estimacion de parametros
DESCRIPTION
Estimacion de parametros Probabilidady EstadisticaTRANSCRIPT
![Page 1: Estimacion de Parametros](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020107/577c822e1a28abe054afc6c5/html5/thumbnails/1.jpg)
Distribuciones gaussianas con igual media pero varianza
diferente.
![Page 2: Estimacion de Parametros](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020107/577c822e1a28abe054afc6c5/html5/thumbnails/2.jpg)
Distribuciones gaussianas con diferentes medias e igual
dispersión.
![Page 3: Estimacion de Parametros](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020107/577c822e1a28abe054afc6c5/html5/thumbnails/3.jpg)
DISTRIBUCIONES EN EL
MUESTREO
![Page 4: Estimacion de Parametros](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020107/577c822e1a28abe054afc6c5/html5/thumbnails/4.jpg)
Si un estadístico puede ser calculado para cada una de las muestras de tamaño n obtenidas de una población , la distribución del estadístico obtenido de de cada una las muestras se denomina distribución en el muestreo.
Sx,
![Page 5: Estimacion de Parametros](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020107/577c822e1a28abe054afc6c5/html5/thumbnails/5.jpg)
LA DISTRIBUCION DE LOS PROMEDIOS MUESTRALES SE DENOMINA
DISTRIBUCION EN EL MUESTREO DE LA MEDIA
![Page 6: Estimacion de Parametros](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020107/577c822e1a28abe054afc6c5/html5/thumbnails/6.jpg)
PROPIEDADES DE LA MEDIA – Insesgada: El valor medio que se obtiene de todos
los promedios muestrales debe ser el valor del parámetro.
– Consistente: Cuando el tamaño de la muestra crece, el valor del estadístico se aproxima al valor del parámetro desconocido.
– Eficiente: Al estadístico no puede exigírsele que, para una muestra cualquiera se obtenga el valor exacto del parámetro. Sin embargo podemos pedirle que su dispersión (varianza) sea tan pequeña como sea posible. La media muestral es más estable de una muestra a otra que el modo y la mediana, su dispersión con respecto al valor central es menor que la de los otros dos.
)(
![Page 7: Estimacion de Parametros](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020107/577c822e1a28abe054afc6c5/html5/thumbnails/7.jpg)
• ERROR ESTÁNDAR DE LA MEDIA
nx
![Page 8: Estimacion de Parametros](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020107/577c822e1a28abe054afc6c5/html5/thumbnails/8.jpg)
Teorema del límite central:
Cuando el tamaño de las muestras se vuelve suficientemente grande, la
distribución en el muestreo del promedio se puede aproximar a una distribución normal. Esto es válido cualquiera sea la distribución de los valores individuales de la población.
![Page 9: Estimacion de Parametros](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020107/577c822e1a28abe054afc6c5/html5/thumbnails/9.jpg)
• ERROR ESTÁNDAR DE LA MEDIA (ó desvío estándar de las medias muestrales)
nx
![Page 10: Estimacion de Parametros](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020107/577c822e1a28abe054afc6c5/html5/thumbnails/10.jpg)
Consecuencias del Teorema
• Cualquiera sea la distribución de la población, cuando n >= 30 , la distribución de los promedios muestrales será aproximadamente normal.
• Si la distribución de la población tiene una simetría razonable, la distribución en el muestreo de la media, para n por lo menos de 15, también tiene distribución normal.
• Si la distribución de la población es normal, la distribución en el muestreo de la media, para cualquier tamaño de muestra, también tiene distribución normal
![Page 11: Estimacion de Parametros](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020107/577c822e1a28abe054afc6c5/html5/thumbnails/11.jpg)
De acuerdo al TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL: podremos
entonces considerar a la distribución de las medias
muestrales
),(n
Nx
![Page 12: Estimacion de Parametros](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020107/577c822e1a28abe054afc6c5/html5/thumbnails/12.jpg)
ESTIMACIONES DE PARAMETROS
• Estimación puntual: Usa un solo valor de la muestra para estimar el
parámetro de la población
22
S
x
![Page 13: Estimacion de Parametros](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020107/577c822e1a28abe054afc6c5/html5/thumbnails/13.jpg)
Estimación Busco una relación en la que intervengan el
parámetro desconocido junto con su estimador y de modo que estos se distribuyan según una ley de probabilidad que es bien conocida y de ser posible tabulada.
