ESTLMACION BAYESIANA DE LA PRO,BABII,1DAD

DE M U E R T E

Angel Vegas P6rez

Catedr~tico de la Univers idad de Madrid

Un pr imer paso para la estimaci6n del modelo biom6trico con- siste en la estimaci6n de la probabi l idad de muer te q., ya que de esta estimaci6n podemos pasar a la de ~t., y de esta fo rma dispondremos de las ecuaciones de observaci6n precisas para la inferencia del modelo radieado en una estructura biom6trica.

La cuesti6n que ahora trataremos, por tanto, es la de la esti- maci6n de la probabilidad habida cuenta de la existeneia de una informaci6n estadlstica.

Si suponemos conocida la funci6n de distribuci6n de la proi~,a- bi l idad condieionada a la informaei6n estadistica I, F(q/1)

Prob. (31 <~ q/I) tomaremos como estimaci6n de q el valor medio

-q = E(M/I) = fa qdF(q/I) [1]

en la que ~ es el intervalo en el que se considera delinida q.

La soluci6n de la cuesti6n p lan teada exige el conocimiento de la distribuci6n F(q/I), y para ello par t i remos del teorema de Bayes

Pr. (I/M <~ q) F(q) F(q/~) ~ Pr. q) [23

es decir,

dF(q/I) - - Pr. ( I /q) dF(q) Pr. (I) [3]

La in fo rmae idn es tadis t iea I eonsis t i r& en nues t ro caso, en E~ nf imero de indiv iduos de edad x expues tos aI riesgo de m u e r t e du ran t e un afio y D~ nf imero de muer tos , de entre los que inte- g-ran E,, antes de a lcanzar la edad x q- 1.

S u p o n d r e m o s que la p r o b a b i l i d a d de m u e r t e s61o depende de la edad x, lo que lleva en si la hipdtes is de que el t i empo fisieo que d e f n e el pe r iodo de observae i6n , no afecta en nada a la p ro- baJbilidad de muer te , es deeir, al f e n d m e n o de la supervivencia .

Po r otra parte , s u p o n d r e m o s t ambiSn que la m o r t a l i d a d de los e lementos de E, define f e n d m e n o s es tochs t ieamente indepen- dientes.

De acue rdo con estas hipd/es is se p u e d e eo,nsiderar el nflme- ro n de expues tos al r iesgo eomo. in tegrado p o r un eon jun to de va r i an tes d ieotdmieas ,~ que t o m a n los va lores 1 y O, es deeir,

. . . . . [4]

el va lor 1 co r r e sponde al caso de m u e r t e antes de a lcanzar la edad x q- 1, y 0, al de superv ivene ia .

E v i d e n t e m e n t e n

- - = [5] D~

En tfirminos m~s prec isos p o d r e m o s expresa rnos dic iendo que los expues tos al r iesgo de m u e r t e no son o t ra eosa que una roues t ra s imple Rue engendra una suees idn b ina r i a o d ieotdmiea y per- mutable , y a clue el o rden en que se p r o d u z e a n los fa l l ee imien tos no juega ningfin pape l r e spee to a la impor t anc i a y ca tegor ia de Ia i n fo rmac idn estadist ica.

La in fo rmac i6n es tadis t ica viene, po r tanto, definida p o r E . y D. o tambi~n p o t D. y V~ --~ E~ - - D. , es decir, po r el nf lmero de

8

expues tos al r iesgo y el nf lmero de fa l lec idos o de superv iv ien tes p roceden te s de E~.

Con el fin de d e t e r m i n a r dF(q/I) en [3], c o m e n z a r e m o s p o r ob tene r el va lo r de Pr(I) = ~(D., V.), es decir, la p r o b a b i l i d a d de que se p r o d u z c a n D. f a l l ec imien tos y V~ supervivencias .

Po r t ra ta rse de una sucesi6n b ina r i a y pe rmutab le , la ,~(D, V) cumpl i r~ la sigtfiente ecuaci6n en d i fe renc ias

�9 (D, V) = ~(D q- 1, V) + ~(D, V + 1) [6]

ya que si a u m e n t a m o s en uno el nf lmero de expues tos al riesgo, f o r zosamen te se p roduc i rh el hecho s u m a de fa l lec imien to o su- pe rv ivenc ia del nuevo e lemento , s iendo incompa t ib l e s ambas po- s ibi l idades .

