CAPTULO 2ESTADSTICA INFERENCIAL2.1. INTRODUCCINTambin se le llama Inferencia Estadstica, pero previamente recordemos que la Estadstica (EI) comprende el conjunto de mtodos estadsticos que permiten deducir (inferir) cmo se distribuye la poblacin bajo estudio a partir de la informacin que proporciona una muestra representativa, obtenida de dicha poblacin. Ver seccin 1.6.2 del presente libro.

Para que la Estadstica Inferencial proporcione buenos resultados debe:

1. Basarse en una tcnica estadstico-matemtica adecuada al problema y suficientemente validada.

2. Utilizar una muestra que realmente sea representativa de la poblacin y de un tamao suficiente.

Veamos el siguiente ejemplo:

Ejemplo 2.1Se realiza un estudio para comparar tres mtodos para ensear tcnicas de comprensin lectora en ingls a escolares de segundo grado de Educacin Bsica Secundaria, como son:

El mtodo de la enseanza recproca. El mtodo de instruccin directa.

La combinacin de mtodos de instruccin directa y enseanza recproca.

Las preguntas por resolver son:

1. Cul de los mtodos mejora la comprensin lectora?

2. Para el prximo ao el mtodo identificado como el mejor, dar buenos resultados, para el alumno Javier Hernndez Len, quin realizar el segundo grado de Educacin Bsica Secundaria?

La primera pregunta es un caso de incertidumbre, porque, basndonos en el estudio de tres muestras independientes y en igualdad de condiciones se aplicar uno de los tres mtodos a cada muestra de manera independiente; con el apoyo de la Estadstica Inferencial absolvemos esta pregunta, eligiendo a la que mejora significativamente la Comprensin Lectora, para este tipo de alumnos.

La segunda pregunta es un caso de toma de decisiones, porque Javier Hernndez Len no ha participado en el estudio, pero se le aplicar el mejor mtodo que resulte de la investigacin realizada, ahora bien, con qu confianza, diremos que ese mtodo lograr que Javier mejore su comprensin lectora en ingls.

Los casos de incertidumbre y toma de decisiones son resueltos por la Estadstica Inferencial, por supuesto apoyado por la probabilidad.

Para iniciarse en el estudio y aplicacin de la Estadstica Inferencial es necesario conocer los conceptos bsicos que a continuacin se van a tratar.

2.2. POBLACINEste concepto vamos a definir bajo diferentes enfoques. En investigacin cientfica se le define como la totalidad de elementos sobre los cuales recae la investigacin. A cada elemento se le llama unidad estadstica, sta se le observa o se le somete a una experimentacin, estas unidades son medidas pertinentemente.

Si representamos mediante, X , una variable aleatoria bajo investigacin, al estudiar a esta variable en la poblacin, como resultado tendremos los valores:

X 1 , X 2 , X 3 ,..., X NDonde N es el total de elementos de la poblacin.

Ejemplo 2.2Sea X , una variable aleatoria que representa la calificacin obtenida en la prueba de conocimientos sobre educacin ambiental (escala vigesimal), de los alumnos de la Facultad

de Educacin, si la poblacin consta de 300 alumnos, entonces:X 1 , X 2 , X 3 ,..., X 300Es una poblacin en trminos de variable aleatoria, que se lee as:

La calificacin que ha obtenido el alumno 1 en la prueba de conocimientos sobre educacin ambiental, la calificacin que ha obtenido el alumno 2 en la prueba de conocimientos sobre educacin ambiental, la calificacin que ha obtenido el alumno 3 en la prueba de conocimientos sobre educacin ambiental, y as sucesivamente hasta la calificacin que ha obtenido el alumno 300 en la prueba de conocimientos sobre educacin ambiental.

El propsito de un estudio estadstico es extraer conclusiones acerca de la naturaleza de la poblacin, pero resulta que las poblaciones son grandes o por razones de tica, recursos

financieros, metodolgicos u otros no ser posible entonces se debe trabajar con una muestra extrada de la poblacin bajo estudio.

2.3. MUESTRASierra Bravo (1991) anota que: Una muestra en general, es toda parte representativa de la poblacin, cuyas caractersticas debe reproducir en pequeo lo ms exactamente posible.

Para que sea representativa se debe seleccionar empleando el muestreo, tpico importante de la Estadstica, con la finalidad de que los resultados de esta muestra sean validos para la poblacin de la que sea obtenido la muestra. Esta generalizacin se realiza empleando la estadstica inferencial.

