Conceptos de EstadsticaPoblacinUnapoblacines el conjunto de todos los elementos a los que se somete a un estudio estadstico.IndividuoUnindividuoounidad estadsticaes cada uno de los elementos que componen la poblacin.MuestraUnamuestraes un conjunto representativo de la poblacin de referencia, el nmero de individuos de una muestra es menor que el de la poblacin.MuestreoElmuestreoes la reunin de datos que se desea estudiar, obtenidos de una proporcin reducida y representativa de la poblacin.ValorUnvalores cada uno de los distintos resultados que se pueden obtener en un estudio estadstico. Si lanzamos una moneda al aire 5 veces obtenemos dos valores: cara y cruz.DatoUndatoes cada uno de los valores que se ha obtenido al realizar un estudio estadstico. Si lanzamos una moneda al aire 5 veces obtenemos 5 datos: cara, cara, cruz, cara, cruz.Variable estadstica

Unavariable estadsticaes cada una de lascaractersticas o cualidadesque poseen los individuos de una poblacin.Tipos de variable estadsticasVariable cualitativaLasvariables cualitativasse refieren acaractersticas o cualidadesquenopueden ser medidas connmeros. Podemos distinguir dos tipos:Variable cualitativa nominalUnavariable cualitativa nominalpresentamodalidades no numricasquenoadmiten uncriterio de orden.Ejemplo:El estado civil, con las siguientes modalidades: soltero, casado, separado, divorciado y viudo.Variable cualitativa ordinal o variable cuasicuantitativaUnavariable cualitativa ordinalpresentamodalidades no nmericas, en las que existe unorden.Ejemplos:La nota en un examen: suspenso, aprobado, notable, sobresaliente.Puesto conseguido en una prueba deportiva: 1, 2, 3, ...Medallas de una prueba deportiva: oro, plata, bronce.

Variable cuantitativaUnavariable cuantitativaes la que se expresa mediante unnmero, por tanto se pueden realizar operaciones aritmticascon ella. Podemos distinguir dos tipos:Variable discretaUnavariable discretaes aquella que tomavalores aislados, es decirnoadmitevalores intermediosentre dos valores especficos.Ejemplo:El nmero de hermanos de 5 amigos: 2, 1, 0, 1, 3.Variable continuaUnavariable continuaes aquella que puede tomarvalores comprendidos entre dos nmeros.Ejemplos:La altura de los 5 amigos: 1.73, 1.82, 1.77, 1.69, 1.75.En la prctica medimos la altura con dos decimales, pero tambin se podra dar con tres decimales.

Tablas de frecuenciaDistribucin de frecuenciasLadistribucin de frecuenciasotabla de frecuenciases unaordenacinen forma detablade losdatos estadsticos, asignando a cadadatosufrecuencia correspondiente.Tipos de frecuenciasFrecuencia absolutaLafrecuencia absolutaes elnmero de vecesque aparece un determinadovaloren un estudio estadstico.Se representa porfi.Lasuma de las frecuencias absolutases igual al nmero total de datos, que se representa porN.

Para indicar resumidamente estas sumas se utiliza la letra griega(sigma mayscula) que se lee suma o sumatoria.

Frecuencia relativaLafrecuencia relativaes elcocienteentre la frecuencia absolutade un determinado valor y elnmero total de datos.Se puede expresar en tantos por ciento y se representa porni.

La suma de las frecuencias relativas es igual a 1.Frecuencia acumuladaLafrecuencia acumuladaes lasuma de las frecuencias absolutasde todos losvalores inferiores o igualesalvalorconsiderado.Se representa porFi.Frecuencia relativa acumuladaLafrecuencia relativa acumuladaes elcocienteentre lafrecuencia acumuladade un determinadovalory elnmero total de datos. Se puede expresar en tantos por ciento.Ejemplo:Durante el mes de julio, en una ciudad se han registrado las siguientes temperaturas mximas:32, 31, 28, 29, 33, 32, 31, 30, 31, 31, 27, 28, 29, 30, 32, 31, 31, 30, 30, 29, 29, 30, 30, 31, 30, 31, 34, 33, 33, 29, 29.En la primera columna de la tabla colocamos la variable ordenada de menor a mayor, en la segunda hacemos el recuento y en la tercera anotamos la frecuencia absoluta.xiRecuentofiFiniNi

