Estadística descriptiva

MatemáticaGUICAAMTGEA05019V2

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Marco teóricoDEFINICIONES BÁSICAS

Estadística. Análisis de datos.

Población estadística. Todo el conjunto sobre el cual se aplican las conclusiones de la estadística.

Muestra estadística. Subconjunto de la población al cual se le toman los datos. Si la población no es muy grande, podrían ser iguales.

Variable estadística. Dato que se va a analizar. Puede ser del tipo:

• Cualitativa o nominal. Corresponde a nombres o cualidades: preferencia electoral, color de pelo.

• Cuantitativa discreta. Corresponde a números enteros, que no se pueden fraccionar: cantidad de hijos, cantidad de alumnos de los cursos

• Cuantitativa continua. Corresponde a números reales, que se pueden fraccionar: peso, estatura.

DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS DE DATOS NO AGRUPADOS

Datos no agrupados. Los valores de los datos se consideran en forma individual.

Frecuencia. Cantidad de veces que aparece un dato dentro de la muestra.

N: número total de datos que tiene la muestra (se obtiene sumando todas la frecuencias)

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TABLA DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIASDE DATOS NO AGRUPADOS

Dato Frecuencia Frecuencia acumulada Frecuencia relativa

x1 f1 f1

f1

N · 100%

x2 f2 f1 + f2

f2

N · 100%

x3 f3 f1 + f2 + f3

f3

N · 100%

......

......

xn fn f1 + f2 + f3 + ... + fn fn

N · 100%

GRÁFICO DE BARRAS

La frecuencia de cada dato aparece repre-sentada mediante la altura de una barra.

GRÁFICO CIRCULAR

La frecuencia relativa de cada dato aparece representada mediante un sector circular proporcional a su valor.

fi

xi

Frecuencia

Dato

x1

x2

x3

xn

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DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS DE DATOS AGRUPADOS

Datos agrupados. Los valores de los datos se consideran dentro de intervalos.

Clase. Corresponde a un intervalo.

Marca de clase. Corresponde al promedio entre los extremos de un intervalo.

TABLA DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS DE DATOS AGRUPADOS

Dato Marca de clase Frecuencia Frecuencia acumulada Frecuancia relativa

C1 a1 f1 f1

f1

N · 100%

C2 a2 f2 f1 + f2

f2

N · 100%

C3 a3 f3 f1 + f2 + f3

f3

N · 100%

......

......

...

Cn an fn f1 + f2 + f3 + ... + fn fn

N · 100%

HISTOGRAMA

La frecuencia de cada clase aparece representada mediante la altura de una barra. En el eje horizontal se representa el inicio y final de cada intervalo o la marca de clase.

fi

Ci

Frecuencia

Clase

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MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Moda. Corresponde al dato que más se repite, es decir, que tiene la mayor frecuencia.

Si varios datos (pero no todos) tienen la mayor frecuencia, entonces todos ellos son moda.

Si todos los datos de la muestra tienen igual frecuencia, entonces la muestra no tiene moda.

En datos agrupados se llama intervalo modal o clase modal

Mediana. Al ordenar todos los datos de menor a mayor, corresponde al dato que ocupa

la posición central.

En caso que la muestra tenga un número impar de datos, la mediana se encuentra en la po-

sición N + 1

2 (N: número de datos)

En caso que la muestra tenga un número par de datos, la mediana corresponde al promedio

entre el dato que se encuentra en la posición N2 y el dato que se encuentra en la posición

N2 + 1(N: número de datos)

En datos agrupados sólo se puede determinar el intervalo al cual pertenece la mediana.

Media aritmética (o promedio). Corresponde a la suma de todos los datos dividido por el número de datos.

En una distribución de frecuencias, se calcula:

x = x1 · f1 + x2 · f2 + x3 · f3 + ...xn · fn

N

x : promedio de la muestra.

x1, x2, x3, …, xn: datos de la muestra.

f1, f2, f3, …, fn: frecuencia de cada uno de los datos de la muestra.

N: número de datos de la muestra.

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ática DESVIACIÓN ESTÁNDAR

Es un resultado que indica qué tan alejados están los datos del promedio.

Mientras menor es la desviación estándar, menos dispersos están los datos con respecto al promedio. En tal caso se habla de una muestra homogénea.

Mientras mayor es la desviación estándar, más dispersos están los datos con respecto al pro-medio. En tal caso se habla de una muestra heterogénea.

