estrategia didáctica a partir de un instrumento digital

Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 1

Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital hacia construcción autónoma de

problemas por estudiantes de precálculo: Longitud – Área - Volumen

Efren David Montes Vera

Jaime Alberto Pinto Maldonado

Trabajo presentado para optar al título de Magister en Educación

Docente Asesor:

Ph.D Omar Lenguerke Pérez

Universidad Cooperativa de Colombia

Facultad de Educación

Maestría en Educación

Bucaramanga

2016


Dedicatoria

A mi madre Laura, que es mi ángel protector, el recuerdo es imborrable, donde estés, en la

eternidad sigue la conexión de mi alma.

A mi padre, vida y vocación docente

A mi esposa Yolanda Cristancho, por el apoyo y ánimo que me brinda para alcanzar nuevas

metas, tanto profesionales como personales.

A mi hija Laura Montes Cristancho, quien ha sido mi motivación para nunca rendirme, mi

orgullo y la prolongación de mi existencia.

A mis hermanos; Helver, Gloria y Edgar José.

A mis sobrinos, Daniela, Santiago, Gabi y Cata.

A mi sobrino, ahijado y parne Oscar David Santander Montes

A un buen ser humano, Magister y Compañero que se fue a la eternidad, Javier Moyano Niño.

Efrén David Montes Vera


Dedicatoria

A mi madrina Socorro Contreras Vera quien fue una verdadera madre; por lo que me inculcó,

por todo lo que soy, por sus principios y valores, por su gran corazón. Siempre estaba en mis

momentos, principalmente en los más difíciles. Formadora de mi alma y esencia.

A Eva Johanna Anaya Hernández quien ha sido mi confidente; por su rectitud, por sus

sentimientos, un gran ser humano, un ángel de Dios. Diseñadora de mis sueños.

A mi padre, uno de mis pilares; por su honestidad, un caballero, un líder. Mi ejemplo de vida.

A mi hija, Bárbara Liceth Pinto, es todo mi amor, es mi proyección. Mi legado.



Agradecimiento

Al gran arquitecto del Universo, por permitir orientar mi vida hacia lo más justo y ético, hacia

lo más elevado del espíritu, en un cuerpo sano, como un pensamiento puro y una conducta

solidaria y fraterna con todos los seres del universo.

A mi gran amigo y compañero de maestría Jaime Pinto Maldonado.

A quien postergó su maestría y es un reposo de cariño y generosidad Mi hermana Gloria Inés

Montes Vera.

Efrén David Montes Vera


Agradecimiento

A Dios, sin él nada sería posible.

A mi familia porque quiero ofrecerle lo mejor de mí.

No puedo sentir más que gratitud por aquellas personas que fueron nuestro apoyo en especial a

los doctores Leonardo Acevedo, Manuel Medardo y Luva Mesa, entre otros quienes ofrecieron

incondicionalmente su apoyo.

A Moisés Bravo y Nelson Castellanos quienes fueron creciendo en el transcurso de la maestría y

a través de sus aportes ayudó para que nosotros también creciéramos.

A mi estimado amigo Efrén David Montes

A Albert Yhanj Jiménez quien puso su granito de arena en esta investigación.

A mis amigos que aún me acompañan y a los que ya se despidieron…

A los que decían te apoyo pero no era cierto



Contenido

Pág.

Introducción .................................................................................................................................. 14

1. Generalidades del proyecto ....................................................................................................... 16

1.1 Descripción del documento ......................................................................................... 16

1.2 Planteamiento del problema ........................................................................................ 17

1.2.1 Descripción del problema ............................................................................ 18

1.2.2 Preguntas directrices. .................................................................................. 22

1.2.3 Pregunta de investigación. ........................................................................... 22

1.3 Objetivo ....................................................................................................................... 23

1.3.1 Objetivo General .......................................................................................... 23

1.3.2 Objetivos específicos ................................................................................... 23

1.4 Justificación................................................................................................................. 24

1.5 Hipótesis ...................................................................................................................... 26

1.6 Alcances y limitaciones............................................................................................... 27

2. Fundamentos teóricos y estado del arte .................................................................................... 30

2.1 Fundamentos teóricos ................................................................................................. 30

2.1.1 El Aprendizaje .............................................................................................. 31

2.1.1.1. La Teoría Constructivista ............................................................. 32

2.1.1.2. Características de la Teoría Constructivista ................................. 34

2.1.1.3. El Aprendizaje desde el Modelo Constructivista ......................... 36

2.1.2 Aprendizaje de las Matemáticas .................................................................. 38

2.1.3 Planteamiento y Solución de Problemas ...................................................... 41

2.1.3.1 ¿Cómo Plantear y Resolver Problemas? ........................................ 42

2.1.3.2. Planteamiento y Solución de Problemas como Competencia ...... 55

2.1.4 Sobre la enseñanza de la trigonometría ....................................................... 62


2.1.4.1 Sistemas de representación ............................................................ 63

2.1.4.2 Relación entre los sistemas de representación ............................... 66

2.1.5 Aprendizaje sobre longitud, área y volumen ................................................ 67

2.2 Estado del arte ............................................................................................................. 70

3. Tipo de investigación y metodología ........................................................................................ 77

3.1 Tipo de investigación .................................................................................................. 77

3.2. Metodología ............................................................................................................... 79

3.2.1. Métodos y Técnicas ..................................................................................... 79

3.2.2. Población. ................................................................................................... 80

3.2.3. Técnicas e instrumentos de colecta de datos .............................................. 81

3.3 Presentación y análisis de resultados del diagnóstico ................................................. 83

3.3.1 Resultados de las encuestas aplicadas a estudiantes ................................... 84

3.3.2 Resultados de las encuestas a profesores .................................................... 90

3.3.3 Resultados del análisis documental a estudiantes ....................................... 95

3.3.4 Conclusiones e inferencias del diagnóstico. .............................................. 105

4. Estrategia didáctica ................................................................................................................. 108

4.1. Objetivos .................................................................................................................. 108

4.1.1 Objetivo general. ........................................................................................ 108

4.1.2 Objetivos específicos. ................................................................................. 108

4.2 Indicadores ............................................................................................................... 109

4.3Fundamentación para el docente ................................................................................ 109

4.4 Recomendaciones metodológicas ............................................................................. 110

4.4.1 Instrumento digital ..................................................................................... 110

4.4.2 Alcances y limitaciones de la estrategia didáctica .................................... 112

4.4.3 Guía didáctica ............................................................................................ 114

4.5 Actividades de la estrategia didáctica ....................................................................... 131

4.5.1 Diagnóstico. ............................................................................................... 131

4.5.2 Guía de trabajo “cómo resolver problemas en longitud, área y

volumen a partir del instrumento digital” .......................................................... 132

4.6 Evaluación ................................................................................................................. 132

4.7 Retroalimentación .................................................................................................... 133


4.8 Validación de la estrategia didáctica ......................................................................... 134

5. Conclusiones y Recomendaciones. ......................................................................................... 136

Referencias Bibliográficas .......................................................................................................... 138

Anexos ........................................................................................................................................ 141


Lista de Figuras

Pág.

Figura 1. Lineamientos en educación matemática según el MEN ............................................... 40

Figura 2. Estrategias para plantear y solucionar un problema según George Polya .................... 51

Figura 3. Representación simbólica ............................................................................................. 64

Figura 4. Representación numérica .............................................................................................. 65

Figura 5. Sistema de representación gráfico: geométrico y cartesiano ........................................ 66

Figura 6. Declaración estudiante importancia de las matemáticas............................................... 85

Figura 7. Importancia de la matemática en el pregrado de Tecnología y en la vida cotidiana .... 87

Figura 8. Declaración estudiantes factores de rendimiento académico ....................................... 88

Figura 9. Componentes de la investigación que se perciben en el aula según los estudiantes ... 89

Figura 10. Declaración docente 1 ................................................................................................. 91



Figura 13. Componentes de la investigación que se perciben en el aula según los docentes ...... 94

Figura 14. Dificultad en la interpretación del enunciado ............................................................. 98

Figura 15. Dificultad en el manejo de escalas .............................................................................. 99

Figura 16. Dificultad en la interpretación del enunciado y el manejo de las escalas ................... 99

Figura 17. Dificultad en la interpretación de la relación del círculo y rectángulo ..................... 100

Figura 18. Dificultad en la delimitación del problema............................................................... 101

Figura 19. Dificultad en la ubicación de los datos, las incógnitas y la comprensión del

problema ..................................................................................................................................... 102

Figura 20. Dificultad en la relación algebraica y los conceptos de longitud, área y volumen ... 104

Figura 21. Dificultad en la relación algebraica y los conceptos de longitud, área y volumen ... 104

Figura 22. Instrumento digital .................................................................................................... 111

Figura 23. Caja de información de datos .................................................................................... 112


Figura 24. Problema de ejemplo 1 ............................................................................................. 118









Lista de Anexos

Pág.

Anexo A. Encuesta a los docentes .............................................................................................. 141

Anexo B. Encuesta a los estudiantes ........................................................................................... 145

Anexo C. Prueba de conocimientos generales en longitud, área y volumen .............................. 147

Anexo D. Prueba diagnóstico para la estrategia didáctica .......................................................... 149

Anexo E. Problema 1 de la estrategia didáctica .......................................................................... 151

Anexo F. Plantilla de la estrategia didáctica ............................................................................... 153

Anexo G. Rúbrica evaluación de la estrategia didáctica ............................................................. 155

Anexo H. Prueba de evaluación individual estrategia didáctica ................................................. 158

Anexo I. Instrumento para la validación de la estrategia didáctica ............................................ 160


Resumen

La presente investigación se realizó en las Unidades Tecnológicas de Santander (UTS) sede

Bucaramanga, en una muestra de estudiantes que cursan la asignatura de Precálculo y con el

apoyo del colectivo de docentes de la asignatura de la institución. Se partió de una situación

problema comprobada desde hace varios semestres, el exiguo desarrollo de las habilidades de los

estudiantes para plantear y resolver problemas debido a las deficientes estrategias realizadas en

el proceso de la enseñanza y del aprendizaje, evidenciándolo principalmente en los pobres

resultados de las pruebas de carácter interno y externo. Exámenes que contienen un alto

componente en resolución de problemas. Finalmente el contexto presentado repercute en el

interés y en la motivación del estudiante hacia la asignatura y la temática, agudizando las

debilidades en su proceso de aprendizaje.

Posteriormente se investigó a profesores y estudiantes para identificar sus concepciones sobre la

importancia y el uso de las matemáticas tanto en la carrera universitaria que se encuentran

cursando, como en su vida cotidiana. Por otro lado, se indagó sobre la frecuencia de

implementación en el aula de algunos componentes significativos en el proceso de aprendizaje

en las matemáticas, principalmente en la resolución de problemas.

A partir de ahí, se diseñó una estrategia didáctica en una salida de campo, que promueve el

planteamiento y hacia la construcción de problemas propios en su contexto sobre la temática

longitud, área y volumen (LAV), usando como apoyo un instrumento digital que registra

medidas angulares y longitudinales; que resaltó el trabajo cooperativo, el fortalecimiento de la

comunicación individual y colectiva, el manejo de la representación matemática, el análisis y la

reflexión.

Cabe añadir que la estrategia didáctica fue reconocida a través de una valoración por parte de una

muestra de docentes que orientan la asignatura en las UTS, teniendo como finalidad elevar la

significatividad en su aprendizaje y despertar el interés de los estudiantes hacia la asignatura y la

resolución de problemas.


Abstract

This research was conducted at the Unidades Tecnológicas de Santander (UTS) Bucaramanga

based on a sample of students attending the course Precalculus and with the support of the group

of teachers of the subject of the institution. It began with a problem situation tested for several

semesters, the meager development of students' abilities to pose and solve problems due to poor

strategies used in the process of teaching and learning, highlighting mainly in the poor results

testing of internal and external character. Tests that contain a high component in problem

solving. Finally, the context presented affects the student interest and motivation toward the

subject and theme, exacerbating the learning process in their weaknesses.

Later teachers and students was investigated to identify their views on the importance and use of

mathematics both college career who are studying, as in their daily lives. On the other hand, he

was asked about the frequency of classroom implementation of some significant components in

the learning process in mathematics, particularly in problem solving.

From there, a teaching strategy was designed on a field trip, which promotes the planning and

building their own problems in context on the thematic units of measure, using as support a

digital instrument that records angular and longitudinal measures; that highlighted the

cooperative work, strengthening individual and collective communication, management of the

mathematical representation, analysis and reflection.

It added that the teaching strategy was recognized through an assessment by a sample of teachers

who guide the subject in the UTS, with the aim to raise the meaningfulness in learning and pique

the interest of students towards the subject and resolution problems.


Introducción

Con los Lineamientos Curriculares (1998) definidos por el Ministerio de Educación

Nacional (MEN), para el caso específico de las matemáticas se propuso organizar el currículo

mediante la interrelación entre, por una parte, procesos generales, conocimientos básicos y

contexto, y por otra, los pensamientos y sistemas matemáticos: pensamiento y sistemas

numéricos, pensamiento espacial y sistemas geométricos, pensamiento métrico y sistemas de

medidas, pensamiento aleatorio y sistemas de datos, pensamiento variacional y sistemas

algebraicos y analíticos.

A los Lineamientos se articularon los Estándares de Competencias (MEN, 2003), que

plantearon lo que significa para el MEN ser “matemáticamente competente”: formular y resolver

problemas, utilizar diferentes registros de representación semiótica, argumentar y justificar para

validar, probar, refutar, demostrar y dominar procedimientos y algoritmos matemáticos; se

resalta la formulación y resolución de problemas como uno de sus pilares de la matemática.

En las Unidades Tecnológicas de Santander UTS como apoyo a los procesos de

fortalecimiento académico y a causa del bajo rendimiento académico, la institución incluyó una

serie de asignaturas con el objetivo de fortalecer los presaberes necesarios para cursar las

carreras profesionales que se ofrece; anteriormente en la facultad de ciencias naturales e


ingeniería en la línea de las matemáticas se impartía en el primer semestre la asignatura de

Cálculo Diferencial pero ahora para cumplir dicho objetivo se agregó la asignatura Precálculo.

Teniendo en cuenta los lineamientos del MEN y la necesidad de la institución, los autores de

la investigación objeto de este documento, tomaron la iniciativa de diseñar una estrategia

didáctica para la asignatura de Precálculo con el fin de fortalecer el proceso planteamiento y la

resolución de problemas, incluyendo un instrumento digital que sirve como herramienta

pedagógica apoyada en el trabajo cooperativo, la comunicación y las representaciones

matemáticas.


1. Generalidades del proyecto

1.1 Descripción del documento

Este primer capítulo de introducción, se destina a plantear el problema, los objetivos,

justificación, hipótesis, limitaciones y alcances de la investigación.

El segundo capítulo se refiere a los referentes conceptuales para el aprendizaje en general y

de las matemáticas en particular, para pasar luego al tema del planteamiento y resolución de

problemas en matemáticas, con base en investigadores reconocidos en didáctica de las

matemáticas, teoría constructivista y trabajo cooperativo. Los autores asumen en este capítulo

unos conceptos, a su juicio centrales en la concepción de longitud, área, volumen, trigonometría.

Se analizan tópicos representativos de los Principios y estándares de la educación matemática

(2001) y de los Estándares de Competencias Matemáticas (2003), documentos que, a juicio del

MEN, reestructuran el currículo de las matemáticas escolarizadas.

Para el grupo de investigación las voces de los profesores y de los estudiantes fueron

esenciales, por ello, el capítulo tercero dedica a analizar ¿cómo conciben los estudiantes la

importancia de las matemáticas en sus carreras? ¿Qué características que propone esta estrategia

se aplican en las clases de Precálculo en las UTS? ¿Qué estrategias didácticas aplican los

docentes en sus aulas? ¿Qué dificultades cognitivas y metacognitivas poseen los estudiantes en el


planteamiento y resolución de problemas? Se asume que será más difícil mejorar el proceso de

enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, si los significados personales de los estudiantes y

profesores no son objeto de investigación y reconocimiento como elementos previos

constitutivos de significados matemáticos.

El capítulo tercero se plantea la estrategia didáctica que está sustentada en el fortalecimiento

del proceso de planteamiento y resolución de problemas en longitud, área y volumen apoyado en

el uso de un instrumento digital que sirve como herramienta pedagógica y que además fortalece

otras procesos que según lo comprobó la investigación casi no se evidencian en las aulas de las

UTS; este capítulo finaliza con la convalidación y ajustes de la estrategia didáctica realizados por

el colectivo docente de la asignatura de las UTS.

Finalmente se exponen las conclusiones y las recomendaciones, basándonos en que la

estrategia plantea una forma particular de desarrollar la temática y que puede ser un granito de

arena como contribución al desarrollo de la educación matemática y a la optimización de nuestra

labor docente, la cual nos plantea cada día nuevos desafíos y la que constantemente nos exige ser

más creativos y significativos en nuestras prácticas pedagógicas.

1.2 Planteamiento del problema

En el curso de Precálculo de la Institución Educativa Unidades Tecnológicas de Santander,

no se aplica de manera adecuada estrategias pedagógicas para cualificar el aprendizaje


relacionado con el planteamiento de problemas en longitud, área y volumen, situación que se

refleja en los resultados de las pruebas que se realizan a nivel interno y externo.

1.2.1 Descripción del problema

Es un hecho que la mayoría de estudiantes experimentan serios problemas al iniciar sus

cursos universitarios de matemáticas. Por ejemplo más de 30% de los estudiantes en la

“University of British Columbia”, Canadá, no aprueban sus cursos de cálculo (Santos, 2001). En

USA de 600,000 estudiantes que cursaron cálculo a nivel universitario en 1987, solo 46%

aprobaron (Andersoon y Loftsgaarden, 1987). Los principios y estándares de la educación

matemática establecen que el 25% de los estudiantes en estados Unidos que ven Matemáticas no

la entienden o la desaprueban.

Esta situación no es diferente en las UTS pues en un informe realizado por el departamento

de ciencias básicas de la sede de Bucaramanga se estableció que el 50% de los estudiantes que

ven cálculo pierden la asignatura o la cancelan. Situación que se presenta debido a la dificultad

para realizar varios tipos de análisis entre estos los relacionados con el planteamiento de

problemas. Debes agregar otros agravantes entre ellos que, gran parte de los estudiantes se

encuentran laborando y realizan sus estudios sin subsidios o becas; lo que implica poca

disponibilidad de tiempo y también de recursos para desarrollar actividades escolares

principalmente en el trabajo académico independiente, resaltando además que la institución

propone que el tiempo mínimo de estudio independiente debe ser equivalente a 8 horas por

semana para cada asignatura teórica para que el estudiante pueda así adquirir las competencias


requeridas para el curso. Por otro lado, el único requisito para ingresar a estudiar cualquier

carrera en las UTS es presentar el examen de las pruebas “saber” sin importar el resultado

obtenido, situaciones que invitan a los docentes a realizar prácticas pedagógicas en el aula más

significativas y eficaces.

Durante muchos años alrededor del mundo, se han desarrollado investigaciones alrededor de

las dificultades que presentan los estudiantes en la resolución de problemas matemáticos y sobre

los caminos para superarlas. Un frente del problema se relaciona con despertar el interés del

estudiante y para ello se ha identificado como muy útil que el estudiante, aplicando

conocimientos matemáticos, identifique, plantee, analice, determine y resuelva diferentes

problemas. Se identifica así como un problema generalizado que se enseñan las matemáticas sin

soportarla en metodologías y herramientas para el adecuado planteamiento y solución de

problemas.

Por otra parte se suele afrontar la tarea de enseñar y aprender matemáticas en un contexto de

abstracción y generalización que genera desmotivación en el estudiante al promover o reforzar la

percepción de que se trata de algo inútil y no pertinente para la formación en el presente y

tampoco para el futuro desempeño vital, laboral o profesional. Como consecuencia, una de las

causas de las falencias en plantear y resolver problemas con base en la matemática, es la

descontextualización y la ausencia de conexiones vitales con los problemas propuestos.


El problema descrito en general para diversos campos o componentes de las matemáticas, se

presenta con claridad en lo relacionado con los conceptos de longitud, área y volumen y se da en

el contexto del curso o asignatura de Precálculo de las (UTS).

Se ha detectado que no se aplica de forma correcta el planteamiento y la resolución de

problemas como estrategia de enseñanza y aprendizaje. Realmente, la mayoría de las veces los

profesores ignoran los fundamentos pedagógicos y didácticos que permiten utilizar estas

estrategias de una manera adecuada y significativa como apoyo a los procesos.

Precisamente, el desconocimiento de los principios pedagógicos y psicológicos que rigen el

uso de la resolución de problemas como estrategia en el aula, hace que el docente olvide pasos

fundamentales relacionados con el planteamiento y la comprensión de la situación, actividades

esenciales para que los estudiantes logren comprender los problemas y proponer planes de

solución acertados.

Por otra parte, el estudiante es obligado a abordar una gran cantidad de contenidos en lapsos

muy cortos de tiempo, aportando a la saturación y confusión en los conceptos y contenidos. En

algunos casos el estudiante es expuesto a una serie de teoremas y axiomas que son importantes

en la asignatura, pero que no son la esencia, ni el porqué de la misma, de manera que para el

estudiante es cada vez más complejo adquirir las destrezas y habilidades necesarias para realizar

planteamientos de problemas matemáticos.


Por otro lado, los estudiantes tienen algunas debilidades no necesariamente académicas y

estas fortalecen las dificultades para adquirir las competencias primarias que permiten plantear

matemáticamente situaciones problema de manera acertada, entre ellas tenemos el desinterés que

puede ser individual o colectivo hacia alcanzar habilidades en las matemáticas.

Se debe tener en cuenta, en consecuencia, para entender la problemática y para evaluar las

estrategias de solución, que las estrategias didácticas que se propongan deben tener soporte y

fundamentación pedagógica, deben favorecer el cambio del proceder de los docentes y deben

tener en cuenta primero las limitaciones de los estudiantes y segundo las dificultades específicas.

En la dirección de lograr planteamientos y soluciones de problemas, en primer lugar

contextualizados y relacionados con la vida y cultura de los estudiantes y, en segundo lugar, en

tiempo oportuno y dedicando el esfuerzo que es razonable dedicar, es conveniente y necesario

prever instrumentos eficientes de medición, de uso expedito y herramientas de procesamiento

numérico – informático eficaces.

Asoma así la expectativa de combinar la herramienta pedagógica, con tecnología

digitalizada para acelerar las operaciones de medida y de alimentar las ecuaciones y rutinas de

cálculo; además para fortalecer el trabajo en equipo, la representación matemática, el

fortalecimiento de la comunicación y también se puede contar con el complemento de

herramientas informáticas de software y hardware.


1.2.2 Preguntas directrices.

¿Qué referentes teóricos sustentan el planteamiento y resolución de problemas de longitud

área y volumen?

¿Qué dificultades y aciertos se aprecian en el desarrollo del planteamiento de problemas

matemáticos de longitud, área y volumen?

¿Qué características del instrumento digital favorecerán a los estudiantes para fortalecer el

proceso de planteamiento de problemas en longitud, área y volumen?

¿Qué aspectos relevantes de evaluación harán los expertos sobre la estrategia didáctica?

1.2.3 Pregunta de investigación.

¿Cómo fortalecer el proceso de enseñanza aprendizaje en el planteamiento de problemas de

longitud, área y volumen en estudiantes de las UTS en la asignatura Precálculo, con base en un

instrumento digital que resalte el trabajo en equipo, la representación, la comunicación y hacia la

construcción autónoma de problemas en el contexto propio?


1.3 Objetivo

1.3.1 Objetivo General

Formular una estrategia didáctica a partir de un instrumento digital hacia la construcción

autónoma de sus propios problemas de longitud, área y volumen para estudiantes de las UTS.

1.3.2 Objetivos específicos

Determinar los elementos teóricos que pueden sustentar la estrategia didáctica

proponiendo como herramienta un instrumento digital hacia el planteamiento autónomo

de problemas de longitud, área y volumen en el contexto del estudiante.

