estática cables 7 - alojamientos.uva.es · 1. - introducción. - 4/69 - 1. - introducción....

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CCCAAABBBLLLEEESSS

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Índice.

1. -Introducción...........................................................................................................................................2 2. -Los cables como sólidos mecánicos. .....................................................................................................2

2.1. - Equilibrio de un cable.....................................................................................................................2 3. -Cables con cargas discontinuas. ...........................................................................................................2

3.1. - Cables con cargas discontinuas verticales. .....................................................................................2 3.2. - Similitud entre configuración deformada de un cable y momento flector de una viga...................2

4. -Cables con cargas repartidas................................................................................................................2 4.1. - Ecuaciones intrínsecas de equilibrio de cables. ..............................................................................2 4.2. - Equilibrio de cables con cargas repartidas......................................................................................2

4.2.1 Comprobar el equilibrio del cable conocidas la configuración de equilibrio, las fuerzas exteriores y las tensiones en los extremos.................................................................................2

4.2.2 Determinar las fuerzas exteriores conocida la configuración de equilibrio del cable. ..............2 4.2.2.1.- Cable sobre una superficie rugosa sin considerar su peso. ...............................................2 4.2.2.2.- Cable sobre superficie lisa considerando el peso del cable. .............................................2 4.2.2.3.- Cable sobre superficie lisa sin considerar el peso del cable. ............................................2

4.2.3 Determinar la configuración de equilibrio conocidas las fuerzas exteriores que actúan en el cable. .....................................................................................................................................2

4.2.3.1.- Cable sometido a su propio peso. Ecuaciones de la catenaria. .........................................2 4.2.3.1.1.- Catenaria con apoyos a igual altura. ...........................................................................2 4.2.3.1.2.- Catenaria con apoyos a distinta altura.........................................................................2 4.2.3.1.3.- Catenaria con apoyos a igual altura y carga puntual en su punto medio.....................2 4.2.3.1.4.- Centro de masas de una catenaria. ..............................................................................2

4.2.3.2.- Cable con carga uniformemente repartida. Parábola. .......................................................2 4.2.3.2.1.- Parábola con apoyos a igual altura..............................................................................2 4.2.3.2.2.- Parábola con apoyos a distinta altura..........................................................................2

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Mirada previa

En este tema se va a realizar un análisis del estudio de los cables sometidos a cargas concentradas y repartidas.

El estudio comienza indicando las condiciones desde el punto de vista de dimensiones, adaptabilidad y rigidez que ha de cumplir un cable y de los distintos tipos de cargas a los que puede estar sometido. Se analiza el equilibrio de cables y los vínculos que ha de tener.

A continuación replantea el estudio de cables con cargas discontinuas verticales, se definen las ecuaciones de equilibrio estático tanto del cable en su conjunto como de la intersección de dos ramales, y los criterios para obtener una solución única mediante la condición de máxima tensión o pendiente de ramal. Finaliza esta parte con la similitud entre la configuración deformada de un cable y el momento flector de una viga con el mismo estado de carga.

Seguidamente se realiza el estudio de cable con carga repartida, obteniendo la ecuación diferencial de equilibrio estático y las ecuaciones intrínsecas correspondientes.

Se realiza una clasificación de los problemas que se pueden resolver con cables, como son la comprobación del equilibrio conocidas su configuración y las fuerzas exteriores y tensiones en los extremos del cable; determinación de las fuerzas exteriores conocida la configuración de equilibrio y determinación de la configuración de equilibrio conocidas las fuerzas exteriores.

La determinación de las fuerzas exteriores conocida la configuración de equilibrio se desarrolla para un cable sin considerar el peso sobre superficie y lisa y rugosa y cable considerando el peso sobre superficie lisa.

La determinación de la configuración de equilibrio conocidas las fuerzas exteriores se desarrolla para un cable sometido a su propio peso (catenaria) con apoyos a igual y distinta altura, y con carga puntual en su punto medio, y para la aproximación correspondiente a la parábola con a poyos a igual y distinta altura..

Preguntas de inspección

1. ¿Cuántas ecuaciones se pueden plantear y cuantas incógnitas aparecen en el estudio de un cable con cargas puntuales?

2. ¿Qué es un sistema de referencia intrínseco? 3. ¿Cuándo un cable sobre una superficie rugosa sale del equilibrio estático? 4. Desde el punto de vista de las fuerzas interiores, ¿qué diferencia existe entre un cable y un sólido

rígido? 5. ¿Cuál es la ecuación diferencial del equilibrio de cables con cargas repartidas? 6. ¿Qué configuración de equilibrio adquiere un cable sometido a su propio peso? 7. ¿Cómo se obtienen las constantes que aparecen de la solución de una ecuación diferencial? 8. ¿Qué es una función hiperbólica? 9. ¿Cómo se caracteriza una catenaria? 10. ¿En que casos es válida la aproximación de la catenaria a la parábola? 11. ¿Cómo se caracteriza una parábola? 12. ¿Influye que los apoyos externos estén a igual o distinta altura sobre las características del cable?

1. - Introducción.

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1. - Introducción.

Capacidades a desarrollar en el aprendizaje

Determinar los pasos y la estructura seguida en el estudio. Indicar el objetivo a alcanzar en cada uno de los pasos.

El estudio estático de cables es la parte de la mecánica que analiza la configuración de equilibrio y las fuerzas que actúan en este tipo de elementos.

Se plantea desde un punto de vista bidimensional, y se desarrolla para el caso de cables con cargas puntuales y repartidas a lo largo de su dominio.

Este tema es una ampliación de la estática de sólido rígido, ya que es necesario conocer conceptos desarrollados en él como es el equilibrio de fuerzas, sin embargo a diferencia del estudio del sólido rígido, la configuración de equilibrio de un cable está directamente relacionada con el estado de cargas.

El análisis parte de la caracterización de los cables y las cargas que los solicitan, centrándose en los casos de cables bajo cargas puntuales y repartidas verticales.

En el caso de cargas puntuales el estudio se realiza mediante ecuaciones de equilibrio estático, tanto del cable en su conjunto como de los sistemas obtenidos de aislar los ramales concurrentes en un punto, obteniéndose un sistema de ecuaciones indeterminado que ha de ser resuelto introduciendo nuevas condiciones como el valor de la tensión o pendiente máxima de ramal.

En el caso de cable con cargas repartidas, a partir del análisis de un elemento infinitesimal de arco se obtiene la ecuación diferencial de equilibrio, desarrollándola en componentes intrínsecas. Se hace un análisis de los distintos tipos de problemas que se pueden plantear en función del conocimiento de la configuración de equilibrio que adquiere el cable o de las fuerzas exteriores que lo solicitan.

Se desarrolla el estudio para los casos de conocer la configuración de equilibrio por encontrarse el cable sobre una superficie tanto para contacto liso como rugoso.

Se desarrolla a continuación el estudio el caso de conocer las fuerzas exteriores que lo solicitan, tanto para el peso por unidad de longitud del cable, que da lugar a la configuración de equilibrio de catenaria, como para carga uniformemente repartida, que da lugar a la parábola. En estos casos se obtiene la ecuación diferencial del equilibrio en función de la carga que lo solicita. Se determinan las soluciones de las distintas ecuaciones diferenciales determinando las constantes de integración en función de las condiciones de contorno. Caracterizada la curva correspondiente se obtiene la tensión máxima y las características del cable (longitud, flecha,…).

En los anexos se desarrolla la formulación hiperbólica necesaria, los procesos de integración utilizados, el método de la bisección para la obtención de raíces de una ecuación en la que no se puede despejar el término a obtener y las tablas de funciones hiperbólicas básicas.

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2. - Los cables como sólidos mecánicos.


Definir las características de los cables. Determinar los esfuerzos que aparecen en la sección de un cable. Definir los parámetros a determinar. Definir los tipos de cargas que soportan.

El cable es un elemento estructural lineal en el que las dimensiones de su sección son muy pequeñas comparadas con su longitud. Debido a su característica de flexibilidad se utiliza como componente resistente en puentes colgantes, líneas de transmisiones eléctricas o telefónicas, etc, en los que únicamente se consideran los esfuerzos axiles. Es un sistema deformable que sometido a la acción de un estado de carga, y sin tener en cuenta deformaciones elásticas asociadas a la variación de longitud, modifica la distancia entre sus puntos y cambia su forma o configuración, adaptando su geometría a la del funicular de cargas.

condiciones de los cables

Para que un elemento pueda ser considerado un cable ha de cumplir con una serie de condiciones asociadas a distintas características, como son:

a) Dimensiones: La sección transversal es despreciable comparada con su longitud.

b) Flexibilidad: El cable no resiste esfuerzos de flexión ni cortadura. Tan sólo resiste esfuerzos axiles. En equilibrio estático puede adoptar distintas formas en función de las cargas que lo soliciten.

c) Rigidez: Analizado con el modelo de sólido mecánico, su longitud no varía, independientemente de la magnitud de las cargas.

d) Equilibrio: Sometido a un estado de cargas y adoptada la configuración deformada, el cable se comporta como un sólido rígido, cumpliendo por lo tanto con las ecuaciones de equilibrio.

Por ello, la configuración deformada de un cable en el que se desprecia el efecto del peso propio y está solicitado únicamente por dos fuerzas actuando en sus extremos es la línea recta. El equilibrio existe cuando las fuerzas son iguales, de sentidos contrarios y tendiendo a separar dichos extremos.

En este caso, si las fuerzas tendieran a aproximar sus puntos de aplicación, el cable no trabajaría correctamente. Como consecuencia, se definen los cables como sistemas adaptables cuyas secciones transversales solo pueden estar sometidas a fuerzas que generen estados de tracción.

Concepto clave Un cable no puede trabajar a compresión.

Para proyectar un cable es necesario conocer los valores que adquieren ciertos parámetros característicos como tensión del cable, longitud del vano a salvar, flecha y longitud del cable. Para su determinación es necesario considerar el equilibrio estático del elemento.

Concepto clave

La tensión de un cable hace referencia al concepto históricamente aceptado de resultante de fuerzas internas que actúan en los puntos de la sección del cable. Este concepto no es el mismo que el de fuerza por unidad de superficie, utilizado en estudios de elasticidad y resistencia de materiales.

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cargas de los cables la configuración de equilibrio que adquiere un cable está directamente relacionada con el tipo de carga (funicular de cargas) que lo solicita. Estas cargas se pueden clasificar en:

a) Cargas puntuales. Son aquellas que actúan en uno o varios puntos separados entre sí por una distancia finita, no existiendo fuerzas en los puntos intermedios (Fig. 2.1). La configuración de equilibrio que adquiere un cable sometido a cargas puntuales (considerando el efecto del peso despreciable) es poligonal.

Fig. 2.1 – Cable sometido a cargas puntuales.

b) Cargas repartidas. Son cargas distribuidas que actúan en un dominio del cable (Fig. 2.2). La configuración de equilibrio que adquiere el cable depende del tipo de carga.

Fig. 2.2 – Cable sometido a carga repartida.

A continuación el estudio se centra en cables flexibles sometidos a cargas repartidas.

2.1. - Equilibrio de un cable.

Las condiciones de vínculo en los extremos de un cable sometido a la acción de un sistema de fuerzas deben permitir el equilibrio del conjunto.

vínculos de los cables Debido que los cables no poseen resistencia a flexión, no pueden generar momentos flectores en ningún punto. Sólo pueden generar fuerzas interiores, cuya intensidad y dirección dependerán de las cargas que actúan en el sistema. Consecuentemente los vínculos en los extremos del cable siempre se consideran apoyos articulados fijos.

sistema estáticamente indeterminado

Si se aplican las ecuaciones de equilibrio sobre el cable en su conjunto se tendrá un sistema de tres ecuaciones independientes y cuatro incógnitas (dos por cada apoyo), lo que corresponde a un sistema estáticamente indeterminado.

Esto significa que existe una multitud de cables que podrán satisfacer las ecuaciones de equilibrio para un mismo sistema de fuerzas. Esta afirmación es representada en la figura 2.3.

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Fig. 2.3 – Distintas soluciones para un mismo sistema de fuerzas.

En la figura se puede apreciar un conjunto de cables bajo la acción de un mismo sistema de cargas, tanto concentradas como repartidas, en la que cada configuración posee longitud, forma y tensiones distintas.

Por consiguiente, para la determinación de las reacciones de vínculo externo se tendrá que plantear una cuarta ecuación en función de la longitud, deformación o tensión del cable en estudio. De esta forma se puede hallar una solución única que se ajuste a las condiciones del problema.

3. - Cables con cargas discontinuas.

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Determinar los elementos de estudio. Definir las ecuaciones de equilibrio a utilizar. Determinar la configuración de equilibrio del cable.

Se van a analizar las tensiones en los ramales y la configuración deformada producidas en cables sometidos a cargas discontinuas verticales.

3.1. - Cables con cargas discontinuas verticales.

configuración de equilibrio de los

ramales

Se considera el caso de un cable sometido a cargas verticales discontinuas (Fig. 3.1). La existencia de este tipo de cargas sobre cables, en los que no se considera su peso, hace que los ramales adquieran la configuración de equilibrio volviéndose segmentos rectos. Se consideran conocidas las cargas y la componente x de sus puntos de actuación.

Fig. 3.1 – Cable con cargas discontinuas.

equilibrio estático A partir de las ecuaciones de equilibrio estático se determinan las reacciones en los apoyos

L

dFR0dFLR0M

n

1iii

Ay

n

1iiiAyB

∑∑∑ =

==⇒=−⇒=

BxAxBxAxx RR0RR0F =⇒=+⇒=∑

L

dFFR0FRR0F

n

1iiin

1iiBy

n

1iiByAyy

∑∑∑∑ =

==−=⇒=−+⇒=

Como ya se indicó anteriormente, las ecuaciones de equilibrio estático no son suficientes para obtener las componentes vinculares BxAx R,R , ya que a partir de fuerzas sobre el eje x solo se puede asegurar que ambas reacciones son iguales y de sentidos contrarios.

análisis a partir de tensión o pendiente

máxima

Para determinar dichos valor es necesario conocer otro dato, como por ejemplo la tensión máxima o la pendiente máxima del cable. Dado que la componente horizontal de la tensión de todos los ramales es la misma (se comprobará posteriormente) dicha tensión máxima aparece en el ramal de mayor pendiente, ya que será el que tiene mayor componente vertical, y que coincidirá con alguno de los situados en los extremos del cable.

equilibrio en un ramal Las ecuaciones de equilibrio en cada uno de los ramales extremos son

11Ax cosTR θ= 11Ay senTR θ= nnBx cosTR θ= nnBy senTR θ=


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por lo tanto, si el dato es la tensión máxima o la pendiente máxima, se puede utilizar una de las expresiones

2Ay

2Ax1 RRT +=

Ax

Ay1 R

Rtgarc=θ 2

By2Bxn RRT +=

Bx

Byn R

Rtgarc=θ

para obtener la ecuación que permita determinar las componentes vinculares BxAx R,R .

equilibrio de ramales consecutivos

Si se aíslan dos ramales consecutivos (i, i+1, Fig. 3.2) en configuración de equilibrio, las fuerzas a las cuales está sometido son la fuerza exterior activa iF , y las tensiones de los ramales a su izquierda ( iT ) y derecha ( 1iT + ).

iF

iT

1i+θiθ

1iT +

iT

1iT +

iF

Fig. 3.2 – Equilibrio de ramales consecutivos.

Las condiciones de equilibrio estático para este punto son:

1i1iiix cosTcosT0F ++=⇒=∑ θθ 0FsenTsenT0F i1i1iiiy =−−⇒= ++∑ θθ

componente horizontal de tensión constante

Con lo que se comprueba que en el caso de cable sometido a cargas concentradas verticales, las componentes horizontales de tensión ( xT ) permanecen constantes, por lo que se puede poner

1i1iiix cosTcosTT ++== θθ

tensión y ángulo de ramal adyacente

A partir del punto de actuación (i) de una carga puntual conocida (Fi), y conocida la componente vertical de un ramal ( iiiy senTT θ= ), con la ecuación de equilibrio en la dirección del eje y se puede obtener la tensión y el ángulo del ramal adyacente (i+1)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

+=⇒

⎭⎬⎫

=

−==⇒=−−

+

++

+++

+

+++++

x1i

y1i1i

2y1i

2x1i1i

iix1i

iii1i1iy1ii1i1iii

TT

tgarc

TTT

cosTT

FsenTsenTT0FsenTsenT

θθ

θθθθ

con lo que se irían obteniendo las tensiones y ángulos de todos los ramales.

componente vertical de las cargas

Conocidos los ángulos de cada ramal ( iθ ), se puede determinar la componente vertical de cada punto de actuación de las cargas verticales

iiii

ii tgxy

xytg θθ =⇒=

y la correspondiente configuración de equilibrio del cable.

longitud total del cable La longitud total del cable (2L) será igual a la suma de las longitudes de cada uno de los ramales

( ) ( )∑=

−− −+−=n

1i

21ii

21ii yyxxL2

3.2. -Similitud entre configuración deformada de un cable y momento flector de una viga.

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3.2. - Similitud entre configuración deformada de un cable y momento flector de una viga.

relación configuración deformada de un cable, momento flector de una

viga

Existe una relación entre la configuración deformada de un cable y el momento flector de una viga cargada con el mismo estado de cargas. Si se secciona por un ramal y se toman momentos respecto del punto de sección (Fig. 3.3)

Fig. 3.3 – Cable seccionado por un punto intermedio.

