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ESPACIOS VECTORIALES REALES

Nociones previas

Antes de definir la estructura algebraica de espacio vectorial necesitamos conocer

otras estructuras algebraicas, el grupo y el cuerpo.

• Un grupo es una estructura algebraica formada por un conjunto G de elementos

y una operación interna y cerrada ( )+ que opera con los elementos del conjunto G y que

cumple las siguientes propiedades:

- Asociativa: .,,,)()( Gcbacbacbacba ∈∀++=++=++

- Existencia en G de elemento neutro: .,00 Gaaaa ∈∀=+=+

- Existencia del opuesto de cualquier elemento de G:

.0)(/)(, =−+∈−∃∈∀ aaGaGa

Si además la operación es conmutativa:

Gbaabba ∈∀+=+ ,,

el grupo se denomina conmutativo o abeliano.

• Un cuerpo es una estructura algebraica formada por un conjunto K de elementos

y dos operaciones internas y cerradas, suma ( )+ y producto interno ( )⋅ que verifican:

(K,+) tiene estructura de grupo.

El producto interno verifica las siguientes propiedades:

- Asociativa: .,,),()( Kcbacbacbacba ∈∀⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅

- Distributiva respecto de la suma: .,,,)( Kcbacabacba ∈∀⋅+⋅=+⋅

- Existencia en K de elemento neutro: .,11 Kaaaa ∈∀=⋅=⋅

- Existencia del inverso de cualquier elemento de K distinto del neutro de la suma:

.1/,)0( 111 =⋅=⋅∈∃≠∈∀ −−− aaaaKaaKa

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Espacio vectorial

Es una estructura algebraica formada por:

• Un grupo conmutativo (V,+) cuyos elementos se denominan vectores.

• Un cuerpo conmutativo (K,+,⋅) cuyos elementos se denominan escalares.

• Un producto externo que opera un escalar (k∈K) con un vector (v∈V) dando

como resultado un vector (k⋅v∈V). Cumple las siguientes propiedades:

- Distributiva respecto de la suma de vectores:

.,,,)( VvuKkvkukvuk ∈∀∈∀⋅+⋅=+⋅

- Distributiva respecto de la suma de escalares:

.,',,')'( VvKkkvkvkvkk ∈∀∈∀⋅+⋅=⋅+

- Pseudoasociativa:

.,',),'()'( VvKkkvkkvkk ∈∀∈∀⋅⋅=⋅⋅

- El elemento neutro coincide con el neutro del producto del cuerpo K:

.,1 Vvvv ∈∀=⋅

Ejemplos de espacios vectoriales

{ }2 ( , ) / ,a b a b= ∈� � es el conjunto de pares de números reales

{ }3 ( , , ) / , ,a b c a b c= ∈� � es el conjunto de ternas de números reales

{ }1 2 1 2( , , , ) / , , ,nn na a a a a a= ∈� K K � es el conjunto de n-tuplas o n-adas de

números reales

Propiedades de los espacios vectoriales

• El producto de un escalar por el vector nulo es el vector nulo:

.,00 Kkk ∈∀=⋅

• El producto del escalar nulo por cualquier vector es el vector nulo:

.,00 Vvv ∈∀=⋅

• .,),()()( VvKkvkvkvk ∈∀∈∀⋅−=⋅−=−⋅

3

• Si 0=⋅ vk entonces o bien 0=k o bien 0=v .

Ejemplo

2� tiene estructura de espacio vectorial sobre el cuerpo � con las dos operaciones

siguientes:

Operación interna: ),(),(),( 22112121 bababbaa ++=+

Operación externa: ),(),( 2121 aaaa ⋅⋅=⋅ λλλ

Combinación lineal de vectores

Un vector v es combinación lineal de los vectores { }nvvv ,,, 21 K si es el resultado de

sumar los productos de dichos vectores por escalares nkkk ,,, 21 K :

nn vkvkvkv ⋅++⋅+⋅= K2211

Observaciones a la definición anterior

1. _

0 es combinación lineal de cualquier conjunto de vectores, basta tomar

021 ==== nkkk K

2. Todo vector u es combinación lineal de sí mismo, basta tomar

uuk ⋅=⇒= λ1 .

3. Dado un conjunto de vectores { }nvvv ,,, 21 K , cualquiera de ellos es

combinación lineal del conjunto )0100( 21 nii vvvvv ⋅++⋅++⋅+⋅= LL

Dependencia e independencia lineal

Los vectores { }nvvv ,,, 21 K son linealmente independientes si ninguno de ellos es

combinación lineal de los demás. Son linealmente dependientes si al menos uno de ellos

es combinación lineal de los demás.

