Estadística bidimensional

Juan Carlos BallabrigaDepartamento de Matemáticas

IES Benjamín de Tudela

Variables estadísticas bidimensionales

Se trata de variables que surgen cuando se estudian dos características asociadas a la observación de un mismo fenómeno.

Podemos llamar X a la talla e Y al peso con lo que se obtendría la variable bidimensional (X, Y) que toma 10 valores, que son las 10 parejas de valores de la tabla anterior: (160,55), (165,58), etc.

83797466626761585855Peso

(kgs)

182180180175175171170168165160Talla

(cms)

83797466626761585855Peso

(kgs)

182180180175175171170168165160Talla

(cms)

Ejemplo 1.- Estudiamos la talla, medida en cm. y el peso, medido en kg. de un grupo de 10 personas, podemos obtener los siguientes valores

Variables estadísticas bidimensionalesEn algunos casos el número de "parejas" de

valores (x,y) es grande y además muchos de ellos aparecen repetidos; en este caso se utiliza una "Tabla de doble entrada" como la que se muestra a continuación en el ejemplo 2

En la primera fila se colocan los valores de una de las características o variable que componen la variable bidimensional y en la primera columna los de la otra.

Variables estadísticas bidimensionalesEjemplo 2.- Se representa por X el número de hijos

de 100 familias y por Y el número de hijas Nº de hijas (y)

Nº de hijos (x) 0 1 2 3Frecuencias Marginales

(x)

0 10 15 15 3 43

1 10 12 7 2 31

2 8 4 3 1 16

3 3 2 1 0 6

4 2 1 1 0 4

Frecuencias Marginales(y)

33 34 27 6 100

Representación gráfica

Diagramas de dispersión o nubes de puntos: En unos ejes de coordenadas representaremos la posición y frecuencia de cada pareja de datos

Diagramas de dispersión o nubes de puntos En el ejemplo 1 anterior en el que se estudiaba la talla y el

peso de 10 personas se obtendría el siguiente diagrama de dispersión: (En el eje X se representa la talla en cm. y en el eje Y el peso en kg.)

En el caso de tablas de doble entrada

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.5

1

1.5

2

2.5

3

15

15

1010

12

2

7

8

4

31

3

3

1

1

1

2

2

Diagramas de dispersión o nubes de puntos

Se puede ver en el primera figura que correspondía al diagrama de talla - peso que la serie de puntos presenta una tendencia "ascendente" . Se dice en este caso que existen entre las dos variables una "dependencia directa" .

En caso en que la tendencia sea "descendente" se diría que estaríamos ante una " dependencia inversa "

Naturalmente en caso en que no se pueda observar una tendencia clara estaríamos ante una dependencia muy débil que no se puede observar mediante la nube de puntos

Diferentes tipos de diagramas

Dependencia funcional

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

Ajustes lineales

Covarianza y Correlación

• Para estudiar si hay relación o no entre las variables

• Puede ser directa o inversa

• Se puede “cuantificar”

Covarianza

i

iiixy f

fYyXx

YXf

fyx

i

iiixy

Usaremos una fórmula más cómoda

Tabla de frecuencia

Talla (cm) Peso kg) x-X y-Y (x-X)(y-Y)160 55 -12,6 -11,3 142,38165 58 -7,6 -8,3 63,08168 58 -4,6 -8,3 38,18170 61 -2,6 -5,3 13,78171 67 -1,6 0,7 -1,12175 62 2,4 -4,3 -10,32175 66 2,4 -0,3 -0,72180 74 7,4 7,7 56,98180 79 7,4 12,7 93,98182 83 9,4 16,7 156,98

10

Media x 172,6 Cov 15,698Media y 66,3

Covarianza

Como vemos la relación es Positiva (creciente) y parece que es bastante fuerte, pero ¿cuánto?