27I110.0320.032

28II230.0650.097

29690.1940.290

307160.2260.516

318240.2580.774

32III3270.0970.871

33III3300.0970.968

34I1310.0321

311

Este tipo detablas de frecuenciasse utiliza convariables discretas.Distribucin de frecuencias agrupadasLadistribucin de frecuencias agrupadasotabla con datos agrupadosse emplea si lasvariablestoman unnmero grande de valoreso lavariable es continua.Seagrupanlosvaloresenintervalosque tengan lamisma amplituddenominadosclases. A cadaclasese le asigna sufrecuencia correspondiente.Lmites de la claseCadaclaseestdelimitadapor ellmite inferior de la clasey ellmite superior de la clase.Amplitud de la claseLaamplitud de la clasees ladiferenciaentre ellmite superior e inferiorde laclase.Marca de claseLamarca de clasees elpunto mediode cadaintervaloy es elvalorque representa a todo elintervalopara elclculode algunosparmetros.Construccin de una tabla de datos agrupados3, 15, 24, 28, 33, 35, 38, 42, 43, 38, 36, 34, 29, 25, 17, 7, 34, 36, 39, 44, 31, 26, 20, 11, 13, 22, 27, 47, 39, 37, 34, 32, 35, 28, 38, 41, 48, 15, 32, 13.1 Se localizan los valores menor y mayor de la distribucin. En este caso son 3 y 48.2 Se restan y se busca un nmero entero un poco mayor que la diferencia y que sea divisible por el nmero de intervalos queramos establecer.Es conveniente que el nmero de intervalos oscile entre 6 y 15.En este caso, 48 - 3 = 45, incrementamos el nmero hasta 50 : 5 = 10 intervalos.Se forman los intervalos teniendo presente que el lmite inferior de una clase pertenece al intervalo, pero el lmite superior no pertenece intervalo, se cuenta en el siguiente intervalo.cifiFiniNi

[0, 5)2.5110.0250.025

[5, 10)7.5120.0250.050

[10, 15)12.5350.0750.125

[15, 20)17.5380.0750.200

[20, 25)22.53110.0750.275

[25, 30)27.56170.1500.425

[30, 35)32.57240.1750.600

[35, 40)37.510340.2500.850

[40, 45)42.54380.1000.950

[45, 50)47.52400.0501

401

Diagrama de barrasUndiagrama de barrasse utiliza para de presentardatos cualitativosodatos cuantitativos de tipo discreto.Se representan sobre unos ejes de coordenadas, en eleje de abscisasse colocan losvalores de la variable, y sobre eleje de ordenadaslasfrecuencias absolutas o relativas o acumuladas.Losdatosse representan mediantebarrasde unaaltura proporcionala lafrecuencia.Ejemplo:Un estudio hecho al conjunto de los 20 alumnos de una clase para determinar su grupo sanguneo ha dado el siguiente resultado:

Grupo sanguneofi

A6

B4

AB1

09

20

Polgonos de frecuenciaUnpolgono de frecuenciasse forma uniendo losextremosde lasbarrasmediantesegmentos.Tambin se puede realizar trazando lospuntosque representan lasfrecuenciasy unindolos mediantesegmentos.Ejemplo:Las temperaturas en un da de otoo de una ciudad han sufrido las siguientes variaciones:

HoraTemperatura

67

912

1214

1511

1812

2110

248

Diagrama de sectoresUndiagrama de sectoresse puede utilizar para todo tipo devariables, pero se usa frecuentemente para lasvariables cualitativas.Losdatosse representan en uncrculo, de modo que elngulode cadasectoresproporcionala lafrecuencia absolutacorrespondiente.

El diagrama circular se construye con la ayuda de un transportador de ngulos.Ejemplo:En una clase de 30 alumnos, 12 juegan a baloncesto, 3 practican la natacin, 9 juegan al ftbol y el resto no practica ningn deporte.