2.4. MUESTRA ALEATORIAUna muestra aleatoria de tamao n de la funcin de distribucin de la variable aleatoria X esuna coleccin de n variables aleatorias independientes

X 1 , X 2 , X 3 ,..., X n

cada una con la

misma funcin de distribucin de la variable aleatoria X.

Ejemplo 2.3Consideremos nuevamente la poblacin definida en el ejemplo 2.2, la variable de inters es X, calificacin obtenida en la prueba de conocimientos sobre educacin ambiental (escala

vigesimal), de los alumnos de la Facultad de Educacin. Asumiremos que tiene distribucinde probabilidad con mediax y Varianza

x . No se conoce ni la distribucin exacta de X niel valor numrico dex o de

x . Se trata de caractersticas de la poblacin que puedendeterminarse con precisin si se revisa cada una de las calificaciones de los 300 alumnos. Para tener una idea del valor dex se extrae una muestra aleatoria de tamao n = 6 de la

poblacin. Entonces:X 1 : La calificacin que ha obtenido en la prueba de conocimientos sobre educacinambiental, el primer alumno seleccionado en la muestra.

X 2 : La calificacin que ha obtenido en la prueba de conocimientos sobre educacinambiental, el segundo alumno seleccionado en la muestra.

X 6 : La calificacin que ha obtenido en la prueba de conocimientos sobre educacinambiental, el sexto alumno seleccionado en la muestra.

Puesto que la seleccin de los alumnos, en este caso es seis, es aleatoria o al azar:X 1 , X 2 , X 3 , X 4 , X 5 , X 6Constituye variables aleatorias. Se admite que son independientes y cada una con la misma distribucin que la variable aleatoria X. En un sentido matemtico el trmino muestra

aleatoria, se refiere, no a seis alumnos seleccionados para este estudio sino a las seis variablesaleatorias

X 1 , X 2 , X 3 , X 4 , X 5 , X 6 asociadas con los alumnos.La definicin matemtica de variable aleatoria es terica, para extraer conclusiones prcticas

acerca de la poblacin en base a la muestra seleccionada deben determinarse los valoresnumricos de las variables

X 1 , X 2 , X 3 ,..., X n .No estamos tratando con un conjunto de unidades estadsticas seleccionadas, ni con un grupode variables tericas sino con un conjunto de n nmeros reales, es decir

x1 , x2 , x3 ,..., xn . Estosnmeros son los valores observados de las variables

X 1 , X 2 , X 3 ,..., X n

respectivamente, para

una determinada muestra aleatoria extrada de la poblacin. Esto conduce a la siguiente definicin.

2.5. MUESTRA ALEATORIA APLICADAUna muestra aleatoria de tamao n es un conjunto de n observaciones

x1 , x2 , x3 ,..., xn

sobre

las variables

X 1 , X 2 , X 3 ,..., X n

independientes e idnticamente distribuidas.

Ejemplo 2.4Para el caso del ejemplo 2.3, una vez identificados los seis alumnos, podemos determinar losvalores numricos de las seis variables aleatorias

X 1 , X 2 , X 3 , X 4 , X 5 , X 6 . Supongamos que elprimer alumno seleccionado ha obtenido 13 en la prueba de educacin ambiental en este caso,la variable aleatoria

X 1 toma el valor

x1 = 13.Si el segundo alumno seleccionado ha obtenido 10 en la prueba de educacin ambiental eneste caso, la variable aleatoria

X 2 toma el valor

x2 = 10. De igual forma las variablesaleatorias

X 3 , X 4 , X 5 , X 6

tomarn valores numricos que van a depender de las calificaciones

que obtienen los alumnos seleccionados en tercera, cuarta, quinta y sexta seleccin.

Ahora estamos utilizando el termino muestra aleatoria no para referirnos a los alumnos seleccionados o a las variables aleatorias asociados con ellos sino a los seis valores numricos

x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6

que toman respectivamente cada una de las seis variables aleatorias.

Por tanto hay tres formas de considerar a una muestra aleatoria:

1. Como un conjunto de unidades seleccionadas y que son sometidos al estudio.

2. Como un conjunto de variables aleatorias tericas asociadas con esas unidades

3. Como un conjunto de valores numricos tomadas por las variables.

Las definiciones no son equivalentes pero estn estrechamente relacionadas.

