Ejemplo del "pedazo de pizza" para conceptualizar la probabilidadHarry y Paula van a una pizzeria. Ellos estn recin empezando una relacin. Paula ordena la mitad de su pizza con salami y Harry con jamn. Luego ellos comparten su pizza, en lo que notan que dejan de compartir un pedazo de afuera o un pedazo central de la pizza. Sin embargo, a Harry que normalmente le gusta mas lo de afuera, no se preocupa de eso en su actual situacin. Y tambin paula deja su mitad de afuera por casualidad. Cun grande es verdaderamente la probabilidad, que Harry tenga dos pedazos de pizza de su preferencia del total?Archivo:Pizza estadistica.png Pedazos de PizzaLa respuesta correcta sera 1/4. Pero porque obtenemos la probabilidad precisamente de 1/4?Obtenemos un proceso: Para inicios iguales (condicin compleja) se puede intentar intercambiando dos mitades de los pedazos aleatoriamente, haciendolo repetidamente frecuente a voluntad. Cada ocasin tiene un desenlace incierto. Se trata aqui de una operacin aleatoria (experimento, intento).La operacin aleatoria se puede tambien describir a travs de: Iguales condiciones complejas Desenlace incierto Repetidamente frecuente a voluntadUn determinado par de mitades de pedazos del plato de Harry es un resultado. Un resultado sera por ejemplo: la primera mitad es un pedazo del borde, y el segundo pedazo es uno de la mitad,(R;M) o solo RM (R para el borde y M para la mitad)donde la parte "izquierda" le corresponderia a Harry y la "derecha" a Paula.Todos los pares posibles se resumen en el Conjunto solucin : es tambin el conjunto de todas las posibles soluciones que se puedan presentar en un proceso aleatorio. Se lleva a cabo este proceso frecuentemente infinito, debendo resultar presumiblemente en un 25% de todos los intentos dos pedazos de la mitad. Luego se podra con eso indicar que cada uno en la pareja tiene la misma probabilidad de sacar un pedazo. El nmero del resultado, llamado ||, es cuatro. Por eso es la probabilidad para un par de pedazos del borde

Si ahora resulta para un intento de ejemplo "RM", esto es un acontecimiento.Para un "RM" se trata de un acontecimiento elemental. Es un acontecimiento que solo contiene un elemento en el conjunto de resultados.Hay tambien complicados acontecimientos compuestos:A: Al menos un pedazo de la mitad: A = {RM, MR, MM}B: Un pedazo completo: B = {RM, MR}Estos acontecimientos incluyen mas resultados de ; un acontecimiento es siempre un subconjunto de .La probabilidad como concepto tericoPequea historia generalHay ahora aplicadas tantas probabilidades como Homo Sapiens existen. El ltimo da de la batalla en el bosque de Teutoburger (9 d.n.e.) haba una tormenta. Los romanos interpretaron eso como un aviso ejemplar de Mercuirio, el dios del relmpago y del trueno. Los germanos miraban eso como el aliento se Tor, dios de la guerra. Como se conoce, tenan ambas partes la razn.En el siglo 17, la poca del racionalismo, Blaise Pascal (1623 - 1662) se ocupaba sistemticamente de la probabilidad de un juego de azar y asi fundament el clculo de probabilidades como una disciplina autnoma.Jakob Bernoulli (1654 - 1705) se interesaba asimismo de las preguntas de la probabilidad discreta y public su primer libro sobre clculo de probabilidades.Con Abraham de Moivre (1667 - 1754) y Pierre Simon Laplace (1749 - 1827) se descubri pronto la distribucin normal y Carl Friedrich Gau (1777 1855) contino su desarrollo.Richard Edler von Mises (1883 - 1953) proporcion artculos con mucho valor para el clculo de las probabilidades y de la matemtica estadstica.En 1933 el matemtico ruso Andrej Nikolajewitsch Kolmogorow (1903 - 1987) propus una definicin axiomtica de probabilidad, de la que se basa la actual teora de probabilidades. Esta definicin es una aplicacin de la teora de medidas.Resultados y AcontecimientosEl concepto actual del clculo de probabilidades se presenta del siguiente modo:Dado el Conjunto solucin (Espacio de eventos, espacio de pruebas) de un suceso aleatorio. ste conjunto contiene todas las posibles soluciones que un suceso aleatorio puede dar. Dependiendo del tipo de suceso aleatorio se puede contemplar diferentes conjuntos solucin: contiene muchas fnitas soluciones.Ejemplos: Suceso aleatorio: lanzar los dados. = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Suceso aleatorio: color de ojos de la siguiente persona que se presenta en un casting. = {azules, verdes, cafs, negros}.

