Estimación de parámetros, análisis de sensibilidad yvalidación del modelo SIR aplicado a datos históricos del

virus A(H1N1) en México

Hamilton Gómez Osoriohsgomezo@eafit.edu.coUniversidad EAFITMedellín, Colombia

Santiago Isaza Cadavidsisazac@eafit.edu.coUniversidad EAFITMedellín, Colombia

Pablo Osorio Marulandapaosoriom@eafit.edu.coUniversidad EAFITMedellín, Colombia

10 de junio de 2021

Resumen

Este trabajo busca analizar el comportamiento epidemiológico de una enfermedadtransmisible como la influenza A(H1N1), a partir de un modelo SIR, aplicado a un

grupo de personas diagnósticadas con la enfermedad en México en el año 2009. En estese realiza una respectiva estimación de parámetros poblacionales, como lo es la tasa de

contagio y la tasa de recuperación, y un análisis de sensibilidad utilizando laherramienta Simulink de MATLAB.

Palabras clave: SIR, A(H1N1), Simulink, Epidemiología

Abstract

This paper seeks to analyze the epidemiological behavior of a communicable diseasesuch as influenza A (H1N1), based on an SIR model, applied to a group of peoplediagnosed with the disease in Mexico in 2009. Making a respective estimate ofPopulation parameters, such as the contagion rate and the recovery rate, and a

sensitivity analysis using the MATLAB Simulink tool.Keywords: SIR, A(H1N1), Simulink, Epidemiology

1. Introducción

La construcción de modelos matemáticos esen la actualidad una de las herramientas másutilizadas para la descripción, explicación ypredicción de sistemas dinámicos. La funciónprincipal de un modelo para una enfermedadinfecciosa consiste en proveer un medio queposibilita entender la dispersión de la enferme-dad a través de una población bajo diferentesescenarios. Los modelos matemáticos para en-fermedades infecciosas permiten extraer de ellospropiedades y características de las relacionesentre los elementos que podrían permanecerocultas a simple vista. Además, en la mayor par-

te de los problemas de enfermedades infecciosasdel mundo real, no es factible experimentarcon la realidad, ya que puede ser muy costoso,peligroso, inmoral o incluso imposible. Por lotanto, es natural intentar superar esta dificultadcon la construcción de un modelo que describade manera adecuada las características básicasde la epidemia, y entonces usar el modelo parapredecir las consecuencias de introducir cambiosespecíficos [1].En general, los modelos epidemiológicos sebasan en dividir a la población expuesta a lainfección en pequeños grupos compartimen-tados, cada uno formado por individuos conun idéntico estado con respecto a la infección

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en cuestión. El modelo implementado en estepaper es el modelo SIR, propuestos por el epi-demiólogo y físico Anderson Gray McKendricky el matemático William Ogilvy Kermack [7], elcual es uno de los modelos epidemiológicos mássimples y al mismo tiempo capaz de capturar lascaracterísticas típicas de los brotes infecciosos.Este modelo tiene en cuenta un grupo dePoblación susceptible (S), Población infectada(I), Población recuperada (R). Estos conformanlo que se conoce como Población total (N).La influenza A(H1N1), o influenza porcina, esun virus que se le atribuye a los cerdos y que hasido muy común en el último siglo ocasionandofuertes infecciones respiratorias alrededor delmundo. Esta enfermedad es un tipo de gripe lacual comienza al entrar en contacto directo concerdos o con alguna superficie que tenga el virus.Las principales vías de infección son la nariz,la boca y los ojos, y esta puede ser transmitidade persona en persona. La influenza porcina esuna enfermedad que aunque controlada puedendesaparecer sus síntomas luego de una semana,en el caso de no ser tratada, dado a sus síntomascomo usualmente son diarrea, náuseas, dolor degarganta, tos, entre otros, pueden conventirseen enfermedades más graves como neumonía oinsuficiencias respiratorias, lo que es mucho másriesgoso en niños y adultos mayores de 65 años[6] [2].Dada la magnitud de las epidemias y lasimplicaciones que estas pueden tener en una po-blación, esta investigación tiene como objetivoestudiar el comportamiento de infestación de lainfluenza A(H1N1) en un grupo diagnosticadocon la enfermedad en México en el año 2009por medio del modelo epidemiológico SIR querepresente el fenómeno de infección observadoen esta población y, adicionalmente, haceruna comparación respecto a estudios de estaenfermedad en la población mexicana paraestos periodos. Para esto se utilizan múltiplesfuentes como estudios anteriores y desarrollosteóricos del modelo implementado. Se realizauna simulación del problema con su respectivaestimación de paramétros, entregando comoprincipal aporte un análisis de sensibilidad,y una evaluación del ajuste del modelo alcomportamiento monitoreado del virus a travésde validación. Finalmente se concluye a partirde los resultados encontrados.

