Variable aleatoria y Probabilidad

UNIVERSIDAD PRIVADA DE TACNAFACULTAD DE INGENIERIAESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

ESTADISTICA Y PROBABILIDADESMONOGRAFIAVARIABLE ALEATORIA Y PROBABILIDAD

AUTOR: Melissa Jhenifer Maque GutierrezCODIGO: 2011040719DOCENTE: Ing. Humberto EspadaGRUPO: AFECHA DE ENTREGA: 25/junio/2012

TACNA PERU

INDICE

INTRODUCCION 41. CONCEPTOS PREVIOS 5 1.1 Probabilidad 1.2 Experimento 1.3 Experimentar 1.4 Ensayo2. EXPERIMENTO 6 2.1 Definicin 2.2 Clasificacin 2.2.1 Deterministico 2.2.2 Aleatorio3. TEORIA DE PROBABILIDADES 7 3.1 Definicin 3.2 Suceso 3.3 Espacio Muestral 3.4 Suceso aleatorio 3.5 Otros tipos de suceso4. VARIBLE ALEATORIA 9 4.1 Definicin 4.2 Variable aleatoria discreta 4.3 Variable aleatoria continua 4.4 Construccin de una variable aleatoria5. PROBABILIDAD11 5.1 Definicin 5.2 Objetivos y Valor de la Probabilidad6. ENFORUES DE LA PROBABILIDAD 12 6.1 Enfoque de frecuencia relativa 6.2 Enfoque clsico 6.3 Enfoque subjetivo7. FUNCIONES DE PROBABILIDAD13 7.1 Definicin 7.2 Funcin de Masa 7.3 Funcin de densidad 7.4 Distribuciones de una variable 8. DISTRIBUCION BINOMIAL 16 8.1 Definicin 8.2 Funcin matemtica 8.3 Aplicacin9. DISTRIBUCION DE POISSON 17 9.1 Definicin 9.2 Funcin matemtica 9.3 Aplicacin10. DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDAD 19 10.1 Definicin 10.2 Propsito 10.3 Funcin matemtica11. DISTRIBUCION NORMAL 20 11.1 Definicin 11.2 Caractersticas 11.3 Funcin matemtica 11.4 Tablas de Z12. DISTRIBUCIONES T STUDENT 23 12.1 Origen 12.2 Propsito 12.3 Diferencias entre la distribucin T y normal 12.4 Variable T 12.5 Funcin de distribucin T Student 12.6 Tablas de Distribucin 12.7 Aplicacin 13. PRUEBA DE HIPOTESIS 28 13.1 Conceptos Previos 13.2 Definicin 13.3 Procedimiento para la prueba de hiptesis14. PRUEBA DE HIPOTESIS DE UNA MEDIA 35 14.1 Definicin 14.2 Procedimiento para la prueba de hiptesis de una media15. PRUEBA DE HIPOTESIS DE DIFERENCIAS DE MEDIAS 39 15.1 Definicin 15.2 Procedimiento para la prueba de hiptesis 16. PRUEBA DE HIPOTESIS DE PROPORCION DE UNA MUESTRA 41 16.1 Definicin 16.2 Procedimiento17. PRUEBA DE HIPOTESIS DE PROPORCION DE DOS MUESTRAS 43 16.1 Definicin 16.2 Procedimiento 16.3 AplicacinCONCLUSIONES 44BIBLIOGRAFIA 45

INTRODUCCION

En la vida cotidiana aparecen muchas situaciones en las que los resultados observados son diferentes aunque las condiciones iniciales en las que se produce la experiencia sean las mismas. Debido al importante papel desempeado por la probabilidad dentro de la estadstica, es necesario familiarizarse con sus elementos bsicos, lo que constituye el objetivo del presente documento. Comienza con una motivacin sobre la incertidumbre y los distintos grados de incertidumbre, relacionndolos de manera intuitiva con los enfoques ms tradicionales para asignar probabilidades. Posteriormente, se introduce el sentido de la probabilidad en trminos de experimentos aleatorios, espacio muestral, sucesos, etc., llegando a la formalizacin axiomtica de la probabilidad y sus principales propiedades, junto con las expresiones de la probabilidad condicionada y los teoremas de la probabilidad compuesta o del producto, de la probabilidad total. Esta leccin tiene los siguientes objetivos: Familiarizar al lector con experiencias de la vida cotidiana en las que interviene el azar comprender los enfoques de la probabilidad ms usuales as como sus peculiaridades, ventajas e inconvenientes as como manejar el lenguaje de la probabilidad, sus propiedades y aplicarlo a problemas concretos.

VARIABLE ALEATORIA Y PROBABILIDAD

TEMA1: CONCEPTOS PREVIOS:

1.1 Probabilidad:

Es una medicin numrica que va de 0 a 1, es decir la posibilidad de que un evento ocurra. Si da cerca de 0 es improbable que ocurra el evento y si da cerca de uno es casi seguro que ocurra. Se usa en reas como: estadstica, Fsica, matemtica, la ciencia y la filosofa. La probabilidad saca conclusiones sobre probabilidad discreta de sucesos potenciales y la mecnica subyacente discreta de sistemas complejos.

1.2 Experimento: Es un procedimiento mediante el cual se trata de comprobar (confirmar o verificar) una o varias hiptesis relacionadas con un determinado fenmeno, mediante la manipulacin y el estudio de las correlaciones de las variables que presumiblemente son su causa. mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm

1.3 Experimentar:Probar, comprobar caractersticas y propiedades del objeto estudiado. Por ejemplo: probar un tipo de material en una construccin, ver si cumple con las caractersticas y propiedades adecuadas. mmmmmmmmmmmmmmmmmm

1.4 Ensayo: En un experimento se consideran todas las variables relevantes que intervienen en el fenmeno, mediante la manipulacin de las que presumiblemente son su causa, el control de las variables extraas y la aleatorizacin de las restantes. Estos procedimientos pueden variar mucho segn las disciplinas (no es igual en Fsica que en Psicologa, por ejemplo), pero persiguen el mismo objetivo: excluir explicaciones alternativas en la explicacin de los resultados. Este aspecto se conoce como validez interna del experimento, la cual aumenta cuando el experimento es replicado por otros investigadores y se obtienen los mismos resultados. Cada repeticin del experimento se llama prueba o ensayo.

