estadística aplicada ing civil

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA “Norte de la Universidad Peruana”

FACULTAD DE INGENIERÍA

1 Mg. Miguel Angel Macetas Hernández

19 17 16 14 12 11

2 0

1 5

1 0

5

0




I. ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS

1.1. Estimación puntual

Para estimar los parámetros de una población, es necesario disponer de algunos datos que

provengan de dicha población. Cualquier muestra de observaciones proporciona cierto conocimiento

acerca de la población de la cual proviene. Para medir el error muestral es necesario que dicha

muestra sea ALEATORIA.

Desde el punto de vista algebraico, el estimador de un parámetro es una función de las

observaciones muestrales t x x xn( , ,........ )1 2 , que puede ser lineal, cuadrática, etc.

Ejemplos:

2222 ˆnesobservaciolasdecuadraticafuncion1

ˆnesobservaciolasdelinealfuncion1

SXxn

S

Xxn

X

i

i

El resultado numérico que se obtiene es la estimación del parámetro, en tanto que la expresión

matemática (o algebraica) es el estimador del parámetro. Puede haber varios estimadores del

mismo parámetro, de los cuales se pretende elegir el mejor, en base a las características o

propiedades que se requiera del mismo.

1.2. Propiedades de los estimadores

a) Insesgado o no viciado:

Un estimador se dice Insesgado si su esperanza es igual al parámetro. Es decir:

)ˆ(ˆ Einsesgadoes

Por el contrario, el estimador se dice viciado si su esperanza es distinta al parámetro.

viciadoesE ˆ)ˆ(

b) Consistente:

Un estimador se dice consistente si converge al parámetro, es decir, si su distribución se

concentra alrededor del parámetro a medida que aumenta el tamaño de la muestra, de forma tal

que el error de muestreo tiende a desaparecer. Es decir:

pequeñomentearbitrarianparaP

sideeconsistentestimadorunes

,,1ˆ

:ˆ

Si un estimador es insesgado (o asintóticamente insesgado), será consistente si su variancia

tiende a cero. Es decir:

econsistentesVE ˆ0)ˆ()ˆ(

o bien : econsistentesVE ˆ0)ˆ()ˆ(

c) Eficiente:

Decimos que un estimador no viciado es eficiente si es de mínima variancia. O sea, el

estimador se dice eficiente si su variancia es menor que la de cualquier otro estimador del mismo

parámetro. Es decir:

Si ̂ es un estimador no viciado de , entonces ̂ es eficiente si *̂ :




1)ˆ(

)ˆ(,,)ˆ()ˆ(

*

*

V

VseaoVV

Eficiencia relativa:

Dados dos estimadores no viciados del mismo parámetro, se dice que es más eficiente aquél

que tiene menor variancia. Es decir:

Sean 1 2y dos estimadores de , decimos que

; ( ) ( )( )

( )

1 2 1 2

1

2

1es mas eficiente que si V VV

V

d) Suficiente:

Un estimador se dice suficiente si contiene (o absorbe) toda la información proporcionada por la

muestra, en lo que respecta al parámetro.

e) Invariancia:

Un estimador se dice invariante cuando una función del mismo es un buen estimador de la

función del parámetro. Es decir: es invariante g g( )

II. Métodos de estimación puntual

1.-Método de los momentos: Consiste en estimar los momentos poblacionales a través de los momentos

muestrales.

2.-Método de los Mínimos Cuadrados: Consiste en encontrar estimadores de los parámetros de forma tal

que minimicen la suma de los cuadrados de los desvíos. Con este método se obtienen estimadores

no viciados y consistentes, pues el mismo garantiza mínima variancia y suma de desvíos igual a

cero.

3.-Método de Máxima Verosimilitud: Consiste en encontrar estimadores de los parámetros de forma tal

que maximicen la función de probabilidad de la muestra. Para ello, es imprescindible conocer la

distribución de la variable en la población. Este método proporciona los mejores estimadores, que

gozan excelentes propiedades: Insesgado (o bien, asintóticamente insesgado), Consistente,

Eficiente, Suficiente, Invariantes y de distribución asintóticamente Normal.

Pasos a seguir para obtener los estimadores de máxima verosimilitud

Primero se obtiene la función de probabilidad de la muestra

n

iin xfxxxf

121 ,....., , también

llamada función de verosimilitud y su expresión está dada en términos de los parámetros y de las

observaciones. Comúnmente se la simboliza con ,XL , donde X es el vector aleatorio que

representa a la muestra (o valores observados) y es el parámetro que se quiere estimar.

Luego se pretende hallar el valor de que maximice a ,XL valor que también maximiza al

logaritmo de la función : ln ,XL , (ya que el logaritmo es una función monótona creciente). Por lo

tanto, el segundo paso es aplicarle logaritmo a la función de probabilidad de la muestra ( o de

verosimilitud) con el fin de simplificar la derivada.