0dFyRxR0M CiiCAxCAyC =−−⇒= ∑∑

El término izquierdo de la expresión corresponde al momento flector en la sección C de una viga cargada con las mismas cargas verticales y en las mismas posiciones que las que existen en el cable (Fig. 3.4).

MC

MC

Fig. 3.4 – Momento flector de una viga equivalente.

∑∑∑ ++−=⇒=+−−⇒= CiiCAxCAyfCfCCiiCAxCAyC dFyRxRM0MdFyRxR0M

por lo que la configuración de equilibrio del cable es proporcional a la gráfica del momento flector que aparece en la viga equivalente sometida a flexión.

Las vigas, considerados como sólidos rígidos, pueden absorber los momentos flectores debidos a un estado de carga sin adquirir movimiento (incidimos nuevamente que se está considerando el modelo de sólido rígido), sin embargo, ese mismo estado de cargas en un cable, elemento que no puede absorber momentos flectores, para llegar al equilibrio estático genera un movimiento proporcional al momento flector de la viga equivalente. La magnitud del movimiento depende de la longitud del cable en estudio.

Concepto clave La gráfica de momentos flectores de una viga con un estado de carga determinado es proporcional a la configuración deformada que adquiere un cable con ese mismo estado de carga.

4. Cables con cargas repartidas.

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4. - Cables con cargas repartidas.


Obtener la ecuación diferencial de equilibrio de un cable con cargas repartidas.

Si se considera un cable flexible e inextensible cargado con una carga continua ( Fr

), por ejemplo su propio peso, en cada uno de sus puntos actuará una fuerza exterior (en la que se engloban tanto las componentes activas como vinculares) y la resultante de las fuerzas interiores sobre la sección del cable ( )sT

r,

denominada tensión.

El cable sometido a este estado de cargas adquiere la configuración con un con un cierto radio de curvatura correspondiente al equilibrio estático, tal como aparece en la figura 4.1.

Δs

s+Δs

A A’

Fig. 4.1 – Cable en equilibrio estático sometido a carga repartida.

Para realizar el estudio se considera un punto como origen de arcos (Ao) y una magnitud de arco orientado (s) que define otro punto (A) sobre el cable. En general, la fuerza continua ( F

r) que actúan en el cable será

función de la posición del punto en el arco ( ( )sFr

), por lo que si se toma un punto (A’) próximo al anterior,

definido mediante un arco ss Δ+ , la fuerza exterior continua que actúa en ese punto será ( )ssF Δ+r

.

En este cable se puede aislar un elemento incremental (Δs), de forma que en las secciones imaginarias realizadas aparecen tensiones (T

r y TT

rrΔ+ ), cuya característica es la de tener la dirección tangente a la

configuración de equilibrio del cable.

resultante de fuerzas exteriores

Si a la resultante de las fuerzas exteriores que actúan en el incremento de arco se le da la notación ( )sFr

Δ y

fuerza media por unidad de longitud

se divide por la magnitud del incremento de arco ( sΔ ), se obtiene la fuerza exterior media por unidad de

longitud ( ( )sFm

r)

( ) ( )ssFsFm Δ

Δr

r=

fuerza por unidad de longitud

expresión que llevada al límite cuando el incremento de arco tiende a cero ( 0s →Δ ) permite determinar la

fuerza exterior por unidad de longitud ( ( )sF .l.u

r), que depende de la posición del punto de estudio en el

arco (s)

4. Cables con cargas repartidas.

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( ) ( ) ( ) ( )ds

sFdssFlimsFlimsF

0sm

0s.l.u

rrrr

===→→ Δ

ΔΔΔ

fuerza exterior sobre elemento infinitesimal

de cable

Luego la fuerza exterior ( ( )sFdr

) que actúa en un elemento infinitesimal de cable (ds) es el producto de la

fuerza exterior por unidad de longitud ( ( )sF .l.u

r) multiplicada por la longitud infinitesimal del arco de cable

(ds)

( ) ( ) dssFsFd .l.u

rr=

tensión del cable Al mismo tiempo, la tensión (Tr

) producida al seccionar el cable depende del punto de estudio ( ( )sTr

) y es tangente al cable por dicho punto en el sentido de crecimiento del arco de cable.

Al seccionar un cable por dos puntos infinitesimalmente próximos entre sí (s y s+ds) las tensiones que aparecen ( ( )sT

r− y ( ) ( )sTdsT

rr+ ) son tangentes por los extremos del elemento de arco y con tendencia a

separarlos (Fig. 4.2).

ds s+dss

Fdr

TdTrr

+

Fdr

TdTrr

+

Fig. 4.2 – Análisis de fuerzas sobre el elemento infinitesimal de arco.

equilibrio Al analizar el equilibrio de este elemento infinitesimal se tiene que

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) 0sTddssFdssFsFd

0sTdsFd0sTdsTsTsFd.l.u

.l.u

rrrrr

rrrrrrrr

=+⇒⎪⎭

⎪⎬⎫

=

=+⇒=++−

ecuación diferencial de equilibrio de un cable

por lo que la expresión de la ecuación diferencial de equilibrio de un cable en función de la fuerza exterior por unidad de longitud ( ( )sF .l.u

r) es

( ) ( ) 0ds

sTdsF .l.u

rr

r=+

Como se verá a continuación, esta ecuación se puede expresar en función de distintas componentes.

4.1.- Ecuaciones intrínsecas de equilibrio de cables.

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4.1. - Ecuaciones intrínsecas de equilibrio de cables.


Obtener las ecuaciones diferenciales de equilibrio de un cable en componentes intrínsecas con cargas repartidas.

Tanto la fuerza por unidad de longitud ( ( )sF .l.u

r) como la tensión ( ( )sT

r) que actúan en un elemento

infinitesimal de cable (ds) están contenidas en el plano intrínseco osculador de dicho cable (plano perpendicular a la dirección intrínseca binormal b

r).

tensión en componentes intrínsecas

Si se consideran los unitarios de las direcciones tangente, normal y binormal ( b,n,trrr

) asociadas al triedro

intrínseco en los puntos de un cable función del arco (s) ( ( ) ( ) ( )sb,sn,strrr

), la tensión de un punto del cable

( ( )sTr

) siempre tendrá la dirección tangente ( tr

)

( ) ( ) ( )stsTsTrr

=

variación de la tensión respecto del arco

y su variación respecto del arco (s), teniendo en cuenta que la derivada de la dirección tangente ( tr

) respecto del arco es

( ) ( )( )ssn

dsstd

ρ

rr

=

viene expresada mediante

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )snssTst

dssTd

dssTd

ssn

dsstd

dsstdsTst

dssTd

dssTd

rrr

rr

rr

r

ρρ

+=⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=

+=

donde

( )sρ - Radio de curvatura del arco en el punto de estudio.

( )snr

- Unitario normal del arco en el punto de estudio.

fuerza exterior por unidad de longitud

en componentes intrínsecas

Si se define la fuerza exterior por unidad de longitud ( ( )sF .l.u

r) en componentes intrínsecas

( ( ) ( ) ( )sF,sF,sF bnt ) se tiene

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sbsFsnsFstsFsF bnt.l.u

rrrr++=

equilibrio en componentes

intrínsecas

Utilizando la ecuación de equilibrio de cables obtenida anteriormente, se determinan las ecuaciones de equilibrio en componentes intrínsecas

4.1.- Ecuaciones intrínsecas de equilibrio de cables.

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( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( )

( )⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

=+

=+

⇒⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

++=

++⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

+=

=+

0sF

0ssTsF

0ds

sTdsF

sbsFsnsFstsFsF

snssTst

dssTdsF

snssTst

dssTd

dssTd

0ds

sTdsF

b

n

t

bnt.l.u

.l.u.l.u

ρρ

ρ

rrrr

rrr

rrr

rr

r

Como no existe la componente binormal de la fuerza exterior por unidad de longitud ( ( ) 0sFb = ), se

demuestra que el cable es perpendicular a dicha dirección ( br

) y por lo tanto se encuentra situado en el plano que contiene a las componentes tangente y normal ( ( ) ( )sn,st

rr), denominado osculador.

4.2.- Equilibrio de cables con cargas repartidas.

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4.2. - Equilibrio de cables con cargas repartidas.


Obtener los parámetros característicos del estudio de cables con cargas repartidas en distintos casos.

clasificación de los problemas de equilibrio

En el estudio mecánico asociado al análisis de cables, además de existir un sólido, un estado de cargas y una vinculación, igual que ocurría en los sólidos rígidos, aparece la configuración deformada generada por la adaptabilidad del sistema a las cargas y los vínculos, por lo que el análisis de dicha configuración del cable es fundamental.

Uno de los problemas más frecuentes aparece cuando el cable está sometido a cargas repartidas. En función de los datos conocidos, se puede realizar la siguiente clasificación:

a) Conocidas la configuración de equilibrio del cable ( ( )xfy = ), las fuerzas exteriores por unidad de longitud ( ( ) ( )sF,sF nt ) y las tensiones en los extremos del cable ( ( ) ( )LT,0T ), comprobar la existencia de dicho equilibro.

b) Conocida la configuración de equilibrio del cable ( ( )xfy = ), determinar las fuerzas exteriores ( ( ) ( )sF,sF nt ) que la generan.

c) Conocidas las fuerzas exteriores ( ( ) ( )sF,sF nt ) que actúan en el cable, determinar la configuración de equilibrio ( ( )xfy = ) que generan.

Se pasa por tanto a analizar cada uno de los problemas:

4.2.1 Comprobar el equilibrio del cable conocidas la configuración de equilibrio, las fuerzas

exteriores y las tensiones en los extremos.


Comprobar la existencia de equilibrio conocidas las cargas y la configuración deformada.

En este primer caso se conocen todos los datos: la configuración de equilibrio ( ( )xfy = ), las fuerzas exteriores ( ( ) ( )sF,sF nt ) y las tensiones en los extremos del cable ( ( ) ( )LT,0T ), por lo que se comprueba la existencia de dicho equilibro.

Al conocerse tanto la configuración de equilibrio ( ( )xfy = ) como las fuerzas exteriores que lo producen ( ( ) ( )sF,sF nt ), el problema es de comprobación de coherencia entre dichos datos.

Si se conoce la configuración de equilibrio ( ( )xfy = ) se puede obtener el radio de curvatura de todos los puntos del cable ( ( )sρ ).

( ) 32

2

2

dxdy1

dxyd

s1

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

=ρ

4.2.2.- Determinar las fuerzas exteriores conocida la configuración de equilibrio del cable.

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Como al mismo tiempo se conocen las fuerzas exteriores, se pueden descomponer en sus componentes intrínsecas ( ( ) ( )sF,sF nt ), por lo que a partir de las ecuaciones de equilibrio del cable

( ) ( )

( ) ( )( )⎪

⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=

−=

ssTsF

dssTdsF

n

t

ρ

se tiene

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( )

( )sF

CdssFs

sFssT

CdssFsTdssFsTddssFsTd

n

st

n

st

st

sTt

+=⇒

⎪⎭

⎪⎬⎫

−=

+−=⇒−=⇒−= ∫∫∫∫ρ

ρ

Las expresiones del radio de curvatura ( ( )sρ ) obtenidas a partir de las ecuaciones de equilibrio han de ser idénticas a las obtenidas a partir de la configuración deformada.

4.2.2 Determinar las fuerzas exteriores conocida la configuración de equilibrio del cable.


Determinar las fuerzas exteriores a partir de conocer la configuración deformada. Realizar la aplicación al cable con superficie rugosa sin considerar su peso. Realizar la aplicación al cable con superficie lisa considerando su peso. Realizar la aplicación al cable con superficie lisa sin considerar de su peso.

La situación más característica en la que se conoce la configuración de equilibrio de un cable es cuando se encuentra en contacto con una superficie de geometría conocida, por lo que su configuración deformada coincide con la de la superficie.

Se van a analizar distintos casos de contacto de cable con superficie, como son:

a) Cable sobre superficie rugosa sin considerar el peso del cable,

b) Cable sobre superficie lisa considerando el peso del cable,

c) Cable sobre superficie lisa sin considerar el peso del cable.

4.2.2.1.- Cable sobre una superficie rugosa sin considerar su peso.

Se aplica en el estudio de cable atirantado sobre superficie rugosa (Fig. 4.3), en el que el efecto de la tensión del cable permite despreciar el efecto del peso sin cometer errores apreciables. Las expresiones de partida corresponden a las de equilibrio de fuerzas en componentes intrínsecas

( ) ( )

( ) ( )( )⎪

⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+

=+

0ssTsF

0ds

sTdsF

n

t

ρ


- 17/69 -

En este caso se parte del conocimiento de la tensión en un extremo del hilo (T0) y la fuerza vincular por unidad de longitud ( ( )sR .l.u

r).

Fig. 4.3 – Cable sin peso sobre superficie rugosa.

equilibrio Descomponiendo la fuerza vincular por unidad de longitud ( ( )sR .l.u

r), única fuerza exterior existente, en

sus componentes tangencial (fuerza de rozamiento, en sentido contrario al movimiento inminente) y normal ( ( ) ( )sN,sFr ) en cada uno de los puntos de contacto, las ecuaciones de equilibrio son

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( )( ) 0ssTsN

sNsF

0ssTsF

0ds

sTdsFsFsF

0ds

sTdsF

n

nr

rt

t =+−⇒⎪⎭

⎪⎬

⎫

−=

=+=+−⇒

⎪⎭

⎪⎬⎫

−=

=+ρ

ρ

aplicación al límite estático

Estas expresiones son independientes entre sí salvo en el estado límite de comportamiento estático, instante en que la fuerza de rozamiento límite por unidad de longitud ( ( )sF Límite.r ) en todos los puntos de contacto es igual al coeficiente de rozamiento (f) por la componente normal por unidad de longitud ( ( )sN ),

( ) ( )sNfsF Límite.r =

luego las expresiones anteriores quedan

( ) ( ) ( ) ( )( ) 0ssTsN0

dssTdsNf =+−=+−

ρ

Despejando la componente normal ( ( )sN ) en la segunda y sustituyendo en la tensión infinitesimal ( ( )sdT ) de la primera expresión se tiene

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( ) dsssTfsTd

ssTsN0

ssTsN

dssNfsTd0ds

sTdsNf

ρρρ

=⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=⇒=+−

=⇒=+−

haciendo un cambio de variable, considerando el ángulo (α) abrazado por el cable en función del radio de curvatura del punto de contacto ( ( )sρ ) y del arco (ds) se tiene la variación de la tensión del elemento infinitesimal del cable ( ( )sdT )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) αααα

ραρ

ρdTfTd

ds

dsdsds

sdssTfsTd

=⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=⇒=

=


- 18/69 -

Concepto clave Se comprueba que en este caso la tensión es independiente de la geometría de la superficie, y sólo depende del ángulo abrazado por el cable.

con lo que reorganizando las variables e integrando se obtiene la tensión del cable ( ( )αT ) en un punto correspondiente al ángulo α

( ) ( ) ( )( )

( )( )( )

( )( ) CfTlndfTTddf

TTddTfTd

T+=⇒=⇒=⇒= ∫∫ ααα

ααα

ααααα

αα

condiciones de contorno

para obtener la constante de integración (C) se aplican las condiciones de contorno. Para ello se considera el origen del ángulo abrazado por el cable sobre la superficie rugosa ( 0=α ) coincidiendo con el punto inicial de contacto entre el cable y la superficie, de tensión 0T

( )( )( ) ( ) ( ) CTln

T0TT0CfTln

00

=⇒⎭⎬⎫

==⇒=+=

αααα

luego, sustituyendo en la expresión de la tensión del cable anteriormente obtenida

( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) αααααα

ααf

TTlnfTlnTlnTlnfTln

TlnCCfTln

000

0=⇒=−⇒+=⇒

⎭⎬⎫

=+=

en la que aplicando exponenciales a ambos lados de la igualdad se obtiene

( )( ) ( ) ααα

α

αα f0

f

0

fTTln

eTTeT

Tee 0 =⇒=⇒=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

que corresponde a la tensión en un punto cualquiera del cable ( ( )αT ) en función del ángulo abrazado.

Concepto clave Definir correctamente el sentido de la fuerza de rozamiento en función del movimiento inminente del cable es fundamental para que en la expresión ( )αT sea mayor que 0T .

tensión máxima En el otro extremo del contacto entre el cable y sólido rugoso, en donde se acumula el efecto de la fuerza de rozamiento, aparece la tensión máxima del cable. Si el ángulo abrazado por el cable sobre la superficie rugosa es 1α , el valor de la tensión máxima del cable, independientemente de la forma que tenga la superficie es

( ) 1f01 eTT αα =

Concepto clave El ángulo abrazado se introduce en la expresión en radianes.

4.2.2.2.- Cable sobre superficie lisa considerando el peso del cable.

- 19/69 -


Nuevamente la configuración en equilibrio del cable es conocida al serlo la superficie con la que está en contacto. Se parte de las ecuaciones de equilibrio en componentes intrínsecas

( ) ( )

( ) ( )( )⎪

⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+

=+

0ssTsF

0ds

sTdsF

n

t

ρ

de la tensión en un extremo del hilo (T0), de la fuerza vincular reactiva por unidad de longitud ( ( )sR .l.u

r) y

de la fuerza activa correspondiente al peso del cable ( pr

) que se supone constante y en la dirección del eje y.

componentes intrínsecas de las

fuerzas exteriores

Al no existir rozamiento, la fuerza vincular tiene solo componente normal ( ( )sN ) en cada uno de los puntos de contacto, mientras que las componentes tangencial y normal del peso por unidad de longitud ( pr

) se obtienen mediante su proyección sobre los unitarios tangente y normal de la configuración del

cable ( n,trr

, respectivamente Fig. 4.4)

( ) ( ) nsNsR .l.urr

−= ( ) ( )nnjpttjpjpprrrrrrrr

⋅−⋅−=−=

Concepto clave La componente tangencial tiene siempre la dirección de la tangente a la curva en el sentido de crecimiento del arco, mientras que la componente normal va dirigida hacia el centro de curvatura en el punto de estudio.