TEMA 2: EXPERIMENTO

2.1 Definicin: Es un procedimiento mediante el cual se trata de comprobar (confirmar o verificar) una o varias hiptesis relacionadas con un determinado fenmeno.2.2 Clasificacin de los experimentos:2.2.1 Determinstico:Se denominan experimentos deterministas aquellos que realizados de una misma forma y con las mismas condiciones iniciales, ofrecen siempre el mismo resultado. Como ejemplo, tenemos que un objeto de cualquier masa partiendo de un estado inicial de reposo, y dejado caer al vaco desde una torre, llega siempre al suelo con la misma velocidad.

2.2.2 Aleatorio: Cuando en un experimento no se puede predecir el resultado final, hablamos de experimento aleatorio. Este es el caso cuando lanzamos un dado y observamos su resultado. En los experimentos aleatorios se observa que cuando el nmero de experimentos aumenta, las frecuencias relativas con las que ocurre cierto suceso

Tienden a converger hacia cierta cantidad que denominamos probabilidad de e.

Para poder diferenciar ambas clases de experimentos mostraremos otros ejemplos:

1. Lanzar un dado ALEATORIO2. Encender una vela DETERMINISTICO3. Marcar el 82-10-55 DETERMINISTICO4. Lanzar una moneda ALEATORIO5. Lanzar una nuez a una ardilla ALEATORIO6. Tomar un taxi a la Universidad DETERMINISTICO

TEMA 3: TEORIA DE PROBABILIDADES3.1 Definicin:La teora de probabilidades se ocupa de asignar un cierto nmero a cada posible resultado que pueda ocurrir en un experimento aleatorio, con el fin de cuantificar dichos resultados y saber si un suceso es ms probable que otro. Con este fin, introduciremos algunas definiciones:3.1.1 Suceso Es cada uno de los resultados posibles de una experiencia aleatoria Al lanzar una moneda se obtenga 2 posibles resultados. Al lanzar un dado se obtenga 4 posible resultados.3.1.2 Espacio muestralEs el conjunto de todos los posibles resultados de una experiencia aleatoria, lo representaremos por E (o bien por la letra griega ). Espacio muestral de una moneda:E = {C, X}. Espacio muestral de un dado:E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.3.1.3 Suceso aleatorioSuceso aleatorio es cualquier subconjunto del espacio muestral. Por ejemplo al tirar un dado un suceso sera que saliera par, otro, obtener mltiplo de 3, y otro, sacar 5.EjemploUna bolsa contiene bolas blancas y negras. Se extraen sucesivamente tres bolas. Calcular:1. El espacio muestral.E = {(b,b,b); (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b); (b,n,n); (n,b,n); (n,n ,b); (n, n,n)}2. El suceso A = {extraer tres bolas del mismo color}.A = {(b, b, b); (n, n, n)}3. El suceso B = {extraer al menos una bola blanca}.B= {(b,b,b); (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b); (b,n,n); (n,b,n); (n,n ,b)}4. El suceso C = {extraer una sola bola negra}.C = {(b,b,n); (b,n,b); (n,b,b)}3.1.4 Otros tipos de Sucesos Suceso elemental: Suceso elemental es cada uno de los elementos que forman parte del espacio muestral. Por ejemplo al tirar un dado un suceso elemental es sacar 5. Suceso compuesto: Suceso compuesto es cualquier subconjunto del espacio muestral. Por ejemplo al tirar un dado un suceso sera que saliera par, otro, obtener mltiplo de 3. Suceso seguro: Suceso seguro, E, est formado por todos los posibles resultados (es decir, por el espacio muestral). Por ejemplo al tirar un dado un dado obtener una puntuacin que sea menor que 7. Suceso imposible: Suceso imposible,, es el que no tiene ningn elemento.Por ejemplo al tirar un dado obtener una puntuacin igual a 7. Sucesos compatibles: Dos sucesos, A y B, son compatibles cuando tienen algn suceso elemental comn.Si A es sacar puntuacin par al tirar un dado y B es obtener mltiplo de 3, A y B son compatibles porque el 6 es un suceso elemental comn. Sucesos incompatibles: Dos sucesos, A y B, son incompatibles cuando no tienen ningn elemento en comn.Si A es sacar puntuacin par al tirar un dado y B es obtener mltiplo de 5, A y B son incompatibles. Sucesos independientes: A y B, son independientes cuando la probabilidad de que suceda A no se ve afectada porque haya sucedido o no B.Al lazar dos dados los resultados son independientes. Sucesos dependientes: Dos sucesos, A y B, son dependientes cuando la probabilidad de que suceda A se ve afectada porque haya sucedido o no B.Extraer dos cartas de una baraja, sin reposicin, son sucesos dependientes. Suceso contrario: El suceso contrario a A es otro suceso que se realiza cuando no se realiza A. Se denota por.Ejemplo: son sucesos contrarios sacar par e impar al lanzar un dado.

TEMA 4: VARIABLE ALEATORIA 4.1 Definicin: Se llama variable aleatoria a toda funcin que asocia a cada elemento del espacio muestral E un nmero real.Se utilizan letras maysculas (X, Y, ...) para designar variables aleatorias, y las respectivas minsculas (x, y, ...) para designar valores concretos de las mismas.4.2 Variable aleatoria discretaUna variable aleatoria discreta es aquella que slo puede tomar valores enteros. En general, una variable aleatoria discreta X representa los resultados de un espacio muestral en forma tal que por P(X = x) se entender la probabilidad de que X tome el valor de x. De esta forma, al considerar los valores de una variable aleatoria es posible desarrollar una funcin matemtica que asigne una probabilidad a cada realizacin x de la variable aleatoria X. Esta funcin recibe el nombre de funcin de la probabilidad.Ejemplo: El nmero de hijos de una familia, la puntuacin obtenida al lanzar un dado.4.3 Variable aleatoria continua Una variable aleatoria continua es aquella que puede tomar todos los valores posibles dentro de un cierto intervalo de la recta real. Ejemplo: La altura de los alumnos de una clase, las horas de duracin de una pila.

