) Curva de pandeo

Figura 13 Viga armada (a) sin rigidizadores longitudinales,

(b) con rigidizadores longitudinales,(c) ala rigidizada comprimida axialmente



La resistencia de la cabeza de una vigacajón sometida a compresión se puede determi-nar empleando el método presentado en las

recomendaciones ECCS a las que se ha hechoreferencia antes, planteándose una barra com-puesta por un rigidizador y una anchura eficaz deplaca asociada. La resistencia prevista se calculamediante la fórmula Perry-Robertson. Las fuer-zas de cizallamiento debidas al esfuerzo cortantede torsión o de viga se tienen en cuenta redu-ciendo el límite aparente de fluencia del materialconforme al criterio de fluencia de Mises.También se da un método alternativo haciendouso de las propiedades de placa ortotrópica.

Los métodos anteriores utilizan resulta-dos de la teoría de pandeo lineal de placas norigidizadas (valor de Vcr, determinación de beffetc.). En las placas rigidizadas, los valores pro-porcionados por esta teoría solo se empleanpara expresar las exigencias de rigidez de losrigidizadores. En general, este método ofreceunas exigencias de rigidez y resistencia de losrigidizadores más estrictas que las mencionadasanteriormente en esta lección.

Comparación de los métodos de cálculo

Ambos métodos presentan ventajas einconvenientes.

La principal ventaja del primer método esque cubre el diseño de placas rigidizadas y no

rigidizadas sometidas virtualmente a cualquiercombinación de cargas posible, empleando elmismo método. El principal inconveniente es que

se basa en la limitación de tensiones, y por lotanto no permite ninguna redistribución plásticaen la sección transversal. Los dos ejemplos de lafigura 14 lo ilustran. Se ha de determinar la resis-tencia máxima a la flexión de la sección de cajade la figura 14a, sometida a un momento de fle-xión. Si el criterio de cálculo es la limitación delas tensiones en el ala de paredes delgadascomprimida, según lo exige el primer método, laresistencia es Mu = 400 kNm. Si el cálculo serealiza con anchuras eficaces que permiten

deformaciones plásticas del ala, Mu es igual a550 kNm. El segundo ejemplo se refiere a laresistencia portante de la placa rigidizada com-primida de la figura 14c. En el caso ideal, dondeel espesor tf es igual a 0, esta resistencia esigual a 0, de acuerdo con el primer método, puesla resistencia de los elementos secundarios indi-viduales es 0. Sin embargo, es obvio que laplaca puede soportar cargas a través de los rigi-dizadores por sí solos.

También el segundo método presentaalgunos inconvenientes: el número de casos deconfiguraciones geométricas y de carga a losque se aplican estos modelos es limitado; exis-ten diferentes metodologías para el diseño decada caso específico que exigen un esfuerzonumérico considerable, sobre todo al emplear elmétodo de campo de tracción.

54

σ

Figura 14 Momentos últimos (a) limitando la tensión, (b) utilizando anchura efectiva



Otro aspecto importante es que se hacereferencia a almas y alas que no siempre puedendefinirse con claridad, como muestran los ejemplosde la figura 15. En una viga cajón sometida a unaflexión uniaxial (figura 15a) el ala de compresión ylas almas están definidas. Sin embargo, esto no esposible cuando está presente una flexión biaxial(figura 15b). La figura 15c muestra otro ejemplo: lasección transversal de un puente de cables inclina-dos en la situación A-A está sometida a fuerzas per-pendiculares sin flexión, es evidente en este casoque toda la sección está compuesta por “alas”.

Métodos de elementos finitos

Al determinar el comportamiento establede elementos placa rigidizados se mantienenbásicamente los mismos planteamientos descri-tos en la lección 10.2, sección 2.2.2. Debe tener-se en cuenta además que el modelo de los rigi-

dizadores debe estar formado por elementos delámina, o por una combinación de elementos delámina y de elementos de viga-columna.También debe prestarse una especial atención ala forma inicialmente imperfecta de los rigidiza-dores con secciones transversales abiertas.

Resulta difícil describir todas las modali-dades de fallo posibles dentro de un único mode-lo de elemento finito. Por eso es más sencillodescribir el comportamiento de viga-columna delos rigidizadores, junto con el pandeo local y glo-bal de los elementos placa rigidizados y del mon-taje rigidizado respectivamente, y verificar porseparado aspectos específicos tales como elpandeo de torsión lateral (figura 16). Solo aveces es necesario, con fines de investigación,realizar el modelo de toda la estructura de mane-ra que, mediante el modelo de elementos finitos,se simulen todos los fenómenos posibles.

55


Figura 15 Definición de almas y alas

Figura 16 Pandeo lateral y abolladura



3. PLACAS RIGIDIZADASSOMETIDAS A CARGASFUERA DEL PLANO

3.1 Reparto de la carga

3.1.1 Reparto derivado de la teoríade placas

La teoría descrita en la sección 3.1.1 de lalección 10.2 solo se puede aplicar a las placasrigidizadas si la separación entre los rigidizadores

es lo bastante reducida como para que tengalugar un comportamiento ortotrópico. Si no es así,es mejor considerar por separado los elementosplaca no rigidizados existentes entre los rigidiza-dores. El emparrillado restante de rigidizadoresdebe considerarse como un sistema de vigas enlo relativo a la flexión (ver sección 3.1.2).

3.1.2 Reparto derivadode un emparrillado con carga

lateral, rellenadocon elementos secundariosno rigidizados

Los elementos secundarios no rigidizadosse pueden analizar como se describe en la sec-ción 3.1.1 de la lección 10.2.

El emparrillado de vigas restante está for-mado por los rigidizadores, que están soldados a

la placa, y por una determinada parte de lamisma. Esta parte puede ser la misma que parael pandeo, a saber, la anchura eficaz según se

describe en la sección 2.2.2 de esta lección. Deeste modo la distribución de fuerzas y momentospuede determinarse muy fácilmente.

3.1.3 Reparto derivado de métodosde elementos finitos (FEM)

En la determinación mediante FEM de ladistribución de fuerzas y momentos en placasrigidizadas sometidas a cargas fuera del plano,

se mantienen los mismos planteamientos de lautilización de FEM para placas rigidizadas some-tidas a cargas en el plano (ver sección 2.1.3),con la salvedad de que aquí los elementos finitosutilizados deben poder tener en cuenta grandesflechas y un comportamiento elastoplástico delmaterial.

3.2 Flechas y resistenciaa la rotura

Todos los planteamientos mencionadosen la sección 3.2 de la lección 10.2, referidos alas placas no rigidizadas, son válidos para elanálisis de las flechas y resistencia a la rotura delas placas rigidizadas. Sin embargo debe apun-tarse que, con fines de diseño, es más sencilloverificar aspectos específicos tales como el pan-deo de torsión lateral, separadamente del pan-deo de placas y del comportamiento de viga-columna.

56



5. RESUMEN FINAL1. Se expone el reparto de la carga en placas

rigidizadas sometidas a cargas en el

plano.2. Se presentan la teoría de pandeo lineal,

sus supuestos y resultados en placas rigi-dizadas.

3. Se dan las diversas definiciones de rigidezóptima de los rigidizadores de acuerdo conesa teoría.

4. Se expone la resistencia a la rotura de pla-cas rigidizadas sometidas a cargas en elplano, y se describe el comportamiento

real de las mismas según se deduce de lasinvestigaciones experimentales y teóricas.Se presenta el método de diseño basadoen la limitación de las tensiones previstaspara los diversos elementos y elementossecundarios, así como algunos métodosde diseño basados en modelos de estadoslímite. Se ofrece asimismo una revisión crí-tica de los distintos métodos de diseño.

5. Se expone el reparto de la carga en placassometidas a cargas fuera del plano.

6. Se expone la resistencia a la rotura de pla-cas rigidizadas sometidas a cargas fueradel plano.

7. Se describe la influencia de las cargasfuera del plano en la estabilidad de placasrigidizadas. Como con las placas no rigidi-zadas, puede decirse que la carga fueradel plano perjudica la estabilidad de placasrigidizadas si las deformaciones resultan-tes de esta carga son similares al modo decolapso por pandeo de la placa sometida

únicamente a una carga en el plano.8. Se describe la utilización de los métodos

de elementos finitos para el análisis de laestabilidad y el comportamiento fuera delplano de placas rigidizadas.

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[11] Eurocode 3, “Design of Steel Structures”:ENV 1993-1-1: Part 1.1: General rules andrules for buildings, CEN, 1992.

58




Lección 10.4.1: Comportamiento y Diseño de Vigas Armadas I

59



61

OBJETIVOS

OBJETIVOS

Presentar los aspectos básicos del com-

portamiento y diseño de vigas armadas. Explicarcómo las dimensiones características emplea-das influyen en los tipos de comportamiento alos que se debe atender en el diseño, e identifi-car los diversos aspectos del pandeo involucra-dos como preparación para el posterior estudiode los métodos de diseño establecidos en elEurocódigo 3[1].


Ninguno

LECCIONES AFINES

Lecciones 4.2: Montaje

Lección 9.2: Clasificación de lasSecciones Transversales

Lección 9.3: Pandeo Local


Lecciones 10.5: Diseño de Vigas Armadas

Lecciones 15.4: Empalmes

Lección 16.4: Vigas-carril de puente-grúa

Lección 18.9: Puentes: Generalidades

RESUMEN

Se presentan las modernas vigas armadasexplicando su utilización y tipos característicos ylas razones de sus inherentes dimensiones esbel-tas. Se describe su comportamiento prestandoespecial atención a las diferentes formas de pan-deo que pueden darse. Como preludio a una pre-sentación más detallada en las lecciones 10.5.1 y10.5.2, se expone de un modo simplificado la basegeneral del diseño de vigas armadas. Se presen-tan la acción posterior al pandeo y de campo detensión y se identifican los papeles que juegan losprincipales componentes de una viga armada.



1. INTRODUCCIÓN

Las modernas vigas armadas se fabrican

normalmente soldando dos alas y una placa dealma, como muestra la figura 1. Estas vigas soncapaces de soportar mayores cargas en tramosmayores de lo que por lo general es posible conlas secciones laminadas estándar o con vigascompuestas. El uso característico de las vigasarmadas es como vigas de tablero de tramos lar-gos en edificios, vigas de puente y vigas-guía depuente-grúa en estructuras industriales.

Cuando más impresionantes son las

vigas armadas en la moderna construcción depuentes es cuando son factibles tramos principa-les que bien pueden superar los 200 m, con lascorrespondientes alturas de sección transversal,montados (“haunched”) sobre los soportes, deentre 5 y 10 m. Puesto que la fabricación de lasvigas armadas se realiza por separado, cadauna de ellas puede diseñarse individualmentepara resistir las acciones aplicadas con unasdimensiones que aseguran un peso propio redu-cido y una elevada resistencia de carga.

Para que el diseño sea eficaz suele esco-gerse una viga de sección relativamente alta,reduciendo así al mínimo la zona de alas exigidapara un determinado momento aplicado, Msd.Obviamente esto conlleva una alma profundacuya área se minimizará disminuyendo su espe-sor al mínimo requerido para soportar el esfuerzocortante aplicado, Vsd. Esta alma puede ser muyesbelta (es decir, elevada relación d/tw) y tenertendencia al pandeo local (ver lección 9.3) y alpandeo por cizalladura (ver más adelante). En el

diseño de las vigas armadas se han de estudiarcon especial cuidado estos problemas de pan-deo. Un modo de mejorar la resistencia portantede una viga armada esbelta es el empleo de rigi-dizadores (lección 10.1); la selección de formasadecuadas de rigidización es un aspecto impor-tante del diseño de vigas armadas.

1.1 Tipos

Existen diversas formas de viga armada, delas que la figura 2 muestra tres tipos diferentes: no

rigidizadas, rigidizadas transversalmente y rigidi-zadas transversal y longitudinalmente. Las tresvigas representadas poseen secciones transver-sales bisimétricas de perfil en I, aunque a veces seusan alas de distinto tamaño, como ya se ha mos-trado en la figura 1. Otros tipos de sección trans-versal (ver figura 3) son perfiles monosimétricos enI, habituales en la construcción mixta con el alamenor hacia arriba (ver lección 12.2), o comovigas-guía de puente-grúa (ver lección 16.4) con elala mayor hacia arriba. La figura 3 muestra tam-bién otras dos variantes (menos comunes), la vigatriangular (“delta girder”) y la viga de ala superiortubular, siendo ambas soluciones posibles en loscasos de largas alas superiores comprimidas sin

soporte lateral, con tendencia al pandeo por tor-sión lateral (ver lección 9.9.1 y 9.9.2).

También existe un considerable margenpara variar la sección transversal en direcciónlongitudinal. El proyectista puede decidir reducirel espesor (o anchura) del ala en una zona debajo momento aplicado, sobre todo cuando uninevitable empalme de campo facilita el cambio.Igualmente, en una zona de esfuerzo cortanteelevado el proyectista podría preferir aumentar el

espesor de la placa del alma (ver figura 4). Deforma alternativa, en zonas de momento aplicado

62

Figura 1 Viga armada compuesta por tres placas



y de esfuerzo cortante elevados se podría emple-ar un acero de tipo superior Fe E355, mientrasque en las demás se utilizaría el tipo estándar FeE235. Otro medio posible de ajustar con más pre-cisión la resistencia a las exigencias de cadacaso son las llamadas vigas “híbridas”, con mate-riales de diferente resistencia en las alas y en elalma. Otras variantes más inusuales se adoptan

en circunstancias especiales tales como la cons-trucción de puentes (ver lección 18.9), por ejem-plo vigas rebajadas, vigas acodadas, vigas mon-tadas (“haunched girder”) (ver figura 5) y, porsupuesto, vigas armadas con orificios en el almapara alojar servicios, ver figura 6.

1.2 Dimensiones

Como el proyectista tiene, en principio,

mucha libertad para elegir todas las dimensionesde la viga armada, a continuación se ofrece algu-

na indicación de las más habituales (vertambién la figura 7):

Altura: La altura global de la viga,h, estará normalmente dentro de un mar-gen de Lo /12 ≤ h ≤ Lo /8, donde Lo es la lon-gitud entre puntos de momento cero. Sinembargo, este margen se ampliará hastaaproximadamente Lo /20 en puentes devigas armadas de tramos largos.

Anchura de ala: la anchura, b,estará normalmente dentro de un margende h/5 ≤ b ≤ h/3, siendo b múltiplos de 25

mm. Para las alas suelen utilizarse llantasestándar.

Espesor de ala: El espesor de ala, tf,normalmente cumplirá al menos las exigen-cias de el Eurocódigo 3 (Tabla 5.3.1) parasecciones de la clase 3 (semi-compactas), esdecir c/tf ≤ 14ε. Por supuesto, tf se escogeráde entre los espesores de placa estándar.

63

INTRODUCCIÓN

∼

Figura 2 Vigas armadas rigidizadas

Conectores paraestructura mixta

(a) Sección de viga armada en doble T con simetría en un eje

(b) Viga carril con simetría en un eje

(c) Viga Delta (d) Viga con ala superior tubular

Figura 3 Secciones transversales de vigas armadas



64

Figura 4 Viga armada de sección variable con unión en cambio de sección

Figura 5 Viga armada con refuerzo, transición y apoyo



Espesor de alma: El espesor de alma,tw, determinará la base exacta del diseño de lamisma, dependiendo de si el alma se clasifica,en relación al pandeo por cizalladura, como“espesa” o “delgada” (ver más adelante). Lasalmas delgadas requerirán a menudo una rigi-dización; esta puede tomar la forma de rigidiza-dores transversales, longitudinales, o una com-binación de ambos, ver figura 2. Es más

probable encontrar vigas con rigidizadoreslongitudinales en las grandes construccionesde puentes donde resultan adecuadas rela-

ciones d/tw elevadas, por ejemplo 200 ≤ d/tw ≤500, debido a la necesidad de reducir el pesopropio al mínimo.

Es evidente que dependiendo del patrónde carga concreto y de las restricciones relativasa la altura y a la anchura, cabe esperar ampliasvariaciones dentro de los límites señalados, quehan de considerarse solo como indicativos.

65

INTRODUCCIÓN

Figura 6 Viga armada con agujeros para instalaciones

c

tw

tf

Figura 7 Proporciones de viga armada



2. CONCEPTOS DEL DISEÑO

Bajo cargas estáticas son los estados

límite de rotura, como la resistencia y la estabili-dad, los que más gobernarán normalmente eldiseño de las vigas armadas, siendo menos crí-ticos los estados límite de utilidad como las fle-chas o la vibración. Son aconsejables algunoslímites absolutos de esbeltez de la placa paraasegurar una robustez mínima durante el montaje. Un método en general aceptado [2] para dise-ñar vigas armadas (admitido por el Eurocódigo3) sometidas a un momento Mad y a un esfuerzocortante coincidente Vad, es dimensionar las

alas de modo que soporten todo el momento,dejando al alma todo el esfuerzo cortante. Estoproporciona un medio especialmente convenien-te de obtener una estimación inicial de lasdimensiones de la viga.

Así, con una sección transversal concretaa lo largo de una viga armada lateralmenteempotrada y sometida a valores específicos demomento de flexión y fuerza de cizallamiento, lasplacas de las alas y del alma se pueden dimen-sionar por separado. El área exigida de placa deala se puede hallar fácilmente como sigue:

Af = M/[(h - tf)fy / γ MO] ≅ M/(hfy / γ MO) (1)

(Pueden ser necesarias una o dos itera-

ciones, dependiendo de un valor supuesto de tfy del correspondiente valor fy de la tabla 3.13,Eurocódigo 3). Puesto que el alma (normal-mente) esbelta evitará que se alcance elmomento plástico de resistencia de la seccióntransversal, la relación de cabeza b/tf no tieneque cumplir más que las exigencias delEurocódigo 3 (tabla 5.3.1) correspondientes aun ala de la clase 3 (semi-compacta). Elmomento resistente de la sección transversalpuede verificarse mediante:

Mf.Rd = b tf (h - tf)fy / γ MO (2)

Por desgracia, el dimensionamiento eco-nómico de la placa del alma no es realmente tansencillo, aunque cuando resulta adecuada unalma gruesa (definida más adelante) puededimensionarse rápidamente suponiendo unatensión tangencial uniforme τy en toda su área.Las soldaduras en esquina del alma con las alasdeben diseñarse de manera que el esfuerzo cor-tante longitudinal se transmita a la intersecciónde ala y alma.

66



3. INFLUENCIA DEL PANDEOEN EL DISEÑO

Siempre y cuando los elementos de placaindividuales de una viga se mantengan lo sufi-cientemente robustos, el diseño se puede basaren planteamientos de resistencia sencillos. Sinembargo, consideraciones económicas y prácti-cas harán que no siempre se cumplan todas estasrestricciones. En la mayoría de los casos se hande tener en cuenta diversas formas de pandeo. Lafigura 8 muestra las distintas posibilidades.

3.1 Pandeo del almapor cizalladura

Una vez el valor d/twcorrespondiente a una alma norigidizada sobrepasa una cifralímite (69ε en el Eurocódigo 3), elalma sufrirá un pandeo de ciza-llamiento antes de alcanzar sucapacidad de cizallamiento totalAw τy. Se formarán pandeos dia-gonales, del tipo representado enla figura 9, resultantes de la com-presión diagonal asociada alcizallamiento del alma. Puederetardarse su aparición medianteel uso de rigidizadores verticales,pues la carga con la que se iniciael pandeo por cizalladura está enfunción de d/tw y de la relacióndimensional del elemento a/d.

3.2 Pandeo de la vigapor torsión lateral

Este tema está tratado ensu totalidad en la lección 9.9.1 y9.9.2.

3.3 Pandeo localdel ala comprimida

A condición de que lasdimensiones sobresalientes c/tf

estén adecuadamente restringidas, el pandeolocal no afectará a la resistencia portante de laviga.

3.4 Pandeo del alma por flexión

Las almas de d/tw ≤ 124ε y no sometidasa ninguna carga axial permitirán alcanzar lasresistencias totales de la viga al momento elásti-co. Si se sobrepasa este límite de d/tw (o unomenor si también está presente una compresiónaxial en el conjunto de la viga) debe reducirseconvenientemente la resistencia al momento. Si

se desea alcanzar la resistencia total de la vigaal momento plástico, será adecuado un límitemás estricto.

67

INFLUENCIA DEL PANDEO EN EL DISEÑO

Dist ribu ido Con cent rad o Flex ión

Figura 8 Fenómeno de pandeo en vigas armadas



3.5 Pandeo verticaldel ala comprimida

Si se utilizan almas especial-mente esbeltas, quizá el ala comprimi-da no reciba suficiente apoyo para nosufrir un pandeo vertical, de forma bas-tante parecida a una barra aislada quese pandea en torno a su eje menor.Esta posibilidad puede eliminarse esta-bleciendo un límite apropiado a d/tw.También los rigidizadores transversalesayudan a resistir esta forma de pandeo.

3.6 Pandeo local del alma

Las cargas verticales puedencausar el pandeo del alma en la zonadirectamente bajo la carga, igual queen una barra vertical. El nivel de cargaque puede soportarse de manerasegura antes de que esto sucedadependerá de la forma exacta en quela carga se transmita al alma, de lasdimensiones de ésta y del nivel de fle-xión global existente.

68

Figura 9 Pandeo bajo cortante de alma esbelta



4. RESISTENCIADEL ALMAPOSTERIORAL PANDEODebido al fenómeno poste-

rior al pandeo (ver lección 10.3)las placas, a diferencia de lasbarras, son a menudo capaces desoportar cargas bastante por enci-ma de su carga de pandeo inicial.En las almas de vigas armadas esposible una forma especial poste-rior al pandeo denominada “ac-

ción de campo de tracción”. Laacción de campo de tracción con-lleva un cambio en el modo enque la viga resiste la carga decizalladura, del desarrollo en elalma de un esfuerzo cortante uni-forme con cargas de cizallamientobajas, a la disposición equivalentea una viga de celosía, representa-da en la figura 10, con cargasmucho mayores. En esta disposi-ción las barras del reticulado son:las alas, que forman los cordones;los rigidizadores verticales; y lasbandas de tracción diagonales. La resistencia ala compresión de la otra diagonal de cada ele-mento del alma queda virtualmente eliminada

por el pandeo de cizalladura. En la lección10.5.2 se explica cómo se utiliza este conceptoen el diseño.

