ESTATICA

1. CONCEPTOS BASICOS, LEYES, PRINCIPIOS FUNDAMENTALES Y

UBICACION DE LA ESTATICA DENTRO DE LA MECANICA

A. CONCEPTOS BÁSICOS DE LA ESTÁTICA

Antes de comenzar nuestro estudio de la mecánica es importante entender el significado de ciertos conceptos y principios fundamentales.

CANTIDADES BÁSICAS: Daremos mención a algunas cantidades que se usan en toda la mecánica.

LONGITUD: La longitud es necesaria para localizar la posición de un punto en el espacio y así describir el tamaño de un sistema físico. Una vez definida una cantidad estándar de longitud podemos establecer cuantitativamente distancias y propiedades geométricas de un cuerpo como múltiplos de la longitud unitaria.

TIEMPO: Es concebido como una sucesión de eventos. Aunque los principios de la estática son independientes del tiempo esta cantidad juega un papel importante en el estudio de la dinámica.

MASA: Es una propiedad de la materia por medio de la cual es posible comparar la acción de un cuerpo con la de otro. Esta propiedad se manifiesta como una atracción gravitatoria entre 2 cuerpos y proporciona una medida cuantitativa de la resistencia del material a cambios de la velocidad.

FUERZA: La fuerza es considerada como un “empuje “o un “jalón” ejercido por un cuerpo sobre otro. Esta interacción puede ocurrir cuando existe contacto directo entre los cuerpos, cuando una persona empuja una pared, o a través de una distancia cuando los cuerpos están físicamente separados. Ejemplos del último tipo incluyen las fuerzas gravitatorias, eléctricas y magnéticas. En todo caso, una fuerza se caracteriza

Deformación

completamente por medio de su magnitud, dirección y su punto de aplicación.

PARTICULA: Una partícula tiene masa pero un tamaño que puede ser ignorado. Por ejemplo el tamaño de la tierra es insignificante comparado con su órbita y por lo tanto la tierra puede ser modelada como una partícula al estudiar su movimiento orbital.

CUERPO RIGIDO:

Es una idealización de la estática, es aquel cuerpo que ante la acción de la carga, una fuerza no se deforma y si ocurre son tan pequeñas que se desprecian.

Este concepto nace a partir ante la acción de una F sobre un cuerpo y sostiene que ese no sufra deformación alguna pero en realidad todo cuerpo se deforma cierta cantidad, resulta que este en muchos casos es muy pequeño que no afecta el análisis deseado, resultando que los cálculos se simplifiquen.

Permite encontrar las reacciones que equilibren el cuerpo.

w P

B

Ld

A

A B

L13

L22

L

FUERZA CONCENTRADA:

Se considera como tal cuando una F finita actúa sobre un cuerpo rígido o no, su defecto se transmite a través de un área infinitesimal, es decir que el área real de contacto es muy pequeña. Puede afirmar que la fuerza concentrada es una simplificación de las fuerzas distribuidas.

L

Pto de Contacto

W11

W2

L1 L2

L

θ

F=210 Kg

CANTIDADES ESCALARES Y VECTORIALES CANTIDADES ESCALARES : Son aquellas que están indicadas

por su magnitud(un numero).Ejemplo:Longitud =30 mTemperatura =55ºcpeso = 50 kg

CANTIDADES VECTORIALES: Son aquellas que entran referidas a un eje referencial de coordenadas.

MAGNITUD: |F|=210 Kg

DIRECCION: θ Respecto a eje x.

SENTIDO: indicado por la cabeza de la flecha.

B. LEYES DE LA ESTATICA

LAS TRES LEYES DEL MOVIMIENTO DE NEWTON

Todo el tema de la mecánica del cuerpo rígido esta formulado con base en las tres leyes del movimiento de newton, cuya validez se basa en la observación experimental.

Estas leyes se aplican al movimiento de una partícula medido desde un marco de referencia no acelerado. Con relación a la figura (a), las leyes del movimiento de newton pueden ser enunciadas brevemente como sigue.