Caracterizar sobre las prácticas docentes respecto al planteamiento de problemas que

involucren longitud, área y volumen en la asignatura de Precálculo con el propósito de

establecer fortalezas y debilidades en el proceso de enseñanza y aprendizaje.

Determinar componentes, pasos y estructura de la estrategia didáctica para que los

estudiantes elaboren problemas soportados en un instrumento digital.

Valorar la estrategia didáctica por intermedio del colectivo docente de la asignatura

Precálculo en las UTS, para establecer ventajas y desventajas con el fin de aprobarla o

reajustarla.


1.4 Justificación

Es claro que las matemáticas son una herramienta necesaria e importante, junto a la

estadística se encuentra en los ciclos básicos de la mayoría de carreras profesionales y

tecnológicas, según el MEN (2013) la importancia de las matemáticas en la educación se da “por

su relación con el desarrollo de las capacidades de razonamiento lógico, por el ejercicio de la

abstracción, el rigor y la precisión, y por su aporte al desarrollo de la ciencia y la tecnología en el

país”.

El sistema de educación busca que el estudiante desarrolle y aprenda matemáticas, no

solamente como área que favorece el desarrollo solo intelectual, sino también como área que

permite el desarrollo de competencias cognitivas, y metacognitivas para el planteamiento, el

análisis y la solución de diferentes problemas reales que se le puedan presentar, puesto que, “la

principal razón de existir del matemático es resolver problemas, y por lo tanto en lo que

realmente consisten las matemáticas es en problemas con sus posibles y más acertadas

soluciones” (Halmos, 1980).

Por lo tanto vale la pena contar con estrategias didácticas para promover la competencia en

plantear y resolver problemas en el contexto general de las matemáticas.

Así, el estudiante tenderá a dar más valor al “pensamiento convergente” (Adams, 1986) ya

que por facilismo solo determina unas posibles soluciones a partir del análisis de contenidos ya

expuestos; situación que genera que el alumno no busque diferentes estrategias y como

consecuencia no elabora nuevos pensamientos en el desarrollo de los problemas.


En segundo lugar, desde la óptica de los docentes se orientarán más a desarrollar el

pensamiento creativo, a buscar estrategias que estén encaminadas y que posibiliten el interés por

el desarrollo de nuevas ideas y métodos dirigidos a desarrollar el potencial creativo con

diferentes técnicas que muestren a los estudiantes la posibilidad de tener herramientas más útiles

y mejorar sus destrezas a la hora que deban involucrarse en los desarrollos de problemas.

Las ventajas y justificaciones descritas se dan en el curso de precálculo de las UTS, para las

temáticas de longitud, área y volumen. La estrategia que se propondrá incluirá soportes de

medición digital, con lo que se lograrán mejoras sustanciales al cambiar el proceso actual de

plantear y resolver problemas, potenciando el pensamiento matemático del estudiante, basadas

en el desarrollo del trabajo grupal, en la representación matemática, en la comunicación

individual y grupal, son problemas contextualizados y creados por los estudiantes, fortaleciendo

el aprendizaje autónomo del estudiante.

Se pretende realizar un giro a lo que se tiene establecido actualmente en las UTS, en el que

el profesor le da una serie de instrucciones a sus estudiantes, basado en el análisis de una serie de

textos con problemas ya planteados y con soluciones ya propuestas que basan la enseñanza en la

deducción de problemas a partir de procesos ya establecidos.

Con la estrategia y sus herramientas se puede dirigir a que el profesor sea orientador de los

estudiantes en sus procesos de deducir diferentes estrategias y métodos de cómo alcanzar el

desarrollo de los mismos. Se superará el falso dilema de que solo pocos estudiantes pueden

desarrollar el proceso, presuntamente aquellos que fueron dotados con la virtud hacia el


desarrollo de problemas. La estrategia con sus herramientas pone la meta al alcance de todos,

tanto en términos de capacidades intelectuales, como de tiempo y esfuerzo dedicados.

1.5 Hipótesis

De la observación y el análisis realizados sobre los procesos de enseñanza y aprendizaje en

el área de matemáticas, se ha detectado la dificultad que presentan los estudiantes en la

interpretación de los problemas relacionados con unidades de medida; así mismo, se observa que

existe el interés de no exponerles la resolución de problemas como productos y resultados de un

simple proceso. Es importante que el estudiante no solo se base en el análisis de un problema ya

resuelto en un libro, sino que detecte, en los intentos fallidos en búsqueda de posibles soluciones,

características o patrones que le permitan desarrollar competencias para la comprensión

significativa de situaciones problemáticas, requisito indispensable en el planteamiento de

estrategias de solución y en los razonamientos realizados en un primer intento de solución no

totalmente satisfactoria.

Es de suma importancia valorar el proceso de resolver problemas, entendido esto no como el

profesor que le da una serie de instrucciones a sus estudiantes, basado en el análisis de una serie

de textos con problemas ya planteados, ni con soluciones ya propuestas que basan la enseñanza

en la deducción de problemas a partir de procesos ya establecidos, sino como un orientador de

los estudiantes en sus procesos de deducir diferentes estrategias y métodos de cómo alcanzar el

desarrollo de los mismos, para que ellos no terminen enfrentados al dilema que solo esto lo


puede desarrollar unos pocos estudiantes que fueron dotados con esta virtud en el desarrollo de

problemas.

Para el caso de estudiantes universitarios, se presenta una estrategia didáctica que pretende

determinar unidades de medida en situaciones reales a través de mediciones directas de ángulos

y/o longitudes, basado en los presaberes del área y a partir de su propia experiencia. Actividad

que desarrolla los procesos de pensamiento matemático del estudiante y la creatividad en el

momento de aplicar estos conocimientos en el desarrollo de problemas.

1.6 Alcances y limitaciones

La estrategia didáctica fue diseñada según las características y condiciones que presentan los

estudiantes de Precálculo de las UTS, pero se puede reevaluar y ajustar por expertos para otros

tipos de estudiantes o de instituciones. Teniendo en cuenta por ejemplo que en muchas

instituciones educativas no incluyen la asignatura de Precálculo, dado que por lo general inician

su ciclo con Cálculo.

Por otro lado puede acondicionarse para ser implementada en la educación media,

principalmente en los grados 10° y 11°, cabe añadir que no solo se puede implementar en los

conceptos sugeridos en esta investigación sino que se puede ajustar para otras temáticas, como

también en otros grados; inclusive para otras áreas diferentes a la matemática como la biología o

la física.


Es claro que esta estrategia didáctica no es la solución a los problemas que se evidencian en

el proceso de enseñanza aprendizaje, es una alternativa que es viable para fortalecer dichos

procesos; y que depende en primera instancia de la cantidad de exposiciones que se realicen en el

transcurso de la asignatura y en segunda de la transversalidad que pueda resultar de la estrategia

con otras asignaturas.

Hacemos notar que esta estrategia no suplanta a otras estrategias diseñadas con otro tipo de

herramientas como las TIC o los simuladores; es pertinente realizar otras prácticas adicionales

con estos notables elementos porque también han ayudado a optimizar la educación matemática,

además pueden servir de complemento entre sí; por supuesto, cuando se han usado

correctamente.

Seguramente existirán grupos de trabajo que tendrán muchas dificultades al inicio de la

propuesta y no podrán construir de manera autónoma un problema. En este caso el docente puede

desarrollar una situación problema a manera de ejemplo, en este trabajo de investigación se

enuncian algunas situaciones que pueden ser de utilidad, mientras el grupo se afianza y lo

desarrolla por sí mismo. En todo caso el docente puede intervenir en la estrategia didáctica a su

convenir dependiendo de su criterio profesional. En la sección Alcances y limitaciones de la

estrategia didáctica encontrarán más detalles para tener en cuenta.

Este trabajo de investigación no incluye ni los elementos, ni el plano de diseño del

instrumento digital, o algún tipo de información que permita su construcción, esta información es

exclusiva de los autores de este trabajo de investigación. También es importante aclarar que esta


información no es trascendental para el desarrollo de la estrategia didáctica porque se puede

implementar la estrategia con el instrumento artesanal.


2. Fundamentos teóricos y estado del arte

En este capítulo se identifican y consignan los aspectos teóricos que sirvieron para construir

la estrategia didáctica en el planteamiento de problemas en longitud, área y volumen a partir de

un instrumento digital; además se hace una revisión de aportes locales, nacionales e

internacionales sobre estrategias didácticas en la enseñanza de la trigonometría y de unidades de

medida, que constituyen una guía en el tema de investigación específico objeto de este

documento.

2.1 Fundamentos teóricos

En primera instancia, la teoría constructivista de Piaget (Piaget, 1965) permitió abordar

definiciones y situaciones sobre cómo se adquiere el aprendizaje en los estudiantes, destacando

características y algunos recursos que ellos emplean para lograr tal fin; consecutivamente se

incluyó cómo plantear y resolver problemas matemáticos según las etapas de Polya, (1967),

complementadas con subcategorías y otras condiciones que se consideran importantes en el

momento de desarrollar un problema, estas pautas van más allá de los aspectos matemáticos De

Guzmán (1994) y Shoenfeld,(1985), para establecer algunos criterios que den soporte a la

estrategia didáctica planteada en este trabajo de investigación en aspectos como el trabajo en

equipo, fortalecimiento de la comunicación, aprendizaje significativo (Ausubel,1988),

conceptualización, entre otros.


En segundo lugar, en términos de la temática u objeto del aprendizaje, se consignan, por una

parte, los conceptos en trigonometría y de unidades de longitud, área y volumen, y, por otra

parte, los principios y estándares de la educación matemática (2001) que sirven de soporte a los

lineamientos en matemáticas del MEN (2012).

2.1.1 El Aprendizaje

Es importante recalcar que el aprendizaje en la actualidad no es un privilegio de pocos, tal

como sucedía años atrás; ahora, según lo expresado por Comenio (1655) padre de la didáctica “el

conocimiento es de todos y para todos” y más allá de eso debe ser significativo e integral para el

estudiante. El estudio no solo es un derecho, sino para muchos una necesidad.

Cabe añadir sobre el aprendizaje significativo que “ocurre cuando una nueva información

"se conecta" con un concepto relevante pre existente en la estructura cognitiva, esto implica que,

las nuevas ideas, conceptos y proposiciones pueden ser aprendidos significativamente en la

medida en que otras ideas, conceptos o proposiciones relevantes estén adecuadamente claras y

disponibles en la estructura cognitiva del individuo y que funcionen como un punto de "anclaje"

a las primeras”. (Vásquez, Maderos, & Barrios, 2005).

Los estándares en educación matemática de la Sociedad Andaluza de matemáticas (2001)

plantean el aprendizaje como un principio y establecen que “los estudiantes deben aprender

matemáticas, comprendiéndolas, construyendo activamente nuevo conocimiento desde la

experiencia y el conocimiento previo”; para lograr este objetivo siendo más eficaces y


significativos y para comprender las fortalezas y debilidades ha sido necesario analizar: los

aspectos cognitivos, cognoscitivos y metacognitivos del estudiante (Schoenfeld, 1992) , la parte

psicológica social e individual del estudiante, sus bloqueos (De Guzmán, 1994), el uso de los

recursos y herramientas, el currículo y los lineamientos educativos, los procesos de enseñanza y

aprendizaje; y existen varias ramas de la ciencia en apoyo como lo son la pedagogía, psicología,

la educación, entre muchos otros.

2.1.1.1. La Teoría Constructivista

Piaget (1965) inició las primeras investigaciones que desarrollaron la teoría constructivista,

dejando de lado el enfoque conductista que se vivía hasta ese momento. Las encuestas aplicadas

a los estudiantes de las UTS determinaron que ellos consideran que aún se evidencia con gran

frecuencia una tendencia conductista en las clases de matemáticas, a pesar de que la política

institucional establece una educación centrada en el estudiante. Estas propuestas establecen un

nuevo rol del docente y del estudiante, el docente ya no asume el rol principal, ahora recae sobre

el estudiante a través de una serie de mecanismos sobre establecidos que buscaban aumentar su

actividad; actividades que se realizaban con más frecuencia. Según el mismo (Piaget, 1945).

“el mecanismo básico de adquisición de conocimientos consiste en un proceso en el que las

nuevas informaciones se incorporan a los esquemas o estructuras preexistentes en la mente

de las personas, que se modifican y reorganizan según un mecanismo de asimilación y

acomodación facilitado por la actividad del alumno”


Situación que se realiza mediante la estrategia didáctica y mediante el uso de la herramienta

didáctica que permitirá al estudiante crear sus propias situaciones problema.

Luego autores como Vigotsky, (1965) Ausubel, (1988) Nova (1988) dieron otras

características que fortalecieron la teoría constructivista, resaltando el papel que juega la

sociedad, cultura, la sicología, el aprendizaje significativo de los estudiantes, entre otros;

teniendo como punto de partida los presaberes de los estudiantes y dando un nivel de jerarquía a

los contenidos. Teoría que busca un aprendizaje evolutivo en los estudiantes, en el que los

estudiantes van adquiriendo progresivamente conocimientos más complejos, Vigostky (1965) lo

define como zona de desarrollo próximo. El estudiante a través de la estrategia didáctica se le

permite que alcance la zona de desarrollo próximo en el planteamiento de problemas a través de

los desbloqueos de De Guzmán (2005), del trabajo en equipo, del fortalecimiento de la

comunicación de manera individual y grupal, del uso de la representación matemática y el uso de

una herramienta didáctica para plantear problemas que le permite obtener un aprendizaje

significativo.

La estrategia didáctica de esta investigación se basa en problemas diseñados y construidos

por los estudiantes en un trabajo realizado fuera del aula, lo que le permitirá más adelante

desarrollar otro tipo de problemas en diferentes contextos; en este caso “el constructivismo es

una teoría que propone que el ambiente de aprendizaje debe sostener múltiples perspectivas o

interpretaciones de realidad, construcción de conocimiento, actividades basadas en experiencias

ricas en contexto” tal como lo propone (Jonassen,1991).


2.1.1.2. Características de la Teoría Constructivista

La teoría constructivista se puede abordar desde Piaget (1965) o desde Vigotsky (1965), en

el primero plantea a un sujeto que siente la necesidad de construir un conocimiento, inicia su

proceso usando como estrategia la experiencia, creando representaciones y a medida que la

experiencia aumenta van mejorando sus representaciones a través de dos procesos denominados

asimilación y alojamiento. Por otro lado Vigotsky (1968), asume como primer factor en la

gestación del conocimiento lo social, resaltando las relaciones intrapersonales y en segunda

instancia el nivel individual o intersicológico. Esta estrategia didáctica apoya a los dos autores

resaltando un poco más a Vigotsky (1965), porque los estudiantes no aprenden ni a la misma

velocidad, ni con la misma conceptualización y el trabajo cooperativo y el fortalecimiento de la

comunicación permite nivelar la interpretación conceptual entre ellos, permite que todos lleven

un mismo ritmo. Así citamos a (Millis,1996):

“Comprobando los resultados de esta forma de trabajo con modelos de aprendizaje

tradicionales, se ha encontrado que los estudiantes aprenden más cuando utilizan el

aprendizaje colaborativo, recuerdan por más tiempo (memoria a largo plazo), desarrollan

habilidades de razonamiento superior y de pensamiento crítico y se sienten más confiados y

aceptados por ellos mismos y por los demás”.

Sin embargo en ciertos momentos el estudiante debe realizar tareas y reflexiones

individuales que le permitirá resaltar el trabajo de Piaget, gran parte de la profundización de los

conceptos dependerá de su curiosidad, interés y de su desarrollo individual.


Las competencias que deben adquirir los estudiantes no se obtienen por generación

espontánea se requiere de unos ambientes de aprendizaje, según el MEN (2011) consisten de

algunas situaciones enriquecidas por problemas significativos y comprensivos que permiten

avanzar a niveles de competencias más complejos; según Hernández (2008), El ambiente de

aprendizaje constructivista se puede diferenciar en características que son evidenciadas en la

estrategia didáctica acoplada en esta investigación:

El ambiente constructivista en el aprendizaje provee a las personas del contacto con

múltiples representaciones de la realidad; en este caso bajo las representaciones

matemáticas y bajo la representación de situaciones reales.

El aprendizaje constructivista se enfatiza al construir conocimiento dentro de la

reproducción del mismo; en esta estrategia mientras el estudiante va implementando la

estrategia didáctica va construyendo sus conceptos y a través de la comunicación y del

trabajo grupal permiten reafirmar sus conceptos.

El aprendizaje constructivista resalta tareas auténticas de una manera significativa en el

contexto en lugar de instrucciones abstractas fuera del contexto.

El aprendizaje constructivista proporciona entornos de aprendizaje como entornos de la

vida diaria o casos basados en el aprendizaje en lugar de una secuencia predeterminada

de instrucciones; en este caso la estrategia didáctica se desarrolla un trabajo de campo

fuera del aula de clase.

Los entornos de aprendizaje constructivista fomentan la reflexión en la experiencia,

permiten el contexto y el contenido dependiente de la construcción del conocimiento.


Los entornos de aprendizaje constructivista apoyan la “construcción colaborativa del

aprendizaje, a través de la negociación social, no de la competición entre los estudiantes

para obtener apreciación y conocimiento” (Jonassen, 1994).

2.1.1.3. El Aprendizaje desde el Modelo Constructivista

La enseñanza y el aprendizaje van de la mano, uno es causa y el otro es consecuencia. Casi

siempre, sin la enseñanza no conseguimos el aprendizaje. A veces conscientemente o

inconscientemente logramos un divorcio entre ellas, como en aquellos momentos en que los

docentes buscan solo cumplir un plan de asignatura o cuando solo medimos al estudiante por los

resultados de sus evaluaciones. Por el contrario debemos reafirmar ese matrimonio entre la

enseñanza y el aprendizaje, esta estrategia didáctica apoyada en teorías constructivistas busca

darnos un ejemplo de cómo podemos fortalecer esa conexión, principalmente en matemáticas, ya

que en muchas de nuestras clases se limitan a una exposición magistral de conocimientos, tal

como se constata en los resultados de las encuestas realizadas en este proyecto de investigación

en las UTS. Siendo tal el caso que se convierte en solo un traspaso de una gran cantidad de

conocimiento; Concordamos con Tünnermann (2011) cuando asegura que

“El trabajo del docente no consiste tan sólo en transmitir información ni siquiera

conocimientos, sino en presentarlos en forma de problemática, situándolos en un contexto y

poniendo los problemas en perspectiva, de manera que el alumno pueda establecer el nexo

entre su solución y otras interrogantes de mayor alcance.”


Apoyaremos nuestra estrategia didáctica desde Díaz-Barriga (2002) - Hernández (2002),

quienes establecen los principios educativos asociados con una concepción constructivista del

aprendizaje y la Enseñanza; principalmente resaltamos los que se relacionan con esta estrategia

didáctica desde su perspectiva:

El aprendizaje implica un proceso constructivo interno, autoestructurante y en este

sentido, es subjetivo y personal.

El aprendizaje se facilita gracias a la mediación o interacción con los otros, por lo tanto,

es social y cooperativo.

El grado de aprendizaje depende del nivel de desarrollo cognitivo, emocional y social, y

de la naturaleza de las estructuras de conocimiento.

El punto de partida de todo aprendizaje son los conocimientos y experiencias previos

que tiene el aprendiz.

El aprendizaje implica un proceso de reorganización interna de esquemas.

El aprendizaje se produce cuando entra en conflicto lo que el alumno ya sabe con lo que

debería saber.

El aprendizaje tiene un importante componente afectivo, por lo que juegan un papel

crucial los siguientes factores: el autoconocimiento, el establecimiento de motivos y

metas personales, la disposición por aprender, las atribuciones sobre el éxito y el fracaso,

las expectativas y representaciones mutuas.

El aprendizaje requiere contextualización: los aprendices deben trabajar con tareas

auténticas y significativas culturalmente, y necesitan aprender a resolver problemas con

sentido.


El aprendizaje se facilita con apoyos que conduzcan a la construcción de puentes

cognitivos entre lo nuevo y lo familiar, y con materiales de aprendizaje potencialmente

significativos.

2.1.2 Aprendizaje de las Matemáticas

A partir de investigaciones se ha revisado el hecho que el estudiante desarrolle y aprenda

matemáticas, no solamente como área que favorece el desarrollo solo intelectual, sino también

como área que permite el desarrollo de competencias cognoscitivas, cognitivas, y metacognitivas

para el planteamiento, el análisis y la solución de diferentes problemas reales que se le puedan

presentar, puesto que, “la principal razón de existir del matemático es resolver problemas, y por

lo tanto en lo que realmente consisten las matemáticas es en problemas con sus posibles y más

acertadas soluciones” (Halmos, 1980).

El MEN (2012) relaciona el aprendizaje de las matemáticas a través de tres lineamientos

basados en el que hacer matemático básico, estos son: los conocimientos básicos, el contexto y

los procesos generales. En el primer lineamiento tenemos los conocimientos básicos que se

dividen en los 5 pensamientos que forman la estructura cognitiva de la matemática; en el

segundo lineamiento o sea en el contexto, se establece las situaciones problema, las aplicaciones

en otras ciencias y en la vida diaria, y en el último lineamiento de los procesos generales cubre la

resolución de problemas, el razonamiento, la comunicación, la modelación, y el desarrollo de

procedimientos, tal como se muestra en la figura 1.


Esta estrategia didáctica resalta los tres lineamientos: se destaca el fortalecimiento en la

comunicación del estudiante, buscando mejorar sus capacidades de justificación y de exposición,

resaltando el uso de conceptos y de la terminología apropiada; también podemos resaltar el

planteamiento y resolución de problemas debido a que es el pilar de esta investigación. Si se

desea se puede incluir la modelación; a partir de este trabajo se puede proponer el modelado

matemático. En la segunda cara donde se establecen los conocimientos básicos se fortalece a

través de la propuesta el pensamiento de la medida, en el numérico, y en el pensamiento

variacional, debido a que en esta propuesta cubre la temática longitud, área, volumen, funciones

trigonométricas, unidades de medida, entre otras. Por otro lado se resaltan el planteamiento de

problemas de la vida diaria o como lo denominan las pruebas del Programa Internacional para la

Evaluación de los Estudiantes PISA (2006) “la matematización”, incluyendo el planteamiento

de situaciones en otras ciencias, debido a que la estrategia didáctica busca que los estudiantes

planteen problemas en su contexto propio llegando al punto de asumirlos de alguna manera como

problemas cotidianos y se deja como sugerencia apuntarle al modelado matemático a través del

instrumento digital.


Figura 1. Lineamientos en educación matemática según el MEN

Según los estándares de la educación matemática (Sociedad Andaluza de Matemáticas,

2001) “resolver problemas no es sólo un objetivo del aprendizaje de las matemáticas, sino

también una de las principales maneras de hacerlo” hasta el punto de que varios países como por

ejemplo Uruguay y USA desarrollan sus programas de estudio basados en el planteamiento y

resolución de problemas; países como Colombia no se encuentra muy lejos en sus modelos; el

planteamiento de problemas es considerado como uno de las principales componentes en la

educación matemática, incluyendo la comunicación, la representación, el razonamiento y el

modelado matemático tal como se implementa en la estrategia didáctica de la investigación

objeto de este trabajo.


La resolución de problemas es una parte integral del aprendizaje de Las matemáticas; la

estrategia didáctica pretende lograr entre otras cosas que: primero el estudiante aprenda a

construir nuevos conocimientos a través de la resolución de problemas, segundo a resolver

situaciones que surjan de diferentes contextos, a aplicar y adaptar diversas estrategias para

resolverlos, tercero a controlar procesos de los problemas y reflexionar sobre ellos para que

finalmente desarrolle situaciones que se presentan en la vida diaria y en el contexto laboral.

2.1.3 Planteamiento y Solución de Problemas

Es muy común encontrar problemas de la vida cotidiana o en la formación profesional o en

el campo laboral, que en algunos casos se plantean por: alguna necesidad, como parte de un

entretenimiento, por curiosidad, o como una continuación de otro problema. Inclusive desde que

el ser humano nace ha tenido que resolver problemas, cuando un ser humano es bebe y tiene

hambre, debe buscar una solución para que le den alimento, en este caso “llorar”, pero en dado

caso, si esta solución no le complace, reacciona dando otro tipo de solución “gritar”. A partir de

este punto el ser humano se encuentra ante situaciones problema durante toda su vida, desde su

nacimiento, problemas que se evidencian en diferentes campos.