4.4 Construccin de una variable aleatoria Para la construccin de una variable aleatoria usaremos un diagrama en rbol se partir poniendo una rama para cada una de las posibilidades, acompaada de su probabilidad.En el final de cada rama parcial se constituye a su vez, un nudo del cual parten nuevas ramas, segn las posibilidades del siguiente paso, salvo si el nudo representa un posible final del experimento (nudo final). Hay que tener en cuenta: que la suma de probabilidades de las ramas de cada nudo ha de dar 1.Ejemplos:Una clase consta de seis nias y 10 nios. Si se escoge un comit de tres al azar, hallar la probabilidad de:

1 Seleccionar tres nios.

2 Seleccionar exactamente dos nios y una nia.

3 Seleccionar exactamente dos nias y un nio.

4 Seleccionar tres nias.

TEMA 5: PROBABILIDAD

5.1 Probabilidad: La probabilidad mide la frecuencia con la que se obtiene un resultado (o conjunto de resultados) y luego al llevar a cabo un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables. La teora de la probabilidad se usa extensamente en reas como la estadstica, la fsica, la matemtica, la ciencia y la filosofa para sacar conclusiones sobre la probabilidad discreta de sucesos potenciales y la mecnica subyacente discreta de sistemas complejos.La probabilidad es la posibilidad que existe entre varias posibilidades, que un hecho o condicin se produzcan. La probabilidad, entonces, mide la frecuencia con la cual se obtiene un resultado en oportunidad de la realizacin de un experimento sobre el cual se conocen todos los resultados posibles gracias a las condiciones de estabilidad que el contexto supone de antemano.

5.2 Objetivos y valor de la probabilidad:El objetivo fundamental de la probabilidad, es la de mostrar al alumno la importancia y utilidad del Mtodo Estadstico en el mbito econmico-empresarial. Con tal fin, el alumno deber aprender a manejar los mtodos y tcnicas ms adecuadas para el correcto tratamiento y anlisis de la informacin proporcionada por los datos que genera la actividad econmica.Para ello se comienza afianzando los conocimientos que el alumno ya posee de Estadstica Descriptiva, adems de algunos conceptos nuevos relacionados con este tema.

5.3 El valor de la probabilidadEl valor ms pequeo que puede tener la probabilidad de ocurrencia de un evento es igual a 0, el cual indica que el evento es imposible, y el valor mayor es 1, que indica que el evento ciertamente ocurrir. Entonces si decimos que P(A) es la probabilidad de ocurrencia de un evento A y P(A ) la probabilidad de no-ocurrencia de A, tenemos que:

TEMA 6: ENFOQUES DE LA PROBABILIDAD

Debido a que hay tres enfoques de probabilidad se tiene diferentes conceptos de probabilidad.

6.1) Enfoque de frecuencia relativa: Nmero de veces que se repite o se presenta un evento. Ejemplo: el equipo A ->> gana 60 de 100 partidos al equipo B el equipo B ->> gana 40 de 100 partidos al equipo A

6.2) Enfoque clsico:Dice que si hay x posibles resultados favorables a la ocurrencia de un evento A y z posibles resultados desfavorables a la ocurrencia de A, y todos los resultados son igualmente posibles y mutuamente excluyente (no pueden ocurrir los dos al mismo tiempo), entonces la probabilidad de que ocurra A es:

El enfoque clsico de la probabilidad se basa en la suposicin de que cada resultado sea igualmente posible.Este enfoque es llamado enfoque a priori porque permite, (en caso de que pueda aplicarse) calcular el valor de probabilidad antes de observar cualquier evento de muestraEjemplo: Si tenemos en una caja 15 piedras verdes y 9 piedras rojas. La probabilidad de sacar una piedra roja en un intento es:

6.3) Enfoque subjetivo:

Dice que la probabilidad de ocurrencia de un evento es el grado de creencia por parte de un individuo de que un evento ocurra, basado en toda la evidencia a su disposicin. Bajo esta premisa se puede decir que este enfoque es adecuado cuando solo hay una oportunidad de ocurrencia del evento. Es decir, que el evento ocurrir o no ocurrir esa sola vez. El valor de probabilidad bajo este enfoque es un juicio personal.

TEMA 7: FUNCIONES DE PROBABILIDAD7.1 Definicin:Se llama funcin de probabilidad de una variable aleatoria discreta X a la aplicacin que asocia a cada valor de xi de la variable su probabilidad pi.0 pi 1p1 + p2 + p3 + + pn = pi = 1 EjemploCalcular la distribucin de probabilidad de las puntuaciones obtenidas al lanzar un dado.xp i

1

2

3

4

5

6

RepresentacinLa representacin de una distribucin discreta de probabilidad es un diagrama de barras.Para simplificar el clculo de probabilidad utilizando la variable aleatoria se han creado las funciones de probabilidades que son llamados: Funcin de Masa (cuanta) Funcin de densidad 7.2 Funcin de Masa (Cuanta) En teora de la probabilidad y estadstica, la distribucin de probabilidad de una variable aleatoria es una funcin que asigna a cada suceso definido sobre la variable aleatoria la probabilidad de que dicho suceso ocurra. La distribucin de probabilidad est definida sobre el conjunto de todos los sucesos, cada uno de los sucesos es el rango de valores de la variable aleatoria.La distribucin de probabilidad est completamente especificada por la funcin de distribucin, cuyo valor en cada real x es la probabilidad de que la variable aleatoria sea menor o igual que x.Como consecuencia casi inmediata de la definicin, la funcin de distribucin: Es una funcin continua por la derecha. Es una funcin montona no decreciente. Para dos nmeros reales cualesquiera y tal que, los sucesos y son mutuamente excluyentes y su unin es el suceso, por lo que tenemos entonces que:

Y tenemos finalmente que:

Por lo tanto una vez conocida la funcin de distribucin F(x) para todos los valores de la variable aleatoria x conoceremos completamente la distribucin de probabilidad de la variable.7.2 Funcin de Densidad En teora de la probabilidad, la funcin de densidad de probabilidad, funcin de densidad, o, simplemente, densidad de una variable aleatoria continua es una funcin, usualmente denominada f(x) que describe la densidad de la probabilidad en cada punto del espacio de tal manera que la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor dentro de un determinado conjunto sea la integral de la funcin de densidad sobre dicho conjunto.Una funcin de densidad de probabilidad es una funcin f cuyo dominio es un intervalo (ab) y que tiene las siguientes propiedades: (a) f(x) 0 por toda x (b) ab f(x)dx =1 Permitimos que sea infinita a, b, de modo que la integral in (b) sera impropia. Calculacin de probabilidad por una funcin de densidad de probabilidad: Una variable aleatoria continua X admite una funcin de densidad de probabilidad f si, por toda c y d, P(cXd)=cdf(x)dx

Ejemplo:Sea f(x)=2x2 en el intervalo [ab]=[12] Entonces propiedad (a) se aplique, pues es positiva 2x2 en el intervalo [12] Para propiedad (b), abf(x)dx=122x2dx= [x2]21=1+2=1Si X admite esta funcin de densidad de probabilidad, entonces Principio del formularioP(15X2) = 1/3Final del formularioEn situaciones prcticas, la FDP utilizada se elige entre un nmero relativamente pequeo de FDP comunes, y la labor estadstica principal consiste en estimar sus parmetros. Por lo tanto, a los efectos de los inventarios, es necesario saber qu FDP se ha utilizado e indicarlo en la documentacin de evaluacin de la incertidumbre.7.3 Distribuciones de variable discreta ms importantesLas distribuciones de variable discreta ms importantes son las siguientes: Distribucin binomial Distribucin binomial negativa Distribucin Poisson Distribucin geomtrica Distribucin hipergeomtrica Distribucin de Bernoulli

TEMA 8: DISTRIBUCION BINOMIAL

8.1 DefinicinLa distribucin binomial es una distribucin de probabilidades que surge al cumplirse cinco condiciones: Solo dos posibles resultados Se conoce el valor de o(probabilidad del evento) N= nmero de ensayosCuando se cumple estas condiciones, la distribucin binomial proporciona cada resultado posible de los N ensayos y la probabilidad de obtener cada uno de estos resultados.8.2 Funcion matemtica: Para este tipo de distribucin de probabilidad, la funcin matemtica es la siguiente:

k= N de xitosn= N de EnsayosP=Probabilidad de xitoq= Probabilidad de fracaso (q=1-p)

Coeficiente Binomial

8.3 Aplicacin Suponga que un jefe de almacn desea comprar bolsas de cemento a una fbrica. El representante de la fbrica que de 1500 bolsas 12 son falladlas. Se desea hallar la probabilidad de que de un lote de 200 bolsas 12 estn falladas.Datos: P= 12/1500n= 200k=12Operacin

TEMA 9: DISTRIBUCION DE POISSON9.1 Definicin:En teora de probabilidad y estadstica, la distribucin de Poisson es una distribucin de probabilidad discreta que expresa, a partir de una frecuencia de ocurrencia media, la probabilidad que ocurra un determinado nmero de eventos durante cierto periodo de tiempo.Se dice que existe un proceso de Poisson si podemos observar eventos discretos en un rea de oportunidad un intervalo continuo (de tiempo, longitud, superficie, etc.) de tal manera que si se reduce lo suficiente el rea de oportunidad o el intervalo:1. La probabilidad de observar exactamente un xito en el intervalo es constante.2. La probabilidad de obtener ms de un xito en el intervalo es 0.3. La probabilidad de observar un xito en cualquier intervalo es estadsticamente independiente de la de cualquier otro intervalo.9.2. Funcin matemticaLa expresin matemtica para la distribucin de Poisson para obtener X xitos, dado que se esperan l xitos es:

Donde: k = es el nmero de ocurrencias del evento o fenmeno (la funcin nos da la probabilidad de que el evento suceda precisamente k veces). = es un parmetro positivo que representa el nmero de veces que se espera que ocurra el fenmeno durante un intervalo dado. Por ejemplo, si el suceso estudiado tiene lugar en promedio 4 veces por minuto y estamos interesados en la probabilidad de que ocurra k veces dentro de un intervalo de 10 minutos, usaremos un modelo de distribucin de Poisson con = 104 = 40. E = es la base de los logaritmos naturales (e = 2,71828...) t numero de periodos9.3 Aplicacin Esta distribucin se aplica en situaciones como en la salud para calcular: El nmero de pacientes que llegan al servicio de emergencia de un hospital en un intervalo de tiempo. El numero de radiaciones radiactivas que se recibe en un lapso de tiempo, El nmero de glbulos blancos que se cuentan en una muestra dada. El nmero de partos triples por aoEjemplo1: Si ya se conoce que solo el 3% de los alumnos de Contabilidad son muy inteligentes. Calcular la probabilidad de que si tomamos 100 alumnos al azar 5 de ellos sean muy inteligentes. n = 100 P = 0.03 = 100 * 0.03 = 3 x = 5 e = 2.718281828 Usando la formula de Poisson:

TEAM 10: DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDAD10.1 Definicin:Sea una variable aleatoria continua en funcin de la densidad puede presentar: Distribucin normal Distribucin normal estndar Distribucin t-student10.2 Propsito: El propsito de las distribuciones continuas de probabilidad es calcular la probabilidad de ocurrencia de un evento o experimento aleatorio.10.3 Funcin Matemtica En teora de la probabilidad una distribucin de probabilidad se llama continua si su funcin de distribucin es continua. Puesto que la funcin de distribucin de una variable aleatoria X viene dada por

La definicin implica que en una distribucin de probabilidad continua X se cumple P[X = a] = 0 para todo nmero real a, esto es, la probabilidad de que X tome el valor a es cero para cualquier valor de a. Si la distribucin de X es continua, se llama a X variable aleatoria continua.En las distribuciones de probabilidad continuas, la distribucin de probabilidad es la integral de la funcin de densidad, por lo que tenemos entonces que:

Mientras que en una distribucin de probabilidad discreta un suceso con probabilidad cero es imposible, no se da el caso en una variable aleatoria continua. Por ejemplo, si se mide la anchura de una hoja de roble, el resultado 3,5 cm es posible, pero tiene probabilidad cero porque hay infinitos valores posibles entre 3 cm y 4 cm. Cada uno de esos valores individuales tiene probabilidad cero, aunque la probabilidad de ese intervalo no lo es. Esta aparente paradoja se resuelve por el hecho de que la probabilidad de que X tome algn valor en un conjunto infinito como un intervalo, no puede calcularse mediante la adicin simple de probabilidades de valores individuales. Formalmente, cada valor tiene una probabilidad infinitesimal que estadsticamente equivale a cero.TEMA 11: DISTRIBUCION NORMAL11.1 DefinicinSe llama distribucin normal, distribucin de Gauss o distribucin gaussiana, a una de las distribuciones de probabilidad de variable continua que con ms frecuencia aparece aproximada en fenmenos reales.