2. Metodología

2.1. Descripción del sistema

Para el año 2009 se presentaron cifras alar-mantes de pacientes con neumonía y enfermeda-des respiratorias en los diferentes hospitales deMéxico entre finales del mes de febrero y princi-pios de marzo. Este fenómeno alertó a las auto-ridades de salud y rápidamente empezaron unainvestigación para esclarecer las razones de estaproblemática. Situación similar se venía presen-tando en los países norteamericanos en los quemúltiples pacientes tenían síntomas de lo queparecía ser una enfermedad respiratoria grave.México, luego de tomar diferentes muestras qui-zo verificar la compatibilidad del virus que sepresentaba en su país con las patologías presen-tadas en estos otros estados, por lo cual decidióanalizar sus muestras en Canadá y la relación delas enfermedades quedó confirmada, enfermedadconocida como influenza A(H1N1), que para esemomento ya presentaba casos en Europa.Transcurrido Abril los casos de esta gripe esta-ban en disminución en Estados Unidos por loque se esperaba un comportamiento similar enlos casos mexicanos; lo que no se esperaban esque los casos en méxico siguieran en aumento yque estos, contrario a lo conocido, se dieran regu-larmente en pacientes entre edades de 5 a 14 y 25a 44 años. Luego de un observación detallada delos casos se pudo ver que esta población estuvomás afectada al no ser vacunados oportunamen-te y el estado mexicano promovió las campañasde prevención y estudio de dicha enfermedad enel país [4].

2.2. Métodos experimentales

Según estudios realizados por el Instituto Na-cional de Salud Pública de México sobre los ca-sos de infección y mortalidad de personas coninfluenza A(H1N1), se evidenció un muestreo denuevos casos registrados cada dos días de pa-cientes con diagnóstico positivo para este virusentre los meses marzo y junio. Dichos datos fue-ron tomados antes de que se iniciara la alertaepidemiológica registrada en abril y se extendióhasta junio para ver su progresividad en el tiem-po dado el aumento de casos registrados. Los da-tos experimentales tomados por esta entidad semuestran en la Figura 1.

2.3. Descripción del modelo mate-mático

El modelo SIR tiene en cuenta tres grupos:Población susceptible (S), refiriéndose a los

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Figura 1: Casos de pacientes diagnosticados con influenza A(H1N1) en México entre marzo y juniode 2009.

individuos que pueden ser infectados por el vi-rus; Población infectada (I), refiriéndose a losindividuos que ya fueron infectados por el virusy pueden transmitirlo a individuos de la pobla-ción susceptible con los que entren en contacto;y finalmente la Población recuperada (R),que se refiere a los individuos que adquieren lainmunidad al virus y, por lo tanto, no afectan latransmisión al interactuar con otro individuos.La Población total(N) es

N = S + I +R

[3].El modelo en ecuaciones diferenciales está

planteado como sigue:

dS

dt= −βSI

dI

dt= βSI − αI

dR

dt= αI

Los parámetros β y α, se refieren a la tasade propagación de la enfermedad (tasa de infec-ción) y a la tasa de recuperación (tasa de alivio),respectivamente.

2.4. Diagrama de bloques

Se utilizó la herramienta Simulink deMATLAB para simular el problema planteado.

Para esto se hizo el respectivo diagrama de blo-ques del sistema de ecuaciones diferenciales re-presentado en la Figura 2.