Alumnosngulo

Baloncesto12144

Natacin336

Ftbol9108

Sin deporte672

Total30360

HistogramaUnhistogramaes unarepresentacin grficade unavariableen forma debarras.Se utilizan paravariables continuaso paravariables discretas, con un gran nmero de datos, y que se han agrupado enclases.En eleje abscisasse construyen unosrectngulosque tienen porbase la amplitud del intervalo, y poraltura, lafrecuencia absolutade cadaintervalo.Lasuperficiede cadabarraesproporcionala lafrecuenciade losvaloresrepresentados.Polgono de frecuenciaPara construir elpolgono de frecuenciase toma lamarca de claseque coincide con elpunto mediode cadarectngulo.Ejemplo:El peso de 65 personas adultas viene dado por la siguiente tabla:cifiFi

[50, 60)5588

[60, 70)651018

[70, 80)751634

[80, 90)851448

[90, 100)951058

[100, 110)105563

[110, 120)115265

65

Histograma y polgono de frecuencias acumuladasSi se representan lasfrecuencias acumuladasde unatabla de datos agrupadosse obtiene elhistograma de frecuencias acumuladaso su correspondientepolgono.

Histogramas con intervalos de amplitud diferenteParaconstruirunhistogramasconintervalo de amplitud diferentetenemos quecalcularlasalturasde losrectngulosdelhistograma.

hies la altura del intervalo.fies la frecuencia del intervalo.aies la amplitud del intervalo.Ejemplo:En la siguiente tabla se muestra las calificaciones (suspenso, aprobado, notable y sobresaliente) obtenidas por un grupo de 50 alumnos.fihi

[0, 5)153

[5, 7)2010

[7, 9)126

[9, 10)33

50

Parmetros estadsticos

Unparmetro estadsticoes unnmeroque se obtiene a partir de losdatosde unadistribucin estadstica.Losparmetros estadsticossirven para sintetizar la informacin dada por una tabla o por una grfica.Tipos de parmetros estadsticosHaytres tipos parmetros estadsticos:De centralizacin.De posicinDe dispersin.Medidas de centralizacinNos indican en torno a qu valor (centro) se distribuyen los datos.Lamedidas de centralizacinson:Media aritmticaLamediaes el valorpromediode la distribucin.MedianaLamedianaes lapuntacinde la escala quesepara la mitad superiorde la distribucin yla inferior, es decir divide la serie de datos endos partes iguales.ModaLamodaes elvalorquems se repiteen una distribucin.Medidas de posicinLasmedidas de posicindividen un conjunto de datos en grupos con el mismo nmero de individuos.Para calcular lasmedidas de posicines necesario que losdatosestn ordenados demenor a mayor.Lamedidas de posicinson:CuartilesLoscuartiles dividenla serie de datos encuatro partes iguales.DecilesLosdecilesdividen la serie de datos endiez partes iguales.PercentilesLospercentilesdividen la serie de datos encien partes iguales.Medidas de dispersinLasmedidas de dispersinnos informan sobre cuanto se alejan del centro los valores de la distribucin.Lasmedidas de dispersinson:Rango o recorridoElrangoes ladiferenciaentre elmayory elmenorde losdatosde una distribucin estadstica.

Desviacin mediaLadesviacin mediaes lamedia aritmticade losvalores absolutosde lasdesviacionesrespecto a lamedia.VarianzaLavarianzaes lamedia aritmticadelcuadrado de las desviacionesrespecto a lamedia.Desviacin tpicaLadesviacin tpicaes laraz cuadradade lavarianza

Moda estadstica

Lamodaes elvalorque tienemayor frecuencia absoluta.Se representa porMo.Se puede hallar lamodaparavariables cualitativasycuantitativas.Hallarlamodade la distribucin:2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5Mo= 4Si en un grupo haydos o varias puntuacionescon lamisma frecuenciay esa frecuencia es la mxima, ladistribucinesbimodalomultimodal, es decir, tienevarias modas.1, 1, 1, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 8, 9, 9, 9Mo= 1, 5, 9Cuando todas laspuntuacionesde un grupo tienen lamisma frecuencia,nohaymoda.2, 2, 3, 3, 6, 6, 9, 9Sidos puntuaciones adyacentestienen lafrecuencia mxima, lamodaes elpromediode las dos puntuaciones adyacentes.0, 1, 3, 3, 5, 5, 7, 8Mo = 4

MedianaEs elvalorque ocupa ellugar centralde todos losdatoscuando stos estnordenados de menor a mayor.Lamedianase representa porMe.Lamedianase puedehallarslo paravariables cuantitativas.Clculo de la mediana1.Ordenamoslosdatosdemenor a mayor.2.Si la serie tiene unnmero impar de medidaslamedianaes lapuntuacin centralde la misma.2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6Me = 53.Si la serie tiene unnmero parde puntuaciones lamedianaes lamediaentre las dospuntuaciones centrales.7, 8, 9, 10, 11, 12Me = 9.5

Media aritmticaLamedia aritmticaes elvalorobtenido alsumartodos losdatosydividirel resultado entre elnmerototal dedatos.es el smbolo de lamedia aritmtica.

