Estimación de ParámetrosEstimación de Parámetros

Roselin Santamaría

BibliografíaBibliografíaMontgomery, D. y Runger, G.

Probabilidades y estadísticas aplicadas a la ingeniería. México: Mcgraw-Hill interamericana editores, SA de C.V.

Maneiro, N. y Mejías, A. estadística

para ingeniería: Una herramienta para la gestión de la calidad. Biblioteca de Ingeniería. Universidad de Carabobo

EstimaciónEstimaciónParámetro Población

Entre los métodos para tomar decisiones se encuentra la estimación de los parámetros, el cual consiste en analizar los resultados de una muestra con la finalidad de predecir el valor correspondiente al parámetro poblacional

EstimaciónEstimaciónLas poblaciones se caracterizan a

través de medidas numéricas denominadas parámetros. Se estima con la finalidad de tener una buena aproximación de los parámetros desconocidos de la población.

Para ello se puede considerar las siguientes tipos de estimaciones:

Estimación puntualEstimación por intervalo

Estimación puntualEstimación puntual

Un estimador es una regla que indica como calcular el valor de una estimación con base a la mediciones que contiene una muestra. Si con la información se calcula un valor del parámetro de la población se dice que esta es una estimación puntual.

Si X es una v.a. con fx caracterizada por el parámetro y si x1,x2,……..xn

Estimación puntualEstimación puntual

Si X es una v.a. con fx caracterizada por el parámetro desconocido y si x1,x2,……..xn es unas m.a. de tamaño n de X entonces el estadístico

es un estimador puntual de

)......,,.........3,21,1( xnxxxh

Estimador puntualEstimador puntualEstimador Insesgado:

El sesgo de un estimador puntual

Conversión de un estimador sesgado

)(E

)(EB

a

b

baE

a

)(

)(E

Estimador puntualEstimador puntualEstimador asintóticamente

insesgado

Evaluación de calidad de los estimadoresError cuadrático medio:

)(limEn

2

2

BVarECM

EECM

Estimador puntualEstimador puntualEvaluación de calidad de los

estimadoresError Absoluto

Error relativo

E

RE

Estimador puntualEstimador puntualEvaluación de calidad de los

estimadoresEficiencia relativa:

Dado dos estimadores insesgados y

De un parámetro θ con varianzas

La eficiencia de con respecto a

1

2

21 ; VarVar

1

2

2

1

Var

Vare

Estimador puntualEstimador puntual

PropiedadesConsistente: es aquel que a

medida que n aumenta el tamaño de la muestra este se acerca mas al parámetro.Se dice para θsi para cualquier numero

positivo ε

0lim

1lim

n

n

Estimador puntualEstimador puntualConsistente:

Teorema un estimador es consistente para θ si es:

1.Es insesgado2.

0)(lim

Var

n

Estimador puntualEstimador puntualEficiente: Estimadores insesgados

de mínima varianza. Teorema: Si es un estimador

insesgado de θ y

2

2

2

ln

1

ln

1

dfxd

nE

Var

dfxd

nE

Var

Estimación puntualEstimación puntualSuficiente:

Estos son estimadores que utilizan toda la información contenida en la muestra. Sea x1,x2,……..xn una m.a. de una población con parámetro desconocido. El estadístico

es suficiente para θ si y solo si para cada valor la distribución condicional de la m.a. X1,X2…..Xn dado no depende de θ

)......,,.........3,21,1( xnxxxh

Estimador puntualEstimador puntualSuficiente:

Función de verosimilitud.Teorema: sea , un estimador basado

en una m.a de x1,x2,…..xn. Entonces es suficiente para θ si y solo si la función de verosimilitud L se puede factorizar en dos funciones no negativas, tales que

);(*),......,21,1();,....2,1(

gxnxxhxnxxL

Estimador puntualEstimador puntual

Métodos de estimación puntualMétodos de los momentos

Estimador puntualEstimador puntual

Métodos de estimación puntualMáxima Verosimilitud:

1. Se construye la función de verosimilitud2. Se aplica logaritmo neperiano a ambos

lados de la igualdad3. Se deriva parcialmente con respecto a

cada parámetro que se desee estimar y se iguala a cero

4. Se resuelve las ecuaciones resultantes despejando el o los parámetros deseados.