ESTÁTICAProfesor: Carlos E. Joo G.

UNIVERSIDAD ALAS PERUANAS FACULTAD DE INGENIERÍAS Y ARQUITECURA

Escuela Profesional De Ingeniería Civil

UNIDAD 1 : CONCEPTOS BÁSICOS, TEORÍA GENERAL DE FUERZAS Y FUERZAS DISTRIBUIDAS

UNIDAD 1 : CONCEPTOS BÁSICOS, TEORÍA GENERAL DE FUERZAS Y FUERZAS DISTRIBUIDAS

1. Introducción: Conceptos de mecánica y reseña histórica

2. Repaso de vectores

3. Fuerzas concurrentes y equilibrio de una partícula

4. Resultantes de sistemas de fuerza.

5. Fuerzas distribuidas

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CLASE Nº2CLASE Nº2Producto punto – Aplicaciones

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2.10. PRODUCTO PUNTO2.10. PRODUCTO PUNTO

En estática se presenta el problema de encontrar el ángulo entre dos rectas, o las componentes de una fuerza que sea una paralela y otra perpendicular a una recta dada. En dos dimensiones estos problemas se resuelven por trigonometría.

Pero en tres dimensiones suele ser difícil tener una visión clara del problema y consecuentemente deberán usarse métodos vectoriales para la solución. El producto punto define un método de “multiplicar” dos vectores .

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a

b

q

cosa b = a b

donde q es el ángulo entre a y b tal que

0

a

b

qu

cosu b

cos b ba a a u

Interpretación geométrica

Este producto punto representa la magnitud o norma del vector que resulta de la proyección de b sobre a multiplicado por la magnitud de a

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LEYES DE OPERACIÓN

El producto punto caracteriza la perpendicularidad de dos vectores

90º

a

b

cos90 0o a b a b

i j

k ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ 0i j j k k i

Y puesto que cos 0 = 1, entonces

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ 1i i j j k k

Formulación en términos de vectores cartesianosFormulación en términos de vectores cartesianos

Considérese el producto escalar de dos vectores en general, A y B expresados en forma vectorial cartesiana. Tenemos:

Realizando la operación, el resultado final viene a ser:

Por tanto para determinar el producto escalar de dos vectores cartesianos, se multiplican sus componentes correspondientes x, y, z y se suman estos productos algebraicamente. Como el resultado es un escalar, deberá tenerse cuidado de no escribir un vector unitario en el resultado.

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Aplicaciones:Aplicaciones:

El producto punto de dos vectores tiene muchos usos, incluida la descomposición de un vector en componentes paralela y perpendicular a una línea dada, así como la determinación del ángulo entre dos líneas en el espacio.

1. El ángulo que se forma entre dos vectores o recta con un punto en común. El ángulo entre los vectores A y B en la figura puede determinarse con la ecuación:

Aquí A.B se calcula por medio de la ecuación (AxBx+AyBy+AzBz). En particular, debe observarse que si A.B=0, cos-1 0=90º de modo que A es perpendicular a B.

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A

B

q

Aplicaciones:Aplicaciones:2. Las componentes paralela y perpendicular de un vector respecto a una recta

dada. La componente del vector A, paralela con la recta aa’ es . Esta es la proyección de A sobre la recta. Si la dirección y el sentido de la recta se especifica con el vector unitario u obtenemos

La componente A representada como vector es,

La componente de A perpendicular a la recta aa’ se obtiene de que A=A- A .

Una forma de obtener A serían determinar del producto escalar, y entonces trabajar A=Asen .

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• De manera alternativa, si A es conocida, entonces por el teorema de Pitágoras podemos escribir también :

EJEMPLO 01: El marco mostrado en la figura está sometido a una fuerza horizontal F=300j N. Determine la magnitud de las componentes de esta fuerza paralela y perpendicular a la barra AB.

EJEMPLO 02:El tubo de la figura está sometido a la fuerza F=80lb. Determine el ángulo entre F y el segmento de tubo BA , así como las magnitudes de las componentes de F, las cuales son paralelas y perpendiculares a BA.