Ejemplo:Los pesos de seis amigos son: 84, 91, 72, 68, 87 y 78 kg. Hallar el peso medio.

CuartilesLoscuartilesson lostres valoresde la variable quedividena unconjuntodedatos ordenadosencuatro partes iguales.Q1, Q2y Q3determinan los valores correspondientes al25%, al 50% y al 75%de losdatos.Q2coincide con lamediana.Clculo de los cuartiles1.Ordenamoslosdatosdemenor a mayor.2.Buscamos el lugar que ocupa cadacuartilmediante la expresin.Nmero impar de datos2, 5, 3, 6, 7, 4, 9

Nmero par de datos2, 5, 3, 4, 6, 7, 1, 9

DecilesLosdecilesson losnueve valoresquedividenla serie dedatosendiez partes iguales.Losdecilesdan los valores correspondientes al 10%, al 20%... y al 90% de los datos.D5coincide con la mediana.Clculo de los decilesEn primer lugar buscamos la clase donde se encuentra, en la tabla de las frecuencias acumuladas.

Lies el lmite inferior de la clase donde se encuentra el decil.N es la suma de las frecuencias absolutas.Fi-1es lafrecuencia acumuladaanterior a la claseel decil..aies la amplitud de la clase.

PercentilesLospercentilesson los99 valoresquedividenla serie dedatosen100 partes iguales.Lospercentilesdan los valores correspondientes al 1%, al 2%... y al 99% de los datos.P50coincide con lamediana.P50coincide conD5.Clculo de los percentilesEn primer lugar buscamos la clase donde se encuentra, en la tabla de las frecuencias acumuladas.

Lies el lmite inferior de la clase donde se encuentra el percentil.Nes la suma de las frecuencias absolutas.Fi-1es lafrecuencia acumuladaanterior a la clasedel percentil.aies la amplitud de la clase.Ejercicio de percentilesCalcular el percentil 35 y 60de la distribucin de la tabla:fiFi

[50, 60)88

[60, 70)1018

[70, 80)1634

[80, 90)1448

[90, 100)1058

[100, 110)563

[110, 120)265

65

Percentil 35

Percentil 60

Desviacin mediaDesviacin respecto a la mediaLadesviacin respecto a la mediaes ladiferenciaen valor absoluto entre cadavalorde la variable estadstica y lamedia aritmtica.Di= |x -x|Desviacin mediaLadesviacin mediaes lamedia aritmticade losvalores absolutos de las desviaciones respecto a la media.Ladesviacin mediase representa por

Ejemplo:Calcular ladesviacin mediade la distribucin:9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18

VarianzaLavarianzaes lamedia aritmtica del cuadrado de las desviaciones respecto a la mediade una distribucin estadstica.La varianza se representa por.

Varianza para datos agrupados

Para simplificar elclculo de la varianzavamos o utilizar las siguientes expresiones que son equivalentes a las anteriores.

Ejercicios de varianzaEjercicio 1:Calcular la varianzade la distribucin:9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18

Ejercicio 2:Calcular la varianzade la distribucin de la tabla:xifixi fixi2 fi

[10, 20)15115225

[20, 30)2582005000

[30,40)351035012 250

[40, 50)45940518 225

[50, 6055844024 200

[60,70)65426016 900

[70, 80)75215011 250

421 82088 050

Propiedades de la varianza1Lavarianzaser siempre unvalor positivo o cero, en el caso de que las puntuaciones sean iguales.2Si a todos losvaloresde la variable se lessumaunnmerolavarianza no vara.3Si todos losvaloresde la variable semultiplicanpor unnmerolavarianzaquedamultiplicadapor elcuadradode dichonmero.4Si tenemos varias distribuciones con la mismamediay conocemos sus respectivasvarianzasse puede calcular lavarianza total.Si todas las muestras tienen el mismo tamao:

Si las muestras tienen distinto tamao:

Observaciones sobre la varianza1Lavarianza, al igual que la media, es un ndice muy sensible a las puntuaciones extremas.2En los casos queno se pueda hallar la mediatampoco ser posible hallar lavarianza.3Lavarianzano viene expresada en las mismas unidades que los datos, ya que las desviaciones estn elevadas al cuadrado.