Figura 2: Diagrama de bloques en Simulink

2.5. Métodos de simulación, iden-tificación y análisis

Para la simulación del modelo trabajado uti-lizamos el método de integración de Euler(ode1)con un tamaño de paso fijo de 0.01.Para los valores iniciales considerados, ta-les como la tasa de infección(β), tasa derecuperación(α) y el número de individuos ini-cial (N), se escogieron valores aleatorios entre0 y 0.1, al ser promedios. Además, teniendo en

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cuenta que estas tasas son bajas, y el valor deS0 se encuentra entre 0 y 10000, respecto al in-tervalo posible de la cantidad de personas quetrabajaban con cerdos en México y podrían es-tar susceptibles en ese momento al virus. Esteúltimo corresponde al intervalo considerado entrabajos anteriores [5]. Los valores iniciales ob-tenidos y poseriormente usados fueron:

S(0) = 1034

α = 0,0501

β = 0,0005

Para estos valores se obtuvo el comportamien-to inicial de la población de susceptibles, infec-tados y recuperados, ilustrado en la Figura 3, 4y 5, respectivamente.

Figura 3: Comportamiento de los susceptiblescon condiciones iniciales

Figura 4: Comportamiento de los infectados concondiciones iniciales

Figura 5: Comportamiento de los recuperadoscon condiciones iniciales

3. Resultados

3.1. Identificación de parámetrosy análisis de sensibillidad

El análisis de sensibilidad se realiza generando50 valores aleatorios con distribución uniformepor el método de Montecarlo para ambos pará-metros, los cuales para el caso de α se encuentraacotada entre [0,0645, 0,08]. Para el caso de β seencuentra entre [0,0017, 0,0021]. Adicionalmenteel análisis se realizará aplicando el método de co-rrelación, regresión estandarizada y correlaciónparcial.

Figura 6: Valores aleatorios generales

La Figura 6 indica que, en efecto, el intervalootorgado se acerca mucho al punto óptimo de es-timación. Para este análisis, los valores de mejorajuste para los parámetros fueron de:

α = 0,0624

β = 0,0028

S0 = 458,6749

Con una estimación cerca del valor 11,85.

Estos valores serán evaluados en el modelo ycomparados con los datos experimentales.

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Figura 7: Análisis de sensibilidad para los pará-metros α, β y S0

La Figura 7 da una idea de cuáles serían losparámetros que mayor efecto tendrían en elmodelo. Para este caso en concreto, respectolos tres métodos de evaluación, el parámetro(β) es el que más modificaría la estructura y elcomportamiento del sistema.Para la estimación de parámetros se dará untratamiento al modelo en el que se busca quela curva respectiva a los susceptibles (casosobservados de la enfermedad) se comporte demanera respectiva a los datos experimentalesescogidos.

Los datos experimentales mencionados se pre-sentan en la Figura 8.

Figura 8: Distribución de los casos confirmadosde influenza

Estos representan la distribución de los casosconfirmados de influenza A(H1N1) de acuerdoa la fecha de inicio de los síntomas. Los datoscomprenden desde el 16 de abril de 2009 hasta el7 de junio del mismo año, donde cada una de lasobservaciones hace referencia al total observadasen cada dos días de este intervalo. El modelo fuenuevamente evaluado con los datos que lanzaronel mejor ajuste en el análisis de sensibilidad. Losresultado se presentan en la Figura 9.

Para encontrar los valores que mejor seajustan se realizó un proceso de optimizaciónbuscando así minimizar el valor de la suma deerrores cuadrados obtenidos en cada iteración.Así, se obtuvieron nuevos valores óptimos paralos parámetros. En la Figura ?? se puedenapreciar los resultados.

Figura 9: Relación entre los datos teóricos y ex-perimentales iniciales

Figura 10: Relación entre los datos teóricos yexperimentales óptimos

Donde:S(0) = 458,68

I(0) = 12

R(0) = 0

α = 0,0624

β = 0,0028

SSE = 0,86

Las iteraciones respectivas para cada uno delos parámetros se realizó como se muestra en laFigura 11.

Se entiende entonces que, dado el análisis desensibilidad, las iteraciones para la optimizaciónson mucho menores.

Con los valores estimados es posible entoncesdeterminar el comportamiento de los demás es-tados, esto es, los individuos susceptibles y losindividuos recuperados.

La Figura 12 representa los individuos sus-ceptibles a través del tiempo y la Figura 13 re-presenta los individuos recuperados a través deltiempo.

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Figura 11: Iteraciones en el proceso de optimi-zación

Figura 12: Individuos susceptibles

3.2. Validación del modeloPara la validación del modelo se obtienen los

residuales, por medio de los valores experimenta-les y aquellos hallados a través de el modelo conlos parámetros estimados. Estos se presentan enla Figura 14.