L a soluci6n general de la ecuac i6n [6] se ob tendrh de la f o r m a s iguiente :

P o n e m o s

,~(D, V) : x ' g ~

la de te rminac i6n de x e g nos darfi una so luc j6n par t icu lar . En efec to :

xDyV ~ xD+~yV + x~y v+t

o sea,

~ y V [ 1 - - ( x + g) ] ~ 0

luego,

y ~ l - - x

~1 = x ' ( 1 - - x ) v

Como pa ra cua lqu ie r va lo r de D y V, (~1 t iene que ser una pro- bab i l i dad ha de cumpl i rse 0 ~< x < 1; lo que indiea que la solu-

ci6n se refiere a cua lquier va lor c o m p r e n d i d o en el in tervalo ce- r r ado [0, 1]. La soluci6n genera l seth, p o t lo t an to :

L 1

~P(D, V) --- x"(1 ~ x)v aF(x) [7]

Pa ra que se trate de una p robab i l i dad F(x) t iene que ser u n a funci6n m o n 6 t o n a creUente y, ademfis, ha de cumpl i r la condic i6n

~ tdF( ) x ~ 1

~ 0

lo que nos ind iea que se t r a t a de una fune i6n de distr ibuci6n.

En esto consiste el f u n d a m e n t a l t eo rema de "De F ine t t i " , que podemos enune ia r de la s iguiente f o r m a :

"Una mues t r a simple que engendra una sucesi6n b ina r i a per- mutab le puede ser cons ide rada como equivalente a una mues t r a b inomia l en la que la p robab i l i dad cor respondiente a cada sueeso es u n a va r i an t e cuya func i6n de dis t r ibuci6n es F(x) ."

Es evidente que o(D, N) d e t e r m i n a F(x) y rec iprocamente . La [3] adop ta rh entonces la f o r m a

qD(1 ~ q)V dF(q) dF(q/I) ~ ~ D , V) [8]

y, po r lo tanto, la es t imaei6n de q vendrh dada por la expres i6n

q m �9 (D, ~ olq D+~ (1 - - q)r dF(q)

fo ~q T M (1 ~ q)V dF(q)

fo lqD(1 __ q)r dF(q)

[9]

I0

P a r a que la es t imacidn de q sea pos ib le es preciso conoce r que puede ser cons ide rada como la d is t r ibueidn " a p r io r i " segfln la t e rminolog ia bayes iana .

P rocede remos , pues, con r a z o n a m i e n t o s bayes ianos , f u n d a m e n - t a lmente r e fe r idos a un p l a n t e a m i e n t o su je t iv is ta o pe r sona l i s t a del eoneep to de p robab i l i dad , p a r a la de te rminae i6n de la distri- buc i6n inicial F(q) .

Desde el pun to de vista personal i s ta , en el que, como h e m o s indicado, nos s i tuamos, F(q) recoge la opini6n que t enemos de la f o r m a en que se d i s t r ibuye q a p a r t i r de la i n fo rmac i6n es tadis t i - ca I, es decir, F ( q / l ) antes de que se haya p r o d u e i d o d icha infor- maci6n. De aeue rdo con esta in te rp re tac i6n de la d i s t r ibuc i6n ini- cial, c abe cons ide ra r una suces i6n de in fo rmac iones es tadis t icas r e fe r idas a d i fe ren tes pe r iodos I1, 12 . . . . , I~, t odas e llas i ndepen - dientes entre si, las euales d e t e r m i n a n las respec t ivas func iones de p r o b a b i l i d a d a pa r t i r de la co r r e spond ien t e al pe r iodo ini t ia l .