PRIMERA LEY: Una partícula originalmente en reposo, o que se mueve en línea recta con velocidad constante, permanecerá en este estado siempre que no esté sometida a una fuerza que no está balanceada.

F3

EQUILIBRIO

V

F F2

SEGUNDA LEY: Una partícula sobre la que actúa una fuerza desbalanceada F experimenta una aceleración a que tiene el mismo sentido que la fuerza y una magnitud que es directamente proporcional a la fuerza. Si F es aplicada a una partícula de masa m. Esta ley puede expresarse matemáticamente como:

F=ma

TERCERA LEY: También conocida como la ley de acción y reacción. La tercera ley de newton establece lo siguiente:”En una interacción surgen un par de fuerzas conocidas como fuerzas de acción y reacción, las cuales son de igual modulo, actúan sobre una misma línea recta (sobre una misma línea de acción) y presentan direcciones contrarias.

La validez de la tercera ley de newton no se restringe solo a cuerpos o sistemas en equilibrio, por lo contrario es válida en toda la interacción este o no el sistema en equilibrio.

MOVIMIENTO ACELERADO

F a

F F

FUERZA DE B SOBRE AACCION - REACCION

FUERZA DE A SOBRE B

LEY DE LA ATRACCION GRAVITATORIA DE NEWTON

Poco después de formular sus tres leyes del movimiento Newton postulo una ley que gobierna la atracción gravitatoria entre dos partículas cualesquiera. Enuncia matemáticamente resulta en:

F=G .m1.m 2

r 2

Donde:

F=Fuerzade atraccion gravitatoriaentre las dos particulas

G=Constanteuniversal de gravitacion ;de acuerdoconla eviden ciaexperimental ,G=66.73 (10−12) m3/(kg . s2)

m 1,m 2=Masa decada particula

r=Distanciaentre las dos particulas

De acuerdo con la ecuación, dos partículas o cuerpo cualesquiera tienen una fuerza (gravitatoria) de atracción mutua que actúa entre ellas. Sin embargo, en el caso de una particula localizada en o cerca de la superficie de la tierra, la única fuerza gravitatoria de cierta magnitud es aquella que esta entre la tierra y la particula. Por ello ,esta fuerza llamada peso será la única fuerza gravitatoria que consideremos en el estudio de la mecánica.

Y a partir de esta ecuación podemos desarrollar una expresión aproximada para encontrar el peso de W de una particula de masa m1= m. Si suponemos que la tierra es una esfera sin rotación de densidades constantes y una masa m2= Me , entonces , si r es la distancia del centro de la tierra y la particula tenemos :

W =G .m1. Me

r2

Haciendo g=G .Me

r2 resulta :

W =m. g

Por comparación con F= m.a denominamos a g a la aceleración debida a la gravedad. Como la aceleración depende de r ,puede verse que el peso de un cuerpo no es una cantidad absoluta, sino que su magnitud se determine desde donde es hecha la medición.

C. PRINCIPIOS BASICOS FUNDAMENTALES DE LA ESTATICA

EL PRINCIPIO DE TRANSMISIBILIDAD.

Establece que las condiciones de equilibrio o de movimiento de un cuerpo rígido permanecerán inalteradas si una fuerza que actúa en un punto del cuerpo rígido se sustituye por una fuerza de la misma magnitud y la misma dirección, pero que actue en un punto diferente, siempre que las dos fuerzas tengan la misma línea de acción

D. UBICACIÓN DE LA ESTÁTICA DENTRO DE LA MECÁNICA.

La mecánica puede ser definida como la rama de la física que trata acerca del estado de reposo o movimiento de cuerpos que están sometidos a la acción de fuerzas. En general, este tema se subdivide en tres ramas: mecánica de cuerpos rígidos, mecánica de cuerpos deformables y mecánica de fluidos. Además, la mecánica de cuerpos rígido proporciona parte de la base necesaria para el estudio de la mecánica de los cuerpos deformables y la mecánica de fluidos.