69

RESISTENCIA DEL ALMA POSTERIOR…

Figura 10 Alcance de acciones pos-pandeo



5. PLANTEAMIENTOS DELDISEÑO

Las funciones más importantes de losprincipales componentes de una viga armadapueden resumirse como sigue:

Alas: • resisten el momento

Alma: • resiste el esfuerzo cor-tante

Soldaduras de • resisten el esfuerzo cor-alma/alas : tante longitudinal en la

intersección

Rigidizadores • resisten el esfuerzo corverticales : al pandeo por cizalladu-

ra

Rigidizadores • aumentan la resistencialongitudinales: al pandeo por cizalladu-

ra y/o por flexión.

70



6. RESUMEN FINAL1. Se han identificado los principales compo-

nentes de una viga armada y se han apun-

tado sus principales funciones.2. El dimensionamiento inicial puede hacerse

sobre la base de que las alas soportantodo el momento y el alma recibe todo elesfuerzo cortante.

3. Es probable que el pandeo por cizalladuraimpida que se alcance la resistencia totaldel alma al cizallamiento. Su aparición noimplica el fallo, pues se puede soportaruna carga adicional merced a la acción decampo de tracción.

4. Los rigidizadores del alma (transversalesy/o longitudinales) aumentan tanto la resis-tencia inicial al pandeo como la posterior alpandeo.

7. BIBLIOGRAFÍA

[1] Eurocode 3: “Design of Steel Structures”:

European Prestandard ENV 1993-1-1: Part 1,General rules and rules for buildings, CEN, 1992.

[2] Narayanan, R. (ed)., “Plated Structures;Stability and Strength”, Applied SciencePublication, London, 1983. Chapter 1 covers basicaspects of plate girder behaviour and design.


1. Dubas, P. and Gehri, E. (eds), “Behaviour andDesign of Plated Structures”, ECCS, 1986.Chapters 4 and 5 provide more detailed accountsof the main features of plate girder behaviour anddesign.

71

RESUMEN FINAL



75

OBJETIVOS/CONTENIDO

OBJETIVOS/CONTENIDO

Presentar los métodos de diseño básicos

para vigas armadas sometidas a cizalladura omomento, o a combinaciones de ambos.



LECCIONES AFINES

Lección 4.2: Montaje

Lección 10.5.2: Métodos avanzados paraPuentes de Vigas cajón

RESUMEN

Se presenta el diseño de vigas armadaspara resistir la cizalladura y el momento, deacuerdo con los métodos del Eurocódigo 3 [1].Para la carga de cizalladura se describen dosmétodos: el “método simple post-crítico” y el“método de campo de tensión”; con ambos méto-dos pueden utilizarse diagramas de interacciónpara tomar en consideración el efecto de

momentos coincidentes.



1. INTRODUCCIÓN

Cualquier sección transversal de viga

armada está sometida normalmente a una com-binación de fuerza de cizallamiento y momentode flexión. La función primaria de las placas delala superior e inferior de la viga es resistir lasfuerzas de compresión y tracción derivadas delmomento de flexión aplicado. La función primariade la placa del alma es por su parte resistir lafuerza de cizallamiento aplicada.

Las vigas armadas están por lo generaldiseñadas para soportar cargas pesadas en tra-

mos largos, y en situaciones en las que es nece-sario un diseño eficaz con vigas de relaciónresistencia-peso elevada. Este diseño eficaz dalugar a unas exigencias conflictivas, sobre todoen lo que se refiere a la placa del alma. Paraobtener la mínima fuerza axial en el ala en rela-ción con un determinado momento de flexión, laaltura del alma (d) debe ser la mayor posible.Para reducir el peso propio, el espesor de alma(tw) debe reducirse al mínimo. Como consecuen-cia de esto la placa del alma tiene en muchasocasiones unas dimensiones esbeltas, y por ellouna tendencia al pandeo con valores relativa-mente bajos de esfuerzo cortante aplicado. Demodo similar, las placas del ala esbeltas puedensufrir un pandeo bajo la compresión axial aplica-da que se deriva del momento de flexión.

Los elementos de placa no se destruyenal pandearse, y pueden poseer una reservaimportante de resistencia posterior al pandeo.Para que el diseño sea eficaz, en cualquier cál-culo relacionado con el estado límite de rotura se

debe tener en cuenta la acción posterior al pan-deo. Esto es así sobre todo en el caso de laplaca de alma sometida a cizalladura, en la quela resistencia posterior al pandeo derivada de la

acción de campo de tensión puede ser muy sig-nificativa.

Así pues, al diseñar una viga armada esnecesario evaluar la acción de pandeo y la pos-terior al pandeo de las almas sometidas a ciza-lladura y de las placas de las alas sometidas acompresión. El diseño de las alas de viga arma-da sigue en gran medida los procedimientos yaexpuestos en las lecciones 9.5 y 9.6 relativos avigas de alma llena. Sin embargo, el diseño deplacas de alma de funcionamiento en régimenposterior al pandeo es muy diferente y se trataráaquí con más detalle. La lección comenzará con-

centrándose primero en la resistencia de lasvigas armadas a la carga de cizalladura predo-minante, para pasar después a los efectos de loselevados momentos de flexión coexistentes.

Se concentrará solo en los aspectos prin-cipales del diseño de vigas, presuponiendo unasección transversal básica. En concreto, lossupuestos son:

1. Solo hay rigidizadores transversales,es decir, no hay rigidizadores longitudi-nales.

2. Estos rigidizadores transversalesposeen la suficiente rigidez y resisten-cia para resistir de forma segura lasacciones transmitidas por el alma.

3. Se dispone de un medio apropiadopara fijar el campo de tensión.

4. Entre los rigidizadores transversalesno se aplica ninguna carga vertical.

5. Solo se analizan almas sólidas, esdecir, sin aberturas ni orificios.

La lección 10.5.2 estudia otros casos impor-tantes que no satisfacen los anteriores supuestos.

76



2. RESISTENCIA AL PANDEOPOR CIZALLADURA

La figura 1 representa esquemáticamenteuna viga armada típica con rigidización transver-sal, y establece los signos de referencia utilizados.La resistencia al pandeo por cizalladura dependeprincipalmente de la relación altura-espesor (d/tw)y de la separación (a) entre los rigidizadorestransversales existentes en el alma.

Estos rigidizadores suelen utilizarse paraincrementar la resistencia del alma al pandeo porcizalladura, aunque los proyectistas pueden a

veces decidir usar una placa de alma más grue-sa antes que incurrir en los gastos adicionalesde fabricación surgidos del empleo de rigidiza-dores intermedios. Las vigas que no los poseense denominan normalmente “no rigidizadas”,aun cuando deban tener rigidizadores en lospuntos de apoyo y de aplicación de carga.

El pandeo del alma debe verificarse siem-pre que su relación altura-espesor, (d/tw), sobre-pase 69ε. En el Eurocódigo 3 se ofrecen dosmétodos para el diseño de vigas armadas. Estosson:

a) el método post-crítico simple, quepuede aplicarse tanto a vigas rigidiza-das como a vigas no rigidizadas y espor tanto de aplicación general.

b) el método de campo de tensión, quesolo puede aplicarse a vigas con rigidi-

zadores intermedios transversales, eincluso dentro de éstas, se limita a lasque presentan una separación entre rigi-

dizadores dentro del margen siguiente:

1,0 ≤ a/d ≤ 3,0

Hoy día existen suficientes pruebas [2] deque la acción de campo de tensión se desarrollaen vigas con una separación entre rigidizadoresfuera de este margen, y también en vigas no rigi-dizadas; sin embargo, esas pruebas aún no sehan presentado en una forma adecuada para serincluidas en un código de diseño.

Así pues, el método post-crítico simple seconsidera un método universal aplicable al dise-ño de todas las vigas. Por otro lado, el método decampo de tensión solo se puede aplicar a uncierto grupo de vigas, pero los diseños que de élresultan son bastante más eficaces, ya que tie-nen en cuenta en toda su magnitud la reserva deresistencia posterior al pandeo. A continuaciónse expondrán ambos métodos.

2.1 Cálculo de la resistenciaal pandeo por cizalladuramediante el métodopost-crítico simple

Este método simple permite determinardirectamente la resistencia al pandeo por cizalla-dura prevista (VbaRd), como sigue:

77

RESISTENCIA AL PANDEO POR CIZALLADURA

Figura 1 Alzado de viga armada típica



(1)

donde todos los términos de la fórmula resultan

conocidos, salvo la resistencia post-crítica a lacizalladura, τba. El cálculo de este términodepende de la esbeltez del alma, que puedeexpresarse convenientemente mediante elsiguiente parámetro:

(2)

Aquí, kτ es un factor de pandeo por ciza-

lladura calculado partiendo de la teoría de pan-deo elástica [3]. Para mayor simplicidad, en estecálculo se supone, de un modo conservador, quelos contornos del elemento del alma están sim-plemente apoyados, pues el grado real de empo-tramiento ofrecido por las alas y los elementosdel alma adyacentes no se conoce. La fórmularesultante que se obtiene para el factor de pan-deo por cizalladura depende de la separaciónentre los rigidizadores transversales del alma, dela siguiente forma:

para rigidizadores intermedios con una separa-ción pequeña (a/d < 1,0) :

para rigidizadores intermedioscon una separación mayor (a/d≥ 1,0) :

para almas no rigidizadas kτ =5,34

Conociendo el factor depandeo por cizalladura, elparámetro de esbeltez sedetermina a partir de la ecua-

ción (2), dependiendo enton-ces el cálculo de la resistencia

a la cizalladura, como muestra la figura 2, de siel alma es:

a) robusta o gruesa ( zona ABde la figura Figure 2), en cuyo caso elalma no sufrirá pandeo y la tensión tan-gencial en el fallo alcanzará la tensión defluencia tangencial del material del alma:

donde fyw es la resistencia a la fluencia

por tracciónb) intermedia ( , zona BC

de la figura 2), que representa unaetapa de transición de la acción defluencia a la de pandeo, evaluándoseempíricamente la resistencia a la ciza-lladura a partir de la siguiente fórmula:

c) esbelta o delgada ( , zona CDde la figura 2), en cuyo caso el pandeodel alma se produce antes que la fluen-

λw ≥ 1 2,

τ λba w ywf= − −[ , ( , )] ( / )1 0 625 0 8 3

0 8 1 25, ,< <λw

τba ywf= / 3

λw = 0 8,

ka d

τ = +5 34 4

2,

( / )

ka d

τ = +4 5 34

2

,

( / )

λε τ

wwd t

k=

/

,37 4

V d tbaRd w ba M= τ γ / 1

78

τ

τ

ττ

ττ

λ λ

λ

Figura 2 Tensión cor tante pos-crítica



cia y se tiene en cuenta empíricamenteuna cierta cantidad de acción posterioral pandeo:

El cálculo de la resistencia al pandeo porcizalladura mediante el método post-crítico sim-ple se completa sustituyendo el valor apropiadode τba en la ecuación (1).

2.2 Cálculo de la resistenciaal pandeo por cizalladuramediante el métodode campo de tensión

En el caso de las vigas rigidizadastransversalmente, en las que la separa-ción entre los rigidizadores transversalesestá dentro de un margen de 1,0 ≤ a/d ≤3,0, se puede tener en cuenta en toda sumagnitud la considerable reserva deresistencia posterior al pandeo. Estareserva se deriva del desarrollo de una“acción de campo de tensión” dentro de laviga.

La figura 3a muestra el desarrollode la acción de campo de tensión en loselementos del alma individuales de unaviga típica. Una vez que el alma ha sufri-do el pandeo debido a la cizalladura, pier-de su resistencia para soportar tensiones

de compresión adicionales. En este régi-men posterior al pandeo se desarrolla unnuevo mecanismo de carga de acuerdocon el cual, un campo inclinado de tensiónde membrana por tracción soporta cual-quier esfuerzo cortante adicional. Estecampo de tensión se sitúa en las alassuperior e inferior y en los rigidizadorestransversales a cada lado del elementodel alma, como se representa. La acciónportante de la viga armada pasa a ser

similar a la de la viga de celosía en N dela figura 3b. En el régimen posterior al

pandeo, la resistencia que ofrecen las placas dealma es análoga a la de las barras de anclajediagonales de la viga de celosía.

La resistencia total al pandeo por cizalla-dura para el diseño (Vbb Rd) está calculada en elEurocódigo 3, superponiendo la resistencia pos-terior al pandeo a la resistencia inicial elástica alpandeo, como sigue:

Resistencia total a la cizalladura = resis-tencia elástica al pandeo + resistencia posterioral pandeo:

(3)

La base de este supuesto comportamien-to se muestra esquemáticamente en la figura 4.

V d t gtbbRd w bb M w bb M= +( ) / , ( sen ) / τ γ σ φ γ 1 10 9

τλba

wywf=

( )

0 93

, /

79


Figura 3 Acciones de tracción



La figura 4a muestra lasituación al pandeo, según larepresenta el primer término dela ecuación (3). En esta etapase desarrollan en el alma igua-les tensiones principales detracción y de compresión. Laresistencia al pandeo por ciza-lladura, τbb, se calcula partiendode la teoría de pandeo elástica,llegándose a ecuaciones simila-res, que no idénticas, a las de lalección 3.1 relacionadas con laresistencia simple post-crítica ala cizalladura τba. Así, el cálculode la resistencia al pandeo porcizalladura vuelve a depender,

como muestra la figura 5, de siel alma es:

a) robusta o gruesa ( , zona ABde la figura 5), en cuyo caso el alma nosufrirá pandeo y vuelve a tomarse latensión de fluencia tangencial:

donde fyw es la resistencia a la fluenciapor tracción

b) intermedia ( , zona BCde la figura 5) donde en la transiciónde fluencia a pandeo:

c) esbelta o delgada ( , zonaCD de la figura 5) donde el alma sufri-

rá el pandeo y, partiendo de la teoríade pandeo elástica:

λw ≥ 1 25,

τ λbb w ywf= − −[ , ( , )]( / )1 0 8 0 8 3

0 8 1 25, ,< <λw

τbb ywf= / 3

λw = 0 8,

80

τ

τ σ

σ

φ φ

Figura 4 Fases en el comportamiento hasta el fallo de un panel típico por cortante

τ

τ

τ τ

τ

τ

τ

λ λ

λ

Figura 5 Pandeo de almas por cortante



Así, conociendo τbb, puede evaluarse elprimer término de la fórmula de la ecuación (3).La evaluación del segundo término, correspon-diente a la acción posterior al pandeo, resultamás compleja, aunque aun así puede reducirsea un procedimiento de diseño adecuado.

En el régimen posterior al pandeo, segúnmuestra la figura 4b, se desarrolla un campoinclinado de tensión de membrana por tracción,con una inclinación φ respecto de la horizontal.

Dado que las alas de la viga son flexibles,comenzarán a doblarse hacia dentro bajo la trac-ción ejercida por el campo de tensión.

Si la carga sigue aumentando se produci-rá la fluencia en el alma, bajo el efecto combina-do del campo de tensión de membrana y de latensión tangencial en el pandeo. El valor de latensión del campo de tensión (τbb) al que se pro-duce la fluencia, denominado “resistencia delcampo de tensión” en el Eurocódigo 3, puededeterminarse aplicando el criterio de fluencia deVon Mises-Hencky [2]. El resultado es la siguien-te fórmula correspondiente a la resistencia delcampo de tensión:

donde el término ψ = 1,5 τbb sin 2φ se introduceúnicamente para simplificar.

Una vez el alma ha sufrido la fluencia, el

fallo definitivo de la viga tendrá lugar cuando elmecanismo que comprende cuatro rótulasplásticas se haya formado en las alas, tal comomuestra la figura 4c. El análisis detallado deeste mecanismo de colapso, estudiando lasfuerzas internas desarrolladas en el alma eimpuestas sobre las alas (ver [2]), permite eva-luar la anchura (g) del campo de tracción, queaparece en el segundo término de la ecuación(3):

donde, como en la figura 4c, sc y st significan lasposiciones de las alas comprimidas y tracciona-das, respectivamente, en las que se forman las

rótulas plásticas.

Las posiciones de rótula se calculansabiendo que se formarán en el punto de máxi-mo momento, es decir de cizalladura cero, de lasalas; la fórmula adecuada es la siguiente:

(4)

donde MNf es el momento plástico de resisten-cia del ala, es decir 0,25 btf

2 fyf. Cuando a laviga se le apliquen elevados momentos de fle-xión además del esfuerzo cortante, en las alasse desarrollarán fuerzas axiales (Nf.Sd) que, porsupuesto, reducen el momento plástico deresistencia de las alas. Sus efectos se puedencalcular, partiendo de la teoría de plasticidadestándar, como:

MNf = 0,25 b tf2 fyf(5)

Ya se conocen todos los términos necesa-rios para calcular la resistencia total a la cizalla-dura partiendo de la ecuación (3), distintos a lainclinación φ del campo de tensión. Por desgra-cia, el valor de φ no se puede determinar direc-tamente y se ha de adoptar un procedimiento ite-rativo en el que se supongan sucesivos valoresde φ, evaluándose la correspondiente resistencia

a la cizalladura en casa caso. El proceso se repi-te hasta establecer el valor de φ que produce lamáxima, y por tanto la exigida, resistencia a lacizalladura. La variación de la resistencia a lacizalladura con φ no es muy rápida. El valorcorrecto de φ se encuentra entre un mínimo deθ /2 y un máximo de θ, donde θ es la pendientede la diagonal del elemento tan-1(d/a), como semuestra en la figura 6. Un estudio paramétrico[2] ha establecido que, para vigas de dimensio-nes normales, el valor de φ que produce el máxi-

mo valor de resistencia a la cizalladura vienedado aproximadamente por:

f t b N -1

yf f

Sd .f

2

S M

taNf

w bb

=

≤

2

12

sen φ σ

g d a s sc t= − − −cos ( )φ φsen

τ τbb y w bbf= − + −[ ]2 23 Ψ Ψ

τ λbb w ywf= ( )[ / ] / 1 32

81




3. INTERACCIÓN ENTRECORTANTE Y FLEXIÓN

En general, cualquier sección transversalde viga armada estará sometida a los efectos demomentos de flexión sumados a cortante. Comose expone en [2], esta combinación hace bas-tante más complejas las condiciones de tensio-nes en el alma de la viga. En primer lugar, lastensiones derivadas del momento de flexión secombinarán con las tensiones tangenciales paraproducir una carga de pandeo inferior. Ensegundo lugar, en el régimen posterior al pan-deo, las tensiones de flexión influirán en la mag-

nitud de las tensiones de membrana del campode tensión necesarias para producir la fluenciaen el alma. Por último, como ya se ha dicho enrelación con la ecuación (5), las fuerzas axialesde alas, surgidas del momento de flexión, redu-cirán el momento plástico de resistencia de lasalas.

La evaluación adecuada de todos estosefectos es compleja, pero como se expone en[2], se pueden establecer ciertos supuestossobre la interacción de momento y cortante paraobtener un procedimiento de diseño simple y efi-caz. En el Eurocódigo 3, el procedimiento paratener en cuenta la interacción momento/cortantedepende naturalmente de si para calcular laresistencia al pandeo por cortante se está utili-zando el método post-crítico simple de la sección2.1 o el de campo de tensión de la sección 2.2.A continuación se estudiará cada caso por sepa-rado.

3.1 Interacción entre cortantey flexión en el métodopost-crítico simple

La interacción entre cortante y flexiónpuede representarse convenientemente median-te el diagrama que muestra la figura 7a (figura5.6.4a de el Eurocódigo 3), en el que la resisten-cia de la viga a la cizalladura se refleja en el ejevertical y la resistencia al momento en el hori-

zontal. La interacción representa una envolventedel fallo, definiendo cada punto de la curva los

valores coexistentes de cizalladura y flexión que

la viga puede soportar como máximo.

El diagrama de interacción puede estu-diarse dividiéndolo en tres zonas. En la zona ABel momento de flexión aplicado Mad es reducido,y la viga puede aguantar una carga de cortanteVad igual al valor total de la resistencia al pandeocalculado partiendo del método post-crítico sim-ple, como en la ecuación (1). Así, en esta zona:

Msd ≤ Mf.Rd

Vsd ≤ VbaRd (6)

83

INTERACCIÓN ENTRE CORTANTE Y FLEXIÓN

Figura 7 Interacción de resistencia al pandeo por cortantey momento



El momento que define el final de la zonaen el punto B (Mf.Rd) es el momento plástico deresistencia de la sección transversal consistente

únicamente en las alas, es decir, no teniendo encuenta contribución alguna del alma. En este cál-culo hay que observar que las placas del alacomprimida pueden sufrir un pandeo y, si esnecesario, tener esto en cuenta adoptando unaanchura eficaz beff para el ala. El cálculo de estaanchura eficaz es el descrito en la lección 9.3 enrelación con un elemento sobresaliente compri-mido.

En el otro extremo del diagrama de inte-

racción, en la zona CD, el cortante aplicado Vades reducida. Siempre que ésta no sobrepase elvalor límite de 0,5 Vba en el punto C, no seránecesario reducir el momento plástico de resis-tencia de toda la sección transversal MN.Rd paraadmitir el cortante.

En la zona intermedia BC, los valores coe-xistentes de momento Mad y cortante Vad aplica-dos deben satisfacer la siguiente relación:

MSd

≤ Mf.Rd

+ (MN.Rd

- Mf.Rd

)

[1 - (2Vsd /Vba.Rd - 1)2] (7)

De este modo se ha definido todo el mar-gen de interacción momento/cortante con rela-ción al método post-crítico simple.

3.2 Interacción entre cortantey flexión en el métodode campo de tensiónEl procedimiento para el método de

campo de tensión sigue lo descrito anteriormen-

te para el método post-crítico simple, y da lugara un diagrama de interacción similar, que noidéntico, representado en la figura 7b (figura

5.6.4b del Eurocódigo 3).