Fig. 4.4 – Cable con peso sobre superficie lisa.

vector tangente Cualquier punto del cable en el plano xy su vector de posición ( ( )srr

) viene expresado por las componentes

( ) ( ) ( ) jsyisxsrrrr

+=

luego el vector unitario tangente ( ( )str

) y su proyección sobre la dirección vertical ( jr

) son

( ) ( ) ( ) ( ) jds

sdyids

sdxds

srdstrrr

r+== ( ) ( )

dssdystj =⋅

rr

equilibrio y las ecuaciones de equilibrio quedan


- 20/69 -

( ) ( )

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )

( ) 0ssTsNsnjp

sNsnjpsF

0ssTsF

0ds

syTdds

sdyp

dssdypsF

dssdystj

stjpsF

0ds

sTdsF

n

n

t

t

t

=+−⋅−⇒⎪⎭

⎪⎬

⎫

−⋅−=

=+

=+−⇒

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

−=⇒⎪⎭

⎪⎬

⎫

=⋅

⋅−=

=+

ρρ rr

rr

rr

rr

tensión a partir de la primera expresión se puede obtener la tensión ( ( )yT ) en un punto arbitrario del cable en función de su cota (y) respecto del origen del sistema de referencia

( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( ) CypyTdypyTddypyTd0ds

syTdds

sdypyyT

+=⇒=⇒=⇒=+− ∫∫


y a partir de las condiciones de contorno, considerando 0y la cota en el origen de arcos ( 0s ), obtener la constante de integración (C)

( ) ( ) ( ) 00000

ypyTCCypyTyy0sCypyT

−=⇒+=⇒⎭⎬⎫

=⇒=+=

con lo que la tensión en un punto arbitrario es

( )( ) ( ) ( ) ( )00

00yypyTyT

ypyTCCypyT

−+=⇒⎭⎬⎫

−=+=

que indica que la diferencia de tensiones entre dos puntos ( ( ) ( )AB yTyT − ) es igual al peso del cable ficticio por la diferencia entre las componentes verticales de dichos puntos ( ( )AB yyp − )

( ) ( ) ( )ABAB yypyTyT −=−

El valor de la fuerza normal vincular ( ( )sN ) se puede obtener de la segunda ecuación

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

( )ssTsnjpsN0

ssTsNsnjp

ρρ+⋅−=⇒=+−⋅−

rrrr

4.2.2.3.- Cable sobre superficie lisa sin considerar el peso del cable.

- 21/69 -

4.2.2.3.- Cable sobre superficie lisa sin considerar el peso del cable.

Se parte nuevamente de las ecuaciones de equilibrio

( ) ( )

( ) ( )( )⎪

⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+

=+

0ssTsF

0ds

sTdsF

n

t

ρ

de la tensión en un extremo del hilo (T0) y de la fuerza vincular reactiva por unidad de longitud ( ( )sR .l.u

r).

La fuerza vincular tiene solo componente normal ( ( )sN ) en cada uno de los puntos de contacto, por lo que las ecuaciones de equilibrio quedan

( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )sTsN0

sTsN

TsTsNsF

0ssTsF

TsT0ds

sTd

0sF

0ds

sTdsF

n

n

t

t

ρρ

ρ=⇒=+−⇒

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

=−=

=+

=⇒=⇒⎪⎭

⎪⎬⎫

=

=+

Luego la tensión ( ( )sT ) es constante (T) en todos los puntos del cable, mientras que la componente vincular normal por unidad de longitud ( ( )sN ) es igual a la tensión dividida entre el radio de curvatura ( ( )sρ ) del punto de contacto entre cable y sólido.

Concepto clave Para el caso de cable sobre superficie lisa sin considerar el efecto del peso, la tensión es constante en todos los puntos.

4.2.3.- Determinar la configuración de equilibrio conocidas las fuerzas exteriores que actúan en el cable.

- 22/69 -

4.2.3 Determinar la configuración de equilibrio conocidas las fuerzas exteriores que actúan en el

cable.


Determinar la configuración deformada a partir de conocer las fuerzas exteriores.

En este tercer caso se conocen las fuerzas exteriores ( p ) que actúan en el cable, y se desea determinar la configuración de equilibrio que éstas producen ( ( )sy ).

carga vertical Para el análisis se va a considerar el caso común de un cable que no se encuentra en contacto con ningún sólido, por lo que los efectos vinculares solo aparecen en los extremos, sometido únicamente a cargas verticales repartidas ( yp ) debidas a la acción gravitacional, cuya magnitud depende de posición del punto

de estudio ( ( )xpy ) (Fig. 4.5).

Fig. 4.5 – Cable con carga vertical.

equilibrio En este caso, al aislar un elemento infinitesimal de cable (ds), las ecuaciones de equilibrio son (Fig. 4.6)

( ) ( )( ) ( ) ( )⎩

⎨⎧

=−−++=−++

0dxxpsenTdsendTT0cosTdcosdTT

yθθθθθθ

A

py dx

θ+dθ

θ

A’

py dx

py dx

Fig. 4.6 – Equilibrio de un elemento de arco.

seno de la suma y ángulo infinitesimal

en las que desarrollando el seno y coseno de la suma de ángulos

( )( )⎩

⎨⎧

−=++=+

θθθθθθθθθθθθ

dsensendcoscosdcosdsencosdcossendsen

y teniendo en cuenta el desarrollo del seno y coseno de ángulos infinitesimales

1dcosddsen ≈≈ θθθ


- 23/69 -

las expresiones se reducen a

( )( )⎩

⎨⎧

−≈++≈+

θθθθθθθθθθ

dsencosdcosdcossendsen

que sustituidas en las ecuaciones de equilibrio

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )⎩

⎨⎧

=−−++=−−+

⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

−≈++≈+

=−−++=−++

0dxxpsenTdcossendTT0cosTdsencosdTT

dsencosdcosdcossendsen

0dxxpsenTdsendTT0cosTdcosdTT

y

y

θθθθθθθθ

θθθθθθθθθθ

θθθθθθ

expresiones que desarrolladas

( )⎩⎨⎧

=−−+++=−−+−

0dxxpsenTdcosdTsendTdcosTsenT0cosTdsendTcosdTdsenTcosT

yθθθθθθθθθθθθθθ

y simplificadas, despreciando infinitésimos de segundo orden ( 0ddT ≈θ )

( )( )( ) ( )⎩

⎨⎧

==

⇒⎭⎬⎫

=−+=+−

dxxpsenTd0cosTd

0dxxpsendTdcosT0cosdTdsenT

yθθ

θθθθθθ

Concepto clave Mientras no se indique lo contrario, se desprecian los infinitésimos de segundo orden.

de la segunda expresión se puede obtener que la componente horizontal de la tensión es constante en todos los puntos del cable

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=⇒

⎭⎬⎫

==⇒=

θθθθ

cosTT

CT

TcosTCcosT0cosTd

x

x

x

Concepto clave La componente horizontal de la tensión en todos los puntos es constante.

Que sustituido en la primera ecuación,

( ) ( )( ) ( ) dxxptgTdsen

cosTd

cosTT

dxxpsenTd

yxx

x

y

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⇒

⎪⎭

⎪⎬⎫

=

=θθ

θθ

θ

considerando la tangente de θ en función de la configuración de equilibrio ( ( )xyy = ) y teniendo en cuenta que la componente horizontal de la tensión ( xT ) es constante, se tiene

( ) ( ) ( ) dxxpdxdydT

dxdytg

dxxptgTdCT

yxyx

x

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⇒

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

=

==

θ

θ


- 24/69 -

por lo que reorganizando la expresión

( ) ( )x

yyx T

xpdxdy

dxddxxp

dxdydT =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⇒=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

o bien

( )x

y2

2

Txp

dxyd

=

ecuación diferencial de equilibrio

ecuación diferencial de equilibrio de un cable sometido a carga vertical ( ( )xp ), cuya solución, conocidos la carga y la componente horizontal constante ( xT ) permite obtener la configuración de equilibrio mediante un proceso de separación de variables e integración.

4.2.3.1.- Cable sometido a su propio peso. Ecuaciones de la catenaria.

- 25/69 -



Determinar la configuración deformada de un cable sometido a su propio peso.

Se van a desarrollar las expresiones fundamentales correspondientes a la configuración de equilibrio de un cable sometido únicamente a la acción de su peso (Fig. 4.7).

x1

y1

Fig. 4.7 – Cable sometido a su propio peso.

expresiones a obtener Las expresiones que se van a obtener son las siguientes:

1- axChay = con

pTa x=

2- ( ) pyxT = 3- axShas = 4- 222 say += 5-

asylnax +

= 6- ρay2 =

peso sobre el diferencial de longitud

cuyos desarrollos se deben al trabajo de Leibniz, Huygens y Johann Bernoulli en la década de 1690. Para su determinación se tiene en cuenta lo siguiente:

Se parte de un sistema de referencia de coordenadas x1y1 con origen en el punto de tangente horizontal del cable (Fig. 4.7), correspondiente a su punto más bajo y se considera el peso por unidad de longitud (p) del cable constante, por lo que la carga existente en un elemento infinitesimal de longitud de arco (ds) es

dsp

donde el diferencial de arco puesto en función de las componentes x1 e y1, es

21

21 dydxds +=

peso sobre la proyección horizontal

sin embargo este peso (p) actúa sobre la longitud del cable (ds) y no sobre la proyección horizontal (dx1), que es como aparece en la ecuación diferencial de equilibrio ( ( )xpy ) obtenida anteriormente, por lo que se determina su relación con el peso por unidad de longitud del cable (p)

( ) ( )1

1y11y dxdspxpdspdxxp =⇒=


- 26/69 -

variación del arco respecto del parámetro

longitudinal La derivada del arco (s) respecto del parámetro x1, utilizando la expresión 1

1

1 'ydxdy

= , se puede desarrollar

21

2

1

121

21

21

21

21

212

121

11'y1

dxdy1

dxdy1

dxdy

dxdxdydx

dxd

dxds

+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=+=+=+=

Luego, sustituyendo en la expresión del peso por unidad de longitud sobre la horizontal ( ( )1y xp )

( )( ) 2

11y21

1

11y

'y1pxp'y1

dxds

dxdspxp

+=⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

+=

=

ecuación diferencial de la catenaria

término que aplicado a la ecuación diferencial de equilibrio del cable, conocidas las fuerzas que actúan sobre él, queda

( )

( )

21

x21

12

211y

x

1y21

12

'y1Tp

dxyd

'y1pxp

Txp

dxyd

+=⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

+=

=

correspondiente a la ecuación diferencial de un cable sometido a su propio peso.

solución Para obtener la solución de esta expresión se tiene en cuenta la notación

1

1

1

1

121

12

11

1

dx'dy

dxdy

dxd

dxyd'y

dxdy

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⇒=

por lo que

21

x1

1

1

121

12

21

x21

12

'y1Tp

dx'dy

dx'dy

dxyd

'y1Tp

dxyd

+=⇒

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

=

+=

funciones hiperbólicas teniendo en cuenta que tanto el peso por unidad de longitud del cable (p) como la componente horizontal de la tensión en todos los puntos (Tx) son constantes, separando variables e integrando (Ver anexo 1), se tiene

11x

1x

1x'y 2

1

11

x21

121

x1

1 CxTp'yShArgdx

Tp

'y1

'dydxTp

'y1

'dy'y1Tp

dx'dy

1

+=⇒=+

⇒=+

⇒+= ∫∫

expresión que corresponde al argumento seno hiperbólico ( ShArg ) de la función 1'y .

Concepto clave Las funciones hiperbólicas están asociadas a la configuración de equilibrio que adquiere un cable cuando está sometido a su propio peso.

Debido al uso que se va a hacer de ellas, es importante estar familiarizado con las funciones hiperbólicas, cuyas expresiones fundamentales aparecen reflejadas en el Anexo 1.


- 27/69 -


La constante de integración (C1) se obtiene considerando las condiciones de contorno. Para ello, teniendo en cuenta que el origen del sistema de referencia se ha tomado con el eje x1 tangente por el punto más bajo del cable (Fig. 4.7), se tiene

( ) 1x

111

11x

1

1

111

xTp'yShArg0CC0ShArg

CxTp'yShArg

0dxdy'y0x

=⇒=⇒=⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

+=

==⇒=

aplicando la función seno hiperbólico ( Sh ) a ambos lados de la igualdad, y teniendo en cuenta que es inversa al argumento seno hiperbólico ( ShArg ), se obtiene

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⇒⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= 1

x11

x1 x

TpSh'yx

TpSh'yShArgSh

segundo proceso de integración al mismo tiempo, como

1

11 dx

dy'y = , separando variables e integrando se tiene

21x

x1

x11

xy111

x11

x1

1 CxTpCh

pTydxx

TpShdydxx

TpShdyx

TpSh

dxdy

11

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⇒⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⇒⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⇒⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∫∫


la nueva constante de integración (C2) se obtiene considerando nuevamente las condiciones de contorno basadas en la posición del origen del sistema de referencia (Fig. 4.7)

( )p

TC0Cp

TC0Chp

T0Cx

TpCh

pTy

0y0xx

22x

2x

21x

x1

11

−=⇒=+⇒+=⇒⎪⎭

⎪⎬

⎫

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

=⇒=

constante C2 que sustituida en la ecuación da

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

−=

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

1xTpCh

pT

pTx

TpCh

pTy

pTC

CxTpCh

pTy

1x

xx1

x

x1

x2

21x

x1

Fig. 4.8 – Nuevo sistema de referencia.


- 28/69 -

simplificación Si en el estudio se considera un sistema de referencia distinto (xy) en el que el eje x es paralelo a la

dirección tangente por el punto más bajo del cable a una distancia p

Tx , y el eje y pasa por dicho punto

(Fig. 4.8), se tiene

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=+=⇒

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

+=

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

xTpCh

pT

pT1x

TpCh

pT

pTyy

pTyy

xx

1xTpCh

pTy

x

xx

x

xx1

x1

1

1x

x1

parámetro de la catenaria

Finalmente, si se denomina a a la tensión en componente horizontal partido por el peso por unidad de longitud del cable, o parámetro característico de la curva, se tiene

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

axChay

pTa

xTpCh

pTy

x

x

x

ecuación que determina la configuración de equilibrio que adquiere un cable sometido a su propio peso, y que se denomina catenaria, que corresponde a la primera expresión a obtener.

Concepto clave

La configuración de equilibrio que adquiere un cable sometido a su propio peso respecto de un sistema de referencia con eje x, tangente al cable por el punto más bajo, situado a una distancia pTx− es

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

axChay

tensión del cable Para determinar la tensión en un punto cualquiera del cable ( ( )xT ) se parte del triángulo de fuerzas obtenido de seccionar por el punto más bajo (Fig. 4.8), cuya componente de tensión tiene únicamente la dirección del eje x (Tx), y por el punto de estudio, en el que la componente vertical corresponde al peso del tramo de cable

( )( )

( ) ( )xPTxTxPT

TTxT 2y

2x

yy

2y

2x +=⇒

⎪⎭

⎪⎬⎫

=

+=

Concepto clave En el estudio de tensiones se considera el punto más bajo del cable ya que la tensión es horizontal y su valor corresponde a la componente xT constante para todos los puntos del cable.

en la que


- 29/69 -

( )

( )

( )

( ) ( ) ∫∫

∫

+==⇒

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

+=

=

=x

0

2x

0yy

2y

y

sy

dx'y1pdxxpxP

'y1pxp

dxxpdsp

dspxP

expresión en la que aparece la derivada respecto del parámetro longitudinal (x) de la configuración deformada del cable (y). Teniendo en cuenta que la configuración deformada corresponde a la ecuación de la catenaria, su derivada respecto de x es

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛==⇒⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

axSh

axSh

a1a

dxdy'y

axChay

luego

( )( ) ∫

∫⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

+=x

0

2y

x

0

2y

dxaxSh1pxP

axSh'y

dx'y1pxP

y como la ecuación fundamental de funciones hiperbólicas es ( ) ( ) 1xShxCh 22 =− , desarrollando

( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ∫∫

∫⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⇒

⎪⎭

⎪⎬

⎫

+=⇒=−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+= x

0

x

0

2y

2222

x

0

2y dx

axChpdx

axChpxP

xSh1xCh1xShxCh

dxaxSh1pxP

integrando la expresión

( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= ∫ a

xShpa0ShaxShpa

axShpadx

axChpxP

x

0

x

0y

luego la tensión es

( ) ( )

( )( ) ( ) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

+=

axShpaTxT

axShpaxP

xPTxT222

xy

2y

2x

pero como el parámetro de la catenaria (a) viene expresado por

paTp

Ta xx =⇒=

se tiene

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=⇒

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

axSh1pa

axShpapaxT

paTaxShpaTxT 121222

x

1222x

Nuevamente utilizando la relación fundamental entre funciones hiperbólicas y la ecuación de la catenaria se tiene


- 30/69 -

( )

( ) ( ) ( ) ypaxChpa

axChpaxT

axChay

xSh1xCh

axSh1paxT

222

12

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⇒

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

por lo que la tensión en un punto del cable ( ( )xT ) es igual al peso por unidad de longitud del cable (p) multiplicado por su componente y, obtenida desde el origen de sistema de referencia, situado a una

distancia p

Tx del punto de tangente horizontal, correspondiente a la segunda ecuación de la catenaria.

