estimacion de modelos de ecuaciones simultaneas

Naturaleza de los modelosEl problema de la identificacion

Estimacion

Estimacion de la Forma Reducida.Estimacion de la Forma EstructuralConclusionesApendice

Indice de Contenidos

1 Naturaleza de los modelosIntroduccionModelos de sistemas de ecuacionesForma estructural del modeloForma reducida del modeloHipotesis del modeloConclusiones

2 El problema de la identificacionIntroduccionIdentificacion con restricciones de nulidad

Condicion de ordenCondicion de rango de la forma estructuralCondicion de rango de la forma reducida

Identificacion con restricciones linealesConclusiones

3 EstimacionEstimacion de la Forma Reducida.Estimacion de la Forma Estructural

Mınimos Cuadrados OrdinariosMınimos Cuadrados IndirectosMınimos Cuadrados Dos EtapasMınimos Cuadrados Tres Etapas

ConclusionesApendice

Modelos de Ecuaciones Simultaneas


Estimacion


Estimacion de modelos de ecuaciones simultaneas

En los temas anteriores hemos podido estudiar cuando la forma estructural de unmodelo de ecuaciones simultaneas puede ser estimado a partir de la informacion quearroja la forma reducida del mismo.Recordemos que un modelo esta identificado, recurriendo a la condicion de rango de laforma estructural, cuando se verifica

ρ(Ah) = g − 1

En esta situacion, y dependiendo los resultados obtenidos en la condicion de ordenclasificabamos una ecuacion como:

exactamente identificada si (g − g ′) + (k − k ′) = g − 1

o sobreidentificada si (g − g ′) + (k − k ′) > g − 1

A lo largo de este tema, se centrara el estudio en la estimacion de los valores de losparametros que describen el modelo de ecuaciones simultaneas. Para ello se describiranlos distintos metodos existentes para realizar la estimacion de los parametros de:

la forma reducida (Π)

y los parametros de la forma estructural (β y Γ)



Estimacion












Estimacion


Estimacion de la Forma Reducida

Utilizando como punto de partida los resultados mostrados en el capıtulo 1, se sabeque la expresion del modelo en su forma reducida corresponde a

Y = XΠ + V.

Centrando la atencion en la ecuacion h-esima, y teniendo en cuenta los estudiosrealizados sobre este tipo de modelos, se verifica que el EMCO de πh de dichaecuacion, yh = Xπh + vh, viene dado por la expresion

πh = (X’X)−1X’yh

Como consecuencia a los comentarios realizados se verifica que el EMCO de la matrizΠ es

Π = [π1·. . .·πg ] = [(X’X)−1X’y1·. . .·(X’X)−1X’yg ] = (X’X)−1X’[y1·. . .·yg ] = (X’X)−1X’Y

Propiedades

Suponiendo que se cumplen las hipotesis basicas del modelo de regresion el estimadores:

Insesgado.

Consistente.



Estimacion


Ejercicio 1

Demostrar las propiedades de insesgadez y consistencia que presenta el estimador de laforma reducida.

Ejercicio 2

El modelo dado por:

y1t =β12y2t + γ11x1t + γ13x3t + u1t

y2t =β21y1t + γ22x2t + u2t

genera la siguiente matriz de momentos de segundo orden

y1 y2 x1 x2 x3

y1 2 3 1 1 0y2 6 1 3 4x1 1 0 0x2 1 1x3 1

Obtener la estimacion de la forma reducida utilizando la informacion muestral.Expresar el modelo de ecuaciones simultaneas estimado utilizando los resultadosobtenidos.



Estimacion












Estimacion


Estimacion de la Forma Estructural

Una vez realizada la identificacion de los modelos de ecuaciones simultaneas,centraremos nuestra atencion, a lo largo de esta seccion, en la estimacion de losparametros que vienen descritos en el modelo estructural.Los metodos de estimacion de modelos multiecuacionales se clasifican en tres grupos:

Metodos Directos. Cada ecuacion del modelo se estima como si estuvieraaislada, sin considerar el resto de ecuaciones del modelo, y sin distinguir entrevariables endogenas y predeterminadas. Es por ello, que se recurrira a uno de losmetodos de estimacion mas usuales, como son por ejemplo los MCO.

Metodos con informacion limitada. Se caracterizan porque estiman cadauna de las ecuaciones por separado, y realizando distincion entre variablesendogenas y predeterminadas. Dentro de los metodos con informacion limitada sedistinguen:

Mınimos cuadrados indirectos, MCI.Mınimos cuadrados dos etapas o bietapicos, MC2E.Variables instrumentales, VI.Maxima verosimilitud con informacion limitada.