En la zona de momento reducido AB, denuevo definida por valores de momento aplicadoinferiores a Mf.Rd, la viga puede aguantar unacarga de cortante Vad igual a la resistencia “solodel alma” a cortante Vbw.Rd, calculada partiendode la teoría de campo de tensión. Así:

MSd ≤ Mf.Rd

VSd ≤ Vbw Rd

La resistencia “solo del alma” a cortantees el valor específico de la resistencia total a cor-tante Vbw.Rd calculado partiendo de la ecuación(1), para el caso en que MNF = 0 en la ecuación(5). Es, en efecto, un enfoque conservador queno tiene en cuenta la contribución de las alas ala acción de campo de tensión.

En el otro extremo, en la región CD, el pro-cedimiento es el mismo que para el método post-crítico simple, salvo que aquí se toma un valorlímite de cortante en el punto C de 0,5Vbw. Demodo similar, el procedimiento para la zona inter-media BC sigue como antes, con la excepción deque ahora la sustitución en la ecuación (7) delvalor de campo de tensión Vbw por Vba da:

MSd ≤ Mf.Rd + (MN.Rd - Mf.Rd)

[1 - (2Vsd / Vbw.Rd - 1)2] (8)

De este modo queda definido todo el mar-gen de interacción momento/cortante para elmétodo de campo de tensión.

84



4. RESUMEN FINAL1. Se han descrito procedimientos para el

diseño de vigas armadas sometidas a

cortante, que emplean diversos gradosde resistencia posterior al pandeo ycorresponden o bien al “método post-crítico simple” o al de “campo de ten-sión” del Eurocódigo 3.

2. La resistencia de las vigas armadas almomento puede normalmente basarseen la resistencia de momento plásticode las alas.

3. El diseño referido a cizalladura y

momento coincidentes debiera reali-zarse utilizando un diagrama de inte-racción. El método más sencillo con-siste en diseñar el alma de modo quesoporte toda la cortante, resistiendolas alas el momento.

4. El método de “campo de tensión” tieneuna aplicación más restringida que elmétodo “post-crítico simple”, pero ofre-ce mayores resistencias.

5. Otros aspectos del diseño (rigidizado-res, etc.) se exponen en la lección10.5.2.

5. BIBLIOGRAFÍA

[1] Eurocode 3 “Design of Steel Structures”:

European Prestandard ENV 1993-1-1: Part 1.1,General rules and rules for buildings, CEN, 1992.

[2] Narayanan, R. (ed), “Plated Structures;Stability and Strength”, Applied SciencePublishers, London 1983. Chapter 1 covers basicaspects of plate girder behaviour and design.

[3] Bulson, P. S. “The Stability of Flat Plates”,Chatter & Winders, London, 1970. General cove-rage of plate buckling and explanation of kτ

values for numerous cases.


1. Dubas, P. and Gehri, E. (eds)., “Behaviourand Design of Plated Structures”, ECCS, 1986.Chapters 4 and 5 provide a detailed coverage ofplate girder design, taking the reader well beyondthe content of this lecture. They also refer tonumerous original sources.

2. Galambos, T. V. (ed)., “Guide to StabilityDesign Criteria for Metal Structures”, 4th Edition,Wiley Interscience, 1987.

85

RESUMEN FINAL




Lección 10.4.3: Diseño de vigas Armadas-Particularidades

87



1. INTRODUCCIÓN

Las dos lecciones previas sobre las vigas

armadas se han concentrado en los aspectosprincipales del comportamiento estructural, en elque se basan los principios del diseño. Se hanesbozado los dos métodos de diseño propuestospor el Eurocódigo 3 [1]: el método “post-críticosimple”, de aplicación general, y el método de“campo de tensión”, que ofrece resistencias bas-tante más altas al tener en cuenta la resistenciade las vigas posterior al pandeo.

El objetivo de esta lección es completar

la exposición del diseño de vigas armadasestudiando otros aspectos del diseño de deta-lles. Por ejemplo, el desarrollo de una acciónposterior al pandeo en la placa de alma, presu-puesto en las lecciones anteriores, solo puedetener lugar si los elementos del contorno deesa placa de alma son capaces de proporcio-nar un anclaje adecuado a las fuerzas decampo de tensión que se desarrollan en laplaca. La presente lección estudiará el diseñode esos elementos de contorno, que pueden

adoptar la forma de rigidizadores transversaleso diagonales extremas.

Las vigas pueden verse sometidas a car-gas elevadas en zonas localizadas, creándose laposibilidad de una “inestabilidad local” (“crippling”)de la placa de alma. Un buen ejemplo sucede enlas vigas de camino de rodadura sometidas a unacarga vertical que recorre el ala. Los efectos deesta “carga por zonas” deben analizarse con cui-dado en el diseño. Es un aspecto tratado muy enprofundidad en el Eurocódigo 3 [1]. Aquí se esbo-zan los principios más importantes.

Otros dos aspectos importantes del dise-ño de vigas armadas son el tratamiento de vigascon rigidizadores de alma transversales y el devigas con grandes aberturas en las placas dealma. Estas aberturas son con frecuencia nece-sarias, sobre todo en la construcción de edificios,para permitir el acceso de conductos para servi-cios, etc. De ninguna de estas dos situaciones seocupa la parte 1 del Eurocódigo 3. Así pues, estalección expone una práctica adecuada en rela-ción con ambos casos.

90



2. RIGIDIZADORES DE ALMATRANSVERSALES

Para conseguir un diseño eficaz, esdecir, una viga armada de relación resisten-cia/peso elevada, es necesario dotarla de rigi-dizadores de alma transversales. En elEurocódigo 3 solo se permite la aplicación delmétodo de campo de tensión, que en anterio-res lecciones se ha mostrado cómo mejora demanera significativa la resistencia portantecuando el alma está rigidizada. El Eurocódigoespecifica también que la separación entreestos rigidizadores debe ser tal, que la rela-

ción separación entre rigidizadores/profundi-dad de alma (a/d) esté dentro del margensiguiente:

1,0 ≤ a/d ≤ 3,0

Los rigidizadores transversales jue-gan un importante papel al permitir alcanzarla resistencia total de carga de rotura de laviga armada. En primer lugar aumentan laresistencia del alma al pandeo; en segundolugar, deben seguir siendo eficaces tras elpandeo del alma para proporcionar el anclaje del campo de tensión; por último, debenevitar la tendencia de las cabezas a mover-se una hacia la otra.

La mejor manera de ilustrar el rendi-miento satisfactorio de un rigidizador trans-versal es comparando las vigas represen-tadas, tras el ensayo, en las diapositivas 1y 2. En la diapositiva 1 los rigidizadoreshan permanecido derechos y han cumplido

claramente su función de barras verticalesen el modelo de viga de celosía en N sim-plificada de la acción posterior al pandeoexpuesta en la lección 10.2.2, ver figura 1.En la diapositiva 2 el rigidizador ha falladoy no ha sido capaz de limitar el pandeo alos elementos secundarios adyacentes dela viga; por el contrario, el pandeo ha tras-pasado la posición del rigidizador, exten-diéndose a ambos elementos. Como con-secuencia de ello se ha producido una

notable reducción en la carga de rotura dela viga.

Los requisitos para asegurar un adecuadorendimiento de los rigidizadores se exponen enla sección 5.6.5 del Eurocódigo 3. Primero, el

rigidizador debe poseer una rigidez adecuada enla dirección perpendicular al plano del alma paraimpedir el pandeo de la misma. Esta condiciónse cumple siempre que el rigidizador tenga unsegundo momento de área Is que satisfaga lassiguientes fórmulas empíricas:

Segundo, la resistencia al pandeo de la“barra rigidizadora” vertical debe ser suficientecomo para soportar las fuerzas de campo de ten-sión representadas en la figura 2a (reproducción

I dt cuando a ds w≥ ≥0 75 23, /

I d t a cuando a ds w≥ <1 5 23 3 2, / /

91

RIGIDIZADORES DE ALMA TRANSVERSALES

Figura 1 Acciones de tracción



de alma eficaz empírica de 30 εtw, como muestrala figura 3 (reproducción de la figura 5.7.4 delEurocódigo 3). Habiendo de este modo estableci-do la sección transversal eficaz de la barra rigidi-zadora, su resistencia al pandeo se determina,como la de cualquier otro elemento comprimido,de acuerdo con la sección 5.5.1 del Eurocódigo 3.

Con un rigidizador “portante”, es decir, unrigidizador transversal en una situación en la quese aplica una carga externa sobre la viga, esnecesaria una consideración adicional. La resis-tencia de la sección transversal eficaz del rigidi-zador portante debe verificarse también en unasituación próxima al ala sometida a la carga.

93

RIGIDIZADORES DE ALMA TRANSVERSALES

Diapositiva 2

ε ε ε ε

Figura 3 Sección transversal efectiva de rigidizadores



3. ELEMENTOS EXTREMOSY DIAGONALES

La exigencia de elementos en el contornoadecuados para soportar la carga impuesta porel campo de tensión posterior al pandeo esespecialmente rigurosa en el caso del elementoextremo de la viga. La situación del rigidizadortransversal en el extremo de la viga, es decir la“diagonal extrema”, es muy diferente de la de unrigidizador intermedio, compárense las figuras2b y 2a. En el extremo de la viga, las fuerzasimpuestas por el campo de tensión en el ele-mentos extremo han de ser soportadas entera-

mente por la diagonal extrema, sin ayuda de nin-gún elemento adyacente.

En las cláusulas 5.6.4.3 y 5.6.4.4 delEurocódigo 3 [1] se ofrecen procedimientosde diseño para elementos extremos y dia-gonales, permitiéndose al proyectista bási-camente dos opciones.

Primero, el proyectista puede decidirno diseñar una diagonal extrema que propor-cione un anclaje adecuado para el campo detensión. Como consecuencia de ello, el ele-mento del alma debe ser diseñado de acuer-do con el método post-crítico simple, demanera que no se desarrolle un campo detensión en su interior. Esta opción ofrece unprocedimiento de diseño sencillo, pero pre-senta el inconveniente de que la resistenciacalculada a cortante del elemento extremoserá bastante menor a la de los paneles delalma internos de la viga. Puesto que es pro-bable que el cortante aplicado en la zona

extrema sea mayor que en ningún otro puntodel tramo, la solución de diseño ofrecida poreste procedimiento no será eficaz si la sepa-ración entre rigidizadores permanece cons-tante en toda la longitud de la viga. Comomuestra la figura 4a, el proyectista deberíaentonces reducir la separación entre los rigi-dizadores que limitan con el panel extremo,de manera que la resistencia a cortante deese panel, según se calcula mediante elmétodo post-crítico simple, pasa a ser igual a

la calculada mediante el método de campode tensión para los paneles internos.

La opción más eficaz, pero más compleja,es diseñar la diagonal extrema de modo que pro-porcione un anclaje adecuado para el campo de

tensión del alma. El panel extremo puede enton-ces diseñarse de acuerdo con el método decampo de tensión, de tal forma que la resistenciaprevista al pandeo por cortante (Vbb.Rd ) sepuede calcular como se describe en la lección10.2.2 para paneles de alma internos, es decir

Vbb.Rd = [(d tw τbb ) + 0,9 (g tw σbb sin φ)]/ γ M1

La ligera diferencia en relación con el

panel extremo se deriva del cálculo de la anchu-ra g del campo de tensión. Para un panel internola anchura viene dada por:

94

Figura 4 Diseño de paneles de borde



donde sc

y st

significan las longitudes a lo largo delas cuales el campo de tensión se ancla en lasalas comprimida y de tracción, ver figura 2a. Elmecanismo de fallo puede ser diferente para unpanel extremo, pues, como se muestra en la dia-positiva 3, también en la diagonal extrema sepuede formar una rótula plástica. Esta rótula afec-ta a la longitud de anclaje correspondiente al alacomprimida, que ahora debe calcularse como:

donde Mpl.1 es el momento plástico reducido delala en la posición de rótula interna, permitiendo lapresencia de la fuerza axial (Nf1 ) en esa posición.

La otra rótula plástica se formará, o bien enel extremo de la cabeza, como es el caso de unpanel interno, o en la diagonal extrema. La localiza-ción de la rótula, según queda definida por ss en lafigura 2b, dependerá de cuál de estos dos elemen-

tos presente el menor momento plástico de resis-tencia. Mpl.2 toma el menor de estos dos valores.

De este modo, la cláusula 5.6.4.3 delEurocódigo 3 permite una definición completa de lageometría del campo de tensión desarrollado en elpanel extremo, ver figura 2b. Puede entonces cal-cularse la resistencia prevista al pandeo por cor-tante Vbb.Rd del panel, junto con el componentehorizontal Fbb de la fuerza de anclaje del campo detensión impuesto a la diagonal extrema:

La diagonal extrema resiste esta fuerzaactuando como una viga de alma llena verticalque se extiende entre las dos alas. Para ellodebe satisfacer el siguiente criterio:

Mpl.2 + Mpl.3 ≥ 0,5 Fbb ss

donde el momento plástico reducido de la diago-nal extrema:

Mpl.3 = 0,25 bs ts2 fys 1 - [Ns3 /(bs ts fys )]2

admite el efecto de la fuerza axial sobre ella:

F t sbb w s bb= σ φcos2

sM M

tc

p p

w bb

= +

⋅ ⋅2

2

1 2

12

sen φ σ

l l

95

INTRODUCCIÓN

Diapositiva 3



Ns3 = Vsd - τbb tw (d - ss )

Si resulta difícil disponer una diagonal

extrema en forma de una placa única para resis-tir estas fuerzas, el proyectista puede plantearseuna disposición extrema como la que se muestraen la figura 4b. En este caso se utilizan dos rigi-dizadores transversales. Estos dos rigidizadores,

y la porción de alma que sobresale más allá delsoporte extremo, forman una diagonal extremarígida destinada a proporcionar en el panel extre-

mo el necesario anclaje para el campo de ten-sión. El inconveniente de esta disposición es quedebe existir un espacio adecuado disponible quepermita a la viga proyectarse más allá de susoporte extremo.

96



4. “INESTABILIDAD LOCAL”DEL ALMA

Hay muchas situaciones en las que no esposible disponer rigidizadores de alma transver-sales en todo los puntos donde se aplican a laviga cargas verticales. Por ejemplo, una viga decamino de rodadura está sometida a una cargavertical que recorre el ala; también puede ocurrirque durante la construcción las vigas se colo-quen de manera que el ala realmente se muevesobre el punto fijo de apoyo. En estos casosdebe prestarse una especial atención al diseñodel alma no rigidizada en la zona localizada por

debajo, o por encima, de la carga pun-tual o “zonal” aplicada, para impedir la“inestabilidad local del alma”. Debido aeste posible fallo local, deben verificar-se las almas de todas las vigas dealma llena. Las vigas armadas sonespecialmente sensibles a esta formade fallo, a causa de la esbeltez de lasplacas de alma que suelen emplearseen su construcción.

La “inestabilidad local” se expo-ne en la sección 5.7 del Eurocódigo 3.Distingue entre los dos casos distintosde carga que representa la figura 5(tomada de la figura 5.7.1 delEurocódigo). En la figura 5a la fuerzaes aplicada únicamente a un ala, y portanto la resisten los esfuerzos cortan-tes desarrollados en la placa de alma.En este caso se ha de verificar la placade alma para comprobar su resistenciaal “recalcado” y a la “inestabilidad

local”. En el otro, representado en lafigura 5b, la fuerza es aplicada a unala, transmitida directamente por lasfuerzas de compresión desarrolladasen el alma, y soportada por una fuerzade reacción en la otra ala. De nuevo seha de verificar el alma para comprobarsu resistencia al “recalcado”, y en estecaso debe analizarse también la resis-tencia del alma al “pandeo”.

Existen por tanto tres tipos deresistencia del alma que deben calcu-

larse. En cada caso esa resistencia dependede la longitud a lo largo de la cual la fuerzaaplicada se distribuye eficazmente en el ala, y

que se denomina “longitud rígida portante”(“stiff bearing length”) (ss ). Se calcula sobre elsupuesto de una dispersión de carga a travésdel material de acero sólido con una pendientede 1:1.

Los términos resistencia al “recalcado” y ala “inestabilidad local” describen conveniente-mente las acciones descritas. La resistenciaapropiada se calcula en cada caso a partir defórmulas empíricas:

97

“INESTABILIDAD LOCAL” DEL ALMA

Figura 5 Fuerzas aplicadas a través de las alas



Resistencia al “recalcado”:

Ry.Rd = (ss + sy ) tw fyw / γ M1

Resistencia a la “inestabilidad local”:

Ra.Rd = 0,5 tw2 (E fyw)1/2 [tf /tw)1/2 + 3 (tw /tf)

(ss /d)]/ γ M1

La resistencia al “pandeo” (Rb.Rd )correspondiente a la situación de carga decompresión ilustrada por la figura 5b, se deter-mina simplemente considerando la placa de

alma como un elemento comprimido vertical.Primero es necesario determinar la anchura de

la “barra” de alma (beff ) que es eficaz pararesistir la compresión. Esta anchura puede cal-cularse como:

beff = [h2 + ss2 ]1/2

donde:

h es la profundidad global de la viga,

ss es la longitud rígida portante antes señalada.

La resistencia al pandeo de esta barraideal se determina entonces, como ocurre con

cualquier otro elemento comprimido, de acuerdocon la sección 5.5.1 del Eurocódigo 3.

98



5. RIGIDIZADORESDE ALMA LONGITUDINALES

Para aumentar la relación resistencia/pesode las vigas armadas, las almas esbeltas puedenreforzarse mediante rigidizadores longitudinales, ytambién transversales. La diapositiva 4 muestrauna típica viga con rigidización longitudinal tras elfallo. La función principal de los rigidizadores lon-gitudinales es incrementar la resistencia del almaal pandeo en lo que se refiere a las cargas de cor-tante y de flexión. Un rigidizador eficaz permane-cerá derecho, subdividiendo así el elemento dealma y limitando el pandeo a los elementos

secundarios menores. Con ello puede conseguir-se un aumento importante de la resistencia de laviga a la rotura.

La parte 1 del Eurocódigo 3 no se ocupa deldiseño de almas con rigidizadores longitudinales; alproyectista se le remite a la parte 2 del Eurocódigo,

aún no disponible. Debido a que en ellos son másnecesarias unas relaciones resistencia/peso eleva-das, las vigas con rigidizadores longitudinales seencuentran con más frecuencia en las construcciónde puentes que en la de edificios.

El procedimiento se basa a veces en unaserie de curvas empíricas de diseño derivadas delos resultados de un estudio paramétrico, emple-ando técnicas de modelación numéricas. Es unprocedimiento de diseño sencillo, aunque de algún

modo conservador. Existe una información adicio-nal sobre el comportamiento de vigas con rigidiza-ción longitudinal [2] que ayudará al proyectista acomprender mejor la acción estructural.

99

RIGIDIZADORES DE ALMA LONGITUDINALES

Diapositiva 4



7. RESUMEN FINAL1. Los elementos adyacentes a la placa de

alma de una viga deben diseñarse de

modo que proporcionen un anclaje ade-cuado para las fuerzas de campo de ten-sión desarrolladas en el elemento de alma.

2. El método de diseño de campo de tensiónsolo es aplicable cuando se disponen rigidi-zadores transversales de manera que la rela-ción separación entre rigidizadores/profundi-dad del alma está dentro del margen: 10,0 ≤a/d ≤ 3,0. Para impedir el pandeo, los rigidiza-dores deben tener una rigidez adecuada en ladirección perpendicular al plano del alma.

También la resistencia al pandeo de la barrarigidizadora vertical debe ser suficiente parasoportar las fuerzas de campo de tensión.

3. El diseño de la diagonal extrema debe estu-diarse con cuidado. El proyectista tiene laopción de, o bien sencillamente no permitir eldesarrollo de la acción de campo de tensiónen el elemento extremo o, para obtener undiseño más eficaz, de disponer una diagonalextrema de suficiente rigidez y resistencia.

4. La posibilidad de inestabilidad local, recalca-

do o pandeo del alma debe estudiarse enaquellas áreas localizadas en las que el alade la viga está sometida a una carga porzonas.

5. Los rigidizadores de alma longitudinales per-miten diseñar vigas con elevadas relacionesresistencia/peso. Son especialmente impor-tantes en la construcción de puentes. No semencionan en el Eurocódigo 3: Parte 1.

6. En la construcción de edificios son con fre-

cuencia necesarias grandes aberturas dealma que permitan el paso de servicios. En laparte 1 del Eurocódigo 3 tampoco se men-cionan las vigas armadas con aberturas.

8. BIBLIOGRAFÍA

[1] Eurocode 3 “Design of Steel Structures”.

European Prestandard ENV 1993-1-1: Part 1.1,General rules and rules for buildings, CEN,1992.

[2] Narayanan, R (Editor), “Plated Structures;Stability and Strength”, Applied SciencePublishers, London, 1983. This reference givesdetailed information, including the experimentalbackground to the structural action covered inthe clauses of Eurocode 3 referred to in this lec-ture.


1. European Convention for ConstructionalSteelwork, “European Recommendations for theDesign of Longitudinally Stiffened Webs and ofStiffened Compression Flanges”, ECCSPublication 60, 1990.

101

RESUMEN FINAL




Lección 10.5.1: Diseño de Vigas Cajón

103



105

OBJETIVOS/CONTENIDO

OBJETIVOS/CONTENIDO

Describir los aspectos y ventajas principa-

les de las vigas cajón; presentar los métodos deanálisis global utilizados y hacer una introduc-ción a los detalles de refuerzo característicos pormedio de rigidizadores y diafragmas.


Lección 8.1: Definición de EquilibrioElástico Estable e Inestable

Lección 10.1: Introducción alComportamiento y Diseñode Placas

Lección 10.4: Comportamiento y Diseñode Vigas Armadas

LECCIONES AFINES

Lección 10.5.2: Métodos avanzados para

Puentes de Vigas Cajón

RESUMEN

Se comparan las ventajas de las vigascajón con las de las vigas armadas. Se exponesu comportamiento estructural en términos glo-bales y se detalla, abarcando temas como eldiseño de diafragmas y rigidizadores, pandeo ytorsión del alma. También se ofrecen recomen-

daciones en relación con los detalles de fabrica-ción.