Por lo tanto es primordial aprender a plantear y resolver problemas, y la matemática es una

herramienta que nos ayuda a plantearlos, analizarlos y en muchas situaciones resolverlos. Hasta

la propia matemática ha surgido y ha avanzado del propio planteamiento de problemas, al

respecto Dieudonne (1986) ha registrado que “la historia de la matemáticas muestra que los


avances matemáticos casi siempre se originan en un esfuerzo por resolver determinado

problema”.

Uno de los objetivos más importantes en matemáticas es adquirir los conocimientos y

herramientas que permitan formular, abordar y resolver problemas más allá de los problemas que

sean estudiados, llegar a aquellas situaciones problema que se encuentran en nuestro contexto o

entorno. El planteamiento y resolución de problemas es tan importante que el MEN (2012)

considera que

“podría convertirse en el principal eje organizador del currículo de matemáticas, porque las

situaciones problema proporcionan el contexto inmediato en donde el quehacer matemático

cobra sentido, en la medida en la que las situaciones que se aborden estén ligadas a

experiencias cotidianas y, por ende, sean más significativas para los alumnos. Estos

problemas también pueden surgir de otras ciencias y de las mismas matemáticas,

convirtiéndose en ricas redes de interconexión e interdisciplinariedad”.

2.1.3.1 ¿Cómo Plantear y Resolver Problemas?

Para desarrollar esta estrategia didáctica es importante entender por lado el significado de la

palabra “problema” y por otro, como un aprendiz resuelve un problema usando la matemática.

Schoenfeld (1985) usa el término problema para referirse a una tarea que es difícil para el

individuo que está tratando de hacerla y Santos (1997) al respecto considera que “la dificultad de

definir el término problema está ligada con la relatividad del esfuerzo al intentar resolverlo, para


otros puede ser un simple ejercicio rutinario. Así, el que exista un problema o no es una

propiedad inherente de la tarea matemática, la palabra está ligada a la relación o interacción entre

el individuo y esa tarea”. A medida que avanza en el desarrollo de la estrategia didáctica el

estudiante desarrolla su proceso de planteamiento, refuerza sus conocimientos, lo que implica

que puede incrementar la creatividad, así como el nivel de dificultad de los “problemas”,

finalmente la estrategia pretende que el estudiante pueda plantear de manera autónoma los

problemas.

En primera instancia, cuando un estudiante se enfrenta a un problema se encuentra ante una

nueva experiencia que de algún modo es compleja para quien lo desarrolla, y no solo nos

referimos a los procesos cognoscitivos en matemáticas, sino que también intervienen “la

compleja personalidad del estudiante, sus hábitos, sus fobias, todos los elementos más o menos

permanentes, junto con las circunstancias variables que determinan su actitud en un momento

dado” tal como lo enuncia De Guzmán (1994). Por lo tanto desarrollar problemas es una tarea

que no resulta nada fácil y mucho menos para el docente, quien debe descifrar no solo la parte

cognitiva y metodológica para lograr que el estudiante resuelva el problema a través de los

conceptos propuestos, sino que además el docente debe usar estrategias para que el estudiante

adquiera confianza, tranquilidad, curiosidad, gusto por el reto y disposición de aprender,

situaciones que se dan antes de establecer el desarrollo del problema, porque los obstáculos se

interponen en el proceso de aprendizaje hasta el punto en que varios estudiantes dejan sus hojas

en blanco cuando se trata de desarrollar problemas en pruebas escritas.


Esta estrategia didáctica busca entre otras cosas que el estudiante sobrepase sus propios

obstáculos y que proponga actitudes positivas ante el desarrollo de problemas, este objetivo se

logra a través de un instrumento digital didáctico novedoso que permite que el estudiante olvide

que se encuentra en un problema matemático, como consecuencia de la curiosidad que siente por

conocer y manipular el instrumento, permitiendo que el estudiante adquiera una postura de

disposición para aprender. El problema se plantea a través de una serie de instrucciones sencillas,

así dejar a un lado el esquema tradicional para plantear problemas en el aula, que consiste en

implementar los problemas de manera escrita.

De otro lado el trabajo cooperativo y la asignación de roles le permitirá fortalecer otros

procesos diferentes al desarrollo del problema, lo que le permite involucrarse en el problema y de

esta manera adquirir de una manera significativa conceptos en matemática. Los problemas

basados en el contexto y la creación de los mismos permiten que inicialmente planteen

problemas que ellos mismos pueden solucionar; de esta manera avanzar progresivamente,

mejorar los procesos para plantear problemas y aumentar el grado de dificultad. Se tiene como

sugerencia que el uso de esta estrategia no se realiza en una sola clase, debe implementarse en

todo los niveles educativos, además puede apoyarse en otra serie de actividades

complementarias; en este caso estoy de acuerdo con Caldeiro & Vizcarra (2005) quien plantea

sobre el trabajo colaborativo que

“Es el hecho de que no es dar o recibir ayuda lo que mejora el aprendizaje en el grupo, sino

la conciencia de necesitar ayuda, la necesidad consciente de comunicarlo y el esfuerzo en

verbalizar y tener que integrar la ayuda de quien la ofrece en el propio trabajo. La


retroalimentación es un elemento clave para explicar los efectos positivos del aprendizaje

cooperativo”.

La estrategia quita el peso de trabajar con problemas que se encuentran expresados de

manera escrita, porque a veces se convierten en ejercicios martirizantes para el estudiante; antes

de abordar el problema se puede sentir “miedo a la equivocación, al ridículo, al examen” tal

como asegura De Guzmán (1994). Esta estrategia didáctica permite que el estudiante sobrepase

la barrera del miedo con la práctica y con la oportunidad de cometer errores, así permite dar

oportunidades inmediatas para aquellos estudiantes que fallan, en el mismo instante de tiempo en

que se desarrolla el problema se puede analizar y corregir el planteamiento, lo que se puede

definir como “una retroalimentación paso a paso”. Se enseña a los estudiantes que fracasar es

una opción, pero que se puede persistir para corregir, o en dado caso contemplar otro camino de

solución; para este caso estamos de acuerdo con Ford (1935) que asegura “el número de los que

fracasan es relativamente pequeño, la mayor parte simplemente abandonan”.

Según declaraciones de varios docentes de las UTS que orientan la asignatura de Precálculo

el planteamiento de problemas es una de las etapas de las matemáticas que poco o quizás nada se

trabajan en el aula de clase; agregan que se presentan ciertas dificultades en el momento de

realizar las instrucciones que se deben dar como parte de este proceso, por eso basamos nuestro

trabajo en lo planteado por el matemático y educador Pólya (1965) quien en su libro “Como

plantear y resolver problemas”, propone una metodología en cuatro etapas para resolver

problemas.


Etapa 1: Comprensión del problema. Los estudiantes pondrán a prueba conocimientos

adquiridos años atrás y tendrán que tomar determinaciones para resolver algún caso de medición

en el cual se les pida establecer la solución sin antes señalar la forma de resolver y/o encontrar la

respuesta, ellos se basaran en la forma que crean más factible para solucionarlo, los medios más

usados son la lógica, el método de descarte, la aproximación, el tanteo, intuición.

Algunas de las heurísticas importantes que manejan en esta fase son comprender el

problema, establecer los datos, las variables e incógnitas, dibujar una gráfica o un diagrama,

introducir una notación adecuada a los datos, variable e incógnitas.

Representar la situación problema es un gran paso en la construcción del planteamiento del

problema y es definitiva para la solución del mismo, “en la fase de comprensión del problema, el

pensar en una figura o un diagrama muchas veces no solamente ayuda a identificar los elementos

importantes del problema sino que también puede sugerir alguna estrategia para resolverlo”

Santos (1998).

Respecto a la elaboración de un dibujo en la etapa de la comprensión del problema citamos

algunas consideraciones importantes para el desarrollo de esta investigación y que son planteadas

por Arbeláez (2002); por lo tanto tenemos que:

El dibujo debe ser siempre un esbozo esquemático del objeto principal del problema (la

figura o imagen, el conjunto de figuras), que incluya la representación por medio de

literales y de otros símbolos, de todos los elementos de dicho símbolo y de algunas de

sus características. Si en la formulación del problema se dan las simbolizaciones de los


objetos, entonces se deben emplear estas mismas simbolizaciones en el dibujo; si en el

problema no se presenta simbolización alguna, entonces es necesario emplear las

simbolizaciones comúnmente adoptadas o inventar las propias.

El dibujo debe corresponder al problema. Esto significa, por ejemplo, que si en el

problema el objeto en cuestión es un triángulo y no es explícito el tipo de triángulo de

que se trata (rectángulo, isósceles, escaleno, etc), entonces hay que dibujar un triángulo

escaleno cualquiera y no un triángulo equilátero.

Al hacer un dibujo no es obligatorio sujetarse a una escala rigurosa. Sin embargo, si es

ideal observar ciertas proporciones.

Lo que se refiere a la estrategia didáctica busca que la actividad se desarrolle en situaciones

planteadas por los estudiantes en su propio contexto, de esta manera es más significativa para el

estudiante, ya que el ser humano frecuentemente se representa a así mismo, a la naturaleza, a su

situación social, a su alrededor, en este caso lo va a representar para ajustarlo a resolver

problemas matemáticos; y para lograr esta representaciones de la mejor forma es recomendable

seguir las recomendaciones de Arbeláez (2002).

Por otro lado, una de las ventajas de la estrategia didáctica en relación a la primera etapa de

Polya es que resulta más fácil y más práctico establecer los datos, incógnitas, variables, etc de la

situación problema, ya que parte de esta información se determina con el instrumento

electrónico, y a partir de esa conexión con la realidad le permitirá relacionarlos de manera directa

con el representación gráfica que realiza el estudiante; por otro lado la comunicación con el

docente y con el grupo de trabajo le permitirá llegar a los planteamientos en consenso, así es más


difícil cometer errores. En caso de plantear un error es más fácil corregirlo entre los integrantes

del grupo o con el apoyo del docente, luego se establecerá un canal de debate entre los miembros

para establecer la veracidad de la información, la corrección y su posterior solución del

problema.

Esta situación implica que existirán menos errores en la representación gráfica, en la

asignación de datos, variables e incógnitas y en sus relaciones, lo que permitirá realizar procesos

más limpios e implícitamente permitirá que el problema se comprenda mejor y cabe añadir que

permite solucionarlo con mayor facilidad y adquiriendo mejores apropiaciones de los conceptos

matemáticos en su trasfondo; teniendo en cuenta que los procesos son mejor retroalimentados.

El problema será planteado a los estudiantes en términos de su léxico y su simbología, lo

que permite una mejor comprensión del problema y así se tendrán mejores opciones para

establecer la solución del mismo. Pimm (1999), al respecto afirma “es claro que el discurso

matemático incluye términos especializados y significados distintos de los habituales en el habla

cotidiana” y por eso el lenguaje usado en matemáticas, “que es claro” para los docentes, no

siempre lo es para los estudiantes”.

Luego el estudiante de manera individual podrá abordar otro tipo de situaciones problemas

como son las situaciones expresadas en un contexto narrativo que en la mayoría de los casos se

hacen más complejos, de esta manera evalúa competencias extras como son la necesidad de

comprensión de texto narrativo y matemático, análisis, síntesis y traducción, etc.


Algunas de las preguntas más importantes que el estudiante debe responder al plantear una

situación problema cuando se encuentra en la primera etapa son: ¿Cuál es la incógnita? ¿Cuál es

la variable? ¿Cuáles son los datos? ¿Cuál es la condición? ¿Es la condición suficiente para

determinar la incógnita? ¿Es suficiente? ¿Es redundante? ¿Es contradictoria?

Etapa 2: Concepción de un plan. Existen diversos problemas a los cuales se les busca dar

soluciones claras y entendibles para el estudiante. Además de resolver ciertas incógnitas que se

presentan como establecer si en algún momento dado se han planteado situaciones semejantes y,

cómo se ha dado solución a estos o que método se ha usado para el mismo. Por lo tanto, en esta

fase se diseñan las estrategias con las cuales el estudiante puede ampliar tanto su conocimiento

como la capacidad para dar solución a los problemas que se le planteen, teniendo además,

mayores posibilidades de adquirir nuevos conocimientos útiles para su comprensión.

Las estrategias más conocidas para concebir el plan, son la asociación con problemas

similares pero más sencillos y simplificación de problemas por medio de transformaciones.

Las preguntas más frecuentes a responder en esta etapa para fortalecer de la mejor manera la

conceptualización y la reflexión son: ¿Se ha encontrado con un problema semejante? ¿Conoce

algún teorema, que le pueda ser útil? ¿Podría enunciar el problema en otra forma? Refiérase a las

definiciones si no puede resolver el problema propuesto, trate de resolver primero algún

problema similar. ¿Podría imaginarse un problema análogo un tanto más accesible? ¿Un

problema más general? ¿Un problema más particular? ¿Puede resolver una parte del problema?

¿Puede usted deducir algún elemento útil de los datos? ¿Puede pensar en algunos otros datos


apropiados para determinar la incógnita? ¿Puede cambiar la incógnita o los datos o ambos si es

necesario, de tal forma que la nueva incógnita y los nuevos datos estén más cercanos entre sí?

¿Ha empleado todos los datos? ¿Ha empleado toda la condición?

Etapa 3: Ejecución del plan. Inicialmente se comprobarían cada uno de los pasos realizados

y si el estudiante logra efectuar cada una de las etapas, evaluar si estará en la capacidad de

proponer la solución al problema, aunque esta no siempre sea la mejor, y pueda repetir

nuevamente cada etapa para encontrar un mejor análisis.

Aquí se contemplan aspectos y características que ayudan a seguir procesos de solución, por

lo tanto se plantean preguntas como: ¿Puede ver claramente que el paso es correcto? ¿Puede

demostrarlo?

Etapa 4: Visión retrospectiva. En la gran mayoría de los casos, los educadores tienden a

excluir ciertos temas basados en la demostración de procedimientos matemáticos que de cierta

forma son importantes y no relevantes para el estudiante, de tal manera que le permita aplicar

métodos de deducción e inducción; sin embargo, se enfatiza y se debería exigir al estudiante

principalmente en esta etapa para que tenga en cuenta el análisis establecido por él en cada etapa

de desarrollo y si este puede ser aplicado a otros problemas similares al planteado. En algunas

oportunidades se busca desarrollar el problema de otra forma diferente y analizar y evaluar el

resultado obtenido.


Para lograr los alcances de esta etapa en la estrategia didáctica se desea principalmente dar

respuesta a las siguientes interrogantes: ¿Puede usted verificar el resultado? ¿Puede verificar el

razonamiento? ¿Puede obtener el resultado en forma diferente? ¿Puede usted emplear el

resultado o el método en algún otro problema? ¿Es posible resolver el problema por otra vía? ¿Sé

aplicar el método a casos más generales o casos particulares?

La figura 2 resume las etapas planteadas por Polya (1965) para plantear y dar solución a un

problema matemático, las cuáles serán el pilar de la estrategia didáctica diseñada en esta

investigación.

Figura 2. Estrategias para plantear y solucionar un problema según George Polya

Es importante aclarar que las condiciones para plantear una situación problema no se dan

solamente bajo las condiciones de las etapas de Polya, ni tampoco se dan de la misma manera en

todos los estudiantes, cada uno lo aborda de manera diferente dependiendo de sus presaberes,

desde las condiciones sociales, individuales y familiares a las que se encuentra expuesto desde


años atrás, según sus condiciones socioeconómicas, entre otros. El contexto social influye en el

aprendizaje más que las actitudes y las creencias, Según Vigotsky (1992) “el Aprendizaje

Colaborativo es aprender con otros y de otros”. De acuerdo a esto, el contexto forma parte del

proceso de desarrollo y como tal moldea los procesos cognitivos. Así Bodrova y Leong (2005)

infiere que en el contexto social debe ser considerado en diversos niveles:

El nivel interactivo inmediato, constituido por los individuos que interactúan en esos

momentos.

El nivel estructural, construido por estructuras sociales que influyen en los estudiantes,

tales como la familia y la universidad.

El nivel cultural o social general, constituido por la sociedad general, como el lenguaje,

el sistema numérico y la tecnología.

En relación Schoenfeld (1989), establece que para resolver un problema no solo son

importantes las categorías establecidas por Polya, también requiere de unas subcategorías que

son generadas de las categorías de Polya y que sirven para definir su momento y forma de uso,

estas se describen como:

Dominio de recursos cognitivos. Basados en los conocimientos matemáticos generales

(conceptos, conocimientos, hechos). De manera general representan un inventario de lo

que un individuo sabe y de las formas en que adquiere este conocimiento, como lo

recuerda y como lo aplica. Además relaciona cinco tipos de conocimiento que influyen

en el uso de los recursos, estos son:

a) Conocimiento informal o intuitivo: Este conocimiento informal, se relaciona con las

ideas que los estudiantes tienen acerca del uso de conceptos en el mundo real. Por


ejemplo, la forma en que se usa la idea de integral en el contexto diario es muy

diferente a la del concepto matemático que puede influenciar en la interpretación

matemática que puede tener luego el estudiante.

b) Conocimiento de hechos y definiciones: son los conceptos y definiciones que el

estudiante debe usar para plantear durante el proceso que son necesarios para

establecer un camino como resolución de un problema.

c) Procedimientos rutinarios: Es considerado como una serie de pasos y

procedimientos, que no enmarcan mucho la parte conceptual, viene dado por

operaciones aritméticas, y que no son procedimientos algorítmicos. Las reflexiones y

retroalimentaciones solamente se limitan a los procesos de revisión de los pasos.

d) Errores consistentes o recursos débiles. cuando el estudiante realiza una gran

cantidad de errores que pertenecen a procedimientos simples, que son de cursos

básicos de matemática.

Estrategias cognitivas métodos Heurísticos. Son las estrategias y técnicas que el

estudiante conoce y puede usar para la solución de problemas. Entre ellas tenemos el

tanteo, la representación, uso de tablas, reglas, sistemas gráficos o algebraicos, explotar

analogías, trabajar problemas auxiliares. En el proceso de enseñanza aprendizaje se

busca que el estudiante maneje la mayor cantidad de estrategias para desarrollar un

problema, esto le permite reflexionar y analizar con mayor profundidad, y le permite

buscar la mejor solución ante una situación problema lo que puede beneficiar en costo,

dinero y optimización; se habla de que un Gran Maestro de ajedrez “posee un repertorio


de aproximadamente 50 mil configuraciones o esquemas” (Santos, 1994) el cual le

facilita el análisis de la situación.

Estrategias Metacognitivas: Es la capacidad que tiene el estudiante para conocer de sus

propio proceso cognoscitivo, de seguir un monitoreo del progreso durante una resolución

de un problema, llegar finalmente a una etapa de autorealimentación.

Sistemas de creencias. Acá ubica las percepciones que tiene el estudiante sobre la

matemática, de tal manera que según lo que se piense acerca de la disciplina se procede

en la solución del problema, determina la forma como el estudiante se acerca al

problema, las técnicas que usa o evita, el tiempo y esfuerzo que le dedica al problema.

Shoenfeld (1992) Asegura que

“las creencias mostradas por los estudiantes acerca de las matemáticas proviene

del tipo de instrucción que reciben en el salón. Así, por ejemplo, el tipo de problemas

usados en la clase, la forma de evaluación, las dinámicas de grupo y las tareas

contribuyen a que el estudiante desarrolle este tipo de creencias”

Esta idea parece un poco corta, no podemos olvidar el contexto sociocultural que vive el

estudiante lo que lo marca y lo delimita, y también el pensamiento individual y el grupal, que

afecta la forma como el percibe la matemática y por lo tanto la concepción del planteamiento de

problemas.

Esta estrategia didáctica se enfatiza en las etapas de Polya (1965), pero también tiene

presente las indicaciones de Shoenfeld (1992) porque busca que el estudiante desde sus propios


problemas en su contexto tenga una perspectiva diferente de las matemáticas, implica que el

estudiante cambie una parte de su sistema de creencias, fortaleciendo sus procesos rutinarios a

través del paso a paso que se realiza en la estrategia didáctica y con el apoyo y los mecanismos

para trabajar en equipo fortalecerán la estrategia metacognoscitiva. Es importante resaltar que

esta estrategia didáctica es significativa pero necesita el complemento de otras estrategias para

lograr cambios determinantes.

2.1.3.2. Planteamiento y Solución de Problemas como Competencia

Precisamente una de las principales procesos a desarrollar en matemáticas es el

planteamiento y la resolución de problemas, desde los primeros años de escolaridad se ofrece al

estudiante experiencias de formación dentro de un modelo con diversas actividades se esbozan

situaciones problemáticas que el estudiante debe desarrollar. A medida que avanza en la

escolaridad estas situaciones se van haciendo más complejas y, por tanto, exigen un análisis más

profundo de la problemática implicada y la aplicación de procesos cada vez más formales, de

forma que se garantice el aprendizaje significativo de los conceptos matemáticos.

Al pasar los años el término de competencia ha adquirido mayor fuerza y complejidad en su

definición, el MEN (2012) define a una competencia matemática como “un conjunto de

conocimientos, habilidades, actitudes, comprensiones y disposiciones cognitivas, socioafectivas

y psicomotoras apropiadamente relacionadas entre sí para facilitar el desempeño flexible, eficaz

y con sentido de una actividad en contextos relativamente nuevos y retadores” lo que


definitivamente implica un mayor esfuerzo del estudiante y del docente principalmente desde sus

prácticas pedagógicas.

Durante su proceso de aprendizaje el estudiante va dar forma a la interpretación y a las

posibles soluciones de los planteamientos de los problemas, de forma que puedan generar nuevas

ideas en el desafío de mejorar sus habilidades, estrategias y procedimientos que los hagan

capaces de enfrentar, comprender y resolver diversos problemas.

Precisamente, el desconocimiento de los principios pedagógicos y psicológicos que rigen el

uso de la resolución de problemas como estrategia en el aula, hace que el docente olvide pasos

fundamentales relacionados con el planteamiento y la comprensión de la situación, actividades

esenciales para que los estudiantes logren comprender los problemas y proponer planes de

solución acertados; normalmente se desarrollan los problemas de forma tradicional, donde

generalmente se presentan diversas situaciones, entre las que se destacan: (Sociedad Andaluza,

2000).

El uso de problemas no contextualizados: En varios de los casos, el docente se limita a

proponer la solución de diferentes problemas que se proponen en libros, los cuales son

planteados desde contextos no significativos para el estudiante pues las situaciones

presentadas son en algunos de los casos desconocidas por los estudiantes o donde se usa

una terminología (unidades de medida, elementos de uso diario, valores en dinero, etc.)

que el alumno desconoce o no ha utilizado. Este tipo de problemas genera confusiones y

poco interés de los alumnos por su desarrollo puesto que no le encuentran significado y

aplicabilidad. (Sociedad Andaluza, 2000)


Dificultades en la compresión del tema: Los estudiantes presentan dificultades en la

comprensión de la situación problemática dado que los problemas que se plantean son

descontextualizados y, en ocasiones, en su redacción se utiliza terminología no conocida.