Des igna remos por F~(q) la func idn de d is t r ibucidn de q cuan- do se t iene en cuenta la i n fo rmac i 6n es tadis t ica in t eg rada po r I~, I~, ..., I,. Segfln el t eo rema de Bayes ten,dremos:

dF,(q) = P~(q/I~, I2 . . . . . Id :~ P~(I1 . . . . . I , / q )dFo(q)

Como la 11, 12 . . . . . 14 son independien tes ,

dF,(q) ~o Pr(I1/q) P r ( I J q ) ... P~(I~/q)dFo(q)

Como sabemos, 14 se refiere a D~ m u e r t o s y V~ superv iv ientes , p roeeden te s ambos de E,, expues tos al r iesgo de muer te , luego si q es la p r o b a b i l i d a d de muer te , t e n d r e m o s

P~(I, /q) = qD~(1 - - q)~',

En definitiva,

y, Dr dF~(q) = Pr(q/I1, I2 . . . . . h ) ~o q 1

i

( 1 - q) ~ dFo(q)

II

Por otra parte , siendo

2 ~ 2 dF~_~(q) ~ q ~ ( 1 - - q) 1 dFo(q)

t end remos

dF, (q ) ~ qD~(1 - - q)V~ dF~_~(q) [lo]

Este resu l tado nos indica que F~_~(q) puede considerarse como la d is t r ibucidn inicial respecto a la que cor responde al t ener en cuenta la nueva in fo rmac idn I~.

Es evidente que el r esu l t ado o.btenido, estfi dentro de lo que eons t i tuye la eseneia del l l a m a d o " p r o b l e m a de suces idn" de Ba- yes-Laplace. Dieho p rob lema consiste en d e t e r m i n a r la distr ibu- eidn de p robab i l idad que surge al t ene t en euen ta nuevas observa- ciones, pa r t i endo de Ia p r o b a b i l i d a d an te r io r a 6stas.

L a solucidn de dicho p rob l ema cuando se eonoce la distr ibu- cidn F , _ l ( q ) , o p o t lo menos su va lo r med io y su var ianza, se pue- de obtener de la f o r m a s iguiente

q~-~ = E ( q i - d = ;o l q d F ~ _ l ( q ) ---~

1

V a r (q~-d

| f ~qg'+~ (1 ~ q)~' dFo(q)

)

~ ( D ' V ' ) fo ~q ' '+2 (1 - - q)V, dFo(q)

Estas dos ecuaciones nos p e r m i t e n d e t e r m i n a r D' y V', f lue

equivalen a una in fo rmae i6n estadisf ica I', o lo que es lo mismo, el r e su l t ado obtenido es equiva len te a una " s i m u l a e i 6 n " que con- duce a la in fo rmae i6n I'.

12

La es t imaei6n de q~ seHt, p o t lo tanto,

1 f l qi = E(qi) = 4,(D, + D', V, + V') qOi +D'~-I (1 - - q)ri+v' dFo(q)

En todo lo anter ior hemos supues to conocida Fo(q), es deeir , la d is t r ibuei6n inicial.

Cuando no d i sponemos de n inguna in fo rmae i6n p rev ia ten- d remos que p rocede r m e d i a n t e una definici6n, un pos tu lado. Adop- t a r emos el pos tu lado de Bayes que eonsiste en suponer la equi- p robab i l idad , es decir, Fo(q) ---- q, 0 ~ q ~ 1, se trata, p o t lo tanto, de la d is t r ibuei6n r ec t angu la r dFo(q) ~ dq.

De acuerdo con este pos tu lado , t endremos ,

qD(1 - - q) ~" d F ( q / I ) ~-- '~(n, V) dq

O(D, V) no es otra cosa que la integral eu le r i ana de p r i m e r a espeeie :

D ! V ! �9 (D, V) = qV(1 ~ q ) V d q = ( D - t - V - l - I ) !

Se trata , pues, de una d i s t r ibue i6n ~ de p a r h m e t r o D -t- 1 y V + I ,

F(q / I ) ~ - - ( D + V -[- 1) !

D! V! fo qqD(1 - - q)Vdq

Es ev idente que el pos tu l ado de Bayes equiva le a decir clue la d i s t r ibuc i6n inicial es

f0 q Fo(q) ~ q~ - - q)~ ~ q

13

Estos importantes resultados eoJnciden con las condiciones exi- gidas por Raiffa y Schlaifer segfln las cuales la distribuci6n ini- eial debe per tenecer a la clase integrada por las distribuciones condieionadas por las nuevas informaciones estadisticas.

Es interesante que subrayemos qu,e el postulado de Bayes est~ incluido en lo que Savage ha l lamado "rango de est imabil idad", clue es el integrado por los valores de q para los cuales la deri- vada de Fo(q) es prficticamente constante.