Concepto clave

La tensión en un punto del cable ( ( )xT ) sometido a su propio peso es igual al peso por unidad de longitud del cable (p) multiplicado por la componente y del punto de estudio

( ) ypxT =

Esta expresión también se puede poner en función de la componente y1 correspondiente al sistema de referencia que pasa por el punto de tangente horizontal del cable (Fig. 4.8)

( )( ) x1

x1

x

1 Tpyp

TypxT

pT

a

ayyypxT

+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⇒

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

=

+==

por lo que la tensión en un punto del cable es suma de la componente horizontal de tensión ( xT ) más el peso del trozo de cable correspondiente a la diferencia de alturas entre el punto de tangente horizontal y el de estudio.

arco de catenaria Para la obtención de la longitud del cable sería necesario integrar la expresión del arco infinitesimal de la catenaria (ds), que ya se ha desarrollado al obtener la carga concentrada correspondiente

( )

( )⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⇒⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

=== ∫∫

axShas

axShpasp

axShpaxP

spdspdspxP

y

ssy

Tercera de las ecuaciones de la catenaria que relaciona el arco (s) medido entre el punto más bajo de la misma con el punto de estudio, en función de la componente x de este último punto.

Concepto clave

El arco obtenido corresponde al existente entre el punto más bajo del cable y el punto de componente x indicado. La longitud total del cable (2L) para un vano de longitud 2l sería

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==

alSha2ls2L2

relación entre ecuación de la catenaria,

Existen también distintas ecuaciones que relacionan los parámetros de una catenaria. Por ejemplo, a partir de las expresiones de la catenaria y de su arco, teniendo en cuenta la ecuación fundamental de las


- 31/69 -

parámetro a y arco funciones hiperbólicas

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

axShas

axChay 1

axSh

axCh 22 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

despejando y sustituyendo se tiene

22222222

22

sayasy1as

ay

1axSh

axCh

as

axSh

axShas

ay

axCh

axChay

+=⇒=−⇒=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⇒

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⇒⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⇒⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

correspondiente a la cuarta ecuación de la catenaria que relaciona la componente y del punto de estudio con el arco (s) y su parámetro (a).

relación entre la catenaria y las

funciones exponenciales

La ecuación de la catenaria está basada en las funciones exponenciales ( xx e,e − ). Para obtener dicha relación es necesario determinar las ecuaciones intrínsecas de la catenaria.

ecuación intrínseca de la catenaria

A partir del equilibrio de fuerzas obtenido de seccionar la catenaria por el punto de tangente horizontal y por un punto situado por un arco s, se tiene (Fig. 4.9)

α

α

dx

dy ds

s

( )xT

xT

( )xPy

( )xPy

xT

xT

α

O1

C

x

Fig. 4.9. Equilibrio de un tramo de catenaria.

Por lo que la tangente del ángulo α existente entre la configuración deformada del cable en el punto C y el eje x es

( )xx

y

Tps

TxP

tg ==α

expresión con la que se determina el arco (s) en función del ángulo (α) que forma la tangente a la curva respecto de la horizontal, en la que sustituyendo el parámetro de la catenaria (a)

ααα

tgas

pTa

tgp

Ts

Tpstg

x

x

x =⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=

=⇒=


- 32/69 -

ecuaciones paramétricas de la

catenaria

denominada ecuación intrínseca de la catenaria.

A partir de esta ecuación se pueden obtener las ecuaciones paramétricas ( ( ) ( )αα yy,xx == ) en función del ángulo α, poniendo las componentes dx, dy en función del arco (ds) y del ángulo (α) (Fig. 4.9)

αcosdsdx = αsendsdy =

utilizándola regla de la cadena, las derivadas de las componentes respecto del parámetro α se pueden poner

αα dds

dsdx

ddx

= αα d

dsdsdy

ddy

=

y teniendo en cuenta que

( ) ( )αα

αααααα

αα

ααα 22 cos

acos

sensencoscosacossen

ddatga

dd

ddstgas =

−−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==⇒=

por lo que, sustituido en cada una de las componentes

ααα

αα

αα

αα

αα

secacos

acos

acosddx

cosa

dds

cosdsdxcosdsdx

dds

dsdx

ddx

2

2

===⇒

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

=

=⇒=

=

ααα

αα

αα

αα

αα

αα

sectgacos

atgcos

asenddy

cosa

dds

sendsdysendsdy

dds

dsdy

ddy

2

2

===⇒

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

=

=⇒=

=

Expresiones en las que separando variables e integrando se tiene (ver Anexo 2)

( )αααααα

αtgseclnadsecadxseca

ddx

0

x

0+==⇒= ∫∫

ααααααα

αsecadtgsecadytgseca

ddy

0

y

0==⇒= ∫∫

luego

( )αα tgseclnax += αsecay =

correspondientes a las ecuaciones paramétricas de la catenaria.

relación entre la catenaria y las

funciones exponenciales

A partir de estas ecuaciones, utilizando las funciones exponenciales se puede obtener


- 33/69 -

( ) ( ) ( )

αα

αααααα αα

secaysecay

tgseceetgseclnaxtgseclnax tgseclna

x

=⇒=

+==⇒+=⇒+= +

y teniendo en cuenta la simetría de la catenaria

⎩⎨⎧

<>

⇒<0tg

0sec0xpara

αα

por lo que para variables x negativas

α

αα

secay

tgsece ax

=

−=−

sumando las dos primeras expresiones se tiene

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

+=⇒

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

=

+=⇒=+⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

−=

+=

−

−−

−

axCh

2eesec

axCh

ay

secay

2eesecsec2ee

tgsece

tgsece

ax

ax

ax

ax

ax

ax

ax

ax

αα

αα

αα

αα

y restando las dos primeras expresiones

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

−=⇒

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

=

−=⇒=−⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

−=

+=

−

−−

−

axSh

2eetg

axSh

as

tgas

2eetgtg2ee

tgsece

tgsece

ax

ax

ax

ax

ax

ax

ax

ax

αα

αα

αα

αα

Estas ecuaciones relacionan características de la catenaria con las funciones exponenciales.

relación entre posición, arco y parámetro a de

la catenaria

A partir de la primera expresión paramétrica de la catenaria

( )αα tgseclnax +=

teniendo en cuenta que

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

axChsec α ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

axShtg α


- 34/69 -

y que

axChay =

axShas =

se tiene

( )

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⇒

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⇒⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⇒⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

+=

asylna

as

aylna

axSh

axChlnax

as

axSh

axShas

ay

axCh

axChay

axShtg

axChsec

tgseclnax

α

α

αα

correspondiente a la quinta ecuación de equilibrio del cable que relaciona la posición del punto de estudio (x, y) con el arco (s) y el parámetro (a) de la catenaria.

radio de curvatura Como el radio de curvatura viene expresado por

( )''y'y1 2

32+

=ρ

a partir de la ecuación de la catenaria se obtienen las derivadas primera y segunda respecto del parámetro longitudinal ( ''y,'y )

( )

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

=⇒

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==⇒⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛==⇒⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

+=

axCh

a1

axSh1

axCh

a1

dx'dy''y

axSh

axSh

a1a

dxdy'y

axChay

''y'y1 2

3

223

2

ρρ

y teniendo en cuenta la ecuación fundamental de las funciones hiperbólicas se tiene

ρρ

ρ

ayay

ay

ay

ay

ay

ay

a1

axCh

ay

axCh

axChay

axSh1

axCh

axCh

a1

axSh1

22

2

3

2

23

223

2

22

23

2

=⇒=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=⇒

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⇒⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

=

sexta ecuación de la catenaria que relaciona la componente y del punto de estudio su radio de curvatura ρ.

4.2.3.1.1.- Catenaria con apoyos a igual altura.

- 35/69 -

Justificadas las expresiones fundamentales de la catenaria, se va a proceder a aplicarlas a los casos más característicos de la catenaria, como son con apoyos a igual altura, con apoyos a distinta altura, con carga puntual en su punto medio y centro de gravedad de una catenaria.

4.2.3.1.1.- Catenaria con apoyos a igual altura. Se van a indicar los procedimientos para la resolución de cables con apoyos a igual altura cargada con su propio peso (Fig. 4.10). En este tipo de problemas es necesario determinar el parámetro de la catenaria (a) a partir del cual, mediante la utilización de las fórmulas anteriores, se puede obtener cualquier otro dato como longitud del cable (2L), tensión en un punto (T(x)) o radio de curvatura (ρ).

De entre las expresiones anteriormente determinadas, las que prioritariamente se van a utilizar son

axChay = ( ) pyxT =

axShas = 222 say +=

asylnax +

= ρay2 =

con la siguiente notación

Peso por unidad de longitud: p Tensión en el punto más bajo del cable: Tx Parámetro de la catenaria: a Distancia entre apoyos: 2l Longitud del cable: 2L Flecha: f

Fig. 4.10. Catenaria con apoyos a igual altura.

Conocidos dos de las características de la catenaria y el peso por unidad de longitud (p), a partir de las ecuaciones anteriores se pueden obtener el resto de parámetros. A continuación se va a indicar el procedimiento para determinar de parámetro de la catenaria (a) en función de los valores conocidos.

conocidos 2l, p y f a) Determinar el parámetro a de la catenaria conocidos la distancia entre apoyo (2l), el peso por unidad de longitud del cable (p) y la flecha (f).

A partir de considerar el mismo sistema de referencia (x, y) del estudio anterior se tiene

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=+⇒

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

=+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

alChafa

lxfay

axChay

B

B

expresión en la que considerando α como nueva variable


- 36/69 -

1ChlflChlf

lChlfl

laal

alChafa

−=⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⇒=+⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=⇒=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=+

ααα

αα

αααα

αα

con lo que se obtiene una ecuación con una única incógnita (α). Esta ecuación es resoluble mediante métodos numéricos como el de la bisección (ver Anexo 3). Para facilitar el proceso, la iteración se puede llevar a cabo utilizando los valores hiperbólicos tomados de las tablas del Anexo 4.

αααα la

al

ciónsecbiMétodo

1Chlf

=⇒=⇒⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⇒−=

Obtenido el parámetro de la catenaria (a) se puede determinar cualquier otro valor de la misma mediante la aplicación de las fórmulas anteriores.

conocidos 2l, p y 2L b) Determinar el parámetro a de la catenaria conocidas la distancia entre apoyo (2l), el peso por unidad de longitud del cable (p) y la longitud del cable (2L).

A partir de la aplicación del arco s al extremo del cable (sB=L), se tiene su semilongitud

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⇒

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

==

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

alShaL

lxLs

axShas

B

B

realizando un cambio de variable en el que

αααα

ααα

αα

ShlLShlL

lShlL

laal

alShaL

=⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ =⇒=⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=⇒=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

con lo que se obtiene una ecuación con una única incógnita (α). Esta ecuación es resoluble mediante métodos numéricos como el de la bisección.

αααα la

al

ciónsecbiMétodo

ShlL

=⇒=⇒⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⇒=

Obtenido el parámetro de la catenaria (a) se puede obtener cualquier otro valor de la misma mediante la aplicación de las fórmulas anteriores.

conocidos 2L, p y f c) Determinar el parámetro a de la catenaria conocidas la longitud del cable (2L), el peso por unidad de longitud del cable (p) y la flecha (f).

A partir de la expresión que relaciona la componente y del extremo del cable (yB) con el arco correspondiente (sB) y el parámetro de la catenaria (a) se tiene


- 37/69 -

( ) 222

B

B

222

LafaLsfay

say+=+⇒

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=+=+=

en la que operando

( )f2fLaLaf2fLaaf2faLafa

22222222222 −

=⇒=+⇒+=++⇒+=+

Obtenido el parámetro de la catenaria (a) se puede obtener cualquier otro valor de la misma mediante la aplicación de las fórmulas.

4.2.3.1.2.- Catenaria con apoyos a distinta altura. En este caso los apoyos del cable no se encuentren a la misma altura debido a un desnivel de magnitud 2h. Se suponen conocidos el desnivel (2h), el peso por unidad de longitud del cable (p), la longitud total del cable entre los apoyos (2L) y la distancia entre apoyos (2l) (Fig.4.11).

Fig. 4.11. Catenaria con apoyos a distinta altura.

desnivel 2h Utilizando la ecuación de la catenaria

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

axChay

aplicada a los extremos del cable de componentes xA, yA, xB, yB, respectivamente, se tiene

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

axChay A

A ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

axChay B

B

Expresiones que restadas entre sí determinan el desnivel entre apoyos (2h)

4.2.3.1.2.- Catenaria con apoyos a distinta altura.

- 38/69 -

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⇒

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

axCh

axChah2

yyh2axChay

axChay

AB

AB

BB

AA

como la diferencia de cosenos hiperbólicos es igual a (ver anexo 1)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=−2

nmSh2

nmSh2nChmCh

se tiene

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

a2xxSh

a2xxSh2ah2

2nmSh

2nmSh2nChmCh

axCh

axChah2

ABAB

AB

En este caso se tiene una ecuación con tres incógnitas (xA, xB, a), por lo que no es resoluble.

longitud 2L La ecuación del arco (s) de la catenaria es

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

axShas

aplicada a los extremos del cable ( )AA xs , ( )BB xs permite obtener

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

axShas A

A ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

axShas A

A

que sumadas entre sí dan la longitud total del cable (2L)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⇒

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

axSh

axShaL2

ssL2axShas

axShas

AB

BA

BB

AA

El signo negativo de sA es debido a que al considerar el signo negativo de xA, el valor de sA es negativo.

Concepto clave

Para sumar un arco de catenaria definido en el dominio negativo del parámetro x se le ha de cambiar de signo, debido a la característica de las funciones hiperbólicas, según la cual

( ) 0xSh0x <⇒<

Como la diferencia de senos hiperbólicos es igual a (ver Anexo 1)


- 39/69 -

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=−2

nmSh2

nmCh2nShmSh

se tiene

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

a2xxSh

a2xxCh2aL2

2nmSh

2nmCh2nShmSh

axSh

axShaL2

ABAB

AB

Elevando al cuadrado las expresiones de la longitud y del desnivel del cable, y restando queda

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=−

⇒

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

=−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

a2xxSha

a2xxSh

a2xxCh

a2xxShahL

1xShxCh

a2xxSh

a2xxShah

a2xxSh

a2xxChaL

AB22AB2AB2AB2222

22

ABAB

ABAB

y realizando un cambio de variable

αααα

α

222

222

222

AB

AB2222

Shl

hLShlhL

al

a2l2

a2xx

a2xxShahL

=−

⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=−⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

==−

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=−

o bien a partir de la raíz cuadrada

αα Shl

hL 22=

−

con lo que se obtiene una ecuación con una única incógnita (α). Esta ecuación es resoluble mediante métodos numéricos como el de la bisección.

αααα la

al

ciónsecbiMétodo

Shl

hL 22=⇒=⇒

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⇒=−

Obtenido el parámetro de la catenaria (a) se puede obtener cualquier otro valor de la misma mediante la aplicación de las fórmulas anteriores.

tensiones en los extremos

Debido a la singularidad de su análisis se van determinar las tensiones en los extremos del cable a partir de de la cota Y

( )hYpTA −= ( )hYpTB +=

En este caso es necesario calcular la ordenada Y del punto medio del segmento AB que une los extremos del cable (Fig. 4.11). Para ello


- 40/69 -

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⇒

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

+=

axCh

axCh

2aY

axChay

axChay

2yyY

AB

BB

AA

AB

como la suma de cosenos hiperbólicos es igual a (ver anexo 1)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=+2

nmCh2

nmCh2nChmCh

se tiene

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

a2xxCh

a2xxCh2

2aY

2nmCh

2nmCh2nChmCh

axCh

axCh

2aY

ABAB

AB

De la expresión de la semilongitud del cable (L) obtenida anteriormente se despeja el coseno hiperbólico

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⇒⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

a2xxSha

La2

xxCha2

xxSha2

xxChaLAB

ABABAB

por lo que sustituyendo en la expresión anterior

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=⇒

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

a2xxTh

La2

xxCh

a2xxSh

1aLaY

a2xxSha

La2

xxCh

a2xxCh

a2xxChaY

AB

AB

ABAB

AB

ABAB

y realizando el mismo cambio de variable anterior

αα

ThLY

a2xx

a2xxTh

LY

AB

AB=⇒

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=

en la que α es ya conocida, lo que permite determinar el parámetro Y, y a partir de él las tensiones en los extremos.

( )hYpTA −= ( )hYpTB +=

posición del vértice O Para conocer la posición del vértice O correspondiente al punto de tangente horizontal, es necesario determinar el parámetro X que sitúa el punto medio del segmento AB que une los extremos del cable con el punto de tangente horizontal (Fig. 4.11). Esta parámetro se obtiene de

2xxX AB +

=


- 41/69 -

para lo cual dividiendo el semidesnivel entre los extremos (h) entre la semilongitud del cable (L) se tiene

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

a2xxTh

a2xxSh

a2xxCha

a2xxSh

a2xxSha

Lh

a2xxSh

a2xxChaL

a2xxSh

a2xxShah

AB

ABAB

AAAB

ABAB

ABAB

expresión a la que se aplica la función inversa de la tangente hiperbólica ( ThArg )

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⇒⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

+=

LhThArgaX

aXTh

Lh

a2xxTh

Lh

2xxX

AB

AB

con lo que se obtiene el parámetro X buscado.