La mecánica de cuerpo rígido se divide en dos áreas: estática y dinámica. La estática trata sobre el equilibrio de los cuerpos, esto es, aquellos que están en reposo o se mueven con velocidad constante; mientras que la dinámica trata con el movimiento acelerado de los cuerpos. Aunque la estática puede ser considerada como un caso especial de la dinámica ,en el sentido de que la aceleración es cero ,merece un tratamiento especial en la enseñanza de la ingeniería ya que muchos objetos son diseñados con la intención de que permanezcan en equilibrio.

Y

A

2. ANALISIS VECTORIAL:

a)¿QUE ES UN VECTOR?

Se llama vector a todo segmento dirigido que tiene magnitud, dirección y sentido y que sirve para representar a las cantidades vectoriales. La magnitud o módulo viene a ser el tamaño propiamente dicho del vector.

La dirección viene a ser la recta que contiene al vector, y su sentido queda expresado por la orientación de la flecha.

Se acostumbra representar un vector por un segmento de recta.

Características que representa un vector:

a) Magnitud.- es un módulo o tamaño.

A = 5 u

Magnitud

b) Dirección.- La dirección da la línea de acción especificada por el ángulo, medido desde el eje horizontal hasta el vector.

βXO

B B

W (Peso)

W

c) Sentido.- Indicado por la cabeza de la flecha.

b)¿QUE ES UNA FUERZA?

Una fuerza es una acción mecánica ejercida por un cuerpo físico sobre otro. Es toda acción que tiende a alterar el estado de reposo de un acuerpo al cual se aplica.

- Presión atmosférica- Gas en recipiente- cuerpo sumergido- Fuerzas sísmicas- Fuerzas gravitatorias- Campo eléctricos- Fuerzas de rozamiento

A

Fuerza ejercida

ELEMENTOS COMPONENTES DE UNA FUERZA

Y 5

3

F=315Kg

α X

Línea de Acción

-Magnitud: |F| = 315kg ; 5Tn-Direccion:

cos α= 3

√34 α = arccos(

3

√34) α=¿59.04

-Linea de acción: Linea que contiene a la F donde su efecto es el mismo (es una RECTA)La línea de acción de una fuerza es la recta en el plano o en el espacio que pasa por su punto de aplicación y tiene la misma dirección que la fuerza a lo largo de la cual tiende a desplazarse.

COMPONENTES RECTANGULARES U ORTOGONALES DE UNA FUERZA.

Los sistemas de ejes coordenados son perpendiculares por lo tanto las componentes de la F son perpendiculares. Son aquellas que están expresadas por sus vectores unitarios i , j , k .

Z

Fz

k F Fy

j Y i

Fx F´=√FX2 +FY

2

DESCOMPOSICIÓN DE UNA FUERZA EN SUS COMPONENTES

Se ha visto que dos o más fuerzas que actúan sobre una partícula pueden sustituirse por una sola fuerza que produce el mismo efecto sobre la partícula. De la misma manera, una sola fuerza F que actúa sobre una partícula puede reemplazarse por dos o más fuerzas que produzcan juntas el mismo efecto sobre la partícula. A estas fuerzas se les llama componentes de la fuerza original F. y al proceso de sustituirlas en lugar de F se le llama descomposición de la fuerza F en sus componentes.En este sentido, para cada fuerza F existe un número infinito de conjuntos de componentes. Los conjuntos de dos componentes P y Q son los más importantes en cuanto a aplicaciones prácticas se refiere. Pero aun en este caso, el número de formas en las que una fuerza F puede descomponerse en sus componentes es ilimitado (figura 2.15). Dos casos son de especial interés:

Una de las dos componentes, P. se conoce. La segunda com-ponente, Q, se obtiene aplicando la regla del triángulo y uniendo la punta de P a la punta de F (figura 2.16); la magnitud, la dirección y el sentido de Q se determinan gráficamente o por trigonometría. Una vez que Q se ha determinado, ambas componentes P y Q deben aplicarse en A.