1. INTRODUCCIÓN

Las vigas cajón se utilizan tanto en

estructuras de edificios (figura 1) como en puen-tes (figura 2). En general, son más caras que lasvigas armadas porque su fabricaciónrequiere más tiempo. Sin embargo, presen-tan sobre ellas diversas ventajas que hacenque su uso sea atractivo:

• una rigidez muy buena a la torsión;resultan casi esenciales para tra-mos muy curvos;

• unos alas muy amplios que permi-ten grandes relaciones luz-altura;

• su apariencia más agradable (puesla rigidización puede no ser visi-ble), sobre todo cuando las almasestán inclinadas. En determinados

casos, por razones estéticas,constituyen la única solución prefe-rible al hormigón (figura 2a).

• una forma aerodinámica muybuena, algo importante en losgrandes puentes colgantes o decables inclinados, donde la resis-tencia al viento lateral es el princi-pal problema (figura 2b).

En puentes, los dos tipos principalesde sección transversal son:

• dos vigas cajón, sobre columnas sepa-radas, conectadas mediante travesañosy una losa de hormigón compuesto.

Cada viga tiene una rigidización longitu-dinal en el ala comprimido (figura 3).

106

Figura 1 Sección transversal de viga cajón

utilizada en edificación

(a)

(b)

Figura 2 (a) Sección transversal de viga cajón mixta en el alasuperior

(b) Sección transversal de viga cajón artotrópica

Figura 3 Losa mixta con dos vigas cajón gemelas



• una gran viga cajón, para facilitar el tra-bajo de taller, con el ala superior forma-do por la losa de cubierta de hormigón

(figura 1).

La viga cajón con cubierta ortotrópicaestá cerrada durante todas las fases del montaje(figura 4). Por otro lado, entre las almas de vigascajón cuyo ala superior está formado por unalosa de cubierta de hormigón se suele disponerun arriostramiento horizontal provisional, hastaque el hormigón se haya endurecido.

107

INTRODUCCIÓN

Figura 4 Sección transversal arriostrada de una losa orto-trópica de viga cajón



2. CARACTERÍSTICASPRINCIPALES DE LAS VIGASCAJÓN COMPARADASCON LAS VIGAS ARMADAS• El principal problema del diseño de una

viga cajón es la estabilidad del ala com-primida rigidizada longitudinal y trans-versalmente; constituye un problemamás complejo que el del alma de unaviga armada sometida a flexión, auncuando ésta posee una rigidización lon-gitudinal.

• La teoría del campo de tensión, utiliza-

da para la verificación de cortante,necesita ser corregida para poder teneren cuenta alas muy anchas.

• En los soportes, para transmitir lasreacciones, se utilizan diafragmas espe-

ciales situados generalmente entrelas almas (figura 5).

En el caso de vigas cajónestrechas, los rigidizadores portan-tes se pueden situar fuera del cajónpara aumentar la estabilidad (figura6).

Debe prestarse una especialatención a la deformación por cor-tante, la distorsión y las tensiones dealabeo.

108

Figura 5 Transferencia de las reacciones a travésde diafragmas en los apoyos

Figura 6 Situación de apoyos rigidizados en la parte exterior de vigacajón estrecha



3. ANÁLISIS GLOBAL

Dependiendo de las características de la

estructura (tramos cortos o largos, presencia decurvatura horizontal, etc.) se pueden empleardiversos métodos de análisis, por lo general enel régimen elástico:

• teorías clásicas basadas en la resisten-cia de materiales: métodos de emparri-llado para análisis global, y analogía deviga de alma llena sobre cimientos elás-ticos para las tensiones de torsión, dis-torsión y de alabeo;

• análisis de placa plegada;• análisis de elementos finitos, en casos

complejos.

Los efectos de la deformación por cizalla-dura, que no son tenidos en cuenta en el análisisglobal, han de serlo para verificar las tensiones

en cabezas muy anchas, sobre todo en lucescortas. El cálculo se realiza por medio de unaanchura eficaz, dependiente de la relación de la

anchura respecto de la luz.

Los momentos de torsión en la viga cajóntienden a distorsionar la sección transversal.Para prevenir la distorsión son necesario diafrag-mas intermedios, separados a intervalos ade-cuados.

Las tensiones de alabeo son en generalmuy bajas, pero deben tenerse en cuenta.

La mayoría de los puentes de acero sehan proyectado empleando la teoría lineal depandeo (por ejemplo, los gráficos de Kloppel).Hoy se dispone de métodos más avanzados quedeberán utilizarse en el futuro; dos de ellos, elmétodo de barra y el ortotrópico, se tratan enpróximas lecciones.

109

ANÁLISIS GLOBAL



4. DISEÑO DE RIGIDIZADORES

El diseño de los rigidizadores se puede

hacer mediante la teoría de pandeo lineal omediante el método no lineal. Cuando seemplea la teoría no lineal, el pandeo torsional olocal se evita limitando las relaciones b/t de lasección transversal conforme a la clase 3 oinferior.

Los rigidizadores transversales debensatisfacer dos criterios:

• rigidez

• resistencia; además de las fuerzas trans-versales directas, los rigidizadores trans-versales deben resistir una carga lateraldel 0,5% al 1% de las fuerzas de compre-sión que actúan en el elemento rigidizado.

110



5. PANDEO DEL ALMA

• En lo que respecta a la flexión, el pro-

blema es el mismo que para las vigasarmadas.

• Bajo esfuerzos cortantes la esbeltez dela placa del ala es normalmente tal, queresulta imposible anclar en la cabeza

parte de la banda de tensión post-crítica.En estos casos es aconsejable limitar laresistencia prevista al cortante, a la resis-

tencia al pandeo por cortante “solo delalma”, es decir Vbw.Rd (ver lección10.5.2), que es el valor dado por el méto-do de campo de tensión suponiendo:

sc = st = 0

111

PANDEO DEL ALMA



6. TORSIÓN

La torsión produce un flujo de cizalladura

en la sección en cajón. Cada elemento de lasalmas o de las alas está diseñado para resistireste flujo de cor tante, generalmente utilizando lateoría de pandeo lineal.

Comportamiento post-crítico bajo torsión

La resistencia post-crítica la proporcionanunas bandas diagonales en tensión, dispuestasen alas y almas. La figura 7 ilustra el campo detensión 1 y 1’; debido a la gran flexibilidad de los

elementos horizontales, la anchura de esabanda es limitada si se compara con la del almade una viga armada. Además, el equilibrio deuna cierta longitud de viga cajón, entre dos dia-fragmas, requiere fuerzas de compresión (verfuerza 2, figura 7) en los extremos de las vigas.Por eso es aconsejable no utilizar la reservapost-crítica.

112

Figura 7 Bandas de tracción desarrolladas bajo torsión



8. DETALLES

Las recomendaciones de detalle son en

esencia las mismas se utilice la teoría de pandeolineal o no lineal.

Recomendaciones generales

• Los rigidizadores longitudinales y trans-versales deben estar soldados a la

placa. Sin embargo, con alas inferioresno demasiado anchas y sin carga trans-versal es aceptable una disposición derigidizadores transversales sobre longi-tudinales (figura 11).

114

Rigidizadortransversal Rigidizador

longitudinal

> 0,70 c

c

Figura 8 Paso de Rigidizadores longitudinales a travésde la rigidización transversal

≥ 6 (h2-h1)

≥ 5 (t2-t1)

h1

t1

h2

t2

Figura 9 Transición lineal de rigidizador longitudinal

≤ 6t

Figura 10 Preparación de bordes para soldaduralongitudinal

Rigidizadortransversal

Rigidizadortransversal

Rigidizadorlongitudinal

Rigidizadorlongitudinal

A

A

b

SECCIÓN A-A ≤ __ b4

Figura 11 Rigidizador transversal soldado a chapa másdelgada adyacente a soldadura a tope



• Por razones referidas a la fatiga y a lacontracción, se recomienda que los rigi-dizadores longitudinales sean continuos

y por ello pasen a través de las abertu-ras de los transversales. En ese casodichas aberturas deben satisfacer larecomendación indicada en la figura 8.

• Los cambios de espesor de la placa y dealtura del rigidizador deben ser progresi-vos (se recomienda una pendiente de 1/5o 1/6), ver figura 9. El rigidizador longitu-dinal debe tener los extremos rebajados.

• Las muescas practicadas en los rigidi-zadores para facilitar la soldadura ocontrolar las soldaduras a tope en la

placa, deben cumplir los requisitos de lafigura 10.

• Cuando dos placas de diferente espe-sor se sueldan en una zona de compre-sión alineando sus caras, a la placamás delgada debe soldársele un rigidi-zador transversal según se indica en lafigura 11 (b es la separación entre losrigidizadores longitudinales).

115

DETALLES



9. RESUMEN FINAL1. Las vigas cajón se utilizan debido a su buena

resistencia a la torsión, su buena forma aero-

dinámica y a su apariencia estética.2. El diseño de diafragmas y el análisis de la

estabilidad del ala comprimida exigen uncuidadoso estudio.

3. En el análisis global pueden aplicarse diferen-tes niveles de precisión; sin embargo, para lamayoría de objetivos resulta suficientementeexacto un método clásico de emparrillado.

4. Los rigidizadores transversales contribu-yen a la transmisión de cargas y a prevenir

la distorsión de la sección transversal.5. No es aconsejable utilizar la reserva post-

crítica bajo torsión.


1. Eurocode 3: Design of steel structures”:European Prestandard, ENV 1993-1-1: Part 1.1:General rules and rules for buildings, CEN, 1992.

2. Dubas, P. and Gehri, E., Behaviour andDesign of Steel Plated Structures, TechnicalCommittee 8 Group 8.3, ECCS-CECM-EKS

No 44, 1986.

3. Johnson, R. P. and Buckby, R. J., CompositeStructures of Steel and Concrete, Volume 2:Bridges, Collins, London, 1986.

4. British Standard 5400: Part 3: Steel, Concreteand Composite Bridges, Part 3: Code of Practicefor Design of Steel Bridges, British StandardsInstitution, 1982.

5. Kollbrunner, C. F. and Basler, K.: Torsion,Spes/Bordas Lausanne/Paris, 1955.

6. Stahlbau Handbuch: Stahlbau Handbuck fürStudium und Praxis, Band I, Stahbau Verlag,Köln, 1982.

7. Dalton, D. C. and Richmond, B., Twisting ofThin Walled Box Girders, Proceedings of theInstitution of Civil Engineers, January 1968.

116




Lección 10.5.2: Métodos Avanzados para Puentesde Vigas Cajón

117



119

OBJETIVOS/CONTENIDO

OBJETIVOS/CONTENIDO

Presentar métodos de análisis global,

métodos para determinar la distorsión de la sec-ción transversal, y la deformación por cortanteen puentes de vigas cajón.


Ninguno.

LECCIONES AFINES


RESUMEN

El análisis global puede realizarse

mediante los métodos de emparrillado, placaortotrópica, placa plegada y elementos finitos.

Quizá se haya de controlar la distorsióndel cajón mediante diafragmas o pórticostransversales. Para el cálculo de fuerzas enestos elementos existen métodos simples yrefinados.

En alas muy anchas deben tenerse encuenta los efectos de la deformación por cortan-

te.



1. INTRODUCCIÓN

Las vigas cajón de acero, o compuestas

de acero y hormigón, suelen ser más carasque las vigas armadas, ya que requieren unmayor tiempo de trabajo de taller. Sin embar-go, poseen sobre las vigas armadas diversasventajas que hacen que su uso sea atractivo:

• una rigidez muy elevada a la torsión:en vigas cajón cerradas son principal-mente tensiones tangenciales de SaintVenant las que resisten el momento detorsión, pues la rigidez a la torsión de

Saint Venant suele ser mucho mayorque la rigidez de alabeo por torsión. Enel caso de tramos muy curvados, estarigidez de las vigas cajón resulta casiesencial durante su construcción, aligual que bajo cargas de servicio. Loscajones metálicos cerrados por arribapermiten incluso la rigidez a la torsióndurante su montaje, sin necesidad de

un costoso arriostramiento provisionalque interferiría en la ejecución de lalosa de hormigón;

• unas alas muy anchas per-miten una gran relación deluz respecto de la altura;

• su apariencia es más agrada-ble, pues la rigidización puedequedar oculta en el cajón;

• una forma aerodinámica muy

buena, que en grandes puen-tes colgantes o de cables incli-nados reviste igual importan-cia que la rigidez a la torsión;

• una muy buena adaptabili-dad a las condiciones másdifíciles. Las vigas cajón soncapaces de cruzar mayorestramos de torsión que de fle-xión, utilizando pilas con un

solo apoyo como se muestraen las figuras 1 y 2.

120

Figura 1 Modelo de emparrillado para un puente de dos vigas cajón

Los puentes de viga cajónson más económicos y tienen

mejor estética que los de vigasarmadas y se evitan los apoyosoblicuos

P1

P2

P3

C4

C0

Autov í a

1 Viga cajón

Figura 2 Puente de viga cajón



que la preparación de datos de entrada para unemparrillado ortogonal es más compleja. En elcaso de tableros muy esviados, los elementos

transversales, si los hay, y las vigas de almallena del emparrillado deben ser ortogonales,para evitar los elevados momentos de torsióninherentes a los planes de conjunto. Los refuer-zos transversales de la losa deben ser parale-los a las vigas de alma llena transversales delemparrillado.

3.3 Efectos locales sobrelos tableros

Si el objetivo es elaborar el modelo de losefectos locales de la flexión y el cortante sobrelas losas de tablero, la losa de hormigón de unpuente compuesto debe estar representada poruna densa red de elementos. La distancia entredos elementos paralelos del emparrillado debeser de 0,50 m. Para un análisis de emparrilladoplano, la rigidez a la torsión de esa faja de hor-migón no debe ser, por ejemplo, b.t3/3, sino quedebe reducirse a solo b.t3/6, donde b es laanchura de 0,50 m y t el espesor del tablero.Esta reducción se debe al hecho de que alrede-dor del perímetro de la sección transversal de lafaja no corre ningún flujo de tensiones tangen-ciales de Saint Venant. Solo deben aplicarse car-

gas locales verticales en los nudos de intersec-ción de las vigas de alma llena.

Para modelar las cargas equivalentes,aproximadamente la mitad de la carga local sepuede distribuir por los ocho nudos próximospara obtener resultados correctos, incluso cercadel punto sometido a la carga.

3.4 Rigidez de los elementosdel emparrillado a la torsióny a la flexión

En relación con las vigas cajón compues-tas de acero y hormigón, las zonas de hormigónestructural se transforman en acero sobre unabase modular. Para la flexión se utiliza la relaciónmodular de Young, mientras que para la torsiónse emplea la relación G acero / G hormigón debi-do a cargas de tráfico provisionales.

En un puente de vigas cajón compuesto,con un tablero superior de hormigón (figura 3), larigidez total a la torsión K es, por ejemplo:

donde n = G acero / G hormigón = 5

En el análisis global, la defor-mación por cortante puede normal-mente no tenerse en cuenta.

En zonas donde la losa dehormigón se halla bajo compresión,la rigidez a la flexión es estricta-mente la de la sección armada nofisurada. Incluso allí donde el hormi-gón se ha fisurado bajo una cargade tráfico, su rigidez permanece.Por eso en el análisis global suelesuponerse, para el cálculo de la rigi-dez de las vigas de alma llena, que

todo el hormigón está sin fisurar ysin armar.

K A

G

G

ds

t

h b b

s

t

b

tn

b

ti

b t

w

b

b

t

t

=⋅

= ⋅ +

⋅ + + ⋅∫

4

2

2 2 2( )

123

EMPARRILLADO

b1

S

t1

tb

bb

twh

Figura 3 Puente de viga cajón con tablero mixto



4. ANÁLISIS DE PLACAORTOTRÓPICA

En el análisis de placa ortotrópica, laestructura de tablero se “suaviza” en su longitudy anchura y se trata como algo continuo.

Las propiedades elásticas de una placaortotrópica vienen definidas por las dos rigidecesa la flexión Dx y Dy y una rigidez de la placa a latorsión H. La ecuación que rige la relación de laflecha w respecto a la carga P de acción per-pendicular al plano de la placa, es:

Los gráficos de diseño para tableros quepueden idealizarse como placas ortotrópicas se

han deducido de soluciones en serie. Ofrecenflechas y momentos longitudinales y transversa-les debidos a una carga puntual, y proporcionan

así un método rápido para el análisis de distribu-ción. Su aplicabilidad se limita a tableros deapoyo simple con un esviaje no superior a 20° ycuyas propiedades elásticas solo pueden repre-sentarse mediante longitud, anchura y las trescantidades, Dx, Dy y H.

En estructuras compuestas se pueden uti-lizar para tableros de viga de alma llena y losacon no menos de cinco elementos longitudinales

de diafragmas uniformes sobre los apoyos, dis-puestos a distancias iguales.

A este método se le ha impuesto amenudo en la práctica el análisis de emparrilla-do.

D wx

H wx y

D wy

p x yx yδδ

δδ δ

δδ

44

42 2

44

2+ + = ( ),

125

ANÁLISIS DE PLACA ORTOTRÓPICA



5. ANÁLISIS DE PLACA PLEGADA

El método de placa plegada se limita nor-

malmente a ensamblajes de placas rectangulares.No es aplicable a tableros esviados debido al aco-plamiento de armónicos. Las placas ortotrópicaspueden extenderse varios tramos, pero debentener apoyos simples en los extremos, con dia-fragmas rígidos sobre los apoyos extremos. La uti-lización de diafragmas de placa plegada pararepresentar los pórticos transversales presenta laventaja de que puede proporcionar una solucióncompleta y precisa en mucho menos tiempo deordenador del que se necesita para el método de

elementos finitos, y de que puede aceptar unaamplia variedad de tipos de carga y de condicio-nes de contorno de desplazamiento y de fuerza.

5.1 Análisis de placa plegada:viga de alma llena sobrecimientos elásticosSi se supone que las deformaciones de

la sección transversal de un puente de una sola

viga cajón se concentran en las esquinas deésta, existe una analogía entre el análisis deplaca plegada y la teoría de viga de alma llena.

Los pórticos transversales o los diafragmastransforman el efecto de cargas excéntricas enel efecto uniforme de las tensiones tangencia-les de torsión de Saint Venant, mediante laresistencia a la distorsión resultante. Se con-vierten por tanto en los apoyos elásticos parauna viga de alma llena que representa a la vigacajón. Esta simplificación ofrece un modo eco-nómico de procesar en el ordenador las fuerzasinternas que actúan en los pórticos transversa-les de la viga cajón, al igual que las tensiones

de alabeo por distorsión.Para aplicar el mismo método a un

puente doble de viga cajón celular con una solaalma interna, la distorsión debe dividirse endeformaciones simétricas y asimétricas. Paracajones con más almas internas, es posibledividir las deformaciones de la sección trans-versal en funciones de deformación de valorpropio.

126



6. ANÁLISIS DE ELEMENTOSFINITOS

El método de elementos finitos se utilizacada vez más en la ingeniería civil. Es el másversátil de los métodos de matriz de rigidez delanálisis elástico y puede, en principio, estudiarsoluciones para casi cualquier problema relacio-nado con el análisis global de un tablero depuente. El método de elementos finitos no solose utiliza para el estudio de problemas estáticos,sino también para problemas dinámicos queafectan a la elasticidad y/o a la plasticidad. Estemétodo permite el estudio de la deformación por

cortante y el procesamiento informático deanchuras eficaces de ala. También resulta útilpara el estudio de efectos locales sobre losas.

El inconveniente que presenta es sucoste, sobre todo debido al tiempo de trabajoexperto que exige para la elaboración del idealde la estructura. Se requiere un conocimientoexperto a la hora de seleccionar un patrón deelementos adecuado, determinar las condicioneslímite correctas para los nudos de contorno a lolargo de los apoyos o de los ejes simétricos, einterpretar los resultados. La elección de ele-mentos inadecuados puede resultar equívoca en

zonas de gradiente de tensiones pronunciado,pues las condiciones de equilibrio estático nonecesariamente se satisfacen. La selección del

nivel de densidad de discretización, o del com-portamiento del material, puede tener gravesrepercusiones en la exactitud de los resultados.

Otros problemas radican en que el méto-do generalmente no está adaptado para calculardeformaciones y curvaturas de trabajo de taller.

La preparación manual de la entrada dedatos al ordenador y la interpretación de resulta-dos requieren tanto tiempo, que ahora se incor-

poran a los programas informáticos procedimien-tos para generar mallas y trazar trayectorias demomento o tensión principales. Los procedi-mientos de trazado de los resultados pueden lle-var, peligrosamente, a subestimar los valoresmáximos de algunos efectos, al procesar valoresmedios no representativos.

Puesto que para utilizar este método esnecesario un elevado nivel de enjuiciamiento yexperiencia expertos, no habrá de tener unagran aplicación en el trabajo de proyecto rutina-rio y por ello no se estudia aquí con más profun-didad.

127

ANÁLISIS DE ELEMENTOS FINITOS



7. DISTORSIÓNDE LA SECCIÓNTRANSVERSAL

La carga distorsional hace que lasección transversal del cajón cambie deforma, flexionando sus paredes en elplano transversal. Las tensiones aso-ciadas de flexión y de cortante trans-versales suelen ser admisibles en lasparedes relativamente gruesas de loscajones de hormigón. Sin embargo, encajones de acero, o compuestos deacero y hormigón, pueden ser necesa-

rios diafragmas o pórticos transversalespara controlar la distorsión. Tambiéntienen lugar tensiones de alabeo distor-sional longitudinales, cuyo tamaño rela-tivo depende, en vigas de alma llena deacero o compuestas de acero y hormi-gón, de la separación de los pórticostransversales.

7.1 Cálculo de fuerzas

en los diafragmasLos pórticos transversales o los

diafragmas transforman el efecto decargas excéntricas en el efecto unifor-me de las tensiones tangenciales detorsión de Saint Venant, mediante laresistencia a la distorsión resultante. Deeste modo, la rigidez de los pórticostransversales o de los diafragmas limitalas deformaciones de la sección de viga en elplano transversal.