Esta distribucin es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadsticas. Su propio nombre indica su extendida utilizacin, justificada por la frecuencia o normalidad con la que ciertos fenmenos tienden a parecerse en su comportamiento a esta distribucin. Muchas variables aleatorias continuas presentan una funcin de densidad cuya grfica tiene forma de campana.

11.2 Caractersticas: Una distribucin normal es simtrica y tiene forma de campana, con parmetros y.

La media, divide al rea en dos mitades, pues se localiza en el centro, coincidiendo con el modo y la mediana.

El rea por debajo de la curva y sobre el eje de las x es la unidad en trminos de probabilidad. En teora la distribucin se extiende desde -" a +" a lo largo del eje de las abscisas. Esto significa que una variable X ~ N, puede tomar cualquier valor, ya sea grande o pequeo, aunque los valores alejados de 3, son poco probables.

Un cambio en el valor de desplaza la distribucin a la derecha o a la izquierda. Un cambio en el valor de altera su forma, sin moverla de izquierda a derecha.

11.3 Funcin matemtica Sea X una VA continua, se dice que est distribuida normalmente con media u y variancia 2 con una funcin de densidad.

As:

Dado que calcular la probabilidad con esta frmula es un tanto complejo se simplifica ESTANDARIZANDO la funcin funcin NORMAL ESTANDAR.

TRANSFORMACION

Para hallar la PROBABILIDAD se requiere:

Como sigue siendo complejo se recurre a las tablas:

11.4 TABLAS DE Z: Existen 2 tipos de bsicos de TABLA Z

11.4.1TABLA ACUMULADA

11.4.1TABLA PARCIAL

TEMA 11: DISTRIBUCION T STUDENT

11.1 ORIGEN:

Es una distribucin de probabilidad que surge del problema de estimar la media de una poblacin normalmente distribuida cuando el tamao de la muestra es pequeo.

Aparece de manera natural al realizar la prueba t de Student para la determinacin de las diferencias entre dos medias muestrales y para la construccin del intervalo de confianza para la diferencia entre las medias de dos poblaciones cuando se desconoce la desviacin tpica de una poblacin y sta debe ser estimada a partir de los datos de una muestra.

11.2 PROPOSITO

La prueba t de Student se basa en el clculo variables: el nmero de observaciones, la media y la desviacin tpica en cada grupo. A travs de estos estadsticos previos se calcula el estadstico de contraste experimental.

Es decir sirve para la determinacin de las diferencias entre las dos medias maestrales y para la construccin del intervalo de confianza para la diferencia entre las medias de dos poblaciones.

11.3 DIFERENCIAS ENTRE LA DISTRIBUCION NORMAL T Y NORMAL

La diferencia es que la distribucin normal tiene un comportamiento de parablica invertido. El rea debajo de la curva es uno, y si se divide en las dos reas que hay miden 0.5. Se utiliza para muestras que son muy grandes y cuando la poblacin es representativa. La t Student tiene un comportamiento similar solamente que nos permite utilizarla para muestras menores de 30 personas y tiene una semiamplitud mayor a la normal porque la muestra al ser ms pequea no es tan representativa como en la normal.

Distribucin normal Distribucin T Student

Distribucin T de StudentDistribucin Normal

En esta presentacin se podr ver la relacin que existe entre la distribucin normal y la T-Student

11.4 VARIABLE T

Una variable aleatoria, es decir una funcin que asigna un valor numrico a cada uno de los resultados de una experiencia aleatoria, se distribuye segn el modelo de probabilidad t o T de Student con k grados de libertad, donde k es un entero positivo, si su funcin de densidad es la siguiente:

Donde el parmetro n de, se denomina grados de libertad de la distribucin.La distribucin t de Student existe para todos los valores de x reales, y es simtrica respecto al eje y.

11.5 FUNCION DE DISTRIBUCION T STUDENT Es una funcin de densidad que se obtiene transformando la distribucin normal mediante la variable T=

En donde la comprobacin de las hiptesis toman el valor con:

Tomando el nuevo valor de t , la formula general queda como:

11.6 TABLAS DE DISTRIBUCION 11.6.1 TABLA DE DISTRIBUCION ACUMULADA

11.6.2 TABLA DE DISTRIBUCION PARCIAL

11.7 Aplicacin Aplicacin a la ingeniera civilLa empresa Spiaggia ha tenido una buena recepcin en el mercado de Radio Transmisores, con una cantidad de 12 ensambladores especializados de alta capacitacin tcnica de los cuales se escogieron al azar 6 trabajadores obteniendo una produccin unitaria diaria: 21-30-32-30-25-33, unidades diarias. Por su buena recepcin en el mercado la gerencia desea implantar una maquinaria que mejorara la productividad de cada trabajador en un mximo de 30 unidades diarias Para un nivel de significacin del 5%. Verifique si sera buena decisin implantar nuevas maquinarias en esta empresa.DATOS:

n=6 s=4,593

Tenemos que:

Utilizamos la formula anteriormente vista para aceptar o rechazar la hiptesis:

En donde reemplazando por los valores obtendremos:

=25,925Reemplazando en:

Obtenemos:

= -2.38

En la grfica descriptiva vemos lo siguiente:

El promedio se encuentra en la regin de rechazo por lo tanto se afirma que esta nueva maquinaria que se pensaba implantar no mejorara la productividad en un mximo de 30 unidades por trabajador con un 5% de significancia. Por lo tanto se rechaza H.