contiene un infinito contable de muchos resultados.Ejemplos: Suceso aleatorio: nmero de autos que a las 12 del medio dia conducen por un contador de autos en un determinado lugar. = {0, 1, 2, 3, ...}. Suceso aleatorio: nmero de requisitos en un servidor en una hora. = {0, 1, 2, .....}.Se puede contabilizar los resultados pero no se puede designar ningun razonable limite superior, por eso se deja el lmite superior abierto.

contiene muchos incontables resultados. Se podra tambien decir, el conjunto de los resultados es un intervalo en los nmeros reales.Ejemplos: Suceso aleatorio: una persona adulta sera pesada (en kg). = {x|30 x 200; x R}. Suceso aleatorio: el cash-flow de una compaia (en ). = R.el Cash-flow se describe como la diferencia entre ingresos - egresos.Aqui no se puede mas contar los resultados. Un pequeo intervalo cualquiera del conjunto solucin contiene infinito nmero de elementos. Cual es el siguiente elemento de 50 kg: 51 kg, 50,01kg o 50,00000001 kg? En el intervalo [50, 51] exiten infinito nmero de elementos.Se podra aqui objetar que aun en el ejemplo del Cash-flow un centavo sera la menor unidad, que es sencillamente contable. Por supuesto, pero cuando son muchos elementos cercanos reunidos se facilita el anlisis se puede suponer el conjunto como continuo. Se hablara aqui de una cuasicontinuidad.

Si un suceso aleatorio tiene un concreto resultado, se concreta un suceso. Hay sucesos simples, el nico resultado que contiene es el llamado suceso elemental. Los sucesos complejos se componen de muchos resultados. Un suceso A es siempre un subconjunto del conjunto solucin .Ya que el resultado es un conjunto, se pude utilizar todas las operaciones del Algebra de Conjuntos, que puede ser igual a la Algebra de Boole (tambin la lgebra de Schalt). Las operaciones fundamentales para conjuntos en el lgebra de Boole son - (no), y . Todas las otras operaciones se pueden derivar de llas.Todas las soluciones de interes se reunen solo en un conjunto solucin llamado E. ste es tambien un conjunto de subconjuntos. Con esos conjuntos se puede trabajar con el lgebra de Boole pero se deben cumplir las siguientes exigencias: Cuando un suceso A esta contenido en E, debe estar tambien contenido su complemento Cuando esta contenido A y B, debe tambin estar contenido A B (se puede calcular que tambin contiene A B). Debe tambin contener el elemento "nulo" (esto implica que tambin el "elemento 1" esta contenido, que es el complemento de ).El extenso conjunto solucin es el conjunto potencia P, ste contiene todos los subconjuntos de .Ejemplo de un conjunto potencia: Suceso: En una urna, que contienen pelotas rojas(r), azules (b) y amarillas (a), se debe sacar una pelota de ahi. Lo que nos interesa es el color de las pelotitas.Conjunto solucin: = {a, b, r}Conjunto potencia: P = {, {r}, {b}, {a}, {r, a}, {r, b}, {a, b}, {a, b, r}}

Kolmogorow construy un axioma para la medida de probabilidad, es decir una proyeccin del conjunto solucin de el conjunto de los nmeros reales en el intervalo [0,1]:

F: R; A P(A)

Una funcin P, que cada suceso A de E ordena un nmero real se llama probabilidad cuando cumple el siguiente axioma:

Axioma de la Probabilidad:Dados dos sucesos A,B que estan en .1. No-negatividad2. Nominalidad3. si A y B son disjuntas. Aditividad

Este sistema de axiomas se puede contar solo para muchos finitos sucesos. Para muchos infinitos sucesos Ai (i = 1, 2, ...) se obtiene, en vez del conjunto finito solucin, una -Algebra. Se mantienen ampliado todos las propiedades de los conjuntos solucin de muchos infinitos sucesos Ai. Aqui se detalla el tercer axioma respectivo:3. Son los sucesos Ai completamente disjuntos en pares, es por su distribucinen caso de que Ai sea disconjunto (-Aditividad).Clculo de la probabilidad de un acontecimientoSe debe ahora estar provisto de un suceso con probabilidad. Bajo que juicio se debe eso realizar, no nos viene en un axioma. Hay aqui diferentes procesos. Se mantiene finalmente la distribucin de probabilidad.