La determinaci6n de la probabil idad de muer te nos conducir~, pues, al resultado siguiente

q~, ~ E(q~) ~ D~ ! V~:! ~:'+~ (1 - - q)~'dq .J

i)

(D~ + V~ + 1)! (D~ + 1)! V~!

D~! V~! (D~ + V~ + 2)!

D ~ I D ~ - k l

D ~ A - V ~ 2 E~-4-2 [11]

Para valores suficientemente grandes de E~, lo que sucede ha- bi tualmente en esta clase de problemas, podremos eonsiderar eoxno aceptable aproximaci6n la siguiente

D. -t- 1 D~ E ~ + 2 E~

Este resultado es el que corresponde a una estimaci6n por mh- xima verosimili tud o tambi6n al caso en que hubi~semos conside- rado en lugar del valor medio, la moda en la distribuci6n ~.

En el caso en que tengamos una informacidn previa respecto q. procederemos, segfin lo anter iormente dicho, de la f o rma si- guiente:

Sea q'~, el valor conocido de la pro,babilidad de muerte,

D'. -4- 1 q',, -~ E(q',,) --~ E'~ -k 2

14

O f 1 _ _ ( ~ -t-- 1) (V% -+- 1) q .(1 q%) Var (q%) -~- E' E ' ~--- - - ---~ c~ ( ~ + 2 ) -~ ( ~q--3) E % + 3

E',, = q%(1 - - q%) - - 3 6 2

' = ' E " Conociendo q% y z~, t e n d r e m o s E% y D ~ q ~ ~. La es t imac i6n defini t iva de q. seth entonces

1

--q. ~ (/9% -k D. q- V% q- V~ -t- 1)! ~ qD~+~,~+~

d (D'. q- D.)! (V'~ -k V.)!

o

D'~-t- D ~-t-1 D ~ + D'~, E . q - E ' ~ q - 2 E~q-E'~

(1 - - q)V*+V'*dq

[12]

E L P R O B L E M A D E L A D E T E R M I N A C I O N D E E,~

Los r e su l t ados a n t e r i o r m e n t e ob ten idos r e spec to a la es t ima- ei6n de q~, se apoyan en la i n fo rma e i 6n es tadis t ica s u m i n i s t r a d a p o t Ias m a g n i t u d e s observa~l.es E~, nf imero de ind iv iduos de e d a d x expues tos al r iesgo de m u e r t e du r an t e un afio,, y D. n f lmero de fa l lee idos antes de a lcanzar la edad x q- 1, p roeeden tes de E~. L a condic.i6n f u n d a m e n t a l de que los ind iv iduos que in tegran D . p ro- eedan del g rupo E . de los expues tos al riesgo con edad x, sue le eonocerse con el n o m b r e de condic i6n de consistencia de la esfi- mac i6n de q,,.

P o r o t ra par te , el m o d e l o b inomia l que nos ha serv ido p a r a la es t imaci6n de q~, exige la hip6tesis de que el f e n 6 m e n o de la mor - t a l idad d e p e n d a exc lus ivamen te del f i empo biom6tr ico , es decir , de la edad x. Es to nos l leva a supone r que d u r a n t e el p e r i o d o de observaei6n , todos los ind iv jduos de la m i s m a edad, c u a l q u i e r a qtte sea el m o m e n t o en que la cumplan , t ienen igual p r o b a b i l i d a d de muer te . Cons iderac i6n dsta i m p o r t a n t e pa ra p rec i sa r el per io- do de observaci6n.

15

1. Definieiones

A1 objeto de obtener la expres i6n de E. con una f o r m u l a e i 6 n suf ic ientemente clara, que recoja, por otra par te , el modo de ope- rar , def iniremos las s iguientes magn i tudes re fe r idas al pe r iodo (to; td.

d'~ ~ Nfimero de fa l lecidos antes de a lcanzar la edad x -4- 1 hab iendo cumpl ido la edad x en el per iodo.

L~ ~ Nflmero de ind iv iduos que a lcanzan y supe ran la edad x en el per iodo.