155 160 165 170 175 180 1850

102030405060708090

Peso (kg)

Talla (cm)

Coeficiente de Correlación

Para cuantificar la relación usaremos el coeficiente de correlación:

yx

xyr

Propiedades:• Es un valor entre -1 y 1• Si es positivo la relación es directa y si es negativa es inversa• Cuando se acerca a cero no hay relación

En el ejemplo 1

Talla (cm) Peso kg) x-X y-Y (x-X)(y-Y) (x-X)2 (y-Y)2

160 55 -12,6 -11,3 142,38 158,76 127,69165 58 -7,6 -8,3 63,08 57,76 68,89168 58 -4,6 -8,3 38,18 21,16 68,89170 61 -2,6 -5,3 13,78 6,76 28,09171 67 -1,6 0,7 -1,12 2,56 0,49175 62 2,4 -4,3 -10,32 5,76 18,49175 66 2,4 -0,3 -0,72 5,76 0,09180 74 7,4 7,7 56,98 54,76 59,29180 79 7,4 12,7 93,98 54,76 161,29182 83 9,4 16,7 156,98 88,36 278,89

10 553,2 456,4 812,1

Media x 172,6 Cov 55,32 Var x 45,64Media y 66,3 Var x 81,21

Des x 6,7557383

Des y 9,01165911

Coef. Correl. 0,91

Mucha relación directa

Recta de regresiónRelación entre dos variables

Variable independiente x

Variable dependiente y

función lineal del tipo y = ax + b, su gráfica

correspondería a una recta de regresión.

Ajuste por mínimos cuadrados

Se deduce que la recta de regresión debe pasar por el punto correspondiente a

las medias de ambas variables y que debe tener por pendiente

Con ello la expresión de la recta de regresión utilizando la ecuación

punto-pendiente será:

Esta es la llamada "Recta de regresión de y sobre x". Si se deseara estudiar la dependencia de x respecto a y sólo habría que cambiar en la expresión de la recta x por y, obteniéndose la recta regresión de x sobre y

X x Y yx

xy 2

YX ,2x

xy

YyXxy

xy 2

En la imagen siguiente se muestra la recta de regresión de y (peso) sobre x (talla) del ejemplo 1 de este tema. En este caso se supone que represente cómo depende el peso de una persona de su talla

Si recordamos que entre la talla y el peso decíamos que existía una dependencia directa, la recta de regresión lo confirma ya que su pendiente es positiva: a medida que aumenta la talla aumenta el peso. Por tanto:

Dependencia directa - Pendiente de la recta positiva - Función creciente

155 160 165 170 175 180 1850

20

40

60

80

100Peso (kg)

Talla (cm)

155 160 165 170 175 180 1850

102030405060708090

Peso (kg)

Talla (cm)

Media x 172,6Media y 66,3

),( YX

),( YX

Utilidad tiene la recta de regresión

Mediante la recta de regresión podríamos obtener de manera aproximada el valor de la variable dependiente (y) de la que conociéramos la variable independiente (x), en una población semejante a aquella de la que se ha obtenido la muestra

De manera más precisa, si conocemos la expresión de la recta de regresión, se pueden calcular valores para la variable y, conocidos los de x, como si se tratara de una función

Ejemplo :Si observamos la gráfica, podríamos suponer por ejemplo que una persona de 185 cm pesaría algo más de 80 kg

De acuerdo a la fórmula

La recta de regresión de la variable y (peso) sobre x (talla) será la recta:

- que pasa por el punto (172,6 ; 66,3) (medias respectivas de (x,y))

- tiene de pendiente: 55.32 / 50.71 = 1.0909

Recta: y – 66.3 = 1.0909 ( x – 172.6) que operando y simplificando queda:

y = 1.0909x – 121.9

155 160 165 170 175 180 1850

102030405060708090

Peso (kg)

Talla (cm)

XxYyx

xy 2

El valor del peso que suponíamos aproximado para una talla de 185 cm sería:

Peso= 1.0909 · 185 – 121.9 = 79.9

Este valor obtenido es algo menor al esperado. Eso quiere decir que las predicciones hechas con la recta de regresión no son exactas.

Por tanto la recta de regresión se puede utilizar para realizar predicciones para la variable y a partir de valores conocidos de la variable x.

Resumen:

• Variables bidimensionales

• Coeficiente de correlación

• Regresión

• Recta de regresión