Criterio para caracterizar la dependencia e independencia lineal

• Los vectores { }nvvv ,,, 21 K son linealmente dependientes si existe alguna

combinación lineal de ellos igual al vector nulo con algún escalar distinto de cero:

02211 =⋅++⋅+⋅∃ nn vkvkvk K con algún nik i K1,0 =≠

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• Son linealmente independientes si la única combinación lineal de ellos igual al

vector nulo es la que tiene todos los escalares nulos:

Si 00 212211 ====⇒=⋅++⋅+⋅ nnn kkkvkvkvk LK

Interpretación geométrica

En 2� hay infinitos pares de vectores linealmente independientes, basta que no sean

colineales (proporcionales). Tres o más vectores de 2� serán necesariamente

linealmente dependientes.

En 3� hay infinitas ternas de vectores linealmente independientes, basta que no

sean coplanares. Cuatro o más vectores de 3� serán necesariamente linealmente

dependientes.

Coordenadas de un vector

Si un vector v es combinación lineal de los vectores { }nvvv ,,, 21 K ,

nn vkvkvkv ⋅++⋅+⋅= K2211 ,

las coordenadas de v respecto de los vectores { }nvvv ,,, 21 K son los escalares

{ }nkkk ,,, 21 K .

Propiedades

• Un conjunto de vectores linealmente independientes no puede contener al vector

nulo.

• Un conjunto de vectores linealmente independientes no puede contener dos

vectores iguales ni dos vectores proporcionales.

• Teorema de unicidad de las coordenadas: Si un vector v es combinación lineal de

un conjunto de vectores linealmente independientes, entonces las coordenadas de v

respecto de esos vectores son únicas.

• Cualquier conjunto de vectores que contenga al _

0 será linealmente dependiente,

ya que _

0 es combinación lineal de cualquier conjunto de vectores

• Cualquier conjunto de vectores que contenga dos vectores iguales o dos vectores

proporcionales será linealmente dependiente

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Sistema generador y base de un espacio vectorial

Sistema generador de un espacio vectorial V es un conjunto de vectores

{ }svvv ,,, 21 K tales que todo vector de V sea combinación lineal de ellos:

ss vkvkvkvVv ⋅++⋅+⋅=∈∀ K2211,

Base de un espacio vectorial V es un conjunto de vectores que además de ser

sistema generador son linealmente independientes.

Observaciones a la definición anterior

Base = Sistema de referencia

Puesto que una base es un sistema generador, todo vector del espacio queda

precisado mediante sus coordenadas en relación a la base, al ser tal especificación única

por ser los vectores de la base linealmente independientes (teorema de unicidad de las

coordenadas).

La elección de una base equivale entonces a escoger un sistema de referencia con

respecto al cual situar los elementos de dicho espacio.

Ejemplo

Dado el conjunto de vectores { })5,3(),1,1(),2,1(−

a) Compruebe que es un sistema generador de 2�

b) Halle las coordenadas del vector (0,1) respecto de dichos vectores

c) Demuestre que { })1,1(),2,1(− es base de 2�

d) Halle las coordenadas del vector (0,1) respecto de dicha base

Teoremas de las bases

• De todo sistema generador finito de un espacio vectorial V puede

extraerse una base.

• Si un espacio vectorial V tiene una base con n vectores, entonces todo

conjunto de n vectores linealmente independientes es base de V .

• Si un espacio vectorial V tiene una base con n vectores, entonces no

pueden existir más de n vectores linealmente independientes en V .

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• Si un espacio vectorial V tiene una base con n vectores, todas las bases

de V tienen n vectores.

Consecuencia

Base = Sistema generador mínimo

Mínimo número de coordenadas necesarias para determinar a cualquier vector del

espacio = número de vectores que componen una base cualquiera del espacio = máximo

número de vectores linealmente independientes en el espacio.

Bases canónicas

Todo vector nv ∈� puede expresarse de la siguiente forma:

( ) ( ) ( ) nnn eaeaeaaaav ⋅++⋅+⋅=⋅++⋅+⋅= KKKKK 221121 1,,0,00,,1,00,,0,1

A los vectores { }neee ,,, 21 K se les llama base canónica de n� .

Demostración:

a) Son linealmente independientes

1 1 2 2 1 20 0n n nk e k e k e k k k⋅ + ⋅ + + ⋅ = ⇒ = = = =K L

b) Son sistema generador

1 2 1 2 1 1 2 2

1 1 2 2

( , , , ) ( , , , )

, , ,

nn n n n

n n

x x x x x x k e k e k e

k x k x k x

∀ ∈ ⇒ = ⋅ + ⋅ + + ⋅ ⇒

= = =K � K K

L

Base canónica de 2� : { })1,0(),0,1(

Base canónica de 3� : { })1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(

Base canónica de 4� : { })1,0,0,0(),0,1,0,0(),0,0,1,0(),0,0,0,1(

Dimensión de un espacio vectorial

Si en un espacio vectorial V el mayor conjunto de vectores linealmente

independientes tiene n vectores, entonces la dimensión de V es n.