L'~ Nflmero de ind iv iduos que a lcanzan la edad x y la edad x -4- 1 den t ro del per iodo de observaci6n, a no ser que fa l lezcan antes de cumpl i r la edad x + l .

b~ ~ Nflmero de i nd iv iduos que al comienzo del perio- do, en to, t ienen la edad x eumpl ida .

n~ ~ Nflmero de inmigran te s con edad x c u m p l i d a .

w~ ==: Nflmero de ind iv iduos que emigran del grupo ha- b iendo cumpl ido la edad x.

e~ ~ Nflmero de ind iv iduos que al f inal del per iodo, en tl, t ienen la edad x cumpl ida .

B(x -}- s) ~--- Nflmero de ind iv iduos que al p r inc ip io del perio- do, en to, t ienen u n a edad ~ ~< x A- s.

N(x 3 4- s) ~ Nflmero de ind iv iduos que i nmig ran con u n a edad ~ < x + s .

W ( x -}- s) ~ Nflmero de ind iv iduos que emigran con edad ~ ~< < ~ x + s .

~(x -[- s) ~--- Nflmero de i nd iv iduos que al final del per iodo, en tl, t ienen u n a edad ~ ~ x ~ s.

16

N 6 t e s e q u e e n t r e las a n t e r i o r e s m a g n i t u d e s ex i s t en las s i g u i en -

tes r e l a c i o n e s :

L . : - L'~ + w~, + e~. [ i ]

b . ~ d~B(x + s) ~ B ( x +4- 1) - - B ( x ) .

~ 0

n~ ~ d~N(x + s) = N ( x q- 1) - - N ( x ) .

w~ = d ~ W ( x + s) ~--- W ( x + 1) - - W ( x ) .

ex = d ~ ( x + s) = ~(x + 1) - - ~(x).

[2]

2. F o r m a s de E .

E n el caso en que D~ sea i g u a l a d'~, se rh E . . e v i d e n t e m , e n t e . i gua l a L ' . , y a que todos los q u e i n t e g r a n L'~ son o b s e r v a d o s du- r a n t e un afio, a no se r que f a l l e z e a n an t e s de a l c a n z a r la e d a d x + + 1, y, p o r lo t an to , los fall, ee idos i n e l u i d o s en d'x p r o e e d e n de d i e h o g r upo . Asi pues , si D . ~ d ' . ,

E~ - ~ L ' . ~ L z - - w~, - - e~ [3]

C u a n d o D~ sea igua l a d, , es dec i r , i n c l u y a a los q u e f a l l e z c a n a n t e s de a l c a n z a r la e d a d x + 1, c u a l q u i e r a q u e sea el m o m e n t o en q u e h u b i e s e n c u m p l i d o la e d a d x, se rh p r e c i s o t e n e r en c u e n t a los q u e e n t r a n y sa len del g r u p o co n e d a d x, asi c o m o el t i e m p o en que son o b s e r v a d o s con d i c h a e d a d x en el p e r i o d o (to, tl).

Con el fin de f a c i l i t a r la o b t e n c i 6 n de l a c o r r e s p o n d i e n t e f 6 r - m u l a de E. , v a m o s a h a c e r l a s s i g u i e n t e s e o n s i d e r a e i o n e s .

17

En el caso an t e r io rmen te cons iderado, es decir, cuando E . L'~,, como quiera que todos los que in tegran L'~ a leanzan la

edad x y tambidn l a x -4- 1, a no ser que fa l lezcan antes de cum- pl i r dsta, dentro del per iodo de observaci6n (to, t~) pueden se t cons iderados como afios de v ida que pueden ser t runeados por la muer te . Asi, pues, L ' . r ep resen ta entonces el nf lmero de afios de vid, a de los 'cuales pueden ser t runcados d'., con p robab i i idad indi- v idual q~. Ahora bien, euando D~ ~- d . entonees los fa l lee imientos in tegrados en d~ proeeden no s61o de los ineluidos en L'., sino tambidn de los que en t ran y salen del per iodo con edad x eumpli- da, los euales es tarhn expuestos al riesgo de muer te , con edad c o m p r e n d i d a entre x y x -t- 1, den t ro del per iodo de observaei6n duran te una f racci6n de afio, Un individuo, pues, que en t rase en el per iodo con una edad exacta x ~ s, estar{t expuesto al riesgo de muer t e en dicho per iodo, con edad x cumpl ida po r un t iempo 1 - - s. De igual f o r m a un ind iv iduo q-ue saliese del pe r iodo de observaci6n con la edad exac ta x + s, estarh expuesto al r iesgo de muer t e en dicho per iodo con edad cumpl ida x, du ran t e el t iempo s.