Adicionalmente, se presentan problemas de comprensión en la solución de los problemas

porque el estudiante no tiene los conceptos previos necesarios para comprenderla qué se

refiere la situación y plantear soluciones al problema. Por ejemplo, en problemas que

exigen el uso de gráficas los estudiantes generalmente ubican mal los datos en la gráfica

porque esta es una competencia que no tienen desarrollada. Así mismo, este tipo de

dificultad se presenta porque los estudiantes no tienen un nivel adecuado de algunas

competencias como son la lectura comprensiva de textos, el análisis de situaciones

problemáticas, la capacidad de deducción y el uso del lenguaje matemático. (Sociedad

Andaluza, 2000)

Poca motivación para el desarrollo del tema: Es indispensable que el docente presente

los temas de tal manera que el estudiante sienta interés en descubrir lo que puede lograr

cuando resuelva problemas con las técnicas sugeridas en clase. Con frecuencia

encontramos estudiantes que desmotivados no avanzan en sus procesos matemáticos

porque no se sienten con la debida motivación de manera que su creatividad no es del

todo puesta a prueba para solucionar los problemas del tema. Realmente no le

encuentran sentido y aplicabilidad a la temática estudiada, que son requisitos

indispensables para lograr motivación en los estudiantes y aprendizajes realmente

significativos. (Sociedad Andaluza, 2000)

No existe conexión entre los problemas planteados en el aula y su entorno: Las

matemáticas con cualquiera de sus ciencias aplicadas es una vivencia que no tiene


sentido si no va de la mano con experiencias que debe enfrentar el aprendiz en su vida

cotidiana. Entendido esto como las experiencias que deben asumir la solución de

problemas en distintas formas, modos, contextos, intensidad, capacidad, etc. Cuando

separamos ó desconocemos la efectividad de las matemáticas en la resolución de

problemas de la cotidianidad de la vida, realmente estamos caminando hacia atrás y no

tiene objeto la enseñanza como tal, pues no se puede separar estos dos conceptos uno de

otro. (Sociedad Andaluza, 2000)

Poca utilización de espacios diferentes al aula de clase: la búsqueda de espacios

diferentes al aula de la clase para el desarrollo de una temática determinada es una

estrategia muy importante para lograr motivar a los estudiantes e implicarlos en el

aprendizaje. Con este cambio de espacios de enseñanza se ubica al estudiante en un

contexto práctico y físicamente tangible, de manera que pueda experimentar a través de

los sentidos y comprobar con las unidades de medida los procedimientos que tengan que

ver con el tema de estudio. Puede calcular las distintas probabilidades de desacierto y

atreverse adelantar sus conclusiones. (Sociedad Andaluza, 2000)

La implementación de pocas actividades que permiten enriquecer la competencia de

planteamiento y resolución de problemas, debido a que los docentes centran la temática

de la asignatura en otras actividades. Tal es el caso de aquellos docentes rigurosos, que

ven a la matemática dentro del aula como una ciencia pura, y consideran que toda su

esencia se encuentra en sus axiomas, postulados, teoremas y en las respectivas

demostraciones que las conectan, transformándola en un área estrictamente abstracta,

afectando a la mayoría de los estudiantes, ya que muy pocos reciben un aprendizaje

significativo. Según (Muzas, 2002)


“Muchos profesores salen de sus clases muy satisfechos consigo mismos después de

haber expuesto una serie de semejantes teoremas y demostraciones. Pero los estudiantes

no quedan satisfechos. No han comprendido de qué iba, y todo lo que pueden hacer es

aprender de memoria lo que han oído. No conocían el pensamiento original y no han

sacado nada en limpio de las repulidas demostraciones”

La estrategia didáctica a partir del instrumento digital está constituida para que no se den

ninguno de los factores que resalta la sociedad Andaluza de matemáticas, por el contrario

pretende una práctica pedagógica que resalte el trabajo individual y colectivo, apoyado

fuertemente en la comunicación, buscar el análisis y la reflexión apoyados en herramientas

didácticas y realizar el trabajo en lugares diferentes al aula de clase.

Una de las principales razones por las que se trabajan las matemáticas es porque nos permite

a través de procesos sistematizados obtener mayores capacidades para analizar, reflexionar,

concluir y argumentar mejor un resultado o una situación problema, pero se ha encontrado

dificultades para encontrar estas características se den con el argumento ideal. Santos (1994)

afirma al respecto que

“cuando los estudiantes se enfrentan a problemas dónde solo tienen que aplicar reglas,

algoritmos, o fórmula, generalmente se observa cierta fluidez y eficiencia al resolverlos. Sin

embargo, cuando se les pide explicar o interpretar cierta información, estos mismos

estudiantes muestran serias dificultades”


situación que nos hace reflexionar y cuestionarnos sobre nuestras prácticas pedagógicas y

finalmente realizamos una estrategia pedagógica como alternativa para implementar ante estas

dificultades y la cuál puede servir de punto de partida para otras prácticas docentes.

Situaciones que describen rupturas en el proceso de enseñanza aprendizaje, debido a malas

prácticas realizadas por los docentes a veces de manera voluntaria. (Runza, 2013) manifiesta

que:

“Una de las dificultades que se presenta en el aprendizaje de las matemáticas, es la poca

aplicabilidad asignada a los conceptos. Los procesos de enseñanza, ya sea por falta de

tiempo, de conocimiento, de interés o por alguna otra razón, en la mayoría de los casos están

relacionados únicamente con las definiciones pertinentes y los algoritmos seguidos para su

cálculos así dejar de lado la amplia e importante aplicabilidad de los mismos, llevando a un

proceso puramente mecánico que fácilmente puede ser olvidado”.

Realmente, la mayoría de las veces los profesores ignoran los fundamentos pedagógicos y

didácticos que permiten utilizar esta estrategia de una manera adecuada y significativa como

apoyo a los procesos de enseñanza y aprendizaje en el aula. Según los lineamientos del (MEN,

1998)

“Tradicionalmente los alumnos aprenden matemáticas formales y abstractas,

descontextualizadas, y luego aplican sus conocimientos a la resolución de problemas

presentados en un contexto. Que con frecuencia se dejan para el final de una unidad o para el

final del programa, razón por la cual se suelen omitir por falta de tiempo”


Además, existen en nuestro contexto otras dificultades en el desarrollo de los procesos

matemáticos que vale la pena analizar, entre ellos, señalamos:

Dificultades en las concepciones sobre longitud, área y volumen.

Dificultad en la noción de unidades de medida.

Desinterés por parte de los docentes por introducir innovaciones didácticas que

favorezcan verdaderos aprendizajes en matemáticas.

No se discuten los conceptos entre los entes involucrados.

No se desarrolla el pensamiento matemático.

No se tienen en cuenta los estándares curriculares y el desarrollo de competencias.

Para el buen entendimiento de la problemática expuesta se necesita conocer claramente la

temática sobre el Pensamiento Creativo, que hace referencia al desarrollo de las habilidades

matemáticas y nos sitúa al alcance de las metas y objetivos propuestos para el desarrollo de los

problemas matemáticos. A propósito del pensamiento matemático

“El pensamiento creativo se ha dividido en divergente y convergente. El primero consiste en

la habilidad para pensar de manera original y elaborar nuevas ideas, mientras que el segundo

se relaciona con la capacidad crítica y lógica para evaluar alternativas y seleccionar la más

apropiada. Evidentemente ambos tipos de pensamiento juegan un rol fundamental en la

resolución de problemas”. (Adams, 1986).

La estrategia didáctica desea exponer al estudiante en un ambiente creativo divergente y

convergente, a través del trabajo cooperativo, la comunicación y con el apoyo del instrumento


digital para construir sus propios problemas a través de la reflexión dadas en las preguntas

orientadoras de Polya (1965)

2.1.4 Sobre la enseñanza de la trigonometría

Si repasamos la historia es importante destacar que la trigonometría nace de la necesidad de

solucionar problemas concretos de la vida cotidiana o de intereses particulares de quienes

estudiaban temas como la astronomía, alturas, ángulos, algunos de sus mayores exponentes son:

Eratóstenes midió el perímetro de la tierra con gran exactitud por primera vez (en este

ejemplo, es interesante ver que algo que corresponde a la geometría esférica se midió desde

pequeñas aproximaciones rectas)

Aristarco de Samos fue el primero en determinar la distancia a la luna, primero tuvo que

determinar la distancia tierra-sol. También determinó el tamaño de la luna y el sol y el ángulo

con que los rayos del sol inciden sobre la tierra.

Actualmente se utiliza en muchos aspectos de la vida, como lo son las artes, la astronomía,

la ingeniería, las ciencias y en situaciones puntuales como por ejemplo: para medir distancias

rectas inaccesibles, en la NASA para mover un brazo robótico en el espacio, para saber la

posición final del astronauta que está en el extremo del brazo móvil, en la astronomía para medir

distancias entre cuerpos celestes, para desarrollar el funcionamiento de las gps (sistemas de


posicionamiento global) porque se emplean métodos de triangulación trigonométrica, para

estudiar movimientos de oscilación de algunos cuerpos.

2.1.4.1 Sistemas de representación

La mayoría de autores resaltan en el proceso de enseñanza y aprendizaje de la trigonometría

sus sistemas de representación y sus relaciones, con el fin de que el estudiante maneje

conceptualmente cada una de las representaciones además de sus eslabones. Según Rico (2009)

“son todas aquellas herramientas –signos o gráficos- que hacen presentes los conceptos y

procedimientos matemáticos y con las cuales los sujetos particulares abordan e interactúan con el

conocimiento matemático, es decir, registran y comunican su conocimiento sobre las

matemáticas”. Identificamos cinco sistemas de representación que se hacen presentes en la

estructura conceptual de la trigonometría. Los sistemas de representación que hemos establecido

son el verbal, el simbólico, el numérico, el gráfico y el manipulativo. A continuación mostramos

cómo estos sistemas de representación permiten presentar las relaciones de los elementos de la

estructura conceptual y como se destacan propiedades importantes y particulares del tema.

Sistema de representación verbal: se caracteriza por el uso del lenguaje oral y escrito,

permitiendo enunciar hechos relacionados con el foco de contenido. Este sistema de

representación cobra relevancia porque permite expresar situaciones de la vida real con

mayor claridad que otros sistemas de representación. Así, por ejemplo, se puede decir “la

altura de un edificio cuando la sombra mide 13 metros y el ángulo de elevación con la

horizontal hasta la punta del objeto es de veinte grados”.


Sistema de representación simbólico: se identifica por el uso de símbolos para presentar

los elementos y relaciones del contenido. En este sentido, es un requerimiento

importante en el desarrollo de la estructura conceptual, porque permite representar

contenidos de una forma compacta y concreta respecto a la representación verbal. Por

ejemplo en la figura 5, en el proceso de resolución de triángulos rectángulos en las

razones trigonométricas, se debe denotar los parámetros e incógnitas presentadas en el

sistema verbal y en el gráfico.

Figura 3. Representación simbólica

Sistema de representación numérico: El sistema de representación numérico juega un

papel importante para establecer las razones trigonométricas a partir de los datos del

triángulo rectángulo. La representación numérica permite expresar los valores numéricos

de los ángulos y las longitudes de los lados en la resolución de triángulos y ecuaciones.

Además, permite tabular los valores numéricos para la representación cartesiana de las

funciones trigonométricas. Por ejemplo, la expresión verbal “un señor de 1,72 metros de

altura desea calcular la altura de un edificio, si conoce que se encuentra a 18 metros de

distancia además de eso levanta la cara para ver la cima del edifico registra un ángulo de

en un triángulo rectángulo uno de los catetos mide veintinueve centímetros y el ángulo

de 54°”, situación que se representa numéricamente como se muestra en la figura 4.


Figura 4. Representación numérica

Sistema de representación gráfico: La representación gráfica es un recurso fundamental

en los temas de trigonometría porque hace uso de relaciones métricas y espaciales

geométricas que son muy difíciles de identificar sin la ayuda de una representación

apropiada. Las razones trigonométricas requieren de la representación gráfica, teniendo

en cuenta que el desarrollo de sus conceptos y nociones presentan una gran influencia

del contexto geométrico. En el sistema de representación gráfico podemos distinguir dos

subsistemas: el cartesiano y el geométrico. El primero se presenta en el plano cartesiano

y utiliza las herramientas de tipo gráfico y numérico junto con las propiedades

contenidas en este sistema de referencia. Mientras que el segundo implementa el uso de

los procedimientos y el lenguaje propios de la geometría. Por ejemplo, en la razón

trigonométrica “coseno de 60° es igual 1 sobre 2”, la representación geométrica

considera el uso de un triángulo equilátero de lado uno y el trazo de su respectiva altura,

para mostrar el valor de la razón en función del ángulo dado (figura 7). La


representación gráfica cartesiana se puede ver en la función coseno del círculo unitario a

partir de la coordenada cartesiana (π/3, 1/2).

Figura 5. Sistema de representación gráfico: geométrico y cartesiano

El sistema de representación manipulativo: permite hacer construcciones geométricas de

las razones trigonométricas con ayuda de recursos tecnológicos como el software Cabri

Geometry. El uso de estas representaciones permite ver algunas propiedades geométricas

del tema, y posibilita que los estudiantes manipulen las construcciones hechas y

visualicen nuevas propiedades que no son evidentes en otras representaciones. Este tipo

de representación puede ser usado en otro tipo de estrategia didáctica a través del Cabri o

inclusive pude servir de complemento a la estrategia planteada en esta investigación.

2.1.4.2 Relación entre los sistemas de representación

En los sistemas de representaciones encontramos dos relaciones importantes; la primera es la

traducción entre los sistemas de representación, que se caracteriza por el tránsito entre los

diferentes sistemas de representación de un elemento de contenido y la segunda es la

transformación sintáctica que se caracteriza por la transformación de elementos de contenido en

el mismo sistema de representación. Para la solución de cualquier situación problema planteada


en esta estrategia didáctica es importante conocer muy bien los tipos de representación y sus

equivalentes en otro tipo de representación. El alcance de esta estrategia didáctica está basada en

el sistema de representación gráfico y el numérico, a través de la construcción de situaciones

basadas en la realidad y luego a partir de ahí, dadas otras propuestas se puede fortalecer la

representación verbal, la simbólica y sus relaciones.

2.1.5 Aprendizaje sobre longitud, área y volumen

La necesidad de medir estuvo presente desde los inicios de la humanidad, en los múltiples

problemas a los que enfrentaban, como los de cultivo y la astronomía. Una afirmación recurrente

de los historiadores de la Matemática es que, contar y medir son las dos grandes actividades que

dieron origen a una diversidad de conocimientos matemáticos. Por otra parte, dichos

conocimientos adaptaron a nuevas necesidades, mostraron así el carácter provisorio ineludible

que tiene todo conocimiento matemático en sus orígenes.

Medir es asignar un valor numérico a un atributo de un objeto, por ejemplo a la longitud de

un lápiz. A niveles más complejos la medición supone la asignación de un número a una

característica de una situación; tal es el caso, por ejemplo, el índice de precios al consumo.

La medición relaciona el mundo físico de los objetos con el mundo matemático; como lo

señalan Godino, Batanero, y Roa, (2002):


“La medida de magnitudes nos obliga a reflexionar sobre el difícil problema de las

relaciones entre las matemáticas y la realidad. Los fenómenos físicos y sociales son

organizados mediante el lenguaje matemático y ello nos lleva a reflexionar sobre la

naturaleza de los objetos matemáticos (…)”

Seguramente hemos visto a algún topógrafo en la calle realizando medidas con un teodolito;

este es un instrumento conocido por la mayoría de las personas, aunque resulta inaccesible para

utilizarlo con estudiantes. El teodolito es un instrumento moderno, pero sus funciones se conocen

desde mucho antes; un utensilio que se conoce como Clinómetro, y hace referencia al Klinein

que en griego significa inclinación. El clinómetro es un instrumento para medir la inclinación de

la superficie de un terreno, de sus techos o capas con relación a la horizontal. En navegación

sirve para medir la inclinación longitudinal de la quilla con relación al plano de nivel del agua y

por ello es muy útil para medir la diferencia de calado entre popa y proa. Fue inventado por el

Capitán de navío danés Counig y perfeccionado más tarde por Brest M. Touboulie.

“El Clinómetro era un aparato de acero, bronce o latón, que se instalaba en las piezas de

artillería con la finalidad de establecer en milésimas la inclinación del tiro usando los nonios

de medición y el nivel que tenía el aparato. Su finalidad era determinar el ángulo de tiro en

artillería”. (Federación de asociados, 1982)

En esta estrategia didáctica hemos desarrollado un instrumento digital que realiza las

funciones de goniómetro y de cinta métrica a la vez; pero dado el caso, si no se cuenta con la

herramienta didáctica desarrollada en esta investigación; se puede desarrollar la estrategia


construyendo un goniómetro y se le adiciona una cinta métrica; en el siguiente enlace encontrará

como construir un goniómetro básico https://www.youtube.com/watch?v=tiNazhCsNtw de igual

forma se podrán relacionar otras versiones del instrumento más complejas.

En las investigaciones consultadas hemos encontrado algunos resultados relativos a la

concepción que los alumnos poseen sobre el área. Todos ellos coinciden al afirmar que la

mayoría de los alumnos desarrolla casi exclusivamente una concepción numérica del área. Para

los estudiantes, el área es un número que se calcula, tal como lo aseguran (Perrin y Glorian,

1992; Tierney y Boyd, 1990) y en relación (Hirstein, 1981) asegura que “no es adecuado el modo

en el que los libros de texto y los profesores de matemáticas acometen el estudio de las fórmulas

para el cálculo de áreas, ya que los ejercicios que plantean se reducen a simples cálculos

aritméticos”; estos “recursos débiles” como lo define Alan Schoenfeld se pueden evitar a través

de la estrategia didáctica usando el instrumento digital y con el apoyo de la representación

gráfica que se realiza del problema.

A partir de los procesos de la enseñanza y el aprendizaje se tienen algunos tienen algunas

características que resultan de gran importancia en el proceso de medir una determinada

magnitud ya que no se reduce a asignar un valor a la misma sino que lleva a implícitas y diversas

tareas, como identificarla como tal en los diferentes objetos; realizar comparaciones entre dos

cantidades de la misma; compararlas con un patrón establecido (unidad) y asignarle un número,

que a su vez implica determinar la unidad más conveniente; encontrar si es posible alguna

relación que simplifique su medición y estimar la cantidad de magnitud que poseen determinados

objetos.

https://www.youtube.com/watch?v=tiNazhCsNtw


En relación a las magnitudes espaciales en el desarrollo del aprendizaje de la medición de

longitud, área y volumen recalcan, Del Olmo, Moreno, y Gil, (1993) que en el proceso de

medición: A una cantidad de magnitud se le asigna un número atendiendo a distintas etapas:

Se escoge una cantidad fija de la misma magnitud que llamaremos unidad de medida.

Se reitera, tantas veces como sea preciso, sobre el objeto a medir.

Se cuenta el número de veces que se ha iterado.

Se le asigna al objeto ese número. Dicho número será su medida respecto de la unidad

elegida.

Los estudiantes deben ser hábiles en el uso de instrumentos, técnicas y fórmulas para medir,

en situaciones diversas. Por tal motivo nos apoyamos en un instrumento electrónico que le

permita reafirmar estos conceptos y que además le permita realizar conexiones entre las medidas

y el mundo real.

2.2 Estado del arte

Con el fin de obtener los mejores resultados en la investigación objeto de estudio, es

necesario indagar que tipos de trabajos se han realizado sobre la implementación de instrumentos

que permitan mejorar de alguna forma la práctica docente en el planteamiento de problemas de

Longitud, Área y Volumen. Se buscaron investigaciones relacionadas con instrumentos

pedagógicos incluyendo uso de Tic, instrumentos usados en pedagogía, planteamiento de

problemas, razones trigonométricas, estrategias pedagógicas y no se encontraron temas de

investigaciones similares a la investigación objeto de estudio con la implementación del


instrumento digital como herramienta pedagógica; pero si, algunas relacionadas con las razones

trigonométricas y sobre el planteamiento de problemas, de las cuales serán un referente muy

importante para guiar esta investigación, a continuación se anuncian las más importantes en

orden cronológico.

Los referentes que más se asemeja y los que más le aportan a este trabajo de investigación

debido a sus características y proyección respecto a la enseñanza de la trigonometría son Runza

en el 2013 y Felipe Arenas en el 2012.

La primera investigación de Runza (2013), en un trabajo presentado para optar el título de

Magister en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales, presentó el documento Las Razones

Trigonométricas en el planteamiento y resolución de problemas en la Universidad Nacional de

Colombia.

El trabajo realiza una línea de tiempo desde el inicio de las razones trigonométricas hasta

nuestros días. Luego, analiza ciertos conceptos desde un enfoque didáctico y finalmente diseña

una estrategia que incluye actividades para plantear y solucionar problemas en diferentes

ejemplos de las ciencias aplicadas para estudiantes de décimo grado.

Usa conceptos matemáticos como palabras claves, tales como Triángulos, Teorema de

Pitagóras, Razones Trigonométricas. No relaciona la estrategia didáctica, ni el planteamiento de

problemas.


En su trabajo de investigación Runza (2013), sostiene que:

“Una de las dificultades que se presenta en el aprendizaje de las matemáticas, es la poca

aplicabilidad asignada a los conceptos. Los procesos de enseñanza, ya sea por falta de

tiempo, de conocimiento, de interés o por alguna otra razón, en la mayoría de los casos están

relacionados únicamente con las definiciones pertinentes y los algoritmos seguidos para su

cálculos dejando de lado la amplia e importante aplicabilidad de los mismos, llevando a un

proceso puramente mecánico que fácilmente puede ser olvidado”.

Además concluye “La enseñanza de las matemáticas necesita que los docentes planeen y

propongan situaciones de aprendizaje significativo y comprensivo para los educandos y así

permitir que ellos participen activamente en la reconstrucción y validación del saber matemático

haciendo uso de materiales manipulativos, representativos y tecnológicos para encontrar

estrategias de solución a los problemas que se le planteen y de esta manera ayude a profundizar y

consolidar los distintos procesos generales ( formular y resolver problemas; modelar procesos y

fenómenos de la realidad; comunicar; razonar, y formular comparar y ejercitar procedimientos y

algoritmos) y los distintos tipos de pensamiento matemático (numérico, espacial, lógico, métrico,

variacional y aleatorio).

Finalmente propone como tarea a futuro seguir enriqueciendo la práctica pedagógica en cada uno de

los conceptos a compartir con los educandos con el fin de sensibilizar al estudiante para que se le facilite

cada vez más el proceso de aprendizaje.


La bibliografía usada en el trabajo de investigación Runza se centra en primera instancia en historia

de la matemática y libros de planteamientos de problemas usados en la educación superior, y con

disminución significativa de autores en didácticas, estrategias, funcionamiento del cerebro.

La segunda investigación (Arenas, Becerra, & Gómez, 2012), es un trabajo que surgió de la

investigación realizada por el grupo MAD, que pertenece a la maestría en educación matemática de la

Universidad de los Andes.

El trabajo inicialmente constata que muchos profesores del grado décimo en educación

básica media usan las razones trigonométricas como herramienta para resolver ejercicios de

triángulos rectángulos, aplicados a situaciones problema, sin tener en cuenta el contexto que

maneja el estudiante. A partir de este punto crea una unidad didáctica desde el punto de vista

curricular, el académico y el socioeconómico para abordar situaciones problemas en la

resolución de triángulos rectángulos teniendo en cuenta el contexto del estudiante y que generan

más sentido y lógica, dando sugerencias, pautas claves.

Esta investigación contiene palabras claves como propuesta, unidad didáctica, problemas

matemáticos, razones trigonométricas, contexto del estudiante.

Finalmente concluyen que las herramientas que generalmente son usadas son las

calculadoras y que principalmente se usan para realizar reemplazos y evaluaciones, tales como

reemplazar ángulos y distancias. Además plantean de finalidad desarrollar una visión más

compleja de los elementos didácticos que se utilizan tradicionalmente; finalmente considera que

los planes de estudio son débiles en el fundamento didáctico que plantean.


Los trabajos de investigación internacionales más significativos para referenciarlos desde

nuestra perspectiva del proyecto de grado son el de Fernández, quien realizó en la Universidad

de Granada (España), en el año 2011 el trabajo titulado “Unidad didáctica: Trigonometría” y el

trabajo de investigación de González en Argentina quien tituló “La enseñanza de la medición de

áreas. Un largo y complejo proceso”.

En esta investigación de Fernández (2011) propone:

“Para el desarrollo de la unidad didáctica de trigonometría, considero de gran utilidad el uso

de programas de geometría dinámica con los cuales el escolar puede interactuar y asimilar

con más facilidad los conceptos. En los últimos tiempos las nuevas tecnologías de la

información y la comunicación están pasando a ocupar un lugar de gran relevancia en la

sociedad, los jóvenes de hoy en día dominan perfectamente estas nuevas tecnologías, y es

por ello que en nuestra labor como docente debemos buscar este punto de encuentro”

Implementando como herramienta didáctica principal el uso de Tic, también dedica una

unidad al teodolito, que es una versión similar al instrumento digital usado en esta investigación.