Se conoce la línea de acción de cada una de las componentes. La magnitud y el sentido de las componentes se obtiene al aplicar la ley del paralelogramo y trazando líneas, por la punta de F, paralelas a las líneas de acción dadas (figura 2.17). De esta forma se obtienen dos componentes bien definidas P y Q, que pueden determinarse gráficamente o por trigonometría aplicando la ley de los senos.

COMPONENTES RECTANGULARES DE UNA FUERZA

En muchos problemas será conveniente descomponer una fuerza en sus dos componentes perpendiculares entre sí. En la, la fuerza F se ha descompuesto en una componente FX a lo largo del eje .X y una componente FY a lo largo del eje Y. El paralelogramo trazado para obtener las dos componentes es un rectángulo, y las fuerzas FX y FY se llaman componentes rectangulares.

Los ejes x y y suelen elegirse a lo largo de las direcciones horizontal y vertical, respectivamente, como se muestra en la figura; sin embargo, pueden seleccionarse en cualesquiera otras dos direcciones perpendiculares, tal corno indica la. Para determinar las componentes rectangulares de una fuerza debe pensarse que las líneas de construcción mostradas en las figuras 2.18 y 2.19 son paralelas a los ejes x y y en lugar de perpendiculares a ellos. Esta práctica ayudará a evitar errores en la determinación de componentes oblicuas.

REPRESENTACION DEL VECTOR FUERZA EN EL ESPACIO:

En el espacio se utiliza tres ángulos denominados ángulos directores, para determinar la dirección del vector.

Los Cosenos Directores:

cos α= PxP

cos β= PyP

cos γ=PzP

Los Ángulos Directores:

α=Arc cos( Pxp )

β=Arc cos( PyP ),

γ=Arc cos (PzP )

Además hay una relación entre estos cosenos directores:

Cos2θx + Cos2θy +Cos2θz=1

EFECTO INTERNO Y EXTERNO DE UNA FUERZA

ESFUERZOS Y CONVENCIONES:

Las fuerzas exteriores (cargas y reacciones) producen en todo elemento estructural deformaciones que pueden provocar la falla del mismo. Internamente la estructura se debe oponer a esas deformaciones para estar en equilibrio. Son los esfuerzos internos y son de tres tipos:

MOMENTO FLECTOR (M)

Se produce en la viga una rotación en los apoyos por efecto de las fuerzas perpendiculares al eje de la viga (cargas y reacciones) originando una curvatura del eje longitudinal.Es el efecto de FLEXION que produce que las fibras superiores tiendan a acortarse (COMPRESION) y las inferiores a alargarse (TRACCION). A este efecto se le debe oponer un momento de giro interno de igual magnitud que el momento externo M para compensar.

ESFUERZO DE CORTE VERTICAL (Q)

Se produce un efecto de deslizamiento relativo entre las secciones debido a la diferencia entre las direcciones de las fuerzas (carga y reacción) que actúan en forma perpendicular al eje de la viga.

ESFUERZO DE CORTE HORIZONTAL

La deformación por flexión provoca desplazamientos de las fibras horizontales.

ESFUERZO AXIAL (N)

Se produce el efecto de alargamiento (TRACCION) o acortamiento (COMPRESION) de las fibras cuando las fuerzas que actúan son paralelas al eje del elemento estructural.

OPERACIONES CON FUERZAS EN AL PLANO Y EN EL ESPACIO

1.- OPERACIONES DE FUERZAS EN EL PLANO:

SUMA DE VECTORES

Los vectores se suman de acuerdo con la ley del paralelogramo y a partir de la ley del paralelogramo se puede obtener otro mé-todo para determinar la suma de dos vectores. Este método llamado regla del triangulo se obtiene como sigue: considérese la figura 2.6, donde la suma de los vectores P y Q ha sido determinada por la ley del paralelogramo. Puesto que el lado del paralelogramo opuesto a Q es igual a Q en magnitud y dirección, se podría dibujar sólo la mitad del paralelogramo (figura 2.7a). 2.1b se considera la otra mitad del paralelogramo y se obtiene el mismo resultado. Esto confirma el hecho de que la suma vectorial es conmutativa.