TEMA12: PRUEBA DE HIPOTESIS

12.1 CONCEPTOS PREVIOS 12.1.1 Prueba (Comprobacin)

Unapruebaes un hecho conjeturado por algunateoracuya presencia o ausencia solo es compatible con determinadateora cientfica. As las pruebas permitendiscriminarqu teoras cientficas pueden dar cuenta adecuadamente de cierto conjunto de hechos y cules no.

12.1.2 Hiptesis (Supuesto)

Son suposiciones que relacionan una variable con otra y que sern probadas a travs de la investigacin, con el fin de ser aceptadas o rechazadas por medio de los resultados obtenidos.

12.1.3Hiptesis estadstica.-

Es un supuesto acerca de un parmetro o de un valor estadstico de una poblacin. Una Hiptesis Estadstica, tambin puede considerarse, como la afirmacin acerca de una caracterstica de una poblacin sobre la cual hay inseguridad en el momento de formularla y que, a la vez, es expresada de tal forma que puede ser rechazada.

Requiere suponer sobre un parmetro estadstico, tal como

12.2 DEFINICIN DE PRUEBA DE HIPTESIS

Una prueba de hiptesis es una herramienta de anlisis de datos que puede en general formar parte de un experimento comparativo ms completo. Se emplea para determinar si la hiptesis es una afirmacin razonable.Consiste en verificar o comprobar si una hiptesis estadstica es verdadera o falsa.

Ejemplo: suponer que la talla de las alumnas de ingeniera civil es 1.58 y de alumnos es de 1.70

12.3 PROCEDIMIENTO PARA LA PRUEBA DE HIPOTESIS

1. PASO: PLANTEAMIENTO DE LA HIPTESISPara este fin se plantea:

La hiptesis nula (Ho) se refiere siempre a un valor especificado del parmetro de poblacin, no a una estadstica de muestra. La letra H significa hiptesis y el subndice cero no hay diferencia. Por lo general hay un "no" en la hiptesis nula que indica que "no haycambio" Podemos rechazar o aceptar Ho.La hiptesis alternativa (H1) es cualquier hiptesis que difiera de la hiptesis nula. Es una afirmacin que se acepta si los datos maestrales proporcionan evidencia suficiente de que la hiptesis nula es falsa. Se le conoce tambin como la hiptesis de investigacin. El planteamiento de la hiptesis alternativa nunca contiene un signo de igualdad con respecto al valor especificado del parmetro.

2. PASO: NIVEL DE SIGNIFICACIN

Nivel de significacin es la probabilidad de rechazar la hiptesis nula cuando es verdadera. Se le denota mediante la letra griega , tambin es denominada como nivel deriesgo, este trmino es ms adecuado ya que se corre el riesgo de rechazar la hiptesis nula, cuando en realidad es verdadera. Este nivel est bajo elcontrolde lapersonaque realiza la prueba.

Especificar el nivel de significancia que se va a utilizar. El nivel de significancia del 5%, entonces se rechaza la hiptesis nula solamente si el resultado muestral es tan diferente del valor hipottico que una diferencia de esa magnitud o mayor, pudiera ocurrir aleatoria mente con unaprobabilidadde 1.05 o menos.Si suponemos que la hiptesis planteada es verdadera, entonces, el nivel de significacin indicar la probabilidad de no aceptarla, es decir, estnfuerade rea de aceptacin. Elnivel de confianza(1-), indica la probabilidad de aceptar la hiptesis planteada, cuando es verdadera en la poblacin.

La distribucin de muestreo de la estadstica de prueba se divide en dos regiones, una regin de rechazo (conocida como regincrtica) y una regin de no rechazo (aceptacin). Si la estadstica de prueba cae dentro de la regin de aceptacin, no se puede rechazar la hiptesis nula.

2.1 Tipos de erroresCualquiera sea la decisin tomada a partir de una prueba de hiptesis, ya sea de aceptacin del Ho o de la Ha, puede incurrirse en error:Error de tipo I:Se presenta si la hiptesis nula Ho es rechazada cuando es verdadera y deba ser aceptada. La probabilidad de cometer un error tipo I se denomina con la letra alfa Error de tipo II: Se denota con la letra griega se presenta si la hiptesis nula es aceptada cuando de hecho es falsa y deba ser rechazada.En cualquiera de los dos casos se comete un error al tomar una decisin equivocada.En la siguiente tabla se muestran las decisiones que pueden tomar el investigador y las consecuencias posibles.

Para que cualquierensayode hiptesis sea bueno, debe disearse de forma que minimice los errores de decisin. En la prctica un tipo de error puede tener ms importancia que el otro, y as se tiene a conseguir poner una limitacin al error de mayor importancia. La nica forma de reducir ambos tipos de errores es incrementar el tamao de la muestra, lo cual puede ser o no ser posible.

3. PASO: ESTADISTICO DE LA PRUEBA

Valor determinado a partir de la informacin muestral, que se utiliza para determinar si se rechaza la hiptesis nula., existen muchos estadsticos de prueba para nuestro caso utilizaremos los estadsticos z y t. La eleccin de uno de estos depende de la cantidad de muestras que se toman, si las muestras son de la prueba son iguales a 30 o ms se utiliza el estadstico z, en caso contrario se utiliza el estadstico t.3.1 Tipos de pruebaa) Prueba bilateral o de dos extremos:la hiptesis planteada se formula con la igualdad.

EjemploH0 : = 200H1 : 200

b) Pruebas unilateral o de un extremo:la hiptesis planteada se formula con o H0 : 200 H0 : 200H1 : < 200 H1 : > 200

En las pruebas de hiptesis para la media (), cuando se conoce la desviacin estndar () poblacional, o cuando el valor de la muestra es grande (30 o ms), el valor estadstico de prueba es z y se determina a partir de:

El valor estadstico z, para muestra grande y desviacin estndar poblacional desconocida se determina por la ecuacin:

En la prueba para una media poblacional con muestra pequea y desviacin estndar poblacional desconocida se utiliza el valor estadstico t.