Metodos con informacion completa. Estos metodos consideran toda lainformacion del modelo para realizar la estimacion conjunta de este, consiguiendoası estimar el modelo en su totalidad, en lugar de, ecuacion por ecuacion. Entreellos se distinguen:

Mınimos cuadrados tres etapas o trietapicos, MC3E.Maxima verosimilitud con informacion completa.



Estimacion


Relacion entre identificacion y estimacion

La estimacion de los coeficientes de un modelo esta condicionada por los resultadosque se obtienen a la hora de realizar la identificacion.

No identificada Cuando la ecuacion en estudio no este identificada, y teniendo encuenta que el metodo de mınimos cuadrados ordinarios (MCO) norequiere la identificacion del modelo, se recurrira a este para realizarla estimacion de los parametros.

Exactamente identificada Se utilizara el metodo de mınimos cuadrados indirectos(MCI), mınimos cuadrados dos etapas (MC2E), variablesinstrumentales (VI) o mınimos cuadrados tres etapas (MC3E).Notese que en este caso las estimaciones obtenidas por los metodoscoinciden entre sı.

Sobreidentificada En el caso de que la ecuacion en estudio este sobreidentificada,se utilizaran mınimos cuadrados dos etapas (MC2E), variablesinstrumentales (VI) o mınimos cuadrados tres etapas (MC3E).



Estimacion


Mınimos Cuadrados Ordinarios, MCO.

El metodo de mınimos cuadrados ordinarios viene caracterizado por no exigir que lasecuaciones del modelo esten identificadas.Para estimar los parametros de la ecuacion h−esima del modelo,

yh =[Yh Xh

] [βh

γh

]+ uh = Zhδh + uh

utilizaremos el EMCO δh,MCO =(Z′hZh

)−1Z′hyh donde

Zh = (YhXh), donde Yh son las variables endogenas que actuan comoexplicativas en la ecuacion a estimar y Xh contiene las variables predeterminadasde tal ecuacion.

yh es la variable endogena que esta siendo explicada en la ecuacion.

Propiedades

Generalmente proporcionan estimadores:

Sesgado e inconsistente.

Sin embargo, en modelos recursivos los estimadores son:

Insesgado y consistente.

Nota de interes

Los estimadores MCO no son consistentes como consecuencia de la simultaneidad quese describen en los modelos de ecuaciones simultaneas. Sin embargo, en el caso de noexistir esa simultaneidad, siempre sera recomendable utilizar las estimaciones de MCO.



Estimacion


Mınimos Cuadrados Ordinarios, MCO.

Ejercicio 1

Teniendo en cuenta que el estimador del metodo de mınimos cuadrados ordinariosviene descrito mediante la expresion

δh,MCO =(Z′hZh

)−1Z′hyh

compruebe que es un estimador sesgado e inconsistente.

Ejercicio 2

Dado el modelo multiecuacional

y1t =α1y2t + α2x1t + α3x3t + u1t

y2t =β1y1t + β2x2t + u2t

Sabiendo que las sumas de los productos cruzados son:∑

y21t = 4

∑y1t x1t = 3

∑y2t x1t = 2

∑x2

1t = 4∑

x1t x2t = 0∑y2

2t = 2∑

y1t x2t = 0∑

y2t x2t = 4∑

x22t = 1

∑x1t x3t = 2∑

y1t y2t = 6∑

y1t x3t = 2∑

y2t x3t = 1∑

x23t = 3

∑x2t x3t = 1

Estimar cada una de las ecuaciones que determinan el modelo utilizando MCO.



Estimacion


Mınimos Cuadrados Indirectos, MCI.

La estimacion de los parametros estructurales de una ecuacion del modelo, utilizandoel metodo de mınimos cuadrados indirectos, solamente se podra aplicar si la ecuacionesta exactamente identificada. En el caso de no verificarse esta condicion habra querecurrir a otros metodos para realizar la estimacion.A la hora de aplicar dicho metodo se seguiran los siguientes pasos:

1 Estimar la matriz de los coeficientes de la forma reducida utilizando MCO.

2 Estimar los coeficientes estructurales a partir de las relaciones algebraicasexistentes entre los coeficientes estructurales y los de la forma reducida, es decir

resolveremos el sistema Πβh = −γh donde

βh Es la h−esima columna de β.

γh Es la columna analoga a βh en la matriz Γ.

Propiedades

Los estimadores obtenidos con el metodo de mınimos cuadrados indirectos son:

Sesgados.

Consistentes.



Estimacion


Mınimos Cuadrados Indirectos, MCI.