a). METODO GRAFICO:

METODO DEL TRIANGULO:

De esta manera, la suma de los dos vectores puede encontrarse colocando A y B de punta a cola // uniendo la cola de A con la punta de B. En la figura

C= A+ B

METODO DEL PARALELOGRAMO:

B

AC

θ

Con este método la suma de dos vectores A y B se obtiene uniendo los dos vectores al mismo punto y construyendo un paralelogramo que tenga por lados a A a B. La diagonal representa la suma vectorial de A y B, y se representa por A + B. El hecho de que el signo + se use para representar tanto la suma vectorial como la escalar no debe causar ninguna confusión, si las cantidades vectoriales y escalares siempre se distinguen con cuidado. De esta manera, se debe notar que la magnitud del vector A + B no es, en general, igual a la suma A + B de las magnitudes de los vectores A y B.Puesto que el paralelogramo construido con los vectores A v B no depende del orden en que A y B se seleccionen, se concluye que la adición de dos vectores es conmutativa, y se escribe

A + B = A + B

MÓDULO:

LEY DE COSENOS:

R=√A2+B2+2 ABCos θ

LEY DE SENOS:

RSenα

= BSen β

= ASenγ

b . METODO ANALITICO (VECTORIALMENTE)

Sean los vectores

A=A X i+AY j

B=BX i+BY j

La suma se define como:

A+ B= ( A X+BX ) i+( AY+BY ) j

RESTA DE VECTORES

La resta de un vector se define como la adición del vector negativo correspondiente. De manera que el vector A - B que representa la diferencia de los vectores A y B se obtiene agregándole a B el vector negativo -B. Se escribe

A - B= A+ (-B)

Aquí se debe observar otra vez que aunque se usa el mismo signo para representar tanto la sustracción vectorial como la escalar, se evitarán confusiones si se tiene cuidado en distinguir entre cantidades vectoriales y escalares.

METODO GRÁFICO Sean los vectores A y B

Cambiando el sentido del vector B

A+(−B )= A−B

MÉTODO ANALÍTICO (vectorialmente) Sean los vectores:

A=A X i+AY j

B=BX i+BY j

La resta se define como:

A−B=( AX−BX ) i+( AY−BY ) j

Del mismo modo se considerará la suma de tres o más vectores. Por ejemplo la suma de tres vectores P. Q y S se obtendrá por definición. Sumando primero los vectores P y Q y agregando el vector S al vector P + Q. De manera que P + Q + S = (P + Q) + S. En forma semejante, la suma de cuatro vectores se obtiene agregando el cuarto vector a la suma de los tres primeros. Por consiguiente, la suma de cualquier número de vectores se puede obtener al aplicar en forma repetida la ley del paralelogramo a pares sucesivos de vectores, hasta que todos los vectores sean sustituidos por uno solo.

En forma breve,RX = ∑F, RY = ∑FY

AB

-B

A

Por tanto, se puede concluir que las componentes escalares RX y RY de la resultante R de varias fuerzas que actúan sobre una partícula se obtienen separando de manera algebraica las correspondientes componentes escalares de las fuerzas dadas.

PRODUCTO ESCALAR:

Como es conveniente representar la suma P + P como 2P. A la suma P + P + P como 3P, y en general a la suma de n vectores P iguales como el producto nP. Se definirá el producto nP de un entero positivo n y un vector P. como un vector que tiene la misma dirección que P y magnitud nP (léase n veces P), se define el producto kP de un escalar k y un vector P como un vector que tiene la misma dirección y sentido que P (si k es positivo), o la misma dirección pero sentido opuesto al de P (si k es negativo) y una magnitud igual al producto de P y el valor absoluto de k.

El producto escalar de dos vectores da como resultado un ESCALAR.