4.2.3.1.3.- Catenaria con apoyos a igual altura y carga puntual en su punto medio. En este caso se supone conocida la distancia entre apoyos (2l), la longitud del cable (2L), el peso del cable por unidad de longitud (p) y la carga en su punto medio (P) (Fig. 4.12).

Fig. 4.12. Catenaria con apoyos a distinta altura.

Esta carga (P) se puede poner en función del peso por unidad de longitud del cable (p) multiplicada por un coeficiente (n), que corresponde a la longitud del cable que sería necesaria para tener esa carga (P)

pPnpnP =⇒=

vértice de la catenaria Para el análisis se considera el punto ficticio O1 correspondiente a la prolongación de la catenaria en el que la tangente es horizontal, punto adecuado para tomar como origen del ramal de catenaria BC. Aislando el ramal de catenaria ficticio que va desde el punto de tangente horizontal hasta el punto de actuación de la carga (O1C, Fig.. 3,13) y planteando el equilibrio en componente vertical del punto de actuación de la carga puntual se tiene

4.2.3.1.3.- Catenaria con apoyos a igual altura y carga puntual en su punto medio.

- 42/69 -

Fig. 4.13. Equilibrio en el punto de actuación de la carga puntual y ramal ficticio aislado.

2PT0PT2 CyCy =⇒=−

al mismo tiempo, la componente vertical de la tensión en el punto de actuación de la carga puntual ( CyT ) se

puede poner que en función del peso del arco ficticio de cable ( Cs ) que va desde el punto de tangente horizontal (O1) hasta el punto de actuación de la carga puntual (C), luego

2n

p2Ps

pPnpnP

sp2P

spT2PT

C

C

CCy

Cy

==⇒

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

=⇒=

=⇒⎪⎭

⎪⎬⎫

=

=

con lo que se obtiene la magnitud del arco ficticio ( Cs ). Como el arco y la posición en componente x del extremo B del cable ( Bs , Bx ) se puede expresar mediante (Fig. 4.13)

Lss CB += lxx CB +=

al mismo tiempo que cualquier arco de catenaria (s) se puede expresar mediante

axShas =

aplicado a los extremos B y C del cable se tiene

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+=+=

==⇒

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

+=

=

+=⇒⎪⎭

⎪⎬⎫

+=

=

alxShaL

2ns

axSha

2ns

lxxaxShas

L2ns

Lss2ns

CB

CC

CB

B

CB

C

Del desarrollo del seno hiperbólico de la suma de dos ángulo (ver Anexo 1) se tiene

( )alSh

axCh

alCh

axSh

alxShyShxChyChxShyxSh CCC +=

+⇒+=+

luego sustituyendo en el arco asociado al punto B (sB)

4.2.3.1.3.- Catenaria con apoyos a igual altura y carga puntual en su punto medio.

- 43/69 -

alSh

axCha

alCh

axShaL

2n

alSh

axCh

alCh

axSh

alxSh

alxShaL

2ns

CC

CCC

CB

+=+⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

+=+

+=+=

y teniendo en cuenta que

alSh

2na4

alCh

2nL

2n

alSh

ax

ChaalCh

ax

ShaL2n

a2na4

a2n1

ax

Ch

ax

Sh1a

xCh

a2n

ax

Sha

xSha

2n

22

CC

222C

C2C

CC

++=+⇒

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

+=+

+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

+=

=⇒=

expresión en la que operando y haciendo un cambio de variable

αα

α

α

Shnl4ChnL2n

alalSh

2na4

alCh

2nL

2n

22

22

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=+⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=

++=+

con lo que se obtiene una ecuación con una incógnita (α) resoluble mediante algún método numérico como el de la bisección.

ααα

αα la

al

ciónsecbiMétodo

Shnl4ChnL2n 22

=⇒=⇒⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⇒+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=+

Obtenido el parámetro de la catenaria (a) se puede obtener cualquier otro valor de la misma mediante la aplicación de las fórmulas.

tensión en los extremos Por ejemplo, para determinar la tensión en los extremos

( )fypTT CBA +==

A partir de la expresión que relaciona la componente y de un punto del cable con el arco (s) se tiene

( ) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

++=+=

+=⇒

⎪⎭

⎪⎬

⎫

+=+=+=

2C

22c

2B

2C

22C

CB

CB

222

Lsafyy

say

Lssfyy

say

expresiones a partir de las cuales se obtiene yC y f.

4.2.3.1.4.- Centro de masas de una catenaria. Si P es el peso de un arco de catenaria, x la componente horizontal de su extremo y s su arco, la posición del centro de masas (G) del arco de catenaria correspondiente se puede obtener a partir de la expresión

P

dsxpXdsxpXP s

s

∫∫ =⇒=

4.2.3.1.4.- Centro de masas de una catenaria.

- 44/69 -

Para el caso del arco de catenaria entre el punto más bajo (O) y un punto arbitrario (C) se tiene

axShapP

axShas

spPC

CCC

CC=⇒

⎪⎭

⎪⎬⎫

=

=

poniendo el elemento infinitesimal del arco de catenaria (ds) en términos de las funciones hiperbólicas

dxaxChdx

axChdx

axSh1ds

axSh1

axCh1

axSh

axCh

axSh'y

axChay

dx'y1ds

22

2222

2

==+=⇒

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

+=⇒=−

=⇒=

+=

luego

P

dxaxChxp

X

dxaxChds

P

dsxpX x

s ∫∫

=⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=

=

La integral del numerador se puede resolver por partes,

∫∫ −=u

v0

vduvvudvu

de forma que

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡===

==

∫ axShadx

axChvdx

axChdv

dxduxu

x

y la integral queda

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=−=−= ∫∫ 1

axCha

axShax

axCha

axShaxdx

axSha

axShaxdx

axChx C2C

C

x

0

2CC

x

0

x

0x

CCC

por lo que sustituyendo en la expresión aplicada al punto C

axShap

1a

xChaa

xShaxpX

1a

xChaa

xShaxdxaxChx

axShapP

P

dxaxChxp

X

C

C2CC

C

C2CC

x

CC

C

x

0C

C

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−=⇒

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−=

=

=

∫

∫

que simplificada queda

4.2.3.2.- Cable con carga uniformemente repartida. Parábola.

- 45/69 -

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

=axcSch

axcTghax

axSh

1axCha

axShx

X CCC

C

CCC

C


La configuración de equilibrio de un cable correspondiente a una parábola es aceptable en dos casos:

a) Cuando la carga que actúa sobre el cable se reparte de forma uniforme sobre la componente horizontal, despreciando el efecto del peso propio del cable.

b) Como aproximación a la configuración de un cable sometido a su propio peso, aceptable cuando la flecha (f) es pequeña respecto de la distancia entre los apoyos. Este caso ocurre cuando la longitud del cable (2L) es próxima a la distancia del vano (2l) que se quiere salvar (Fig. 4.14), con lo que el valor del peso por unidad de longitud del cable (p) es muy próximo a su componente vertical repartida uniformemente en la dirección horizontal ( ( )xpy ), ya que la pendiente del cable en todos sus puntos es pequeña y el error producido se considera despreciable.

Fig. 4.14 – Parábola.

peso por unidad de longitud

Si el peso por unidad de longitud que actúa en el hilo (p) es constante, su resultante actuando en un elemento infinitesimal de longitud de arco (ds) es

dsp

aproximación sin embargo, en el caso de cable en el que la flecha es pequeña, el diferencial de arco (ds) se aproxima a su proyección en componente horizontal (dx)

dxds ≈

por lo que el peso por unidad de longitud (p) que actúa sobre el cable (ds) y la carga por unidad de longitud ( ( )xpy ) que actúa sobre la proyección horizontal (dx), termino que aparece en la ecuación diferencial de equilibrio, se consideran prácticamente iguales

( ) ( ) pxpdspdxxpdxds

yy

≈⇒⎭⎬⎫

=≈

ecuación diferencial Aplicado este peso (p) a la ecuación diferencial de equilibrio del cable, se tiene la expresión

( )

( ) x2

2

y

x

y2

2

Tp

dxyd

pxp

Txp

dxyd

=⇒⎪⎭

⎪⎬

⎫

=

=


- 46/69 -

solución Para obtener la solución se tiene en cuenta que

dx'dy

dxdy

dxd

dxyd'y

dxdy

2

2=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⇒=

por lo que

x2

2

x2

2

Tp

dx'dy

dx'dy

dxyd

Tp

dxyd

=⇒

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

=

=

Separando variables e integrando, como tanto el peso por unidad de longitud del cable (p) como la componente horizontal de la tensión en todos los puntos del cable (Tx) son constantes, se tiene

1xxx'yxx

CxTp'ydx

Tp'dydx

Tp'dy

Tp

dx'dy

+=⇒=⇒=⇒= ∫∫


La constante de integración (C1) se determina sustituyendo los parámetros de la ecuación con las condiciones de contorno. Para ello, si se considera un sistema de referencia en el que el eje x es tangente por el punto más bajo del cable, y el eje y pasa por dicho punto (Fig. 4.14), se tiene

( ) xTp'y0CC00'y

CxTp'y

0dxdy'y0x

x111

1x

=⇒=⇒==⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

+=

==⇒=

como dxdy'y = , separando variables e integrando nuevamente se tiene

22

xx xyxxCx

T2pydxx

Tpdydxx

Tpdyx

Tp

dxdy

+=⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⇒⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⇒= ∫∫


la nueva constante de integración (C2) se obtiene aplicando nuevamente las condiciones de contorno

( ) ( ) 0C0CC0T2p0y

CxT2py

0y0x

2222

x22

x

=⇒=⇒+=⇒⎪⎭

⎪⎬

⎫

+=

=⇒=

constante que sustituida en la ecuación da

2

x2

22

x xT2py

0C

CxT2py

=⇒⎪⎭

⎪⎬

⎫

=

+=

parámetro de la parábola

Realizando un cambio de variable

4.2.3.2.1.-

Parábola con apoyos a igual altura.

- 47/69 -

2

x

2

x x21y

pT

xT2py

αα

=⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=

=

se determina la ecuación correspondiente a una parábola de eje vertical, con vértice en el origen del sistema de referencia, siendo α el parámetro característico de esta parábola.

Igual que con la catenaria, se van a analizar distintos casos como son la parábola con apoyos a igual y a distinta altura.

4.2.3.2.1.- Parábola con apoyos a igual altura. Se va a determinar la ecuación de la parábola, conocidos el peso por unidad de longitud (p), la distancia entre apoyos (2l) y la flecha (f) (Fig. 4.15).

θ

Fig. 4.15 – Parábola con apoyos a igual altura.

parámetro A partir de estos valores, aplicando la ecuación de la parábola a uno de sus extremos (B) se obtiene el parámetro (α) correspondiente

f2ll

21f

lxfy

x21y

22

B

B

2

=⇒=⇒

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

==

=

αα

α

componente horizontal de la tensión

con el que se determina la componente horizontal de la tensión,

f2lpT

pT

f2l

pTf2

l2

xx

2

x

2

=⇒=⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=

=

α

α

tensión Para obtener la tensión en un punto cualquiera del cable ( ( )xT ) nuevamente se parte del equilibrio de fuerzas obtenido de seccionar por el punto más bajo, de tensión con componente únicamente en la dirección del eje x (Tx), y por el punto de estudio, en el que la componente vertical corresponde al peso del tramo de cable (Fig. 4.15)

4.2.3.2.1.-


- 48/69 -

( ) ( )xPTTTxT 2y

2x

2y

2x +=+=

en la que

( ) ( )

( )( ) xpdxpxP

pxp

dxxpdspxP x

0y

y

xy

sy

=≈⇒⎪⎭

⎪⎬⎫

≈

≈=∫

∫∫

por lo que la tensión ( ( )xT ) viene expresada por

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22222

y2x

xx

y

2y

2x

xpxppxPTxT

pTp

T

xpxP

xPTxT

+=+=+=⇒

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

=⇒=

=

+=

αα

αα

expresión que aplicada a los extremos determina la tensión máxima del cable

( ) 22 lplT += α

arco de cable La longitud de un arco de cable (s) se obtiene del diferencial de arco puesto en función de las componentes x e y, que es

22 dydxds +=

Como ya se ha visto anteriormente, la derivada del arco (s) respecto del parámetro x, utilizando la

expresión 'ydxdy

= , se puede desarrollar

dx'y1ds'y1dxdy1

dxdy1

dxdy

dxdx

dxdydx

dxds 22

2

2

2

2

2

2

222+=⇒+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=+=+=

+=

Haciendo un cambio de variable

∫∫

+=⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=⇒=⇒=⇒=

+=

x

2

2

x

2

'dy'y1s'dydxdx1'dyx'yx

21y

dx'y1sα

αααα

realizando un nuevo cambio de variable

∫∫

+=⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

==⇒==

+=

x

22

22

x

2

dsectg1sdsecd

cos1'dytg

dxdy'y

'dy'y1sθθθα

θθθθ

θ

α

pero como

4.2.3.2.1.-


- 49/69 -

∫∫

=⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

===+

=+=+

+=

x

3

22

22

2

22

x

22

dsecssec

cos1

cos1

cossencos

cossen1tg1

dsectg1s

θθαθ

θθθθθ

θθθ

θθθα

integral que se puede resolver por partes,

∫∫ −=u

v0

vduvvudvu

de forma que

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

===

===

∫ θθθ

θθ

θθθθθθθ

θtgd

cos1vdsecdv

dsectgdcossendusecu

22

2

luego

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−== ∫∫∫

θθ

θ θθθθθαθθθθθαθθθα dsectgtgsecdsectgtgsecdsecsecs 220

x

2

como

1sec1cos

1cos

cos1cossentg 2

22

2

2

22 −=−=

−== θ

θθθ

θθθ

que sustituida en la integral

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−=⇒

⎪⎭

⎪⎬

⎫

−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

∫∫

θθ θθθθθα

θθ

θθθθθαdsec1sectgsecs

1sectg

dsectgtgsecs 2

22

2

por lo que

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−=

=

∫∫

∫

θθθθθθθθα

θθα

dsecdsectgsecs

dsecs

3

x

3

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−= ∫∫∫

θθθθθθθθαθθα dsecdsectgsecdsec 3

x

3

a partir de esa igualdad se obtiene

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+= ∫∫

θθθθθθθ dsectgsecdsec2

x

3

la integral del lado derecho de la igualdad, tal como se indica en el Anexo 2 es

4.2.3.2.1.-


- 50/69 -

( )θθθθθ

tgseclndsec +=∫

luego

( )( )[ ]θθθθθθ

θθθθ

θθθθθθ

θ

θ tgseclntgsec21dsec

tgseclndsec

dsectgsecdsec2

x

3x

3

++=⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

+=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=

∫∫

∫∫

en la que deshaciendo los cambios de variable

'y1'ytgsec1'y1tg

coscossen

cos1

cos1sec

'ytg2

222

22

2

++=+⇒⎪⎭

⎪⎬

⎫

+=+=+

===

=

θθθ

θθθ

θθθ

θ

luego

( )[ ]⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ++++=⇒

⎪⎭

⎪⎬

⎫

++=+

++=∫

∫'y1'yln'y1'y

21dsec

'y1'ytgsec

tgseclntgsec21dsec

22

x

3

2

x

3

θθ

θθ

θθθθθθ

luego el arco viene expresado mediante

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⇒

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

=⇒=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ++++=

=

=

∫

∫

αααα

αα

θθ

α

θθα

x1xlnx1xf4

ls

x'y2xy

'y1'yln'y1'y21dsec

f2l

dsecs

222

2

22

x

3

2x

3

4.2.3.2.2.- Parábola con apoyos a distinta altura.

- 51/69 -

4.2.3.2.2.- Parábola con apoyos a distinta altura. Igual que en el caso de la catenaria, se puede analizar el caso de la parábola cuando los apoyos del cable no se encuentran a la misma altura debido a un desnivel de magnitud 2h. Se suponen conocidos este desnivel (2h), el peso por unidad de longitud del cable (p), la distancia entre apoyos (2l) y la flecha (f) (Fig.4.16).

Fig. 4.16. Parábola con apoyos a distinta altura.

Se comenzará por situar el vértice de la parábola con sus coordenadas X e Y

lxX B −= ( )hfyY B +−=

En estas expresiones se desconocen las coordenadas de los puntos extremos (A y B), y del vértice (O), pero todos ellos pertenecen a la parábola, luego

( )( ) ( )2

B2B

B

B

2BB

2

lx21hfx

21

lxXhfyY

x21y

X21Y

−=+−⇒

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

−=+−=

=

=

ααα

α

Desarrollando el término ( )2B lx −

( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( )lx2l

21hflx2lx

21hfx

21

lx2lxlx

lx21hfx

21

B2

B22

B2B

B22

B2

B

2B

2B −=+−⇒−+=+−⇒

⎪⎭

⎪⎬

⎫

−+=−

−=+−

ααααα

expresión de donde se puede despejar el valor de Bx

( ) ( ) ( )2l

lhfxlx2lhf2lx2l

21hf BB

2B

2 ++

=⇒−=+−⇒−=+− ααα

mientras que el valor de Ax se obtiene de

ααα l

hf2l3

2l

lhfl2x

2l

lhfx

xl2xA

B

BA ++−=+

++−=⇒

⎪⎭

⎪⎬⎫

++

=

+−=

expresiones de las que se determina la suma y diferencia de las componentes x de los valores extremos

4.2.3.2.2.- Parábola con apoyos a distinta altura.