2.6. PARMETROSierra Bravo (1991) indica que parmetro deriva del vocablo griego parmetreo que significa medir una cosa con otra:

En estadstica se refiere a los valores o medidas que caracterizan una poblacin como por ejemplo la media y la desviacin tpica de una poblacin () Son cantidades indeterminadas constantes o fijas respecto a una condicin o situacin que caracteriza a un fenmeno en un momento dado que ocurre en una poblacin.

Se suele representar a un parmetro mediante letras griegas, por ejemplo la media poblacional se representa mediantex y se lee como media poblacional de la variable aleatoria X, la

varianza poblacional se representa mediante2

y se lee como varianza poblacional de la

variable aleatoria X.En trminos prcticos un parmetro es un valor que resulta al emplear los valores que se obtiene de una poblacin.

Ejemplo 2.5Si al obtener las calificaciones de los 300 alumnos que conforman la poblacin, estos se promedia, entoncesx = 14.78 es el parmetro correspondiente. Para su clculo se ha

empleado la siguiente expresin, llamada media poblacional:N X i i 1

(2.1)xNObviamente que N toma el valor 300, para este ejemplo.

Si de estos 300 alumnos 198 son mujeres, entonces la proporcin poblacional de mujeres representada porx = 0.66 (66%). Para su clculo se ha empleado la siguiente expresin,

llamada proporcin poblacional:N X i i 1

(2.2)xNPero ahora la variable aleatoria se define como:1X i

si alumna0 si

alumnoEn este caso el numerador de la expresin (2.2) es 198 y N toma el valor 300.

2.7. ESTADSTICOSe contrapone al parmetro, porque es un valor que se obtiene a partir de los valores muestrales, se puede obtener media y varianzas mustrales, por ejemplo.

Los estadsticos son variables aleatorias por que estn sujetos a la fluctuacin de la muestra en relacin al valor poblacional que se asume es constante.

Ejemplo 2.6Continuando con el ejemplo 2.4, al seleccionar una muestra aleatoria de tamao seis, una vezidentificados los seis alumnos, obtienen las siguientes calificaciones

x1 = 13,

x2 = 10,

x3 =13,

x4 = 14,

x5 = 11, x6

= 10 la media obtenida de los seis alumnos es de 11,83, llamada

media muestral y se representa mediante x , cuya expresin es:n xi i 1

n(2.3)El numerador de la expresin (2.3) es la suma de los seis valores, que da 71, que dividido por

6, resulta x = 11,83, es decir en promedio los alumnos han obtenido 11,83 de calificacin en la prueba de educacin ambiental.

La varianza de esta muestra aleatoria es 2,4722 y se representa mediante

es:

S 2 , cuya expresin

n 2 xi xS 2 i 1

n

(2.4)

Para su clculo, disponemos de la tabla, 2.1, en la que mostramos paso a paso el uso de la expresin (2.4) sabiendo que x = 11,83:

Tabla 2.1Clculos para obtener el valor de la varianza (ejemplo 2.6)Unidadxixixxx 2i

1131,171,3689

210-1,833,3489

3131,171,3689

4142,174,7089

511-0,830,6889

610-1,833,3489

Total710,02*14,8334

Tericamente:n

xi x0i 1El numerador de la expresin (2.4) es la suma del cuadrado de las seis desviaciones de cada valor que toma la variable, respecto a su media aritmtica, que es igual a 14,8334, que dividido por 6 es justamente 2,4722.

La raz cuadrada, positiva, de la varianza se llama desviacin estndar o desviacin tpica,

esto es:SS 2

(2.5)Entonces, usando la expresin anterior (2.5) la desviacin estndar es S = 1,5723.

2.8. DISTRIBUCIN MUESTRALSierra Bravo (1991) anota que la distribucin muestral:

Est formada por estadsticos o valores determinados obtenidos de muestras: medias, varianzas, etc., acompaados de sus respectivas frecuencias relativas o probabilidades, o de la proporcin de veces que se repiten en el conjunto de todas las muestras posibles del mismo tamao obtenidas de la poblacin.

De manera ms formal, Tsokos y Milton (1998) anotan que: () la distribucin de probabilidad del estadstico se llama distribucin muestral.