A . B=A .BCos θ

Donde:

θ=angulo que formanlos vectores A y B

Propiedades:

1. A . B=B . A

2. A . (B+ C )=A . B+ A . C (Propiedaddistributiva)3. A . B=0 (condicionde ortogonalidad )

Restricciones:

i . i=1 j . k=0

i . j=0 k . i=0

i . k=0 k . j=0

j . i=0 k . k=1

j . j=1

Ejemplo:

Sean los vectores:

A=A X i+AY j

B=BX i+BY j

El producto escalar se expresa de la siguiente manera:

A . B=( AX i+ AY j ) .(BX i+BY j)

A . B=AX . BX+ AY .BY

ADICIÓN DE FUERZAS CONCURRENTES EN EL ESPACIO

La resultante R de dos o más fuerzas en el espacio se calcula sumando sus componentes rectangulares. Los métodos gráficos o trigonométricos no son muy prácticos en el caso de fuerzas en el espacio.

El método seguido aquí es semejante al empleado con fuerzas coplanares. Se establece que

R = ∑FSe descompone cada fuerza en sus componentes rectangulares y se escribe

RX i + RY j + RZ k = ∑(FX i + FY j + FZ k)= (∑FX )i + (∑FY )j +(∑FZ)k

De la cual se desprende que:

RX =∑FX RY =∑FY RZ =∑FZ

La magnitud de la resultante y los ángulos directores se obtiene por:

√RX2+RY

2+RZ2

cosθX=RX

R cosθY=

RY

Rcos θZ=

RZ

R

PRODUCTO VECTORIAL

El Producto vectorial de dos vectores da como resultado un tercer vector, cuya dirección es perpendicular al plano determinado ambos vectores, el sentido es el que proporciona la regla del tornillo (regla de la mano derecha). Es decir el primer vector gira sobre el segundo.

El tercer vector se obtiene con la siguiente expresión

A x B=AB Senθ U

Donde

θ = Angulo que forman los vectores A y B

U = tiene la msima dirección y sentido que (A x B)

Propiedades

1) A x B=−( B x A)

2) A x ( B+C )= A x B+ A x C (Propiedaddistributiva)

3) A x B=0(Condicion de paralelismo)

4) A . (B x C )=C . ( A x B )=B ,(C x A)

RESTRICCIONES

Î x Î=0 Î x ĵ=k

Î x k=-ĵ Ĵ x î=-k

Ĵ x ĵ=0 ĵ x k= î

K x î= ĵ k x ĵ= -î

K x k= 0

Sean los vectores

A= Axî + Ayĵ + Azk y B= Bxî + Byĵ + Bzk

El producto vectorial se expresa mediante la determinante:

AxB=| î ĵ kAx A y A z

Bx By B z| = (A y Bz−A zB y

)î – (Ax B z−A z Bx) ĵ + (Ax By−A y Bx)k

SIGNIFICADO GEOMETRICO

El modulo del producto vectorial |AxB| equivale al área del paralelogramo definido por ambos vectores.

Área del plano

A = |A x B|

Área del triangulo

A = 12|A x B|

TRIPLE PRODUCTO ESCALAR

El trile producto escalar llamado producto mixto

A ⋅( B ×C )=|Ax A y A z

Bx B y B z

C x C y C z|

Sirve para hallar el volumen definido por las aristas del paralelepípedo:

Vol = |A ⋅(B × C)|

PROPIEDADES

1) A . (B x C )=C . ( A x B )=B .(C x A)

2) La condición necesaria y suficiente para que tres vectores sean paralelos a un mismo plano es que el producto triple escalar será nulo.

TRILE PRODUCTO VECTORIAL

El triple producto vectorial se define de la siguiente manera:

A x ( B x C )= ( A .C ) . B−( A . B ) . C

4. EQUILIBRIO DE UNA PARTÍCULA EQUILIBRIO DE UNA PARTÍCULA EN

EL PLANO

Si la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre una partícula es cero, la partícula se encuentra en equilibrio.Una partícula sometida a la acción de dos fuerzas estará en equilibrio si ambas fuerzas tienen la misma magnitud, la misma línea de acción, pero sentidos opuestos. Entonces la resultante de las dos fuerzas es cero.

