ESTABILIDAD Y CONVERGENCIASESION Nº 02

TIPOS DE REDONDEOAl realizar los cálculos que todo método numérico o analítico requiere

debemos de redondear. Para redondear se emplea usualmente: Redondeo truncado Redondeo simétrico.

Redondeo truncado

Consiste en truncar el resultado de una operación al número de cifras significativas que se estén utilizando.

Ejemplo sí redondeamos  7/9 a 4 cifras significativas tenemos 0.7777.

Redondeo simétrico

El redondeo simétrico consiste en aumentar en uno la última cifra retenida sí la primera cifra descartada esta entre 5 y 9, o dejarla igual

sí la primera cifra descartada esta entre 0 y 4.

Ejemplo sí redondeamos  7/9 a 4 cifras significativas tenemos 0.7778.

Ejercicios:

1. 1/3 + 2/3 = 1

2. 5/8 + 3/8 = 1

3. = 12

4. = 10

5.

PROPAGACIÓN DE LOS ERRORES

Para obtener un resultado con cifras realmente significativas haremos

uso de la aritmética de dígitos significativos.

Sea x un número real que, en general, tiene una representación

decimal infinita. Podemos decir que x ha sido adecuadamente

redondeado a un número con d decimales, al que denominaremos x(d),

si el error de redondeo, E es tal que: .

EJEMPLO DE DÍGITOS SIGNIFICATIVOS

• Ejemplo: Exprese el número x = 35.47846 correctamente

redondeado a cuatro y tres decimales. Calcular el error

cometido.

• En el primer caso, la aproximación correcta es:

• En el segundo caso, nuevamente por redondeo simétrico:

no es una aproximación correcta, entonces lo haremos por

redondeo truncado.

ESTABILIDAD - CONVERGENCIA

La estabilidad puede definirse comúnmente de 2 maneras. Todo problema

requiere datos de entrada y nos origina por lo menos una salida. Sí cambios

pequeños en los datos de entrada producen cambios pequeños en la salida, se

dice que el algoritmo es estable (también se le denomina problema bien

condicionado) y en caso contrario inestable (o problema mal condicionado).

La convergencia se refiere al hecho de que los métodos numéricos obtienen n

términos de una sucesión de valores. Comenzamos con un valor inicial que sea

una aproximación de la solución de un problema x0. Aplicando un método

numérico se obtiene otra aproximación x1. Se repite el procedimiento para

obtener x2 y así sucesivamente, es decir, se generar la sucesión x0 , x1 ,...,xn

(todos los términos son aproximaciones a la solución del problema). Sí la

sucesión obtenida al cabo de n iteraciones tiende a un límite se dice que el

método es convergente o divergente en caso contrario.

ORDEN DE CONVERGENCIA

En la práctica además de que un algoritmo sea

convergente, interesa también que tan rápido es

el algoritmo para llegar a la solución. Claramente

mientras menor sea el número de iteraciones

requerido para alcanzar una precisión dada, mayor

será la velocidad de convergencia y viceversa.

Luego, a mayor orden de convergencia menor

cantidad de iteraciones y,

A menor orden de convergencia mayor cantidad de

iteraciones.

APLICACIONES

Exprese los siguientes números Mach redondeados correctamente a cinco, cuatro y tres decimales: 2.3654896 5.3265412 3.0021325 1.2222325 7.9696969 2.3654787 0.6412548

PROGRAMACIÓN EN MATLAB

%%Programa de Criterio de Convergencian=input('ingrese el numero de cif signif: ');vr=input('ingrese el valor real: ');va=input('ingrese el valor aproximado: ');er=abs(vr-va);cc=0.5*10^(n);if er<=cc

disp('Aproximación correcta')else

disp('Aproximación incorrecta')end