Ejercicio 1

Sabiendo que el estimador de mınimos cuadrados indirectos viene determinado por laexpresion

δh,MCI =(X′Zh

)−1X′yh

compruebe que es un estimador sesgado y consistente.

Ejercicio 2

Dado el modelo

Y1t =α0 + α1Y2t + α2X2t + u1t

Y2t =β0 + β1Y1t + β2X1t + u2t

1 ¿Es posible obtener los parametros de la expresion estructural del modelo una vezconocidos los parametros correspondientes a la forma reducida?

2 Obtenga la estimacion de los parametros de la forma estructural, siempre ycuando sea posible, sabiendo que

Π =

1 32 11 2



Estimacion


Mınimos cuadrados dos etapas, MC2E.

Es uno de los procedimientos mas utilizados puesto que puede emplearse tanto enecuaciones que esten exactamente identificadas como en ecuaciones sobreidentificadas.Tal y como indica su propio nombre, este metodo consta de dos etapas:

1a ETAPA. Se estiman cada una de las variables endogenas utilizando laestimacion del modelo en forma reducida. De esta forma se elimina la correlacionexistente entre las variables endogenas y las perturbaciones.

2a ETAPA. Una vez obtenidas las estimaciones de cada una de las variablesendogenas, se sustituyen en las ecuaciones iniciales las estimaciones de lasvariables endogenas que actuan como explicativas, y a continuacion, se aplicaMCO sobre las ecuaciones estructurales modificadas.

Como se muestra a continuacion, el metodo de MC2E tambien puede ser aplicadoutilizando diferentes herramientas. Tal y como se ha comentado en el paso segundo, se

sustituye Yh por Yh. De esta forma se el modelo queda descrito por:

yh =[Yh Xh

] [βh

γh

]+ uh = Zhδh + eh

donde eh = uh + vhβh.

Nota de interes

Si la ecuacion esta exactamente identificada, las estimaciones obtenidas medianteMC2E y MCI coinciden



Estimacion


1a FORMA

δh,MC2E =

[Y ′hX (X ′X )−1X ′Yh Y ′hXh

X ′hYh X ′hXh

]−1 [Y ′hX (X ′X )−1X ′yh

X ′hyh

]

=

[Π′hX ′Yh Y ′hXh

X ′hYh X ′hXh

]−1 [Π′hX ′yh

X ′hyh

]

donde Πh es la matriz formada por las estimaciones, obtenidas en la forma reducida,de las variables endogenas que actuan como explicativas, X ′Yh contiene las variablespredeterminadas de la ecuacion, X ′hXh matriz formada por todas las variablespredeterminadas que aparecen en la ecuacion en estudio, X ′hyh la matriz vienedeterminada por las variables predeterminadas que vienen descritas en la ecuacion y laendogena que esta siendo explicada.

2a FORMA

δh,MC2E =

[Y ′hX (X ′X )−1X ′Yh Y ′hXh

X ′hYh X ′hXh

]−1 [Y ′hX (X ′X )−1X ′yh

X ′hyh

]=[Z′hZh

]−1Z′hyh

donde Zh =[Yh Xh

], Yh contiene las estimaciones de las variables endogenas

explicativas de la ecuacion en estudio obtenidas al estimar la forma reducida, yh es lavariable endogena del primer miembro de dicha ecuacion y Xh contiene las variablespredeterminadas de la ecuacion en estudio.



Estimacion


Ejercicio 1

Sabiendo que el estimador de mınimos cuadrados dos etapas viene determinado por laexpresion

δh,MC2E =(

Z′hZh

)−1Z′hyh

compruebe que es un estimador sesgado y consistente.

Ejercicio 2

Sea el modelo

y1t =α1y2t + α2x1t + u1t

y2t =β0 + β1y1t + β2x2t + u2t

Teniendo en cuenta la informacion referente a las matrices (X ′X )−1 y Π, estime cadauna de las ecuaciones razonando el uso del metodo seleccionado.

X ′X =

2 0 00 1 00 0 4

Π =

2 1,55 8

1,5 3



Estimacion


Mınimos Cuadrados Tres Etapas

El metodo de mınimos cuadrados en tres etapas (MC3E), junto con el de maximaverosimilitud con informacion completa, son tecnicas que permiten estimar de manerasimultanea todos los parametros del modelo estructural.Si partimos de una ecuacion h del modelo estructural

yh =[Yh Xh

] [βh

γh

]+ uh = Zhδh + uh

cuya forma matricial quedarıa

y1

y2

...yg

=

Z1 0 · · · 00 Z2 · · · 0...0 0 · · · Zg

δ1

δ2

...δg

+

u1

u2

...ug

o tambieny = Zδ + u

Teniendo en cuenta las hipotesis relativas a las perturbaciones:

1 E [uj ] = 0 para j = 1, 2, . . . , n

2 E [ui u′j ] = 0 ∀i 6= j

3 E [ui u′i ] = Σ

y que el vector u contiene las n perturbaciones de las g ecuaciones



Estimacion


Entonces se describe la matriz de varianzas y covarianzas del modelo matricial como:

E [uu′] =

σ21 I σ12I . . . σ1g I

σ21I σ22 I . . . σ2g I

.