Se sabe que una función continua y derivable alcanza su valor máximo en un punto para el cual se

anula su derivada. Si la función de probabilidad de la muestra satisface este requisito, entonces el tercer




paso es derivar la función obtenida ln ,XL respecto del parámetro , y luego hallar el valor de

(o la expresión de ) para el cual se satisface:

0,

XL.

Inconvenientes:

El método de máxima verosimilitud asegura que los estimadores obtenidos son los de mínima

variancia, pero no indica cual sea esta variancia.

El método de máxima verosimilitud asegura que los estimadores obtenidos son los que asignan

máxima probabilidad a la muestra, pero obviamente se admite que dicha muestra sea posible de

obtener aún con diferentes valores del parámetro.

Estas son razones por las cuales la estimación puntual se torna impracticable (sin interés práctico), y se

prefiere la estimación por intervalos, ya que provee de más información.

III. Estimación por Intervalos

Consiste en encontrar un conjunto de números reales que conforman posibles valores del

parámetro.

La estimación por intervalo se realiza utilizando un nivel de confianza, que simbolizamos con 1- y

que representa la probabilidad de que dicho intervalo contenga al verdadero valor del parámetro .

La construcción del intervalo de confianza consiste en hallar los límites inferior y superior en función

de la muestra obtenida. Para su obtención es necesario conocer la distribución del estimador del

parámetro (distribución que obviamente dependerá del parámetro .). Generalmente se

construye una nueva variable en la cual intervienen el estimador y el parámetro , dicha variable

recibe el nombre de estadística de prueba y la simbolizamos g( , ) .

Su ventaja reside en que la distribución de la estadística de prueba ya no depende del parámetro

siendo una distribución standard con los valores de probabilidad tabulados correspondiente a un

gran número de valores posibles de la variable.

Construcción de los intervalos de confianza

3.1.1. Intervalo de Confianza para la media en poblaciones normales

Sea (X1, X2,..., Xn) una muestra aleatoria extraída de una población normal, luego,

i = 1... n : X ~ N( , ) .

Por lo tanto tenemos que:

X1 , X2 , ... , Xn iid N( , ). Xn

Xi

Nn

1

~ ( , )

y X

n

N

~ ,0 1

a) Si 2 es conocido, entonces el intervalo para se obtiene

122

z

n

XzP




siendo z/2: el valor de la variable normal standarizada que está superado con una probabilidad /2.

De dicha expresión se obtiene que:

confianzadeelconn

zXn

zX )%1(22

b) Si 2 es desconocido, se utiliza su estimador S2 y la distribución : X

sn

tn

~ 1

Entonces el intervalo para se obtiene de :

1

2,1

2,1 nn t

ns

XtP

siendo tn-1,/2 el valor de la variable t-student con n grados de libertad, superado con probabilidad /2

De dicha expresión se obtiene que :

confianzadeelconn

stX

n

stX

nn)%1(..

2,1

2,1

Intervalo de Confianza para la proporción

Sean X1 , X2 , ... , Xn iid Bi ( p ) . X = Xi ~ B ( n , p ) .

Para n suficientemente grande, la variable binomial se distribuye aproximadamente normal ,

aproximadamente : X ~ npqnpN , y

n

pqpNX

nh

i,~

1

donde hn

pq es un valor desconocido puesto que no se conoce el valor del parámetro p, por lo

tanto se utiliza el estimador del desvío sh h

nh h

( )

1, obteniendo la siguiente distribución, que es

aproximadamente normal: h p

h h

n

N

( )~ ,

10 1

Dicha aproximación es buena para muestras de tamaño suficientemente grandes, y el mínimo tamaño de

muestra depende del valor de h. W.G. Cochran da una regla práctica para ser utilizada en la búsqueda de

intervalos de confianza del 95%, correspondientes a la proporción poblacional p.

Proporción empírica h Tamaño mínimo de muestra n

0.5 30

0.4 o 0.6 50

0.3 o 0.7 80

0.2 0 0.8 200

0.1 o 0.9 600

0.05 o 0.95 1400

Para estos valores de n se obtiene una buena aproximación Normal válida para la construcción de

intervalos del 95% de confianza.




n

hhzhp

n

hhzh

)1()1(22

con el (1-).100% de confianza

Intervalo de Confianza para la diferencia de medias de dos poblaciones normales independientes

Sean ( X1 , X2 , ... , Xn ) y ( Y1 , Y2 , ... , Ym ) dos muestras aleatorias extraídas de poblaciones

normales , luego :

i = 1 .. n : Xi ~ N(x, x ) .

j = 1 .. m : Yj ~ N(y, y ).