Fernández (2011) acerca del teodolito asegura que

“Dedicaremos una sesión a utilizar este teodolito para realizar medidas indirectas con el

método de la doble medida. Se preparará, como una actividad complementaria de la unidad,

un trabajo en el que los alumnos y alumnas tendrán que construir un teodolito, para llevar a


cabo medidas de distancias inaccesibles, por ejemplo, en el patio del centro. Sin duda esta

experiencia haría tomar conciencia a los alumnos de la utilidad práctica que tiene la

trigonometría”.

Finalmente la actividad solo viene como una estrategia pedagógica y fundamentan algunas

sugerencias, no manifiesta sobre la aplicación de las propuestas didácticas posiblemente

implementadas en el transcurso de la investigación, y por lo tanto no incluye resultados de la

estrategia, ni conclusiones.

Por otro lado (González, 2011) en un proyecto de maestría en la enseñanza de la

Matemática, La enseñanza de la medición de áreas, un largo y complejo proceso, en la

Universidad nacional del nordeste, en Argentina.

La investigación de González propone una organización Matemática para la enseñanza,

consiste en estudio matemático del tema que incluye tareas, técnicas y tecnologías, que no

necesariamente deben cumplirse en orden cronológico.

Las palabras claves relacionadas con nuestro trabajo de grado son áreas, situaciones

problema, tecnologías, didáctica en matemática.

Su trabajo concluye que para obtener una fórmula de un área no es un planteamiento

solamente, es una técnica y por lo tanto permite abordar otras metodologías y enlazarlo a otros


conceptos; también relaciona que el concepto de medidas de área debe ser estudiado como

procesos de medición, valoración y repartición.

De la observación y el análisis realizados sobre los procesos de enseñanza y aprendizaje en

el área de matemáticas, se ha detectado la dificultad que presentan los estudiantes en la

interpretación, a partir de la representación gráfica, de los problemas relacionados con unidades

de medida; así mismo, se observa que existe el interés de no exponerles la resolución de

problemas como productos y resultados de un simple proceso. Es importante que el estudiante no

solo se base en el análisis de un problema ya resuelto en un libro, sino que detecte, en los

intentos fallidos en búsqueda de posibles soluciones, características o patrones que le permitan

desarrollar competencias para la comprensión significativa de situaciones problemáticas,

requisito indispensable en el planteamiento de estrategias de solución y en los razonamientos

realizados en un primer intento de solución no totalmente satisfactoria.


3. Tipo de investigación y metodología

En este capítulo se expone los resultados obtenidos de aplicar las dos encuestas a profesores

y docentes, así como también el test de ejercicios aplicado a los estudiantes con el fin de

encontrar las debilidades y fortalezas en la que se exponen los estudiantes en el tema de

planteamiento de problemas de unidades de medida.

3.1 Tipo de investigación

La investigación que se adelantó para llegar a la estrategia didáctica que se formuló, fue de

tipo cualitativo. Los investigadores buscaron describir e interpretar los alcances de la estrategia

didáctica a través de las percepciones y creencias establecidas en la experiencia de profesores y

estudiantes participantes, incluyendo las características de sus prácticas pedagógicas. La

interpretación de los resultados del diagnóstico fue subjetiva y buscó encontrar significados e

interpretar cuales eran las necesidades, dificultades y fortalezas que se percibieron de los

estudiantes y profesores frente al planteamiento de problemas, para lograrlo se usaron encuestas,

análisis documental y observaciones.

A partir del método histórico lógico se estableció el estado del arte como guía de

orientación, se incluyeron trabajos de investigación relacionados al aprendizaje principalmente

en matemáticas resaltando el planteamiento de problemas, en los conceptos de longitud, área,


volumen y trigonometría incluyendo el uso de herramientas didácticas para el desarrollo de las

temáticas.

Finalmente se construyó una estrategia didáctica que busca fortalecer el aprendizaje en el

planteamiento de problemas, esto implicó usar el método de enfoque de sistema, pues se

propusieron unos objetivos, una fundamentación teórica, un método con una secuencia de

actividades y una evaluación; todos estos elementos están subordinados por el sistema didáctico

establecido y a su vez entre ellos deben mantener una relación de coherencia, cohesión y

pertinencia con el fin de alcanzar el objetivo de la investigación.

Además, los investigadores analizaron los factores que influyeron en el desempeño de los

estudiantes al plantear problemas, y lo más importante, en su contacto con la población incidió

sobre las personas que investigaron en la medida en que direccionaron su trabajo pedagógico

según la pertinencia del caso.

Otro rasgo de la investigación es su enfoque interdisciplinar pues abarca áreas como las

matemáticas, la educación matemática y la psicología entre otras, finalmente el uso de diferentes

métodos para recopilar los datos permitió usar la triangulación para validar la información

obtenida.

Por otra parte el trabajo fue de tipo propositivo, se diseñó una estrategia didáctica usando

como herramienta un instrumento digital que permite que los estudiantes planteen sus propios


problemas de manera autónoma, resaltando el trabajo cooperativo, la comunicación, el uso de

representaciones.

3.2. Metodología

A partir de un instrumento digital para potenciar el planteamiento de problemas, según sus

características, fue una investigación de enfoque cualitativo, los investigadores eran docentes de

Precálculo y los estudiantes que la cursaron representan la población investigada; también

pertenecían al colectivo docente de la institución y tuvieron la oportunidad de valorar la

estrategia.

3.2.1. Métodos y Técnicas

El objetivo general del proyecto de investigación es formular una estrategia didáctica para

fortalecer el planteamiento de problemas en matemáticas, así resulta pertinente aplicar los

métodos teóricos: análisis síntesis, histórico lógico, y enfoque de sistema. El análisis síntesis

permitió indagar a la población sobre: el sistema de creencias y costumbres que poseen los

docentes y los estudiantes en el momento de abordar problemas; el interés y la importancia de

resolver problemas matemáticos; la forma en que interpretan un problema a partir de la gráfica,

de los datos, de las incógnitas y de las relaciones entre ellos; la implementación de trabajo

cooperativos; el uso de representaciones y el fortalecimiento de la comunicación; enfocado al

contexto del estudiante de tal manera que resalta la creación de sus propios problemas. Las

respuestas a estas inquietudes permitieron reunir la información aportada desde distintas fuentes


y así construir una idea para comprender la forma como se plantean problemas en la asignatura

Precálculo en las UTS.

3.2.2. Población.

El proyecto de investigación fue realizado con estudiantes que cursaron la asignatura

Precálculo de las Unidades de las Santander; asignatura del primer semestre que pertenece a la

Facultad de Ciencias Naturales e Ingeniería. Esta materia inicialmente pertenece al ciclo

tecnológico, pero el estudiante una vez que finalice la tecnología tiene la opción de continuar a la

ingeniería a través de un ciclo propedéutico. El propósito de la asignatura es de carácter

nivelatorio, debido a que gran parte de la población no ingresa a la educación de carácter

superior cumpliendo con las adecuadas competencias matemáticas. Actualmente en el segundo

semestre del 2016 cerca de 400 estudiantes se encuentran cursaron la asignatura.

La asignatura la orientaron cuarenta docentes, cuya modalidad de contrato en las UTS es de

hora cátedra y además trabajan en otras instituciones, principalmente colegios de la ciudad o sus

alrededores, la gran mayoría tienen varios años de experiencia como docentes en el área de las

Matemáticas.

Muestra

Intencional, Debido a la dificultad para contactar los estudiantes y de su disposición temporal;

se seleccionaron cerca de 60 estudiantes, específicamente dos cursos, y representaron el 15% de


los estudiantes que cursaron la asignatura en las UTS, los estudiantes pertenecen a varias

carreras.

Aleatoriamente se seleccionaron 12 docentes que cursaron la asignatura Precálculo en las

UTS, se incluyen el 20% de los docentes que orientaron la asignatura; de los cuales 4 docentes

realizaron la validación final de la estrategia didáctica.

3.2.3. Técnicas e instrumentos de colecta de datos

Para cumplir con los objetivos de investigación propuestos en este proyecto de maestría, se

aplicaron cuatro instrumentos para recolectar datos; el primero que se implementó fue una

encuesta a los docentes que orientaron la asignatura Precálculo, una segunda encuesta aplicada al

16% de los estudiantes que cursaron la asignatura; el tercero es un análisis documental a partir de

un test de problemas matemáticos relacionados con el planteamiento de problemas de unidades

de medida; finalmente se implementó una rúbrica para validar y ajustar la estrategia didáctica.

La primera encuesta ver anexo 1 aplicada a los docentes que orientan la asignatura de

Precálculo indagó sobre las prácticas pedagógicas que realizan los docentes en las UTS,

establecer si conocen y aplican estrategias didácticas en Matemáticas; establecer si conocen y

aplican Tic en el aula de clase y si están relacionadas con la didáctica en Matemáticas; establecer

además las concepciones, percepciones y creencias que tienen acerca de los estudiantes de las

UTS.


La segunda encuesta permitió establecer las concepciones, percepciones y creencias de los

estudiantes ver anexo 2 sobre: ellos mismos, sus docentes, las estrategias e impacto sobre los

estudiantes en el proceso enseñanza-aprendizaje.

El tercer instrumento fue un análisis documental aplicado a los estudiantes que realizaron la

segunda encuesta, una vez finalizó la temática “aplicaciones de las unidades de medida en el

contexto de la ingeniería” expuesta en el programa académico de la asignatura, se aplicaron

cinco ejercicios en una prueba de conocimientos generales sobre longitud, área y volumen ver

anexo 3, para establecer los alcances de la estrategia pedagógica usada por los docentes de la

asignatura en las UTS.

El cuarto instrumento fue una rúbrica de evaluación de la estrategia didáctica ver anexo 5,

que se realizó con cuatro docentes de la muestra, que permitió establecer las ventajas y

desventajas que posee la estrategia didáctica proponiendo la implementación de un instrumento

digital como herramienta para que los estudiantes planteen sus propios problemas de longitud,

área y volumen; posteriormente se realizaron ajustes con el fin de corregir y potencializar la

estrategia.

Es importante resaltar que esta asignatura se ha incluido en el pensum de las carreras

tecnológicas con el objetivo de realizar un repaso de varios temas que son estudiados en la

educación media, y que son necesarios para continuar en la educación superior; de tal manera

que los resultados de este análisis documental no dependieron solamente de las prácticas

pedagógicas realizadas por los docentes en el transcurso de la temática expuesta de la asignatura


Precálculo, sino de las bases que tienen los estudiantes de años cursados en el transcurso de la

educación media.

Las encuestas fueron validadas por el ingeniero industrial y docente de la UPB Germán

Rincón, con una trayectoria de cerca de 20 años de experiencia en la rama de la estadística; y el

Magister Diego Reyes docente de Ciencias Básicas en las UTS. El test de problemas que originó

el análisis documental y la estrategia didáctica lo revisó el Núcleo Básico del Conocimiento de

Precálculo.

3.3 Presentación y análisis de resultados del diagnóstico

Para establecer si es viable plantear una estrategia didáctica usando una herramienta

didáctica que permita fortalecer la comunicación individual y grupal, resaltar el trabajo en equipo

y la representación matemática, además de la creación de problemas propios en el contexto de las

UTS, se indagó a sus principales actores; los docentes y estudiantes para tener en cuenta sus

percepciones y sus creencias en el aula de clase, además se aplicó un test a los estudiantes con el

fin de obtener hallazgos en el desarrollo de algunas situaciones problema usando los conceptos

adquiridos en unidades de longitud, área y volumen de las estrategias pedagógicas planteadas por

los docentes durante el desarrollo de la asignatura de Precálculo.


3.3.1 Resultados de las encuestas aplicadas a estudiantes

Se aplicó una encuesta a 60 estudiantes que cursan la asignatura Precálculo. Entre cerca de

1990 estudiantes que la cursaron en el primer periodo del 2016, además pertenecen a las carreras

de topografía, tecnología en recursos ambientales, tecnología en electrónica, tecnología en

operación y mantenimiento electromecánico. Posiblemente muchos terminen la tecnología y

continúen con la ingeniería. A continuación se registran los principales hallazgos de la encuesta

aplicada, cuya finalidad es establecer las percepciones que tienen los estudiantes sobre la

matemática y sobre sus aplicaciones; la encuesta se encuentra en el anexo 1.

Se preguntó si consideraban que las Matemáticas eran importantes en sus carreras

tecnológicas, explicando por qué son importantes y en qué condiciones o en que situaciones las

han aplicado durante sus vidas o para el desarrollo de sus carreras.

Además, sobre los factores que consideraron más relevantes o determinantes para lograr un

buen rendimiento académico, con el fin de definir el papel que juega el docente y sus prácticas

pedagógicas respecto al propio rendimiento académico, entre otros.

Finalmente se examinó si consideran que en las clases de Precálculo se trabajaron algunas

características de esta estrategia didáctica.

Los primeros resultados que arrojó la encuesta, es que los estudiantes consideran que sí son

importantes las matemáticas; aunque tres de ellos estiman que son importantes pero no


necesarias; estudiantes que posteriormente podrán pasar a estudiar la Ingeniería Ambiental.

Situación es un poco contradictoria considerando que pueden estudiar una ingeniería y que

consideren que no es necesaria la matemática. La figura 6 muestra la declaración de un

estudiante respecto a la importancia de las matemáticas.

Figura 6. Declaración estudiante importancia de las matemáticas

Entre las respuestas más comunes respecto a la importancia de las matemáticas están el 50%

de los estudiantes consideran que las matemáticas son la base de la tecnología e ingeniería

creyendo que es la razón principal por la que se estudia, así les permitirá comprender otras

temáticas. Un grupo que representa el 16,6% de los estudiantes, anuncian que la principal razón

de estudiar matemáticas es para solucionar problemas y otro 20% cree que sirve por las diversas

aplicaciones que se puedan desarrollar a través de estos conceptos. Debido a la leve

implementación de problemas contextualizados para el estudiante durante su vida académica lo

que le permite dar argumentos superficiales sobre la importancia y las aplicaciones de la

matemática en el aula de clase; y en algunos casos hasta falsos, a través de nuestra estrategia

pedagógica permite plantear un mejoramiento de aula de tal manera que además de fortalecer los


componentes de comunicación, del trabajo en equipo, de la creación de problemas en un

contexto propio, podrá resaltar que una de su función principal es plantear y resolver problemas

en el contexto y fuera de él, permitiendo que el estudiante tenga otra concepción sobre la

importancia de la matemática y de sus aplicaciones.

Se cuestionó acerca las aplicaciones de las matemáticas en sus vidas, y que tipo de

problemas han podido solucionar a partir del uso de ellas. Las respuestas de la mayoría de los

estudiantes se refirieron a situaciones en las que utilizan operaciones aritméticas y

principalmente a situaciones que involucran activos y pasivos en economía. Otro grupo de

estudiantes se inclinó por la estadística; y un grupo menor respondieron que les sirve para

solucionar circuitos. Un estudiante de topografía manifestó que le sirve en el uso de las medidas,

otro para calcular áreas de terrenos, otro estudiante afirmó que sirve para encontrar el volumen

del motor en un vehículo, indicando también que son útiles para el diseño y posterior

construcción de estructuras, o para crear programas por computador. Finalmente una respuesta

común, que nos permite dar solución a problemas cotidianos y también a solucionar

adversidades, se muestra en la figura 7.


Figura 7. Importancia de la matemática en el pregrado de Tecnología y en la vida cotidiana

Con la mayoría de las respuestas se concluyó, en que los estudiantes consideran que los

problemas que se pueden resolver con las matemáticas se limitan a las situaciones cotidianas y al

manejo del dinero; lo que hace necesario impartir nuevas medidas que les permita a los

estudiantes observar las diversas aplicaciones de las matemáticas en la carrera y en la vida

cotidiana, se resalta además la importancia para plantear y solucionar problemas, tal como lo

sugiere este proyecto de aula.

Se examinó con el fin de determinar algunas de las creencias que tienen los estudiantes

respecto a los factores que más influyen en su rendimiento académico, y consideran que el factor

principal es la motivación e interés que ellos mismos generan hacia la asignatura. Seguida por la

motivación que induce el docente para que el estudiante adquiera los conocimientos de la

asignatura y como últimas opciones, los presaberes y conocimientos en la asignatura, así como

las prácticas pedagógicas aplicadas por el docente, el compromiso y la responsabilidad, y la

dedicación académica del estudiante. Lo que nos permite concluir que podemos llegar al


estudiante a través de otro tipo de estrategias que les genere cierta motivación y apropiación de la

asignatura a través de trabajo en equipo, fortalecimiento en la comunicación, desarrollo de

problemas en su contexto y la creación de sus propios problemas. La figura 8 ilustra algunas

declaraciones de los estudiantes respecto a los factores que influyen en sus resultados

Figura 8. Declaración estudiantes factores de rendimiento académico

Se indagó si consideran que han trabajado durante su curso de Precálculo, algunas de las

características que plantea el proyecto de aula. La figura 9 demuestra las principales

características que resalta el proyecto de aula en relación al porcentaje de estudiantes que

consideran que sí han trabajado esa componente durante el curso al menos una vez en el


semestre. La componente más alta fue el fortalecimiento de la comunicación. El 53% de los

estudiantes encuestados consideran que en el aula se resaltó la comunicación al menos una vez

en el semestre y el trabajo en equipo.

Figura 9. Componentes de la investigación que se perciben en el aula según los estudiantes

A partir de las encuestas aplicadas se determinó que las principales características que

propone el proyecto de aula no se han evidenciado en las clases de Precálculo. La mayoría de

los encuestados manifiestan que esas componentes se trabajan muy poco, y muchos anuncian

que nunca las han evidenciado. Las características que menos se implementan en las UTS son el

uso de herramientas didácticas y tecnológicas, el trabajo en espacios diferentes al aula de clase y

el desarrollo de problemas en el contexto institucional. Estos resultados fortalecen la idea de

utilizar actividades de clase que fortalezcan estas características, tal como lo propone el proyecto

de aula.


3.3.2 Resultados de las encuestas a profesores

En las UTS se desarrollan 50 cursos de la asignatura de Precálculo conformado por un

grupo de 60 profesores. En el primer semestre de 2016 se realizaron encuestas ver anexo 2, a 14

de ellos que orientan la asignatura con el fin de establecer su punto de vista respecto a algunas

componentes en el proceso enseñanza aprendizaje experimentado en las UTS, que incluyen,

capacitaciones docentes y su aplicación en el aula de clase sobre la experiencia adquirida en su

tiempo como profesor, las percepciones que tienen acerca del desenvolvimiento académico del

estudiante incluyendo una consulta para determinar, si en las aulas de Precálculo se están

implementa las principales componentes didácticas que propone este proyecto de aula, resaltando

el fortalecimiento de la comunicación individual y grupal del estudiante, la representación

matemática, la construcción de sus propios problemas en su contexto, el uso de herramientas

didácticas y el uso de escenarios diferentes al aula de clase.

Los docentes encuestados fueron escogidos al azar. Se encontró que tienen entre 6 y 20

años de experiencia en la educación media y superior, muchos poseen especialización, dos de

ellos han realizado maestría, otros están cursando la maestría o un doctorado. Algunos han

dictado en varias oportunidades la asignatura de Precálculo o Matemática básica, incluso en más

más de 15 oportunidades.

Cabe resaltar que hay una importante experiencia laboral que incluye vínculos entre la

educación media y universitaria. Algunos Aseguran que han participado en seminarios, talleres,

capacitaciones, entre otros cursos; para elaboración de preguntas en pruebas saber pro, en


didáctica de la Matemática o de la Física, en diseño de talleres y guías de estudio, en el manejo

de calculadoras, en enseñanza de las ciencias. Otros manifiestan que ese tipo de capacitaciones

debieran realizarlas en las UTS.

Los docentes aseguran que han participado en capacitaciones sobre didácticas pedagógicas,

pero cuando se les solicitó referenciar posibles autores en didáctica sobre los cuales se pueda

basar una clase de Precáclulo, la mayoría relacionó autores de la temática en general, sin ningún

tipo de metodología o estrategia, autores que hacen parte de la bibliografía del curso y son

exclusivamente cognitivos, y no en educación matemática, en didáctica, o en educación. Salvo

tres docentes que mencionaron la estrategia en la resolución de problemas planteada por George

Polya (1965) uno de los principales autores relacionados en este proyecto de investigación.

Ninguno menciona estrategias didácticas relacionadas con Ausubel, Piaget, constructivismo, o

Schonffeld en el planteamiento y resolución de problemas matemáticos. Algunos plantearon que

en aula se pueden realizar estrategias motivacionales y comportamentales. Se concluye que muy

pocos docentes han realizado experiencias con autores de didáctica en el campo de las

Matemáticas, principalmente en el planteamiento y resolución de problemas. A continuación

ilustramos en la figura 10 la declaración de un docente que asegura conocer e impartir en su aula

estrategias didácticas.

Figura 10. Declaración docente 1


Cuando los docentes abordan el tema de aplicaciones a la vida real y el contexto de la

ingeniería en la asignatura, prefieren la clase magistral, algunos aseguran el uso de las TIC.

Ellos expresan que resaltan los problemas del contexto según ciertas bibliografías basándose

principalmente en la parte cognitiva. Estos son algunos de los autores enunciados en Precálculo:

Edwin Purcell, Dennis G Zill o James Stewart. Estos libros en gran parte no vienen diseñados

para manejar el contexto de las UTS, porque son libros de índole internacional. Un docente

basado en su experiencia asegura desarrollar un esquema de trabajo aplicado a las necesidades y

al contexto de los estudiantes UTS. En general se determina que los docentes realizan un sistema

de trabajo muy tradicional basado en la clase magistral, en los textos y en los talleres, en algunos

casos apoyándolo con el uso de las TIC y pocos con el apoyo de estrategias didácticas que

resalten las fortalezas de la estrategia didáctica que caracteriza esta investigación, tal como se

evidencia en la figura 11.


Todos consideran que en su labor como docentes es importante realizar una preparación

continua. Consideran que es una labor diaria y sienten la necesidad de que las UTS incluyan

capacitaciones específicas como el uso de las TIC, sobre didácticas y prácticas pedagógicas en

el área de las matemáticas tal cómo se ilustra en la figura 12.



Se indagó con los docentes sobre los factores que según ellos resultan más influyentes en el

rendimiento académico de los estudiantes dejando como alternativas los presaberes y

conocimientos adquiridos, motivación e interés del estudiante, la motivación que el docente

induce en el estudiante, las prácticas pedagógicas, recursos o medios para realizar una clase, el

compromiso y la responsabilidad del estudiante.

Los docentes consideran que los factores que más influyen en el rendimiento académico de

los estudiantes son los presaberes, el compromiso y la responsabilidad del estudiante; en general

consideran que no son tan determinantes las prácticas pedagógicas y deja en un segundo plano la

parte motivacional docente estudiante y los recursos necesarios para dictar la clase.

Es importante recalcar que todos los factores son de alguna manera importantes y

determinantes. Pero cada actor lo juzga desde su posición, hasta el punto que los resultados

difieren entre docentes y estudiantes, mientras lo que para el docente es primordial para el buen


rendimiento académico del estudiante, el estudiante no lo considera fundamental y viceversa; por

ejemplo el estudiante considera que la motivación es importante, para el docente esta

componente es tal vez la última opción, y así de manera similar en casi todas las características.

A continuación, en la gráfica 18 se presenta la opinión de los docentes acerca del uso de las

componentes principales que resaltan este proyecto de aula en sus salones de clase, resaltando la

relación entre la característica con el número de docentes que consideran que la aplican en su

respectivo curso de Precálculo. Por ejemplo, en la componente de trabajo en equipo tenemos a 6

profesores que han seleccionado que sí la aplican en el transcurso de la asignatura, de tal manera

que los 8 restantes no la aplicaron en los cursos de Precálculo.