100N

A

100N

Otro caso de una partícula en equilibrio se muestra en la siguiente figura donde aparecen cuatro fuerzas que actúan sobre A

F4=400N

30

F1=300N

A

30

F3=200NF2=173.2N

La resultante de las fuerzas dadas se determina por la regla del polígono. Empezando en el punto O con F1 y acomodando las fuerzas punta a cola, se encuentra que la punta de F4 coincide con el punto

de partida O. así que la resultante R del sistema de fuerzas dado es cero v la partícula está en equilibrio.

O F1

F2

F4

F3

EQUILIBRIO DE UNA PARTICULA EN EL ESPACIO

Una partícula A está en equilibrio si la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre A es cero. Las componentes Rx, Ry y Rz de la resultante están dadas por las relaciones

RX=∑ FX RY=∑ FY RZ=∑ FZ

al expresar que las componentes de la resultante son cero, se escribe

∑ FX = 0

∑ FY = 0

∑ FZ = 0 …… (II)

Las ecuaciones dadas representan las condiciones necesarias y sufi-cientes para lograr el equilibrio de una partícula en el espacio. Estas ecuaciones pueden usarse para resolver problemas que tratan con el equilibrio de una partícula y en los que intervienen no más de tres in-cógnitas.Para resolver tales problemas, se traza un diagrama de cuerpo libre donde se muestre a la partícula en equilibrio y todas las fuerzas que actúan sobre ella. Deben escribirse las ecuaciones de equilibrio (II) y despejar las tres incógnitas. En los tipos de problemas más comunes, esas incógnitas representan 1) las tres componentes de una sola fuerza o 2) la magnitud de tres fuerzas, cada una con dirección cono-cida.

5. MOMENTO DE UNA FUERZA RESPECTO A UN PUNTO Y A UN EJE.

MOMENTO DE UNA FUERZA RESPECTO A UN PUNTO

DEFINICION: es un vector M cuya magnitud es igual al producto de la magnitud de la fuerza por la distancia “d” perpendicular comprendida desde el centro de momentos “O” hasta la línea de acción de la fuerza F.

M

F

Centro del M

A

d

Plano Q

Línea de acción de

MODULO: es la expresión escalar de M .

M=F∗d

D: distancia perpendicular desde el centro de momentos a la línea de acción F.

El efecto de momento de una fuerza es una medida de la tendencia de la fuerza para producir una rotación o giro alrededor de un punto fijo al cuerpo sobre el que actúa.

DIRECCION: la dirección de M será especificado usando la “regla dela mano derecha”

M=F∗d∗en

en: Vector unitario perpendicular al plano formado

entre le centro del momento y la fuerza F.

EXPRESION VECTORIAL DE M

o

F r d

α α

senα=dr

d=rsenα

M=Fd=F (rsenα )

M=|r||F|senα=r∗F

M=r∗F

r=rx i+r y y +r z k

F=F x i+F y y+F z k

M=r∗F=| i j kr x r y rz

Fx F y F z|=(r y F z−r z F y ) i−(r x FZ−r Z Fx ) j+(r x F y−r z F x) k

M=( r y F z−r z F y ) i−(r x FZ−r Z F x) j+(r x F y−r z F x) k ……………(1)

M=M x i+M y j+M z k …………. (2)

SE IGUALA (1) Y (2)

(r y F z−rz F y ) i−(r x FZ−r Z F x ) j+(r x F y−r z F x ) k = M i+M y j+M z k

M x=r y F z−r z F y …………...(a)

M y=r z Fx−r x F z ……………(b)

M z=r x F y−r y Fx ……………(c)

LAS ECUACIONES (a), (b) y (c) SON LAS COMPONENTES ESCALARES DEL

VECTOR M RESPECTO AL PUNTO “O”

MOMENTO DE UNA FUERZA RESPECTO A UN EJE

Consiste en analizar el efecto giratorio o rotacional respecto a un eje L de la componente de la fuerza que es perpendicular a dicho eje y vienen dado por la expresión:

M L=(MO eL) eL

MO : Momento de F respecto a O ; punto del eje

eL : Vector unitario del eje L

F

Eje fijo L eL F F

A

O

Plano Q

El momento de una fuerza F respecto a un punto L, está definido como el momento de la proyección de la fuerza sobre cualquier plano

perpendicular al eje respecto al punto de intersección del plano con el eje.