Por lo tanto tenemos que X1 , X2 , ... , Xn iid N( x, x )

Y1 , Y2 , ... , Ym iid N( y, y ) con Xi independiente de Yj

ntesindependieYeXconm

NYm

Y

nNX

nX

y

yi

xxi

),(~1

),(~1

Entonces

X Y Nn m

X Y

n m

Nx yx y x y

x y

~ ; ~ ,

2 2

2 20 1

a) Si x

yy

2 2 son conocidos, el intervalo de confianza para yx se obtiene de la siguiente

manera:

mnzYX

mnzYX

yxyx

yx

22

2

22

2


b) Si x

yy

2 2 son desconocidos pero iguales 222 yx , entonces el estimador de ambos es

mnSy

mn

SmSnS Ayx

yx

A

11ˆ

2

11ˆ 22

22

22

Luego, como :

2

2

~11

mn

A

yxt

mnS

YX

el intervalo de confianza para x y se obtiene de la siguiente manera :

mnStYX

mnStYX AgyxAg

11.

11. ,2,2

con el (1-).100% de confianza , siendo g = n+m-2




Nota:

Para n y m suficientemente grandes, 1,02 NtD

mn

Distribución de la diferencia de proporciones muestrales de dos poblaciones independientes

X1 , X2 , ... , Xn iid Bi(p1)

Y1 , Y2 , ... , Ym iid Bi(p2) con Xi independiente de Yj i , j

Sean hn

X y hm

Yi j1 2

1 1

Luego, h1 y h2 son independientes y se distribuyen aproximadamente normal :

m

qp

n

qpppNhh

ntesindependien

qppNhy

n

qppNh

22112121

2222

1111

;~

,~,~

donde

p q

n

p q

m h h

1 1 2 2

1 2

es desconocido, ya que no se conocen los parámetros p1 y p2 . Luego se

utiliza el estimador de este desvío: m

hh

n

hhS hhhh

)1()1(ˆ

2211)( 2121

obteniendo la siguiente distribución aproximadamente normal h h p p

h h

n

h h

m

N1 2 1 2

1 1 2 21 10 1

( )

( ) ( )~ ( , )

válida para muestras suficientemente grandes.

Los intervalos de confianza para p p1 2 serán de la forma:

h h z S p p h h z Sh h h h1 2

21 2 1 2

21 2 1 2


Intervalo de Confianza para la variancia en poblaciones normales

Sean X1 , X2 , ... , Xn iid N( , ). Entonces X

N i ni

~ ( , ) ,....0 1 1

Xi

i

n

n

1

22~ y

X Xi

i

n

n

1

2

12~

Como X X n S

i

i

n x

1

2 2

2

1 tenemos que:

( ).~

( )n S x

n

12

2 1

2

Basado en esta información, sabemos que:




1

).1(2

2;12

2)(2

21;1 n

x

n

SnP

de donde se obtiene el intervalo de confianza para 2

221;1

2)(2

22;1

2)(

221;1

2)(

2

22;1

).1().1(

1

).1(

1

n

x

n

x

nxn

SnSn

Sn

con el (1-).100% de confianza .

Distribución del cociente de variancias muestrales de poblaciones normales independientes

X1 , X2 , ... , Xn iid N(x, x ); Y1 , Y2 , ... , Ym iid N(y, y ) con Xi independiente de Yj i , j

Luego se deduce que:

x x n S

yy y n S

i

xi

nx

x

n

j

yj

m y

y

m

1

2 2

2 1

2

1

2 2

2 1

2

1

1

( ).~

( ).~

( )

( )

Por ser independientes resulta que :

( )

( )

( )

( )

( ). ~

( )

,

n S

n

m Sy

m

S

S

y

x

F

x

x

y

x

y

n m

1

1

1

1

2

2

2

2

2

2

2

2 1 1

y análogamente se deduce que:

S y

S y

F

x

xm n

( ). ~ ,

2

2

2

2 1 1

Basado en esta información, sabemos que:

P F

Sy

Sy

Fm n

x

xm n

1 1 1 2

2

2

2

2 1 1 2 1, ; , ;

( ).

que equivale a:

PF

Sy

Sy

F

m n x

xm n

11

1 1 2

2

2

2

2 1 1 2

, ;

, ;

( ).

de donde se obtienen los intervalos de confianza para los cocientes de las variancias

x

xy

yy

2

2

2

2




Sx

S Fy

Sx

SF

y m n

x

y

m n

( ).

( ).

, ;

, ;

2

2

1 1 2

2

2

2

2 1 1 2

1


Sy

S Fx

Sy

SF

x m n

y

x

m n

( ).

( ).

, ;

, ;

2

2

1 1 2

2

2

2

2 1 1 2

1


Aplicaciones del Teorema Central del Límite

Intervalo de confianza para la media en poblaciones de distribución desconocida

Si la distribución de X no se conoce, pero se trata de una muestra suficientemente grande, se aplica el

Teorema Central del Límite y así se obtienen los intervalos para

a)

finitasspoblacioneen1

yinfinitasspoblacioneen

)%1(..

22

2

N

nN

nncon

confianzadeelconzXzXconocesesi

xx

xx

xx

b)

finitasspoblacioneen1

yinfinitasspoblacioneenˆ

)%1(..