De acuerdo con cuanto acabamos de deeir, podremos suponer que el n f lmero de afios d,e v ida que pueden se t t runcados p o t cau- sa de fa l lec imientos eor respondien tes a los que ingresan en el per iodo de observaci6n con edad x -~- s, seth el p rodue to del nfi- m e r o de los que ingresan po r (1 - - s). Anhlogamente , el n f imero de afios de v ida correspondientes a los que salen con edad x -[- s, ser~ el p rodue to del nf lmero de los que salen por s.

La expresi6n del nf lmero de expu, estos al r iesgo de m u e r t e du ran te un afio con edad x, serh, p o t lo tanto,

fO 1 fO 1 E,~ ~ L'~ -f- (1 ~ s) d~B(x A- s) -f- (1 ~ s) d~N(x + s) +

§ .1 f l j sd~W(x + s) -f- sd~(x § s) 0

18

T e n i e n d o en c u e n t a [3].

E~ f l fo' L~. § (1 - - s) d ~ B ( x + s) -1- (1 - - s) d ~ N ( x -f- s) - -

- - (1 - - s) d . ~ W ( x + s) - - (1 - - s) ds~(~" § s) . ~4]

~do

A p l i c a n d o el t e o r e m a de la m e d i a a l a s in t eg ra l e s que f i gu ra n en la f 6 r m u l a an te r io r , t e n d r e m o s

E , = Lx § (1 - - sb) b , q- (1 - - s,,) n~ - - (1 - - .%) w ~ . - (1 - - s~)e~.

Un caso p a r t i c u l a r i n t e r e s a n t e s u r g e al a d m i t i r que los ing re - sos y las s a l i d a s del g r u p o t i e n e n l u g a r con u n i f o r m i d a d . Ten - d r e m o s

B ( x § s) ~--- b x . s , N ( x § s) -~- n~ . s,

W ( x § s ) - ~ w~. . s , E ( x § s ) = e , . s .

luego,

fo ~ fo 1 1 (1 - - s) d ~ B ( x § s) ~ b~, (1 - - s) d~ -~ b.

f0 l 1 (1 - - s) d,~N(x -}- s) = nx - -2 - -

I '(1 - - s) d ~ W ( x + s) ~ W ~ 1 2 ~0

f0 1

(1 - - s) d ~ _ ( x + s) ~ e .

19

La f6 rmu la de los expuestos al riesgo serfi, en definitiva, en la hipdtesis de un i fo rmidad , la s iguiente:

E~- -~ -L~q- - - f f - E53

Vamos ahora a es tudiar el a lcance de la hip6tesis que nos ha conducido a la f 6 rmu la [4], es decir, la que in te rp re ta E~ como nf lmero de afios de vida den t ro del per iodo de observaci6n, ya que f u e r a de ese per iodo los indiv iduos pud i e r an ser conside- rados entonces como no per tenecientes al grupo cuyas caracter is- t icas de homogene idad son la base de la es t imaci6n de q~, por causa de no poseer i n fo rmac i6n de su compor tamien to .

Dentro del esquema b inomia l , el nf lmero medio de fa l lecidos con edad comprend idas entre x y x A- 1, serh:

E(d~) = L'~q~ + q(x + s; x -~- 1) d~B(x + s) +

fo' fo 1 -F- q(x ~- s: x -~ 1) �9 d~N(x + s) ~- q(x; x + s) d W ( x + s) +

fo [ § q(x; x § s) d~(x -+- s) E6]

En esta expresi6n, q(x -[- r, x § s) r ep resen ta la p robab i l idad de que un ind iv iduo de edad x § r, fa l lezca antes de a lcanzar la edad x -f- s.

La ecuaci6n integral [5] t iene como inc6gni ta la p robab i l idad de muer te .