Ejemplo 2.7Vamos a obtener la distribucin muestral de las calificaciones obtenidas en la prueba que mide la educacin ambiental de una poblacin hipottica compuesta por 3 estudiantes y que

toman calificaciones iguales a:

X 1 = 13,

X 2 = 11,

X 3 = 07. Fijamos para una muestra detamao 2, en la tabla 2.2 se muestra los posibles resultados de la muestra de tamao 2, as como su respectiva media muestral:

Tabla 2.2Resultados de posibles muestras de tamao 2MuestrasPosiblesMedias muestrales(media para cada muestra)

13,1112

13,710

11,1312

11,79

7,1310

7,119

Ahora se muestra la distribucin de frecuencias para los valores de la media muestral:

Tabla 2.3Distribucin muestral de la media muestralValor de las mediasmuestralesFrecuenciaFrecuencia relativa

922/6 = 0.33

1022/6 = 0.33

1222/6 = 0.33

La distribucin muestral de la media muestral es la distribucin de frecuencias o de probabilidad, en este caso, de las frecuencias relativas de todas las medias muestrales posibles, obtenidas de muestras de tamao 2, de la poblacin de tamao 3.

Por cultura estadstica estudiaremos algunos estadsticos y su distribucin de probabilidad

(distribucin muestral).

2.8.1. MEDIA MUESTRALLa expresin (2.3), nos indica cmo se obtiene una media muestral. Veamos sus propiedades:

PROPIEDADES DE LA MEDIA MUESTRALSi X es una variable aleatoria con esperanza o media poblacionaly varianza poblacional

2 , entonces la media muestral, x tiene las siguientes propiedades:1.E x2. V x

2 / n3. La desviacin estndar de x , que se representa mediante

, conocida tambin comoxerror estndar de la media muestral es igual a/n4. Sea

X 1 , X 2 , X 3 ,..., X n

una muestra aleatoria de tamao n, de una distribucin con media

poblacionaly varianza poblacional2 . Entonces para n grande, la variable aleatoria:x(2.6)/ nSe distribuye aproximadamente como una normal estandarizada

N 0,1 . Se considera una

buena aproximacin cuando n

30 (Teorema del Lmite Central). De este modo, incluso ancuando la variable aleatoria X no est normalmente distribuida, podemos aplicarla en la

Inferencia Estadstica.

2.8.2. VARIANZA MUESTRALA partir de cada muestra aleatoria de tamao n de X :

la varianza muestral, definida como:

x1 , x2 ,..., xn

tambin se puede calcular

2 1 n 2s xi xi 1

(2.7)

Cabe precisar, que algunos autores la llaman cuasivarianza. PROPIEDADES DE LA VARIANZA MUESTRALSi X es una variable aleatoria con esperanza y varianzay2 respectivamente, entonces

para la varianza muestral de tamao n se cumple que:1.E s22n1 s22. Si X tiene distribucin de probabilidad normal,2

es una variable aleatoria con

distribucin chi-cuadrado con n

1 grados de libertad.2.8.3. PROPORCIN MUESTRALConsideremos una poblacin en la que existe una proporcinde elementos que tienen el atributo A (o pertenecen a la categora A ).

Si se toma una muestra aleatoria de n elementos, de esa poblacin y se calcula el nmero nAde elementos con el atributo A , entonces:pnA(2.8)nEs la proporcin muestral de los elementos que tienen el atributo A en la muestra, esta proporcin muestral corresponde a una variable aleatoria.

PROPIEDADES DE LA PROPORCIN MUESTRAL1.E p2. V p

1/ nLa desviacin estndar o error estndar de la proporcin muestral, se denota comop yes igual a

(1) / n3. Para n suficientemente grande, la variable aleatoria:Z p(1) / n

(2.8.)

Se distribuye aproximadamente como una

N 0,1 . Se considera una buena aproximacincuando n

30 (Teorema del Lmite Central).CUL ES LA DIFERENCIA ENTRE DESVIACIN ESTNDAR Y ERROR ESTNDAR?La diferencia es que la desviacin estndar describe la variabilidad de los valores deuna variable, en cambio el error estndar describe la precisin del estadstico.Ejemplo 2.8En una muestra aleatoria de 15 docentes de educacin secundaria, de la Institucin Educativa Martn Adn, se les aplico un cuestionario para recoger su opinin sobre el investigador educativo, se presenta la respuesta de 3 preguntas, de un total de 27:

Tabla 2.4Muestra aleatoria de 15 docentes de la Institucin Educativa Martn Adn (Lima)DocentesEdad (1)Investigador (2)Remuneracin (3)

13411

23811

34921

44211

53512

64421

73012

83611

94321

104721

113912

124621

134821

143612

154411

(1)Edad en aos cumplidos del docente.