Figura 13. Componentes de la investigación que se perciben en el aula según los docentes


Los resultados indican que cerca del 50% de los docentes utilizan la mayoría de las

componentes en la asignatura al menos una vez durante el semestre; es un resultado bajo, ya

que se pregunta si usó la componente al menos en una clase a lo largo del semestre. La

componente del trabajo fuera del aula no registra profesores usando un espacio diferente al aula

de clase.

Comparando las declaraciones de los docentes con las de los estudiantes, se obtiene que los

profesores consideran que cada componente se está evidenciando en el desarrollo de la temática

dentro del aula y el estudiante estima que es mucho menos de lo que enuncia cada profesor,

principalmente en el uso de herramientas tecnológicas o didácticas, el planteamiento de

problemas en el contexto, y utilización de espacios diferentes al aula de clase.

3.3.3 Resultados del análisis documental a estudiantes

Se realizó un breve análisis de los textos universitarios al azar y se encontraron muchas

similitudes, en particular en el estilo de los ejercicios; en algunos casos, el manejo del

vocabulario no hace parte del contexto del estudiante, o algunas situaciones problemas que

posiblemente generan confusión, esta clase de ejercicios se replican constantemente en clase.

Aquí se citan algunas palabras o frases que podrían desorientar a los estudiantes en el momento

de desarrollar determinados problemas que son planteados en los libros estudiados: “ángulos de

depresión”: un tipo de ángulo que se usa en ciertos tipos de aplicaciones para realizar registros en

profundidades, “Teodolito”: instrumento que sirve para medir ángulos sobre terreno y para

dirigir visuales; velocidad relativa de un barco navegando en un río; concepto que proviene de la


asignatura de mecánica, materia que es posterior a Precáclulo”, “cinta métrica de agrimensor”,

“la ribera de un río” entre otros.

Por otro lado, se enfatiza demasiado en trabajar con ángulos expresados en grados, minutos

y segundos, que además incluyen conversiones, de tal manera que el ejercicio se centra más en

la conversión que a la interpretación del problema. En algunas oportunidades piden “solucionar

un triángulo dado”, lo que representa un enunciado incompleto para el estudiante, y en muchas

ocasiones el estudiante no sabe que representa ni sabe cómo abordarlo, porque simplemente no

comprende lo que se pregunta en el problema, en este contexto significa que el estudiante debe

determinar los ángulos internos del triángulo, la longitud de cada uno de sus catetos y la

hipotenusa, así como su perímetro y su área.

Se aplicó a los 60 estudiantes un test de seis ejercicios ver el anexo 3, para realizar un

análisis documental, este permitirá analizar las fortalezas y debilidades adquiridas en el tema de

unidades de longitud, área y volumen con los conceptos aprendidos en la asignatura de

Precálculo en las UTS.

Los problemas 1 y 3 son similares, el primero se encuentra expresado mediante una

redacción que no contiene representación gráfica, de tal manera que el estudiante debe

comprender lo que ha leído y luego debe realizar una representación gráfica, asignando

variables, datos y demás, para así llegar a una situación similar a la planteada en el tercer

ejercicio. El tercer ejercicio se plantea como una situación problema que s e representa mediante

un dibujo.


El análisis documental permitió establecer que es más difícil realizar el primer problema, en

que se presentó de forma redactada y sin representación. Todo estudiante que planteó

correctamente el primer ejercicio desarrolló adecuadamente el tercero. Pero esta situación no se

cumplió de manera inversa, porque muchos estudiantes que desarrollaron el tercer ejercicio no

pudieron desarrollar el primero, cerca de la mitad de los estudiantes no comprendieron la

situación problema al punto que dejaron en blanco ese enunciado. Corroborando que muchas

veces la dificultad no se encuentra en que el estudiante desconozca la temática, sino lo que se le

dificulta es interpretar ese tipo de problema asociados a la vida real que se presenta de forma

redactada, ya que muchas veces contienen situaciones o términos desconocidos para él. Por lo

tanto este documento motiva a trabajar aspectos como: la representación, el manejo del contexto

del estudiante y de su propio entorno y hasta cierto punto en el lenguaje propio del estudiante.

(Santos, 2010) evidenció esta situación resaltando que “parece que los estudiantes muestran una

dualidad en el análisis de relaciones que matemáticamente son equivalentes. Sus experiencias

previas parecen delinear sus formas de razonar o explicar la diversas relaciones”

El segundo problema evidenció, la dificultad que posee el estudiante para comprender

lecturas, situación que lo lleva a realizar apreciaciones equivocadas del problema, esto implica

todo un procedimiento de desarrollo erróneo. En otro aspecto importante, la falta de conexión

por parte del estudiante entre el problema y el mundo real, tanto que algunos plantean

situaciones que pueden ser ilógicas, pero que pueden funcionar sobre el papel. Situaciones que

son ignoradas, hasta el punto de continuar con el planteamiento del problema y en ciertas

ocasiones llegando a alguna respuesta, por supuesto una que es falsa. En este caso se presentaron

las siguientes situaciones:


Algunas dificultades que se evidenciaron en el problema 2 por la comprensión del problema,

se presentan a continuación: En primera instancia el 31% de los estudiantes no planteó nada

referente al problema, esto deja como indicador que no entendieron la situación planteada y solo

un 6% lo planteó correctamente. En segunda instancia se interpretó mal el enunciado hasta el

punto de desarrollar un problema diferente al que se propuso, tomamos de ejemplo las siguientes

situaciones:

a) Considerar que el chivo se encontraba pastando en el interior de la granja mientras que el

problema dice: “El chivo puede pastar en cualquier lugar fuera del establo hasta donde

la cuerda alcance”, interpretación que cambia totalmente el problema, tal como se ilustra

en la figura 14; el 43 % de los estudiantes que realizaron el test de alguna forma

interpretaron equivocadamente el problema.

Figura 14. Dificultad en la interpretación del enunciado

b) El manejo equivocado en las escalas de medida, alterando la situación que busca

plantear el problema y en algunas ocasiones dando lugar a situaciones ilógicas, tal como

se evidencia en la figura 15, pues representa equivocadamente las dimensiones,

evidenciando que es más corta la cuerda de los 25 metros que los lados de la granja


cuyas dimensiones son 10 metros de ancho y 20 de largo, situación que según

Arquímedes es absurda.

Figura 15. Dificultad en el manejo de escalas

c) El considerar que la cuerda que sujetaba al chivo se encontraba situada en un punto

exterior cualquiera de la granja, mientras que el problema dice: “Un granjero amarra un

chivo en la esquina exterior de un establo de 10 por 20 metros.”, interpretación que

cambia totalmente el problema hasta el punto de que la granja no influiría en el área que

pueda abarcar el chivo, tal como se ilustra en la figura 16.

Figura 16. Dificultad en la interpretación del enunciado y el manejo de las escalas


d) El Manejo equivocado de la relación entre el círculo y el rectángulo, considerando que el

rectángulo no afecta el recorrido del círculo, por lo tanto consideran que el círculo

completa su trayectoria, situación que es imposible en la realidad debido a que la cuerda

que delimita el círculo llegará hasta donde las paredes de la granja (del rectángulo) lo

permitan, tal como se evidencia en la figura 17. Además se evidencia la falta de

argumentos para determinar si ese círculo cubre todo el rectángulo, análisis que sería

muy importante en el caso de que la situación expuesta fuera verdadera, y que se podría

resolver mediante el teorema de Pitágoras, en la figura 10 se evidencian dos situaciones

en una se considera que el círculo sobrepasa el rectángulo y en la otra no.

Figura 17. Dificultad en la interpretación de la relación del círculo y rectángulo

e) La falta de consideración de los límites o extremos del problema, en el momento de

evaluar hasta dónde puede llegar el chivo. La figura 18 ilustra que el estudiante maneja

bien sus escalas y comprende muy bien la relación entre el círculo y el rectángulo, pero

despreció los límites hasta dónde puede llegar el chivo, porque faltó analizar los

extremos de arriba y de la derecha. En el extremo superior quedan 15 metros de cuerda

que el chivo puede seguir utilizando para formar otro semicírculo y en el extremo de la


derecha queda otros 5 metros de cuerda que el chivo puede usar para formar otra área

semicircular, 12% de los estudiantes incurrieron en este error.

Figura 18. Dificultad en la delimitación del problema

En el problema 4 se evidenció dificultades de interpretación en el enunciado, lo que provocó

fallas en la representación y en el registro de algunos de los datos suministrados. Cerca del

36,6% de los estudiantes que realizaron la prueba cometieron ese error, ubicaron los datos en

lugares que no corresponden, tal como se evidencia en la figura 12, en este caso el estudiante

equivocadamente plantea los dos metros entre la base de la escalera y el muro, pero realmente

son una parte de la escalera.

Un error muy común y que definitivamente conlleva a desarrollar un problema diferente al

planteado se presentó en aquellos estudiantes que recostaron la escalera sobre la pared, mientras

que el problema dice: “el extremo de la escalera queda 2 metros más allá del muro”, el 45% de

los estudiantes registraron ese error.

También se evidenció mal manejo en las escalas, aunque en este problema no es tan notorio

manejar equivocadamente las escalas, situación notoria en la figura 19.


Una cifra considerable del 13,3% de los estudiantes se equivocó en el planteamiento del

problema porque consideraron que la gráfica no era importante para la solución del mismo.

Figura 19. Dificultad en la ubicación de los datos, las incógnitas y la comprensión del problema

Para desarrollar el ejercicio 5 se debe establecer una relación entre los conceptos de área y

volumen, inicialmente se hace referencia a un cubo que se transforma en una caja rectangular

como producto de rebanar un lado del cubo. En el análisis del test documental se determinaron

algunas dificultades tales como: El 55% de los estudiantes no diferencia claramente los

conceptos de área y volumen, así como sus relaciones.

En repetidas oportunidades asignan nombres que no corresponden a la unidad de medida o a

la figura geométrica que están analizando, esta situación permite exponer al estudiante a cometer

errores que son principalmente conceptuales. Equivocadamente le llaman cubo a cualquier tipo

de caja rectangular, a un rectángulo lo llaman cuadrado, a una longitud la llaman diámetro, entre

otros. Un estudiante responde textualmente que al cortar la rebanada del cubo de 1 cm de espesor

“quedan cubos pero la rebanada que se corta es de menor ancho”; la situación planteada por el

estudiante es cierta, pero en este caso el estudiante sabe que la figura no es un cubo, aunque lo


llama cubo. Él sabe que con esas características la figura ya no representa un cubo pero

desconoce el nombre de la nueva figura y lo describe para aclarar que no es un cubo, en este caso

es una caja rectangular. El uso de definiciones equivocadas o inapropiadas provoca que se

interprete de otra forma el problema.

La relación que más conocen los estudiantes es la del volumen de un cubo que equivale al

lado del cubo elevado a la 3 y el área de un cuadrado como uno de sus lados elevado a la 2, pero

desconocen claramente otros tipos de volúmenes, como el de una caja rectangular, que es similar

al volumen de un cubo.

Se encontró que hay dificultades en la interpretación algebraica respecto al concepto de área

y volumen, teniendo en cuenta por ejemplo que: si x es la representación de una longitud,

entonces x2 representa un área cuadrada de lado x, y x

3 representa un volumen de un cubo de

lado x. En la figura 20 se plantean algunos errores cometidos entre la conexión algebraica y de

los conceptos de área y volumen.

Se encontró mayor dificultad, el 70% de los estudiantes tuvieron dificultades para analizar el

ejercicio 5 debido a la comprensión de lectura. En la mayoría de casos no lograron ni la

representación de la situación problema, por otro lado en el ejercicio 6 se plantea la

representación gráfica y se encuentra que varios estudiantes plantearon y resolvieron el ejercicio.

De tal manera que los estudiantes desarrollan con mayor facilidad e interpretación ejercicios que

exponen una situación problema.


Figura 20. Dificultad en la relación algebraica y los conceptos de longitud, área y volumen

En la figura 21 el estudiante en la parte superior derecha establece que x es el área de 340

dm2 y luego en la gráfica establece equivocadamente para las áreas de los otros cuadrados como

x2, x

4, x

6, manifestando una dificultad para establecer una relación entre las relaciones

algebraicas y los conceptos de longitud, área y volumen, en este caso por ejemplo el término x2

representa una relación en unidades de dm4 lo que no representa ni una medida de longitud, ni de

área, ni de volumen, así con los términos x4 y x

6.

Figura 21. Dificultad en la relación algebraica y los conceptos de longitud, área y volumen


En la figura 21 ilustra un estudiante que tiene la dificultad para establecer relaciones

algebraicas con los conceptos de unidades de medida, en esta oportunidad desea plantear una

relación de áreas pero termina planteando una suma de longitudes de los cuadrados con un área,

esa igualdad es falsa, porque la letra x representa una unidad de longitud y 170 equivale a un

área.

Por todas esas razones expuestas desde los docentes, estudiantes y desde el análisis del test

documental, es pertinente aplicar proyectos de aula que incluyan fortalecimientos de la

comunicación entre los actores de manera individual y grupal, así como fomentar el trabajo en

equipo y crear situaciones que sean parte del contexto del estudiante en las UTS, hasta propiciar

la creación de sus propios problemas, así como el uso de herramientas de trabajo y espacios

diferentes a los tradicionales. A continuación se exponen algunas de las razones por las que se

debe realizar el proyecto de aula.

3.3.4 Conclusiones e inferencias del diagnóstico.

Todos los estudiantes reconocen la importancia de las matemáticas en sus carreras y en

la vida diaria, aunque muchos no tienen claro por qué es importante y de igual forma no

la han usado en sus vidas o en sus carreras de pregrado, en la mayoría de casos la

emplean en situaciones de comercio y estadística. Algunos estudiantes consideran que

son importantes pero no necesarias en sus carreras.

Desde el punto de vista de los estudiantes, para lograr un mejor rendimiento académico

se encuentra la motivación individual y la motivación ejercida por el profesor por


encima de los presaberes y de los conocimientos adquiridos durante el curso, del

compromiso y la responsabilidad del mismo. Es por eso que se necesitan realizar

estrategias didácticas que permitan fortalecer la comunicación e involucrar más al

estudiante en la adquisición del conocimiento.

Se concluyó en que gran parte de los estudiantes nunca han evidenciado en el transcurso

de la asignatura Precálculo, algunas de las componentes que sugiere los Estándares y

Principios de la educación Matemática (2001), principalmente en el trabajo en espacios

diferentes al aula, desarrollos del problemas en el contexto de las UTS y el uso de

herramientas didácticas que sirven como apoyo a la temática.

Se determinó que los docentes de Precálculo de las UTS poseen gran experiencia como

docentes de educación media y superior; que han realizado cursos de capacitación con el

objetivo de lograr mejores prácticas docentes. Consideran que deben ser capacitados en

didácticas y en las TIC. La mayoría desconoce los trabajos de autores en didáctica y

estrategias pedagógicas principalmente en el planteamiento y resolución de problemas.

Se considera que la estrategia didáctica es viable porque los estudiantes expresan que

necesitan motivación por parte del profesor en su rol de docente y que se requiere del

uso de otros recursos y medios diferentes a la clase magistral. También los docentes

posiblemente desconocen la percepción que tiene el estudiante y por lo tanto consideran

que solo dependen de sus presaberes, conocimientos y de su responsabilidad.

Si los problemas planteados en el test se realizan como un trabajo de campo, donde usen

la escalera y el muro, o una cuerda y un terreno rectangular e instrumentos de medición

como una cinta métrica u otras herramientas, posiblemente no se evidenciarían todos los

hallazgos encontrados en esta investigación. En algunos casos el trabajo cooperativo


permitiría que algunos de los integrantes manifestaran estos hallazgos durante el

planteamiento, antes de llegar a la solución y el resto de sus integrantes del grupo

inmediatamente los analizaría para determinar su veracidad. Luego el estudiante

adquiere mayores capacidades para enfrentarse ante diferentes situaciones problemas de

longitud, área y volumen.

Ante el planteamiento de problemas ajustados a esta estrategia didáctica el MEN recomienda

que

“es importante abordar problemas abiertos donde sea posible encontrar múltiples soluciones

o ninguna. También es muy productivo experimentar con problemas a los cuales les sobre o

les falte información, con enunciados narrativos o incompletos, para los que los estudiantes

mismos tengan que formular las preguntas. El estudio y análisis de situaciones problema

suficientemente complejas y atractivas en las que los estudiantes mismos inventen, formulen

y resuelvan problemas matemáticos, es clave para el desarrollo del pensamiento matemático

en sus diversas formas”.


4. Estrategia didáctica

4.1. Objetivos

4.1.1 Objetivo general.

Fortalecer el desarrollo de los procesos de planteamiento y resolución de problemas de

longitud, área y volumen, a base de la comunicación, del trabajo cooperativo y con el apoyo de

una herramienta didáctica.

4.1.2 Objetivos específicos.

Implementar un equipo electrónico innovador como soporte didáctico en los procesos

cognoscitivos de la matemática.

Estimular el trabajo fuera del aula a través de un instrumento digital como una

herramienta didáctica para el fortalecimiento del trabajo cooperativo, de la comunicación

y en el planteamiento de problemas en unidades de medida.

Inducir al planteamiento de situaciones problemas en unidades de longitud, área y

volumen basadas en el contexto del estudiante y en la creación de problemas propios.

Incentivar el uso de los cuatro pasos y de las preguntas orientadoras para fortalecer los

procesos para plantear y desarrollar problemas en unidades de longitud, área y volumen.


4.2 Indicadores

Seleccionar las condiciones apropiadas para crear un problema sobre longitud, área, o

volumen.

Construye el problema matemático basado en el trabajo cooperativo, la comunicación y

las representaciones matemáticas.

Formula y resuelve el problema evidenciando los cuatro pasos propuestos y las preguntas

orientadoras de Polya para el planteamiento y resolución de problemas.

4.3Fundamentación para el docente

Nos proponemos exponer las recomendaciones principales que deben tener en cuenta los

docentes que desean implementar esta estrategia didáctica usando el instrumento digital en el

planteamiento de problemas en longitud, área y volumen; en primera instancia se recomienda

que el docente consulte primero sobre los bloqueos y desbloqueos establecidos por De Guzmán

(1992); segundo sobre autores en planteamiento y resolución de problemas como son Polya

(1965) y sus cuatro etapas para el planteamiento de problemas matemáticos, complementándolo

con el método IDEAL de Brainford. Es importante el apoyo que brinda Schoenfeld (1985) con

sus ideas de cognición, metacognición, recursos y el sistema de creencias que poseen los

estudiantes y los mismos docentes. Finalmente considerar el trabajo de Santos Trillos quien

plantea estrategias heurísticas en la construcción de situaciones problema. En último lugar es

importante recalcar el ambiente de aprendizaje constructivista de Hernández y el trabajo


cooperativo de Johnson y Johnson; sin dejar de lado los lineamientos en educación matemática

que da el MEN sobre los procesos de comunicación y planteamiento de problemas.

Se recomienda analizar este trabajo de investigación porque acá encontrará indicaciones,

características y recomendaciones en la construcción e implementación de la herramienta digital;

debemos hacer notar que se incluye de manera alternativa una versión casera de la herramienta

didáctica.

4.4 Recomendaciones metodológicas

Esta estrategia didáctica se encuentra diseñada para cubrir los temas: Longitud, área,

volumen, razones trigonométricas, teorema de Pitágoras, ley de senos y de cosenos, temáticas de

la asignatura de Precálculo que se imparte en las UTS, para los que son necesarios medidas

longitudinales y angulares, como herramienta didáctica en esta investigación se diseñó un

instrumento digital que sirve como apoyo al proceso del planteamiento en problemas. El

instrumento del cual surgió la idea es el teodolito, aunque es un instrumento con varias

modificaciones además de que será usado con otros fines, con fines pedagógicos.

4.4.1 Instrumento digital

Es un instrumento electrónico cuya finalidad es registrar medidas angulares y de longitud;

es diseñado y construido por los ingenieros electrónicos autores de este proyecto de

investigación. Este dispositivo sirve para realizar la función de un goniómetro adicionándole la


de una cinta métrica. Además optimiza el tiempo de la práctica pedagógica porque se reduce el

tiempo necesario para medir los datos; y en consecuencia se dispone de más tiempo para realizar

otras actividades como formular más preguntas o tal vez para enfatizar en la parte conceptual.

El instrumento digital a través de unos sensores puede registrar las medidas angulares y

longitudinales apoyados con una mira telescópica y con un láser que sirve para indicar

posiciones de referencia, tal como se detalla en la figura 22 estas condiciones son necesarias para

dar solución a las situaciones problema que se plantean. Finalmente la información registrada es

visualizada en la caja de información de datos que se ilustra en la figura 23, en la que visualizará

al usuario o estudiante el ángulo registrado entre el plano horizontal o suelo y la línea que

proyecta con la mira telescópica y el láser indicador, además registra la distancia horizontal; se

incluye a manera de corroboración y retroalimentación la distancia vertical y la hipotenusa.

Figura 22. Instrumento digital


De otra parte, se logra el interés y la admiración de la comunidad académica hacia el

instrumento electrónico por su uso y su alcance. Así, se abre una puerta sobre las aplicaciones de

la ingeniería electrónica hacia la pedagogía y la didáctica, que puede ser tan significativa como

las TIC y los simuladores. Sin afectar el espacio ganado de las TIC en la educación,

funcionarían como diferentes ramas y no se afectarían entre sí; por el contrario, enriquecerían la

educación generando otras alternativas pedagógicas.

Figura 23. Caja de información de datos

4.4.2 Alcances y limitaciones de la estrategia didáctica

Los materiales y recursos que serán usados para completar el objetivo de la didáctica son: un

instrumento digital o en dado caso un teodolito casero y una cinta métrica. En el peor de los

casos se puede construir uno con un transportador, hilo y un pitillo.


El fin del instrumento didáctico es pedagógico de esta manera los datos que se registren con

el instrumento poseen cierto porcentaje de error que es considerable para otro tipo de práctica no

pedagógica. También se resalta bajo el mismo criterio que el instrumento no cubre grandes

distancias, cubre un valor cercano a los 80 metros de longitud.

Esta estrategia didáctica debe realizarse al aire libre, con objetos cuyas distancias se puedan

registrar o medir; además se debe tener en cuenta que el espacio debe ser lo suficientemente

amplio para que los equipos no trabajen en los mismos puntos de tal manera que no se afecten

entre sí.

Otro factor importante son las condiciones climáticas, la actividad debe realizarse sin lluvia

o sin fuertes vientos que puedan afectar los resultados de la estrategia didáctica, así como la

salud de los participantes y por otro lado al instrumento digital, ya que no es a prueba de agua.

Es importante, aunque no obligatorio que destine un instrumento digital por cada 3

estudiantes debido a las funciones del equipo colaborativo que se propone. Es importante

observar si el grupo de trabajo tiene en cuenta la altura del equipo de medición en sus resultados,

porque despreciarla incluye un error de 160 cm en los cálculos.

Su éxito es directamente proporcional a la continuidad de uso y a la relación que se pueda

hacer respecto a otras asignaturas y/o temas. Las unidades de medida como la longitud,

perímetro, área y volumen son conceptos cuyos aprendizajes no se pueden reducir en una sola


materia del semestre; al tratar nuevos contenidos, será necesario retomarlos. Inclusive en otras

materias.

4.4.3 Guía didáctica

A continuación se exponen los pasos e indicaciones alternativas para desarrollar la

estrategia didáctica, tenga en cuenta que es una estrategia que el docente puede ajustar o

modificar según su criterio o necesidad. En los primeros diez minutos de la sesión, el profesor da

a conocer el propósito y los objetivos de la clase, presenta el instrumento digital y da

indicaciones sobre su funcionamiento y operatividad incluyendo algunas restricciones y

precauciones en su uso.

En los siguientes diez minutos se forman grupos de tres estudiantes, cada equipo debe tener

su propio instrumento digital. En caso de no disponer de suficientes instrumentos digitales, los

distintos grupos deberán organizarse teniendo en cuenta los equipos que estén disponibles.

Se entrega la guía metodológica que detalla la parte procedimental y conceptual que lo

guiará inicialmente en la construcción de uno o más problemas planteados por el docente y

posteriormente el equipo de estudiantes construye al menos un problema inventado en su propio

contexto.