P roponemos como soluci6n:

q(x -Jr- s, x + r) = q ~ . ( r - - s )

20

La f6 rmula [5] adopta rh la f o r m a :

E(d~) : - L'xq~ -[- %: (1 --- s) d~B(x -[- s) -r-

+ (1 - - s) d~X(x + s) +

-t- t, s d f l V ( x + s) 4- s d ~ ( x -+- s) g

o

segdn [4] tendremos,

D ~ - - E(d~) = q~E~

Este restfl tado nos indica que la hip6tesis comen tada es equiva- lente a suponer que pa ra las f racc iones de afio la p robab i l idad de muer t e var ia p roporc iona lmen te , es decir, se t ra tar ia de un caso de in terpolaci6n lineal.

E1 fll t imo resul tado se apoya en que la es t imaci6n de q~ se D~

real iza segdn la f 6 r m u l a --~--, es decir, de acuerdo con cr i ter ios

modales , o de m h x i m a veros imi l i tud . Sin embargo, conviene ha- cer notar , c6mo este resu l tado difiere del obtenido po t cr i ter ios

bayes ianos q~ = E~ A-2 en u n a ean t idad despreciable, s iendo

E~ suf ie ientemente grande.

3. F6rmulas de recurrencia

Cuando los expuestos al r iesgo sean observados duran te un afio completo, es decir, cuando E~ : L'~, es fficil ver que se cure- pie la relaci6n

E~+~ = L'~+~ = E~ ~ b~

Ell

21

Si pa r t imos de un grupo inicial de indiv iduos que t engan la edad a en el p r imer afio det per iodo de observaci6n, t end remos la siguiente soluci6n de la ecuaci6n en d i ferencias [1].

m - - L

E~ ~ E~ -4- ~ (b~ + n, - - w~+~ - - ei+l - - d ' ~ )

t=a+l [2]

Para per iodos f racc ionar ios t enemos :

fo E~+~ -~- E~ + sd~B(x + s) +

+ (1 - - s ) d~B(x + 1 + s) ~- sd~N(x + s) -t-

+ (1 - - s) d~N(x + 1 + s) - - s d , W ( x + s) - -

fo I 1 - - (1 - - s) df lV(x -f- 1 -i- s) - - s d ~ ( x ~- s) - -

( 1 - - s)d,, ~(x + 1 + s) --- d. [3]

puesto que los d~B(x -j- s) estfin con edad x, expuestos al r iesgo duran te una f racci6n de afio igual a (1 - - s) y con edad x ~ 1 una f racci6n igual a s; p o t tanto, serfi necesar io surtlar a los ex- puestos al riesgo con edad x,

sd~B(x + s) ~- ( 1 - - s) d~B(x -t- l ~ s)

22

pa ra obtener los expuestos con edad x q-- 1. An~tlogas considera- ciones just i f ican los demhs t6rminos integrales que f iguran en [3].

De la [3] obtenemos:

- - sd~B(x q- s) -4- sd~N(x q- s) - -

f fo ] - - s d f l V ( x q- s) - - s d ~ ( x q- s) [4]

La hip6tesis de u n i f o r m i d a d en todos los t6rminos re ferentes a en t radas y salidas, l leva a:

X

E, : ~ [b'~ q- n~ - - w~ - - e~ - - d~_~] -..

1

X - - L

+-W- [5]

4. Agrupaci6n segfin la edad m~is prSxima

Una expresi6n a p r o x i m a d a de E~ se consigue cons iderando con edad x a los individuos que t ienen edad exacta c o m p r e n d i d a ent re

1 1 x 2 y x A- --2-- en cuyo caso no cabe hab la r de per iodos

23

f r acc iona r io s y, po r lo tanto, la f d r m u l a c o r r e s p o n d i e n t e serfi:

X

En la prfict ica 5sta es la [ 6 r mu l a lll~lS u t i l izada , y, por ello, serfi conven ien te que es tud iemos la ca t egor i a del e r r o r que l leva con- sigo el uso de la misma .

E1 n d m e r o de expues tos al r iesgo de n m e r t e du ran t e un afio inc luye entonces ind iv iduos con edad exac ta c o m p r e n d i d a en t r e

1 3 x y x +

2 2 "

C ons ide r a r emos dicho in t e rva lo subd iv id ido ,en los t res si- guientes :

( 1 ) ( ) x - - ---2--, x ( x, x - F 1 ) x + l , x -t- - -2- .

y des igna remos p o t V(x) -~ B(x) -}- N(x) - - IV(x) - - ~(x) al nfl- me ro de ind iv iduos que r i v e n en el pe r iodo de obse rvac idn con una edad exac ta ~ ~< x.

