ESTADISTICA APLICADS

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE I 

1. Usando las tablas estadísticas para la distribución normal estándar, t-student y

chi cuadrado, calcular las siguientes áreas: 

a) Si Z n (0,1) 

a.1) P[Z ≤ 2.25] = 0.9878 

a.2) P[Z ≥ -3.20] = P[Z ≤ -3.20] 

= 0.9993 

a.3) P[-2.65 ≤ Z ≤ 2.65] = P[Z ≤ 2.65] - P[Z < -2.65] = 0.9959 – 0.004 

= 0.9919 

a.4) P[Z ≥ 3.15] = 1 - P[Z < 3.15] = 1 – 0.9992 

= 0.0008 

b) Si X → n(500,400) 

b.1) P[Z ≥ 550] = P[Z ≥ 550 – 500 )] 

400 

P[Z ≥ 0.125] = 1 - P[Z < 0.125] = 1 – 0.5497 

= 0.4503 

b.2) P[X ≤ 560] = P[Z < 560 - 500] 

400 

= P[Z < 0.15] 

= 0.5596 

b.3) P[440 ≤ X ≤ 560] = P[Z ≤ 560 ] - P[Z < 440] = 0.5596 – 0.4404 

= 0.1192 

b.4) P[X ≤ 430] = 0.4305

c)Si T 

c.1) P[T < -1.311] = 1 - P[X < -1.311] = 1 – 0.1001 

= 0.8999 

c.2) P[T < 2.045] = 0.975 

c.3) P [-2.756 ≤ T ≤ 2.756 ] = P[T ≤ 2.756 ] - P[T < -2.756] = 0.995 – 0.005 

= 0.99 

c.4) P[T ≥ 1.699] = 1 - P[T < 1.699] = 1 – 0.95 

= 0.05 

d) Si X 

d.1) P[X ≤ 37.65] = 0.95 

d.2) P[16.47 ≤ X ≤ 44.31] = P[X < 44.31 - P[X < 16.47] = 0.99 – 0.0999 

= 0.8901 

d.3) P [X > 29.34] = 1 - P[X ≤ 29.34] = 1 – 0.75 

= 0.25 

d.4) P[19.77 ≤ X ≤ 42.56] = P[X ≤ 42.56] - P[X ≤ 19.77] = 0.9844 – 0.2412 

= 0.7431 

2. En un determinado año las tasas de rentabilidad de las acciones de compañías eléctricas siguieron una

distribución normal media con una media de 14.8 % y desviación estándar de 6.3%. Si en ese año se tuvieron

100 acciones en cartera: 

a) ¿Cuál es la probabilidad que la rentabilidad sea mayor de 19%? 

b) ¿Cuál es la tarea máxima del 95% de las acciones? 

c) ¿Cuántas acciones alcanzaron una rentabilidad menor del 10%? 

d) ¿Qué porcentaje de acciones alcanzaron una rentabilidad mayor del 30%? 

SOLUCION: 

Sea la variable aleatoria “X” tasa de natalidad de acciones de compañías eléctricas 

X n (14.8 % , 6.3%) 

Se obtuvieron 100 acciones en cartera 

Luego T = Z = (X – X) 

S ϭ / n 

Entonces X – X T19 

ϭ / 100 

A) P[X > 19] = P[X > 19 – 14.8] 

0.63 

= P[X >5.8] 

0.63 

= P[X > 6.6667] 

= 1 – 1 = 0 

B) P[X < X1] = 0.95 

Luego: X1 -14.8 = 1.6604 

0.63 

X1 = (1.6604)(0.64) + 1.48 = 15.846 

La tasa máxima del 95% es el 15.846%. 

C) P[X < 10%] = P[t < (10 – 14.8%) 

0.63 

P[t < -7.619] = 0 

Entonces es ninguna. 

D) P[ X > 30%] = P[X > 24.1270] 

Es ninguna. 

3. El consumo medio anual de cerveza de los habitantes de un país es de 59 litros, con una varianza de 36 se supone que se distribuye según una distribución normal. a) Si usted presume de un bebedor, ¿cuantos litros de cerveza tendría que beber al año para pertenecer al 5% de la población que mas bebe? b) Si usted bebe 45 litros de cerveza al año y su mujer le califica de borracho ¿Qué podría argumentar en su defensa? c) ¿Cuál es el consumo mínimo de cerveza del 90% de los habitantes? 