4. PASO: REGIONES CRITICASSe establece las condiciones especficas en la que se rechaza la hiptesis nula y las condiciones en que no se rechaza la hiptesis nula. La regin de rechazo define la ubicacin de todos los valores que son tan grandes o tan pequeos, que la probabilidad de que se presenten bajo la suposicin de que la hiptesis nula es verdadera, es muy remota.

Distribucin muestral del valor estadstico z, con prueba de una cola a la derechaValor crtico:Es el punto de divisin entre la regin en la que se rechaza la hiptesis nula y la regin en la que no se rechaza la hiptesis nula.

5. PASO: TOMAR LA DECISIONTomar la decisin. Se compara el valor observado de la estadstica muestral con el valor (o valores) crticos de la estadstica de prueba. Despus se acepta o se rechaza la hiptesis nula. Si se rechaza sta, se acepta la alternativa; a su vez, esta decisin tendr efecto sobre otras decisiones de los administradores operativos, como por ejemplo, mantener o no un estndar dedesempeoo cul de dosestrategiasdemercadotecniautilizar.

La distribucin apropiada de la prueba estadstica se divide en dos regiones: una regin derechazoy una deno rechazo. Si la prueba estadstica cae en esta ltima regin no se puede rechazar la hiptesis nula y se llega a la conclusin de que elprocesofunciona correctamente.Al tomar la decisin con respecto a la hiptesis nula, se debe determinar el valor crtico en la distribucin estadstica que divide la regin del rechazo (en la cual la hiptesis nula no se puede rechazar) de la regin de rechazo. A hora bien el valor crtico depende del tamao de la regin de rechazo.

TEMA13: PRUEBA DE HIPOTESIS DE UNA MEDIA

13.1 DEFINICIONConsiste en elaborar una prueba de hiptesis para comparar el valor de la medida de una muestra con el de la poblacin donde extrajo la muestra.(Fuente: Cuaderno)Las pruebas de hiptesis para la media se basan en el estadstico dado por la media muestral cuya distribucin tiende a la distribucin normal (m, s /n) para muestras grandes. El promedio aritmtico poblacional es un indicador muy importante, por lo tanto, frecuentemente se desea probar si dicho promedio ha permanecido igual, ha aumentado o ha disminuido. A travs de la prueba de hiptesis se determina si la media poblacional es significativamente mayor o menor que algn valor supuesto. (Fuente: web_ http://www.mitecnologico.com/Main/PruebaHipotesisParaMedia)

13.2 PROCEDIMIENTO PARA UNA PRUEBA DE HIPOTESIS DE UNA MEDIA

Poblacin = N

u

Muestra

Comparamos: u

13.2.1 PASOS DE LA PRUEBA:

1. PASO: PLANTEAR LA HIPTESIS

2. PASO: NIVEL DE SIGNIFICACIN

Nivel de significacin es la probabilidad de rechazar la hiptesis nula cuando es verdadera. Se le denota mediante la letra griega .

Especificar el nivel de significancia que se va a utilizar. El nivel de significancia del 5%, entonces se rechaza la hiptesis nula solamente si el resultado muestral es tan diferente del valor hipottico que una diferencia de esa magnitud o mayor, pudiera ocurrir aleatoria mente con unaprobabilidadde 1%

= 5%, 1%

Si suponemos que la hiptesis planteada es verdadera, entonces, el nivel de significacin indicar la probabilidad de no aceptarla, es decir, estnfuerade rea de aceptacin. Elnivel de confianza(1-), indica la probabilidad de aceptar la hiptesis planteada, cuando es verdadera en la poblacin.3. PASO: ESTADSTICO DE PRUEBA

Valor determinado a partir de la informacin muestral, que se utiliza para determinar si se rechaza la hiptesis nula., existen muchos estadsticos de prueba para nuestro caso utilizaremos los estadsticos z y t. La eleccin de uno de estos depende de la cantidad de muestras que se toman, si las muestras son de la prueba son iguales a 30 o ms se utiliza el estadstico z, en caso contrario se utiliza el estadstico t.

3.1 Estadstico Calculado

3.2 Estadstico Tabulado

4. PASO: REGIONES CRITICASDividir el rea en dos regiones

Se establece las condiciones especficas en la que se rechaza la hiptesis nula y las condiciones en que no se rechaza la hiptesis nula. La regin de rechazo define la ubicacin de todos los valores que son tan grandes o tan pequeos, que la probabilidad de que se presenten bajo la suposicin de que la hiptesis nula es verdadera, es muy remota.

Distribucin muestral del valor estadstico z, con prueba de una cola a la derechaValor crtico:Es el punto de divisin entre la regin en la que se rechaza la hiptesis nula y la regin en la que no se rechaza la hiptesis nula.

5. PASO: DECISION

Tomar la decisin. Se compara el valor observado de la estadstica muestral con el valor (o valores) crticos de la estadstica de prueba. Despus se acepta o se rechaza la hiptesis nula. Si se rechaza sta, se acepta la alternativa; a su vez, esta decisin tendr efecto sobre otras decisiones de los administradores operativos, como por ejemplo, mantener o no un estndar dedesempeoo cul de dosestrategiasdemercadotecniautilizar.

5.1 MatemticamenteComparar: Estadstico Calculado Ec con el estadstico Tabular Et, segn el tipo de prueba unilateral o Bilateral

5.2 InterpretarLa distribucin apropiada de la prueba estadstica se divide en dos regiones: una regin derechazoy una deno rechazo. Si la prueba estadstica cae en esta ltima regin no se puede rechazar la hiptesis nula y se llega a la conclusin de que elprocesofunciona correctamente.

