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TEMA 6 : ESTIMACIN

TEMA 6

ESTIMACIN

1.ESTIMACIN PUNTUAL

1.1 INTRODUCCIN

1.2 PROPIEDADES DE LOS ESTIMADORES

1.3 MTODO DE CLCULO DE LOS ESTIMADORES

2. ESTIMACIN POR INTERVALOS DE CONFIANZA

2.1 CASOS PARTICULARES

2.1.1 INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA

2.1.2 INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA PROPORCIN

2.1.3 INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS

2.1.4 INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE PROPORCIONES

2.1.5 INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA VARIANZA

2.1.6 INTERVALO DE CONFIANZA PARA EL COCIENTE DE VARIANZAS

3. PRECISIN Y TAMAO DE LA MUESTRA

TEMA 6

ESTIMACIN

1. ESTIMACIN PUNTUAL

1.1. INTRODUCCINEn todo este tema vamos a suponer que estamos estudiando una poblacin cuya distribucin es conocida excepto en un parmetro al que llamaremos . A la distribucin de la poblacin la denotaremos por f(x).

Diremos que nos encontramos ante un problema de estimacin cuando, dada una poblacin con una distribucin f(x) donde es un parmetro desconocido, aventuremos o infiramos en base a los datos muestrales el valor de . Si al inferir el parmetro damos un nico valor estaremos ante un problema de estimacin puntual.

Estimador puntual

: ser una funcin de la muestra aleatoria (un estadstico) que utilizaremos para estimar el valor del parmetro.

Estimacin

: valor obtenido del estimador al sustituir por los valores de una muestra completa.

Cuando no haya lugar para la confusin designaremos al estimador simplemente por

.

Un estimador es, por tanto, un estadstico y, por ello, es una v.a. con una determinada distribucin de probabilidad llamada distribucin muestral.

Dado un parmetro, podramos utilizar distintos estimadores puntuales para estimarlo. Por ejemplo, para estimar la varianza de la poblacin podemos utilizar la varianza muestral o la cuasi-varianza muestral. Cul es mejor? Veamos a continuacin como comprobar si un estadstico es un buen estimador de un parmetro. Para ello le exigiremos una serie de propiedades. Como el estadstico es una variable aleatoria, las propiedades se las tenemos que exigir a su distribucin de probabilidad.

1.2. PROPIEDADES DE LOS ESTIMADORES.

Un estadstico se considera un buen estimador de un parmetro si cumple: ser insesgado, ser consistente y ser eficiente.

A. INSESGADEZ

Un estimador es insesgado si . Es decir, su distribucin est centrada en el parmetro a estimar.

Ejemplos: Sea una m.a.s. tal que y

a) Consideremos como estimador de la media poblacional a la media muestral. Es decir . Por el tema anterior, sabemos que . Por tanto, la media muestral es estimador insesgado de la media poblacional.

b) Supongamos como estimador de la varianza poblacional a la varianza muestral, . Del tema anterior , sabemos que . Por tanto, la varianza muestral no es un estimador insesgado de la varianza poblacional .

c) Consideremos ahora como estimador de la varianza poblacional a la cuasi-varianza muestral, . Del tema anterior sabemos que . Por tanto, la cuasi-varianza muestral es un estimador insesgado de la varianza poblacional.B. CONSISTENCIADiremos que es un estimador consistente de si cumple:

y

Esto significa que si tomramos la mayor muestra posible, el estimador coincidira con el valor del parmetro.

Ejemplo: Veamos que los estimadores de los cuales hemos hablado en el apartado anterior son consistentes.

a) Si consideramos . Se cumple que y . Pero tomando lmites, . Por tanto, es estimador consistente.

b) Si consideramos . Se cumple que:

y

Tomando lmites,

y

Por tanto, es un estimador consistente de .

c) Si consideremos . Se cumple que

y

Tomando lmites,

y

Por tanto, es un estimador consistente de la varianza poblacional.

C. EFICIENCIA

Dados dos estimadores de , y , decimos que es ms eficiente que , si . Nos interesa el que tenga menos dispersin. Para comparar la eficiencia se construye el cociente. Si es mayor que 1, entonces es ms eficiente; si es igual a 1, entonces ambos estimadores son igual de eficientes; si es menor que 1, entonces es ms eficiente.

Ejemplo: Consideremos como estimadores de a y . Calculamos el cociente de las varianzas:

Por tanto, es ms eficiente.