6. TEOREMA DE VARIGNON

TEOREMA DE VARIGNON RESPECTO A UN PUNTO

Es aplicable cuando tenemos un sistema de fuerzas concurrentes

“El momento de la resultante de un sistema de fuerzas concurrentes respecto a un punto cualquiera A, es igual a la suma de los momentos respecto al mismo punto A”

r :Vector posición desde el pto.A

(centro de momentos) hasta el pto.P

( pto. concurrencia)

z Fn F1

y R

x r P

F2

F3

R=F1+F2+F3+…+FN

M A=r x R=r x (F1+ F2+F3+…+FN )

M A=r x F1+r x F2+r x F3+…+r x Fn

M A=r x R=∑i=1

n

¿¿

TEOREMA DE VARIGNON RESPECTO A UN EJE

La suma algebraica de los momentos de cualquier sistema de fuerzas concurrentes respecto a un eje es igual al momento de la resultante respecto al mismo eje L

e L Fn F1

R

r P

F2

Eje L F3

M L=(MO . eL)e L

M L=[ (r x F ) eL ]eL

F=F1+F2+F3+…+F N

M L=∑i=1

n

¿¿

EJERCICIOSEjercicio 1:

La puerta batiente se mantiene en la posición mostrada en la figura, por medio de dos cables AB y AC y, además, por las bisagras mostradas. Si las tensiones en los cables son

T1 =30lb y T2 = 90lb . Determinar:

a) La magnitud de la fuerza resultanteb) El momento de la fuerza tensional

T1 respecto al punto C

Solución:

a) Determinamos las coordenadas de los puntos A, B y C, de acuerdo a la figura 1.27

A (2; 0; 4)

B (5; 2,819; 1,026)

C (0; 2,819; 1,026)

:

Ejemplo2:

Calcular el momento de la fuerza F=2 i+3 j−k lb aplicada en el punto (3, 1, 1) respecto a la recta definida por los puntos (2, 5, -2)y (3, -1, 1).las coordenadas están en pies.

SOLUCION:

el brazo del momento respecto a r puede encontrarse a partir de cualquier punto de la recta de acción de la fuerza. Si elegimos el punto (2, 5, -2), tenemos el vector r=i−4 j−3k . El momento M respecto a ese punto es:

M=rxF=i j k1 −4 32 3 −1

=−5 i+7 j+11k

Por consiguiente:

eL=[ (3−2 )i+(−1−5 ) j+ (1+2 ) k ]

√12+(−6)2+32=i+6 j+3k

√46

Por tanto , el momento de F respecto a la recta es:

M L=M .eL= (−5i+7 j+11 k ) . i−6 j+3 k

√46=−5−42+33

√46=−14

√46=−2.06 lb . ft

Si el brazo del momento se calcula a partor del punto (3, -1, 1), es r=2j. El momento M vale:

M=rxF=i j k0 2 02 3 −1

=−2i−4k

Por tanto ,el momento de M respecto a la recta dada es :

M .eL=(−2i+0 j−4 k ) . i−6 j+3k

√46=−2−12

√46=−14

√46=−2.06 lb . ft

Ejemplo3:

Tres fuerzas de igual magnitud actúan sobre un cubo de lado A. hallar el momento con respecto al origen

Solución:

Calculo de al origen:

Aplicando el teorema de Varingon:

MO = ∑1

3

M i

M1 = r1 x F1 = i j k0 0 100 10 0

= -100i

M2 = r2 x F2 = i j k

10 10 00 0 10

= 100i - 100 j

M3 = r3 x F3 = i j k0 10 0

7.07 0 7.71 = 70.71i – 70.71k

MO = (-100 + 100 + 70.71)i + (-100) j + (-70.71)kMO = 70.71 – 100 – 70.71