UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER.MAESTRA EN GEOTECNIA

ACTIVIDAD INVESTIGATIVA ESTADOS PLANOS DE TENSIONES YDEFORMACIONES.

MODELACIN GEOTECNICA II.

FABIAN ANDRES JARABA GONZALEZINGENIERO CIVIL

BUCARAMANGA, SANTANDER, NOVIEMBRE DE 2014.

TENSIONES PLANAS: En el caso de que una y solamente una de las tensionesprincipales sea cero, se dice que existe un estado de tensin plano. Tal estado se da enun punto sin carga de una superficie libre que limita a un cuerpo. La geometra delcuerpo es esencialmente la de una lmina con una dimensin mucho mas pequea quelas otras dos, las cargas se aplican uniformemente sobre el espesor de la lmina yactan en el plano de la misma, tal como se observa en la figura 1.

Figura 1. representacin estado de tensin plana.

La matriz constitutiva en el caso de elasticidad bidimensional con hiptesis de tensinplana es:

con d11=d22=E

12; d12=d21=d11 ; d33=

E2(1+)

Realizando operaciones algebraicas y escribiendo todo en forma tensorial tenemos:

CEPT= E1 2 [ 1 0 1 00 0 12 ]

DEFORMACIONES PLANAS: Cuando solamente una de las deformaciones principalesen un punto de un medio continuo es cero, se dice que existe un estado de deformacinplana en aquel punto. La geometra del cuerpo es esencialmente la de un cilindroprismtico con una dimensin mucho mas grande que las otras dos. Las cargas estn

X3

X2 X2

X1

0

D= 00 0

d11 d12d21 d22

d33

uniformemente distribuidas con respecto a la dimensin mayor y actanperpendicularmente a ella, tal como se observa en la figura 2.

Figura 2. representacin estado de deformacin plana.

La matriz constitutiva en el caso de elasticidad bidimensional con hiptesis dedeformacin plana es:

con d11=d22=E(1)

(1+)(12); d12=d21=

1

d11 ; d33=E

2(1+)

Realizando operaciones algebraicas y escribiendo todo en forma tensorial tenemos:

CEDT= E (1)(1+)(12) [ 1

1

0

11 0

0 0 122(1)

]

X3

X1

X2

0

D= 00 0

d11 d12d21 d22

d33

Si se quiere que las matrices anteriores sean equivalentes, y poder expresar una matrizen funcin de la otra es necesario realizar las siguientes transformaciones:

= E1

; = 1

Realizando las respectivas sustituciones del caso y realizando transformacionesalgebraicas, se tiene:

CEQV=

1 2 [1 0 1 00 0 12

]Por lo tanto;

[ xx yyxy ]=

1 2 [1 0 1 00 0 12

][ xxyyxy ]Si remplazamos los trminos ; por su equivalente tenemos:

1 2 [1 0 1 00 0 12 ]

E(1)

(1 2

(1) 2 ) [1

10

1 1 0

0 01( 1 )

2]

E(1)(12 2 ) [

1 1

0

11 0

0 0 122 (1)

] E (1)(1+)(12) [1

10

1

1 0

0 0 122 (1)

]