Los efectos de la distorsión se combinancon la flexión y el cortante locales en las losas de

tablero próximas a las cargaspuntuales. El cálculo de ten-siones locales de flexión enplacas se simplifica medianteel uso de superficies deinfluencia. Las superficies deinfluencia referidas a placasde apoyo simple tienden adar en vigas cajón tensionesde flexión elevadas, ya queno tienen en cuenta las con-

diciones reales de contornodel elemento placa.

128

Figura 7 Influencia de la separación de diafragmas sobre un cajón simple

Ω = (bt + bb)h = 2A

F

h F·bt / ΩF·bt / Ω

F·bt / Ω

F·bb / Ω

bt

bb

F

F·bb2 / Ω·bb

Figura 6 Evaluación de la fuerza de distorsión



Método simple

El método utilizado a menudo en la prác-tica consiste en aislar un segmento del puentede vigas cajón, con una longitud igual a la dis-tancia entre diafragmas o pórticos transversalesadyacentes. En el centro de dicho segmento sesitúa un diafragma o un pórtico transversal.Todas las cargas externas aplicadas al segmen-

to se suponen concentradas en el pórtico trans-versal. También se supone que el segmentointercambia, en sus dos extremos, tensiones tan-genciales de torsión de Saint Venant uniformes,al igual que esfuerzos cortantes de flexión, conel resto del puente. Todas estas tensiones tan-genciales se concentran también en el pórticotransversal.

Se calcula entonces el diafragma o pórti-co transversal bajo el grupo equilibrado de accio-

nes. Las dimensiones resultantes suelen sereconómicas y aceptables.

Método refinado

A las fuerzas distorsionales debi-

das a las cargas aplicadas al segmentodescrito anteriormente se enfrentan dehecho más de un único diafragma opórtico transversal. Una forma de cal-cular la distribución de cargas distorsio-nales por los distintos diafragmas o pór-ticos transversales considerados comoapoyos elásticos, es el análisis a modode viga de alma llena sobre cimientoselásticos.

La figura 6 ilustra la fuerza distor-sional que se reducirá en el método refi-nado. Para no complicar el ejemplo, lasección de viga de un cajón solo estásometida a la carga de dos fuerzasopuestas aplicadas a las esquinas supe-riores.

La figura 7 muestra un estudioparamétrico de la influencia de la sepa-ración entre diafragmas sobre un cajónsimple.

La figura 8 representa la distribu-ción de fuerzas distorsionales en los distintospórticos transversales de un puente de cuatrotramos, en uno de los tramos principales de 80m. Los resultados se obtuvieron de un análisisde placa plegada, empleando diafragmas pararepresentar a los pórticos.

En la figura 9 se representan las tensio-nes de alabeo a lo largo del puente Cheviré. Este

puente isostático es un solo tramo de 162 m delongitud sobre el río Loire. Se ha estudiado aquíla influencia de dos arriostramientos adicionalescon el fin de demostrar la ineficacia de arriostra-mientos transversales adicionales.

7.2 Diafragmas sobre pilas

Los efectos locales de reacciones en losapoyos provocan estados complejos de tensión

en los diafragmas de apoyo y concentracionesde tensiones en las almas adyacentes. El pórtico

129

DISTORSIÓN DE LA SECCIÓN TRANSVERSAL

Sección transversal

Deformaciones de la viga cajón

Carga: 3 camiones

Tramo central de 84 m de puentemixto de viga cajón

Fuerza distorsional en

diafragmas F (MN)

0,14 MN

6,46 m

Ω = (bt + bb) h

bt

h

bb

F · bb /Ω F · bb /Ω

F · bt /Ω

F · bb2 / Ω · bt

Figura 8 Distribución de las fuerzas distorsionales entre las seccionestransversales de un puente



8. DEFORMACIÓNPOR CORTANTE

En alas muy anchas los efectos de ladeformación por cortante, que no se tienen encuenta en el análisis global, han de tomarse enconsideración para verificar las tensiones, sobretodo en relación con tramos cortos.

La deformación por cortante debetenerse en cuenta cuando se verificansecciones y se calculan tensiones, puescon frecuencia hace que la tensión lon-gitudinal en una intersección de ala y

alma sobrepase la tensión media del alaen un 20%.

En cálculos basados en la teoríaelemental de pandeo se puede utilizaruna anchura eficaz de ala inferior a laanchura real. Esta anchura eficaz de aladepende de la relación de la anchurarespecto del tramo.

En una viga de alma llena deapoyo simple, por ejemplo, la anchuraeficaz Φe.b de la porción entre las almases la que se indica en la tabla 1:

donde

b es la distancia entre las almas

L es el tramo de viga

α =

Φe es la relación elástica de anchura eficaz.

131

DEFORMACIÓN POR CORTANTE

área sección transversal rigidizadores de ala en anchura b

área sección transversal chapa de ala en anchura b

Tramo medio Cuarto Apoyo

b/Lde tramo

0,000,050,100,200,300,400,500,751,00

α = 0

1,000,980,950,810,660,500,380,220,16

α = 1

1,000,970,890,670,470,350,280,170,12

α = 0

1,000,980,930,770,610,460,360,200,15

α = 1

1,000,960,860,620,440,320,250,160,11

α = 0

1,000,840,700,520,400,320,270,170,12

α = 1

1,000,770,600,380,280,220,180,120,09

Tabla 1: Factor de anchura eficaz Φe para vigas de alma llenade apoyo simple



9. RESUMEN FINAL

Existen varios métodos de análisis global:

1. El análisis de emparrillado es el métodousado con más frecuencia. Permite unaidealización simple de la estructura y unainterpretación segura del resultado.

Es necesario prestar una atención espe-cial a la elección del emparrillado, puentesesviados, efectos locales en tableros, rigi-dez a la torsión y a la flexión de los ele-mentos de emparrillado, elementos deemparrillado longitudinales, y a la interpre-

tación de los resultados.2. El análisis de la losa ortótropa tiene apli-

cación limitada

3. El análisis de la chapa plegada se utilizapara estudiar el efecto de las deformacio-nes de Ias secciones en viga cajón

4. El análisis de elementos finitos se utilizacada vez con más frecuencia. Es el méto-do más versátil de los metodos de análisiselástico basados en la matriz de rigidez

Las causas de la distorsión de cargas en elcajón que, en cajon de acero y mixtos puedentener que ser controlados mediante la utilizaciónde diafragmas o arriostramientos transversales

Esfuerzos en diafragmas o arriostramientostransversales pueden calcularse mediante:

• métodos simples

• métodos sofisticados

Deben tenerse en cuenta los efectos de des-fase de cortante en vigas con alas muy anchas


1. Eurocode 3: “Design of Steel Structures”,

ENV 1993-1-1: Part 1.1, General rules and rulesfor buildings, CEN, 1992.

2. Dubas, P. and Gehri, E., Behaviour andDesign of Steel Plated Structures, TechnicalCommittee 8 Group 8.3, ECCS-CECM-EKS, No44, 1986.

3. Johnson, R. P. and Buckby, R. I., CompositeStructures of Steel and Concrete, Volume 2:Bridges, Collins London, 1986.

4. British Standard 5400: Part 3: Steel, Concreteand Composite Bridges, Part 3: Code of Practicefor Design of Steel Bridges, British StandardsInstitution, 1982.

5. Kollbrunner, C. F. and Basler, K.: Torsion,Spes/Bordas, 1955.

6. Stahlbau Handbuch: Stahlbau Handbuck furStudium und Praxis, Band I, Stahbau Verlag,Koln, 1982.

7. Dalton, D. C. and Richmond, B., Twisting ofThin Walled Box Girders, Proceedings of theInstitution of Civil Engineers, lanuary, 1968.

132




Lección 10.6: Introducción a las Estructuras de Láminas

133



135

OBJETIVOS/CONTENIDO

OBJETIVOS/CONTENIDO

Describir de un modo cualitativo las princi-

pales características de las estructuras de lámi-nas y exponer brevemente los problemas típicos,como el pandeo, que van asociados a ellas.


Ninguno.

LECCIONES AFINES

Lección 8.1: Definición de EquilibrioElástico Estable e Inestable

Lección 10.1: Introducción alComportamiento yDiseño de Placas



RESUMEN

Las estructuras de láminas son estructu-ras de peso ligero muy atractivas, especial-mente adecuadas para aplicaciones en edifi-cios e industriales. Esta lección presenta unainterpretación cualitativa de sus principalesventajas; expone asimismo las principales difi-

cultades que conllevan, incluyendo su inusualcomportamiento de pandeo, y esboza breve-mente el método práctico de diseño adoptadoen los códigos.



1. INTRODUCCIÓN

La estructura de láminas se encuentra

típicamente en la naturaleza y en la arquitecturaclásica [1]. Su eficacia se basa en su curvatura(única o doble), que permite una multiplicidad detrayectorias de tensión alternativas y proporcio-na la mejor forma para la transmisión demuchos tipos diferentes de carga. Con finesindustriales se han utilizado diversos tipos dife-rentes de estructuras de láminas de acero; porejemplo, pueden encontrarse láminas de unasola curvatura en depósitos de almacenamientode petróleo, en la parte central de algunos reci-

pientes a presión, en estructuras de almacena-miento tales como silos, en chimeneas indus-triales e incluso en estructuras pequeñascomo postes de alumbrado (figuras 1a a1e). La curvatura única hace posible unproceso de construcción muy sencillo yes muy eficaz en la resistencia a ciertotipo de cargas. En algunos casos esmejor utilizar la curvatura doble. Lasláminas de doble curvatura se empleanpara construir depósitos esféricos degas, techos, vehículos, torres de refrige-ración e incluso techos suspendidos(figuras 1f a 1i). Una parte importante deldiseño es la transmisión de cargas a loscimientos. Debe recordarse que las lámi-nas resisten con gran eficacia las cargasrepartidas, pero plantean dificultadescon cargas concentradas. Así, en gene-ral se prefiere un apoyo continuo. Si noes posible un lecho de cimentación,como el que se muestra en la figura 1a,puede utilizarse una estructura interme-

dia, como por ejemplo un anillo continuo(figura 1f), para repartir las cargas con-centradas a los apoyos verticales. Enocasiones, razones arquitectónicas oplanteamientos prácticos imponen el usode apoyos discontinuos.

Como se ha mencionado anterior-mente, el comportamiento en el plano delas láminas resiste muy bien las cargasrepartidas debidas a la presión interna en

depósitos de almacenamiento, recipien-tes a presión o silos (figuras 2a a 2c), o a

una presión externa ocasionada por el viento, lascorrientes marinas o las presiones hidrostáticas(figuras 2d y 2e). Por otro lado, las cargas con-

centradas introducen tensiones locales de fle-xión importantes que han de estudiarse con cui-dado en el diseño. Estas cargas se puedendeber a los apoyos del recipiente (figura 1f) o, deforma alternativa en algunos casos, a unas car-gas de impacto anormales (figura 2a). En los edi-ficios de contención de centrales nucleares, porejemplo, los códigos prácticos suelen exigir quese tenga en cuenta en el proyecto la posibilidadde impacto de misiles, o incluso algunas veces elproducido por un accidente aéreo. En estos

casos, el carácter dinámico de la carga aumentael peligro de efectos concentrados. Un ejemplo

136

Figura 1 Diferentes aplicaciones de estructuras de láminas



cotidiano de la diferencia entre cargas reparti-das y concentradas es la forma en que unhuevo cocido se apoya sin problemas en lahuevera, y el modo en que se rompe la cás-cara por el golpe repentino de la cuchara(figura 2g). No hace falta decir que ante unproblema real se han de tratar ambos tipos decarga, ya sea por separado o de forma com-binada, con las diferencias conceptuales de

comportamiento que están siempre presentesen la mente del proyectista.

A menudo es necesario aumentar laresistencia de las estructuras de láminasmediante un refuerzo local en determinadaszonas conflictivas. Una situación en la quepuede requerirse ese refuerzo es en la transi-ción de una superficie básica a otra; por ejem-plo, las conexiones entre los extremos esféri-cos y el recipiente cilíndrico principal de la

figura 1b; o el paso del cilindro al cono de des-carga del silo de la figura 1c. En estos casos

tiene lugar una discontinuidad en la dirección defuerzas en el plano (figura 3a), que suele exigiralgún tipo de anillo de refuerzo para reducir los

momentos de flexión concentrados que se pro-ducen en esa zona.

Las estructuras de contención necesitanademás perforaciones que permitan introducir oextraer del depósito (figura 3c) el producto alma-cenado (petróleo, cemento, grano, etc.). El mismoproblema se plantea en los postes de alumbrado(figura 3c), en cuya parte inferior se acostumbra adisponer una abertura para facilitar el acceso a lainstalación eléctrica. En estos casos se ha de

añadir un refuerzo especial para evitar el pandeolocal y reducir al mínimo las perturbaciones de ladistribución general de cargas.

También se requiere a menudo el refuer-zo local en las conexiones entre estructuras deláminas, como suele ocurrir en instalaciones

137

INTRODUCCIÓN

Figura 2 Tipos de cargas

Figura 3 Discontinuidades en el comportamiento de las láminasde acero



generales de tuberías y en la industria de plata-formas petrolíferas. Se utilizan aquí placas derefuerzo adicionales (figura 3d) que ayudan a

resistir las elevadas tensiones producidas en lasconexiones.

Frente al refuerzo local, el refuerzo globalse emplea generalmente para mejorar el com-portamiento conjunto de las láminas. Merced almodo eficaz en que estas estructuras soportanlas cargas, es posible reducir el espesor depared a valores relativamente bajos; las relacio-nes del diámetro de la lámina con respecto a suespesor presentan valores altos, lo que hace

que pueda aumentar la posibilidad de configura-ciones inestables. Para mejorar la resistencia alpandeo, la lámina suele reforzarse con un grupode r igidizadores.

En láminas asimétricas, la posiciónobvia de los rigidizadores es a lo largo de meri-dianos y líneas paralelas escogidos, creandoasí una auténtica malla que refuerza la simpleestructura de lámina (figura 4a). En otras oca-siones, los rigidizadores longitudinales y anula-res se sustituyen por un complicado entramado(figura 4b) que proporciona una estructuraestéticamente agradable, así como mejorasmecánicas en el comportamiento global de lasláminas.

138

Figura 4 Rigidización de láminas



2. POSIBLES MODOSDE COMPORTAMIENTO

Existen dos mecanismos principalesmediante los cuales una lámina soporta las car-gas. Por un lado, la estructura puede reaccionarsolo con fuerzas en el plano, en cuyo caso sedice que actúa como una membrana. Es estauna situación deseable especialmente si la ten-sión es traccional (figura 5a), ya que puede utili-zarse el material hasta su máxima resistencia.En la práctica, sin embargo, las estructuras rea-les tienen zonas en las que no es posible unequilibrio o compatibilidad de desplazamientos y

deformaciones sin introducir la flexión. Por ejem-plo, la figura 5b muestra una carga de acciónperpendicular a la lámina que no pueden resistirpor sí solas las fuerzas en el plano y que exigeestablecer momentos de flexión, inducidos porflechas transversales, para obtener un equilibrio.

Sin embargo, la figura 5c muestra cómo las fuer-zas de membrana solo pueden utilizarse parasoportar una carga concentrada si se introduce

una esquina en la lámina.

También merece la pena distinguir entrecomportamiento global y local, pues a veces sepuede considerar que la lámina actúa globalmentecomo una barra. Un ejemplo evidente se repre-senta en la figura 6a, en la que el poste de alum-brado tubular está sometido a la carga del viento yde su propio peso. La sección AB está sometida aesfuerzos axiales y tangenciales, además de a laflexión y la torsión, pudiendo hacerse una aproxi-

mación muy precisa del comportamiento globalmediante el modelo de barra. Lo mismo se aplicaen la figura 6b, en la que un artefacto flotante rígi-do de plataforma petrolífera, sometido a variascondiciones de carga, puede modelarse como vigade celosía en voladizo. Además, el comportamien-

to bajo cargas verticales de ciertotipo de techos abovedados en losque el apoyo actúa en los extremos,es similar al de una viga de almallena. En la figura 6c se comparan losaspectos isostáticos correspondien-tes a una bóveda cilíndrica y a unaviga de alma llena de apoyo simple,con el fin de evaluar el comporta-miento global de la lámina.

Sin embargo, el comporta-miento local es a menudo críticopara determinar la adecuación de laestructura. El abollamiento de cúpu-las (figura 7a), o el desarrollo de losllamados patrones de Yoshimura

(figura 7b) en cilindros comprimidosson fenómenos relacionados con elpandeo local que introducen unnuevo nivel de complejidad en elestudio de las láminas. Ha de tener-se en cuenta el comportamiento nolineal, derivado tanto de grandesdesplazamientos como del compor-tamiento plástico del material.Algunas extensiones de la teoría delínea de fluencia pueden emplearse

para analizar diferentes modosposibles de fallo.

139

POSIBLES MODOS DE COMPORTAMIENTO

Figura 5 Membrana y comportamiento a flexión



Para establecer una comparación con elcomportamiento de vigas armadas, puede decir-se que la acción global de las estructuras de

láminas aprovecha la capacidad de la superficiepara difundir las cargas, y que los rigidizadorescontribuyen a evitar el pandeo subdividiendo lasuperficie en células, con una menor relación deltramo respecto al espesor. Así pues, un cilindrocon rigidización longitudinal se comporta comoun sistema de barra y placa. En el aspecto feno-menológico es similar a una placa reforzada. Porotro lado, los rigidizadores transversales se com-portan más bien de la misma manera que lohacen los diafragmas en una viga cajón, es

decir, contribuyen a repartir las cargas externas

y a

mantener la forma inicial de la sección transver-sal, evitando las distorsiones que terminan porconducir a inestabilidades locales. Como en lasvigas cajón, deben adoptarse precaucionesespeciales en relación con los diafragmas quetransmiten reacciones de apoyo; en las láminas,la transmisión de reacciones se realiza a través

de asientos que dan lugar a una carga repartida.

140

Figura 6 Comportamiento de una lámina como elemento estructural

Figura 7 (a) Abollamiento de cúpulas(b) Desarrollo de los patrones de

Yoshimura en cilindros comprimidos



3. IMPORTANCIADE LAS IMPERFECCIONES

Como se ha explicado en anteriores lec-ciones, los límites teóricos de bifurcación deequilibrio que pueden alcanzarse mediantemétodos matemáticos, constituyen límites supe-riores del comportamiento de estructuras reales;en el momento en que existe un desplazamientoo imperfección de forma inicial, la curva se sua-viza [2]. Las figuras 8a y 8b muestran la relacióncarga-desplazamiento prevista para una barra yuna placa, respectivamente; la línea discontinuaOA representa el comportamiento lineal que

cambia repentinamente en el punto de bifurca-ción B (línea continua). La placa presenta unarigidez suplementaria merced al efecto de mem-brana. Las líneas discontinuas repre-sentan el comportamiento cuando seincluyen imperfecciones en el análisis.

Como puede apreciarse en lafigura 8c, el comportamiento posterioral pandeo de un cilindro es completa-mente diferente. Tras la bifurcación, elpunto que representa el estado de equi-librio puede recorrer la trayectoriasecundaria BDC. A continuación de B,la situación depende en gran medida delas características del ensayo, es decir,de si se controla la fuerza o el despla-zamiento. En el primer caso, una vez seha alcanzado la carga de pandeo tienelugar un cambio brusco del punto B alpunto F (figura 8c), un fenómeno deruptura repentina (“snap-through”) en elque la lámina pasa bruscamente de

una configuración de pandeo a otra.

La línea discontinua representael comportamiento de una láminaimperfecta real. En comparación a lalámina perfecta teórica, es evidente queen la estructura real no se produce unabifurcación real del equilibrio, y que laslíneas discontinuas se aproximan a lalínea continua a medida que disminuyela magnitud de la imperfección. Aunque

la cresta elevada B es muy aguda, elpunto límite G o H (pertinente para dis-

tintos valores de imperfección) se refiere a unacarga mucho menor que la carga de bifurcaciónteórica.

La diferencia de comportamiento en com-paración a las barras y placas puede explicarseexaminando el patrón de pandeo local conformeaumenta la carga. Al principio, el pandeo se ini-cia en imperfecciones locales con la formaciónde ondas externas e internas (figura 9a); estasúltimas representan un aplanamiento de la cur-vatura original, más que un cambio en su direc-ción, y establecen fuerzas compresivas de mem-brana que, junto con las fuerzas traccionales de

membrana establecidas por las ondas externas,tienden a resistir el efecto de pandeo. En fasesmás avanzadas, según aumenta el tamaño de

141

IMPORTANCIA DE LAS IMPERFECCIONES

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σσ

Figura 8 Comparación de comportamiento a pandeo de barras, placasy láminas



1. Para la lámina elástica perfecta se cal-cula una tensión crítica σcr o τcr, o unapresión crítica pcr, por medio de una

fórmula o un método clásicos en losque se empleen los parámetros quedefinen geometría de la lámina y lasconstantes elásticas del acero.

2. A continuación se multiplica σcr o τcr, opcr, por un factor de reducción α, quees la relación del límite inferior de unagran cantidad de tensiones o presio-nes de pandeo experimentales disper-sas (suponiendo que el pandeo tiene

lugar en el régimen elástico), respectode σcr, τcr o pcr, respectivamente. Sesupone que α representa el efecto

perjudicial de las imperfecciones for-males, las tensiones residuales y lasperturbaciones de borde. α puedeestar en función de un parámetro geo-métrico cuando en el conjunto de pun-tos de ensayo disponibles, trazadoscon ese parámetro como abscisa,existe una tendencia general queapunta a una correlación entre esteparámetro y α; esta tendencia se apre-cia en la figura 10.

143

IMPORTANCIA DE LAS IMPERFECCIONES



4. RESUMEN FINAL1. La resistencia estructural de una estructu-

ra de láminas está basada en la curvatura

de su superficie.2. En las láminas se combinan en general dos

modos de resistencia: un estado de mem-brana en el que se desarrollan fuerzas en elplano, y un estado de flexión en el que estánpresentes fuerzas fuera del plano.

3. La flexión se limita generalmente a laszonas donde se producen cambios en lascondiciones de contorno, el espesor o eltipo de carga. También se desarrolladonde tiene lugar una inestabilidad local.

4. Las láminas poseen una resistencia máseficaz a las cargas repartidas. Las cargasconcentradas o los cambios geométricosexigen por lo general un refuerzo local.