- 52/69 -

l2l

hf2l3

2l

lhfxx

2l

lhfx

lhf

2l3x

AB

B

A=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+−−++

=−⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

++

=

++−=

ααα

α

ll

hf2l

hf2l3

2l

lhfxx

2l

lhfx

lhf

2l3x

AB

B

A−

+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+−+++

=+⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

++

=

++−=

αααα

α

De la diferencia de componentes y de los extremos del cable se tiene

( )2A

2B

2A

2BAB

2BB

2AA

xx21x

21x

21yy

x21y

x21y

−=−=−⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=

=

αααα

α

en la que desarrollando la diferencia de cuadrados de componentes x se tiene

( )( ) ( )( )

( )( )ABABAB

ABAB2A

2B

2A

2BAB xxxx

21yy

xxxxxx

xx21yy

+−=−⇒⎪⎭

⎪⎬

⎫

+−=−

−=−

αα

teniendo en cuenta el desnivel (2h) y los valores de las componentes x en los extremos del cable obtenidos anteriormente, se determina el parámetro α de la parábola

( )( )f2

lll

hf2l221h2

l2xx

ll

hf2xx

xxxx21yy

h2yy

2

AB

AB

ABABAB

AB

=⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+=⇒

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

=−

−+

=+

+−=−

=−

αααα

α

que coincide con el de la parábola con apoyos a igual altura. A partir de este valor se pueden obtener las componentes de los extremos del cable

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

⇒

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

=

=

++

=

2

B

B

2

2BB

B

1f2

hfy

1f2

hlx

f2l

x21y

2l

lhfx

α

α

α

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

⇒

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

=

+−=

2

A

A

2

B

2AA

BA

1f2

hfy

1f2

hlx

f2l

1f2

hlx

x21y

xl2x

α

α

y del vértice de la parábola se sitúa en

f2lhX

1f2

hlx

lxX

B

B

=⇒⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

−=

f4

hY

f2l

f2lhX

X21Y

2

2

2B

=⇒

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

=

=

=

α

α

Conceptos fundamentales.

- 53/69 -

Conceptos fundamentales: Reacciones verticales con cables sometidos a cargas discontinuas.

L

dFR

n

1iii

Ay

∑==

L

dFFR

n

1iiin

1iiBy

∑∑ =

=−=

Ecuación diferencial del equilibrio de un cable.

( ) ( ) 0ds

sTdsF .l.u

rr

r=+

Ecuaciones intrínsecas de equilibrio de un cable.

( ) ( ) ( ) ( )( )ssTsF

dssTdsF nt ρ

−=−=

Tensión en cable sin peso sobre superficie rugosa. ( ) αα f

0 eTT = Tensión en cable con peso sobre superficie lisa.

( ) ( ) ( )00 yypyTyT −+= Tensión en cable sin peso sobre superficie lisa.

( ) CsT = Ecuación diferencial en cable con carga vertical.

( )x

y2

2

Txp

dxyd

=

Catenaria.

axChay =

pTa x= ( ) pyxT =

axShas = 222 say +=

asylnax +

= ρay2 =

Catenaria con apoyos a igual altura conocidos 2l, p y f.

αααα la

al

ciónsecbiMétodo

1Chlf

=⇒=⇒⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⇒−=

Catenaria con apoyos a igual altura conocidos 2l, p y 2L.

αααα la

al

ciónsecbiMétodo

ShlL

=⇒=⇒⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⇒=

Catenaria con apoyos a igual altura conocidos 2L, p y f.

f2fLa

22 −=

Catenaria con apoyos a distinta altura.

αααα la

al

ciónsecbiMétodo

Shl

hL 22=⇒=⇒

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⇒=−

Catenaria con apoyos a distinta altura. Vértice.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

LhThArgaX

αThLY =

Catenaria con apoyos a igual altura y carga puntual en su punto medio.

ααα

αα la

al

ciónsecbiMétodo

Shnl4ChnL2n 22

=⇒=⇒⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⇒+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=+

Centro de masas de una catenaria.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=

axcSch

axcTghaxX CC

CC

Parábola. Ecuación diferencial y solución

Conceptos fundamentales.

- 54/69 -

x2

2

Tp

dxyd

= p

Tx21y x2 == αα

Parábola con apoyos a igual altura. Parámetro. Componente horizontal de tensión y valor en un extremo.

f2l 2

=α f2lpT

2

x = ( ) 22 lplT += α

Parábola con apoyos a igual altura. Arco.

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

ααααx1xlnx1x

f4ls

222

Parábola con apoyos a distinta altura. Parámetro.

f2l 2

=α

Catenaria con apoyos a distinta altura. Vértice.

f2lhX =

f4hY

2=

Comprobación del aprendizaje

1. Que diferencia existe desde el punto de vista del cálculo entre cable con flecha pequeña y cable con flecha grande.

2. ¿Dónde se toma el origen de referencia para el cálculo de la catenaria? 3. ¿Dónde se toma el origen de referencia para el cálculo de la parábola? 4. La posición del centro de gravedad de una catenaria ¿está en el punto medio de la componente

horizontal? 5. La posición del centro de gravedad de una parábola ¿está en el punto medio de la componente

horizontal?

Anexo 1 Funciones hiperbólicas

- 55/69 -


Se definen el seno hiperbólico ( Sh ) y el coseno hiperbólico ( Ch ) mediante las siguientes expresiones:

2eexSh

xx −−=

2eexCh

xx −+=

por lo que la tangente hiperbólica (Th ) viene expresada por

xx

xx

xx

xx

eeee

2ee

2ee

xChxShxTh −

−

−

−

+−

=+

−

==

La ecuación fundamental de las funciones hiperbólicas se obtiene elevando al cuadrado el seno y coseno hiperbólicos

42ee

4ee2ee

2eexSh

x2x2xxx2x22xx2 −+

=−+

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

−−−−

42ee

4ee2ee

2eexCh

x2x2xxx2x22xx2 ++

=++

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=

−−−−

y restando de la segunda la primera

14

2ee4

2eexShxCh

42eexCh

42eexSh x2x2x2x2

22x2x2

2

x2x22

=−+

−++

=−⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

++=

−+= −−

−

−

1xShxCh 22 =−

Las derivadas de las funciones hiperbólicas son

( ) ( ) xCh2

ee2

ee2

eedxdxSh

dxd xxxxxx

=+

=−−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

−−−

( ) ( ) xSh2

ee2

ee2

eedxdxCh

dxd xxxxxx

=−

=−+

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=

−−−

( ) ( )( ) ( )( ) xhsecxCh

1xCh

xShxShxChxChxChxSh

dxdxTh

dxd 2

22 ==−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=


- 56/69 -

Funciones hiperbólicas inversas.

Definida una función ( )xfy = , su función inversa es ( )yfx 1−= . Sin embargo, se acostumbra a representar las funciones tomando la variable x como independiente, por lo que se permutan las variables x e y, y queda

( )( )xfy

xyyx

yfx1

1

−

−

=⇒⎪⎭

⎪⎬

⎫

→→

=

Para obtener las funciones argumento seno hiperbólico ( ShArg ) y argumento coseno hiperbólico ( ChArg ) se despeja el parámetro x de cada una de ellas, para lo cual

0xSh2ee2eexSh xx

xx=−−⇒

−= −

−

0xCh2ee2eexCh xx

xx=−+⇒

+= −

−

Se elimina el exponente negativo multiplicando a las funciones por xe

( ) 0exSh21e0xSh2eee xx2xxx =−−⇒=−− −

( ) 0exCh21e0xCh2eee xx2xxx =−+⇒=−+ −

expresiones cuadráticas de las que se obtiene xe

( )1xShxSh

24xSh2xSh2

e01exSh2e 22

xxx2 +±=+−±

=⇒=−−

( )1xChxCh

24xCh2xCh2

e01exCh2e 22

xxx2 −±=−−±

=⇒=+−

a partir de las que se obtiene el parámetro x

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +±=⇒+±= 1xShxShlnx1xShxShe 22x

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −±=⇒−±= 1xChxChlnx1xChxChe 22x

se permutan x por xShArg y xSh por x en la primera expresión,

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ++=⇒

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

→→

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ++=

1xxlnxShArgxxShxShArgx

1xShxShlnx

2

2

y x por xChArg , y xCh por x en la segunda,

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −+=⇒

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

→→

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −+=

1xxlnxChArgxxChxChArgx

1xChxChlnx

2

2

obteniéndose las funciones inversas xShArg y xChArg , respectivamente.


- 57/69 -

Derivada de las funciones hiperbólicas inversas.

Otras relaciones hiperbólicas interesantes son las derivadas de las funciones inversas, para lo cual se utiliza el siguiente procedimiento:

Si ( ) ( )xfxy = es una función continua en un intervalo, en la que existe la dxdy en todos sus puntos, e 1y−

es su función inversa, se cumple que la derivada de la función inversa ( ( )dxyd 1−

) coincide con la inversa de

la deriva en dichos puntos, dependiente de la variable y ( ( )dx

ydf1 )

( )( )

dxydf

1dxyd 1

=−

Expresión que aplicada a las funciones inversas hiperbólicas es

( )( )

( )( )

( ) yCh1

yShdxd

1ydxd

dxydf

1dxyd

xShArgyxShxy11

1

==⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=

=⇒=−−

−

teniendo en cuenta la relación

( ) ( )ySh1

1ydxd

ySh1yCh1yShyCh

yCh1y

dxd

21

222

1

+=⇒

⎪⎭

⎪⎬

⎫

+=⇒=−

=−

−

expresión en la que haciendo los cambios de variables

( )

( )2

1

21

x1

1xShArgdxd

yShxxShArgy

ySh1

1ydxd

+=⇒

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

==

+=

−

−

por lo tanto, pasando el diferencial de x al otro lado de la igualdad e integrando

( ) ( ) ( ) dxx1

1xShArgxShArgddxx1

1xShArgdx1

1xShArgdxd

222 ∫∫+

==⇒+

=⇒+

=


- 58/69 -

Funciones hiperbólicas de la suma de términos y suma de funciones hiperbólicas.

Otras expresiones hiperbólicas interesantes son

( )( ) ( )

( )( ) ( )( ) yShxChyChxSh4

eeee4

eeee4

eeeeeeee4

eeeeeeee4

eeee4

eeee4

eeee4

eeee2eeyxSh

yyxxyyxx

yxyxyxyxyxyxyxyx

yxyxyxyxyxyxyxyx

yxyx

+=−+

++−

=

=−+−

+−−+

=

=−

+−

+−

+−

=

=−

=+

−−−−

−−−−−−−−

−−−−−−−−

+−+

( )

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−

=

=⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−=

=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−−+=

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−+=

=−−+=+

−+

=−

−−

−+−

+

−−

−+−

+

+−−

+−

+−+−−

+−

−+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

−+

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

++

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−+

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

++

−−−−

2nmSh

2nmSh2

2

ee

2

ee

421

eeee21

eeeeeeee21

eeee21

eeee21

2ee

2eenChmCh

2nm

2nm

2nm

2nm

2nm

2nm

2nm

2nm

2nm

2nm

2nm

2nm

2nm

2nm

2nm

2nm

2nm

2nm

2nm

2nm

2nm

2nm

2nm

2nm

nnmmnnmm

( )

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+

=

=⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+=

=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+−−=

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+−−=

=+−−=−

−−

=−

−−

−+−

+

−−

−+−

+

+−−

+−

+−+−−

+−

−+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

−+

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

++

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−+

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

++

−−−−

2nmSh

2nmCh2

2

ee

2

ee

421

eeee21

eeeeeeee21

eeee21

eeee21

2ee

2eenShmSh

2nm

2nm

2nm

2nm

2nm

2nm

2nm

2nm

2nm

2nm

2nm

2nm

2nm

2nm

2nm

2nm

2nm

2nm

2nm

2nm

2nm

2nm

2nm

2nm

nnmmnnmm


- 59/69 -

( )

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+

=

=⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+=

=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+++=

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+++=

=+++=+

++

=+

−−

−+−

+

−−

−+−

+

+−−

+−

+−+−−

+−

−+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

−+

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

++

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−+

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

++

−−−−

2nmCh

2nmCh2

2

ee

2

ee

421

eeee21

eeeeeeee21

eeee21

eeee21

2ee

2eenChmCh

2nm

2nm

2nm

2nm

2nm

2nm

2nm

2nm

2nm

2nm

2nm

2nm

2nm

2nm

2nm

2nm

2nm

2nm

2nm

2nm

2nm

2nm

2nm

2nm

nnmmnnmm

Anexo 2. Procesos de integración.

- 60/69 -


Desarrollo de

∫∫ = αα

αα dcos

1dsec

A partir de las expresiones del ángulo medio (2α ) se tiene

2sen

2cos

22coscos

2cos

2sen1

22

22

ααααα

αα

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

+=

luego

∫ ∫−

+=⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

+=ααα

αα

ααααααα

αα

d

2sen

2cos

2cos

2sen

dcos

1

2sen

2cos

22coscos

2cos

2sen1

22

22

22

22

expresión en la que dividiendo el numerador y el denominador entre 2

cos2 α se tiene

∫∫ ∫−

+=

−

+

= αα

α

α

α

αα

α

αα

αα

d

2tg1

12

tgd

2cos

2sen

2cos

2cos

2cos

2sen

dcos

12

2

2

22

2

22

se va a considerar el cambio de variable 2

tgt α= luego

αααα

αα

αα

αααα

α

αα d1

2tg

21d

2cos2

2cos

2sen

d

2cos

2sen

21

2sen

2cos

21

2cos

dt

2cos

2sen

2tgt 2

2

22

2⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−

=⇒==

luego sustituyendo por la variable t y despejando dα

( ) ( )dt1t

2dd1t21dt

d12

tg21dt

2tgt

22

2 +=⇒+=⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

=αα

αα

α

luego


- 61/69 -

( )( ) ∫∫∫

∫∫

−=

+−+

=⇒

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

+=

=

−

+=

dtt1

12dt1t

2t11tdsec

dt1t

2d

2tgt

d

2tg1

12

tgdsec

222

2

2

2

2

αα

α

α

αα

α

αα

Desarrollando el quebrado

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )t1Bt1A1t1

Bt1

At1t1

1t1

12 ++−=⇒

−+

+=

−+=

−

En el que aplicando distintos valores de t

21AA211tpara

21BB211tpara

=⇒=⇒−=

=⇒=⇒=

luego

( ) ( )

( ) ( )t11

21

t11

21

t11

21B

21A

t1B

t1A

t11

2

2

−+

+=

−⇒

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

=

=

−+

+=

−

y la integral de la secante es

( ) ( )t1t1lnt1lnt1lndt

t11

t11dsec

t11

21

t11

21

t11

dtt1

12dsec

2

2

−+

=−−+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

+=⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

−+

+=

−

−=

∫∫∫∫

αααα

expresión logarítmica en la que multiplicando al numerador y al denominador por ( )t1 + y desarrollando

( )( )( )( ) 2

2

t11t2t

t1t1t1t1

t1t1

−++

=+−++

=−+

y sustituyendo

( )( )( )( ) 2

2

t11t2t

t1t1t1t1

t1t1

−++

=+−++

=−+


- 62/69 -

2tg1

12

tg22

tg

t1t1

2tgt

t11t2t

t1t1

2

22

2

α

αα

α −

++=

−+

⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=

−++

=−+

si se desarrolla la tangente en función del seno y el coseno y se multiplica al numerador y al denominador por el coseno al cuadrado se tiene

2sen

2cos

2cos

2cos

2sen2

2sen

2cos

2sen

12

cos

1

2cos

2sen

2

2cos

2sen

2cos

t1t1

22

22

2

2

2

2

2

2

αα

αααα

α

αα

α

α

α

αα

−

++=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

++

=−+

teniendo en cuenta que

αααα

ααα

ααααα

ααααα

αα

αα

αααα

tgseccossen

cos1

cossen1

t1t1

cos22

cos2

sen2

cos

sen22

sen2

cos2

sen2

12

cos2

sen

2sen

2cos

2cos

2cos

2sen2

2sen

t1t1

22

22

22

22

+=+=+

=−+

⇒

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

=+

−

++=

−+

y finalmente

( )αααααα

ααtgseclndsec

tgsect1t1

t1t1lndsec

+=⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

+=−+

−+

=∫

∫


- 63/69 -

Desarrollo de

∫∫ = αααααα d

cosnsedtgsec 2

se va a considerar el cambio de variable αcost = luego

dtsen

1ddsendtcostα

αααα −=⇒−=⇒=

luego

ααα

αααα

αα

α

αααααα

seccos

1tdttdtt1dt

sen1

tnsed

cosnse

dtsen

1d

cost

dcos

nsedtgsec

12222

2

===−=−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⇒

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

−=

=

=

−−∫∫∫∫

∫∫

y finalmente

αααα secdtgsec =∫

Anexo 3. Método de la bisección.

- 64/69 -

Anexo 3. Método de la bisección.

Es uno de los métodos más sencillos e intuitivos para obtener las raíces de una función. Se basa en el teorema del valor intermedio, que establece que toda función continua (F) en un intervalo cerrado ([ai, bi]) adquiere todos los valores que se hallan entre F(ai) y F(bi). En caso de que F(ai) y F(bi) tengan signos opuestos, una raíz se ha de encontrar en un punto de la función intermedio entre F(ai) y F(bi), por lo que existe un punto p en el intervalo [ai, bi] que cumple que F(p)=0.