1.3. MTODOS DE CLCULO DE LOS ESTIMADORES.

De los diferentes mtodos de clculo de los estimadores, nosotros veremos:

a) Estimacin por el mtodo de los momentos.

b) Estimacin mximo-verosmil.

A. ESTIMCIN POR EL MTODO DE LOS MOMENTOS

Consiste en tomar como estimadores de los momentos poblacionales a los momentos muestrales. Se obtiene una ecuacin de donde podemos despejar el parmetro a estimar.

B. ESTIMACIN MXIMO-VEROSMIL

Sea X una variable aleatoria con distribucin donde es el parmetro desconocido. Sean n variables aleatorias independientes con la misma distribucin que X; es decir, sea () una m.a.s. Bajo estas condiciones la distribucin conjunta de las variables aleatorias ser igual al producto de las marginales.

Si consideramos fijos y estudiamos esta funcin como funcin de recibe el nombre de funcin de verosimilitud y se denota por V().

Sean , , etc. diversos estimadores de . De todos ellos pretendemos elegir el que haga mxima la funcin de verosimilitud. Es decir, un estimador ser estimador mximo-verosmil (EMV) de si maximiza V().

Debido a que la funcin de verosimilitud es no negativa, continua y creciente, alcanzar su mximo en los mismos puntos que su logaritmo y por ello, y por razones de clculo se suele maximizar cuando esta depende de exponenciales.As pues, deberemos resolver la siguiente ecuacin:

En el caso de dos o ms parmetros desconocidos, el procedimiento es el mismo. Por ejemplo, si tuviramos los tres estimadores mximo verosmiles sern los que maximizan la funcin o su logaritmo. Se obtendran al resolver las ecuaciones siguientes:

^

Propiedades de los EMV

a) Son consistentes.

b) Son asintoticamente eficientes. Es decir, tienen la varianza mnima cuando el tamao muestral tiende a infinito.

c) Si es estimador suficiente de , el EMV de es funcin de .

d) Son asintoticamente normales. Es decir, su distribucin tiende a la distribucin normal cuando tiende a infinito el tamao de la muestra.

e) Si es EMV de , entonces g( ) es EMV de g(), siendo g una aplicacin biyectiva.

Ejemplo: Obtener el EMV del parmetro de una v.a. X que sigue una distribucin de Bernouilli, . Su funcin de cuanta es

Si elegimos una muestra de tamao n, la funcin de verosimilitud correspondiente ser:

Tomando logaritmos tenemos

Para obtener el EMV de p debemos resolver la ecuacin

En este caso

Haciendo operaciones e igualando denominadores obtenemos:

Despejando el valor de p obtenemos el estimador

Por tanto EMV(p)= . Es decir, la proporcin de xitos de la muestra.

2.ESTIMACIN POR INTERVALOS DE CONFIANZA

En la estimacin puntual atribuimos al parmetro el valor correspondiente del estimador obtenido en la muestra aleatoria de tamao n. Es claro, que dicho valor dificilmente coincidir con el verdadero valor del parmetro aunque el tamao de la muestra sea muy grande.

La estimacin por intervalos consiste en atribuir al parmetro desconocido un rango de posibles valores (en base a los datos muestrales) que tengan una alta probabilidad de incluir entre ellos al valor del parmetro desconocido. Para ello ser imprescindible conocer la distribucin muestral del estadstico utilizado.

El intervalo estimado que debe contener al parmetro se llama intervalo confidencial o de confianza. Denominamos lmites confidenciales a los extremos de dicho intervalo. Llamaremos nivel de confianza a la probabilidad de que un intervalo contenga al parmetro desconocido y se suele denotar por . Se llama nivel de riesgo o de significacin al valor de .

Es decir,. Esto indica que el ()% de intervalos construidos contendrn al parmetro desconocido.

Denominaremos error muestral mximo a la diferencia entre el valor de la estimacin muestral y el valor del parmetro; es decir, .

Ejemplo: Sea el parmetro desconocido y el estimador que consideramos el cual sigue una distribucin . Supongamos un error muestral mximo .

Si calculamos la probabilidad de tener ese error o uno menor, obtendremos:

= ya que el estimador segua una distribucin normal.