Desviacin tpicaLadesviacin tpicaes laraz cuadrada de la varianza.Es decir, la raz cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de desviacin.Ladesviacin tpicase representa por.

Coeficiente de variacin y puntuaciones tpicasElcoeficiente de variacines la relacin entre ladesviacin tpicade una muestra y sumedia.

Elcoeficiente de variacinse suele expresar enporcentajes:

Elcoeficiente de variacinpermite comparar lasdispersionesde dos distribuciones distintas, siempre que susmediasseanpositivas.Se calcula para cada una de las distribuciones y los valores que se obtienen se comparan entre s.Lamayor dispersincorresponder al valor delcoeficiente de variacin mayor.Ejercicio:Una distribucin tienex= 140 y = 28.28 y otrax= 150 y = 24. Cul de las dos presenta mayor dispersin?

La primera distribucin presenta mayor dispersin.Puntuaciones tpicasPuntuaciones diferencialesLaspuntuaciones diferencialesresultan derestarlesa laspuntuaciones directas la media aritmtica.xi= XiXPuntuaciones tpicasLaspuntuaciones tpicasson el resultado dedividirlaspuntuaciones diferencialesentre ladesviacin tpica. Este proceso se llamatipificacin.Laspuntuaciones tpicasse representan porz.

Observaciones sobre puntuaciones tpicasLamedia aritmticade laspuntuaciones tpicases0.Ladesviacin tpicade laspuntuaciones tpicases1.Laspuntuaciones tpicassonadimensionales, es decir, son independientes de las unidades utilizadas.Laspuntuaciones tpicasse utilizan paracompararlaspuntuacionesobtenidas en distintas distribuciones.EjercicioEn una clase hay 15 alumnos y 20 alumnas. El peso medio de los alumnos es 58.2 kg y el de las alumnas y 52.4 kg. Las desviaciones tpicas de los dos grupos son, respectivamente, 3.1 kg y 5.1 kg. El peso de Jos es de 70 kg y el de Ana es 65 kg. Cul de ellos puede, dentro del grupo de alumnos de su sexo, considerarse ms grueso?

Jos es ms grueso respecto de su grupo que Ana respecto al suyo.

Resumen de Estadstica descriptivaLaEstadsticatrata del recuento, ordenacin y clasificacin de los datos obtenidos por las observaciones, para poder hacer comparaciones y sacar conclusiones.Conceptos de EstadsticaPoblacinUnapoblacines el conjunto de todos los elementos a los que se somete a un estudio estadstico.IndividuoUnindividuoounidad estadsticaes cada uno de los elementos que componen la poblacin.MuestraUnamuestraes un conjunto representativo de la poblacin de referencia, el nmero de individuos de una muestra es menor que el de la poblacin.MuestreoElmuestreoes la reunin de datos que se desea estudiar, obtenidos de una proporcin reducida y representativa de la poblacin.ValorUnvalores cada uno de los distintos resultados que se pueden obtener en un estudio estadstico. Si lanzamos una moneda al aire 5 veces obtenemos dos valores: cara y cruz.DatoUndatoes cada uno de los valores que se ha obtenido al realizar un estudio estadstico. Si lanzamos una moneda al aire 5 veces obtenemos 5 datos: cara, cara, cruz, cara, cruz.Variables estadsticasVariable cualitativaLasvariables cualitativasse refieren acaractersticas o cualidadesquenopueden ser medidas connmeros. Podemos distinguir dos tipos:Variable cualitativa nominalUnavariable cualitativa nominalpresentamodalidades no numricasquenoadmiten uncriterio de orden.Variable cualitativa ordinal o variable cuasicuantitativaUnavariable cualitativa ordinalpresentamodalidades no nmericas, en las que existe unorden.