SOLUCION: Sea la variable aleatoria X = consumo medio anual de cerveza Entonces X N(59, 36) X N(59,6) 3.a) P[X < X1] = 0.95 Luego: X1 – 95 = 1.6449 6 X1 = 68.8691 TENDRIA QUE BEBER 69 LITROS DE CERVEZA COMO MINIMO 

3.b) P[X < 45] = P[Z < 45 - 49] 6 = P[Z < -2.3333] = 0.0098 

3.c) P[X < X1] = 0.10 X1 – 45 = - 1.2816 6 X1 = 51.3107 EL CONSUMO MINIMO DEL 90 % DE LA POBLACION ES DE 51.3107 LITROS DE CERVEZA. 

4. El tiempo en minutos que dura la visita de los clientes a una pagina “X” de internet se distribuye normalmente con media 4 minutos y desviación estándar 1.3 minutos hallar: a) La probabilidad de que el tiempo de visita de un cliente dure menos de 6 minutos. b) El porcentaje de clientes cuya visita dura por lo menos 8 minutos c) Si en una semana visiten la pagina 1000 clientes c.1) ¿Cuántos clientes tuvieron un tiempo de visita de a lo mas 6 minutos? c.2) ¿Cuántos clientes tuvieron un tiempo de visita comprendiendo entre 2 y 9 minutos? c.3) ¿Cuántos clientes tuvieron un tiempo de visita de por lo menos 8 minutos? d) El tiempo de visita máximo del 95 % de los clientes e) El tiempo de visita máximo del 5% de los clientes. 

SOLUCION: Sea la variable aleatoria x = tiempo que dura la visita a una pagina X de internet en minutos. X n(4,1.3) a) P[X < 6 ] = P[Z < 6 – 4 ] 1.3 = P[Z < 1.5384] = 0.938 La PROBABILIDA DE QUE EL TIEMPO DURE MENOS DE 6 MINUTOS ES DE 93.8 %. 

b) P[X > 8] = P[Z ≤ 3.0769] = 0.999 P[X > 8] = 1 – 0.999 = 0.0001 EL PORCENTAJE DE CLIENTES ES DE 0.01 % CUYA VISITA DURA POR LO MENOS 8 MINUTOS. 

c) En una semana visitan mil clientes c.1) P[X < 6] = 0.938 NP= (1000) (0.938) NP = 938 LOS CLIENTES QUE TUVIERON A LOS MAS DE 6 MINUTOS FUERON 938. 

c.2) P[Z < X < 9] = P[-1.5385 < Z < 3.8462] = 0.9999 – 0.0620 = 0.9380 SON 938 CLIENTES QUE TUVIERON UNTIEMPO DE VISITA COMPRENDIDO ENTRE 2 Y 9 MINUTOS. 

d) MAS DEL 0.95 P[X < X1] = 0.95 X1 – 4 = 1.6449 1.3 X1 = 6.1383 EL TIEMPO MAXIMO DEL 95% DE LOS CLIENTES DE 6.14 MINUTOS. 

E) P[X < X1] = 0.05 X1 – 4 = 1.6449 1.3 X1 = 1.8617 EL TIEMPO DE VISITA MAXIMO DEL 5 % ES DE 1.86 MINUTOS. 

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE II 1. Un directivo de cierta empresa ha comprobado que los resultados obtenidos en los test de aptitud por los solicitantes de un determinado puesto de trabajo sigue una distribución normal con una desviación estándar de 32 puntos. La media de las calificaciones de una muestra aleatoria de nueve test es de 187 puntos. Calcular un intervalo de confianza del 99% para la calificación media poblacional del grupo solicitante actual. 

SOLUCION: Sea X = “resultados del test de aptitud” Luego x → n(187,32) n.c = 99% = 0.99 x = 1-n.c = 0.01 z = luego el intervalo de confianza es: 

luego el intervalo es: 

(187+(-2.5758)(, 187 + ( 2.5758) ( (187 – 27.4755 , 187 + 27.4755) (159.5245 , 214.4755) 

2. Los siguientes datos corresponden al precio en soles de diez libros de estadística aplica: 350, 350, 350, 730, 800, 180, 700. 320, 250, 500. Calcule un inérvalo de confianza del 90% para el precio promedio de los libros. 

Solución: 

10 LIBROS DE ESTADISTICA n= 10 X = 453 S= 217.4626 ϭ = 206.3032 INTERVALO DE CONFIANZA 1 – X ≥ 0.9 X ≥ 0.1 

(X + ZX/2 S , + ZX/2 S ) 

453 + (- 1.6449) (217.426), 453 + 113.1128) 

(339.8872, 566.1128) EL PRECIO PROMEDIO DE LOS LIBROS ESTA ENTRE 339.89 SOLES A 566.11 SOLES 

3. El gerente de un banco desea estimar el saldo promedio en cuentas de ahorro de los depositantes. En una muestra aleatoria piloto de 100 depositantes, el promedio muestral es de $ 680 y la desviación estándar de la muestra es $ 35 con una seguridad del 95%. 

