Instituto Universitario de Tecnología.

Antonio José de Sucre.

Extensión Barquisimeto.

Estadística

Aplicada

Mariely J. Vargas Z.

V- 19.828.422

Estadística II

Sección S1

2014-2i

Variable Aleatoria

Se llama variable aleatoria a toda función que

asocia a cada elemento del espacio muestral E

un número real.

Se utilizan letras mayúsculas X, Y, ... paradesignar variables aleatorias, y las respectivasminúsculas (x, y, ...) para designar valoresconcretos de las mismas.

Variable Aleatoria Discreta

Una variable aleatoria discreta es aquella que

sólo puede tomar valores enteros.

Ejemplo:

El número de hijos de una familia, la puntuación

obtenida al lanzar un dado.

Variable Aleatoria Continua

Una variable aleatoria continua es aquella quepuede tomar todos los valores posibles dentro de un cierto intervalo de la recta real.

Ejemplo:

La altura de los alumnos de una clase, las horas de duración de una pila.

Distribución de probabilidad

• En teoría de la probabilidad y estadística, la distribución de probabilidad de una variable aleatoriaes una función que asigna a cada suceso definido sobre la variable aleatoria, la probabilidad de que dicho suceso ocurra. La distribución de probabilidad está definida sobre el conjunto de todos los sucesos, cada uno de los sucesos es el rango de valores de la variable aleatoria.

• La distribución de probabilidad está completamente especificada por la función de distribución, cuyo valor en cada x real es la probabilidad de que la variable aleatoria sea menor o igual que x.

Función de distribución

Sea X una variable aleatoria discreta cuyos valores suponemos ordenados de menor a mayor. Llamaremos función de distribución de la variable X, y escribiremos F(x) a la función:

F(x) = p(X ≤ x)

La función de distribución asocia a cada valor de la variable aleatoria la probabilidad acumulada hasta ese valor.

Ejemplo: Calcular la función de distribución de probabilidad de las

puntuaciones obtenidas al lanzar un dado.xp ix <101≤ x < 22≤ x < 3 3≤ x < 4 4≤ x < 5 5≤ x < 6 6≤ x 1

Representación

La representación de una función de distribución de probabilidad es una gráfica escalonada.

Esperanza matemática

En estadística la esperanza matemática(también llamada esperanza, valor esperado,media poblacional o media) de una variablealeatoria , es el número que formaliza la ideade valor medio de un fenómeno aleatorio.

Distribución binomial o de Bernoulli

Un experimento sigue el modelo de la distribución binomial o de Bernoulli si:

1. En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: el suceso A (éxito) y su contrario .

2. La probabilidad del suceso A es constante, es decir, que no varía de una prueba a otra. Se representa por p.

3. El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos anteriormente.

La distribución binomial se suele representar por B(n, p).n es el número de pruebas de que consta el experimento.p es la probabilidad de éxito.La probabilidad de es 1− p, y la representamos por q.

Variable aleatoria binomial

La variable aleatoria binomial, X, expresa el número de éxitos obtenidos en cada prueba del experimento.

La variable binomial es una variable aleatoria discreta, sólo puede tomar los valores 0, 1, 2, 3, 4, ..., n suponiendo que se han realizado n pruebas.

Ejemplo:

k = 6, al lanzar una moneda 10 veces y obtener 6 caras.

Independencia (probabilidad)En teoría de probabilidades, se dice que dos sucesos

aleatorios son independientes entre sí cuando la probabilidad de cada uno de ellos no está influida porque el otro suceso ocurra o no, es decir, cuando ambos sucesos no están relacionados.

Se tiene una urna con 50 papeles de colores 15 rojos, 5 morados, 9 verdes, 11 naranjas y 10 azules.Cual es la probabilidad de:A sale un papel azul oB sale un papel rojoP(AoB)=P(AuB)=P(A)+P(B)=P(sale un azul)+P(sale 1 rojo)=10/50 + 15/50=25/50=1/2Eventos independientes

Distribucion Hipergeometrica

En teoría de la probabilidad la distribución hipergeométrica es una distribución discreta relacionada con muestreos aleatorios y sin reemplazo. Supóngase que se tiene una población de N elementos de los cuales, dpertenecen a la categoría A y N-d a la B. La distribución hipergeométrica mide la probabilidad de obtener x ( ) elementos de la categoría A en una muestra sin reemplazo de n elementos de la población original.

De un lote de 10 proyectiles, 4 se seleccionan al azar y se disparan. Si el lote contiene 3 proyectiles defectuosos que no explotarán, ¿cuál es la probabilidad de que , a) los 4 exploten?, b) al menos 2 no exploten?

Solución:a) N = 10 proyectiles en totala = 7 proyectiles que explotann = 4 proyectiles seleccionadosx = 0, 1, 2, 3 o 4 proyectiles que explotan = variable que nos define el número de

proyectiles que explotan entre la muestra que se dispara

b) N = 10 proyectiles en totala = 3 proyectiles que no explotann = 4 proyectiles seleccionados x = 0, 1, 2 o 3 proyectiles que no explotan

p(al menos 2 no exploten) = p( 2 o más proyectiles no exploten) = p(x = 2 o 3; n=4) =

Distribución de Poisson

En teoría de probabilidad y estadística, la distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta que expresa, a partir de una frecuencia de ocurrencia media, la probabilidad de que ocurra un determinado número de eventos durante cierto período de tiempo. Concretamente, se especializa en la probabilidad de ocurrencia de sucesos con probabilidades muy pequeñas, o sucesos "raros".

Distribución normal

En estadística y probabilidad se llama distribución normal, distribución de Gauss o distribución gaussiana, a una de las distribuciones de probabilidad de variable continua que con más frecuencia aparece aproximada en fenómenos reales.