.

.... . . .

.

.

.σg1I σg1I . . . σ2

g I

= Σ⊗ I = V

donde ⊗ representa el producto de Kronecker.A partir de la matriz de varianzas y covarianzas se deduce que:

los terminos de las perturbaciones seran homoscedasticos,

no autocorrelacionados para perturbaciones no contemporaneas,

correlacionados para perturbaciones contemporaneas entre dichas ecuaciones.

Debido a que la matriz no es diagonal sera conveniente aplicar mınimos cuadradosgeneralizados (MCG). El principal inconveniente que presenta dicho metodo es que Σes desconocida.



Estimacion


Para intentar resolver este problema, y conseguir ası describir un estimadorconsistente, se ha propuesto utilizar MC3E de la siguiente manera:

1 Utilizando MC2E se estiman cada una de las ecuaciones del modelo.

2 Estimamos la matriz V,(

V−1 = σ−1 ⊗ X (X ′X )−1 X ′)

. Para ello estimamos los

elementos de la matriz Σ mediante la expresion

σhj =e′hej

n

donde eh = yh − Zh δh,MC2E

3 Aplicar MCG utilizando la expresion

δMC3E =[Z′V−1

Z]−1

Z′V−1

y

donde V es la estimacion de V realizada en la etapa anterior y

Z =

X (X ′X )−1X ′Z′1 0 · · · 00 X (X ′X )−1X ′Z′2 · · · 0...

... · · ·...

0 0 · · · X (X ′X )−1X ′Z′g



Estimacion


Propiedades

El estimador MC3E puede interpretarse como un estimador de VI.

Debido a la propiedad anterior dicho estimador es consistente.

Si la correlacion entre perturbaciones contemporaneas entre distintas ecuacioneses nula, σij = 0 ∀i 6= j , entonces el estimador MC3E coincide con el estimadorMC2E.

Si todas las ecuaciones del modelo estan exactamente identificadas entoncestambien coincidiran MC3E y MC2E.

Generalmente MC3E sera asintoticamente mas eficiente que MC2E, salvo quehaya errores de especificacion del modelo.

Para aplicar MC3E se requiere que todas las ecuaciones sean identificables.



Estimacion












Estimacion


En resumen, es necesario saber ...

Forma Reducida

METODO ESTIMADOR PROPIEDADES CARACTERISTICAS ECUACION

ECUACION

MCO Π = (X’X)−1X’Y Insesgado Ningunaconsistente

Forma Estructural

METODO ESTIMADOR PROPIEDADES CARACTERISTICAS

ECUACION

MCO δh,MCO =(

Z′hZh

)−1 Z′hyh Sesgado Cualquierinconsistente ecuacion

. . . . . .

MCI δh,MCI =(

X′Zh

)−1 X′yh Sesgados EcuacionesConsistentes Exact. Identif.

. . . . . .

MC2E δh,MC2E =[Z′hZh

]−1Z′hyh Sesgados Ecuaciones

Consistentes identificalbes. . . . . .

MC3E δMC3E =[

Z′V−1

Z]−1

Z′V−1

y Consistentes Ecuaciones

identificalbes



Estimacion












Estimacion


TEOREMA DE MANN Y WALD Sea Xn×k y sea u1×g el vector de perturbaciones

aleatorias tal que

E(u) = 0

E(x ′hu) = 0 con h = 1, . . . , n donde xh es la columna h−esima de la matriz X

p lım(

X ′Xn

)=∑

X ′X <∞ donde∑

X ′X es una matriz definida positiva.

Entonces se verifica que

p lım(

X ′un

)= 0k

X ′u√n∼ N(0, σ2

u

∑X ′X )

Nota de interes

Una regla que suele ser utilizada cuando hay sumatorios en n, consiste en multiplicar ydividir por n para describir a partir de dichos sumatorios los momentos muestrales,consiguiendo ası facilitar los calculos que se deben hacer. Ası pues, cuando se realizap lım los resultados tenderan a los momentos poblacionales y por tanto, en el caso desuponer que X no esta correlacionada con u, las covarianzas que se describen entreellas seran cero.


estimacion de modelos de ecuaciones simultaneas

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