estatica 0-1 .vectores. sistemas equivalentes. ecuaciones equilibrio_13_14

Mecánica

1. Estática 2. Cinemática 3. Geometría de masas 4. Dinámica 5. Teoría de máquinas

CONTENIDOS EXÁMEN

26 de noviembre

Cada tema tiene: - lecciones de teoría - clases de problemas - 1 práctica (2h) - Problema(s) de meta o auto-evaluación

22 de enero

Calificación

(1) Exámen primera parte. Nota ≥ 4 para promediar (2) Exámen segunda parte. Nota ≥ 4 para promediar (3) Prácticas. Se requiere nota ≥ 5 para aprobar

Si se supera la asignatura, la nota final se calcula mediante la siguiente fórmula:

Promedio 5 para aprobar

( ) 2.0)3(8.02

)2()1(×+×

+= NotaNotaNotafinalNota

Recursos

BIBLIOGRAFÍA PRINCIPAL * Mecánica vectorial para ingenieros: estática, dinámica Beer, Johnston, Mazurek, Eisenberg

1. Apuntes de los profesores 2. Problemas propuestos 3. Problemas resueltos 4. Problemas de auto o meta-evaluación 5. Foro de dudas

TUTORÍAS: Los profesores están disponibles para atender dudas. Las citas se solicitan con antelación a su profesor.

BIBLIOGRAFÍA ADICIONAL * Ingeniería mecánica: estática, dinámica. Riley, Sturges. * Curso de mecánica. Bastero, Casellas, Bastero.

* Mecánica del punto y del sólido rígido. Agulló. * Mecánica clásica. Kibble. * Física. Alonso, Finn.

Tema 1: Estática

1.1. Magnitudes escalares y vectoriales 1.2. Repaso de álgebra vectorial

1.7. Rozamiento 1.8. Aplicaciones del rozamiento. Cuñas 1.9. Aplicaciones del rozamiento. Bandas

1.3. Fuerzas y Momentos equivalentes 1.4. Ecuaciones de equilibrio 1.5. Casos de cuerpos sujetos a 2 y 3 fuerzas

1.6. Peso. Cálculo del centro de masas

Magnitudes físicas en mecánica

Fuerza Velocidad Momento angular Posición Aceleración Momento lineal Momento de una fuerza, torque, par

masa Longitud tiempo Volumen trabajo presión Superficie Potencia Energía

Magnitudes escalares Magnitudes vectoriales

Quedan determinadas por: • un valor numérico y • las unidades en las que está expresado

Quedan determinadas por: • módulo (valor numérico y unidades) • dirección (línea de acción) • sentido

1. Estática 1.1. Magnitudes escalares y vectoriales

Magnitudes físicas en mecánica

A la hora de dar el Valor numérico con el que se especifican tanto magnitudes escalares como el módulo de magnitudes vectoriales hay que tener muy en cuenta la precisión de dicho valor, que depende de:

1) La precisión de la medida, si se trata de un dato 2) La precisión de los cálculos realizados a partir de los datos

La solución numérica de un problema no puede ser más precisa que el menos preciso de los puntos anteriores. Hoy en día con el uso de calculadoras, la precisión del resultado está generalmente limitada por la precisión de los datos

Los datos de un problema rara vez son conocidos con una precisión mayor que el 0.2%. Por eso la solución no puede tener más de esta precisión. Basándonos en esto, daremos las soluciones que empiecen por 1 con una precisión de 4 dígitos y con 3 dígitos en cualquier otro caso

Ejemplos: 40.2 N y 15.58 N ó 1556 m y 37.4 m

Error: 0.1/40.2 = 0.0025 (0.25%) y 0.01/15.58 = 0.0006 (0.06%)


Magnitudes físicas en mecánica 1. Estática

1.1. Magnitudes escalares y vectoriales

Unidades

Sistema internacional (SI)

Magnitudes vectoriales Diferentes formas de expresar vectores

34.6 N 20.0º

• módulo • dirección • sentido

Flecha

Componentes vectoriales

Coordenadas referidas a una base de vectores unitarios

Muchas veces, en el libro, las soluciones están expresadas de esta forma:

FxFz

FyQPF

+=zyx FFFF

++=

=

z

y

x

FFF

F

Componentes en direcciones arbitrarias Componentes ortogonales

222zyx FFFF ++=


Magnitudes vectoriales

•módulo •cosenos directores

zz

yy

xx

FFFFFF

θ

θθ

cos

coscos

=

==

Los cosenos directores son los cosenos de los ángulos formados por el vector con los ejes coordenados

ó • módulo • dos puntos en la dirección del vector (M,N)

• módulo • vector unitario ( ) λ


Operaciones básicas 1. Estática

1.2. Álgebra vectorial

SUMA

Propiedades: conmutativa asociativa

kpjpipP zyx

++=

kqjqiqQ zyx

++=

( ) ( ) ( )kqpjqpiqpQP zzyyxx

+++++=+

Por componentes:

( ) ( )SQPSQPSQP

++=++=++

PQQP

+=+

Gráficamente:

Operaciones básicas

Resta

( ) ( ) ( )kqpjqpiqpQP zzyyxx

−+−+−=−

Multiplicación por un escalar

PPP

2=+

kapjapiapPa zyx

++=

kpjpipP zyx

−−−=−

1. Estática 1.2. Álgebra vectorial

P

− : vector igual a pero con distinto sentido P

Por componentes:

En general:

Geométricamente: Por componentes:

Producto escalar

Ejemplo: El trabajo se define como el producto escalar de la fuerza por el desplazamiento

escalarvectorvector =·

Por componentes: Definición:

θcos· PQQP =

Este producto de dos vectores da como resultado un escalar

zzyyxx qpqpqpQP ++=

·

Caso particular: El producto escalar de dos vectores es cero si éstos son perpendiculares

Propiedades: conmutativo distributivo no asociativo

PQQP

·· = ( ) 2121 ··· QPQPQQP

+=+


( ) ( )SQPSQP

···· ≠

Producto vectorial

vectorvectorvector =×

Por componentes: Definición:

VQP

=×

Este producto de dos vectores da como resultado un vector

( ) ( ) ( )kqpqpjqpqpiqpqpQP xyyxzxxzyzzy

−+−+−=×

θPQsenV =• módulo

• dirección: perpendicular al plano formado por • sentido: regla de la mano derecha

zyx

zyx

qqqpppkji

VQP

==×

yxzyx

yxzyx

qqqqqpppppjikji

kqqpp

jqqpp

iqqpp

QPyx

yx

zx

zx

zy

zy +−=×

Adjuntos:

Determinante:


QyP

Producto vectorial Propiedades:

no conmutativo distributivo PQQP

×≠× ( ) 2121 QPQPQQP

×+×=+×, es más, PQQP

×−=×

no asociativo

( ) ( )SQPSQP

××≠××


Ejemplo: El momento de una fuerza respecto a un punto O se define como el producto vectorial del vector de posición del punto de aplicación de la fuerza por la propia fuerza

Caso particular: El producto vectorial de dos vectores es cero si éstos son paralelos

O

1r

1F

kFdFrFrM O

=×=×= 2211

d

O

2r

2F

d

El momento de dos fuerzas en la misma línea de acción no depende del punto de aplicación

Producto vectorial 1. Estática

1.2. Álgebra vectorial

Ejemplos de aplicación 1) Calcular el momento de la fuerza de 100 N con respecto al punto O

b) Calcular el momento con respecto al punto A de la fuerza que realiza el alambre sobre la placa de la figura. La tensión en el alambre es 200 N

N cm

r

kmNkji

FrM O ·1201000021.012.0 −=

−=×=

jmimjmsenimr 21.012.0º6024.0º60cos24.0 +=+=

La distancia perpendicular desde O a la línea de acción de la fuerza es d, la magnitud del momento será F·d. Aplicando la regla de la mano derecha, la dirección del momento es el eje z en sentido negativo. Si hacemos el cálculo con las componentes de los vectores:

r

( ) ( )kir m 08.0m 3.0 +=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )kji

kjiCDCDFF

N 128N 69N 120m 5.0

m 32.0m 0.24m 3.0N 200N 200

−+−=

=−+−

=== λ

( ) ( ) ( )kjikji

FrM A

mN 8.82mN 8.82mN 68.7

1289612008.003.0 ⋅+⋅+⋅−=

−−=×=

Sólido rígido 1. Estática

1.3. Fuerzas y momentos equivalentes

La mecánica es la ciencia que describe y predice las condiciones de reposo o movimento de cuerpos bajo la acción de fuerzas

