Formas bilineales y cuadrticas.

Introduccin.

Conocidas las nociones de espacio vectorial, aplicacin lineal, matriz de unaaplicacin lineal y diagonalizacin, estudiaremos en este tema dos familias deFunciones que tienen notable inters por sus aplicaciones en algebra lineal y engeometra analtica. Son funciones valoradas en el espacio de escalares K y por ellose les llama formas. La primera, las formas bilineales, son funciones denidas sobrepares de vectores, es decir, son funciones de dos variables vectoriales. Salvandolas distancias, las formas bilineales tienen analogas con las aplicaciones lineales:jada una base se puede denir mediante matrices. Si se cambia de base, cambiala matriz y la nueva se calcula a partir de la matriz de cambio de base. Las matricesde la misma forma bilineal tienen el mismo rango, etc...La otra familia, la de las formas cuadrticas, est formada por funciones deuna variable y muy emparentada con una subfamilia de las bilineales. Tambin sedenen mediante una matriz para cada base del espacio y todas las matrices dela misma forma cuadrtica tienen algunos invariantes que idntica a la formacuadrtica.Como nico requisito previo para el estudio de este tema pondremos el que seconozcan bien los conceptos estudiados en los temas anteriores. Formas Bilineales.

Consideremos un espacio vectorial Vsobre el cuerpo K de los nmeros realeso de los nmeros complejos. Denotaremos V Val conjunto de pares ordenadosde vectores de V.Una aplicacin fque a cada par de vectores (u, v) V Vasocia un escalarF (u, v) K se dice que es una forma forma bilineal si es lineal en cada una de susdos variables; es decir si cumple:

f (u1 + u2 , v) = f (u1, v) + f (u2, v) y f (u, v1+ v2 ) = f (u, v1) + f (u, v2)para todou, u1, u2, v, v1, v2 Vy todo, , , K.

Algn ejemplo. La siguiente es forma bilineal en R3(comprubese como ejer-cicio).

f (x, y) = 2x1y1 x1y2 + 4x1 y3 + 3x2 y1 5x2y3 + 7x3y1 5x3y2 4x3y3,x = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3).

Es fcil ver que toda forma bilinealf verica quef (0, y) =f (x, 0) = 0 yf (x, y) =f (x, y) =f (x, y). Adems, la suma de dos formas bilineales enVy el producto de una forma bilineal en Vpor un escalares son tambin formasbilineales enV.El conjunto de todas las formas bilineales deVes un espaciovectorial sobre K.Hay dos tipos distinguidos de formas bilineales. Una forma bilineal fse diceque es bilineal simtrica si f (u, v) = f (v, u),u, v V.Una forma g se dice bilineal antisimtrica si g(u, v) = g(v, u),u, v V.No toda forma bilineal es simtrica o antisimtrica, por ejemplo la siguiente esuna forma bilineal en R2y no es simtrica ni antisimtrica:

f (x, y) = 3x1y1+ x1y2 2x2y2,x = (x1, x2), y = (y1, y2).

Sin embargo, como se propone en las cuestiones y problemas, toda forma bilineales suma de una simtrica y una antisimtrica.

Fijada una base BV= {v1, v2,. . ., vn}, toda forma bilineal f tiene asociada unanica matriz B Mn, que es la denida por:

f (v1, v1)f (v1, v2) f (v1, vn) f (v2, v1)f (v2, v2) f (v2, vn) B = .

f (vn, v1)f (vn, v2) f (vn,vn)

Obsrvese la analoga entre esta matriz y la de un producto escalar, que vimosen el tema dos. De hecho, todo producto escalar es una forma bilineal simtrica.La matriz dene la forma bilineal en el siguiente sentido:Si X = (x1, x2, , xn), Y= (y1, y2, , yn) son las coordenadas de dos vecto-res x, y Ventonces su imagen se calcula a travs de la matriz por la expresin:

f (x, y) = XBYt. (4.1)

Si ahora BV0es otra base de Vy P Mn la matriz de cambio de base de BV0a BVentonces, denotando X 0= (x01, x02, , x0n), Y 0= (y10 , y20 , , y0n) las coordenadas,Respectivamente de los vectores x, y Vse tiene, como es sabido:

X= X0P, Y= Y0P, Yt= PtY0t

As, la expresin de la imagen en funcin de las coordenadas X0, Y0ser, sustitu-yendo en (4.1):f (x, y) = X0P BPtY0tSe obtiene as que la matriz de freferida a la base BV0es B0 = P BP t.A dos matrices de la misma forma bilineal en distintas bases se les llama ma-trices congruentes, y se verica que dos matrices B, B0 Mnson congruentes siy solo si existe una matriz regular P Mn, tal que B0= P BPt. Adems Pesla matriz de cambio de base entre la base nueva y la antigua. Es sencillo ver quedos matrices congruentes son equivalentes, y por tanto tienen el mismo rango. Eserango es, por denicin, el de la forma bilineal. Si ese rango no es mximo (esdecir, si es menor que la dimensin del espacio vectorial) entonces la forma bilineal se dice degenerada. Es evidente que fes degenerada si y solo si el determinante dela matriz de fes nulo. Las formas bilineales no degeneradas se dicen ordinarias.