Tomamos un intervalo que contenga una masa de probabilidad determinada que llamamos 1-
Este intervalo lo tomamos simétrico con respecto a la media, allí es donde se acumula más masa (para que sea lo más pequeño posible)
![Page 14: Estimacion de Parametros](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020107/577c822e1a28abe054afc6c5/html5/thumbnails/14.jpg)
ESTIMACIONES DE PARAMETROS
• Estimación por intervalos: En lugar de tener una estimación basada
en un solo valor, se toma un intervalo, que tiene una confianza específica, o probabilidad de estimar en forma correcta el valor real del parámetro de la población.
![Page 15: Estimacion de Parametros](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020107/577c822e1a28abe054afc6c5/html5/thumbnails/15.jpg)
ESTIMACIONES DE PARAMETROS
• Estimación puntual: Usa un solo valor de la muestra para estimar el
parámetro de la población
22
S
x
![Page 16: Estimacion de Parametros](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020107/577c822e1a28abe054afc6c5/html5/thumbnails/16.jpg)
La distribución y el intervalo más pequeño posible
![Page 17: Estimacion de Parametros](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020107/577c822e1a28abe054afc6c5/html5/thumbnails/17.jpg)
INTERVALO PARA LA MEDIA SI SE CONOCE LA VARIANZA DE
LA POBLACIONcon un nivel de confianza de 1
1..
nzx
nzxp
nzx
![Page 18: Estimacion de Parametros](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020107/577c822e1a28abe054afc6c5/html5/thumbnails/18.jpg)
INTERVALO PARA LA MEDIA SI NO SE CONOCE LA VARIANZA
DE LA POBLACIONcon un nivel de confianza 1
1..
11
nStx
nStxp nn
nStx
![Page 19: Estimacion de Parametros](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020107/577c822e1a28abe054afc6c5/html5/thumbnails/19.jpg)
La distribución de Student
![Page 20: Estimacion de Parametros](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020107/577c822e1a28abe054afc6c5/html5/thumbnails/20.jpg)
Función de densidad de una de distribución t de Student
![Page 21: Estimacion de Parametros](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020107/577c822e1a28abe054afc6c5/html5/thumbnails/21.jpg)
Comparación entre las funciones t (para n=1) y Normal N(0,1)
![Page 22: Estimacion de Parametros](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020107/577c822e1a28abe054afc6c5/html5/thumbnails/22.jpg)
Cuando aumentan los g. de libertad, la distribución t se
aproxima a la distribución normal estándar.
![Page 23: Estimacion de Parametros](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020107/577c822e1a28abe054afc6c5/html5/thumbnails/23.jpg)
Características de la distribución t de Student
• Al igual que la distribución Z, es una distribución continua• La distribución t tiene una media de cero, es simétrica
respecto de la media y se extiende de - á + • Tiene forma acampanada • No hay una distribución t, sino una "familia" de distribuciones
t, todas con la misma media cero, pero con su respectiva desviación estándar diferente de acuerdo con el tamaño (n) de la muestra.
• La distribución t es más ancha y más plana en el centro que la distribución normal estándar como resultado de ello se tiene una mayor variabilidad en las medias de muestra calculadas a partir de muestras más pequeñas, pero a medida que aumenta el tamaño de la muestra, la distribución t se aproxima a la distribución normal estándar
.
![Page 24: Estimacion de Parametros](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020107/577c822e1a28abe054afc6c5/html5/thumbnails/24.jpg)
![Page 25: Estimacion de Parametros](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020107/577c822e1a28abe054afc6c5/html5/thumbnails/25.jpg)
Cálculo de t
nSxt
n
1
![Page 26: Estimacion de Parametros](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020107/577c822e1a28abe054afc6c5/html5/thumbnails/26.jpg)
Determinación del tamaño de la muestra para la media
2
22.