SOLUCION: Muestra piloto: n = 100 = 680 𝞂 = 35 E = 5 α = 0.05 

n = n = n = n = 188.2314 n = 188 

4. De una muestra aleatoria de 172 propietarios de pequeños negocios, 118 manifiestan que la fuente de financiación inicial fueron sus ahorros. Hallar un intervalo de confianza del 99% para la proporción real de propietarios que manifiestan que la fuente inicial de financiación fueron sus ahorros. 

SOLUCION N = 172 y 118 manifiestan a favor. Luego: P = 118/172 X = 0.01 Luego: 2p = ENTONCES EL INTERVALO DE CONFIANZA VIENE DADO POR: (P + ( , P + ( ) = =- 2.5758 X = 0.01 = = 2.5758 

(0.686 - , 0.686 + (0.686 - , 0.686 + 0.04230) (0.6437, 0.7283) 

5. Se sabe que 25 de cada 1000 objetos elaborados por una empresa son defectuoso. ¿de qué tamaño conviene tomar una muestra para que la proporción estimada de defectuosos no difiere de la verdadera en más de un 5% con un nivel de confianza del 95%? 

SOLUCION N= 1000 objetivos 25 son defectuosos E = 0.05 X = 0.05 Luego: Z = Entonces: N = = 1.96 P= 25 / 1000 = 0.025 = N = N = N = 37.45 

6. El gobierno español va a proponer una serie de medidas para intentar frenar la inmigración ilegal; sin embargo, antes de llevarlas al parlamento desea saber si la población española está a favor de las mismas, para ello realiza una encuesta a 200 personas, de las cuales 110 están a favor de las nuevas medidas. Contrastar la hipótesis nula de que la proporción poblacional es igual a 0.5, frente a la hipótesis alternativa bilateral con un nivel de significación del 10%. SOLUCIÓN: : P =0.5 : P ≠ 0.5 Estadísticamente se prueba: Zp = Zp = Zp = Zp = 0.0071 Nivel de contraste = = 1.6448 No existe motivos para rechazar entonces se dice que la proporción es igual a 0.5.

7. Se ha llevado a cabo un estudio en diferentes países de la Unión europea del porcentaje de la población que accede a la enseñanza superior. En los países escogidos se han obtenido los siguientes medios en tanto por ciento; 23.5, 35, 29.5, 31, 23, 33.5, 27, 28, 30.5. se supone que estos porcentajes siguen una distribución normal con desviación estándar del 5% se desea constatar con una significación del 5% si los datos anteriores son compatibles con un valor medio del porcentaje de la población que cursa estudios superiores es igual al 28% ¿es posible aceptar la hipótesis con un nivel de significación indicado? 

SOLUCION: Sea el valor aleatorio: X= “Porcentaje de la población que accede a la enseñanza superior” Luego x →N (29,5) = µ= 28% = µ ≠ 28 % X = 0.05 

Estadísticos de proeza Z = = Z = Z = 0.6 Contraste: → Conclusion: No se puede rechazar la igualdad, entonces es posible aceptar la hipótesis. 

8. Hace 10 años el 52% de los ciudadanos estaban en contra de una ley. Recientemente se ha elaborado una encuesta a 400 personas y 184 mostraron contrarios a la ley. Con estos datos y con un nivel de significación del 5% ¿podemos afirmar que la proporción de contrarios a la ley ha disminuido? 

SOLUCION: π = 0.52 n = 400 p = = 0.46 PRUEBA DE HIPOTESIS a) = P ≥ 0.52 b) X = 0.05 2p = → n(0,1) 2p = 2p = 2p = = 2.4077 c) Contraste : x = 0.05 = - 1.6449 Rechazamos el y podemos decir que la programación si ha disminuido. 

9. Radio shack el minorista de electrodomésticos anuncio que vende el 21% de todos los computadores caseros ¿esta afirmación se confirma si de 120 de los 700 propietarios de computadores se los compraron a radio shack a un nivel de significancia de α = 0.05? 

SOLUCION: π = 0.21 P = = 0.1714 N = 700 : P = 0.21 : P ≠ 0.21 Estadísticamente se prueba: 2p = → n(0,1 2p = = 2p = 2.7077 

CONTRASTE: α = 0.05 = - 1.9599 Decimos que no vende igual el 21 % de las computadoras caseras. 

