Criterios de EstabilidadSubttulos:1.1. Diagramas polares.1.2. Fundamentos del criterio de estabilidad de Nyquist.1.3. Criterio de Nyquist con funciones de fase mnima.

SALIDA EN ESTADO ESTACIONARIO A UNA ENTRADASINUSOIDAL.

Sistema lineal e invariante en el tiempo .

La entrada x (t):

Al ser un sistema estable la salida y(t):

Donde: Seales de entrada y salida sinusoidal con diferente amplitud y desfasadas.

SALIDA EN ESTADO ESTACIONARIO A UNA ENTRADASINUSOIDAL.

Seales de entrada y salida sinusoidal con diferente amplitud y desfasadas.

Sistema lineal e invariante en el tiempo sujeto a una

entrada sinusoidal tendr una salida sinusoidal de igual f frecuencia de la entrada cambiando en su amplitud y el ngulo de fase

Sistema lineal e invariante en el tiempo

DIAGRAMAS POLARES.Es una representacin de la magnitud y ngulo de fase de en coordenadaspolares al variar el valor de de a

)( jG 0

La funcin de transferencia senoidal puede ser vista:

En su representacin de magnitud y fase:

)()()( jGjGjG

En expresarse en trminos de sus parte real e imaginaria.

)(Im)(Re)( jGjGjG Re

Im

)(Re jG

)( jG)( jG

0

)( jG )(Im jG

Grfica polar de .

)( jG

575)(

s

sG

Ejemplos de grficas polares:

Obtener la grfica polar de

Solucin.. 1) Se cambia a variable compleja s porj

jjjG

5

75

5

75)(

2) Separar el valor real y el imaginario. Para esto se multiplica y divide por el complejo conjugado deldenominador de

)( jG

225

75375

5

5

5

75)(

j

j

j

jjG y se tiene

22 25

75

25

375)(Im)(Re)(

jjGjGjG

para plasmar este resultado en la grfica polar, es necesario evaluar )( jG

Para plasmar este resultado en la grfica polar, es necesario evaluar en diferentes frecuencias desde hasta . Se evaluarn solo para algunas de las frecuencias.

0

0Si entonces:

15)0(25

)0(75

)0(25

375)0(Im)0(Re)0(

22

jjGjGjG

Si

00)(25

)(75

)(25

375)(Im)(Re)(

22jjjGjGjG

Si 5

5.75.7)5(25

)5(75

)5(25

375)5(Im)5(Re)5(

22jjjGjGjG

88675.2Si

49519.625.11)88675.2(25

)88675.2(75

)88675.2(25

375)88675.2(

22jjjG

)( jG

Si 66025.8

49519.675.3)66025.8(25

)66025.8(75

)66025.8(25

375)66025.8(

22jjjG

Dependiendo de la experiencia y de lo complicado de la grfica polar, se necesitarn ms o menos frecuencias aevaluar.

Re

Im

66025.8

0

588675.2

Grfica polar de . 5

75)(

s

sG

A. Factores integral y derivativo

Integral

Para un sistema integrador de la F.T. G(s)=1/s, su equivalente en la funcin de transferencia sinusoidal es

Derivativo

Para un sistema derivativo de la F.T. G(s)=s, su equivalente en la funcin de transferencia sinusoidal es

B. Factores de primer orden

Para la F.T. sinusoidal

Para

C. Factores cuadrticos

Para la F.T. sinusoidal

La forma exacta de un diagrama polar depende del valor del factor de amortiguamiento relativo , pero la forma general del diagrama es igual tanto para el caso subamortiguado como para el caso sobreamortiguado.

El punto de frecuencia cuya distancia al origen es la mxima, corresponde a la frecuencia de resonancia .

Es estable? SI, si la ecuacin caracterstica tiene races negativas nicamente. (Polos en semiplano izquierdo)

Pero

Sistemas no definidos matemticamente.

Desconoce el comportamiento de loselementos.

Se tienen grficas experimentales en lazoabierto de estos componentes?

?

Entonces El criterio de estabilidad de Nyquist permite determinar grficamente laestabilidad en lazo cerrado a partir de curvas de respuesta en frecuenciay los polos de lazo abierto

LAZO CERRADO1+G(s) H(s)

Si Trayectoria de Nyquist en plano sencierra Z ceros y P polos de1+G(s)H(s).

El contorno correspondiente G(s)H(s)rodea en un crculo al punto -1+j0 deforma horaria un nmero N=Z-P deveces.

LAZO ABIERTOG(s)H(s)

* El punto -1+j0 no est rodeado. Esto implica que el sistema es estable si no hay polosde G(s)H(s) en el semiplano derecho del plano s; de lo contrario, el sistema es inestable

* El punto -1+j0 queda rodeado una o varias veces en el sentido de las agujas del reloj.En este caso el sistema es inestable.

* El punto -1+j0 queda rodeado una o varias veces en sentido antihorario. El sistema esestable si el nmero de rodeos es igual al nmero de polos G8s)H(s) en el semiplanoderecho del plano s; de lo contrario es inestable.

CASO 1:

Debido a que G(s)H(s) no tiene polos en el sentido derecho del plano s

El punto -1 + j0 no est rodeado por el lugar geomtrico de G(jw)H(jw)

SISTEMA ESTABLE cualquier valor positivo de ganancia y atrasos dinmicos

CASO 2:

Polos de G(s)H(s) en el semiplano derecho delplano s es cero.

Por lo tanto, para que este sistema sea estable,es necesario que N = Z = 0 o que el lugargeomtrico de G(s)H(s) no rodee el punto -1 + j0

El punto -1 + j0 es rodeado, en sentido horario, elSISTEMA ES INESTABLE.

Se comprueba con ecuacin caracterstica dellazo cerrado 1 + G(s)H(s) tiene dos races en elsemiplano derecho del plano s, lo que indica lainestabilidad

K = 10

K = 0,1

CASO 3:

G(s)H(s) tiene un polo en +1, es decir, en el semiplano derecho del plano s.

Diagrama de Nyquist para lazo abierto, rodea el punto -1 + j0 una vez en el sentido de lasagujas del reloj. Entonces: N = 1 y Z = 2 debido a que Z = N + P.

Esto significa que el sistema en lazo cerrado tiene dos polos en el plano derecho del planos y que es inestable.

CASO 2:

Funcin de transferencia en lazo abierto tiene un polo +1 en el semiplano derecho delplano s. El sistema en lazo abierto es inestable.

El diagrama de Nyquist de G(s)H(s) rodea al punto -1 + j0 una vez en sentido contrarioal de las agujas del reloj, por lo tanto, N = -1. De acuerdo a lo anterior, se obtiene queZ = 0 porque Z = N + P, esto implica que no hay un cero en la ecuacin caractersticade la funcin de transferencia en lazo cerrado localizado en el semiplano derecho delplano s y que el sistema en lazo cerrado es estable.