.
ezn
ezn
despejandon
ze
ex
![Page 27: Estimacion de Parametros](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020107/577c822e1a28abe054afc6c5/html5/thumbnails/27.jpg)
Siendo• e = error muestral, es la diferencia entre
el promedio de la muestra y el promedio de la población (error muestral permitido)
• Z = que depende del nivel de confianza• = varianza de la población
2
![Page 28: Estimacion de Parametros](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020107/577c822e1a28abe054afc6c5/html5/thumbnails/28.jpg)
Planteo un problema para estimar la proporción de una población
Una empresa recibe una partida de tubos de ensayo más económicos que lo habitual.El propietario de la empresa desea estimar la proporción de tubos defectuosos. Para esto se toma una muestra de 200 tubos y en ella se encuentran 20 defectuosos. Establecer una estimación por intervalo, con 90% de confianza, de la proporción de tubos defectuosos recibidos. Si la partida se puede devolver en caso de más del 5% de defectuosos, entonces en base a los resultados obtenidos con la muestra, ¿está en condiciones el propietario de la empresa de solicitar le cambien la partida?
![Page 29: Estimacion de Parametros](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020107/577c822e1a28abe054afc6c5/html5/thumbnails/29.jpg)
Distribución en el muestreo de la proporción
Primero, hay que recordar: • la distribución Binomial se puede aproximar a
la distribución Normal cuando
• Para la distribución binomial el
• La desviación estándar
5. pn
pn.
qpn ..
![Page 30: Estimacion de Parametros](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020107/577c822e1a28abe054afc6c5/html5/thumbnails/30.jpg)
Si en lugar de considerar el número de éxitos, consideramos la proporción de éxitos en los n ensayos que determinan el experimento
p= x/nla media para la proporción de éxitos
el error estándar de la proporción de éxitos Recordando por el Teorema del Límite Central ahora
pp
nqp
p.
x
xZ
nqpppZ´´.
´
![Page 31: Estimacion de Parametros](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020107/577c822e1a28abe054afc6c5/html5/thumbnails/31.jpg)
• Siendo:• p´= x/n donde x es el número de éxitos de
una muestra • q´= 1-p´• n = tamaño de la muestra
• En se usan los valores de la muestra ya que los de la población son justamente los que se deben estimar
nqp
![Page 32: Estimacion de Parametros](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020107/577c822e1a28abe054afc6c5/html5/thumbnails/32.jpg)
INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA PROPORCIÓN DE UNA POBLACIÓNcon un nivel de confianza de 1
nqpzpp
.
1´´..´´´..´
nqpzpp
nqpzpP
![Page 33: Estimacion de Parametros](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020107/577c822e1a28abe054afc6c5/html5/thumbnails/33.jpg)
Resolución del problema planteado de proporción
:%90%)48,13%5,6(%90)1348,0065,0(
%90)0348,010,00348,010,0(
%90200
90,0.10,0.64,110,0200
90,0.10,0.64,110,0
ConclusiónpPpP
pP
pP
![Page 34: Estimacion de Parametros](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020107/577c822e1a28abe054afc6c5/html5/thumbnails/34.jpg)
Determinación del tamaño de la muestra para la proporción
2
2 ´´..
´´..
''..
´
eqpzn
eqpzn
despejandonqpze
epp
![Page 35: Estimacion de Parametros](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020107/577c822e1a28abe054afc6c5/html5/thumbnails/35.jpg)
Distribución Ji ó Chi cuadrado:Si de una población normal se obtienen muestras de tamaño n, la distribución en el muestreo de:
Los coeficientes son positivos y la curva no es simétrica , pero para
2
22 .1
Sn
Nn 2
2
![Page 36: Estimacion de Parametros](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020107/577c822e1a28abe054afc6c5/html5/thumbnails/36.jpg)
Distribución Ji ó Chi cuadradaSi de una población normal se obtienen todas
las muestras de tamaño n, la distribución en el muestreo de
Tiene una distribución de probabilidad con asimetría positiva, los coeficientes son positivos, la curva no es simétrica , pero para:
2
22 1
Sn
Nn 2
2
![Page 37: Estimacion de Parametros](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020107/577c822e1a28abe054afc6c5/html5/thumbnails/37.jpg)
DISTRIBUCION JI ó CHI CUADRADO para distintos tamaños de muestra
![Page 38: Estimacion de Parametros](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020107/577c822e1a28abe054afc6c5/html5/thumbnails/38.jpg)
INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA VARIANCIA DE UNA POBLACIÓNcon un nivel de confianza de:
1).1().1(2
22
2
2 SnSnp
Despejo
De
1
2
22 .1
Sn
2
22 1
Sn
![Page 39: Estimacion de Parametros](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020107/577c822e1a28abe054afc6c5/html5/thumbnails/39.jpg)
PRUEBAS DE HIPOTESISUna hipótesis estadística es una proposición o
supuesto respecto a un parámetro de una ó más poblaciones.