La desviación estándar se calcula:

σ = � (x1 – x )2 + (x2 – x )2 + (x3 – x )2 +...+ (xn – x )2

N

Donde:

σ : desviación estándar.

x1, x2, x3, …, xn: datos de la muestra.

x : promedio de la muestra.

N: número de datos de la muestra.

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Ejercicios PSU

1. En la siguiente tabla se muestran los resultados obtenidos al tomar distintos datos de tres alumnos de un curso.

Dato Edad(años)

Peso(Kg)

Estatura(mts)

Colorde ojos

Alberto 17 65 1,73 Azul

Catalina 17 60 1,68 Verde

Francisco 17 68 1,78 Café

¿Para cuál de los datos obtenidos NO existe la mediana ni el promedio (o media

aritmética)?

A) Edad.B) Peso.C) Estatura.D) Color de ojos.E) Dato.

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2. Una institución quiere estudiar los hábitos de entretención de los chilenos entre 18 y 30 años. Para esto, se realiza una encuesta al azar entre cien chilenos entre 18 y 30 años, mediante el siguiente volante

¿Qué actividad prefieres para divertirte?

Marca con una X una de las siguientes opciones:

Salir a bailar

Salir a comer

Hacer deporte

Ir al cine

Al analizar los resultados, la institución llega a la conclusión que la opción que tuvo mayor cantidad de preferencias fue “Ir al cine”.

Con respecto al estudio realizado, la población estadística corresponde a

A) todos los chilenos.B) sólo los chilenos entre 18 y 30 años.C) sólo los cien chilenos entre 18 y 30 años que respondieron la encuesta.D) las cuatro opciones que se dieron en el volante.E) los hábitos de entretención de los chilenos entre 18 y 30 años.

3. Si se suman las temperaturas de 30 días registradas en Santiago y se dividen por 30, se obtiene

A) la desviación estándar. B) la moda. C) la media aritmética (o promedio). D) la mediana. E) ninguno de los indicadores estadísticos anteriores.

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4. El promedio (o media aritmética) de las edades de 7 personas es 9 años. Si la suma de las primeras 6 personas es 59, ¿cuál es la edad de la última persona?

A) 10 años B) 9 años C) 7 años D) 4 años E) Ninguna de las edades anteriores.

5. Dados los puntajes obtenidos por 7 personas en una prueba: 81, 76, 80, 84, 78, 91 y 84, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) La moda es 84. II) El promedio (o media aritmética) es 82. III) La mediana coincide con la moda.

A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo I y III E) I, II y III

6. Dados los siguientes datos: 2n – 5, 2n – 3, 2n – 1, 2n + 1, 2n + 3, 2n + 5, con n ∈ IN, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) La moda es 2n + 5. II) La media aritmética (o promedio) es 2n. III) La mediana es 2n.

A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo II y III E) I, II y III

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7. En una muestra estadística existen las condiciones necesarias para determinar la moda, la mediana y la media aritmética (o promedio). ¿Cuál(es) de esas medidas debe(n) obligatoriamente corresponder con alguno de los datos de la muestra?

I) La moda.II) La media aritmética (o promedio).III) La mediana.

A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) Solo I y IIIE) I, II y III

8. ¿En cuál(es) de las siguientes muestras coinciden la moda, la media aritmética (o promedio) y la mediana?

I) 1 – 1 – 2 – 2 – 3 – 3II) 1 – 2 – 2 – 3III) 1 – 2 – 2 – 3 – 3 – 3

A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) Solo I y IIE) I, II y III

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9. La tabla adjunta, muestra la distribución de los pesos de un grupo de estudiantes. De acuerdo con esta información, ¿cuál de las siguientes fórmulas permite determinar el peso promedio de la muestra?

A) Xa + Xb + Xc + Xd + Xe

5

Peso Frecuencia

Pa Xa

Pb Xb

Pc Xc

Pd Xd

Pe Xe

B) Pa + Pb + Pc + Pd + Pe

5

C) Pa ∙ Xa + Pb ∙ Xb + Pc ∙ Xc + Pd ∙ Xd + Pe ∙ Xe

5

D) Pa ∙ Xa + Pb ∙ Xb + Pc ∙ Xc + Pd ∙ Xd + Pe ∙ Xe

Xa + Xb + Xc + Xd + Xe

E) Ninguna de las fórmulas anteriores.

10. La tabla adjunta, muestra la distribución del color de ojos de un grupo de estudiantes.

Colorde ojos

Cantidad deestudiantes

C1 N1

C2 N2

C3 N3

Si N1 = N2 y N1 < N3, ¿cuál(es) es(son) la(s) moda(s) del color de ojos?