3. EQUILIBRIO DE UNA PARTÍCULA3. EQUILIBRIO DE UNA PARTÍCULA

FUERZAS CONCURRENTES Y EQUILIBRIO DE UNA PARTÍCULA: Reducción de un sistema de fuerzas

concurrentes en el plano. Y el espacio – condiciones para el equilibrio de una partícula - El diagrama de

cuerpo libre - Sistemas de fuerzas coplanares.

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3.1. EQUILIBRIO DE LA PARTICULA EN EL PLANO3.1. EQUILIBRIO DE LA PARTICULA EN EL PLANO

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Primera condición del equilibrio (traslacional).Primera condición del equilibrio (traslacional).

“Un cuerpo se encuentra en equilibrio traslacional si y solo si la suma vectorial de las fuerzas que actúan sobre el es igual a cero”. Cuyas ecuaciones son las siguientes:

ΣFx= 0 y ΣFy= 0.

EJEMPLO 3.1.Un contenedor de 6 toneladas situado en la bodega de un buque está unido a dos cables, uno de los cuales se tensa, según sea la escora del navío, para mantener en su sitio el contenedor. Se supone que los cables, cuya longitud es 2.50 m, se van a comportar cuando se tensen como muelles elásticos (k= 64000 N/m).Suponiendo que el piso de la bodega es liso, calcular la tensión de la cuerda de la izquierda, su longitud y la fuerza ejercida sobre el piso de la bodega sobre el contenedor cuando la escora es Φ=15º.

EJEMPLO 3.1.Un contenedor de 6 toneladas situado en la bodega de un buque está unido a dos cables, uno de los cuales se tensa, según sea la escora del navío, para mantener en su sitio el contenedor. Se supone que los cables, cuya longitud es 2.50 m, se van a comportar cuando se tensen como muelles elásticos (k= 64000 N/m).Suponiendo que el piso de la bodega es liso, calcular la tensión de la cuerda de la izquierda, su longitud y la fuerza ejercida sobre el piso de la bodega sobre el contenedor cuando la escora es Φ=15º.

SOLUCION: Sistema mecánico, la caja. Diagrama de fuerzas: Planteamos las ecuaciones de acuerdo a la

primera condición de equilibrio:

Resolvemos el sistema:

Podemos calcular el alargamiento del cable debido a la tensión:

EJEMPLO 3.2.Determine la longitud requerida de la cuerda AC en la figura de manera que la lámpara de 8kg esté suspendida en la posición mostrada. La longitud no deformada del resorte AB es l’AB=0,4m, y el resorte tiene rigidez kAB=300N/m.

EJEMPLO 3.2.Determine la longitud requerida de la cuerda AC en la figura de manera que la lámpara de 8kg esté suspendida en la posición mostrada. La longitud no deformada del resorte AB es l’AB=0,4m, y el resorte tiene rigidez kAB=300N/m.

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3.3. EQUILIBRIO DE LA PARTICULA EN EL ESPACIO3.3. EQUILIBRIO DE LA PARTICULA EN EL ESPACIO

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0

0

0

0

z

y

x

F

F

F

FR

EJEMPLO 3.3.Una carga de 90lb está suspendida del gancho mostrado en la figura. La carga está soportada por dos cables y un resorte con rigidez k=500lb/pie. Determine la fuerza presente en los cables y el alargamiento del resorte en la posición de equilibrio. El cable AD se encuentra en el plano x-y y el cable AC en el plano x-z..

EJEMPLO 3.3.Una carga de 90lb está suspendida del gancho mostrado en la figura. La carga está soportada por dos cables y un resorte con rigidez k=500lb/pie. Determine la fuerza presente en los cables y el alargamiento del resorte en la posición de equilibrio. El cable AD se encuentra en el plano x-y y el cable AC en el plano x-z..

EJEMPLO 3.4.Determine la fuerza en cada cable usado para soportar el cajón de 40 lb de la figura.EJEMPLO 3.4.Determine la fuerza en cada cable usado para soportar el cajón de 40 lb de la figura.

FIN DE LA CLASE 02: GRACIASLINKS: http://usuarios.multimania.es/pefeco/prodescalar/producto.htm

PROXIMA CLASE: PRACTICA DE EJERCICIOS Nº1

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