Las hipótesis son proposiciones sobre los parámetros de la población, no de las muestras.
El procedimiento que conduce a una decisión sobre la hipótesis planteada recibe el nombre de prueba de hipótesis.
Este procedimiento depende del empleo de la información contenida en una muestra de la población.
![Page 40: Estimacion de Parametros](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020107/577c822e1a28abe054afc6c5/html5/thumbnails/40.jpg)
Procedimiento general para la prueba de hipótesis
• Establecer la hipótesis nula H0
• Establecer la hipótesis alternativa H1• Establecer un estadístico de prueba apropiado (Z , t, ji
cuadrado, F)• Establecer la región de rechazo y la región de no rechazo ó
aceptación.Con el fin de tomar una decisión respecto de la hipótesis nula, debemos determinar el valor critico del estadístico de prueba.
• Sustituir en la ecuación del estadístico de prueba las cantidades determinadas por la muestra.
• Determinar si la prueba ha caído en la región de rechazo o en la de no rechazo, o sea verificar si se debe ó no rechazar la hipótesis nula.
• Expresar la decisión estadística en términos del problema.
![Page 41: Estimacion de Parametros](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020107/577c822e1a28abe054afc6c5/html5/thumbnails/41.jpg)
Tipos de Pruebas de Hipótesis• Una prueba con hipótesis planteada de la
siguiente manera:
Se denomina prueba bilateral.
01
00
HH
![Page 42: Estimacion de Parametros](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020107/577c822e1a28abe054afc6c5/html5/thumbnails/42.jpg)
En una prueba bilateral, la región de rechazo se separa en dos partes con la misma
probabilidad en cada cola de la distribución del estadístico de prueba.
![Page 43: Estimacion de Parametros](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020107/577c822e1a28abe054afc6c5/html5/thumbnails/43.jpg)
Tipos de Pruebas de Hipótesis
• Una prueba con hipótesis planteada de la siguiente manera:
ó
Se denomina prueba unilateral.
01
00
HH
01
00
HH
![Page 44: Estimacion de Parametros](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020107/577c822e1a28abe054afc6c5/html5/thumbnails/44.jpg)
En una prueba unilateral:Para el primer caso: La región de rechazo es
una sola, y se encuentra en la cola superior de la distribución del estadístico de prueba.
01
00
HH
![Page 45: Estimacion de Parametros](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020107/577c822e1a28abe054afc6c5/html5/thumbnails/45.jpg)
Para el segundo caso: La región de rechazo es una sola, y se encuentra en la cola inferior de la distribución del estadístico de prueba.
01
00
HH
![Page 46: Estimacion de Parametros](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020107/577c822e1a28abe054afc6c5/html5/thumbnails/46.jpg)
Grados de libertadPara el cálculo de un estadístico, es necesario emplear tanto observaciones de muestra como propiedades de ciertos parámetros de la población. Si estos parámetros son desconocidos, hay que estimarlos a partir de la muestra; el número de grados de libertad de un estadístico, se define como el número “n" de observaciones independientes en la muestra (o sea, el tamaño de la muestra) menos el número K de parámetros de la población, que debe ser estimado a partir de observaciones muéstrales.En símbolos, g.l. = n – k.
![Page 47: Estimacion de Parametros](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020107/577c822e1a28abe054afc6c5/html5/thumbnails/47.jpg)
Prueba de hipótesis bilateral para la varianza
![Page 48: Estimacion de Parametros](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020107/577c822e1a28abe054afc6c5/html5/thumbnails/48.jpg)
Prueba de hipótesis unilateral para la varianza
![Page 49: Estimacion de Parametros](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020107/577c822e1a28abe054afc6c5/html5/thumbnails/49.jpg)
Prueba de hipótesis unilateral para la varianza
![Page 50: Estimacion de Parametros](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020107/577c822e1a28abe054afc6c5/html5/thumbnails/50.jpg)
El problema de rechazar o aceptar una hipótesis puede plantearse como un problema de decisión, en el que evidentemente existe la posibilidad de fracasar o acertar en la elección o decisión a la hora de concluir que la hipótesis, bien nula o bien alternativa, son rechazables o no.