Como asignamos los sucesos con la mejor probabilidad?Consideremos el ejemplo en el pedazo de Pizza, el suceso A: mnimo un pedazo de la mitad. Es A = {RM, MR, MM}. Se cubre en tres de cuatro posibles resultados, as tenemos la probabilidad P(A) = 3/4. La estratega corresponde al clsico concepto de probabilidad. Se lo designa como principio simtrico o el principio de Laplace:Cada resultado es frecuentemente igual. |A| es el nmero de resultados que se cubren a travs de A (nmero de resultados favorables), || es el nmero de todas las soluciones posibles. Asi

El principio simtrico tiene sobre todo una desventaja que no se puede aplicar para todos los sucesos aleatorios, p. e.: para muchos eventos infinitos. Frecuentemente se asigna tambien a un resultado distintas probabilidades, p.e.:Evento aleatorio: el clima de personasConjunto solucin = {bonito, desagradable}P("bonito") = 0,6, p("desagradable") = 0,4.Como se llego a esos valores de probabilidad 0,4 y 0,6? se evalo en esos casos casi las seales del clima de los ltimos 100 aos y se averigu que el porcentaje de los dias "bonitos" era el 60%. Aqui tenemos una aplicacin del concepto estadstico de probabilidad: Se lleva a cabo un experimento aleatorio muy seguido. Con el nmero continuo de los intentos se aproxima el porcentaje de intentos que se han distribuido al suceso A, la probabilidad "real" P(A) de forma formal es

con n(A) como nmero de intentos que se han surgido del evento A. Se designa ese conexion como Ley de grandes nmeros. La ley proporciona el razonamiento que se puede evaluar desconocidas probabilidades con ayuda de una visin emprica, aqui eso nos sirve de mucha ayuda!.Para muchas preguntas se rechazan ambos conceptos de probabilidad arriba mencionados. P.e. para sucesos, que se realizan raramente, no se tiene una una serie de intentos disponibles; como la probabilidad de exito de un nuevo producto ubicado en el mercado. Se quier llevar el ejemplo a una compaia de detergente. Se encuentra ante una alternativa, de hacer publicidad en la televisin o no. Se confronta con los eventos: Cuando pasa la propaganda televisiva es para la compaia un exito/un fracaso. Cuando no se pasa la propaganda es para la compaia tambien un exito/ un fracaso. Para estas cuatro alternativas se debe determinar probabilidad. No se tiene informacion confiable sobre el evento, no se puede tener datos previos, eventualmente bajo consideraciones de experiencias parecidas se asigna una probabilidad determinada. Esa forma de proceder se denomina el concepto subjetivo de probabilidad.Hay sucesos que se definen como conjuntos, se puden ilustrar tambien en muchos eventos y en sus probabilidades en un diagrama de Venn. La probabilidad es la superficie del correspondiente conjunto.El ejemplo de la pizzera para calcular la probabilidadArchivo:Pommodore.png Desglose de las ordenes de los clientes. Wein = Vino, Wasser = AguaAhora miremos alrededor de la pizzeria algo mas preciso: El dueo Carlo Pommodore es un hombre piadoso y acepta tambin a clientes sin mucho dinero que no ordenan nada. Por eso su local esta lleno con 50 clientes siempre. 20 personas ordenan Pizza y 10 lasagne. La comida llena tanto que nadie avanza a ordenar un segundo plato. 40 clientes beben vino y 20 beben agua mineral, pero 15 toman agua y vino.Saquemos aleatoriamente a un cliente feliz del estrepitoso conjunto. Cun grande es la probabilidad de conseguir a uno que comi pizza?Tenemos || = 50 diferentes resultados. Se puede de ahi sacar que cada cliente tiene la misma probabilidad de ser escogido.Definimos ahora los sucesos:A: El cliente comi pizza; B: El cliente comi lasagne;C: El cliente tom vino; D: El cliente tom agua.Se tiene bajo el principio de simetra:

y

Podemos calcular: La probabilidad que alguien tome agua y vino:

La probabilidad que en un cliente escogido aleatoriamente no tome agua ():

Cantidad de personas que bebieron agua o vino:

Esta relacin siempre vale para dos eventos! La probabilidad que un cliente coma pizza o lasagne:

Los conjuntos A y B son disyuntos. La probabilidad que un cliente escogido aleatoriamente no beba ni vino ni agua:

Aqui el directo clculo de la probabilidad es anlogo al realizado anteriormente. Se usa mejor la regla de DE MORGAN:

Lo que se debe aprenderEn un suceso A (A elemento de ) :

Dos sucesos A y B (A,B elementos de ) :A y B no son en general disyuntos, tambin es la probabilidad que A o B ocurra por el teorema de adicin para dos sucesos:

En el caso de que A y B sean disyuntos:

La regla de Morgan:

y

Para tres eventos Ai (i = 1, 2, 3) de vale analogamente a su arriba mencionada referencia:

Mas sucesos Ai (i finito o infinito):Si los eventos Ai generalmente en pares son disjuntos, se lo realiza por su distribucin