5. Las imperfecciones juegan un papel subs-tancial en el comportamiento de las láminas.Su carácter impredecible hace que el uso demétodos experimentales sea esencial.

6. Para simplificar el diseño de las láminas,los códigos prácticos introducen un factor

de reducción para ser aplicado a los resul-tados de los modelos matemáticos.

5. BIBLIOGRAFÍA

[1] Tossoji, Ei., “Philosophy of Structures”,

Holden Day 1960.

[2] Brush, D.O., Almroth, B.O., “Buckling of Bars,Plates and Shells”, McGraw Hill, 1975.

[3] European Convention for ConstructionalSteelwork, “Buckling of Steel Shells”, EuropeanRecommendation, ECCS, 1988.

144




Lección 10.7: Análisis Básico de Estructuras de Láminas

145



147

OBJETIVOS/CONTENIDO

OBJETIVOS/CONTENIDO:

Describir las características básicas del

comportamiento de láminas anterior y posterioral pandeo y comparar las diferencias de compor-tamiento con el de placas y barras.



LECCIONES AFINES:Lección 8.1: Definición de Equilibrio

Elástico Estable e Inestable

Lección 10.1: Introducción alComportamiento yDiseño de Placas



RESUMEN:

Se expone el comportamiento compuestode flexión y estiramiento con que las estructurasde láminas responden a las cargas; también seexplica su comportamiento al pandeo y se com-para con el de barras y placas. Se examina elefecto de las imperfecciones y se ofrecen curvas

ECCS, que pueden emplearse en el diseño. Sehace asimismo referencia a los programas deordenador que pueden utilizarse para el análisisde láminas.



1. INTRODUCCIÓN

En la lección 10.6 se presentaron varios

aspectos del comportamiento estructural deláminas de un modo básicamente cualitativo.Antes de proseguir con el estudio de procedi-mientos de diseño para aplicaciones específicas,es necesario adquirir algún conocimiento sobrelos posibles métodos de análisis de la respuestade las láminas. Deberá ser entonces posible

comprender el razonamiento en que se basanlos actuales procedimientos de diseño tratadosen las lecciones 10.8 y 10.9.

Esta lección presenta pues los principiosprincipales de la teoría de láminas que cimenta losmétodos de diseño ECCS para cilindros rigidizadosy no rigidizados. Se establecen comparaciones conel comportamiento de columnas y placas tratadasanteriormente en las lecciones 8.6.1, 8.6.2 y 10.1.

148



2. FLEXIÓN Y ESTIRAMIENTODE LAMINAS DELGADAS

La deformación de un elemento deuna lámina delgada consiste en la rota-ción de la superficie perpendicular res-pecto de la de referencia en torno a lasuperficie central, y en el estiramiento ycortante de la propia superficie central.No es posible una flecha de flexión sinestiramiento de la superficie central(como se supone en la teoría de flechamenor para placas planas), de maneraque han de tenerse en cuenta tanto la

deformación por flexión como la deforma-ción por estiramiento.

Si la forma y las condiciones decontorno de una lámina y las cargas apli-cadas son tales, que fuerzas de membra-na por sí solas pueden resistirlas, estasfuerzas pueden encontrarse a partir delas tres condiciones de equilibrio corres-pondientes a un elemento infinitamentepequeño de la lámina. Las ecuaciones deequilibrio se pueden obtener partiendodel equilibrio de fuerzas en tres direccio-nes, esto es, en las dos direcciones prin-

cipales de curvatura y en la dirección perpendi-cular a la superficie central. Como resultado deesto, las tres fuerzas de membrana pueden obte-

nerse fácilmente en ausencia de momen-tos de flexión y torsión, y de esfuerzoscortantes perpendiculares a la superficie.Sirve como ejemplo una lámina cilíndricasin apoyo sometida en toda su área a unapresión radial uniforme (figura 1). Esobvio que la única tensión generada porla presión externa es una tensión de

membrana circunferencial. Este supuestono se mantiene si el cilindro está someti-do a dos cargas lineales uniformes queactúan a lo largo de dos generadores dia-metralmente opuestos (figura 2). En estecaso es necesaria la teoría de flexiónpara evaluar la distribución de la carga,ya que un elemento de lámina no puedeestar en equilibrio sin tensiones de fle-xión circunferenciales. Estas son esen-ciales para resistir las cargas externas, y

dado que la pared es delgada y poseeuna resistencia a la flexión muy pequeña,

149

FLEXIÓN Y ESTIRAMIENTO DE LÁMINAS…

Figura 1 Sección de lámina cilíndrica sometida a presión radialuniforme

Figura 2 Sección de lámina cilíndrica sometida a cargas linealesuniformes



afectan en gran medida a su resistencia portan-te [1].

Las tensiones de flexión relevantes nosuelen ocurrir más que cerca de los contornos,o en una zona afectada por otras per turbacio-nes tales como cargas o imperfecciones loca-les. Estas tensiones pueden ser muy elevadaslocalmente, pero por lo general se extinguen apoca distancia de esa perturbación local. Sinembargo, las tensiones de flexión pueden oca-

sionar una fluencia local que puede ser muypeligrosa en presencia de cargas continuadas,pues el resultado puede ser la rotura por fati-

ga.

Desde un punto de vista estructural, nor-malmente es más efectiva la configuración de laestructura de láminas de manera que soporte lacarga, en principio, por la acción de membrana,de lo que generalmente resultarán además unoscálculos de diseño más simples.

150



3. PANDEO DE LAMINAS-TEORÍA DE PANDEO LINEALY NO LINEAL

El pandeo puede verse como un fenóme-no en el cual una estructura deja de comportar-se como está previsto y en su lugar sufre uncambio global de configuración. Por ejemplo, unacolumna originalmente derecha, sometida a unacarga lateral, se pandeará doblándose hacia unlado; de modo similar, un cilindro puede pande-arse cuando su superficie se contrae bajo laacción de cargas externas. El pandeo es espe-cialmente importante en las estructuras de lámi-

nas, pues puede muy bien producirse sin ningúnaviso y con consecuencias catastróficas [2-4].

Las ecuaciones para determinar la cargacon la que se inicia el pandeo, mediante la bifur-cación de la trayectoria principal de equilibrio deuna lámina cilíndrica, pueden deducirse pormedio del criterio de equilibrio adyacente, o demanera alternativa, utilizando el criterio de ener-gía potencial mínima. En el primer caso, en losdesplazamiento previos al pandeo (u0, v0, w0) seimponen pequeños incrementos (u

1

, v1

, w1

)

u → u0 + u1

v → v0 + v1 (1)

w → w0 + w1

Se analizan las dos configuraciones adya-centes, representadas por los desplazamientosantes (u0, v0, w0) y después del incremento (u, v,w). El parámetro de carga no recibe ningún

incremento. La función representada por (u1, v1,w1) se llama modo de pandeo. Como alternativapuede adoptarse el criterio de energía potencialmínima para deducir las ecuaciones de estabili-dad lineal. Se calcula la fórmula correspondientea la segunda variación de energía potencial de lalámina en términos de desplazamientos. Lasecuaciones diferenciales lineales correspondien-tes a la pérdida de estabilidad se obtienen enton-ces mediante el criterio de Trefftz. A los lectoresque necesiten un tratamiento más en profundi-

dad del pandeo de láminas se aconseja que con-sulten [4].

En la práctica, y en relación con algunosproblemas, los resultados obtenidos medianteestos análisis son adecuados y están de acuer-

do con lo experimentado. En otros casos, comoes el de un cilindro bajo compresión axial, esosresultados pueden ser realmente equívocos,pues sobreestiman la resistencia portante realde la lámina. El uso de estos métodos da elsiguiente valor para la carga de pandeo axial deun cilindro elástico delgado perfecto, de longitudmedia:

(2)

Suponiendo υ = 0,3 para acero da σcr =

0,605 E

Esta carga de pandeo se deduce sobre elsupuesto de un aumento libre del radio anterioral pandeo, debido al efecto de Poisson, y de quedurante el pandeo los dos bordes están fijos enlas direcciones radial y circunferencial, pero pue-den girar en torno al eje y. Estos empotramientosde los bordes se conocen como las “condicionesclásicas de contorno”.

La ecuación (2) es de poca utilidad para elproyectista, pues los resultados de ensayo soloproducen un 15-60% de este valor. La razón deesta gran discrepancia entre los resultados teóri-cos y experimentales permaneció mucho tiempoincomprendida y ha sido objeto de muchos estu-dios. Puede explicarse como sigue:

Las condiciones de contorno de las lámi-nas tienen un efecto importante y pueden, si semodifican, dar lugar a unas cargas críticasmenores. Muchos autores han estudiado losefectos de las condiciones de contorno sobre lacarga de pandeo de láminas cilíndricas. El valordado en la ecuación (2) solo se refiere a un cilin-dro real si los bordes no pueden moverse en ladirección circunferencial, es decir v = 0 (figura 3).Si se elimina esta última condición y se sustituyepor la condición nxy = 0 (es decir, desplaza-

miento libre, pero ninguna tensión de membrana,en la dirección circunferencial) se obtiene un

r

t

συ

crE t

r=

−3 1 2( )

151

PANDEO DE LÁMINAS-TEORÍA DE PANDEO…



valor crítico de aproximadamente el 50% de lacarga de pandeo clásica. Esta condición de con-

torno es bastante difícil de obtener en la prácti-

ca, y los cilindros con esos empotramientos deborde son mucho menos sensibles a las imper-fecciones que aquellos con condiciones clásicas

de contorno; no tienen por tanto un interés pri-mario para el proyectista. Si en lugar de esto sesupone que el borde superior del cilindro es libre,la carga crítica de pandeo cae a un 38% del valorcrítico dado por la ecuación (2). En general,puede decirse que si una lámina falla inicialmen-te con varios pandeos locales pequeños, lacarga crítica no dependerá de manera importan-te de las condiciones de contorno; pero si lospandeos implican a toda la lámina, las condicio-nes de contorno pueden afectar notablemente a

la carga de pandeo.La carga crítica de pandeo también puede

verse reducida por las deformaciones anterioresal pandeo. Para tener estas deformaciones encuenta, han de incluirse las mismas condicionesde contorno en el régimen anterior y en el poste-rior al pandeo. La consecuencia es que durantela compresión anterior al pandeo los bordessuperior e inferior no pueden moverse radial-mente (con un coeficiente de Poisson distinto decero), y por ello los generadores, en origen dere-chos, se curvan. Las deformaciones posterioresal pandeo no son infinitamente pequeñas y latensión crítica se reduce.

La comprensión completa de la razón queexplica las grandes discrepancias entre los resul-tados teóricos y experimentales relativos al pan-deo de láminas ha causado mucha controversiay debate, pero actualmente se acepta de unmodo general la explicación de que son lasimperfecciones iniciales la principal causa de

este fenómeno.

152

Figura 3 Cilindro comprimido axialmente



4. COMPORTAMIENTODE LÁMINAS DELGADASPOSTERIOR AL PANDEO

El punto de partida de este estudioilustrativo del comportamiento posterior alpandeo de un cilindro perfecto, sometido auna compresión axial (figura 3), lo constitu-yen las ecuaciones clásicas de Donnell [2].Se puede suponer una función adecuadapara w (trigonométrica) e introducirse en laecuación de compatibilidad, expresada entérminos de w y de una función de tensión

adoptada F. Las expresiones cuadráticas

pueden transformarse en lineales por medio derelaciones trigonométricas bien conocidas.Puede entonces calcularse la función de ten-sión F, y en consecuencia las tensiones demembrana internas. A continuación puedeescribirse la fórmula correspondiente a la ener-gía potencial total, y minimizarse, para reem-plazar a la ecuación de equilibrio. La soluciónmejora si se toman más términos para w.

En la figura 4 se representan los resulta-dos obtenidos utilizando solo dos modos de pan-deo, y se comparan con las curvas halladas des-pués con un mayor número de modos. Losresultados muestran que el tipo de curva no

cambia al aumentar el número de modos, pero elpunto inferior de la trayectoria posterior al pan-deo disminuye y puede alcanzar un valor de alre-dedor del 10% de la carga de pandeo lineal. Enel caso límite (es decir, con un número de modosaumentando hasta infinito), el valor inferior de latrayectoria posterior al pandeo tiende a cero,mientras que la forma de pandeo tiende a adop-tar la forma del patrón de Yoshimura (figura 5).Es el caso límite de la forma de pandeo romboi-dal, que puede describirse mediante la siguiente

combinación de modos asimétricos y cuadricula-res.

153

COMPORTAMIENTO DE LÁMINAS DELGADAS…

σσ

υ

Figura 4 Comportamiento de pos-pandeo de una lámina cilín-drica comprimido axialmente

Figura 5 Patrón Yoshimura



(3)

Hay que apuntar que la carga de pandeoasociada bien a cada uno de los dos modos,bien a la combinación de ambos, es la misma(figura 6), y viene dada por la ecuación (2).

En [5] se ofrece una amplia visión generalde la teoría posterior al pandeo. Como se verámás adelante, una teoría realista del pandeo deláminas debe tener en cuenta las inevitablesimperfecciones (figura 7) que aparecen en las

estructuras reales.

w w x

l

y

lw

x

lx y x

= 1 22

sen sen senπ π π

154

σ

σ

σ

σ

Figura 6 Comportamiento pos-pandeo de una láminacilíndrica imperfectamente comprimidaaxialmente

Figura 7 Imperfecciones



5. ANÁLISIS NUMÉRICODEL PANDEO DE LÁMINAS

Los tipos simples de lámina y carga sonsusceptibles de un tratamiento mediante méto-dos analíticos. Sin embargo, la carga de pandeode estructuras de láminas complejas solo puedeevaluarse por medio de programas de ordena-dor, muchos de los cuales utilizan elementos fini-tos y tienen una opción de estabilidad. CASTEM,STAGS, NASTRAN, ADINA, NISA, FINELG,ABAQUS, ANSYS, BOSOR y FO4BO8 son algu-nos de los programas universales y específicosdisponibles. El uso correcto de un programa

complicado exige que el analista esté bien fami-liarizado con la base del método adoptado en elprograma.

Las opciones de estabilidad y la fiabilidadde los resultados numéricos dependen del méto-do de análisis en que se basa cada programaespecífico, y de los modos de pandeo estudia-dos. Puede realizarse un análisis de varios tipos:

1. Los cambios geométricos en elrégimen anterior al pandeo se

ignoran, asumiendo pues uncomportamiento lineal de laestructura anterior al pandeo, yla tensión de pandeo se corres-ponde con el punto de bifurca-ción B, hallado por medio de unanálisis de valor propio (figura8a). Aplicado a una lámina sim-ple, el resultado de este proce-dimiento es la carga crítica clá-sica. w es la flecha lateral de la

pared de lámina en algún puntorepresentativo.

2. El análisis de colapso no linealpermite determinar sucesivospuntos en la trayectoria no linealde equilibrio primario hasta quela tangente a la trayectoria sehace horizontal en el punto límite(figura 8b). En esa fase, supo-niendo una carga de peso, comonormalmente es el caso en

estructuras de ingeniería, se pro-duce el colapso no lineal (rompi-

miento repentino, “snap-through”).

3. Investigación del pandeo de bifurcaciónpartiendo de un estado no lineal ante-

rior al pandeo. Esto implica la búsquedade trayectorias de equilibrio secunda-rias (correspondientes a diferentesmodos de pandeo, por ejemplo diferen-tes números de ondas de pandeo a lolargo de la circunferencia de una láminaasimétrica) que pueden derivarse de latrayectoria primaria no lineal en puntosde bifurcación situados por debajo delpunto límite (figura 8c). El punto mínimode bifurcación proporciona una estima-

ción de la carga de pandeo.4. El análisis general de colapso no lineal

de una estructura imperfecta consisteen determinar la trayectoria de equili-brio no lineal y el punto límite L corres-pondientes a una estructura cuyasimperfecciones iniciales y deformacio-nes plásticas son tenidas en cuenta(figura 8d). La carga límite, que es la

155

ANÁLISIS NUMÉRICO DEL PANDEO DE LÁMINAS

Figura 8 Tipos de análisis numérico de pandeo de láminas



ordenada de L, causa el “rompimientorepentino” de la estructura.

Los cuatro diagramas de carga y flecharepresentados en la figura 8 pueden referirse,

por ejemplo, a una cubierta esférica sometida auna presión radial uniforme que actúa hacia elcentro de la esfera; en este caso el modo crítico

de fallo depende del grado de delgadez de lacubierta.

156



6. COMPORTAMIENTODE PANDEO Y POSTERIORAL PANDEO DE BARRAS,PLACAS Y LÁMINAS

Se repiten aquí (figura 9), para completar-las, las trayectorias de equilibrio, presentadas enla anterior lección 10.7.1, correspondientes auna columna perfectamente derecha, una placaperfectamente plana con apoyos en sus cuatrolados, y una lámina perfectamente cilíndrica.

En cada diagrama σ representa la tensión

de compresión uniformemente aplicada, σcr suvalor crítico, dado por la teoría clásica de estabi-lidad, y U la disminución de la distancia entre losextremos de los elementos.

Cada punto de las líneas conti-nuas o discontinuas representa unaconfiguración de equilibrio, que es almenos teóricamente posible, en el sen-tido de que se cumplen las condicionespara el equilibrio entre fuerzas externase internas.

El acortamiento elástico simple,de acuerdo con la ley de Hooke, estáreflejado por las tres líneas rectas OA.Estas representan el estado anterior alpandeo, primario o fundamental de equi-librio en el que la columna, la placa y lalámina permanecen perfectamente dere-cha, plana y cilíndrica, respectivamente.

Mientras σ < σcr, el equilibrio pri-

mario es estable, es decir, que si unaínfima perturbación accidental (unafuerza lateral muy pequeña, por ejem-plo) causa una ligera deformacióntransversal del elemento, esta deforma-ción desaparece cuando se elimina sucausa, y el elemento regresa por símismo a su anterior configuración. Sinembargo, cualquier punto de la líneaOA situado por encima de B, represen-ta un equilibrio inestable, es decir, que

el efecto de la perturbación, aun cuan-do ésta sea infinitamente pequeña, no

desaparece con su causa sino que crece instan-táneamente y hace que el elemento se mueva(con violencia), desviándose más y de manera

irreversible de su anterior configuración de equi-librio. Siempre existe alguna pequeña causa deperturbación, en la forma por ejemplo de unaimperfección formal inicial o de una excentricidadde carga. Así pues, el estado de equilibrio ines-table, aunque es teóricamente posible, no puedeproducirse en estructuras reales.

Cuando la tensión alcanza su valor críticoσcr, en el punto B aparece una nueva configura-ción de equilibrio. Es esta una configuración muy

distinta de la primaria, que se caracteriza por fle-chas laterales y flexión de la barra, la placa o lapared de la lámina.

157

COMPORTAMIENTO DE PANDEO…

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σσ

Figura 9 Comparación de comportamiento a pandeo de barras, placasy láminas



Si la nueva configuración está caracteri-zada por desplazamientos con respecto al esta-do primario de equilibrio, que aumenta gradual-

mente de cero a valores elevados (teóricamenteinfinitos), los estados de equilibrio posteriores alpandeo están representados por los puntos deuna trayectoria de equilibrio secundaria queintersecta la trayectoria primaria en el punto debifurcación B.

De hecho, B es el menor de un númeroinfinito de puntos de bifurcación, pero las trayec-torias que se derivan de todas las demás repre-sentan un equilibrio muy inestable y no tienen

ninguna significación práctica.La gran diferencia entre la barra, la placa y

la lámina se manifiesta en su comportamiento pos-terior al pandeo. En el caso de la columna (figura9a), la trayectoria secundaria BC es casi horizon-tal, pero en realidad se curva imperceptiblementehacia arriba; el equilibrio a lo largo de BC es casineutro (es, estrictamente ha-blando, débilmente estable). Encuanto a la placa (figura 9b), latrayectoria secundaria BC cre-ce por encima de B, aunque deforma menos abrupta que an-tes; la placa sufre una flechalateral, cada vez más bajo unacarga en aumento, pero elequilibrio en los puntos de BCes estable.

Tras la bifurcación, elpunto que representa el esta-do de equilibrio de un cilindro

sometido a una carga axial(figura 9c) puede, en teoría,recorrer la trayectoria secun-daria BDC. Sin embargo, elequilibrio en puntos de lacurva continua situados pordebajo de B es altamenteinestable y, por ello, no puedeexistir realmente. Qué pasaríadespués de alcanzarse elpunto B, si fuera posible fabri-

car un cilindro perfecto de unmaterial de elasticidad lineal

ilimitada, y sostenerlo, cargarlo o deformarlo dela manera teóricamente correcta, depende delmétodo de carga.

Cuando se imponen de manera controla-da los desplazamientos, u, de una mesa de unamáquina de ensayo supuestamente rígida, conrespecto a la otra mesa, en la pared del cilindroaparecen repentinamente pandeos. La tensiónde compresión cae de inmediato de σcr a la orde-nada del punto E (solo una fracción de σcr),mientras que el acortamiento del cilindro perma-nece igual a ucr, la abscisa de B. Al contrario quela bifurcación, en la transición entre las configu-

raciones de equilibrio representada por los pun-tos B y E están involucrados desplazamientosfinitos; es el rompimiento repentino. El procesode pandeo se complica aun más por la existen-cia de distintas trayectorias de equilibrio de inter-sección, que corresponden a diferentes númerosde ondas de pandeo circunferenciales y que tie-nen la misma forma general que BDC. Algunas

158

Figura 10 Pandeo de pilar



partes de estas trayectorias representan un equi-librio estable, mientras que otras representan unequilibrio inestable; tras el rompimiento repenti-

no del estado B al estado E, la lámina puedepasar repetidas veces de una configuración depandeo a otra.

Cuando antes que el desplazamiento, u,se controla la carga, se produce un efecto distin-to; si, por ejemplo, se impone una carga =2πrtσcr, el encogimiento global del cilindroaumenta casi instantáneamente de ucr a la abs-cisa del punto F, y su pared muestra profundospandeos, mientras que la tensión media de com-

presión permanece igual a σcr. Debe apuntarseque este “rompimiento repentino” posee caracte-rísticas dinámicas que no se tienen en cuenta enesta descripción.