![Page 51: Estimacion de Parametros](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020107/577c822e1a28abe054afc6c5/html5/thumbnails/51.jpg)
Relación entre los errores
En realidad no hay una elección que minimice a β y α simultáneamente, pues, como se observa, su comportamiento es inverso
![Page 52: Estimacion de Parametros](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020107/577c822e1a28abe054afc6c5/html5/thumbnails/52.jpg)
Cuando se realiza una prueba de hipótesis pueden suceder las
siguientes situaciones:
No rechazar Ho Rechazar Ho
Ho es cierta Correcto Error tipo I
Probabilidad: 1-α
Probabilidad: α
Ho es falsa Error Tipo II Correcto
Probabilidad: β
Probabilidad: 1-β
![Page 53: Estimacion de Parametros](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020107/577c822e1a28abe054afc6c5/html5/thumbnails/53.jpg)
Prueba de hipótesis para dos poblaciones
PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS DE POBLACIONES CON DISTRIBUCIÓN NORMAL (Con muestras independientes)
Planteadas así ó
211
210
::
HH
0:0:
211
210
HH
![Page 54: Estimacion de Parametros](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020107/577c822e1a28abe054afc6c5/html5/thumbnails/54.jpg)
SE CONOCEN LAS VARIANZAS POBLACIONALES ( y )
Antes z se calculaba:
Ahora:
21 2
2
2
22
1
21
21
nn
xxzcalc
n
xZ
![Page 55: Estimacion de Parametros](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020107/577c822e1a28abe054afc6c5/html5/thumbnails/55.jpg)
NO SE CONOCEN LAS VARIANZAS POBLACIONALES ( y )Si se considera que:
Se estima una varianza conjunta
22
21
21 2
2
Ahora
21
21
11nn
s
xxt
p
calc
2
11
21
222
2112
nn
snsns p
nSxt
Antes
![Page 56: Estimacion de Parametros](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020107/577c822e1a28abe054afc6c5/html5/thumbnails/56.jpg)
Si se considera que: 22
21
NO SE CONOCEN LAS VARIANZAS POBLACIONALES ( Y )2
1 22
Ahora
2
22
1
21
21
ns
ns
xxtcalc
![Page 57: Estimacion de Parametros](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020107/577c822e1a28abe054afc6c5/html5/thumbnails/57.jpg)
OBSERVACIONES PAREADASCuando los datos se obtienen antes y después de
realizar un determinado proceso.Ahora:
Es el promedio de las diferencias de las muestras
Es el desvío estándar de las diferencias de las muestras
nSdtd
calc
d
dS
![Page 58: Estimacion de Parametros](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020107/577c822e1a28abe054afc6c5/html5/thumbnails/58.jpg)
PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA COMPARAR LAS DESVIACIONES
ESTÁNDAR DE DOS POBLACIONES
Las hipótesis se plantean de la siguiente manera:
211
210
::
HH
0:0:
211
210
HH
![Page 59: Estimacion de Parametros](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020107/577c822e1a28abe054afc6c5/html5/thumbnails/59.jpg)
Se usa el estadístico F, que considera el cociente de las varianzas de las dos muestras:
La distribución F ó de Snedecor está tabulada, no es simétrica (tiene asimetría positiva), sólo toma valores positivos, y siempre se debe colocar en el numerador el S mayor.
Determino valores críticos.
2
2
2
1
SSF
![Page 60: Estimacion de Parametros](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020107/577c822e1a28abe054afc6c5/html5/thumbnails/60.jpg)
La tabla contiene los valores teóricos de F
correspondientes a la cola superior de la curva , como la curva no es simétrica, para calcular el valor de F de la cola inferior:
a= grados de libertad de la muestra 1b= grados de libertad de la muestra 2
),sup(1),inf(abF
baF