De acue rdo con esta definicidn, dhV(x ~ h) r ep re sen ta r / t el nfl- me ro de ind iv iduos vivos con edad exac ta c o m p r e n d i d a en t re x -Jr- h, y x ~ h ~ dh. Es ev iden te que, segfln las cons ide rae iones heehas a n t e r i o rm en t e , los i nd iv iduos con edad exac ta x - - h,

1 h ~< ~ vendr~n dados po r la expres i6n - - d n V ( x - - h) y es ta r~n

somet idos al r iesgo de m u e r t e con edad ex, ac ta e o m p r e n d i d a en- 1

t re x 2 x, el ti, empo h, y con edad c o m p r e n d i d a en t r e x y

x ~- 1, el t i empo (1 ~- h) ; p o r o t ra par te , los ind iv iduos con edad 1

exac ta x + h, h ~ 2 '" cuya cuan t i a ser~t d~V(x ~ h), es ta rSn

somet idos al r iesgo de m u e r t e con edad exac t a c o m p r e n d i d a en- tre x y x + 1 el t i empo 1 - - h, y con edad c o m p r e n d i d a en t re

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1 3 x -~ --~- y x ~ --2-- el t i e m p o h. De a q u i q u e el n f l m e r o de ex-

pue s to s al r i e sgo vendr f i d a d o p o r la f 6 r m u l a :

~ 2

h d T W ( x - h) § (1 -~- h) d , W ( x - h) + 1/'2

fo + (1 - - h) dhV(x + h) -{- hd~,V(x ~- h) ~-

f01/'~ f0 t/" hd,W(x -{- h) -t- 2 (l - - h) d~V(x -{- h) E71

E1 p r i m e r t d r m i n o de la f l l t ima e x p r e s i 6 n c o m p r e n d e los ex- p u e s t o s al r i e sgo con e d a d e x a c t a c o m p r e n d i d a en los i n t e r v a l o s

( ) ( x - - - - ~ - , x y x § 1, x - t - - - ~ - , Y e l s e g u n d o t d r m i n o i n e l u -

ye los e x p u e s t o s al r i e sgo con e d a d e x a e t a e o m p r e n d i d a e n t r e x

y x -t- 1.

1 Es c l a r o que s i endo h ~ 3 se v e r i f i c a :

(1 - - h ) d,,V(x + h) > hdhV(x + h) qdj ~ 0

Io q u e i n d i c a que la c a n t i d a d de e x p u e s t o s aI r i e sgo con e d a d c o m p r e n d i d a en t r e x y x + 1 es m a y o r q u e la q u e c o r r e s p o n d e a

( ) ( +) los i n t e r v a l o s x 2 ' x y x -/- 1, x -t- . L a d i f e r e n c i a

ser~i t a n t o m a y o r c u a n t o s e a n mils f r e c u e n t e s los i n d i v i d u o s co n u n a e d a d e x a c t a p r 6 x i m a a x. E n el c a so e x t r e m o en el q u e t o d o s los i n d i v i d u o s t u v i e r a n la e d a d x, e v i d e n t e m e n t e todos e s t a r i a n e x p u e s t o s al r i e sgo con e d a d e x a c t a e n t r e x y x q- 1.

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En pa r t i cu la r cuando la d is t r ibuci6n es un i fo rme V(x -]- h) =: V~ �9 h, t endremos

,,zl"- fo 11"- 2 [ hdhV(X + h) ~ 2V~ h d l , - V~: Jo 4

f l/~ " ~o i/"- 2 ( l - - h ) dV(x + h)--~2V~. ( l - - h ) d h - - 3 Vx. 1

Este resu l t ado nos dice que si los cumpleafios se d i s t r ibuyen un i fo rmemen te , el 75 % de los expuestos al riesgo cor responden a edades exactas compren~didas entre x y x d- 1 y, por lo tanto, el e r ror debido a la agrupaciSn es del orden del 25 ~ .

Pa ra t e rminar , pues, des taca remos que la cons iderac idn de los individuos agrupados con el cr i ter io de la edad mils prSxima, que es el m~s ut i l izado en la pr'Sctica, como ya hemos indicado, pre- senta, en general , una aceptable aproximacidn .

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