Entre los tres integrantes del equipo se asignan los roles para el desarrollo de la estrategia

didáctica; un operario, un notario y un portavoz. El operario del grupo debe responder por el


instrumento electrónico y se encarga de manejar el instrumento digital para obtener las medidas

angulares y de longitud. El notario se encarga de seguir las instrucciones de la guía

metodológica; además debe dar a conocer los pasos a realizar y posteriormente del desarrollo de

la guía con la ayuda del equipo de estudiantes. El portavoz es el encargado de realizar un puente

comunicación entre los tres integrantes y corroborar la información que presentan sus dos

compañeros. Es importante recalcar que el trabajo de cada integrante no debe limitarse solo a su

función específica, sino, que todo el tiempo debe mantener una postura activa, reflexiva y

analítica, teniendo en cuenta que los resultados obtenidos sean lo más lógico posible y acordes a

la realidad.

Los estudiantes se fijarán en el lugar de realización de las prácticas y buscarán puntos

inaccesibles. Se realizarán al menos 3 situaciones problema. La sesión estará centrada en el

cálculo de distancias, áreas y volúmenes y en algunos casos inaccesibles por medición directa.

La situación problema se desarrolla por medio de registros de ángulos y longitudes y en algunos

casos se aplica la resolución de triángulos rectángulos a través del método de “doble medición”.

Varias de las preguntas orientadoras planteadas en la estrategia didáctica, no cobran mayor

sentido en este contexto, parecen innecesarias, pero se encuentra diseñada como un esquema

prototipo ante cualquier problema, de tal manera, que en otros problemas si aplican y lleva al

estudiante a tomar otro tipo de postura de reflexión y análisis ante las diferentes situaciones,

inclusive en algunas que no pertenecen al campo de las matemáticas. La plantilla guía de trabajo

para desarrollar problemas de manera autónoma basada en las preguntas orientadoras de Polya

(1965) se encuentran en el anexo 6.


La estrategia didáctica se plantea para el curso de Precálculo que se imparte en las UTS, en

primera instancia abarca un corte del semestre que se puede realizar como una actividad o se

puede dividir en varias actividades dependiendo del criterio del docente. En este proyecto se va a

presentar como un ejemplo problema que se puede aplicar por tema; los temas propuestos para la

estrategia didáctica son: Teorema de Pitágoras, Razones Trigonométricas, Ley de senos, Ley de

cosenos, aplicaciones de Longitud, Área y el Volumen que se pueden extender en otros cursos

como aplicaciones de las funciones.

El primer problema es sencillo para un experto en el área, pero debemos tener en cuenta que,

apenas se está iniciando con este tipo de metodología y no solo es adaptarse a la temática sino al

mecanismo de la metodología. Para desarrollar este problema es pertinente un espacio alrededor

de 30 minutos.

Una vez que los estudiantes realizan la lectura del problema, se les ayuda a comprenderlo

mejor. En primer lugar, se busca que el grupo de estudiantes lo describan mediante sus palabras,

en otros problemas planteados esta etapa será muy útil para reducir su complejidad, esta etapa es

importantísima porque si el estudiante no comprende el problema no podrá solucionarlo.

En segundo lugar, el equipo de trabajo debe clasificar la información del problema según los

“datos” que este ofrece y resaltar lo que se pregunta, “la incógnita”. Con esta información se

puede asumir que se comprende el problema. En algunos casos, en esta etapa muchos

estudiantes entregan la hoja en blanco porque no la pueden superar. También se indaga sobre las

posibles variables que posee el problema, invitando al grupo a recordar que es una variable y a


diferenciarlo con los datos. El docente puede intervenir en esta etapa. En este enunciado no hay

ninguna variable, pero se indaga para tenerlo en cuenta en la solución de otras situaciones

problema.

Temática 1: Razones Trigonométricas

Se puede aplicar en situaciones problema que describan un triángulo rectángulo; a través del

instrumento digital podemos registrar longitudes o ángulos para determinar mediante la parte

cognitiva un ángulo o una longitud dado el caso.

Ejemplo 1: Calcular la altura del edificio B.

Los integrantes del equipo deben escoger un árbol (o un edificio pequeño). El operario debe

ubicarse en el punto cualquiera frente al edificio; ahora usando el instrumento digital debe medir

la longitud de la distancia horizontal entre el instrumento y la base del edificio p árbol; luego,

debe medir el ángulo de elevación que se registra entre la horizontal y la cima del edificio. Las

medidas que se registran en la gráfica de color blanco son las registradas por el instrumento

digital y a partir de ahí se calcula la altura del edificio indicada con la línea de color rojo.


Figura 24. Problema de ejemplo 1

Esta no es la única manera de calcular la altura usando identidades trigonométricas, también

podemos registrar el ángulo y la distancia entre el instrumento digital y la cima del edificio con

el instrumento digital. Para desarrollar el problema se plantean una serie de preguntas

orientadoras según la teoría de Polya (1965) que se han ajustado a este problema y que le

permitirá al grupo realizar un proceso de reflexión y análisis de manera individual y grupal. Estas

preguntas orientadoras sirven para la estrategia didáctica en general. La plantilla completa de

trabajo basado en las preguntas orientadoras para el problema del ejemplo 1 se encuentra en el

anexo 5.


Los integrantes del equipo deben escoger un árbol (o un edificio pequeño) en el lugar

donde se piensa realizar la práctica para así calcular su altura. El operario debe ubicarse en

el punto alejado del edificio entre 20 o 30 metros del edificio y tomar los registros de

ángulos o longitudes que considere necesarios para calcular la altura

Describa con sus palabras la situación problema que debe desarrollar:

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

Pregunta Solución

¿Cuáles son los datos del problema?

¿Cuáles son las variables del problema?

¿Cuáles son las incógnitas del problema?

Luego solicitamos que el estudiante plantee la situación problema y antes que nada debe

establecer la incógnita sin realizar ningún procedimiento en concreto; puede realizarlo por

tanteo, aproximación, silogismos o algo de lógica; esto le da solidez y credibilidad al proceso

que realiza el grupo. Preferiblemente se registran los resultados en la rejilla de manera

individual.

Mediante una aproximación y sin realizar ningún

cálculo ¿Cuál considera que es la altura del edificio?

Ahora bien, el grupo debe realizar una representación gráfica que contiene todos los datos e

incógnitas, y en otros casos debe ubicar variables. El grupo debe mantener una postura lógica y

reflexiva tanto en la construcción de la gráfica como en las preguntas siguientes que solicitan

asociar y contrastar la información con el fin de establecer, si la información proporcionada en el

problema es suficiente y coherente. Si algún integrante nota alguna anomalía debe manifestarlo

al equipo, lo que permitirá demostrar la veracidad o falsedad de lo expuesto por el estudiante, si


persisten las dudas se solicita el apoyo del docente. La serie de preguntas establecidas en esta

sección no cobran tanta importancia como lo hacen en otro tipo de problemas.

Se le sugiere al estudiante manejar la proporción en el dibujo realizado, porque en algunos

casos la desproporción en el dibujo permite lograr confusiones y en otros casos realizar

observaciones equivocadas que llevan al estudiante a no plantear correctamente el problema

(Arbeláez, 2002).

Realice un dibujo que represente el problema

planteado, luego registre los datos, incógnitas y

variables. Tenga en cuenta que es ideal mantener las

proporciones en el dibujo y que no es obligatorio

sujetarse a una escala rigurosa.

Posteriormente en la etapa de diseño de un plan para darle solución al problema y cumplir

con este objetivo, se invita al grupo a reflexionar sobre la información impartida en el problema.

Posiblemente cada uno realiza un esquema mental de solución y luego con la información que le

brinda la situación irán realizando un análisis donde van encontrando las siguientes opciones

que la información le brinda; el problema es suficiente para desarrollarlo, insuficiente para

desarrollarlo, falta información pero se pueden encontrar a través de algunos conceptos, es

absurda o incoherente, tiene múltiples soluciones. Posteriormente el equipo debatirá sus ideas y

seguramente expondrán su alternativa de solución llegando a similitudes y contrariedades que los

invita a dar justificaciones. Inmediatamente se pregunta si se ha resuelto un ejercicio similar o

igual que permita realizar la situación problema de manera más sencilla o que les pueda brindar

alternativas de solución y asociaciones entre conceptos.


¿Las condiciones y datos son suficiente para

determinar la incógnita? ¿La información que

tenemos es suficiente? ¿Es redundante? ¿Es

contradictoria?

¿Alguna vez se ha encontrado con un problema

semejante? Describa cual.

En la siguiente etapa tenemos la ejecución del plan para realizar el objetivo. En este caso es

encontrar la incógnita; realizamos los cálculos estimados, y una vez encontramos la altura del

edificio, la comparamos con el valor que habíamos estimado. El objetivo de esta situación es

permitir que el grupo reflexione sobre su resultado y lo constate y lo contraste con la realidad.

Esto le permite realizar un mejor vínculo con los conceptos. Finalmente en caso de obtener un

resultado similar a la altura del edificio aproximada, encuentran una satisfacción personal y

grupal.

En caso de obtener una gran diferencia en su resultado, revisan el procedimiento hasta

encontrar el fallo que puede ser en el valor calculado o en el aproximado. Al final invita a

encontrar otras alternativas de solución, lo que permite analizar desde otro punto de vista y bajo

otros conceptos la solución; como puede ser plantear el teorema de Pitágoras y usar el

instrumento digital para determinar registrar medidas de longitud.

Calcule el valor de la altura del edificio.

Compare el valor aproximado de la altura del edificio

con el valor que se determinó para la altura ¿Qué

conclusión se obtiene a partir de los dos resultados?

¿Puede usted verificar el resultado? ¿Puede obtener el

resultado en forma diferente?


Se puede retomar el primer ejemplo; pero bajo la suposición de que se avería el

instrumento digital, de tal manera que el estudiante no puede obtener medidas longitudinales y

no cuenta con cintra métrica. Para dar solución en este caso; deben elegir unidades medida como:

pasos, una varilla, un palo, palmas de la mano. Finalmente deben comprender que la unidad no

es tan importante, debido a que luego se puede realizar conversiones para pasar a la unidad de

medida requerida, pese a que no importa, algunas se ajustan de mejor forma dependiendo de la

situación problema.

Suponiendo que el instrumento sufre un daño, de tal

manera que solo puede registrar ángulos ¿Qué harías

para determinar la altura del edificio? Calcule la altura

del edificio

Dada la nueva altura del edificio, encuentre su valor

equivalente en metros y compárelo con las otras

alturas obtenidas

Ejemplo 2: Calcular la altura del edificio B, ubicando el instrumento digital en el cuarto

piso del edificio A (edificio paralelo al edificio B).

Es un ejercicio similar al primer ejemplo pero es más complejo para el estudiante, requiere

exponer sus habilidades cognoscitivas en un proceso de reflexión. Además le permitirá

corroborar sus resultados anteriores.



Ejemplo 3: Encontrar la cometa que vuela más alto en un festival de cometas.

Es un ejercicio similar al primer ejemplo, pero con una estrategia totalmente diferente, más

dinámica y se requiere mayor precisión, es mucho más complicado obtener resultados acertados.

Además se puede aclarar que la cometa que se le ha soltado más cuerda no necesariamente es la

que vuela más alto.

Temática 2: Teorema de Pitágoras

El objetivo es desarrollar situaciones problema descritas por triángulos rectángulos en los

que con el instrumento digital toma dos longitudes y requiere calcular la otra longitud del

triángulo.


Se puede retomar el primer ejemplo; pero bajo la suposición que se avería el instrumento

digital, de tal manera que el estudiante no puede obtener medidas angulares.

Suponiendo que el instrumento sufre un daño ¿Qué

harías para determinar la altura del edificio? Calcule

la altura del edificio

Temática 3: Área

Se pueden afrontar situaciones problema que describen áreas principalmente de figuras

regulares como rectángulos, cuadrados, círculos, triángulos; el instrumento digital ayuda a tomar

los registros de sus longitudes.

Ejemplo 4: Los integrantes del equipo deben escoger la pared de un edificio cualquiera, se

desea pintarla de color azul. Sabiendo que cada galón de pintura alcanza para pintar 27 pies2 de

pared ¿cuántos galones de pintura deben comprarse para pintar toda la pared?

Para resolver el problema es necesario usar primero el concepto de área de un rectángulo

dependiendo de la forma de la pared que van a pintar y luego se usa una regla de tres

relacionando la cantidad de metros cuadrados pintados con un galón de pintura. La figura 26

relaciona gráficamente la situación planteada, el marco de color rojo representa la posible área

que deseamos determinar para encontrar el número de galones de pintura que son necesarios para

pintarla; las indicaciones de color blanco son los registros que se pueden tomar con el

instrumento electrónico y que son necesarios para plantear dar solución al problema.



Ejemplo 5: El conjunto residencial llamado plaza mayor o el también conocido como la

ciudadela constituye de un área urbana diferente a la tradicional, contiene una región urbana

circular y cuyo centro es un espacio público. Encuentre:

a) El área que cubre la zona urbana del conjunto plaza mayor.

b) El área que cubre el espacio público en el conjunto de plaza mayor.

c) Encuentre el área total del conjunto de plaza mayor.

d) Si el diseño urbano aplicado es viable en las condiciones que se establecen en el siglo

XXI, o existe un modelo más óptimo, describir ventajas y desventajas de un conjunto

residencial en forma de círculo.

El grupo de estudiantes se ubicará en el centro de plaza mayor y con el instrumento digital

registrarán un radio mayor y un radio menor, con el concepto de área de un círculo puede


determinar cada una de las regiones. El área urbana resulta de la diferencia de área entre el

círculo grande y el pequeño.

Respecto a la distribución de la zona urbana, resulta menos viable debido al efecto de curva

que impone el conjunto. Es más difícil establecer lugares comerciales en la plaza; todas las vías

que llegan a esa zona deben ser mediante curvas, perdiendo el sentido de calles y carreras; la

zona urbana también se hace curva, es más difícil orientase en puntos de entrada y salida del

conjunto. Siguiendo las pautas de este siglo en el cuál tenemos una población en aumento y que

exige alternativas de buena movilidad principalmente vehicular se puede concluir que no resulta

viable un diseño arquitectónico de este estilo.



Ejemplo 6: responda las siguientes preguntas sobre el patinodromo adjunto a las UTS.

a) ¿Cuál es el área del escenario deportivo?

b) ¿Cuál es el área de la pista de patinaje?

c) ¿Cuál es la proporción entre la zona de línea recta y la de zona curva?

d) Encuentre el peralte de la zona curva de la pista de patinaje

e) Cumple con las dimensiones que posee una pista profesional

f) en ese espacio podría ajustar la pista para convertirla en una pista de patinaje profesional

g) Las UTS tiene espacio suficiente para construir un patinodromo de estas dimensiones.


En este problema se relacionan conceptos de área de varias secciones, al igual que

longitudes o inclinaciones de los peraltes, comparación entre áreas, resulta un problema muy

completo para el estudiante.


Temática 4: Volumen

Son varias las aplicaciones a nivel industrial que pueden plantearse cobijados en esta

estrategia didáctica, pasando por tanques, almacenadores, contenedores, hornos y de los cuáles es

importante estudiar su presión, temperatura y para este caso su volumen.

Ejemplo 7: Obtener el volumen del tanque en forma de cilindro.


Usando el instrumento digital puede encontrar el radio y su longitud, para luego calcular el

volumen. También puede ubicarse otros tipos de tanques.

Temática 5: Ley de senos.

Es posible plantear situaciones que incluyen triángulos, en esta temática cuando se pueden

registrar dos ángulos y una longitud para determinar otra de las longitudes del triángulo o para

determinar un ángulo si se dispone de otro ángulo del triángulo y dos de sus lados.


Ejemplo 8: Calcular la longitud entre las bases de las palmeras, ubicando el instrumento

digital en un segundo piso del edificio B.


El grupo de estudiantes se pueden ubicar desde un piso superior y calcular la longitud

horizontal representada de color rojo, para cumplir ese fin el estudiante deben tomar los registros

señalados de color blanco y plantear la ley de senos para cumplir el objetivo principal o construir

dos triángulos rectángulos lo que lo hace un poco más complejo.

Se puede aplicar como otro problema comprobar su distancia, desplazando el instrumento a

otro piso superior y de ese punto realizar las mediciones con el instrumento digital, y si se desea

esta vez aplicando Ley de cosenos.


Temática 6: Ley de cosenos

Es posible plantear situaciones que incluyen triángulos, en esta temática cuando se pueden

registrar tres lados del triángulo y se desea conocer uno de sus ángulos o si se conocen dos lados

y un ángulo del triángulo y se posee como incógnita el otro lado del triángulo.

Ejemplo 9: Calcular la altura del domo que sobresale en el edificio A.


Es un ejercicio un poco complejo pero se puede abordar desde varios caminos heurísticas, en

este caso se solicita que implemente la ley de cosenos registrando con el instrumento digital dos

lados y un ángulo para calcular la distancia en altura que posee el domo.


Para finalizar la práctica pedagógica, el equipo de estudiantes usa la plantilla de

planteamiento de problemas; con la responsabilidad de inventar o construir su propio problema

según su interés, curiosidad, imaginación o necesidad. La finalidad es que el equipo de

estudiantes puedan realizar la menor cantidad de ejercicios planteados según esta guía, son más

importante los problemas que los estudiantes puedan plantear por sus propios medios, en dado

caso si por ejemplo el equipo de estudiantes no avanza rápido y solo realizaron ejercicios

propuestos por esta guía o por el docente es importante generar un espacio extra para que ellos

puedan plantear sus propios problemas.

4.5 Actividades de la estrategia didáctica

4.5.1 Diagnóstico.

Para implementar la estrategia didáctica usando con el instrumento digital es necesario

realizar una prueba diagnóstica, ver anexo 4 para ver los aspectos cognitivos y cognoscitivos en

algunos presaberes y de esta manera caracterizar al grupo de estudiantes. Los temas a evaluar son

los conceptos de ángulos longitud, área y volumen; otros aspectos de matemática básica y

despeje de ecuaciones lineales y cuadráticas. Además cada vez que se desarrolla la estrategia

didáctica se debe indagar al colectivo docente de la asignatura de Precálculo en las UTS con el

fin de ajustar la práctica a las características del estudiante y del profesor, al menos una vez por

semestre. De igual manera se puede indagar a profesores que ya han tenido clase con ese grupo

de estudiantes con el fin de caracterizar sus métodos de trabajo; los docentes también pueden dar

pautas y recomendaciones en la prueba de presaberes, para así reconocer las fortalezas y


debilidades de los estudiantes en el proceso de formulación, planteamiento y resolución de

problemas.

4.5.2 Guía de trabajo “cómo resolver problemas en longitud, área y volumen a partir del

instrumento digital”

Con el fin de favorecer el proceso de formulación, planteamiento y resolución de problemas,

los estudiantes trabajarán una guía, ver el anexo 6, en la cual encontrarán la estrategia del

investigador, esta se basa en los cuatro pasos de Schoenfeld (1985), complementada con una lista

de preguntas orientadoras de Polya ( 1965), para cada uno de los pasos, con la intención de

orientar en cada uno de ellos, la reflexión, la comprensión y asimilación de la estrategia, para que

pueda visualizar de forma clara y rica en alternativas y heurísticas que mejoren la probabilidad

de resolver exitosamente un problema, además de fortalecer el trabajo cooperativo, la

comunicación, la representación matemática, con el fin de que los estudiantes construyan

problemas que surgen de su entorno.

4.6 Evaluación

Durante el desarrollo de la estrategia didáctica el docente evaluará a través de una rúbrica de

evaluación de la estrategia didáctica, que se evidencia en el anexo 7, el funcionamiento del

trabajo cooperativo, analizando la parte conceptual expresada en la comunicación y la

participación en la salida de campo, incluyendo el uso adecuado de la herramienta pedagógica,

ajustándola para encontrar los datos necesarios para resolver la situación problema; debido a que


en muchas oportunidades se pueden obtener datos o información que resulta innecesaria para

resolver el problema.

En una sesión de clase posterior, el portavoz de cada equipo de trabajo deberá exponer la

situación problema al resto de sus compañeros sobre el planteamiento que realizó con su equipo

de trabajo, el portavoz es el encargado de defender ese trabajo. También se pueden exponer

situaciones problema que no fueron resueltos por el equipo, con el fin de encontrar errores en el

planteamiento, o sustentar si no es posible determinar su solución o verificar si falta de

información, entre otros. Se evaluará al estudiante teniendo en cuenta la actitud positiva hacia el

trabajo cooperativo, el desarrollo de la guía metodológica, la presentación del problema.

Finalmente se evaluará de manera individual a través de una prueba de evaluación de los

resultados de la estrategia pedagógica, respecto al planteamiento y resolución de problemas; la

prueba se evidencia en el anexo 8. Así mismo sobre la efectividad de las preguntas orientadoras

de Polya (1965)en el grupo y el desarrollo de las etapas para solucionar problemas de Schoenfeld

(1985) y si fue posible realizar los denominados desbloqueos propuestos por de Guzmán.

4.7 Retroalimentación

El docente debe usar los resultados de la evaluación y el banco de ejercicios que se va

construyendo para generar alternativas que le puedan llevar a mejorar cada una de las etapas de

la estrategia que busca fortalecer el proceso de formulación, tratamiento y resolución de


problemas en longitud, área y volumen, generando hábitos y el uso de los cuatro pasos que se

deben seguir para resolver un problema.

4.8 Validación de la estrategia didáctica

La validación de la estrategia didáctica se realizó mediante una encuesta que se evidencia

en el anexo 9, que se implementó a 3 docentes del núcleo básico de la asignatura de Precálculo,

el grupo está conformado licenciados en matemáticas con posgrado de maestría, conformado

por: Jaiver Rodríguez; Nicolás Cáceres Moreno y Carlos Castro Tirado.

Es importante aclarar que las sugerencias y modificaciones que se establecieron a través de

la rúbrica de validación ya se implementaron en este trabajo de investigación; ahora debemos

señalar que la estrategia se validó como una alternativa coherente y pertinente para

implementarla en las aulas de clase no solo de las UTS, incluyendo la educación media y la

superior, por otro lado puede fortalecer los procesos en otras asignaturas.

Concluyen que si se puede fortalecer y favorecer los procesos de comunicación, el trabajo

cooperativo, el trabajo de campo fuera del aula, resaltando la creación de problemas en su

contexto de manera autónoma y la inclusión de un instrumento digital como herramienta

didáctica.

Pero también dejaron claro que el trabajo del docente no debe ser pasivo, al contrario el

docente debe estar indagando y verificando el trabajo del equipo, apoyándose en las preguntas


orientadoras y en su experiencia, aseguran que de esta manera se tiene una experiencia rica

cognitivamente y significativa.

Sugirieron como primero ampliar el banco de preguntas orientadoras en el desarrollo de la

guía de la estrategia didáctica, con algunas preguntas específicas que sugirieron; como segundo

solicitaron crear un banco de ejercicios con aquellos ejercicios que plantean los estudiantes para

guardarlos como una experiencia enriquecedora y con la idea mostrar la creatividad y de sugerir

otros ejercicios tanto a docentes como a estudiantes; tercero se solicitó que se realizara una

investigación de aplicaciones dadas a otras asignaturas o carreras profesionales con el fin de

lograr un banco más complejo y de mayor utilidad; en este abarca situaciones como por ejemplo

calcular el área de un bosque con el fin de determinar la proporción de vegetación que lo cubre,

este es un índice muy importante en la ecología.


5. Conclusiones y Recomendaciones.

La estrategia didáctica contribuye a la potencialización del proceso enseñanza

aprendizaje en el planteamiento de problemas de longitud, área y volumen.

El instrumento digital puede ser una herramienta pedagógica muy valiosa en el

desarrollo de capacidades para resolver problemas en longitud, área y volumen.

Fortalecimiento de los Estándares y Principios de la educación Matemática,

principalmente en el trabajo en espacios diferentes al aula, desarrollo de sus propios

problemas en el contexto de las UTS y el uso de herramientas didácticas que sirven

como apoyo a la temática.