A) C3

B) C1 y C2

C) N3

D) N1 y N2

E) La muestra no tiene moda.

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11. La tabla adjunta, muestra el resultado de 2 cursos en una misma prueba. ¿Cuál es el promedio (o media aritmética) entre el total de los alumnos de ambos cursos?

Curso Nº Alumnos Promedio2º A 40 5,52º B 35 4,6

A) 5,0 B) 5,05 C) 5,08 D) 5,5 E) Ninguno de los promedios anteriores.

12. La tabla adjunta, muestra el resultado obtenido al lanzar un dado. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

Número Frecuencia1 42 63 24 55 16 3

I) El total de lanzamientos del dado fue 21. II) La frecuencia de la moda es 6. III) La mediana es 3.

A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) I, II y III

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13. La tabla adjunta, muestra la cantidad de kilos de pan vendidos en una pequeña amasandería en distintos días de la semana. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) FALSA(S)?

Días Kilos de pan Total acumulado Lunes 35 Martes 75 Miércoles 42 Jueves 162 Viernes 50 Sábado 63 Domingo 346

I) Hasta el término del día viernes se vendieron en total 212 kilos de pan.II) La moda corresponde al día sábado.III) El martes se vendieron 40 kilos de pan.

A) Solo I B) Solo II C) Solo I y III D) I, II y III E) Ninguna de ellas.

14. La tabla adjunta, muestra el sueldo recibido por los trabajadores de un banco. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

Sueldo ($) Frecuencia250.000 3260.000 4370.000 8380.000 2390.000 6400.000 7

I) Hay exactamente 7 personas que ganan a lo menos $ 260.000.II) La mediana es $ 375.000.III) El 50% de los trabajadores tiene un salario superior a $ 370.000.

A) Solo I B) Solo III C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III

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15. Un curso se divide en tres grupos, con la misma cantidad de alumnos cada uno, para preparar la PSU. La siguiente tabla muestra los promedios obtenidos por cada grupo en los ensayos rendidos.

Ensayo 1 Ensayo 2

Grupo 1 630 570

Grupo 2 510 600

Grupo 3 660 540

Considerando que todos los alumnos del curso rindieron los dos ensayos, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) El promedio (o media aritmética) entre todos los ensayos rendidos por el grupo 2 es 555.

II) El promedio (o media aritmética) entre todos los alumnos del curso en el segundo ensayo es 570.

III) El promedio (o media aritmética) del curso considerando todos los ensayos rendidos es 585.

A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) Solo I y II E) I, II y III

16. Las edades de los 24 participantes de un taller de arte se representan en la tabla adjunta.

Edad (años) Frecuencia Frecuencia acumulada

8 x y

9 6 z

10 y w

Según los datos, el valor numérico de z es

A) 8B) 9C) 15D) 18E) faltan datos para determinarlo.

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17. El gráfico de la figura, muestra el resultado obtenido al lanzar un dado. De acuerdo con esta información, ¿cuántos lanzamientos se hicieron?

10

8

6

4

2

1 2 3 4 5 6

Frecuencia

Número

A) 6 B) 10 C) 16 D) 27 E) 39

18. El gráfico de la figura, muestra el resultado obtenido al lanzar un dado. De acuerdo con esta información, ¿cuál es la mediana?

10

8

6

4

2

1 2 3 4 5 6

Frecuencia

Número

A) 3,5 B) 4 C) 6 D) 7 E) Ninguno de los valores anteriores.

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19. El gráfico de la figura, muestra el resultado de una encuesta realizada a un grupo de personas sobre su preferencia con respecto a un color. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) FALSA(S)?

8

7

6

5

4

3

2

1

Azul Rojo Café Blanco Amarillo Verde

Frecuencia

Color

I) La moda es 8.

II) El 25% de las personas encuestadas prefiere el color azul.

III) 316

de las personas encuestadas prefirió el color amarillo.

A) Solo I B) Solo I y III C) Solo II y III D) I, II y III E) Ninguna de ellas.

20. En el siguiente gráfico de barras se representan las edades de un grupo de personas, con a y b números naturales, a ≠ 1. ¿Cuál(es) de los siguientes parámetros depende(n) solamente del valor de a?

3b

2b

b

a – 1 a a + 1

Frecuencia

Edad(años)

I) La moda.II) La frecuencia de la moda.III) La media aritmética (o promedio).