22

2

N

nN

n

SS

n

SScon

confianzadeelconSzXSzXconocesenosi

xx

xxx

xx

Intervalo de confianza para la diferencia de medias en poblaciones de distribución desconocida

Si las distribuciones de X y de Y no se conocen, pero se trata de muestras suficientemente grandes, se

aplica el Teorema Central del Límite y así se obtienen los intervalos para la diferencia entre las medias

poblacionales usando la distribución Normal:

a) si se conocen las variancias poblacionales

X Y zn m

X Y zn m

x y

x yx y

2

2 2

2

2 2

. . con el (1-).100% de confianza

b) si no se conocen las variancias poblacionales, pero se las supone iguales, entonces

X Y z Sn m

X Y z Sn m

A x y A 2 2

1 1 1 1. . con el (1-).100% de confianza

c) si no se conocen las variancias poblacionales, y tampoco puede suponérselas iguales, entonces

X Y zS

n

S

mX Y z

S

n

S

m

x y

x yx y

2

2 2

2

2 2

. . con el (1-).100% de confianza




PRUEBAS DE HIPÓTESIS

Definición: Hipótesis estadística es un supuesto acerca de la distribución de una variable aleatoria. Podemos

especificar una hipótesis dando el tipo de distribución y el valor del parámetro (o valores de los

parámetros) que la definen.

Ejemplos:

1. X está normalmente distribuida con 100 10y .

2. Y es una variable binomial con p = 0.25

Frecuentemente (en la práctica), la distribución poblacional está implícita, y la hipótesis estadística sólo

especifica el valor del parámetro.

Ejemplos :

3. La tasa media salarial es $185..

4. La proporción de productos defectuosos en cierto proceso es inferior a 0.05, o sea p < 0.05.

Una hipótesis estadística puede considerarse como un conjunto de hipótesis elementales. Al respecto, una

hipótesis estadística puede ser simple o compuesta .

Una hipótesis simple es una especificación del valor de un parámetro, como en el ejemplo (3).

En cambio, una hipótesis compuesta contiene más de un valor del parámetro, como en el ejemplo (4), y se

la considera constituida por el conjunto de todas las hipótesis simples compatibles con ella.

Con el objeto de probar la validez de tales hipótesis, se lleva a cabo un experimento, y la hipótesis

formulada es desechada si los resultados obtenidos del experimento son improbables bajo dicha hipótesis.

Si los resultados no son improbables, la hipótesis no es desechada por falta de evidencia.

Una hipótesis compuesta es considerada verdadera (lo cual significa que no será rechazada o desechada)

cuando alguna de las hipótesis simples que la componen pueda considerarse verdadera.

Ejemplo :

Supongamos que queremos probar la hipótesis de que la probabilidad de obtener un as al arrojar un

dado, es de 1/6 , y con tal fin arrojamos un dado 600 veces .

Si se obtienen 600 ases , este resultado es improbable bajo la hipótesis supuesta, lo cual nos lleva a

rechazarla pues la evidencia indica que ella es falsa .

Si se obtienen 100 ases , este resultado no sería improbable bajo la hipótesis supuesta, y sin duda la

hipótesis no será rechazada , por falta de evidencia.

Obteniendo resultados como éstos, la intuición y el sentido común son suficientes para tomar una

decisión. Sin embargo, en la práctica los experimentos no conducen a conclusiones tan obvias, de donde

surge la necesidad de un método para probar la hipótesis, y esto implica establecer reglas de decisión .

El hecho de rechazar una hipótesis no significa que ésta sea falsa, como tampoco el no rechazarla

significa que sea verdadera. La decisión tomada no esta libre de error. A este respecto, consideraremos

dos tipos de error que pueden ser cometidos, y que los denominaremos error de tipo I y error de tipo II, y

que consisten en:

Error I :Rechazar una hipótesis que es verdadera .

Error II : No rechazar una hipótesis que es falsa .

La forma de medir estos errores es mediante la probabilidad. Simbolizaremos con a la probabilidad de

rechazar una hipótesis verdadera, y con a la probabilidad de no rechazar una hipótesis falsa; por lo

tanto = P( rechazar H / H es verdadera ) y = P( no rechazar H / H es falsa )

Es deseable que estas dos probabilidades de error sean pequeñas. Una forma cómoda de especificar lo que

se requiere de un procedimiento de prueba es concentrar la atención en dos conjuntos posibles de valores

del parámetro, es decir, en dos hipótesis estadísticas, a las cuales llamaremos hipótesis nula designada

por H0 e hipótesis alternativa designada por H1 .