La dimensión de un espacio vectorial coincide con el número de vectores de sus

bases.

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Consecuencia

2

3

4

dim( ) 2

dim( ) 3

dim( ) 4

dim( )n n

==

=

=

�

�

�

M

�

MATRICES Y ESPACIOS VECTORIALES

El rango de una matriz de orden mn× es un escalar { }mnr ,min≤ que es igual al

orden del mayor determinante no nulo que podemos encontrar en la matriz.

Teorema

El rango de una matriz coincide con el máximo número de vectores (filas o

columnas) linealmente independientes que hay en la matriz.

Ejemplo

Calcular el rango de

=

6284

7463

9742

6521

A

Llamamos 4321 ,,, cccc a las cuatro columnas de la matriz.

Si tomamos las dos primeras columnas vemos que todos los determinantes de orden

dos que podemos formar son nulos:

084

63,0

84

21,0

63

21,0

42

21====

Esto significa que 1c y 2c son linealmente dependientes, en concreto 12 2 cc ⋅= .

Vemos a continuación qué ocurre con 1c y 3c :

072

51≠ , luego ya sabemos que el rango va a ser al menos igual a dos y que los

vectores 1c y 3c son linealmente independientes.

Terminamos añadiendo 4c :

8

0

624

743

972

,0

624

972

651

,0

743

972

651

=== , por lo que el rango no ha subido a

tres y 4c es combinación lineal de 1c y 3c ; en concreto, 314 ccc += . Entonces,

2)( =Arango .

Aplicaciones prácticas del cálculo del rango

• Conocer el máximo número de vectores linealmente independientes que

hay en un conjunto de vectores.

• Saber si un vector es combinación lineal de un conjunto de vectores

dados.

Ejercicio

Averigüe si son base de 4� los siguientes vectores:

{ })1,2,3,2(),1,1,0,0(),0,1,1,0(),0,0,1,1( −−−−

Ejercicio

En el espacio vectorial 3� se consideran los vectores )2,3,0(),6,0,1(),,6,( −− ba .

Encuentre la relación que debe existir entre a y b para que los tres vectores sean

linealmente dependientes.

Ejercicio

Dados los vectores )1,3,2(,)1,0,1(,)1,2,0(,)0,1,1( 4321 −==== uuuu :

a) ¿Son linealmente independientes?

b) ¿Son sistema generador?

c) ¿Forman base?

d) Seleccione entre ellos una base y calcule las coordenadas respecto

de ella del vector (2,-1,-3)

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SUBESPACIOS VECTORIALES

Un subespacio vectorial S de un espacio vectorial V es un subconjunto de V que

tiene estructura de espacio vectorial con las mismas operaciones que V.

Observaciones

De las propiedades de espacio vectorial se deduce que han de cumplirse los

siguientes requisitos;

1. SvuSvu ∈+→∈∀ , (suma cerrada en S)

2. SuSuK ∈⋅→∈∀∈∀ λλ , (producto por escalar cerrado en S)

3. uuSuS =+→∈∀∈∃__

0/0 (existe el neutro en S)

4. SuuSuSu ∈=−+∈−∃∈∀_

0/, (existe el opuesto en S)

Caracterización de los subespacios vectoriales

VS ⊂ es subespacio vectorial de V si

.,,,, 22112121 SvkvkKkkSvv ∈⋅+⋅∈∀∈∀

Variedad lineal

Dado un conjunto de vectores { }svvv ,,, 21 K , el conjunto de vectores generados por

ellos forman un subespacio vectorial:

{ }ss vkvkvkvVvS ⋅++⋅+⋅=∈= K2211/ es un subespacio vectorial que se

denomina variedad lineal generada por { }svvv ,,, 21 K y que se denota por

),,,( 21 svvvL L . En consecuencia, los vectores { }svvv ,,, 21 K son un sistema generador

del subespacio S.

Ejemplo

{ }{ } { }

31 2 3((1,1,1), (2,2,2)) ( , , ) / (1,1,1) (2,2,2) , ,

(0,0,0), (1,1,1) , ( 1, 1, 1) , (5,5,5), ( , , ) /

L x x x x x

x a a a a

α β α β= = ∈ = + ∈

= − − − = = ∈

� �

K �

Base de un subespacio vectorial

Es cualquier sistema generador del subespacio S que esté formado por vectores

linealmente independientes.

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Ejemplo

{ })2,2,2(),1,1,1( es un sistema generador del subespacio anterior pero no es una base.

Una base podría ser { })1,1,1( o { })2,2,2( .