10. Los resultados de un estudio realizado por la asociación peruana de mercadeo para determinar la relación entre la importancia que dan a la publicidad los propietarios de tiendas el tamaño de la tienda que poseen aparecen en la siguiente tabla: 

TAMAÑO PUBLICIDAD 

IMPORTANTE NO IMPORTANTE NO OPINAN PEQUEÑA 20 52 32 MEDIANA 53 47 28 GRANDE 67 32 32 

Se pide: a) Se puede concluir que la publicidad y el tamaño de la tienda se relacionan use α=0.05 

b) Calcular e interpretar el coeficiente de contingencia. 

SOLUCION: COEFICIENTE DE CONTINGENCIA = ≤ n.min (2,2) 0 ≤ ≤ n.2 

Luego: 

TAMAÑO PUBLICIDAD 

SUMA 

IMPORTANTE NO IMPORTANTE NO OPINAN 

PEQUEÑA 

20 52 32 104 MEDIANA 53 47 28 128 GRANDE 67 32 32 124 SUMA 140 131 

85 356 

= + + ….. + = + + + + + + + + = + + + + + + + + = 10.6 + 4.9 + 2.06 + 0.14 + 0.0002 + 0.21 + 6.8 + 4.07 + 0.71 = 29.63 

a) Como 29.63 → n.min (2), entonces se dice que si se relacionan. b) Coeficiencia de contingencia = 29.63 

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE III 1. La siguiente tabla muestra información sobre gastos generales y unidades producidas en una empresa “X” X: unidades producidas Y: gastos generales en soles. 

X 45 50 52 63 65 Y 420 481 440 569 590 

a) Grafique el diagrama de dispersión b) Estime la recta de la regresión Y =f(X) c) Interprete d) Pruebe si el coeficiente de determinación e interprete 

e) Grafique la línea de regresión estimada sobre el diagrama dispersión f) Determinar el gasto general cuando x = 70 

SOLUCION: 

Y = X X Donde : = = 

Luego: 

X Y 

XY 

45 50 52 63 65 420 481 440 569 590 2025 2500 2704 3969 4225 176400 231361 193600 323761 348100 18900 24050 22880 35847 38350 SUMA 275 2500 15423 625000 140027 Suma de cuadrados suma de prod. 

Luego: = = = 8.4799 = = = 33.6074 Luego la recta es: Y = 33.61 + 8.48 x Por cada unidad producida se tiene un gasto general de 8.48 soles. Prueba si ≠ 0 (test de diferencia) : = 0 : ≠ 0 = 0.05 = LUEGO: (= = = = = 2.006017 

LUEGO: SE() = = 1.4163 T = = 5.9871 → = 3.1824 

Coincidimos que la pendiente es significativamente diferente de cero. 

Donde: R = R = R = R = R = 0.9606 = 0.9228 X = 70 Luego: Y = 33.6074 + 8.4799 (70) Y = 627.2004 Y = 627 

2. Se llevó a cabo un proyecto de investigación para determinar si existe alguna

relación entre los años de servicio en una empresa y la eficiencia del empleado. Se recogieron los siguientes datos: 

Empleados Años de servicio Tasa de eficiencia 1 2 3 4 5 6 7 8 1 20 6 

8 2 1 15 8 43 97 59 66 44 42 89 65 

a) Grafique el diagrama de dispersión y comente sobre la correlación entre las variables ¿es positiva o negativa? b) Determine el grado de asociaciones entre X e Y c) Pruebe la hipótesis p= 0 contra la hipótesis p ≠ 0 con α =0 

SOLUCION: 

3. Los entrenadores de futbol peruano califican el desempeño de los jugadores en una escala de 0 a 100 tanto durante las prácticas como durante el juego de campeonato. Una muestra de jugadores que participaron en un juego importante revelo los siguiente datos: 

Jugador Puntuación en las practicas X Puntuación durante el juego Y 1 2 3 4 5 6 7 8 80 

20 100 65 50 40 90 60 80 10 90 50 35 30 95 35 

a) Grafique el diagrama de dispersión y comente sobre la regresión entre las variables X e Y ¿existe regresión lineal? b) Estima la línea de regresión de la puntuación durante el juego sobre la puntuación en las practicas c) Interprete d) Pruebe si el coeficiente de

regresión población es diferente de cero ( ≠ 0) con α = 0.05. e) Calcule el coeficiente de determinación e interprete f) Grafique la línea de regresión estimada sobre el diagrama de dispersión g) Determinar la puntuación durante el juego si la puntuación en las practicas es X = 100 

4. Los siguientes datos son sueldos mensuales y promedios de calificaciones para estudiantes que obtuvieron su licenciatura en administración: 

Calificación 12.9 13.4 13.6 13.2 13.5 12.9 Sueldo mensuales en soles 2800 3100 3500 3000 3400 3100 

¿Considera que las variables están correlacionadas? Justifique su respuesta.