La prueba de hipótesis es un procedimiento de toma de decisiones , relacionada principalmente con la

elección de una acción entre dos posibles . Por lo tanto, cada hipótesis (nula y alternativa) la asociaremos

con una de las acciones. Esta designación, en principio, es arbitraria, pero típicamente la hipótesis nula




corresponde a la ausencia de una modificación en la variable investigada, pudiendo considerar que

nulifica el efecto de un tratamiento , y por lo tanto se especifica de una forma exacta : H0 : = 0 ; en

tanto que la hipótesis alternativa generalmente indica una variación de valores que prevalecería si la

variable sufre alguna modificación, pudiendo pensar que el tratamiento fue efectivo , por lo cual esta

hipótesis (alternativa) se especifica de manera más general :

H1: 0 ó H1 : > 0 ó H1 : < 0. Observemos que en general la hipótesis alternativa es compuesta. Raramente la hipótesis alternativa es

una hipótesis simple, como por ejemplo: H1 : = 1 , sino que, normalmente ésta es el complemento de

la hipótesis nula .

ERRORES Y RIESGOS DE LA PRUEBA

La práctica de probar la hipótesis nula contra una alternativa, sobre la base de la información de la

muestra, conduce a dos tipos posibles de error, debido a fluctuaciones al azar en el muestreo. Es posible

que la hipótesis nula sea verdadera pero rechazada debido a que los datos obtenidos en la muestra sean

incompatibles con ella ; como puede ocurrir que la hipótesis nula sea falsa pero no se la rechace debido a

que la muestra obtenida no fuese incompatible con ella .

Cuadro de decisiones y errores

Estado Naturaleza Ho es verdadera Ho es falsa

Decisión

Rechazar Ho error I – incorrecto Correcto

No Rechazar Ho Correcto error II - incorrecto

Las probabilidades de cometer errores de tipo I y II se consideran los "riesgos" de decisiones

incorrectas. Así, la probabilidad de cometer un error de tipo I se llama nivel de significación de la prueba

y se simboliza con . .

. = P( error I ) = P( rechazar Ho / H0 es verdadera )

y la probabilidad de cometer un error de tipo II se designa por . Entonces :

= P( error II ) = P( no rechazar Ho / Ho es falsa )

Prueba de hipótesis simple contra alternativa única

Consideremos el caso de una hipótesis nula simple contra una hipótesis alternativa también simple.

H0 : = 0 ; H1 : = 1

Sea la variable aleatoria X con distribución conocida : X ~ f(x , ) , y sea ),,....,,(21

n

xxxf

un

estimador de . Entonces, la estadística de prueba

tiene distribución conocida siempre que se

conozca el valor del parámetro . Luego, dicha distribución queda completamente definida suponiendo

verdadera la hipótesis nula H0 : = 0. Las reglas de decisión sobre el rechazo o no de Ho se

establecen respecto a la amplitud de

y el resultado particular de la muestra. Se clasifica la amplitud de

en dos subconjuntos que son : R = región de rechazo o región crítica que contiene los resultados

menos favorables a Ho , y A = región de aceptación o región de no rechazo que contiene los resultados

más favorables a Ho . De esta forma, si

R rechazamos Ho y si A no rechazamos Ho . El

valor de

que separa R de A se denomina valor critico de la estadística de prueba, y se representa

por c .




Si suponemos 1 > 0 , entonces :

)/()(

)/()(

1

cPeIIP

cPeIPo

dffalsoesHHrechnoPcPeIIP

dfverdaderaesHHrechPcPeIP

c

oo

coooo

).()/.()/()(

).()/.()/()(

11

donde )()( 1

fyfo son las funciones de densidad del estimador del parámetro

, según sea = 0

o = 1 respectivamente.

UBICACION DE LA REGION CRÍTICA

Fijado el nivel de significación P rech H H es verdaderao o( . / ) ,debemos dividir (separar) el

recorrido de

en dos subconjuntos disjuntos : R = región de rechazo (o región crítica) y A = región de

no rechazo (o de aceptación) , siendo A el complemento de R . Luego, se verifica que :

)/()/(oo

RPverdaderaesHRP

Dónde ubicamos esta región crítica R ?

Dada nuestra preocupación de cometer un error de tipo II , deberemos escoger para R una ubicación

donde la probabilidad de este error sea mínima :

minimo)/ˆ(

minimo)/.()(

falsoesHAPequivalecuallo

falsoesHHrechnoPeIIP

oo

oo

La región de aceptación A es el complemento de la región de rechazo R , y la ubicación de R depende

de la naturaleza de la hipótesis alternativa H .

Caso I

o

oo

H

H

:

:

1

A R

c x

ˆ)./ˆ()/ˆ()/ˆ(: 11111 dfcPAPparac

o

Caso II

1

0

0

0

1 0




o

oo

H

H

:

:

1

ˆ)./ˆ()/ˆ()/ˆ(: 11111 dfcPAPparac

o

Caso III

o

oo

H

H

:

:

1

ˆ)./ˆ()/ˆ()/ˆ(: 1112111

2

1

dfccPAPparac

co

PASOS A SEGUIR PARA PROBAR UNA HIPOTESIS

1. Formular las hipótesis de acuerdo con el problema.

2. Escoger un nivel de significación () dependiendo de los costos de cometer errores de tipo I y tipo II.

3. Escoger el estimador del parámetro cuya distribución por muestreo sea conocida en el supuesto de que

la hipótesis nula sea verdadera, es decir, se conoce oo

quedadofseaof ˆ;ˆ .