• Varias disciplinas: - Mecánica del sólido rígido - Mecánica de sólidos deformables - Mecánica de fluidos

Se basa en 1) Leyes de Newton

A) LEY del PARALELOGRAMO. Si dos fuerzas actúan sobre una partícula, su efecto es el mismo que el que tendría otra fuerza (resultante) obtenida mediante la regla de adición vectorial de las fuerzas originales.

B) PRINCIPIO DE TRANSMISIBILIDAD. Las condiciones de equilibrio o movimiento de un sólido rígido permanecerán inalteradas si una fuerza que actúa sobre un punto del sólido se sustituye por otra del mismo módulo, línea de acción y sentido pero que actúe en un punto diferente.

2) Ley de gravitación universal

Ppio de transmisibilidad 1. Estática


¿Qué significa? Que las fuerzas F y F’ son equivalentes, es decir, las condiciones de equilibrio o movimiento no se alteran por ‘transmitir’ una fuerza a lo largo de su línea de acción. O sea, Las fuerzas son vectores ‘deslizantes’

Ppio de transmisibilidad 1. Estática


¿Qué significa? Que las fuerzas F y F’ son equivalentes, es decir, las condiciones de equilibrio o movimiento no se alteran por ‘transmitir’ una fuerza a lo largo de su línea de acción. O sea, Las fuerzas son vectores ‘deslizantes’

Usaremos este principio para reemplazar un sistema de fuerzas por otro más simple

Momento (torque) y par 1. Estática


FrM O

×=

Momento de una fuerza con respecto a un punto

Par de fuerzas: Dos fuerzas de la misma magnitud, distinto sentido y líneas de acción paralelas

( ) ( )FdrFM

FrFrrFrFrM BABA

==×=×−=−×+×=

θsin

El momento de un par de fuerzas es independiente del punto con respecto al que se calcule. O sea, Es un vector ‘libre’, no depende del punto de aplicación

El vector fuerza se define por su magnitud y dirección, además, su efecto sobre el sólido rígido depende de su punto de aplicación.

Sist. equivalentes Fuerza-par 1. Estática


Descomposición de una fuerza, en una fuerza aplicada en O y un par

FM O

⊥

FrM O

×=

Cualquier fuerza F que actúe sobre un cuerpo rígido puede ser trasladada a un punto arbitrario O siempre y cuando se agregue un par cuyo momento sea igual al momento de F con respecto a O

A la inversa, un sistema fuerza-par en el que se puede reemplazar por una sola fuerza equivalente

Ejemplo Encontrar la fuerza aplicada sobre la palanca equivalente a la fuerza-par dados

( ) kNBCFBCkmN

)400(º60cos)(·24 −=×=− mBC 06.0º60cos)( = mmBC 120=

mmmmmmBCOBOC 420120300 =+=+=

=

1. Estática 1.3. Fuerzas y momentos equivalentes

Reducción de un sistema de fuerzas a un sistema de fuerza-par

Sistemas equivalentes de fuerzas: son los que se pueden reducir al mismo sistema fuerza-par

Un sistema de fuerzas se puede reemplazar por un conjunto de fuerzas y pares aplicados en un cierto punto O

( )∑∑ ×== FrMFR RO

Las fuerzas y pares se pueden sumar vectorialmente para dar una fuerza y par resultante:

RsMM RO

RO

×+='

El sistema fuerza-par resultantes en O se puede mover a otro punto O’ si sumamos al par resultante el momento de R con respecto a O’:

Sist. equivalentes Fuerza-par

Condiciones de equilibrio 1. Estática

1.4 Condiciones de equilibrio

Condiciones de equilibrio:

∑ = 0extF ( )∑ ∑ =×= 0, extextO FrM

∑∑∑

=

=

=

0

0

0

,

,

,

extz

exty

extx

F

F

F

∑∑∑

=

=

=

0

0

0

,

,

,

extz

exty

extx

M

M

M

La estática es la parte de la mecánica que estudia el equilibrio: no hay movimiento, ni traslación ni rotación

• Aplicaciones: - Construcción (cálculo de estructuras) - Diseño mecánico (resistencia de materiales, elasticidad,…)

• Primer paso en el análisis del equilibrio es la identificación de las fuerzas en el llamado diagrama de cuerpo libre

• Incluir las dimensiones necesarias para calcular los momentos de las fuerzas.

• Indicar todas las fuerzas externas que actúan sobre el sistema con su magnitud, dirección y punto de aplicación, incluyendo el peso. Sustituir todas las interacciones con el entorno por fuerzas en el diagrama

• Elegir y hacer un croquis del cuerpo o sistema de estudio. Aislarlo del exterior

Ejemplo Metodología

Diagrama de cuerpo libre 1. Estática


• Hay fuerzas como el peso y otras fuerzas conocidas aplicadas sobre el sistema cuya magnitud es fácil de indicar en el diagrama

• Otras son desconocidas, su magnitud, dirección y sentido dependen de la configuración del sistema. Generalmente son las reacciones que el suelo y/u otros cuerpos que “sujetan”, se oponen a un posible movimiento del sistema

Fuerzas de reacción: Se realizan en los puntos de apoyo o enlace a otros cuerpos. Se desconocen a priori, se obtienen de las ecuaciones de equilibrio

Diagrama de cuerpo libre 1. Estática


• Para obtener las fuerzas que se ejercen sobre el cuerpo “libre” por los apoyos y enlaces uno imagina qué pasaría con el cuerpo si esa reacción no estuviera

Reacciones en apoyos y enlaces 1. Estática


T T

HILOS O CUERDAS

Transmiten la tensión de tracción, no de compresión ni flexión

POLEAS Si no existe rozamiento, las

poleas sólo cambian la dirección de las fuerzas

T T

T T



Reacciones equivalentes a una fuerza con dirección conocida

2 Dimensiones 3 Dimensiones

Rodillos o patines Balancín Superficie sin

fricción

Cable corto Eslabón corto

Collarín sin fricción

Perno sin fricción en ranura

Apoyo esférico Superficie sin fricción Cable



¿Qué dirección tienen estos apoyos?

Reacciones equivalentes a una fuerza con dirección desconocida

2 Dimensiones

3 Dimensiones

Rodillos sobre superficie rugosa Rueda sobre riel

Articulación

Superficie rugosa

Superficie rugosa Rótula (bola y cuenca)



Reacciones equivalentes a una fuerza y un momento (par) con dirección desconocida.

2 Dimensiones

3 Dimensiones

Apoyo fijo, empotramiento

Apoyo fijo, empotramiento



T T

2T

∑ = 0yF

∑∑∑

=

=

=

0

0

0

z

y

x

M

M

M

∑∑∑

=

=

=

0

0

0

z

y

x

F

F

F

α

T

T

R

∑ = 0F

T T R

∑ = 0OM

Para pensar: ¿Cuál es la reacción del soporte en la polea de la derecha?

Reacciones en poleas 1. Estática




Ejemplo: Cuerpo sujeto a dos fuerzas

• Para que haya equilibrio las dos fuerzas han de tener la misma línea de acción (no vale con direcciones paralelas), igual magnitud, sentido opuesto

• Condiciones de equilibrio:

∑ = 0extF ( )∑ ∑ =×= 0, extextO FrM



Ejemplo: Cuerpo sujeto a tres fuerzas

• Para que haya equilibrio, las líneas de acción de las tres fuerzas deben intersectar en un punto

T

T

R

• Equilibrio mg

G

R1

R2

• No hay equilibrio porque las fuerzas no son concurrentes

Haría falta otra fuerza para conseguir el equilibrio. Por ejemplo una fuerza de rozamiento

estatica 0-1 .vectores. sistemas equivalentes. ecuaciones equilibrio_13_14

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