No se aplican continuamente en el aula las componentes de trabajo en equipo con

asignación de roles, al fortalecimiento de la comunicación de forma individual y grupal,

a la creación de sus propios problemas en el contexto de las UTS en espacios diferentes

al aula, además de romper con el esquema tradicional que tiene el estudiante sobre la

importancia de las matemáticas y de su aplicación. Esto implica que sea necesario

implementar más estrategias en el aula de clase para fortalecer estas componentes, tal

como lo sugiere este trabajo de investigación.

Las dificultades establecidas en: a) la representación matemática de situaciones b) en la

comprensión de lectura de problemas matemáticos que hacen que se planteen otro tipo

de situaciones c) en establecer los conceptos y relaciones de las unidades de longitud,

área y volumen d) en buen manejo de escalas en la representación gráfica e) en el


reconocimiento y ubicación de datos, incógnitas en el dibujo. Estas dificultades permiten

establecer que es viable proponer una estrategia didáctica usando una herramienta que

permita reducir estas falencias observadas en el test de ejercicios

El instrumento digital debe implementarse continuamente en el ciclo básico del área de

matemáticas en los programas de carrera de las UTS.

La mayoría de docentes deberían implementar la herramienta didáctica en sus aulas de

clase principalmente en los temas de la estrategia didáctica.

Incentivar en el aula el uso de instrumentos didácticos digitales, son menos conocidos y

pueden ser complementarios a las TIC.


Referencias Bibliográficas

Adams, J. L. (1986). Guía y juegos para superar bloqueos mentales. Barcelona.

Aebli, H. (2006). Doce formas básicas de enseñar. Una didáctica basada en la psicología.

Alonso, J., & Alonso Tapias, J. (2001). Motivación y aprendizaje en el aula: Cómo enseñar a

pensar. Madrid.

Arenas, F., Becerra, M., & Gómez, P. (2012). Razones Trigonométricas. Bogotá.

Ausubel, D., Novak, J., & Hanesian, H. (2006). Psicología educativa. Un punto de vista

cognoscitivo.

Caldeiro, G. P., & Vizcarra, M. (2005). El trabajo cooperativo en el aula.

Corberan, E. (1996). Análisis del concepto de área de superficies planas. Estudio de su

comprensión por los estudiantes desde primaria a la universidad

Cubero, R. (2005). Cómo trabajar con las ideas de los estudiantes.

Díaz, F., Barriga, A., & Hernández, G. (2002). Estrategias docentes para un aprendizaje

Significativo (una interpretación constructivista). México.

Educación, S. A. (2000). Principios y estándares para la educación matemática. Sevilla.

Fernández, F. J. (2011). Unidad didáctica: Trigonometría. Universidad de Granada, Madrid.

Gallego, J. (2007). Enseñar con Estrategias.


Gallego, J. (2011). Las matemáticas en la escuela que hace pensar.

García, & García, J. J. (s.f.). Didáctica de las ciencias. Resolución de problemas y desarrollo de

la creatividad.

Gómez, P., & Arenas, F. (2013). Razones trigonométricas. Universidad de los Andes,

Cundinamarca, Bogotá.

González Pineda, J. A., Nuñez, J. C., & Alvarez, L. (2000). Estrategias de aprendizaje.

González, J. (2011). La enseñanza de la medición de áreas. Un largo y complejo proceso.

Madrid.

Halmos, P. R. (1980). The Heart of Mathematics, American Mathematical. Monthly. American

Mathematical. Monthly.

Hans, & Aebli. (2012). Doce formas básicas de enseñar: Una didáctica basada en la psicología.

Hernández , S. (2008). El modelo constructivista con las nuevas tecnologías. Aplicado en el

modelo de aprendizaje. España.

Hromek, S., & Ichiyama, B. (2013). Propuesta didáctica para la enseñanza de la trigonometría.

Universidad nacional del Camahue, Costa Rica.

Johnson y Johnson, Cooper y Carrasco (1999), Las estrategias y técnicas didácticas en el

rediseño recuperado de http://www.itesm.mx/va/dide/red/

Ministerio de Educación Nacional (2009). Sentido pedagógico de los lineamientos Recuperado el

04 de Diciembre de 2015 de: http://www.mineducacion.gov.co/1621/articles-

339975_matematicas.pdf

Monereo, C. (2006). Estrategias de Aprendizaje.

Monerreo, B., & Bixeras. (2003). Ser estratégico y autónomo aprendiendo.


Monge, A., & Morales, C. (2005). Comprensión de las razones trigonométricas: niveles,

propuesta de indicadores y diseño de tareas para su análisis. IV CIEMAC.

Muzas, j. M. (2002). Revista SUMA. Madrid.

Palomino , D., & Téllez Navarro , D. O. (2006). Estrategias que el estudiante usa para resolver

problemas trigonométricos con triángulos rectángulos. UIS, Bucaramanga.

Polya, G. (1965). Cómo plantear y resolver problemas. Trillas S.A.

Pozo, J. I. (2001). Aprendices y maestros.

Pozo, J. I. (s.f.). Teorías cognitivas del aprendizaje.

Pozo, J., Puy Pérez, M., & Domínguez, J. (1994). La solución de problemas. España: Grupo

Santillana.

Runza Montaña, G. M. (2013). Las Razones Trigonométricas en el planteamiento y resolución

de problemas. Bogotá.

Santos Trigos, L. M. (1997). Principios y Métodos de la resolución de problemas en el

aprendizaje de las matemáticas. Mexico, D.F.

Schoenfeld, A. (1985). Mathematical problem solving. New York.

Stacey, K., & Groves, S. (2009). Resolver problemas: Estrategias.

Tunnermann, C. (2011). El constructivismo y el aprendizaje de los estudiantes. España.

Vigotsky, L. (1965). La psicología del aprendizaje.


Anexos

Anexo A. Encuesta a los docentes

La presente encuesta busca conocer su opinión como docente en algunos ítems del proceso de

enseñanza aprendizaje de la asignatura Precálculo que se orienta en las Uts relacionados al

planteamiento de problemas, a las aplicaciones de la ingeniería y de la vida.

¿Cuál es su formación de pregrado?_________________

¿Cuál es su formación de Postgrado?________________

¿Cuántos años de experiencia docente universitaria posee?_____

¿Cuántos años de docencia en educación media posee?________

El curso de Precálculo, Matemática Básica o Trigonometría y Algebra lo ha dictado

10 veces o menos______ 20 veces o menos__________ Más de 20 veces________

1) ¿Ha estudiado o participado en algún tipo de curso, módulo u otro relacionado con didáctica

de las Matemáticas?

Si______No_____

¿Cuál?_____________________________________________________________________


2) Si usted, ha elegido que no ha realizado cursos, módulos u otros sobre las didácticas de las

matemáticas, enuncie el principal motivo por el cuál no ha participado.

__________________________________________________________________________

3) Enuncie que estrategias didácticas o autores en didáctica aplica en el desarrollo del curso de la

asignatura Precálculo que usted imparte en las Uts

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

4) Para abordar en Precálculo el tema de clase “aplicaciones a la vida real y del contexto de la

ingeniería” usted preferiblemente elige: (en este item puede seleccionar una o varias opciones)

Clase magistral______

Uso de tic__________

Problemas del contexto Uts ________

Implementa otra herramienta didáctica___________ ¿Cuál?__________describa

brevemente como usa esa herramienta: _______________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

5) Teniendo en cuenta que los docentes nos encontramos en continuo crecimiento y aprendizaje

¿Qué características considera que debe fortalecer como docente? ¿Qué herramientas

considera que las unidades deben ofrecer para que los docentes puedan enriquecer ese

trabajo en el aula?


___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

6) Un estudio estadístico realizado por el departamento de ciencias básicas en las Uts 2015

determinó que cerca del 55% de los estudiantes que cursan la asignatura Precálculo la

reprueban. En su condición de docente de la asignatura; enumere en orden de importancia

del 1 al 7 (donde 1 representa el más influyente y 7 el menos influyente) los factores que más

influyen en el bajo rendimiento académico de los estudiantes.

Categoría Puesto

Los presaberes del estudiante

La motivación del estudiante

Las prácticas pedagógicas realizadas por el docente

La motivación inducida por el docente y por la asignatura sobre el estudiante

Los recursos y medios disponibles para realizar la clase en las Uts

El compromiso y la responsabilidad en el cumplimiento de los deberes del

estudiante

Otro: ¿cuál?

7) Marca con una x las situaciones que usted fomenta al impartir el tema “aplicaciones a la vida

real y del contexto ingenieril” de la asignatura Precálculo de las Uts.

El trabajo en equipo con asignación de roles (excepto la modalidad de talleres) ____

El Usar Herramientas didácticas o tecnológicas en el aula (excepto el celular)_____

Permitir que los estudiantes construyan sus propios problemas____

La competencia de la comunicación individual y grupal en el aula____

El trabajo en espacios diferentes al aula (salidas del aula o de campo) _____


Permite desarrollar situaciones problémicas en el contexto Uts____


Anexo B. Encuesta a los estudiantes

La presente encuesta busca reconocer su opinión como estudiante ante el proceso de desarrollo

de las competencias básicas de la asignatura Precálculo que se imparte en las Uts.

Carrera que se encuentra cursando______________

Número de veces que ha cursado la asignatura_____

1) ¿Cree usted que la Matemática es importante en la carrera que se encuentra cursando?

Si No

¿Por qué? __________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

2) ¿Qué problema o situación a podido resolver en su vida por medio de las

Matemáticas?______________________________________________________________

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

3) En su condición de estudiante de la asignatura; enumere en orden de importancia del 1 al 7

(donde 1 representa el menos influye y 7 el que más influye) los factores que más afectan el

rendimiento académico de los estudiantes.


Categoría Puesto

Los presaberes del estudiante

La motivación del estudiante

Las prácticas pedagógicas realizadas por el docente

La motivación inducida por el docente y por la asignatura sobre el

estudiante

Los recursos y medios disponibles para realizar la clase en las Uts

El compromiso y la responsabilidad en el cumplimiento de los deberes

del estudiante

Otro: ¿cuál?

4) Marca con una x la situaciones que considere se han vivido o fortalecido en el curso que

usted realiza de la asignatura de Precálculo de las Uts

Situaciones didácticas Marque con una X

El trabajo en equipo con asignación de roles (excepto la modalidad

de talleres)

El Usar Herramientas didácticas o tecnológicas en el aula (excepto

el celular)

Permitir que los estudiantes construyan sus propios problemas

La competencia de la comunicación individual y grupal en el aula

El trabajo en espacios diferentes al aula (salidas del aula o de

campo)

Permite desarrollar situaciones problémicas en el contexto Uts


Anexo C. Prueba de conocimientos generales en longitud, área y volumen

Este test se realizó con el fin de establecer las principales características que pueden servir para

el desarrollo de la estrategia didáctica; para recalcar las situaciones más sobresalientes y las que

recalcan mayor dificultad en el aprendizaje para optimizar la estrategia

Desarrollar los siguientes enunciados propuestos en el test, tenga en cuenta que debe realizarse

de manera individual, dispone de 90 minutos para su solución. Es importante que considere que

este este test no va a representar una mala nota en el curso de la asignatura, pero debe realizarse

con la mayor concentración posible, el tema a tratar es situaciones problema en longitud, área y

volumen.

1) Para determinar la distancia d entre dos puntos P y Q en las orillas opuestas de un lago, un

topógrafo localiza un punto R que está a 50 metros de P, de tal modo que RP es

perpendicular a PQ. A continuación, con un teodolito, el topógrafo mide el ángulo PRQ, que

resulta de 720. Calcule la distancia entre P y Q. (Swokowski,2006)

2) Un granjero amarra un chivo en la esquina exterior de un establo de 10 por 20 metros. La

cuerda con la que lo ata es de 25 metros. El chivo puede pastar en cualquier lugar fuera del

establo hasta donde la cuerda alcance. ¿Cuál es la medida del área donde el chivo puede

pastar? (Santos, 2001)

3) Calcule la altura del árbol que se ilustra en la figura, tenga en cuenta el ángulo de

referencia que se ha registrado y la distancia propuesta.


4) Para alcanzar la cima de un muro de 6 metros de altura, se utiliza una escalera de 10 metros.

Si el extremo de la escalera queda 2 metros más allá del muro, determine la inclinación

respecto a la horizontal. Escriba su respuesta en radianes.

5) En un cubo se corta una rebanada de 1 cm de espesor. Si el volumen de la figura que queda

es de 180 cm3, ¿cuál es la longitud del lado del cubo original? ¿las caras superficiales

poseen la misma área en los dos cubos?

6) El lado de cada cuadrado es la mitad del cuadrado inmediatamente anterior. El área total de

la figura es 340 dm2. Determine el lado del cuadrado mayor.


Anexo D. Prueba diagnóstico para la estrategia didáctica

Se sugiere que este test sea aplicado con cada grupo antes de implementar esta estrategia

didáctica.

1) Simplifique todo lo que sea posible. Asegúrese de suprimir todos los paréntesis y simplificar

todas las fracciones.

a) 5[-1(7+12-16)+4]+2 b) (√ √ ) c) (

)

2) Calcule la medida exacta, en radianes de los ángulos dados y represéntelo gráficamente:

a) 150° b) 120° c) -60° d) 52° e) 100°

3) Calcule la medida exacta, en grados de los ángulos dados y represéntelo gráficamente:

a) 2π/3 b) 11 π / 4 c) π/16 d) 9π e) -5 π/2

4) Determine las soluciones de la ecuación

a) ( ) – 72 b) – 27 c) 2x-7=8x +12


5) Partimos de un rectángulo y lo dividimos en la mitad; después dividimos aún a la mitad cada

parte, así como lo muestra la figura. ¿El área del rectángulo A es __________ del área del

triángulo B?

6) Tenemos tres cilindros iguales, de 1 metro de diámetro cada uno y de 8 metros de largo,

apilados como se ve en la figura.

a. ¿Cuál es la distancia entre los centros de cada par de cilindros?

b. Encuentre el volumen de los tres cilindros.

http://1.bp.blogspot.com/-CS1DJwX1X0s/TriXDaIfc5I/AAAAAAAACDU/cm-eRqP5WfI/s1600/img_cilindros.gif

http://1.bp.blogspot.com/-CS1DJwX1X0s/TriXDaIfc5I/AAAAAAAACDU/cm-eRqP5WfI/s1600/img_cilindros.gif


Anexo E. Problema 1 de la estrategia didáctica

Problema 1: Los integrantes del equipo deben escoger un árbol (o un edificio pequeño) en el lugar

dónde se piensa realizar la práctica; para así calcular su altura. El operario debe

ubicarse en el punto donde finaliza la sombra que produce el árbol por efecto de la luz

solar en ese momento; ahora usando el instrumento digital debe medir la longitud de

la sombra en ese instante; luego debe medir el ángulo de elevación que se registra

entre la sombra y la cima del edificio.

Describa con sus palabras la situación problema que debe

desarrollar:________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Pregunta Solución

Cuáles son los datos del problema?

Cuáles son las variables del problema?

Cuáles con las incógnitas del problema?

Mediante una aproximación y sin realizar ningún cálculo

¿Cuál considera que es la altura del árbol?

Realice un dibujo que represente el problema planteado,

luego registre en el los datos, incógnitas y variables.

Tenga en cuenta que es ideal mantener las proporciones

en el dibujo y que no es obligatorio sujetarse a una

escala rigurosa.

¿Las condiciones y datos son suficiente para determinar

la incógnita? ¿La información que tenemos es suficiente?

¿Es redundante? ¿Es contradictoria?

¿Aguna vez se ha encontrado con un problema

semejante? Describa cuál

Calcule el valor de la altura del árbol.


Compare el valor aproximado de la altura del árbol con

el valor que se determinó para la altura ¿Qué conclusión

se obtiene a partir de los dos resultados?



Suponiendo que el instrumento sufre un daño, de tal

manera que solo puede registrar ángulos ¿Qué harías

para determinar la altura del árbol? Calcule la altura del

árbol.

Dada la nueva altura del árbol, encuentre su valor

equivalente en metros y compárelo con las otras alturas

obtenidas.


Anexo F. Plantilla de la estrategia didáctica

Problema:

Describa con sus palabras la situación problema que debe desarrollar ________________________

_________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

Pregunta Solución

Cuáles son los datos del problema?

Cuáles son las variables del problema?

Cuáles son las incógnitas del problema?

Estime sin realizar ningún calculo el valor aproximado de

la incógnita

Realice un dibujo que represente el problema planteado,

luego registre en el los datos, incógnitas y variables.

Tenga en cuenta que es ideal mantener las proporciones en

el dibujo y que no es obligatorio sujetarse a una escala

rigurosa.

¿Las condiciones y datos son suficiente para determinar la

incógnita? ¿La información que tenemos es suficiente?

¿Es redundante? ¿Es contradictoria?

¿Alguna vez se ha encontrado con un problema

semejante? Describa cuál.


Calcule el valor de la incógnita.

Compare el valor aproximado de la incógnita con su valor

calculado. ¿Qué conclusión se obtiene a partir de los dos

resultados?




Anexo G. Rúbrica evaluación de la estrategia didáctica

RÚBRICA PARA EVALUAR EL PROCESO DE PLANTEAMIENTO Y

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

PROPÓSITO:

Que el estudiante logre desarrollar la estrategia didáctica

para fortalecer los procesos de planteamiento de problemas

en unidades de longitud, área y volumen a través de un

instrumento digital creando sus propios problemas.

Indicador Excelente

5.0-4.0

Satisfactorio

4.0-3.0

No aceptable

Menor a 3.0

SALIDA DE CAMPO

Trabajo

cooperativo y

comunicación

El estudiante realiza

aportes positivos al

equipo cooperativo y

su comunicación es

acertada, sus

comentarios son

objetivos y es continua

durante toda la etapa de

la estrategia

cumpliendo con las

funciones de su rol.


aportes positivos al

equipo cooperativo y

su comunicación es

acertada, sus

comentarios son

objetivos, pero no es

continuo en la etapa de

la estrategia

cumpliendo funciones

de su rol.


aportes negativos al

equipo cooperativo que

no contribuyen en el

desarrollo de la

propuesta o/y no

cumple con las

funciones de su rol.

Manejo

instrumento digital

Maneja adecuadamente

el instrumento digital

teniendo en cuenta sus

recomendaciones de

uso y además toma los

registros del

instrumento

acertadamente para dar

desarrollo del problema

Maneja

adecuadamente el

instrumento digital


recomendaciones de

uso, pero presenta

inconvenientes en los

registros de la

herramienta para

desarrollar el problema

No maneja

adecuadamente el

instrumento digital


recomendaciones de uso

y presenta

inconvenientes en los

registros de la

herramienta didáctica

para desarrollar el

problema


Indicador Excelente

5.0-4.0

Satisfactorio

4.0-3.0

No aceptable

Menor a 3.0

Construcción de

situaciones

problema

El problema planteado

es pertinente a la

temática propuesta,

además es Creativo y

con un grado de

complejidad aceptable

El problema planteado

es pertinente a la

temática propuesta,

pero no muy creativo y

posee un grado de

complejidad aceptable

Ninguno de los

problemas que se

plantean son pertinentes

o solucionables

implementado la

estrategia didáctica

Exposición en el aula

Explicación y

análisis del

resultado

La explicación tiene

muchos detalles y es

clara. El análisis del

resultado se confronta

con la teoría y la lógica

La explicación es clara

pero poco detallada,

estableciendo análisis

parcial del resultado

La explicación es difícil

de entender y no

alcanzan a relacionar

los datos con la teoría.

Comunicación oral

o escrita

Realiza intervenciones

pertinentes y objetivas

en la exposición de

otros trabajos, para

aprobar o desaprobar el

planteamiento de

problemas o para

realizar complementos.

Realiza intervenciones

no pertinentes, ni

objetivas en la

exposición de otros

trabajos, para aprobar

o desaprobar el

planteamiento de

problemas o para

realizar complementos.

Evaluación individual

Comprensión del

problema

Identifica e interpreta

con claridad los datos

planteados en el

problema y tiene

certeza de las

incógnitas a resolver.

Demuestra total

comprensión del

problema.

Identifica e interpreta

parcialmente los datos

planteados en el

problema. Demuestra

considerable

comprensión del

problema

No identifica ni

interpreta los datos

planteados en el

problema.

Demuestra poca

comprensión del

problema

Diagramas y

dibujos

Esquematiza

claramente el

enunciado indicando

correctamente los datos

del problema. Los

Esquematiza

parcialmente el

enunciado indicando

algunos de los datos

del problema. Los

No puede esquematizar

correctamente el

enunciado. Los dibujos

y diagramas no están

muy claros.


Indicador Excelente

5.0-4.0

Satisfactorio

4.0-3.0

No aceptable

Menor a 3.0

dibujos son claros y

ayudan mucho para que

el estudiante

comprenda lo que está

haciendo

dibujos son claros y

fáciles de entender.

Estrategia de

solución

Identifica la fórmula

aplicable de acuerdo a

la teoría El proceso de

resolución del

problema demuestra

total entendimiento de

los conceptos

involucrados. Siempre

usa estrategias

efectivas y eficientes

para resolver los

problemas.

Identifica parcialmente

las fórmulas a aplicar

en la solución del

problema. Demuestra

parcial entendimiento

de los conceptos.

Usualmente, usa

estrategias efectivas y

eficientes para resolver

los problemas.

No identifica las

fórmulas a aplicar y no

comprende los

conceptos y su relación

entre ellos. A veces usa

estrategias efectivas y

eficientes para resolver

los problemas.

SOLUCIÓN DEL

PROBLEMA

La aplicación de los

algoritmos es correcta.

Todos los

requerimientos de la

tarea están incluidos en

la respuesta para la

solución del problema


algoritmos es correcta,

pero comete algunos

errores aritméticos y

algebraicos.

La mayor cantidad de

requerimientos de la

tarea están

comprendidos en la

respuesta


algoritmos es incorrecta

y comete errores

aritméticos y

algebraicos.

No responde. No intentó

hacer la tarea


Anexo H. Prueba de evaluación individual estrategia didáctica

1) Calcule la altura del árbol que se ilustra en la figura, tenga en cuenta el ángulo de

referencia que se ha registrado y la distancia propuesta.

2) En un cubo se corta una rebanada de 1 cm de espesor. Si el volumen de la figura que queda

es de 180 cm3, ¿cuál es la longitud del lado del cubo original? ¿las caras superficiales poseen

la misma área en los dos cubos?

3) Una catedral está situada en una colina, como se ve en la figura. Cuando la cima de la torre

se ve desde la cima de la base de la colina, el ángulo de elevación es de 48°, cuando se ve a

una distancia de 200 metros de la ase de la colina el ángulo de elevación es 41°. La colina

sube a un ángulo de 32°. Calcule la altura de la catedral.


Imagen tomada de (Swokowski, 2001)

b) ¿Cómo Usaría el instrumento digital de una manera más sencilla para encontrar la

altura de la catedral?

4) Para la figura que se muestra a continuación describa, plantee y desarrolle un problema en

ese contexto que se pueda relacionar con longitud, área o volumen.Teniendo en cuanta que

puede obtener algunas medidas angulares y longitudinales con el instrumento digital.

5) Un tanque de acero para gas propano se va a construir en forma de cilindro recto de 10

metros de altura, con una semiesfera unida a cada extremo, cuyo radio es 2 metros. Encuentre

el volumen del tanque.


Anexo I. Instrumento para la validación de la estrategia didáctica

CRITERIOS Apreciación cualitativa

Excelente Bueno Regular Deficiente

Presentación del instrumento digital

Viabilidad del instrumento en la estrategia

Autonomía del estudiante en la

construcción de problemas propios

Fortalecimiento de los procesos de

comunicación

Fortalecimiento de los procesos de

representación matemática

Fortalecimiento del desarrollo de la

estrategia trabajo en equipo

Desarrollo de la temática a través de la

estrategia didáctica

Tipos de problemas que se presentan en la

estrategia o aquellos problemas que se

pueden construir

Apreciación cualitativa:

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Observaciones y recomendaciones sobre la estrategia didáctica:

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Validado por: __________________________________________________________

Profesión y títulos: ______________________________________________________

Fecha: ____________________________ Firma: ____________________________

estrategia didáctica a partir de un instrumento digital

Documents