Esta probabilidad podemos escribirla tambin de la siguiente forma:

Por tanto, el intervalo de confianza

tiene un nivel de confianza =0'9544 o un nivel de significacin de =0'0456. Esto equivale a decir que tenemos la confianza 0'9544 de que, extraida una muestra y calculado el valor de , ste no se aleja del parmetro ms de dos desviaciones tpicas o un riesgo de 0'0456 de que se aleja ms de esa cantidad.

Dicho de otro modo, si sale una muestra en que est en la zona rayada el intervalo no contendr a .

Normalmente lo que se hace es fijar de antemano el nvel de confianza y se busca el intervalo correspondiente a ese nvel de confianza utilizando la distribucin muestral del estadstico.

2.1 CASOS PATICULARES

2.1.1 INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA

Si desconocemos la distribucin de la poblacin, podemos hallar un intervalo de confianza para la media, basndonos en un resultado que conocemos como Desigualdad de TChebychev.

Sea X una v.a. cualquiera con media y varianza . Se cumple que:

Usando el anterior resultado, aplicndolo a la variable aleatoria X y tomando , obtendramos que el intervalo para un nivel sera:

Para analizar los resultados que presentamos a continuacin, supongamos una poblacin que se distribuye normal de media y varianza poblacional . Tambin servirn cuando la poblacin no es normal pero el tamao muestral es grande.

a) Si es conocida.Ya sabemos que . Sea el percentil de la distribucin normal; es decir,.

Haciendo operaciones

Por tanto, el intervalo de confianza para ser:

b) Si es desconocida.

En este caso tenemos que

Por el mismo razonamiento anterior, si llamamos al percentil de la distribucin t de Student tal que , el intervalo de confianza al nivel de significacin (o equivalentemente, al nivel de confianza 1-) ser:

Ejemplo: Extraemos una m.a.s. de 61 estudiantes universitarios. Responden a una prueba de inteligencia espacial, en la que alcanzan una media de 80 y una varianza de 100. Entre qu lmites se hallar la verdadera inteligencia espacial media de los estudiantes, a un nivel de confianza del 99%?

La varianza poblacional es desconocida y la poblacin no es normal, pero el tamao muestral es mayor que 30, por tanto, el intervalo correspondiente ser:

Buscamos en las tablas la distribucin t de Student .

Sabemos que y . Sustituyendo en el intervalo de confianza tenemos:

por tanto, con un nivel de confianza del 99%.

2.1.2 INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA PROPORCIN

Si en una poblacin Bernouilli de parmetro p definimos la v.a. X= n xitos en la muestra, X sigue una distribucin binomial de parmetros (n,p). Si la muestra es grande, tenemos que la proporcin muestral P=X/n se distribuye aproximadamente como una normal y podremos usar el teorema central del lmite.

En una poblacin Bernoulli, , y si denotamos por P a la proporcin en la muestra . As pues podemos aplicar el intervalo de confianza para la media con varianza conocida visto anteriormente, sustituyendo lo anterior y aproximando p(1-p) por P(1-P). un intervalo de confianza aproximado para p a nivel sera:

Ejemplo: Uno de los lderes de un colectivo laboral desea plantear una cuestin a todos los miembros del grupo. Si ms de la mitad respondieran NO entonces preferira no plantearla para no minar su prestigio. Para salir de dudas, elige aleatoriamente a 100 trabajadores a los que hace la pregunta y slo 30 responden NO. Entre qu lmites se hallar la verdadera proporcin al nivel del 95%?

Como el tamao muestral es grande, podemos aplicar el teorema central del lmite. Tenemos

Sustituyendo los valores en el intervalo correspondiente:

Por tanto, la verdadera proporcin est en el intervalo con un nivel de confianza del 95%.

2.1.3 INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS.

Suponemos dos poblaaciones independientes

,

Tomamos muestras de tamao y , respectivamente.

a) Si y son conocidas, como , el intervalo de confianza ser:

b) Si y son desconocidas pero iguales, como , el intervalo de confianza ser:

Ejemplo: Dos universidades pblicas tienen dos mtodos distintos para inscribir a sus alumnos. Los dos desean comprobar el tiempo promedio que toma la inscripcin de los alumnos. En cada universidad se tomaron los tiempos de inscripcin de 31 alumnos tomados al azar. Las medias y desviaciones tpicas muestrales fueron: , , , . Si se supone que el muestreo se llev a cabo en dos poblaciones normales e independientes, obtener los intervalos de confianza al nivel de riesgo 0'05 para la diferencia entre las medias del tiempo de inscripcin para las dos universidades,

a) suponiendo que las varianzas poblacionales son , .

b) suponiendo que las varianzas poblacionales son desconocidas pero iguales.