El método consiste en lo siguiente:

• Se toman dos valores (a1, b1).

• La función F(x) ha de ser continua en el intervalo [a1, b1].

• Se ha de verificar que ( ) ( ) 0bFaF ii <⋅

• Se calcula el punto medio mi del intervalo [ai, bi]

2bam ii

i+

=

• Se evalúa F(mi). Si ese valor es igual a cero corresponde a la raíz buscada. En caso de que no lo sea, se verifica si F(mi) tiene signo opuesto a F(ai) o F(bi).

• Si F(mi) tiene signo opuesto a F(ai), el nuevo intervalo de estudio es el [ai, mi]. En caso contrario el nuevo intervalo de estudio es el [mi, bi].

• Se redefine el intervalo de estudio, [ai+1, bi+1] con ai+1 = mi ó bi+1 = mi, según el signo de F(mi).

• Se vuelve al punto inicial del procedimiento, realizándolo de forma iterativa, con lo que la raíz buscada se a acotando un intervalo cada vez más pequeño hasta alcanzar su valor con la precisión deseada.

Anexo 4: Tablas hiperbólicas

- 65/69 -


x (rad) xe xe− ( )xSh ( )xCh ( )xTh x (grad)0 1,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0000 0,0

0,01 1,0101 0,9900 0,0100 1,0001 0,0100 0,6 0,02 1,0202 0,9802 0,0200 1,0002 0,0200 1,1 0,03 1,0305 0,9704 0,0300 1,0005 0,0300 1,7 0,04 1,0408 0,9608 0,0400 1,0008 0,0400 2,3 0,05 1,0513 0,9512 0,0500 1,0013 0,0500 2,9 0,06 1,0618 0,9418 0,0600 1,0018 0,0599 3,4 0,07 1,0725 0,9324 0,0701 1,0025 0,0699 4,0 0,08 1,0833 0,9231 0,0801 1,0032 0,0798 4,6 0,09 1,0942 0,9139 0,0901 1,0041 0,0898 5,2 0,1 1,1052 0,9048 0,1002 1,0050 0,0997 5,7

0,11 1,1163 0,8958 0,1102 1,0061 0,1096 6,3 0,12 1,1275 0,8869 0,1203 1,0072 0,1194 6,9 0,13 1,1388 0,8781 0,1304 1,0085 0,1293 7,4 0,14 1,1503 0,8694 0,1405 1,0098 0,1391 8,0 0,15 1,1618 0,8607 0,1506 1,0113 0,1489 8,6 0,16 1,1735 0,8521 0,1607 1,0128 0,1586 9,2 0,17 1,1853 0,8437 0,1708 1,0145 0,1684 9,7 0,18 1,1972 0,8353 0,1810 1,0162 0,1781 10,3 0,19 1,2092 0,8270 0,1911 1,0181 0,1877 10,9 0,2 1,2214 0,8187 0,2013 1,0201 0,1974 11,5

0,21 1,2337 0,8106 0,2115 1,0221 0,2070 12,0 0,22 1,2461 0,8025 0,2218 1,0243 0,2165 12,6 0,23 1,2586 0,7945 0,2320 1,0266 0,2260 13,2 0,24 1,2712 0,7866 0,2423 1,0289 0,2355 13,8 0,25 1,2840 0,7788 0,2526 1,0314 0,2449 14,3 0,26 1,2969 0,7711 0,2629 1,0340 0,2543 14,9 0,27 1,3100 0,7634 0,2733 1,0367 0,2636 15,5 0,28 1,3231 0,7558 0,2837 1,0395 0,2729 16,0 0,29 1,3364 0,7483 0,2941 1,0423 0,2821 16,6 0,3 1,3499 0,7408 0,3045 1,0453 0,2913 17,2

0,31 1,3634 0,7334 0,3150 1,0484 0,3004 17,8 0,32 1,3771 0,7261 0,3255 1,0516 0,3095 18,3 0,33 1,3910 0,7189 0,3360 1,0549 0,3185 18,9 0,34 1,4049 0,7118 0,3466 1,0584 0,3275 19,5 0,35 1,4191 0,7047 0,3572 1,0619 0,3364 20,1 0,36 1,4333 0,6977 0,3678 1,0655 0,3452 20,6 0,37 1,4477 0,6907 0,3785 1,0692 0,3540 21,2 0,38 1,4623 0,6839 0,3892 1,0731 0,3627 21,8 0,39 1,4770 0,6771 0,4000 1,0770 0,3714 22,3 0,4 1,4918 0,6703 0,4108 1,0811 0,3799 22,9

0,41 1,5068 0,6637 0,4216 1,0852 0,3885 23,5 0,42 1,5220 0,6570 0,4325 1,0895 0,3969 24,1 0,43 1,5373 0,6505 0,4434 1,0939 0,4053 24,6 0,44 1,5527 0,6440 0,4543 1,0984 0,4136 25,2 0,45 1,5683 0,6376 0,4653 1,1030 0,4219 25,8 0,46 1,5841 0,6313 0,4764 1,1077 0,4301 26,4 0,47 1,6000 0,6250 0,4875 1,1125 0,4382 26,9

x (rad) xe xe− ( )xSh ( )xCh ( )xTh x (grad)0,48 1,6161 0,6188 0,4986 1,1174 0,4462 27,5 0,49 1,6323 0,6126 0,5098 1,1225 0,4542 28,1 0,5 1,6487 0,6065 0,5211 1,1276 0,4621 28,6

0,51 1,6653 0,6005 0,5324 1,1329 0,4699 29,2 0,52 1,6820 0,5945 0,5438 1,1383 0,4777 29,8 0,53 1,6989 0,5886 0,5552 1,1438 0,4854 30,4 0,54 1,7160 0,5827 0,5666 1,1494 0,4930 30,9 0,55 1,7333 0,5769 0,5782 1,1551 0,5005 31,5 0,56 1,7507 0,5712 0,5897 1,1609 0,5080 32,1 0,57 1,7683 0,5655 0,6014 1,1669 0,5154 32,7 0,58 1,7860 0,5599 0,6131 1,1730 0,5227 33,2 0,59 1,8040 0,5543 0,6248 1,1792 0,5299 33,8 0,6 1,8221 0,5488 0,6367 1,1855 0,5370 34,4

0,61 1,8404 0,5434 0,6485 1,1919 0,5441 35,0 0,62 1,8589 0,5379 0,6605 1,1984 0,5511 35,5 0,63 1,8776 0,5326 0,6725 1,2051 0,5581 36,1 0,64 1,8965 0,5273 0,6846 1,2119 0,5649 36,7 0,65 1,9155 0,5220 0,6967 1,2188 0,5717 37,2 0,66 1,9348 0,5169 0,7090 1,2258 0,5784 37,8 0,67 1,9542 0,5117 0,7213 1,2330 0,5850 38,4 0,68 1,9739 0,5066 0,7336 1,2402 0,5915 39,0 0,69 1,9937 0,5016 0,7461 1,2476 0,5980 39,5 0,7 2,0138 0,4966 0,7586 1,2552 0,6044 40,1

0,71 2,0340 0,4916 0,7712 1,2628 0,6107 40,7 0,72 2,0544 0,4868 0,7838 1,2706 0,6169 41,3 0,73 2,0751 0,4819 0,7966 1,2785 0,6231 41,8 0,74 2,0959 0,4771 0,8094 1,2865 0,6291 42,4 0,75 2,1170 0,4724 0,8223 1,2947 0,6351 43,0 0,76 2,1383 0,4677 0,8353 1,3030 0,6411 43,5 0,77 2,1598 0,4630 0,8484 1,3114 0,6469 44,1 0,78 2,1815 0,4584 0,8615 1,3199 0,6527 44,7 0,79 2,2034 0,4538 0,8748 1,3286 0,6584 45,3 0,8 2,2255 0,4493 0,8881 1,3374 0,6640 45,8

0,81 2,2479 0,4449 0,9015 1,3464 0,6696 46,4 0,82 2,2705 0,4404 0,9150 1,3555 0,6751 47,0 0,83 2,2933 0,4360 0,9286 1,3647 0,6805 47,6 0,84 2,3164 0,4317 0,9423 1,3740 0,6858 48,1 0,85 2,3396 0,4274 0,9561 1,3835 0,6911 48,7 0,86 2,3632 0,4232 0,9700 1,3932 0,6963 49,3 0,87 2,3869 0,4190 0,9840 1,4029 0,7014 49,8 0,88 2,4109 0,4148 0,9981 1,4128 0,7064 50,4 0,89 2,4351 0,4107 1,0122 1,4229 0,7114 51,0 0,9 2,4596 0,4066 1,0265 1,4331 0,7163 51,6

0,91 2,4843 0,4025 1,0409 1,4434 0,7211 52,1 0,92 2,5093 0,3985 1,0554 1,4539 0,7259 52,7 0,93 2,5345 0,3946 1,0700 1,4645 0,7306 53,3 0,94 2,5600 0,3906 1,0847 1,4753 0,7352 53,9 0,95 2,5857 0,3867 1,0995 1,4862 0,7398 54,4 0,96 2,6117 0,3829 1,1144 1,4973 0,7443 55,0 0,97 2,6379 0,3791 1,1294 1,5085 0,7487 55,6 0,98 2,6645 0,3753 1,1446 1,5199 0,7531 56,1


- 66/69 -

x (rad) xe xe− ( )xSh ( )xCh ( )xTh x (grad)0,99 2,6912 0,3716 1,1598 1,5314 0,7574 56,7

1 2,7183 0,3679 1,1752 1,5431 0,7616 57,3 1,01 2,7456 0,3642 1,1907 1,5549 0,7658 57,9 1,02 2,7732 0,3606 1,2063 1,5669 0,7699 58,4 1,03 2,8011 0,3570 1,2220 1,5790 0,7739 59,0 1,04 2,8292 0,3535 1,2379 1,5913 0,7779 59,6 1,05 2,8577 0,3499 1,2539 1,6038 0,7818 60,2 1,06 2,8864 0,3465 1,2700 1,6164 0,7857 60,7 1,07 2,9154 0,3430 1,2862 1,6292 0,7895 61,3 1,08 2,9447 0,3396 1,3025 1,6421 0,7932 61,9 1,09 2,9743 0,3362 1,3190 1,6552 0,7969 62,5 1,1 3,0042 0,3329 1,3356 1,6685 0,8005 63,0

1,11 3,0344 0,3296 1,3524 1,6820 0,8041 63,6 1,12 3,0649 0,3263 1,3693 1,6956 0,8076 64,2 1,13 3,0957 0,3230 1,3863 1,7093 0,8110 64,7 1,14 3,1268 0,3198 1,4035 1,7233 0,8144 65,3 1,15 3,1582 0,3166 1,4208 1,7374 0,8178 65,9 1,16 3,1899 0,3135 1,4382 1,7517 0,8210 66,5 1,17 3,2220 0,3104 1,4558 1,7662 0,8243 67,0 1,18 3,2544 0,3073 1,4735 1,7808 0,8275 67,6 1,19 3,2871 0,3042 1,4914 1,7957 0,8306 68,2 1,2 3,3201 0,3012 1,5095 1,8107 0,8337 68,8

1,21 3,3535 0,2982 1,5276 1,8258 0,8367 69,3 1,22 3,3872 0,2952 1,5460 1,8412 0,8397 69,9 1,23 3,4212 0,2923 1,5645 1,8568 0,8426 70,5 1,24 3,4556 0,2894 1,5831 1,8725 0,8455 71,0 1,25 3,4903 0,2865 1,6019 1,8884 0,8483 71,6 1,26 3,5254 0,2837 1,6209 1,9045 0,8511 72,2 1,27 3,5609 0,2808 1,6400 1,9208 0,8538 72,8 1,28 3,5966 0,2780 1,6593 1,9373 0,8565 73,3 1,29 3,6328 0,2753 1,6788 1,9540 0,8591 73,9 1,3 3,6693 0,2725 1,6984 1,9709 0,8617 74,5

1,31 3,7062 0,2698 1,7182 1,9880 0,8643 75,1 1,32 3,7434 0,2671 1,7381 2,0053 0,8668 75,6 1,33 3,7810 0,2645 1,7583 2,0228 0,8692 76,2 1,34 3,8190 0,2618 1,7786 2,0404 0,8717 76,8 1,35 3,8574 0,2592 1,7991 2,0583 0,8741 77,3 1,36 3,8962 0,2567 1,8198 2,0764 0,8764 77,9 1,37 3,9354 0,2541 1,8406 2,0947 0,8787 78,5 1,38 3,9749 0,2516 1,8617 2,1132 0,8810 79,1 1,39 4,0149 0,2491 1,8829 2,1320 0,8832 79,6 1,4 4,0552 0,2466 1,9043 2,1509 0,8854 80,2

1,41 4,0960 0,2441 1,9259 2,1700 0,8875 80,8 1,42 4,1371 0,2417 1,9477 2,1894 0,8896 81,4 1,43 4,1787 0,2393 1,9697 2,2090 0,8917 81,9 1,44 4,2207 0,2369 1,9919 2,2288 0,8937 82,5 1,45 4,2631 0,2346 2,0143 2,2488 0,8957 83,1 1,46 4,3060 0,2322 2,0369 2,2691 0,8977 83,7 1,47 4,3492 0,2299 2,0597 2,2896 0,8996 84,2 1,48 4,3929 0,2276 2,0827 2,3103 0,9015 84,8 1,49 4,4371 0,2254 2,1059 2,3312 0,9033 85,4


1,51 4,5267 0,2209 2,1529 2,3738 0,9069 86,5 1,52 4,5722 0,2187 2,1768 2,3955 0,9087 87,1 1,53 4,6182 0,2165 2,2008 2,4174 0,9104 87,7 1,54 4,6646 0,2144 2,2251 2,4395 0,9121 88,2 1,55 4,7115 0,2122 2,2496 2,4619 0,9138 88,8 1,56 4,7588 0,2101 2,2743 2,4845 0,9154 89,4 1,57 4,8066 0,2080 2,2993 2,5073 0,9170 90,0 1,58 4,8550 0,2060 2,3245 2,5305 0,9186 90,5 1,59 4,9037 0,2039 2,3499 2,5538 0,9201 91,1 1,6 4,9530 0,2019 2,3756 2,5775 0,9217 91,7

1,61 5,0028 0,1999 2,4015 2,6013 0,9232 92,2 1,62 5,0531 0,1979 2,4276 2,6255 0,9246 92,8 1,63 5,1039 0,1959 2,4540 2,6499 0,9261 93,4 1,64 5,1552 0,1940 2,4806 2,6746 0,9275 94,0 1,65 5,2070 0,1920 2,5075 2,6995 0,9289 94,5 1,66 5,2593 0,1901 2,5346 2,7247 0,9302 95,1 1,67 5,3122 0,1882 2,5620 2,7502 0,9316 95,7 1,68 5,3656 0,1864 2,5896 2,7760 0,9329 96,3 1,69 5,4195 0,1845 2,6175 2,8020 0,9341 96,8 1,7 5,4739 0,1827 2,6456 2,8283 0,9354 97,4

1,71 5,5290 0,1809 2,6740 2,8549 0,9366 98,0 1,72 5,5845 0,1791 2,7027 2,8818 0,9379 98,5 1,73 5,6407 0,1773 2,7317 2,9090 0,9391 99,1 1,74 5,6973 0,1755 2,7609 2,9364 0,9402 99,7 1,75 5,7546 0,1738 2,7904 2,9642 0,9414 100,3 1,76 5,8124 0,1720 2,8202 2,9922 0,9425 100,8 1,77 5,8709 0,1703 2,8503 3,0206 0,9436 101,4 1,78 5,9299 0,1686 2,8806 3,0492 0,9447 102,0 1,79 5,9895 0,1670 2,9112 3,0782 0,9458 102,6 1,8 6,0496 0,1653 2,9422 3,1075 0,9468 103,1

1,81 6,1104 0,1637 2,9734 3,1371 0,9478 103,7 1,82 6,1719 0,1620 3,0049 3,1669 0,9488 104,3 1,83 6,2339 0,1604 3,0367 3,1972 0,9498 104,9 1,84 6,2965 0,1588 3,0689 3,2277 0,9508 105,4 1,85 6,3598 0,1572 3,1013 3,2585 0,9517 106,0 1,86 6,4237 0,1557 3,1340 3,2897 0,9527 106,6 1,87 6,4883 0,1541 3,1671 3,3212 0,9536 107,1 1,88 6,5535 0,1526 3,2005 3,3530 0,9545 107,7 1,89 6,6194 0,1511 3,2341 3,3852 0,9554 108,3 1,9 6,6859 0,1496 3,2682 3,4177 0,9562 108,9

1,91 6,7531 0,1481 3,3025 3,4506 0,9571 109,4 1,92 6,8210 0,1466 3,3372 3,4838 0,9579 110,0 1,93 6,8895 0,1451 3,3722 3,5173 0,9587 110,6 1,94 6,9588 0,1437 3,4075 3,5512 0,9595 111,2 1,95 7,0287 0,1423 3,4432 3,5855 0,9603 111,7 1,96 7,0993 0,1409 3,4792 3,6201 0,9611 112,3 1,97 7,1707 0,1395 3,5156 3,6551 0,9618 112,9 1,98 7,2427 0,1381 3,5523 3,6904 0,9626 113,4 1,99 7,3155 0,1367 3,5894 3,7261 0,9633 114,0