El tiempo medio en realizar una misma tarea por parte de los empleados de una empresa se distribuye según una distribución normal, con media de 5 días y desviación típica 1 día. Calcular el porcentaje de empleados que realizan la tarea en un tiempo inferior a 7 días.

ßt1 = -¥ y t2 = (7 -5)/1 = 2En la tabla la probabilidad acumulada para el valor 2 (equivalente a un

tiempo inferior a 7 días.). Esta probabilidad es 0,9772. Por lo tanto, el porcentaje de empleados que realizan la tarea en un tiempo inferior a 7 días es del 97,7%.

Distribución t (de Student) En probabilidad y estadística, la distribución t (de Student) es una

distribución de probabilidad que surge del problema de estimar la mediade una población normalmente distribuida cuando el tamaño de la muestra es pequeño.

Ejemplo:El valor t con = 14 grados de libertad que deja un área de 0.025 a la izquierda,

y por tanto un área de 0.975 a la derecha, es

t0.975=-t0.025 = -2.145Si se observa la tabla, el área sombreada de la curva es de la cola derecha, es

por esto que se tiene que hacer la resta de . La manera de encontrar el valor de t es buscar el valor de en el primer renglón de la tabla y luego buscar los grados de libertad en la primer columna y donde se intercepten y se obtendrá el valor de t.

Distribución FUsada en teoría de probabilidad y estadística, la

distribución F es una distribución de probabilidad continua. También se le conoce como distribución F de Snedecor (por George Snedecor) o como distribución F de Fisher-Snedecor.

Una variable aleatoria de distribución F se construye como el siguiente cociente:

dondeU1 y U2 siguen una distribución chi-cuadrado con d1 y d2

grados de libertad respectivamente, yU1 y U2 son estadísticamente independientes.La distribución F aparece frecuentemente como la

distribución nula de una prueba estadística, especialmente en el análisis de varianza.

Distribución Chi Cuadrado En un delimitado espacio conjuga un determinado

número de variables aleatorias independientes entre sí, con unos valores de probabilidad ubicados entre 1 y 0 que son atribuibles a esas variables, y con unos límites de la probabilidad para el verdadero valor de Xdelimitados por los Grados de Libertad atribuibles a las variables aleatorias analizadas.

Ejemplo, El espesor de un semiconductor se controla mediante la variación estándar no mayor a s=0.60 mm. Para mantener controlado el proceso se toman muestras aleatoriamente de tamaño de 20 unidades, y se considera que el sistema está fuera de control cuando la probabilidad de que s2 tome valor mayor o igual al valor de la muestra observado es que es 0.01. Que se puede concluir si s=0.84mm?

Solución. Existe fuera de control si con n=20 y s=0.60, excede Entonces, Por tanto, el sistema está fuera de control

La función de distribución CHI tienen importantes variaciones de acuerdo con los grados de libertad y del tamaño muestral (menor tamaño muestral y mayor tamaño muestral respectivamente),

En consecuencia, si tenemos X1,..,Xn, variable aleatoria independientes, donde cada

, se tiene

La distribución Chi muestra su importancia cuando queremos determinar la variabilidad (sin signo) de cantidades que se distribuyen en torno a un valor central siguiendo un mecanismo normal.

Distribución betaEn estadística la distribución beta es una distribución de

probabilidad continua con dos parámetros y cuya función de densidad para valores es

Aquí es la función gamma.El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria X

con distribución beta son.Un caso especial de la distribución beta es cuando y que

coincide con la distribución uniforme en el intervalo [0, 1].

Para relacionar con la muestra se iguala a la media y a la varianza y se despejan y .

para el caso de beta sub 0 el coeficiente de correlacion e calcula por la covarianza de xy sobre la desviacionestandar de x por la desviacion estardar de y

Distribución gamma

En estadística la distribución gamma es una distribución de probabilidad continua con dos parámetros y cuya función de densidad para valores es

Aquí es el número e y es la función gamma. Para valores la función gamma es (el factorial de ). En este caso - por ejemplo para describir un proceso de Poisson - se llaman la distribución distribuciónErlang con un parámetro .

El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria X de distribución gamma son

Distribución exponencialEn estadística la distribución exponencial es una

distribución de probabilidad continua con un parámetro cuya función de densidad es:

Su función de distribución acumulada es:

Donde representa el número e.El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria X

con distribución exponencial son:

La distribución exponencial es un caso particular de distribución gamma con k = 1. Además la suma de variables aleatorias que siguen una misma distribución exponencial es una variable aleatoria expresable en términos de la distribución gamma.

EjemploEjemplos para la distribución exponencial es la distribución de

la longitud de los intervalos de variable continua que transcurren entre la ocurrencia de dos sucesos, que se distribuyen según la distribución de Poisson.

El tiempo transcurrido en un call center hasta recibir la primer llamada del día se podría modelar como una exponencial.

El intervalo de tiempo entre terremotos (de una determinada magnitud) sigue una distribución exponencial.

Supongamos una máquina que produce hilo de alambre, la cantidad de metros de alambre hasta encontrar una falla en el alambre se podría modelar como una exponencial.

En fiabilidad de sistemas, un dispositivo con tasa de fallo constante sigue una distribución exponencial.

Distribución normal estándarLa distribución normal estándar, o tipificada o reducida, es aquella

que tiene por media el valor cero, μ = 0, y por desviación típica la unidad, σ =1.

Su función de densidad es:

Su gráfica es:

La probabilidad de la variable X dependerá del área del recinto sombreado en la figura. Y para calcularla utilizaremos una tabla.

Tipificación de la variablePara poder utilizar la tabla tenemos que transformar la variable X que

sigue una distribución N(μ, σ) en otra variable Z que siga una distribución N(0, 1).