4. Establecer la regla de decisión, que depende de la forma de la hipótesis alternativa y del nivel de

significación. Esto se refiere a hallar los valores críticos.

5. En base a una muestra seleccionada al azar, calcular el valor del estadístico. Luego, comparar con el

valor crítico (o los valores críticos).

6. Decidir si rechazar o no la hipótesis nula.

Observaciones :

Sólo se toma en cuenta el error de tipo I . Por lo tanto, el test es significativo si se rechaza la

hipótesis nula , pues en este caso se conoce la probabilidad de haber cometido un error. En

función de esto, se deberá decidir cuál de las hipótesis debe ser la nula y cuál la alternativa, como

también cuál debe ser el nivel de significación.

0 0

1

1

0

0

0

0 1




CASOS PARTICULARES DE PRUEBAS DE HIPÓTESIS

Prueba de hipótesis de la media en poblaciones normales

Sea ( X1 , X2 , ... , Xn ) una muestra aleatoria extraída de una población normal, luego, i = 1 .. n :

X ~ N( , ) .

Por lo tanto tenemos que: X1 , X2 , ... , Xn iid N( , ).

Xn

X Nn

i 1

~ ( , )

, )1,0(~ NX

n

H0 : = 0 vs H1 : 0

Si la hipótesis nula H0 es verdadera, entonces = 0 y por lo tanto )1,0(~0 NX

n

Como la prueba es bilateral, se rechazará la hipótesis nula tanto como cuando se tenga evidencia de que la

media poblacional sea mayor que el valor postulado como cuando se tenga evidencia de que sea menor

que el valor postulado. Luego, se calculan dos valores críticos (zc1 y zc2) para la variable pivotal o

estadístico de prueba, que son los valores de la distribución Normal que dejan una probabilidad de

por debajo y por encima respectivamente: zc1 es tal que ( zc1) = y zc2 es tal que ( zc2) = 1-

Se estandariza el valor observado de la media muestral n

obs

o

xz

0 del cual dependerá la

decisión : si zo > zc2 zo < zc1 Se rechaza H0

si zc1 < zo < zc2 No se rechaza H0

Prueba de hipótesis de comparación de medias de dos poblaciones normales independientes.

Sean ( X1 , X2 , ... , Xn ) y ( Y1 , Y2 , ... , Ym ) dos muestras aleatorias extraídas de

poblaciones normales, luego:

i = 1 .. n : Xi ~ N(x, x ) j = 1 .. m : Yj ~ N(y, y ).

Por lo tanto tenemos que

ntesindependieYeXconm

NYm

Y

nNX

nX

y

yi

xxi

),(~1

),(~1

Entonces

X Y Nn mx yx y

~ ; 2 2

1;0~)(

22N

mn

YX

yx

yx




H0 : x = y vs H1 : x y

Si la hipótesis nula H0 es verdadera, entonces x = y y por lo tanto 1;0~22

N

mn

YX

yx

Como la prueba es bilateral, se rechazará la hipótesis nula cuando se tenga evidencia de que las medias

poblacionales difieren entre sí. Luego, se calculan dos valores críticos (zc1 y zc2) para la variable pivotal

o estadístico de prueba, que son los valores de la distribución Normal que dejan una probabilidad de

por debajo y por encima respectivamente: zc1 es tal que (zc1) = y zc2 es tal que (zc2) = 1-

Se estandariza el valor observado de la diferencia entre las medias muestrales

mn

yxz

yx

obsobs

o22

del cual dependerá la decisión :

si zo > zc2 zo < zc1 Se rechaza H0


Prueba de hipótesis de la proporción

Sean X1 , X2 , ... , Xn iid Bi ( p ) . A través de las propiedades de la Función Generatriz de

Momentos se demuestra que : X = Xi ~ B ( n , p ) .

Para n suficientemente grande, la variable binomial se distribuye aproximadamente normal ,

aproximadamente : X ~ N( n.p , npq ) .