Esslinger y Geier [5] explican el compor-tamiento básicamente distinto de columnas, pla-cas y láminas mediante el siguiente argumento,ilustrado por las figuras 10, 11 y 12.

La ecuación diferencial

expresa el equilibrio lateral de cualquier ele-mento de una barra sometida a carga lateralcuando tiene lugar la bifurcación (figura 10a),estableciendo que la fuerza de flecha por uni-dad de longitud, debida a cargas externas, Fcr,y dada por el primer término, anula la fuerzarestauradora por unidad de longitud, debida alas tensiones de flexión internas, y dadas por el

segundo término. Tanto las fuerzas de flecha(figura 10b) como las fuerzas restauradoras(figura 10c) son proporcionales a la flecha late-ral. En consecuencia, el equilibrio de la colum-na es independiente de la magnitud de la defor-mación transversal y de u, conseguido bajo lafuerza axial constante Fcr.

Las fuerzas res-tauradoras que contra-rrestan las fuerzas late-rales (figura 11b) quecausan la flecha de unaplaca con pandeo (figura11a), no se deben solo amomentos de flexión lon-gitudinales y transversa-les (figura 11c) sino tam-bién a fuerzas demembrana transversales(figura 11d). Las fuerzasrestauradoras debidas a

la acción de membranason igual a cero mientrasla placa es plana, perodespués aumentan pro-porcionalmente al cua-drado de su flecha late-ral. El resultado es que lacarga de compresiónexterna, necesaria parael equilibrio, aumenta junto con la deformación

lateral y con el encogi-miento de la placa u.

F d w

dx EI d w

dxcr

2

2

4

4 0+ =

159

INTRODUCCIÓN

Figura 11 Pandeo de placa



La figura 12a muestra el componente radialdel patrón de pandeo de un cilindro comprimidoen el punto de bifurcación. Los desplazamientos

de una superficie curvada hacia el exteriorprovocan fuerzas de membrana de tracción,mientras que los desplazamientos hacia el

interior generan fuerzas de membrana decompresión. La figura 12b ofrece una imagenmás precisa de un pandeo hacia dentro demuy poca amplitud; se aprecia que el signooriginal de la curvatura circunferencial de lapared de la lámina no se invierte al comienzodel pandeo. Las fuerzas radiales derivadas dela combinación de las fuerzas de membranacon la curvatura del cilindro deformado, quetiene todavía su signo inicial, se representanen la figura 12c. Todas estas fuerzas radiales

tienden a contrarrestar el pandeo. De ahí laelevada resistencia al inicio del pandeo de uncilindro perfecto, dada por la ecuación (2). Loscrecientes desplazamientos hacia dentro pro-vocan el cambio de la curvatura circunferen-cial para sobrepasar la magnitud, 1/r, de lacurvatura original del cilindro, como se mues-tra de un modo exagerado en la figura 12d, ycon más realismo en la figura 12e. En la zonade los pandeos hacia dentro la pared del cilin-dro se curva ahora hacia el interior, y comoresultado de ello, las fuerzas de membrana decompresión de estas zonas ya no se resistena la aparición de abolladuras, sino que la pre-cipitan (figura 12f). Por eso, el efecto restaura-dor total de las fuerzas de membrana se hadebilitado de forma sustancial en compara-ción con el estado predominante en el punto

de bifurcación. El resultado final es que, una vezha comenzado el pandeo, el equilibrio solo seconcibe con una carga axial decreciente.

160

Figura 12 Pandeo de cilindro



7. SENSIBILIDADA LAS IMPERFECCIONES

El comportamiento de componentes rea-les imperfectos difiere del teórico descrito ante-riormente, y está representado por las líneas depuntos de la figura 9. Estas líneas muestran queen el caso de elementos estructurales reales nose produce una auténtica bifurcación de equili-brio. Sin embargo, las líneas continuas ofrecenuna imagen aproximada - cuanto menores sonlas imperfecciones iniciales más real es la ima-gen - del comportamiento del componente, y enello reside la importancia del concepto de pan-

deo de bifurcación.Las líneas de puntos de las figuras 9a y

9b corresponden a un pilar y una placa con unaligera curvatura inicial. Puede verse que la resis-tencia portante de la barra no es mucho menorque la carga de pandeo teórica, a condición deque la imperfección no sea muy grande. Deacuerdo con la figura 9b se puede concluir que latrayectoria de equilibrio de una placa imperfectapuede no presentar discontinuidad alguna cuan-do la tensión de compresión aumenta más alláde σcr, y también que la placa puede tener unareserva de resistencia posterior al pandeo consi-derable. Si es delgada, esta reserva puede sernotablemente mayor que la carga de pandeo debifurcación. El aumento de la tensión más allá deσcr en la placa perfecta, no produce un fallo derotura inmediato. Tanto el pilar como la placaacaban fallando por la fluencia causada por unaflexión excesiva.

A causa de la imperfección de un cilindro

real, la trayectoria de equilibrio de puntos nomuestra la cresta alta tan aguda B, característicade la trayectoria de equilibrio teórica OBDC. Elpunto culminante G o H (figura 9c) de la línea depuntos, denominado punto límite, está en unnivel mucho menor que el punto de bifurcación,incluso cuando la amplitud de las desviacionesiniciales de la forma cilíndrica perfecta es ínfima.La curva de puntos inferior es la trayectoria deequilibrio correspondiente a un cilindro conimperfecciones de algún modo mayores. Cuando

la carga es debida al peso y ocurre que secorresponde con el punto límite, la curva debe

saltar horizontalmente de G o H hacia la deriva-ción a la derecha de la curva. El acortamientosimultáneo, u, de la lámina de acero es tan gran-

de, y está debido a pandeos tan profundos, quenormalmente parte del material de la pared sedeforma en el régimen plástico, y de este modoel fenómeno de pandeo, en este caso una roturarepentina o colapso no lineal, resulta casi siem-pre catastrófico.

De la descripción del párrafo anterior nodebe deducirse que solo los componentesestructurales imperfectos presentan un compor-tamiento caracterizado por un punto límite.

Debido a los cambios graduales en la geometríade una estructura perfecta, su trayectoria deequilibrio primaria puede ser no lineal desde elinicio de la carga y, de hecho, caracterizarse porun punto límite.

En resumen, pueden establecerse dospuntos:

1. Para la lámina perfecta, la tensión decolapso real σuG o σuH ( figura 9c), esmucho menor que la tensión crítica teó-rica σcr, aun cuando quizá las imperfec-ciones sean casi imperceptibles.

2. Láminas nominalmente idénticas pue-den colapsarse bajo cargas marcada-mente diferentes, ya que las imperfec-ciones accidentales reales de esasláminas, según se realiza su montaje,son de diferente magnitud y distribu-ción, y debido a que de unas imperfec-ciones ligeramente mayores puede

derivarse una disminución considera-ble de la carga de rotura.

Una generalización amplia en el sentidode que todas las láminas son siempre muy sen-sibles a las desviaciones de la forma perfecta noestaría justificada. La sensibilidad a las imper-fecciones depende del tipo de lámina y de carga,pudiendo variar de ligera a extrema, incluso conla misma lámina bajo diferentes condiciones decarga. Por ejemplo, la sensibilidad a las imper-

fecciones de las láminas cilíndricas sometidas auna presión externa uniforme es muy baja, mien-

161

SENSIBILIDAD A LAS IMPERFECCIONES



tras que estas mismas láminas son muy sensi-bles cuando la compresión es en dirección meri-dional. La diferencia está relacionada con elmodo de pandeo; bajo una carga axial, losmodos de pandeo se caracterizan por ondas cor-tas, comparadas con el diámetro, tanto en direc-ción longitudinal como circunferencial. Laspequeñas imperfecciones iniciales, que puedenaparecer en cualquier parte de la superficie del

cilindro y que probablemente tengan en generalla misma forma que algunos de los pandeos,tienden a acentuarse bajo una carga creciente ya activar la rotura repentina en una fase de cargatemprana. Sin embargo, el patrón de pandeobajo presión externa consiste en pandeos largosen la dirección meridional, menos numerosos enla dirección circunferencial, y por lo tanto proba-blemente de tamaño bastante mayor que lasprincipales abolladuras y pandeos iniciales.

Otro factor que debe mencionarse de losque contribuyen a la sensibilidad a las imperfeccio-

nes de cilindros sometidos a carga axial es la mul-tiplicidad de modos de pandeo diferentes asociadacon la misma carga de bifurcación. Cualquier trata-miento teórico realista del problema del pandeo secomplica aun más por la existencia de tensionesresiduales debidas a la conformación en frío o encaliente y/o a la soldadura. El comportamiento tam-bién se ve afectado por la aparición de deformacio-nes plásticas en el acero y, en algunos casos, por

la presencia de rigidizadores. A esto último puededeberse el comportamiento estructural no lineal dela lámina, así como a los cambios geométricos cau-sados por la deformación de la misma.

En conclusión, las imperfecciones son lacausa principal de la gran diferencia existenteentre la carga de rotura obtenida en los ensayosy la carga de pandeo teórica. En la figura 13apuede apreciarse una amplia dispersión deresultados correspondientes a láminas nominal-

mente idénticas; en este figura, la relación decargas de pandeo experimentales, Fu, respecto

162

α

Figura 13a Relación de resultados de ensayos y teóricos de cargas de pandeo teórico para cilindros carga-dos axialmente



de los valores teóricos, Fcr, correspondientes acilindros sometidos a carga axial, se dan conrelación a diferentes relaciones r/t. La figura 13b

ofrece los factores propuestos por ECCS parareducir la carga de pandeo teórica a valoresapropiados para el diseño.

163

SENSIBILIDAD A LAS IMPERFECCIONES

αα α

αα

α

Figura 13b Factor "reductor" α de la ECCS



8. RESUMEN FINAL1. Las estructuras de láminas soportan las

cargas por flexión y estiramiento.

2. En estructuras de láminas de aplicaciónindustrial, el pandeo puede ser el estado lími-te crítico debido a los efectos de la esbeltez.

3. Las imperfecciones son la principal causade la diferencia tan significativa entre lacarga de pandeo teórica y la experimental.

4. Existen diferencias fundamentales entre elcomportamiento de pandeo inicial de lámi-nas y el de placas.

5. En la práctica, el análisis de pandeo de lámi-

nas solo puede aplicarse a estructuras espe-ciales fabricadas o construidas con unos pro-cedimientos de control de calidad estrictosque reducen las imperfecciones al mínimo.

9. BIBLIOGRAFÍA

[1] Timoshenko, S. and Woinowsky-Krieger, S.,“Theory of Plates and Shells”, McGraw-Hill, NewYork and Kogakusha, Tokyo, 1959.

[2] Flügge, W., “Stresses in Shells”, Springer-Verlag, New York, 1967.

[3] Bushnell, D., “Computerised BucklingAnalysis of Shells”, Martinus Nijhoff Publishers,Dordrecht, 1985.

[4] Timoshenko, S. and Gere, J.M., “Theory ofElastic Stability”, McGraw-Hill, New York andKogakusha, Tokyo, 1961.

[5] Esslinger, M. T., and Geier, B. M., “Bucklingand Post Buckling Behaviour of Thin-WalledCircular Cylinders”, International Colloquium

on Progress of Shell Structures in the last 10years and its future development, Madrid,1969.


1. Koiter, W.T., “Over de Stabilitteit van hetElastisch Evenwicht Diss.”, Delft, H.J. Paris,Amsterdam, 1945.

164




Lección 10.8: Diseño de Cilindros No Rigidizados

165



167

OBJETIVOS/CONTENIDO

OBJETIVOS/CONTENIDO

Describir el comportamiento de pandeo

de láminas cilíndricas sometidas a dos tipos dife-rentes de carga externa, compresión axial y pre-sión externa, que actúan independientemente oen combinación. Identificar los parámetros claveque influyen en el comportamiento y presentarun procedimiento de diseño basado en las reco-mendaciones europeas.


Ninguno.

LECCIONES AFINES


Lección 10.7: Análisis Básico deEstructuras de Láminas

RESUMEN

El comportamiento de pandeo de una lámi-na cilíndrica depende de varios parámetros clave,tales como la geometría, las características delmaterial, las imperfecciones y tensiones residua-les, las condiciones de contorno y el tipo de carga.Un procedimiento fiable y económico para diseñarláminas cilíndricas resistentes al pandeo debetener en cuenta todos estos parámetros, especifi-

cando claramente el régimen en el que las predic-ciones del diseño son válidas. En esta lección sepresenta el procedimiento de diseño pertinentecontenido en las Recomendaciones ECCS sobreel Pandeo de Láminas [1], se exponen brevemen-te métodos alternativos y se identifican las dife-rencias más importantes.



1. INTRODUCCIÓN

En las lecciones 10.6 y 10.7 se ha hecho

una introducción a diversos aspectos que influ-yen en el comportamiento estructural de lasláminas y se han presentado los principios fun-damentales de la teoría de láminas. En concreto,vale la pena recordar los siguientes puntos:

i. La carga de pandeo crítica (bifurca-ción) de un cilindro elástico delgado yperfecto sometido a una carga ideali-zada, como la compresión axial unifor-me, se puede calcular mediante méto-dos clásicos.

ii. Las condiciones de contorno afectan ala carga de pandeo crítica, de modoque, en relación con la misma láminay tipo de carga, un conjunto de condi-ciones de contorno puede dar comoresultado cargas de pandeo significa-tivamente más bajas que las corres-pondientes a otros conjuntos.

iii. Las imperfecciones geométricas cau-sadas por la fabricación son la princi-pal causa de las notables diferenciasexistentes entre las cargas de pandeocríticas calculadas mediante métodosclásicos, y las cargas de pandeo

experimentales. Incluso imperfeccio-nes muy pequeñas pueden causaruna caída substancial de la carga de

pandeo de la lámina.iv. La sensibilidad a las imperfeccionesdepende en primer lugar del tipo delámina y de carga, y en alguna medi-da también de las condiciones de con-torno. Puede variar de moderada aextrema, incluso referida a la mismageometría de lámina bajo una carga ocondiciones de contorno distintos. Porejemplo, un cilindro sometido a unacompresión axial es extremadamente

sensible a las imperfecciones, mien-tras que la misma lámina, sometida auna presión externa, muestra un sen-sibilidad mucho menor.

Esta lección se ocupa del diseño de cilin-dros no rigidizados. El comportamiento de pan-deo bajo dos tipos diferentes de carga, compre-sión axial y presión externa, se describe primerodesde un punto de vista cualitativo. A continua-ción se presenta un procedimiento de diseñoadecuado, basado en las RecomendacionesECCS sobre el Pandeo de Láminas [1]. Tambiénse expone el comportamiento de interaccióncorrespondiente a los dos tipos de carga.

168



2. CILINDROS NORIGIDIZADOSSOMETIDOS ACOMPRESIÓNAXIAL

Consideraciones generales

Cuando una lámina cilín-drica se ve sometida a una com-presión axial uniforme (figura 1),el pandeo puede tener lugar dedos modos:

• Pandeo de columnaglobal, si la relación l/r es grande. Estetipo de pandeo no implica una deforma-ción local de la sección transversal, ypuede ser analizado mediante métodospara columnas, por ejemplo la fórmulaPerry-Robertson. No será objeto demás estudio en la presente lección.

• Pandeo de lámina, que implica defor-mación local de la sección transversal y

que, en general, puede ser:axisimétrico, en el que los desplaza-mientos son continuos en torno acualquier sección circunferencial,figura 2(a), o

asimétrico (también llamado cuadri-cular), en el que se forman ondastanto en dirección axial como circun-ferencial, figura 2(b).

En teoría puede apreciarse que ambos

modos de pandeo de láminas corresponden a lamisma carga crítica de pandeo. Suponiendounas condiciones de contorno de apoyo simple(w = 0 y mx = 0, ver figura 3), que también impi-den desplazamientos tangenciales en ambosbordes (v = 0), la tensión de pandeo elástico crí-tica, σcr, viene dada por:

(1)

donde

E es el módulo de elasticidad

t es el espesor del cilindro

συ

crE t

r=

−3 1 2( )

169

CILINDROS NO RIGIDIZADOS SOMETIDOS A…

Figura 1 Lámina cilíndrica sometida a compresión axial uniforme

Figura 2 Pandeo de láminas



r es el radio del cilindro

ν es el coeficiente de Poisson

Hay que apuntar que la tensión de pan-deo crítica es independiente de la longitud delcilindro.

El pandeo asimétrico se encuentra más amenudo en cilindros cortos y/o relativamentegruesos. El pandeo asimétrico es más común en

cilindros delgados y/o relativamente largos.

Si uno de los extremos del cilindro estálibre (w ≠ 0), la tensión de pandeo crítica cae al38% de la ofrecida por la ecuación (1). Si, por elcontrario, antes que tener un apoyo simple elcilindro está arriostrado por ambos extremos, elaumento de la tensión de pandeo crítica no es tansignificativo desde un punto de vista del diseño.

Por otro lado, el cilindro es sensible al

desplazamiento tangencial en los contornos [2,3]. Si éste no se impide (v ≠ 0), la tensión crítica

cae a cerca del 50% del valor ofrecido porla ecuación (1).

Esta ecuación (1) no puede utilizar-se directamente para el diseño, pues lasláminas cilíndricas son extremadamentesensibles a las imperfecciones bajo unacompresión axial. Los códigos de diseñotienen en cuenta la sensibilidad a lasimperfecciones introduciendo un factor“reductor”, α, de manera que el productoασcr representa la carga de pandeo de lalámina imperfecta. Han de tenerse encuenta, además, los efectos plásticos,

importantes para una cierta gama de geo-metrías de cilindro.

El factor “reductor” está en generalen función de la geometría de la lámina, delas condiciones de carga, de la amplitud ini-cial de la imperfección y de otros factores, yse evalúa normalmente por comparacióncon resultados experimentales. El factor“reductor” se escoge de manera que un altoporcentaje de resultados experimentales

(por ejemplo, el 95%) deberá tener cargas de pan-deo más elevadas que las correspondientes car-gas previstas por el método de diseño. La figura 4muestra una distribución típica de datos de ensa-yo para cilindros sometidos a compresión axial, junto con una curva de diseño típica.

Debido a la elevada sensibilidad a lasimperfecciones, el método de diseño debe espe-cificar el máximo nivel admisible de imperfeccio-nes. Estas tolerancias están relacionadas conlas amplitudes de imperfección medidas en los

ensayos utilizados para determinar los factores“reductores” apropiados. Es obvio que las tole-rancias no deben ser tan estrictas que sea impo-sible alcanzarlas mediante procesos normalesde fabricación. Debe tenerse en cuenta que elempleo de bases de datos experimentales, quecontienen un gran número de probetas de ensa-yo que no son representativas de una fabricacióna escala natural, puede conducir a unos factores“reductores” erróneos.

Lo ideal es que el método de diseño per-mita al proyectista evaluar la carga de pandeo de

170

θ

θ

Figura 3 Sistema de ejes y notación para cilindros



un cilindro con imperfecciones que sobrepasanlos límites admisibles. En la actualidad existenmuy pocos métodos de diseño válidos paraimperfecciones mayores, y nunca se llamademasiado la atención sobre la importancia deadherirse a las tolerancias establecidas.

Las bases de datos experimentales utiliza-das por diversos códigos para estimar los factores“reductores”, pueden variar de forma sustancial.Es verdad que algunas propuestas de diseño sebasan en datos antiguos, limitados o inadecua-dos. Por esta razón, las predicciones de carga de

pandeo correspondientes a geometrías de cilindronominalmente idénticas pueden variar sustancial-mente. Las obras [4, 5] presentan comparacionesentre diversos códigos e intentan explicar lasrazones de las diferencias observadas.

El procedimiento de diseño ECCS

La filosofía general adoptada en las reco-mendaciones ECCS [1] se ofrece en [6]. A conti-nuación se presenta el método de diseño para

cilindros sometidos a compresión axial, junto conalgunos comentarios explicativos.

El método propuesto es válido paracilindros que cumplen la condición w = v =0 en los apoyos, es decir, con prevención

de los desplazamientos radiales y tangen-ciales, ver figura 3, y para geometrías queno sobrepasan el siguiente límite geométri-co:

(2)

Este límite se impone para impedir laposibilidad de un pandeo global de columna

en interacción con el pandeo de lámina.El cilindro debe también satisfacer las

tolerancias de imperfección. Estas debenverificarse en cualquier parte de la superfi-cie de la lámina, empleando una barra rectao una galga circular, como se muestraesquemáticamente en la figura 5. La longi-tud de la barra o la galga, lr, está en relacióncon el tamaño de los pandeos potenciales

[1]. La imperfección admisible, w –, viene dadapor:

(3)

La exigencia de resistencia para cilindrossometidos a compresión axial uniforme vienedada por:

σd ≤ σu (4)

donde σd es la tensión de compresión axial apli-cada (efecto de carga característico).

σu es el valor previsto de la tensión de pandeo(resistencia característica).

Así, el objetivo es determinar el valor σu,o de forma equivalente, el valor de la relaciónσu /fy, donde fy es la tensión de fluencia caracte-rística especificada.

El método propuesto aparece representa-do esquemáticamente en la figura 6, donde σu /fy

se traza frente a un parámetro de esbeltez, λ.Este parámetro se define como:

w r= 0 01, l

l

r

r

t≤ 0 95,

171


σσ

Figura 4 Resultados de ensayos y curvas de cálculo (típica)para cilindros sujetos a compresión axial



172

Figura 5 Imperfecciones

σ

λα σ

Figura 6 Fórmula de cálculo de la ECCS para cilindros no rigidizados



(5)

donde σcr es la tensión elástica de pandeo crí-tica de un cilindro perfecto, dada por la ecuación(1)

α es el factor “reductor”, en representación delefecto perjudicial de las imperfecciones, tensio-nes residuales y perturbaciones de borde.

Como puede apreciarse en la figura 6,se definen dos zonas: la primera, para la que λ

≥ √2, define la zona de pandeo elástico, mien-tras que λ ≤ √2 define la zona de pandeo plás-tico.