Figura 14: Gráfico de los residuales del modelo

Con base en datos obtenidos teóricamente ylos obtenidos experimentalmente, el coeficientede correlación de Pearson es:

CoefR2 = 0,4766

Adicionalmente, el coeficiente de correlaciónpara los valores experimentales y teóricos es de:

Coef − corr = 0,6904

Figura 13: Individuos recuperados

3.3. Otros análisis y resultadosOtro análisis que se consideró fue una compa-

ración con un trabajo similar, que también eva-lúa un modelo SIR de la influenza A(H1N1) [5].En este trabajo se utlizaron diferentes funcio-nes de MATLAB con un método de integraciónode45 y con intervalos para las tasas entre 0 y100. Adicionalmente, se consideró una poblaciónsusceptible entre 0 y 10000. Luego se hizo todoel proceso de optimización y obtuvieron los si-guientes valores óptimos:

S(0) = 514

I(0) = 1

R(0) = 0

α = 0,0812

β = 0,0011

Comparado con los valores que se obtuvieronen el presente trabajo, se puede ver que aunquela estimación de parámetros para el estudio rea-lizado en el 2009, donde se utilizó un intervalode estimación mucho mayor, un método de inte-gración diferente y además se utilizaron funcio-nes establecidas por MATLAB para estos pro-cesos, los resultados finales son muy similares.Esto indica que el modelo es muy estable, y porconsiguiente que los parámetros estimados soncorrectos.

4. ConclusionesEl Modelo SIR es un modelo adecuado para si-

mular el comportamiento de una enfermedad enel tiempo dado que estos se ajustan a los datosexperimentales. Las epidemias son muy difícilesde controlar sin la tasa de infectados crece mu-cho ya que la recuperación es más lenta que lainfección. La estimación de parámetros es muysensible a las diferencias para algunos valores,por eso es que dependiendo del tipo de métodosque se utilice para estimarlos las diferencias en-tre los resultados de los modelos pueden ser muydiferentes. A pesar de que la estimación de pa-rámetros puede ser muy sensible, el proceso deoptimización hace que los resultados sean mu-cho más parecidos ya que se están encontrando

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valores más ajustados.Aunque el modelo SIR se ajuste a las fechas pa-ra las que se evaluaron los datos experimenta-les, es claro que el modelo es poco sensible yno se alcanza a adaptar a cambios posterioresocasionados por factores adversos, por ejemplo,aquellos casos ocurridos desde el 26 de mayo de2009. Por esto, para futuros desarrollos es reco-mendado tener en cuenta el fenómeno de maneraestacionaria.Es importante tener en cuenta que en este mo-delo no hay retroalimentación, pues los recupe-rados siempre serán recuperados y no pasan aotros estados, además de que la población desusceptibles S0 no está tan bien definida en suintervalo, pues en estudios anteriores, no se es-pecifica si esta población es rural o urbana ycuántos de ellos pudieron estar verdaderamenteexpuestos a condiciones de infección.

Referencias[1] Niels Becker. The uses of epidemic models.

Biometrics, pages 295–305, 1979.

[2] Mayo clinic. Influenza porcina: (influenzah1n1), Recuperado en noviembre, 2019.

[3] D. S. Fernández del Viso. Modelos mecanís-ticos determinísticos con ecuaciones diferen-ciales, Recuperado en noviembre, 2019.

[4] Germán E Fajardo-Dolci, FranciscoHernández-Torres, Javier Santacruz-Varela, Javier Rodríguez-Suárez, PhilippeLamy, Heberto Arboleya-Casanova, RafaelGutiérrez-Vega, Gabriel Manuell-Lee, andJosé Ángel Córdova-Villalobos. Perfil epi-demiológico de la mortalidad por influenzahumana a(h1n1) en méxico. salud públicade méxico, 51(5):361–371, 2009.

[5] Juan Camilo Vargas Jerez, Helbert Eduar-do Espitia Cuchango, and Carlos Humber-to Galeano Urueña. Sir y seir empleando op-timización para el modelamiento de la trans-misión de la gripe a (h1n1). Ingenium, (21),2010.

[6] Rama Judicial. Preguntas y respuestas:Virus a(h1n1), Recuperado en noviembre,2019.

[7] Julián Mauricio Fajardo Patino. Modelos de-terminısticos y estocásticos si y sir para di-fusión de enfermedades contagiosas. 2012.

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