TEMA 14: PRUEBA DE HIPOTESIS DE DIFERENCIA DE MEDIAS14.1 DEFINICIN: Una diferencia entre medias se considera real, confiable, verdadera o significativa cuando existe una alta probabilidad de que tal diferencia no es producto del azar o accidental. Cuando la diferencia que se observa entre dos medias puede ser fcilmente atribuida al error estndar, se dice que dicha diferencia no es significativa14.2 PROCEDIMIENTO PARA LA PRUEBA DE HIPTESIS

1. PASO: PLANTEAMIENTO DE LA HIPOTESISHo: Ha:

2. PASO: NIVEL DE SIGNIFICACION

3. PASO: ESTADISTICO DE PRUEBASi n1, n2 < 30 t Si n1, n2 > 30 z3.1) ESTADSTICO CALCULADOSi n1, n2 < 30 t

Si n1, n2 < 30 t

3.2) ESTADSTICO TABULADOtt: con (n-1)glZt:4. PASO: REGIONES CRITICAS

Unilateral Derecha

Tt o Zt

Unilateral Izquierda

-Tt o -Zt

Bilateral

- Tt o - Zt Tt o Zt

5. PASO: DECISION

5.1 MATEMTICAMENTEMediante el desarrollo de las frmulas matemticas de obtienen los resultados

5.2 INTERPRETACION Segn los resultados obtenidos, se decide si se acepta o rechaza las hiptesis tanto hiptesis nula como la alternante.

TEMA 15: PRUEBA DE HIPOTESIS DE PROPORCION DE UNA MUESTRA

15.1 DEFINICION Las pruebas de proporciones son adecuadas cuando los datos que se estn analizando constan de cuentas o frecuencias de elementos de dos o ms clases. El objetivo de estas pruebas es evaluar las afirmaciones con respecto a una proporcin (o Porcentaje) de poblacin. Las pruebas se basan en la premisa de que una proporcin muestral (es decir, x ocurrencias en n observaciones, o x/n) ser igual a la proporcin verdadera de la poblacin si se toman mrgenes o tolerancias para la variabilidad muestral. Las pruebas suelen enfocarse en la diferencia entre un nmero esperado de ocurrencias, suponiendo que una afirmacin es verdadera, y el nmero observado realmente. La diferencia se compara con la variabilidad prescrita mediante una distribucin de muestreo que tiene como base el supuesto de que es realmente verdadera.En muchos aspectos, las pruebas de proporciones se parecen a las pruebas de medias, excepto que, en el caso de las primeras, los datos muestrales se consideran como cuentas en lugar de como mediciones. Por ejemplo, las pruebas para medias y proporciones se pueden utilizar para evaluar afirmaciones con respecto a:1) Un parmetro de poblacin nico (prueba de una muestra)2) La igualdad de parmetros de dos poblaciones (prueba de dos muestras), y3) La igualdad de parmetros de ms de dos poblaciones (prueba de k muestras). Adems, para tamaos grandes de muestras, la distribucin de muestreo adecuada para pruebas de proporciones de una y dos muestras es aproximadamente normal, justo como sucede en el caso de pruebas de medias de una y dos muestras.15.2 FUNCION MATEMATICA Cuando el objetivo del muestreo es evaluar la validez de una afirmacin con respecto a la proporcin de una poblacin, es adecuado utilizar una prueba de una muestra. La metodologa de prueba depende de si el nmero de observaciones de la muestra es grande o pequeo.Como se habr observado anteriormente, las pruebas de grandes muestras de medias y proporciones son bastante semejantes. De este modo, los valores estadsticos de prueba miden la desviacin de un valor estadstico de muestra a partir de un valor propuesto. Y ambas pruebas se basan en la distribucin normal estndar para valores crticos. Quiz la nica diferencia real entre las ambas radica en la forma corno se obtiene la desviacin estndar de la distribucin de muestreo.

Esta prueba comprende el clculo del valor estadstico de prueba Z

Posteriormente este valor es comparado con el valor de Z, obtenido a partir de una tabla normal a un nivel de significacin seleccionado.Como ocurri con la prueba de medias de una muestra, las pruebas de proporciones pueden ser de una o dos colas.

La primera alternativa establece una prueba de cola derecha, la segunda, izquierda y la tercera, una prueba de dos colas.

TEMA 16: PRUEBA DE HIPOTESIS DE PROPORCION DE DOS MUESTRAS

16.1 DEFINICION: El objetivo de una prueba de dos muestras es determinar si las dos muestras independientes fueron tomadas de dos poblaciones, las cuales presentan la misma proporcin de elementos con determinada caracterstica. La prueba se concentra en la diferencia relativa (diferencia dividida entre la desviacin estndar de la distribucin de muestreo) entre las dos proporciones muestrales. 16.2 PROCEDIMIENTO: La hiptesis nula en una prueba de dos muestras es

16.3 APLICACIONSe ponen a prueba la enseanza de la Estadstica empleando Excel y Winstats. Para determinar si los estudiantes difieren en trminos de estar a favor de la nueva enseanza se toma una muestra de 20 estudiantes de dos paralelos. De paralelo A 18 estn a favor, en tanto que del paralelo B estn a favor 14. Es posible concluir con un nivel de significacin de 0,05 que los estudiantes que estn a favor de la nueva enseanza de la Estadstica es la misma en los dos paralelos?Como esta pueden existir otros tipos de problemas en los que tenga que usar la prueba de hiptesis de una proporcin CONCLUSIONES

La probabilidad mide la frecuencia con la que se obtiene un resultado (o conjunto de resultados) al llevar a cabo un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables los problemas de probabilidad proporcionan una fuente interesante para que pensemos un poco ms all de nuestro sentido comn, y unido a las estadstica nos permite hacer la llamada inferencia estadstica.

En la ingeniera la estadstica ocupa un lugar fundamental ya que tiene como objetivos proporcionar el lenguaje, los mtodos y procedimientos bsicos en la investigacin al ingeniero, por lo que se le hace indispensable ya que le servir de mucha ayuda en la solucin de problemas en su campo de trabajo.

En nuestra sociedad el estudio de la probabilidad cumple un papel importante ya que la Probabilidad es la posibilidad que existe entre varias posibilidades que un hecho o condicin se produzca.Gracias a esta los seres humanos podemos anticiparnos a que algn suceso potencial ocurran finalmente.

BIBLIOGRAFIA

Estadistica Basica en administracin, Mark L. Berenson, David M. Levine, 1996 Estadsitica General Aplicada, Francisco Javier Tejedor, Juan E. Murgiondo, 2006 Estadistica y Probabilidades, Moiss Lzaro Cuaderno del Curso de Estadistica y Probabilidades, Universidad Privada de Tacna, III ciclo Informes de Laboratorio del Curso de Estadistica y Probabilidades, Universidad Privada de Tacna, III ciclo 1