Para el apartado a

Sustituyendo los valores en el intervalo obtenemos:

Para el apartado b, buscamos en la tabla de la t de Student .

Sustituyendo los valores en el intervalo obtenemos:

2.1.4 INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE PROPORCIONES.

Sean e dos poblaciones independientes con y desconocidos. Extraemos muestras de tamao y , respectivamente. Como y desconocemos los valores de y , aproximaremos las proporciones poblacionales por las proporciones muestrales correspondientes. Por tanto, el intervalo de confianza ser:

Caso particular: Si tenemos , entonces y . Lo que haremos es sustituir p por

Ejemplo: En dos grandes empresas se lleva a cabo un estudio sobre la proporcin de mujeres entre sus empleados diplomados y licenciados. De cada empresa se toma una m.a.s. de 40 empleados entre los diplomados y licenciados, obtenindose que en la empresa A haba 16 mujeres y en la empresa B, 22 mujeres. Obtener el intervalo de confianza para la diferencia de proporciones poblacionales al nivel de confianza 0'96 Podemos pensar que la proporcin es la misma?

Sustituyendo en el intervalo:

=

=

El intervalo contiene al cero, pero el extremo inferior se aleja bastante de cero.

2.1.5 INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA VARIANZA.

Si tenemos una poblacin con

desconocida, entonces

El intervalo de confianza para la varianza poblacional al nivel de confianza

lo podemos obtener como sigue:

Despejando

tenemos:

Es decir,

Ejemplo: De acuerdo con las tablas de altura, los varones tienen una altura superior a las mujeres en la poblacin espaola. Segn las ltimas tablas en el servicio militar, los varones entre 18 y 20 aos presentan una varianza de 0'0529. de las mujeres no tenemos informacin, por ello tomamos una muestra de 101 mujeres entre 18 y 20 aos y obtenemos Entre qu valores se encontrar la verdadera varianza a un nivel de 0'95 de confianza?

Sustituyendo en el intervalo tendremos:

2.1.6 INTERVALO DE CONFIANZA PARA EL COCIENTE DE VARIANZAS.

La distribucin muestral del cociente de varianzas muestrales, cuando tenamos dos poblaciones normales e independientes era:

A partir de aqu deducimos el intervalo de confianza para el cociente de varianzas poblacionales al nivel de y obtenemos

Ejemplo: Con los datos del ejemplo de la pag. 11 , calcular el intervalo de confianza para el cociente de varianzas al nivel de confianza 0'95. Podramos aceptar la suposicin de que las varianzas poblacionales son iguales?

y

Sustituyendo en el intervalo obtenemos

El intervalo contiene al 1 y los extremos estn bastante prximos al 1. Hay mayor diferencia por el extremo inferior, lo que indica que la varianza de la poblacin X es menor que la de la poblacin Y.

3. PRECISIN Y TAMAO DE LA MUESTRA

En general, cuanto ms estrecho es un intervalo de confianza mayor precisin tendr nuestra estimacin (ser menor el error muestral mximo). Ahora bien, la amplitud de un intervalo depende de dos factores: el nivel de confianza que decidimos utilizar y el tamao del error tpico (es la desviacin tpica) del estadstico utilizado como estimador.

Si disminuimos el nivel de confianza, diminuye la amplitud del intervalo, pero aumenta el riesgo. Debemos intentar reducir la amplitud del intervalo manteniendo constante el nivel de confianza; para ello hay que reducir el error tpico del estimador.

En el caso de la media, el error tpico es . Por lo tanto, variando el tamao muestral variaremos el error tpico. Al aumentar n, disminuye . Por tanto, manipulando el tamao de la muestra podemos obtener los intervalos de la precisin que deseemos.

Para la media:

Para la proporcin:

Ejemplo: Queremos estimar la media de una poblacin normal con varianza poblacional igual a 4. qu tamao muestral debemos tomar para que E=0'02 al nivel de confianza 0'95?

Como conocemos la varianza poblacional, el tamao muestral ser:

=

y si queremos un error E=1 al mismo nivel de confianza? En este caso

=. Redondeamos n=16.

Curso 02-03

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