(2)La profesin de investigador es profesin atractiva para:

1. Docentes jvenes.2. Docentes maduros.

(3)El investigador educativo debe ser bien remunerado

1. S.2. No.

Con esta informacin vamos a mostrar la diferencia entre desviacin estndar y error estndar.

MEDIA MUESTRALLa edad en aos cumplidos tiene distribucin con media poblacional,= 38,5 aos y varianza poblacional,2 = 30 aos2.

Usando la expresin 2.3 se obtiene x = 40,73 aos, y al usar la expresin 2.7 se obtiene

33,21 aos2.

s 2 =

Por tanto la desviacin estndar muestral de la edad es: ss 2

33,21

= 5,76.En cambio el error estndar del estadstico media muestral, empleando la propiedad 3, es:5,48

xn15

5,48

3,87

= 1,42 aos

PROPORCIN MUESTRALPara la segunda variable, interesa que el docente encuestado indique que la profesin de investigador es una profesin atractiva para docentes jvenes ( A ). La muestra aleatoria es

igual a 15 docentes n

15 .En esta poblacin se asume que la proporcin poblacional de docentes que consideran que la profesin de investigador es una profesin atractiva para docentes jvenes es igual a 0,71

0,71 .De la tabla contamos que

nA = 9, es decir, 9 docentes afirman que la profesin deinvestigador es una profesin atractiva para docentes jvenes, entonces empleando la expresin 2.8 se obtiene:

p9 = 0,6 (60%)15Esto es, el 60% de docentes encuestados afirman que la profesin de investigador es una profesin atractiva para docentes jvenes.

El error estndar del estadstico p es:(1)

pn

0,71(1

15

0,71)

0,71(0,29)

15

0,2059

15

0,0137

= 0,1170

2.9. ESTIMACINLa Inferencia Estadstica se clasifica como: Estimacin y Prueba de Hiptesis de parmetros estadsticos. En ambos casos hay una poblacin bajo investigacin y generalmente al menos un parmetro de esta poblacin, al que vamos a representar mediante la letra griega.

Cuando no se tiene una nocin preconcebida sobre el valor de, se desea responder a la pregunta: Cul es el valor de?

En este caso el intentar conocer el valor dees en termino estadsticos, estimar el valor de es decir tratar de conocer el valor del parmetro en trminos prcticos.

Sierra Bravo (1991) anota que:

Estimacin proviene del latn estimatio y significa estimacin, precio y valor que se da a una cosa. En estadstica es la operacin que mediante la inferencia un parmetro, utilizando datos incompletos procedentes de una muestra, se trata de determinar el valor del parmetro. Pero los valores de la muestra estn sujetos al error muestral esto es a las fluctuaciones de la muestra.

La estimacin de un parmetro puede ser, mediante una:

1. Estimacin puntual.

2. Estimacin mediante intervalos de confianza.

Para cualquiera de estas dos situaciones empleamos el estadstico que como ya se ha mencionado es una variable aleatoria.

La aproximacin se hace utilizando estadsticos apropiados. A un estadstico empleado para aproximar o estimar un parmetro de la poblacin se le llama estimador puntual dey se denota mediante . De este modo por ejemplo, al estimador de la media, se le denotara por . Una vez que la muestra ha sido tomada y se han hecho algunas observaciones, se puede obtener el valor numrico del estadstico . A tal nmero se le denomina una

estimacin puntual de. Ntese que hay una diferencia entre los trminos estimador y

estimacin.ESTIMADOR: Es el estadstico utilizado para generar una estimacin y es una variable aleatoria.

ESTIMACIN: Es el valor que toma el estimador.Ejemplo 2.9Consideremos las variables edad en aos cumplidosXy el docente considera que el investigador educativo debe ser bien remuneradoY , para distinguir entre estimador y estimacin:

VariableParmetroEstimadorEstimacin

Xn xix i 1

nx = 40,73 aos

21n 2sn1 xix2i 1 2s 2 = 33,21 aos2

YpnAnp0,7333 (73,33%)

PRUEBA DE HIPTESISProceso mediante el cual, a partir de los valores de una muestra aleatoria se decide si se rechaza o no el supuesto que plantea el investigador para el parmetro o parmetros de la poblacin o poblaciones bajo estudio, pero con cierta probabilidad de error (riesgo) por tomar una decisin.

