espad iii * tc 20 aplicaciones teorema de pitágoras
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ESPAD III * TC 20
APLICACIONES Teorema de Pitágoras
• CUADRADO
• Diagonal de un cuadrado• Recta que une dos vértices
opuestos.• Por el Teorema de Pitágoras:• d=d’ = √( l2 + l2 ) = √2.l2 = l.√2
• Las diagonales son rectas que se cortan en su punto medio y son perpendiculares. Las dos son iguales en medida.
• Ejemplo:• Hallar la diagonal del cuadrado de
lado l= 5 cm• d=d’ = √( l2 + l2 ) = √2.l2 = l.√2• d=√( 52 + 52 ) = √(25+25)=• = √2.25 = 5.√2 cm
l
l
l
l
d d’
d = l.√2
b
h
• RECTÁNGULO
• Diagonal: Recta que une dos vértices opuestos.
• Por el Teorema de Pitágoras:• d=d’ = √( b2 + h2 )
• Las diagonales se cortan en su punto medio. Son iguales.
• Ejemplo:
• Hallar la diagonal del rectángulo de 8 cm de base y de 6 cm de altura.
• d=d’ = √( b2 + h2 ) • d=√( 82 + 62 ) =• = √( 64 + 36 ) = √100 = 10 cm
d = √( b2 + h2 )
b
h
d’d
• ROMBO
• Las diagonales son rectas que unen vértices opuestos.
• Las dos diagonales son distintas y perpendiculares.
• En el triángulo rectángulo resaltado, en rojo, por el Teorema de Pitágoras:
• l = √ [ (D/2)2 + (d/2)2 ]
• Ejemplo:
• Hallar el lado del rombo cuyas diagonales miden 10 cm y 24
• l = √ [ (D/2)2 + (d/2)2 ] =• = √ [ (24/2)2 + (10/2)2 ] =• = √ (122 + 52) = √ 169 = 13 cm
l l
ll
D
d
l = √ [ (D/2)2 + (d/2)2 ]
b
B
l lh
TRAPECIO ISÓSCELES
Es aquel en que los dos lados no paralelos son IGUALES.
P = B + b + 2.l
A = [ (B+b)/2 ].h
EJEMPLO_1
En un trapecio isósceles las bases miden 13 y 5 cm y la altura mide 3 cm.Hallar el lado oblicuo, el perímetro y el área.
Por Pitágoras:Cateto mayor = altura= 3 cmCateto menor = (B – b) / 2 = (13-5)/2 = 4 cmHipotenusa = lado oblicuo = l Luego l = √(h2 + [(B–b)/2]2) = √ (32 + 42) == √ (9 + 16) = √25 cm = 5 cmP = 13+5+2.5 = 13+5+10 = 28 cmA = [(13+5)/2].3 = (18/2).3 = 9.3 = 27 cm2
Por el Teorema de Pitágoras:
l = √ { h2 + [ ( B – b ) / 2 )2 ] }
l = hipotenusa.
h = un cateto.
(B-b)/2 = el otro cateto.
Sabemos que: A = [(B+b) / 2].h
Luego 48 = [(11+5)/2].h 48 =(16/2).h 48 = 8.h h = 6 cm
Además a ambos lados se forma un triángulo rectángulo:
Cateto mayor = altura , cateto menor = (B – b) / 2 , hipotenusa = lado l
Luego l = √ (h2 + [(B – b)/2]2) = √ (62 + [(11 – 5)/2]2) = √ (36 + 9) = √45 cm
b=5
B = 11
l l
h
EJEMPLO_2
En un trapecio isósceles las bases miden 11 y 5 cm y el área vale 48 cm2.
Hallar la altura, los lados oblicuos y dibujarlo.
h
B
lh
TRAPECIO RECTÁNGULOEs aquel en que uno de los lados no paralelos es perpendicular a las bases.
PERÍMETRO: P = B + b + l + h
AREA: A = [ ( B + b ) / 2 ].h
b
En el triángulo rectángulo que se resalta, por el Teorema de Pitágoras:
l = √ { h2 + [ ( B – b )2 ] }
l = hipotenusa.
h = un cateto.
(B - b) = el otro cateto.
h
b
B
l hh
Ejemplo_1
Hallar el lado oblicuo del trapecio rectángulo cuyas bases miden 12 cm y 16 cm y cuya altura mide 5 cm
Por el Teorema de Pitágoras:
l = √ { h2 + [ ( B – b )2 ] }
Sustituyendo los valores conocidos:
l = √ { 52 + [ ( 16 – 12 )2 ] } =
= √ (52 + 42) = √ (25 + 16) =
= 6,40 cm
Ejemplo_2
Hallar la altura del trapecio rectángulo cuyas bases miden 22 cm y 16 cm y cuyo lado oblicuo mide 10 cm
Por el Teorema de Pitágoras:
l = √ { h2 + [ ( B – b )2 ] }
Sustituyendo los valores conocidos:
10 = √ ( h2 + 62 ) ; 100 = h2 + 36 ;
64 = h2 h = 8 cm
EXÁGONO
l
apo
• Es un polígono regular de SEIS lados.• Se compone de 6 triángulos equiláteros.• Todos sus ángulos miden 60º• La altura de cada uno de los seis
triángulos se llama Apotema.
• La apotema se puede deducir por el Teorema de Pitágoras, pues:
• l= hipotenusa.• l/2= un cateto.• apo= otro cateto.
• Teniendo:• l2 = (l/2)2 + apo2
• apo2 = l2 - (l/2)2
• De donde:
• apo = l. √3 / 2
apol
l / 2
llll
P = 6.l
A = P.apo / 2
• Ejemplo_1
• Hallar la apotema de un hexágono regular cuyo lado mide 6 cm
• Como en un hexágono se cumple que l2 = (l/2)2 + apo2
• Sustituyendo los valores conocidos:
• 62 = 32 + apo2
• Despejando: apo2 = 62 - 32 apo2 = 36 – 9 = 27 apo = √27 = 5,20
• Ejemplo_2
• Hallar el lado del hexágono regular cuya apotema mide 4 cm.
• Como en un hexágono se cumple que l2 = (l/2)2 + apo2
• Sustituyendo los valores conocidos:
• l2 = (l2 / 4) + 42
• Operando: 4.l2 = l2 + 64 3.l2 = 64 l = √(64/3) = 4,6188 cm