2 7,3891 0,1353 3,6269 3,7622 0,9640 114,6


- 67/69 -

x (rad) xe xe− ( )xSh ( )xCh ( )xTh x (grad)2,01 7,4633 0,1340 3,6647 3,7987 0,9647 115,2 2,02 7,5383 0,1327 3,7028 3,8355 0,9654 115,7 2,03 7,6141 0,1313 3,7414 3,8727 0,9661 116,3 2,04 7,6906 0,1300 3,7803 3,9103 0,9667 116,9 2,05 7,7679 0,1287 3,8196 3,9483 0,9674 117,5 2,06 7,8460 0,1275 3,8593 3,9867 0,9680 118,0 2,07 7,9248 0,1262 3,8993 4,0255 0,9687 118,6 2,08 8,0045 0,1249 3,9398 4,0647 0,9693 119,2 2,09 8,0849 0,1237 3,9806 4,1043 0,9699 119,7 2,1 8,1662 0,1225 4,0219 4,1443 0,9705 120,3

2,11 8,2482 0,1212 4,0635 4,1847 0,9710 120,9 2,12 8,3311 0,1200 4,1056 4,2256 0,9716 121,5 2,13 8,4149 0,1188 4,1480 4,2669 0,9721 122,0 2,14 8,4994 0,1177 4,1909 4,3085 0,9727 122,6 2,15 8,5849 0,1165 4,2342 4,3507 0,9732 123,2 2,16 8,6711 0,1153 4,2779 4,3932 0,9737 123,8 2,17 8,7583 0,1142 4,3221 4,4362 0,9743 124,3 2,18 8,8463 0,1130 4,3666 4,4797 0,9748 124,9 2,19 8,9352 0,1119 4,4116 4,5236 0,9753 125,5 2,2 9,0250 0,1108 4,4571 4,5679 0,9757 126,1

2,21 9,1157 0,1097 4,5030 4,6127 0,9762 126,6 2,22 9,2073 0,1086 4,5494 4,6580 0,9767 127,2 2,23 9,2999 0,1075 4,5962 4,7037 0,9771 127,8 2,24 9,3933 0,1065 4,6434 4,7499 0,9776 128,3 2,25 9,4877 0,1054 4,6912 4,7966 0,9780 128,9 2,26 9,5831 0,1044 4,7394 4,8437 0,9785 129,5 2,27 9,6794 0,1033 4,7880 4,8914 0,9789 130,1 2,28 9,7767 0,1023 4,8372 4,9395 0,9793 130,6 2,29 9,8749 0,1013 4,8868 4,9881 0,9797 131,2 2,3 9,9742 0,1003 4,9370 5,0372 0,9801 131,8

2,31 10,0744 0,0993 4,9876 5,0868 0,9805 132,4 2,32 10,1757 0,0983 5,0387 5,1370 0,9809 132,9 2,33 10,2779 0,0973 5,0903 5,1876 0,9812 133,5 2,34 10,3812 0,0963 5,1425 5,2388 0,9816 134,1 2,35 10,4856 0,0954 5,1951 5,2905 0,9820 134,6 2,36 10,5910 0,0944 5,2483 5,3427 0,9823 135,2 2,37 10,6974 0,0935 5,3020 5,3954 0,9827 135,8 2,38 10,8049 0,0926 5,3562 5,4487 0,9830 136,4 2,39 10,9135 0,0916 5,4109 5,5026 0,9833 136,9 2,4 11,0232 0,0907 5,4662 5,5569 0,9837 137,5

2,41 11,1340 0,0898 5,5221 5,6119 0,9840 138,1 2,42 11,2459 0,0889 5,5785 5,6674 0,9843 138,7 2,43 11,3589 0,0880 5,6354 5,7235 0,9846 139,2 2,44 11,4730 0,0872 5,6929 5,7801 0,9849 139,8 2,45 11,5883 0,0863 5,7510 5,8373 0,9852 140,4 2,46 11,7048 0,0854 5,8097 5,8951 0,9855 140,9 2,47 11,8224 0,0846 5,8689 5,9535 0,9858 141,5 2,48 11,9413 0,0837 5,9288 6,0125 0,9861 142,1 2,49 12,0613 0,0829 5,9892 6,0721 0,9863 142,7 2,5 12,1825 0,0821 6,0502 6,1323 0,9866 143,2

2,55 12,8071 0,0781 6,3645 6,4426 0,9879 146,1

x (rad) xe xe− ( )xSh ( )xCh ( )xTh x (grad)2,6 13,4637 0,0743 6,6947 6,7690 0,9890 149,0 2,65 14,1540 0,0707 7,0417 7,1123 0,9901 151,8 2,7 14,8797 0,0672 7,4063 7,4735 0,9910 154,7 2,75 15,6426 0,0639 7,7894 7,8533 0,9919 157,6 2,8 16,4446 0,0608 8,1919 8,2527 0,9926 160,4 2,85 17,2878 0,0578 8,6150 8,6728 0,9933 163,3 2,9 18,1741 0,0550 9,0596 9,1146 0,9940 166,2 2,95 19,1060 0,0523 9,5268 9,5791 0,9945 169,0

3 20,0855 0,0498 10,0179 10,0677 0,9951 171,9 3,05 21,1153 0,0474 10,5340 10,5814 0,9955 174,8 3,1 22,1980 0,0450 11,0765 11,1215 0,9959 177,6 3,15 23,3361 0,0429 11,6466 11,6895 0,9963 180,5 3,2 24,5325 0,0408 12,2459 12,2866 0,9967 183,3 3,25 25,7903 0,0388 12,8758 12,9146 0,9970 186,2 3,3 27,1126 0,0369 13,5379 13,5748 0,9973 189,1 3,35 28,5027 0,0351 14,2338 14,2689 0,9975 191,9 3,4 29,9641 0,0334 14,9654 14,9987 0,9978 194,8 3,45 31,5004 0,0317 15,7343 15,7661 0,9980 197,7 3,5 33,1155 0,0302 16,5426 16,5728 0,9982 200,5 3,55 34,8133 0,0287 17,3923 17,4210 0,9984 203,4 3,6 36,5982 0,0273 18,2855 18,3128 0,9985 206,3 3,65 38,4747 0,0260 19,2243 19,2503 0,9986 209,1 3,7 40,4473 0,0247 20,2113 20,2360 0,9988 212,0 3,75 42,5211 0,0235 21,2488 21,2723 0,9989 214,9 3,8 44,7012 0,0224 22,3394 22,3618 0,9990 217,7 3,85 46,9931 0,0213 23,4859 23,5072 0,9991 220,6 3,9 49,4024 0,0202 24,6911 24,7113 0,9992 223,5 3,95 51,9354 0,0193 25,9581 25,9773 0,9993 226,3

4 54,5982 0,0183 27,2899 27,3082 0,9993 229,2 4,05 57,3975 0,0174 28,6900 28,7074 0,9994 232,0 4,1 60,3403 0,0166 30,1619 30,1784 0,9995 234,9 4,15 63,4340 0,0158 31,7091 31,7249 0,9995 237,8 4,2 66,6863 0,0150 33,3357 33,3507 0,9996 240,6 4,25 70,1054 0,0143 35,0456 35,0598 0,9996 243,5 4,3 73,6998 0,0136 36,8431 36,8567 0,9996 246,4 4,35 77,4785 0,0129 38,7328 38,7457 0,9997 249,2 4,4 81,4509 0,0123 40,7193 40,7316 0,9997 252,1 4,45 85,6269 0,0117 42,8076 42,8193 0,9997 255,0 4,5 90,0171 0,0111 45,0030 45,0141 0,9998 257,8 4,55 94,6324 0,0106 47,3109 47,3215 0,9998 260,7 4,6 99,4843 0,0101 49,7371 49,7472 0,9998 263,6 4,65 104,5850 0,0096 52,2877 52,2973 0,9998 266,4 4,7 109,9472 0,0091 54,9690 54,9781 0,9998 269,3 4,75 115,5843 0,0087 57,7878 57,7965 0,9999 272,2 4,8 121,5104 0,0082 60,7511 60,7593 0,9999 275,0 4,85 127,7404 0,0078 63,8663 63,8741 0,9999 277,9 4,9 134,2898 0,0074 67,1412 67,1486 0,9999 280,7 4,95 141,1750 0,0071 70,5839 70,5910 0,9999 283,6

5 148,4132 0,0067 74,2032 74,2099 0,9999 286,5 5,05 156,0225 0,0064 78,0080 78,0144 0,9999 289,3 5,1 164,0219 0,0061 82,0079 82,0140 0,9999 292,2


- 68/69 -

x (rad) xe xe− ( )xSh ( )xCh ( )xTh x (grad)5,15 172,4315 0,0058 86,2128 86,2186 0,9999 295,1 5,2 181,2722 0,0055 90,6334 90,6389 0,9999 297,9

5,25 190,5663 0,0052 95,2805 95,2858 0,9999 300,8 5,3 200,3368 0,0050 100,1659 100,1709 1,0000 303,7

5,35 210,6083 0,0047 105,3018 105,3065 1,0000 306,5 5,4 221,4064 0,0045 110,7009 110,7055 1,0000 309,4

5,45 232,7582 0,0043 116,3769 116,3812 1,0000 312,3 5,5 244,6919 0,0041 122,3439 122,3480 1,0000 315,1

5,55 257,2376 0,0039 128,6168 128,6207 1,0000 318,0 5,6 270,4264 0,0037 135,2114 135,2151 1,0000 320,9

5,65 284,2915 0,0035 142,1440 142,1475 1,0000 323,7 5,7 298,8674 0,0033 149,4320 149,4354 1,0000 326,6

5,75 314,1907 0,0032 157,0937 157,0969 1,0000 329,5 5,8 330,2996 0,0030 165,1483 165,1513 1,0000 332,3

5,85 347,2344 0,0029 173,6158 173,6186 1,0000 335,2 5,9 365,0375 0,0027 182,5174 182,5201 1,0000 338,0

5,95 383,7533 0,0026 191,8754 191,8780 1,0000 340,9 6 403,4288 0,0025 201,7132 201,7156 1,0000 343,8

6,05 424,1130 0,0024 212,0553 212,0577 1,0000 346,6 6,1 445,8578 0,0022 222,9278 222,9300 1,0000 349,5

6,15 468,7174 0,0021 234,3576 234,3598 1,0000 352,4 6,2 492,7490 0,0020 246,3735 246,3755 1,0000 355,2

6,25 518,0128 0,0019 259,0054 259,0074 1,0000 358,1 6,3 544,5719 0,0018 272,2850 272,2869 1,0000 361,0

6,35 572,4927 0,0017 286,2455 286,2472 1,0000 363,8 6,4 601,8450 0,0017 300,9217 300,9233 1,0000 366,7

6,45 632,7023 0,0016 316,3504 316,3519 1,0000 369,6 6,5 665,1416 0,0015 332,5701 332,5716 1,0000 372,4

6,55 699,2442 0,0014 349,6214 349,6228 1,0000 375,3 6,6 735,0952 0,0014 367,5469 367,5483 1,0000 378,2

6,65 772,7843 0,0013 386,3915 386,3928 1,0000 381,0 6,7 812,4058 0,0012 406,2023 406,2035 1,0000 383,9

6,75 854,0588 0,0012 427,0288 427,0300 1,0000 386,7 6,8 897,8473 0,0011 448,9231 448,9242 1,0000 389,6

6,85 943,8809 0,0011 471,9399 471,9410 1,0000 392,5 6,9 992,2747 0,0010 496,1369 496,1379 1,0000 395,3

6,95 1043,1497 0,0010 521,5744 521,5753 1,0000 398,2 7 1096,6332 0,0009 548,3161 548,3170 1,0000 401,1

7,05 1152,8587 0,0009 576,4289 576,4298 1,0000 403,9 7,1 1211,9671 0,0008 605,9831 605,9839 1,0000 406,8

7,15 1274,1060 0,0008 637,0526 637,0534 1,0000 409,7 7,2 1339,4308 0,0007 669,7150 669,7158 1,0000 412,5

7,25 1408,1048 0,0007 704,0521 704,0528 1,0000 415,4 7,3 1480,2999 0,0007 740,1496 740,1503 1,0000 418,3

7,35 1556,1965 0,0006 778,0979 778,0986 1,0000 421,1 7,4 1635,9844 0,0006 817,9919 817,9925 1,0000 424,0

7,45 1719,8631 0,0006 859,9313 859,9319 1,0000 426,9 7,5 1808,0424 0,0006 904,0209 904,0215 1,0000 429,7

7,55 1900,7427 0,0005 950,3711 950,3716 1,0000 432,6 7,6 1998,1959 0,0005 999,0977 999,0982 1,0000 435,4

7,65 2100,6456 0,0005 1050,3226 1050,3230 1,0000 438,3


7,75 2321,5724 0,0004 1160,7860 1160,7864 1,0000 444,0 7,8 2440,6020 0,0004 1220,3008 1220,3012 1,0000 446,9

7,85 2565,7343 0,0004 1282,8670 1282,8674 1,0000 449,8 7,9 2697,2823 0,0004 1348,6410 1348,6413 1,0000 452,6

7,95 2835,5750 0,0004 1417,7873 1417,7877 1,0000 455,5 8 2980,9580 0,0003 1490,4788 1490,4792 1,0000 458,4

8,05 3133,7950 0,0003 1566,8973 1566,8976 1,0000 461,2 8,1 3294,4681 0,0003 1647,2339 1647,2342 1,0000 464,1

8,15 3463,3791 0,0003 1731,6894 1731,6897 1,0000 467,0 8,2 3640,9503 0,0003 1820,4750 1820,4753 1,0000 469,8

8,25 3827,6258 0,0003 1913,8128 1913,8130 1,0000 472,7 8,3 4023,8724 0,0002 2011,9361 2011,9363 1,0000 475,6

8,35 4230,1807 0,0002 2115,0903 2115,0905 1,0000 478,4 8,4 4447,0667 0,0002 2223,5333 2223,5335 1,0000 481,3

8,45 4675,0727 0,0002 2337,5363 2337,5365 1,0000 484,1 8,5 4914,7688 0,0002 2457,3843 2457,3845 1,0000 487,0

8,55 5166,7544 0,0002 2583,3771 2583,3773 1,0000 489,9 8,6 5431,6596 0,0002 2715,8297 2715,8299 1,0000 492,7

8,65 5710,1467 0,0002 2855,0733 2855,0735 1,0000 495,6 8,7 6002,9122 0,0002 3001,4560 3001,4562 1,0000 498,5

8,75 6310,6881 0,0002 3155,3440 3155,3441 1,0000 501,3 8,8 6634,2440 0,0002 3317,1219 3317,1221 1,0000 504,2

8,85 6974,3890 0,0001 3487,1944 3487,1946 1,0000 507,1 8,9 7331,9735 0,0001 3665,9867 3665,9868 1,0000 509,9

8,95 7707,8919 0,0001 3853,9459 3853,9460 1,0000 512,8 9 8103,0839 0,0001 4051,5419 4051,5420 1,0000 515,7

9,05 8518,5379 0,0001 4259,2689 4259,2690 1,0000 518,5 9,1 8955,2927 0,0001 4477,6463 4477,6464 1,0000 521,4

9,15 9414,4404 0,0001 4707,2201 4707,2202 1,0000 524,3 9,2 9897,1291 0,0001 4948,5645 4948,5646 1,0000 527,1

9,25 10404,5657 0,0001 5202,2828 5202,2829 1,0000 530,0 9,3 10938,0192 0,0001 5469,0096 5469,0096 1,0000 532,9

9,35 11498,8234 0,0001 5749,4117 5749,4118 1,0000 535,7 9,4 12088,3807 0,0001 6044,1903 6044,1904 1,0000 538,6

9,45 12708,1653 0,0001 6354,0826 6354,0827 1,0000 541,4 9,5 13359,7268 0,0001 6679,8634 6679,8635 1,0000 544,3

9,55 14044,6947 0,0001 7022,3473 7022,3474 1,0000 547,2 9,6 14764,7816 0,0001 7382,3907 7382,3908 1,0000 550,0

9,65 15521,7881 0,0001 7760,8940 7760,8941 1,0000 552,9 9,7 16317,6072 0,0001 8158,8036 8158,8036 1,0000 555,8

9,75 17154,2288 0,0001 8577,1144 8577,1144 1,0000 558,6 9,8 18033,7449 0,0001 9016,8724 9016,8725 1,0000 561,5

9,85 18958,3548 0,0001 9479,1774 9479,1774 1,0000 564,4 9,9 19930,3704 0,0001 9965,1852 9965,1852 1,0000 567,2

9,95 20952,2224 0,0000 10476,1112 10476,1112 1,0000 570,1 10 22026,4658 0,0000 11013,2329 11013,2329 1,0000 573,0

Anexo 5: Bibliografía

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Anexo 5: Bibliografía

Autor: Beer y Johnston

Título: Mecánica Vectorial para Ingenieros. Estática

Edición: 08

Fecha Publ.: 2007

ISBN: 978-970-6103-9

Autor: Meriam y Craige

Título: Estática

Edición: 3

Editor: Mc Graw Hill

Fecha Publ.: 2000

ISBN: 84-291-4257-6

Autor: Riley y Sturges

Título: Ingeniería Mecánica: Estática

Edición: 1

Editor: Editorial Reverté S.A.

Fecha Publ.: 2006

ISBN: 978429142556

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