Ejemplo 2.10En cierta investigacin, se requiere estudiar el nivel de comprensin lectora en nios de 8 aos de edad, que asisten a Instituciones Educativas estatales y privados, para tal fin se elige al azar una muestra de alumnos de cada tipo de Institucin Educativa (IE). Se pretende lograr los siguientes objetivos:

1. Determinar el nivel promedio poblacional del puntaje de la prueba de comprensin lectora para tipo de IE.

2. Verificar si el nivel promedio poblacional del puntaje de la prueba de comprensin lectora en nios de IE estatal es diferente de los nios de IE privados.

Explicar cul rama de la Inferencia Estadstica emplear, para lograr cada objetivo.

SolucinPreviamente se requiere identificar:

Poblacin. Se trata de dos poblaciones bajo estudio:

1:Nios de 8 aos de edad, que asisten a Instituciones Educativas Estatales.

2:Nios de 8 aos de edad, que asisten a Instituciones Educativas Privadas.

Muestra. Nios de 8 aos de edad seleccionados aleatoriamente e independiente de cada poblacin.

Variable Aleatoria. Esta representada mediante X y se define como Puntaje de comprensin lectora obtenida mediante una prueba especial.

Parmetros. En relacin a la variable aleatoria bajo estudio y considerando que se investiga para dos tipos de IE, los parmetros son:

1 = Nivel promedio poblacional del puntaje de la prueba de comprensin lectora para nios de 8 aos de edad que asisten a IE Estatales.

2 = Nivel promedio poblacional del puntaje de la prueba de comprensin lectora para nios de 8 aos de edad que asisten a IE Privados.

1 = Desviacin estndar poblacional del puntaje de la prueba de comprensin lectora para nios que asisten a IE Estatales.

2 = Desviacin estndar poblacional del puntaje de la prueba de comprensin lectora para nios que asisten a IE Privadas.

Para lograr el objetivo 1. Se debe emplear la estimacin debido a que se requiere tener un valor aproximado de1 y2 empleando muestras aleatorias que se han obtenido de manera independiente de cada tipo de institucin educativa.

Para el logro del objetivo 2. Se desea verificar que los promedios poblacionales1 y2 son diferentes a partir de muestras aleatorias, aritmticamente significa:1 diferente de2( 12 ) o equivalentemente1 -2 = 0.

En este caso se parte del supuesto que no existe diferencias entre el nivel promedio poblacional del puntaje de la prueba de comprensin lectora para nios que asisten a IE

Estatales y Privados. Por tanto se empleara la prueba de hiptesis estadstica, mediante el cual se somete a prueba1 -2 = 0.

ESTADSTICA PARAMTRICASegn Sierra Bravo (1991) es parte de la estadstica que exige determinados requisitos para emplear en la inferencia estadstica generalmente requiere para su uso el supuesto de normalidad es decir que las muestras aleatorias se extraen de poblaciones que estn normalmente distribuidas o aproximadamente.

Ejemplo 2.11Se desea verificar si el tiempo promedio requerido para resolver un problema sencillo en nios de 10 aos de edad con secuelas neurolgicas derivadas de hiperbilirubenia al nacer, se incrementa despus de haber recibido una capacitacin especial para resolver problemas de ese tipo.

En este caso se debe elegir una muestra aleatoria de la poblacin conformada por nios de esta poblacin, es decir, nios de 10 aos de edad con secuelas neurolgicas derivadas de hiperbilirubenia al nacer.

La variable aleatoria bajo estudio X, es el tiempo, en minutos, para resolver un problema sencillo, cuyo parmetro se define como:

= Tiempo promedio poblacional, en minutos, requerido para resolver un problema sencillo.

Para estudiar a este parmetro se requiere evaluar a la muestra aleatoria de esta poblacin antes de la capacitacin especial y despus de la capacitacin especial, es decir los parmetros para este esquema, sujetos a estudio estadstico son:

1 : Tiempo promedio poblacional, en minutos, requerido para resolver un problema sencillo antes de la capacitacin.

2 : Tiempo promedio poblacional, en minutos, requerido para resolver un problema sencillo antes de la capacitacin.

En este caso la muestra aleatoria es relacionada, porque a cada unidad de la muestra se le evala bajo dos condiciones antes, y despus de la capacitacin especial.

Para verificar el supuesto propuesto: la capacitacin especial incrementa el tiempo promedio requerido para resolver problemas sencillos en nios de esta poblacin a partir de muestras relacionadas, se aplica una prueba de hiptesis para someter a prueba:1 : tiempo, en minutos, promedio poblacional requerido para resolver un problema sencillo1