De donde se deduce que la proporción muestral hX

n

X

n

i

también tiene una

distribución aproximadamente normal :

hn

X N ppq

ni

1~ , , 1,0~ N

n

pq

ph

H0 : p = p0 vs H1 : p p0

Si la hipótesis nula H0 es verdadera, entonces p = p0 y por lo tanto 1,0~)1( 00

0 N

n

pp

ph


proporción poblacional sea mayor que el valor postulado como cuando se tenga evidencia de que sea

menor que el valor postulado. Luego, se calculan dos valores críticos (zc1 y zc2) para la variable pivotal o

estadístico de prueba, que son los valores de la distribución Normal que dejan una probabilidad de

por debajo y por encima respectivamente: zc1 es tal que (zc1) = y zc2 es tal que (zc2) = 1-

Se estandariza el valor observado de la proporción muestral

n

pp

phz obs

o)1( 00

0

del cual dependerá

la decisión : si zo > zc2 zo < zc1 Se rechaza H0





Prueba de hipótesis de comparación de proporciones de dos poblaciones independientes

X1 , X2 , ... , Xn iid Bi(p1)

Y1 , Y2 , ... , Ym iid Bi(p2) con Xi independiente de Yj i j

Sean hn

X y hm

Yi j1 2

1 1

Luego, h1 y h2 son independientes y se distribuyen aproximadamente :

m

qp

n

qpppNhh

m

qppNhy

n

qppNh

22112121

2222

1111

;~

,~,~

1;0~

2211

2121 N

m

qp

n

qp

pphh

H0 : p1 = p2 vs H1 : p1 p2

Si la hipótesis nula H0 es verdadera, entonces p1 = p2 1;0~11

)ˆ1(ˆ

21 N

mnpp

hh

donde mn

hmhnp

21 ..

ˆ es la proporción de éxitos (total) .

Como la prueba es bilateral, se rechazará la hipótesis nula cuando se tenga evidencia de que las

proporciones poblacionales sean diferentes. Luego, se calculan dos valores críticos (zc1 y zc2) para la

variable pivotal o estadístico de prueba, que son los valores de la distribución Normal que dejan una

probabilidad de por debajo y por encima respectivamente: zc1 es tal que ( zc1) = y zc2 es

tal que ( zc2) = 1-

Se estandariza el valor observado de la diferencia entre las proporciones muestrales

mnpp

hhz obsobs

o11

)ˆ1(ˆ

21

del cual dependerá la decisión :

si zo > zc2 zo < zc1 Se rechaza H0





Prueba de hipótesis de la variancia en poblaciones normales

Sean X1 , X2 , ... , Xn iid N( , )

Entonces : 2

1

2

1

~

n

n

i

i XX

La variancia muestral está definida como S

x x

nx

ii

n

( )

( )2 1

2

1

de donde se obtiene que

2

1

2

1

~

n

n

i

i XX

212

2)(

~)1(

n

xSn

H0 : 2 = 2

0 vs H1 : 2 2

0

Si la hipótesis nula H0 es verdadera, entonces 2 = 20 y por lo tanto 2

1

0

2)(

~).1(

2

n

xSn


variancia poblacional sea mayor que el valor postulado como cuando se tenga evidencia de que sea menor

que el valor postulado. Luego, se calculan dos valores críticos (2c1 y 2

c2) para la variable pivotal o

estadístico de prueba, que son los valores de la distribución 2n-1 que dejan una probabilidad de

por debajo y por encima respectivamente : 2c1 es tal que P(2

n-1 < 2c1) = y 2

c2 es tal que

P(2n-1 > 2

c2) = .

Se calcula el valor observado de la estadística de prueba o variable pivotal que relaciona la variancia

muestral con la poblacional 2

0

22 ).1(

obso

Sn del cual dependerá la decisión :

si 2o > 2

c2 2o < 2

c1 Se rechaza H0

si 2c1 < 2

o < 2c2 No se rechaza H0

Prueba de hipótesis de comparación de variancias de poblaciones normales independientes

X1 , X2 , ... , Xn iid N(x, x) , Y1 , Y2 , ... , Ym iid N(y, y) con Xi independiente de Yj

1,0,......,)1,0(,......,

.....1)1,0(~.....1)1,0(~:

11 NiidYY

yNiidXX

mjNY

yniNX

Luego

y

ym

y

y

x

xn

x

x

y

yi

x

xi




212

2)(2

12

2)(

~).1(

~).1(

m

y

y

n

x

x Sny

Sn

que por ser independientes resulta que el cociente :

( )

( )

( ) ( )

( )

( ). ~

( )

( ),

n S

n

m S y

m

S

S

y

x

F

x

x

y

x

yn m

1

1

1

1

2

2

2

2

2

2

2

2 1 1

H0 : 2

x = 2y vs H1 :

2x 2

y

Si la hipótesis nula H0 es verdadera, entonces 2x = 2

y y por lo tanto 1,12

)(

2

~)(

mn

y

xF

S

S

Como la prueba es bilateral, se rechazará la hipótesis nula cuando se tenga evidencia de que las variancias

poblacionales difieren entre sí. Luego, se calculan dos valores críticos (Fc1 y Fc2) para la variable pivotal

o estadístico de prueba, que son los valores de la distribución F-Snedecor con n-1 y m-1 grados de

libertad, que dejan una probabilidad de por debajo y por encima respectivamente Fc1 es tal

que P(Fn-1;m-1< Fc1) = y Fc2 es tal que P(Fn-1;m-1> Fc2) = .