Variable cuantitativaUnavariable cuantitativaes la que se expresa mediante unnmero, por tanto se pueden realizar operaciones aritmticascon ella. Podemos distinguir dos tipos:Variable discretaUnavariable discretaes aquella que tomavalores aislados, es decirnoadmitevalores intermediosentre dos valores especficos.Variable continuaUnavariable continuaes aquella que puede tomarvalores comprendidos entre dos nmeros.Distribucin de frecuenciasLadistribucin de frecuenciasotabla de frecuenciases unaordenacinen forma detablade losdatos estadsticos, asignando a cadadatosufrecuencia correspondiente.Diagrama de barrasUndiagrama de barrasse utiliza para de presentardatos cualitativosodatos cuantitativos de tipo discreto.Losdatosse representan mediantebarrasde unaaltura proporcionala lafrecuencia.Polgonos de frecuenciasUnpolgono de frecuenciasse forma uniendo losextremosde lasbarrasmediantesegmentos.Tambin se puede realizar trazando lospuntosque representan lasfrecuenciasy unindolos mediantesegmentos.Diagrama de sectoresUndiagrama de sectoresse puede utilizar para todo tipo devariables, pero se usa frecuentemente para lasvariables cualitativas.Losdatosse representan en uncrculo, de modo que elngulode cadasectoresproporcionala lafrecuencia absolutacorrespondiente.

HistogramaUnhistogramaes unarepresentacin grficade unavariableen forma debarras.Se utilizan paravariables continuaso paravariables discretas, con un gran nmero de datos, y que se han agrupado enclases.En eleje abscisasse construyen unosrectngulosque tienen porbase la amplitud del intervalo, y poraltura, lafrecuencia absolutade cadaintervalo.Medidas de centralizacinModaLamodaes elvalorque tienemayor frecuencia absoluta.Se representa porMo.Se puede hallar lamodaparavariables cualitativasycuantitativas.Clculo de la moda para datos agrupados1 Todos los intervalos tienen la misma amplitud.

2 Los intervalos tienen amplitudes distintas.En primer lugar tenemos que hallar las alturas.

La clase modal es la que tiene mayor altura.

MedianaEs elvalorque ocupa ellugar centralde todos losdatoscuando stos estnordenados de menor a mayor.Lamedianase representa porMe.Lamedianase puedehallarslo paravariables cuantitativas.Clculo de la mediana1Ordenamoslosdatosdemenor a mayor.2Si la serie tiene unnmero impar de medidaslamedianaes lapuntuacin centralde la misma.3Si la serie tiene unnmero parde puntuaciones lamedianaes lamediaentre las dospuntuaciones centrales.Clculo de la mediana para datos agrupadosLamedianase encuentra en elintervalodonde lafrecuencia acumuladallega hasta lamitad de la suma de las frecuencias absolutas.Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre.

Media aritmticaLamedia aritmticaes elvalorobtenido alsumartodos losdatosydividirel resultado entre elnmerototal dedatos.es el smbolo de lamedia aritmtica.

Media aritmtica para datos agrupadosSi losdatosvienenagrupadosen una tabla de frecuencias, la expresin de lamediaes:

Medidas de posicinCuartilesLoscuartilesson lostres valoresde la variabledividena unconjuntodedatos ordenadosencuatro partes iguales.Q1, Q2y Q3determinan los valores correspondientes al25%, al 50% y al 75%de losdatos.

DecilesLosdecilesson losnueve valoresquedividenla serie dedatosendiez partes iguales.Losdecilesdan los valores correspondientes al 10%, al 20%... y al 90% de los datos.

PercentilesLospercentilesson los99 valoresquedividenla serie dedatosen100 partes iguales.Lospercentilesdan los valores correspondientes al 1%, al 2%... y al 99% de los datos.

Medidas de dispersinDesviacin mediaLadesviacin mediaes lamedia aritmticade losvalores absolutos de las desviaciones respecto a la media.Ladesviacin mediase representa por

Desviacin media para datos agrupadosSi los datos vienen agrupados en unatabla de frecuencias, la expresin de ladesviacin mediaes:

VarianzaLadesviacin tpicaes laraz cuadrada de la varianza.Ladesviacin tpicase representa por.

Desviacin tpica para datos agrupados

Para simplificar el clculo vamos o utilizar las siguientes expresiones que son equivalentes a las anteriores.

Desviacin tpica para datos agrupados

Desviacin tpicaLadesviacin tpicaes laraz cuadrada de la varianza.Ladesviacin tpicase representa por.

Desviacin tpica para datos agrupados

Para simplificar el clculo vamos o utilizar las siguientes expresiones que son equivalentes a las anteriores.

Desviacin tpica para datos agrupados

Coeficiente de variacinElcoeficiente de variacines la relacin entre ladesviacin tpicade una muestra y sumedia.

Puntuaciones tpicasLaspuntuaciones tpicasson el resultado dedividirlaspuntuaciones diferencialesentre ladesviacin tpica. Este proceso se llamatipificacin.