Observación

Todos los conceptos ya vistos en relación con los espacios vectoriales, tales como

bases, coordenadas, etc., son extensibles a los subespacios vectoriales, ya que un

subespacio vectorial no es más que un espacio vectorial dentro de otro.

Dimensión de un subespacio vectorial

Dim(S) = Máximo número de vectores linealmente independientes que pueden

encontrarse en S = Número de vectores de una base cualquiera de S

Dado que )dim()dim(0 VSVS ≤≤⇒⊂

Si dim(S) = 0

=⇒

_

0S y si dim(S) = dim(V) VS =⇒

Si ).,,()dim(),,,( 2121 ss vvvrangoSvvvLS KL =⇒= ,

ya que { }svvv ,,, 21 K son un sistema generador de S.

Subespacios vectoriales y sistemas homogéneos

El conjunto de soluciones 1 2( , , , ) nnx x x x= ∈K � de un sistema homogéneo AX = 0

con 11 0,, ××× ∈∈∈ mnnm MMXMA y con m<n, es un subespacio vectorial de n�

{ }1 2( , , , ) / 0nnS x x x x AX= = ∈ =K � es un subespacio vectorial de n

� .

Rango(A) = Número de ecuaciones no redundantes en AX = 0

= Número de filas en A que son linealmente independientes

= Número de coordenadas que no están libres en los vectores de S.

En consecuencia, tenemos que Dim(S) = Dim(V) – Rango(A)

Cálculo de las ecuaciones de un subespacio conociendo un sistema generador

Sea { }1 2 1 1 2 2( , , , ) / ,ns s s iS L v v v x x k v k v k v k= = ∈ = ⋅ + ⋅ + + ⋅ ∈K � K �

dim(S) = Rango srvvv s ≤=),,,( 21 K

11

Se verifica que Sx ∈∀ , x es combinación lineal de la base { }rvvv ,,, 21 K , con lo que

rvvvrgxvvvrg rr == ),,,(),,,,( 2121 KK . Haciendo que todos los determinantes de orden

r+1 sean nulos, se obtienen las ecuaciones de S, es decir, el sistema homogéneo que

caracteriza S.

Ejemplo

Dado el subespacio ))2,2,2(),1,1,1((L ,

tenemos que 1)dim(1

21

21

21

=⇒=

Srg .

Podemos saber el número de ecuaciones de S:

Dim(S) = Dim(V) – Rango(A)⇒Rango(A) = 2 = número de ecuaciones de S.

Para hallar las ecuaciones de S formamos una matriz que contenga una base de S y

un vector genérico ),,( 321 xxx :

⇒=

1

1

1

1

3

2

1

x

x

x

rg todos los determinantes de orden dos han de ser nulos.

01

1,0

1

113

3

112

2

1 =−==−= xxx

xxx

x

x { }0,0/),,( 1312321 =−=−=⇒ xxxxxxxS

Cálculo de una base de un subespacio conociendo sus ecuaciones

Sea { }1 2( , , , ) / 0nnS x x x x AX= = ∈ =K �

con 11 0,, ××× ∈∈∈ mnnm MMXMA y con m<n.

Dim(S) = n – rg(A) = n – r y resolviendo el sistema homogéneo quedan r variables

no libres en función de n – r variables libres (pasadas al término independiente como

parámetros). Escribimos a continuación un vector genérico que pertenece al subespacio

en el que incluimos las variables no libres escritas en función de las libres y a partir de

este vector genérico podemos obtener fácilmente una base del subespacio.

Ejemplo

Dado el subespacio

12

{ }0;0;0/),,,( 432142214321 =+++=+=+= xxxxxxxxxxxxS , tenemos que el

sistema de ecuaciones

=

⋅

0

0

0

0

1111

1010

0011

4

3

2

1

x

x

x

x

está formado por tres ecuaciones

linealmente independientes, pues 134)dim(3

1111

1010

0011

=−=⇒=

Srg y podemos

despejar tres variables en función de una variable libre: →

=−=−=

23

24

21

xx

xx

xx

los vectores de S

son de la forma )1,1,1,1(),,,( 22222 −−=−− xxxxx , por lo que el vector )1,1,1,1( −− es una

base de S.

Ejercicio

Se consideran los siguientes subespacios:

))1,1,1,0(),2,1,0,1((1 −= LS

{ }42 1 2 3 4 2 3 4 1 2 3 4/ 0; 0; 4 2 2 0S x x x x x x x x x x x x= ∈ + + + = − − = + − − =�

a) Obtenga las ecuaciones de 1S

b) Obtenga una base de 2S

Ejercicio

Dado el subespacio generado por los vectores )1,0,0(),2,1,1(),1,1,1( , halle una base y

las ecuaciones del subespacio.