A) Solo IB) Solo IIC) Solo I y IID) Solo I y IIIE) Solo II y III

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21. En un estudio estadístico se consulta a un grupo de estudiantes acerca del área de estudio que les interesa, representándose los resultados en la siguiente tabla.

Frecuencia

Científico 25

Humanista 35

Artístico 20

Si se representa dicho estudio en un gráfico circular, el ángulo del centro que le

corresponde a la opción “Artístico” es

A) 20ºB) 25ºC) 40ºD) 72ºE) 90º

22. El gráfico circular de la figura, muestra las preferencias de un grupo de estudiantes en carreras universitarias. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) FALSA(S)?

I) La frecuencia relativa del grupo que prefiere Ingeniería es de 25%. II) La frecuencia relativa del grupo que prefiere Leyes es de 40%. III) La frecuencia relativa del grupo que NO prefirió Leyes ni Ingeniería es de 35%.

Ingeniería20

Pedagogía15

Teatro13

Leyes32

A) Solo II B) Solo III C) Solo I y II D) I, II y III E) Ninguna de ellas.

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23. La tabla adjunta, muestra la duración en horas de una cierta cantidad de pilas alcalinas iguales sometidas a un control de calidad. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

Intervalos de horas Frecuencia400 – 499 3500 – 599 5600 – 699 4700 – 799 11800 – 899 7

I) El total de pilas sometidas al control de calidad es 30.II) La mediana se encuentra en el intervalo 600 – 699.III) El intervalo modal (o clase modal) es 700 – 799.

A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y III E) I, II y III

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24. La tabla adjunta, muestra la edad en años de los residentes de un condominio. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

Edad Marca de clase Frecuencia Frecuencia

acumulada0 – 10 610 – 20 1520 – 30 a 3130 – 40 b 5640 – 50 850 – 60 560 – 70 370 – 80 180 – 90 1

I) a = 25II) b = 25II) El total de residentes es 74.

A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo II y III E) I, II y III

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25. El gráfico de la figura, muestra el resultado obtenido por un grupo de estudiantes universitarios en una prueba. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

20

18

15

12

1 2 3 4 5 6 7

Frecuencia

Nota

I) La mediana se encuentra en el intervalo 4 – 5.II) El intervalo modal (o clase modal) es 18 – 20.III) El total de alumnos que rindió la prueba es 65.

A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y III E) Solo II y III

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26. El gráfico de la figura, muestra el resultado obtenido por un grupo de estudiantes universitarios en una prueba de estadística. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)?

50

40

30

20

10

1 2,5 4 5,5 7

Frecuencia

Nota

I) La frecuencia del intervalo modal (o clase modal) es 50. II) La mediana se encuentra en el intervalo 2,5 – 4. III) 30 alumnos obtuvieron nota superior a 4.

A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) I, II y III

27. Los datos de una muestra son 3, 5, 7 y 9. La desviación estándar de la muestra es

A) 0B) �5C) 3D) 2�5 E) 6

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28. La tabla adjunta, muestra el resultado obtenido por dos cursos de un preuniversitario en un ensayo de matemática. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

Curso Promedio Desviación EstándarA 458 60B 542 100

I) El curso A es el más homogéneo. II) El curso B presenta menor dispersión en los puntajes. III) La media aritmética (o promedio) considerando los puntajes de los alumnos de

ambos cursos es 500.

A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y III E) Ninguna de ellas.

29. Se puede determinar la mediana de una muestra no tabulada si:

(1) El promedio (o media aritmética) de la muestra es 75. (2) La muestra no tiene moda y los datos son números consecutivos. A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional.

30. En la tabla adjunta, están representados los resultados obtenidos en el lanzamiento de un dado. Se puede determinar el valor de x si:

Número Frecuencia1 72 33 64 x5 46 5

(1) El total de lanzamientos fue 30. (2) La mediana es 3. A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional.

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Tabla de corrección

Nº Pregunta Clave Habilidad1 Conocimiento

2 Comprensión

3 Conocimiento

4 Aplicación

5 Análisis

6 Análisis

7 Análisis

8 Análisis

9 Conocimiento

10 Conocimiento

11 Aplicación

12 Análisis

13 Análisis

14 Análisis

15 Análisis

16 Análisis

17 Comprensión

18 Aplicación

19 Análisis

20 Análisis

21 Aplicación

22 Análisis

23 Análisis

24 Análisis

25 Análisis

26 Análisis

27 Aplicación

28 Análisis

29 Evaluación

30 Evaluación

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