Con λ ≥ √2 o, de forma equivalente, conασcr ≤ 0,5fy (es decir, cuando la tensión de pan-deo de la lámina imperfecta es inferior a la mitaddel valor característico de la tensión de fluencia),se estima que rige el pandeo elástico y la curvade diseño viene dada por

(6a)

donde 1/ γ es un factor de seguridad adicional intro-ducido para este tipo de geometría y de carga, enrepresentación de la extrema sensibilidad a lasimperfecciones y del desfavorable comportamientoposterior al pandeo; para l/ γ se recomienda un valorde 3/4.

Para λ ≤ √2 (ασcr ≥ 0,5fy), los aspectos no

lineales del material también juegan su papel(pandeo plástico) y la curva de diseño vienedada por:

(6b)

El factor “reductor” α, que aparece en laecuación (5), se ha deducido de comparacionescon resultados experimentales y se determina

partiendo de las siguientes ecuaciones, trazadasen la figura 7. Estas ecuaciones son aplicables si

la amplitud de las imperfecciones en cualquierparte de la lámina es inferior o igual al valor dadopor la ecuación (3). Hay que subrayar la depen-

dencia de α con respecto a la esbeltez del cilin-dro r/t.

para r/t < 212 (7a)

(7b)

En [7] se ofrecen detalles de la base dedatos experimental utilizada para deducir estasecuaciones.

También hay que apuntar en relación conla figura 6, que σu /fy se aproxima a la unidad encilindros muy robustos (λ cercana a 0) y, ade-más, que existe una transición muy suave delpandeo elástico al plástico en el cambio de fór-mulas, como se esperaría desde un punto devista físico.

Si la amplitud máxima de las imperfeccio-nes reales del cilindro es e doble del valor dadopor la ecuación (3), el valor del factor “reductor”dado por las ecuaciones (7a) y (7b) se divide pordos. Cuando 0,01 lr ≤ ω ≤ 0,02 lr la interpolaciónlineal entre α y α /2 ofrece el factor “reductor”requerido.

Aunque el factor “reductor” α cubre unaligera e inevitable irregularidad de los apoyosdel cilindro, debe tenerse cuidado de introducirlas fuerzas de compresión uniformemente en elcilindro, y de evitar perturbaciones en los bor-des.

Por último, el procedimiento anterior seocupa del diseño de pandeo de láminas de cilin-dros que cumplen el límite impuesto por la ecua-

ción (2). Sin embargo, los cilindros muy cortosfallan por pandeo de tipo placa, que depende de

α = + >

0 70

0 1 0 01

212,

, ,

/ rt

para r t

α =+

<0 70

0 1 0 01

212,

, ,

/ r

t

para r t

σλu

yf= −1 0 4123 12, ,

σ γ λuyf

= 1 12

λα σ

= fy

cr

173




la longitud del cilindro, antes que por pandeo deláminas. En este caso, las bandas meridionalesde la pared del cilindro sufren el pandeo comolas bandas de una placa “ancha” sometida acompresión, y no muestran la sensibilidad a lasimperfecciones asociada al comportamiento detipo lámina.

Aquí σu viene dado por:

Para σE ≤ 0,5 fy (pandeo elástico)

σu = σE (8a)

Para σE ≥ 0,5 fy (pandeo plástico)

(8b)

donde σE es la tensión elástica de pandeo crí-tica de una placa “ancha” de longitud l y espesort, dada por

(9)

En general, con cualquier geometría con-creta, deben evaluarse ambas ecuaciones (6) y

(8) y tomarse para σu el valor mayor. Sin embar-go, la ecuación (8) ofrece un valor mayor que laecuación (6) solo con cilindros muy cortos. Esmuy fácil calcular que para el pandeo elástico, esdecir comparando la ecuación (6a) y la ecuación(a), esto es cierto cuando

(10)

l

r

t

r<

1 411,

α

σ π

υE

Et=

−

2 2

2 212 1( ) l

σσu y

y

E

ff

= −

1 0 25,

174

α

Figura 7 Representación gráfica del factor reductor de la ECCS



4. CILINDROS NO RIGIDIZADOSSOMETIDOS A COMPRESIÓNAXIAL Y PRESIÓN EXTERNA

El pandeo de cilindros no rigidizados bajouna carga combinada reviste un considerableinterés para los proyectistas. Por ejemplo, lacompresión axial y la presión lateral combinadasse encuentran a menudo en la práctica de dise-ño de plataformas petrolíferas.

Las recomendaciones de diseño disponi-bles son en su mayoría empíricas. Están basa-das en un número de experimentos mucho más

limitado que el correspondiente a los dos casosbásicos revisados en las secciones 2 y 3.

El pandeo bajo una carga combinadaaxial y de presión puede ser muy sensible a lasimperfecciones, sobre todo cuando la carga estádominada por la compresión axial.

Las recomendaciones ECCS [1], al igualque otros códigos, adoptan una interacción line-al por tramos rectilíneos basada en la resistencia

al pandeo bajo una compresión axial o una pre-sión externa actuando individualmente. El cilin-dro debe estar sujeto de modo que v = w = 0 enambos extremos. Además, debe satisfacer lastolerancias de imperfección señaladas en lassecciones 2 y 3.

La figura 10 muestra la curva de interac-ción. Cualquier combinación de σd / σu y pd /pu quecaiga dentro de la zona definida por las dos líneasrectas, es segura. Así, las cargas aplicadas (σd,

pd) deben cumplir las dos condiciones siguientes:I: σd ≤ σu (21a)

II: (21b)

o

III:(21c)

La ecuación (21b) establece que si lacompresión axial aplicada es menor o igual ala producida aplicando una presión hidrostáti-ca uniforme, puede alcanzarse la presión pre-vista correspondiente a la presión externa uni-forme. No se considera necesaria una

reducción debida a la presencia simultáneade la compresión axial. Sin embargo, si lacompresión axial es superior a este valor lími-te, la resistencia prevista se reduce linealmen-te según se expresa en la ecuación (21c).

Las pruebas experimentales handemostrado que este diagrama de interacciónes conservador.

PP

r P

tr P

t

si r Pt

d

u

du

uu

d u+

−

−≤ >

σ

σσ2

2

12

P

Psi

r P

td

ud

u≤ >12

σ

178

σσ

σ

Figura 10 Curva de interacción



5. RESUMEN FINAL

Se ha descrito el comportamiento de pan-

deo de cilindros no rigidizados sometidos a com-presión axial y presión externa, y se han identifi-cado los parámetros clave.

Un buen procedimiento de diseño debetener en cuenta:

• la sensibilidad a las imperfeccionescorrespondiente a la geometría, a lacarga y a las condiciones de contorno, ydeducir de ahí los factores “reductores”

utilizando datos experimentales fiables;• las limitaciones que deben imponerse alas imperfecciones admisibles, a la vistade los datos experimentales disponi-bles, y las características de los proce-sos de fabricación;

• la interacción entre el pandeo elástico yla fluencia;

• el efecto de las condiciones de contor-no.

Se ha presentado el procedimiento pro-puesto por las recomendaciones ECCS. Lospasos principales para los dos casos de cargaindividuales son similares y pueden resumirsecomo sigue:

1. Determinación de la tensión elásticade pandeo crítica de la lámina perfec-ta.

2. Cálculo del factor “reductor” y, de ahí,de la tensión de pandeo de la láminaimperfecta.

3. Dependiendo de la esbeltez de la lámi-na, modificación del valor del paso (2)para tener en cuenta el pandeo plásti-co.

El proyectista debe conocer perfectamentelas idealizaciones realizadas en los modelos dediseño y sus limitaciones con respecto a la carga,condiciones de contorno e imperfecciones.

En general, las recomendaciones de dise-ño se limitan solo a láminas de rotación, con unespesor uniforme y sometidas a distribuciones

de carga ideales. En aplicaciones prácticas sur-gen diversos problemas de los que no se ocupaninguno de los códigos de diseño actuales [6].Queda mucho por hacer en este campo, y losdiseñadores de láminas deben intentar mante-nerse al tanto de los nuevos desarrollos.

6. BIBLIOGRAFÍA

[1] ECCS - European Convention for

Constructional Steelwork - Buckling of SteelShells European Recommendations, FourthEdition, 1988.

[2] Timoshenko S P and Gere J M, Theory ofElastic Stability, McGraw-Hill, 1982.

[3] Brush D O and Almroth B O, Buckling ofBars, Plates and Shells, McGraw-Hill, 1975.

[4] Beedle L S, Stability of Metal Structures: AWorld View, Structural Stability ResearchCouncil, 1991.

[5] Ellinas C P, Supple W J and Walker A C,Buckling of Offshore Structures, Granada, 1984.

[6] Samuelson L A, “The ECCSRecommendations on Shell Stability; DesignPhilosophy and Practical Applications, inBuckling of Shell Structures, on Land, in the Seaand in the Air”, J F Jullien (ed), Elsevier AppliedScience, 1991, pp. 261-264.

[7] Vandepitte D and Rathe J, “Buckling ofCircular Cylindrical Shells under Axial Load inthe Elastic-Plastic Region”, Der Stahlbau, Heft12, 1980, S. 369-373.

[8] Kendrick, S B, “Collapse of stiffened cylindersunder external pressure”, Paper C190/72 in proc.Conf. on Vessels under Buckling Conditions,Instn of Mech. Engrs., London, 1972.

179

RESUMEN FINAL




Lección 10.9: Diseño de Láminas Cilíndricas Rigidizadas

181



183

OBJETIVOS/CONTENIDO

OBJETIVOS/CONTENIDO

Describir el comportamiento de pandeo

de láminas rigidizadas y analizar los diferentestipos de fallo. Se presenta un procedimientopráctico de diseño, basado en las recomenda-ciones europeas, para cilindros con rigidizaciónde largueros sometidos a una carga axial.

LECCIONES AFINES



Lección 10.7: Análisis Básico DeEstructuras de Láminas

Lección 10.8: Diseño de Cilindros NoRigidizados

RESUMEN

Se presenta el comportamiento de pan-deo de estructuras de láminas rigidizadas y seexponen los diferentes tipos de fallo. El diseñode la lámina ha de tener en cuenta el pandeo delámina local (limitado al panel de lámina entrelos rigidizadores) y el pandeo de panel rigidiza-do (o inestabilidad de recuadro), en el que parti-cipan tanto el panel de lámina como los largue-

ros. También debe evitarse el pandeo de lospropios largueros. Se presenta asimismo el pro-cedimiento de diseño pertinente en esta cues-tión, según se propone en las recomendacionesECCS [1].



1. INTRODUCCIÓN

En las lecciones 10.6 y 10.7 se han pre-

sentado diversos aspectos del comportamientoestructural de láminas, así como los principiosmás importantes de la teoría de láminas. En par-ticular se ha mostrado cómo la resistencia alpandeo de las estructuras de láminas está influi-da por las tensiones residuales, las imperfeccio-nes geométricas y, en algunos casos, por laexcentricidad de la carga y las condiciones decontorno. Por estas razones las láminas cilíndri-cas sometidas a compresión axial a menudofallan con una resistencia al pandeo considera-

blemente inferior al valor elástico teórico.

La resistencia al pandeo de las láminascilíndricas se mejora con frecuencia mediante eluso de rigidizadores circunferenciales y/o longi-

tudinales. Su tamaño, separación y situación enel exterior o el interior de la superficie del cilindroson factores que complican el comportamientode pandeo de la lámina.

En esta lección se presentan los aspectosgenerales del comportamiento de pandeo deláminas rigidizadas y se trata, como ejemplo dela aplicación de procedimientos prácticos dediseño, el correspondiente a cilindros con rigidi-zación de largueros sometidos a compresión

axial.

184



nuación se examina el procedimiento propues-to en las Recomendaciones ECCS [1] para el

caso de una lámina cilíndrica con rigidizado-res longitudinales y sometida a una compre-sión meridional. No se tratan aquí las lámi-nas con rigidización anular u ortogonal, perolas recomendaciones de diseño pertinentesson similares a las presentadas en esta lec-

ción para las láminas rigidizadas con largueros,y pueden encontrarse en [1].

186

Rigidizado solo longitudinalmente,no perimetralmente

Figura 3 Pandeo local incluyendo a varios rigidizadores

Figura 4 Pandeo de rigidizadores individuales



3. LÁMINAS CILÍNDRICASCON RIGIDIZADORESLONGITUDINALESY SOMETIDASA COMPRESIÓNMERIDIONAL

En las reglas de diseño ECCS correspon-dientes a una lámina cilíndrica circular con rigidi-zadores longitudinales y sometida a una com-presión y/o flexión axial, se supone que loslargueros están distribuidos uniformemente porla circunferencia del cilindro (figura 1). Las pro-

piedades de los rigidizadores son:As es el área de la sección transversal

EIs es la rigidez a la flexión en torno a la direc-triz paralela a la pared del cilindro

GCs es la rigidez a la torsión

es es la distancia entre el centro de la superfi-

cie de la lámina y el centro de gravedad del rigi-dizador (positiva para un rigidizador externo).

Cs puede evaluarse mediante la fórmula parasecciones abiertas consistentes en bandas pla-nas n –.

(1)

Las recomendaciones siguientes se apli-can cuando

(2)A bt I bt GC bt E

s s< < <−

2 15 10

12 1

33

2, ,

( )υ

C b ts i ii

n

≅=∑1

3

3

1

187

LÁMINAS CILÍNDRICAS CON RIGIDIZADORES…



4. LIMITACIÓNDE LAS IMPERFECCIONES

Deben limitarse las imperfecciones delelemento lámina situado entre los rigidizadores.Estas limitaciones son similares a las estableci-das en la lección 10.8 para cilindros no rigidiza-dos.

La falta interna y externa de rigidez delrigidizador no debe sobrepasar, en la direcciónradial, los siguientes valores:

(3)

(4)

Para más detalles, ver (3).

Los límites dados para w – se aplican tam-bién a la sinuosidad circunferencial inicial v –, quees la alineación lateral defectuosa de la unión delos rigidizadores con la lámina (figura 5). La incli-nación inicial del alma y de la cabeza del larguero(figura 6) deberá limitarse mediante:

(5)v

h

v

bw f

1 20 0082

0 008≤ ≤, /

,

si A

b ts≤ ≤0 0 06,

w y wg r≤ ≤0 0015 0 01, ,l l

w si A

b tg

s≤ ≥0 0015 0 06, ,l

188

Figura 5 Desalineación lateral de rigidizadores

Figura 6 Inclinación inicial de alma de rigidizador



5. CONDICIONESDE RESISTENCIA

El valor de diseño de la tensión de acciónmeridional extrema se obtiene de:

(6)

donde:

El diseño de la lámina ha de tener encuenta el pandeo de lámina local (con el signo l),limitado a los paneles de lámina entre rigidizado-

res (figura 2), y el pandeo de panel rigidizado(figura 3) o inestabilidad de recuadro (con elsigno p), en el que participan tanto el panel de

lámina como los largueros. El pandeo de lasalmas o las cabezas de los propios rigidizadoresdebe evitarse limitando la relación de determina-das dimensiones de sección transversal de loslargueros (figura 4).

El valor de la tensión de compresión quecausa el pandeo de lámina local está represen-tado por σul, mientras que σup representa el valorde la tensión correspondiente al pandeo de ele-mento rigidizado. El valor de diseño σd de la ten-

sión de acción meridional más elevada no debe-rá sobrepasar ninguna de las dos tensiones depandeo

σd ≤ σul y σd ≤ σup (7)

t t A

bs

s= +

σπ π

dd

s

d

s

Q

r t

M

r t= =

2 2

189

CONDICIONES DE RESISTENCIA



6. PANDEO DE PANEL LOCAL

La tensión elástica crítica, σcr, l, corres-

pondiente a un panel de lámina perfecto entrelargueros, puede tomarse igual a la mayor dedos tensiones críticas relativas a

un cilindro completo perfecto

(8)

una placa perfectamente plana

(9)

La utilización de la ecuación (9) implicaignorar la rigidez a la torsión de los largueros y lareserva de resistencia posterior al pandeo delpanel supuestamente plano.

La tensión local elástica de pandeo delámina, σul, correspondiente a un panel imper-fecto, es la mayor de las tensiones σul1 y σul2,siempre y cuando ni 4σul1 /3 ni σul2 sobrepasen0,5 fy, siendo σul1 y σul2 las tensiones σcr, l redu-cidas para tener en cuenta las imperfecciones ytambién, en el caso del pandeo de panel cilíndri-co, la sensibilidad a las mismas. De hecho, sonlos valores determinados a partir de las ecuacio-

nes (8) y (9) reducidos a por un factor αl

y un factor de seguridad parcial γ , donde αlrepresenta las imperfecciones y γ la sensibilidada éstas.

En relación con un elemento cilíndrico, αlviene dado por la ecuación (13) de [1], divididopor dos si la imperfección w – es igual a 0,02 lr, yobtenido por interpolación lineal si w – está dentro

de un margen de entre 0,01 lr y 0,02 lr, mientrasque γ se toma igual a 4/3.

Para elementos planos se suponen lossiguientes factores:

αl = 0,83 y γ = 1,0

De este modo, para un elemento imper-fecto se obtienen los siguientes valores dediseño de la tensión elástica de pandeo delámina:

(10)

(11)

Cuando, o bien 4σul1 /3 o σul2, sobrepa-san 0,5 fy, entra en juego la deformación plásticay σul es la mayor de las tensiones σul1 y σul2,obtenidas de:

(12)

(13)

σu y

y

y

ff

E t

b

si E t

rf

l2 2

2

1 0 25

2 99

0 83 3 6 0 5

= −

×

>

,

,

, , ,

σα

α

u y

y

o

o y

f

f

E t

r

si E t

rf

l1

0 6

1 0 4123

0 605

0 605 0 5

= −

>

,

,

, ,

,

σu E t

bl2

2

0 83 3 6= ×

, ,

σ αu o E

t

rl13

40 605= × ,

α σ

γ l lcr,

σcr E t

b

b

rt, , ,l =

≤

3 6 2 44

2

σcr E t

r

b

rt, , ,l = ≥

0 605 2 44

190



terior al pandeo es sustituir una reparti-ción de tensiones idealizada por la real,de tal modo que se conservan la ten-

sión máxima y la tensión media. Ver,por ejemplo, la figura 7b, donde la ten-sión máxima σmax es la misma que enla figura 7a y las zonas rayadas tienenel mismo resultado. En la práctica, laanchura eficaz del elemento, be, puedeobtenerse, aunque no explícitamente,de

(17)

donde αl σcr, l es el mayor de los valores

0,605 αo E y 0,83 x 3,6 E .

Dado que en aplicaciones prácticas loslargueros están bastante juntos, en laecuación (17) solo se tiene en cuenta lainfluencia del pandeo de lámina local yde la fluencia sobre la anchura eficaz.

El límite inferior de la anchuraeficaz (ecuación 17) fue propuesto enorigen por von Karman. Si b ≤ 1,9 t

, be debe establecerse igual a b.

Cuando b > 1,9 t , σcr, p y be

deben determinarse mediante el procedimientoiterativo reflejado en la figura 8, que puede fácil-

mente llevarse a cabo en un programa de orde-nador. Como valor inicial de prueba de be setoma b, luego pueden calcularse las cantidadesA11 a A33, minimizarse la fórmula (14) y, trasintroducirse el valor de tanteo σcr, p en la ecua-ción (17), obtenerse un nuevo valor de be. El pro-ceso iterativo se detiene cuando sucesivos valo-res de be y σcr,p son casi iguales.

Ejemplo

Evaluar σcr, p para un cilindro de acerodulce de las siguientes características:

r/t = 1000

l/r = 1,6

ns = ns(min) larguero de llanta externo

E = 205000 Nmm-2 fy = 240 Nmm-2

As /(bt) = 0,5 hw /tw = 10

La aplicación del procedimiento iterativode la figura 8, que incluye la anchura eficaz be deacuerdo con la ecuación (17), da como resultadola mínima σcr, p = 202 Nmm-2 para m = 1, n = 11.La anchura eficaz definitiva da be = 0,4 b, que en

este caso es el límite inferior de von Karman dela ecuación (17).

E fy /

E fy /

t

b

2t

r

1 9. ,

,

t E

fb b b

ye

cr

cr p

≤ = ≤α σ

σ

l l

192

σ

σ

Figura 7 Anchuras efectivas (a) distribución real de tensiones,(b) distribución ideal de tensiones



8. PANDEO LOCALDE LOS LARGUEROS

Para evitar el pandeo local de los largue-ros (figura 4), las relaciones de las dimensionesde sección transversal de los mismos deberánlimitarse como sigue:

hw /tw ≤ 0,35

para rigidizadores de sección plana con tw ≅ t

hw /tw ≤ 1,1 y bf /tf ≤ 0,7

para rigidizadores embridados.

E fy / E fy /

E fy /

194



9. RESUMEN FINAL• Se ha examinado el comportamiento de

pandeo de láminas rigidizadas y se han

expuesto los diferentes tipos de fallo.• El procedimiento de diseño debe evitar:

a. el pandeo de lámina local (limitado alelemento de lámina entre rigidizado-res)

b. el pandeo de elemento rigidizado (en elque participan el panel y los rigidizado-res)

c. el pandeo de los propios rigidizadores.

Se ha expuesto en detalle el procedimientopropuesto por ECCS [1] para cilindros con rigi-dización de largueros.

10. BIBLIOGRAFÍA

[1] European Convention for Construction

Steelwork: “Buckling of Steel Shells - EuropeanRecommendations”, Fourth Edition, ECCS, 1988.

[2] Samuelson, L. A., Vandepitte, D. andParidaens, R., “The background to the ECCSrecommendations for buckling of stringer stiffenedcylinders”, Proc. of Int. Coll. on Buckling of Plateand Shell Structures, Ghent, pp 513-522, 1987.

[3] Ellinas, C. P. and Croll, J. G. A., “Experimentaland theoretical correlations for elastic buckling of

axially compressed stringer stiffened cylinders”, JStrain An., Vol. 18, pp 41-67, 1983.

[4] Hutchinson, J. W. and Amazigo, J. C.,“Imperfection Sensitivity of Eccentrically StiffenedCylindrical Shells” AIAA J Vol 5 No 3 pp 392

RESUMEN FINAL

estructuras de acero tomo 10

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