Se calcula el valor observado de la estadística de prueba o variable pivotal del cociente de las variancias

muestrales 2

)(

2)(

obsy

obsx

oS

SF del cual dependerá la decisión :

si Fo > Fc2 Fo < Fc1 Se rechaza H0

si Fc1 < Fo < Fc2 No se rechaza H0

Prueba de hipótesis de la media en poblaciones normales con variancia desconocida.

Sean (X1 , X2 , ... , Xn ) una muestra aleatoria extraída de una población normal, luego i=1,.,n

Xi ~ N( , ).

Por lo tanto tenemos que X1 , X2 , ... , Xn iid N( , ). de donde se deduce que:

)1,0(~,~ N

n

Ximplicaque

nNX

y 2

12

2)(2

11

2

~)1(

~

n

x

n

n

i

XXSn

i

Como X y S2(x) son independientes, lo son también

2

2)()1(

x

n

Sny

X , de distribución normal

y chi cuadrado respectivamente. Luego, realizando el cociente entre ellas, obtenemos :




1)(

~

n

n

xSt

X

H0 : = 0 vs H1 : 0

Si la hipótesis nula H0 es verdadera, entonces = 0 y por lo tanto 1)(

0~

n

n

xSt

X

Como la prueba es bilateral, se rechazará la hipótesis nula cuando se tenga evidencia de que la media

poblacional sea mayor que el valor postulado como cuando se tenga evidencia de que sea menor que el

valor postulado. Luego, se calculan dos valores críticos (tc1 y tc2) para la variable pivotal o estadístico de

prueba, que son los valores de la distribución t-Student con n-1 grados de libertad que dejan una

probabilidad de por debajo y por encima respectivamente: tc1 es tal que P(tn-1 < tc1) = y tc2 es

tal que P(tn-1 > tc2) = .

Se estandariza el valor observado de la media muestral n

xS

obs

o

xt

)(

0 del cual dependerá la

decisión : si to > tc2 to < tc1 Se rechaza H0

si tc1 < to < tc2 No se rechaza H0

Nota: Para tamaños grandes de muestra, esta distribución tiende a la distribución normal con parámetros

=0 y =1 .

nN

n

xS

X)1,0(~

)(0

Prueba de hipótesis de comparación de medias de dos poblaciones normales independientes, con variancias desconocidas pero supuestamente iguales.

Sean (X1 , X2 , ... , Xn ) y (Y1 , Y2 , ... , Ym ) dos muestras aleatorias extraídas de

poblaciones normales independientes con igual variancia . Entonces x y

luego , i=1..n , Xi ~ N(x, ) y i=1..m , Yj ~ N(y, ).

Por lo tanto tenemos que

X1, X2, ... , Xn iid N(x, ); Y1, Y2, ... , Ym iid N(y, ). con Xi independiente de Yj

De la distribución normal de las variables X e Y, se deduce que:

)1,0(~11

)(,;~

22

N

mn

YXtantolopory

mnyxNYX

yx

como también




212

2)(2

12

2)(

~)1(

~)1(

m

y

n

x Smy

Sn

que por ser independientes:

222

2)(

2)(

~)1()1(

mn

yx SmSnresulta

Luego, realizando el cociente, obtenemos:

X Y

n S m S

n m n m

tx y

x y

n m

( )

( ) ( )

( )

~

( ) ( )

1 1

2

1 12 2

2

donde ( ) ( )

( )

( ) ( )n S m S

n m

x y

1 1

2

2 2

es el estimador de la variancia común 2, y lo simbolizaremos con S2A

H0 : x = y vs H1 : x y

Si la hipótesis nula H0 es verdadera, entonces x = y y por lo tanto

22

)(2

)(

~

11

)2(

)1()1(

mn

yx

t

mnmn

SmSn

YX o bien 2~

11.

mn

A

t

mnS

YX

Como la prueba es bilateral, se rechazará la hipótesis nula cuando se tenga evidencia de que las medias

poblacionales sean diferentes. Luego, se calculan dos valores críticos (tc1 y tc2) para la variable pivotal

o estadístico de prueba, que son los valores de la distribución t-Student con n+m-2 grados de libertad

que dejan una probabilidad de por debajo y por encima respectivamente :

tc1 es tal que P(tn+m-2 < tc1) = y tc2 es tal que P(tn+m-2 > tc2) = .

Se estandariza el valor observado de la diferencia entre las medias muestrales

mnS

yxz

A

obsobs

o11

.

del

cual dependerá la decisión : si to > tc2 to < tc1 Se rechaza H0

si tc1 < to < tc2 No se rechaza H0

Nota: Para tamaños grandes de muestra, esta distribución tiende a la distribución normal con parámetros

=0 y =1 .

)()1,0(~11

.

mnN

mnS

YX

A

estadística aplicada ing civil

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