Ejemplo 4.1. Consideremos la forma bilineal fdenida en R3 R3por:f (x, y) = 2x1y1 x1y2 + 4x1 y3 + 3x2 y1 5x2y3 + 7x3y1 5x3y2 4x3y3,x = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3). Escribe su matriz A respecto de la base cannica.Tambin su matriz A0respecto de la base B = {(1, 0, 1), (0, 1, 2), (0, 0, 1)}.Si v = (2, 1, 2), v = (1, 0, 1), calcula f (u, v) empleando sucesivamente Ay A0.

Solucin. Si denotamos Bc= {e1, e2, e3} la base cannica, para la matriz hay quecalcular f (e1, e1), f (e1, e2), , f (e3, e3). Con ellos la matriz es:

A =

214

305754Nota: Respecto de la base cannica, a partir de la expresin de la forma bilineal sepuede escribir la matriz directamente, (sin clculos) porque atiende a la siguienteregla nemotcnica: enumerando las las con las componentes de x y las columnascon las de y, los elementos de la matriz son los coecientes del producto de lascomponentes de x e y. As a11es el coeciente de x1y1, a12el coeciente de x1y2,etc... pero ojo! solo es as para la matriz respecto de la base cannica.Para calcular la matriz respecto de la baseBhay dos vas: calculando direc-tamente las imgenes de los pares de vectores a partir de la expresin de fo atravs de la matriz P de cambio de base de B a Bc. Optamos por esta segunda va.Realcese como ejercicio por la primera y compruebese que se obtiene la mismamatriz. La matriz de cambio de base de B a Bc es

P=

1 01 0 120 01

As la matriz A0de frespecto de la base Bes A0= P AP ty vale:

1 0121410013208A0= 0 12 305 0 10

0 01 754 121 = 14431134

Para calcular f (u, v), en cada caso hay que tener las coordenadas de u y v respectode las correspondientes bases Bcy B, y emplear las respectivas matrices A y A0.Respecto de Bc, coordenadas y vector coinciden. Por tanto:

f (u, v) = (2, 1, 2)

214305754

101

= 34

Respecto deB, calculando las coordenadas deuyven la baseBobtenemos:u = (2, 1, 2)B;v = (1, 0, 0)B. Por tanto

f (u, v) = (2, 1, 2)

13208

1

14431134 00 = 34.

Recordemos que una matriz cuadrada se dice simtrica si coincide con su tras-puesta y se dice antisimtrica si coincide con la opuesta de su traspuesta. Hemosde notar que si M Mn es matriz simtrica (o antisimtrica), cualquier matriz M 0congruente con Mes tambin matriz simtrica (o antisimtrica). En efecto (lo ha-cemos para simtrica, hgase como ejercicio para antisimtrica): Si M 0= P MP t,con P Mn matriz regular de congruencia, entonces:

M0t= (P MPt)t= PttMtPt= P MPt= M0.

A partir de ello se concluye que, si una forma bilineal tienen matriz simtricarespecto de una base, la tiene respecto de cualquier base (y lo mismo sucede para antisimtrica). Adems se verica que una forma bilineal es simtrica si y solo sisu matriz es simtrica, (lo mismo para antisimtrica). En lo que sigue trataremossolo con formas bilineales simtricas.Formas bilineales simtricas. Conjugacin. Dada una forma bilineal simtri-ca fsobre un espacio vectorial V, dos vectores u, v Vse dicen vectores conju-gados si f (u, v) = 0.

Dos subespacios S, T Vse dicen subespacios conjugados si f (x, y) = 0 x S, y T. Para ello es suciente que sean conjugados los vectores de una base deuno de los subespacios con los de otra base del otro.Una base BV se dice base de vectores conjugados por f si cada vector de la basees conjugado con los dems. Es evidente que, respecto de una base de vectoresconjugados, la matriz de f es diagonal, y recprocamente, si la matriz de f es diagonal, entonces la base es de vectores conjugados.

Fijado un vector x, el conjunto de los vectores conjugados con x forman unsubespacio vectorial de Vque denotaremos x0. En concreto:

x0= {y V: f (x, y) = 0}.

Se llama ncleo de f, denotado N (f) al conjunto de los vectores que son conju-gados con todo vector de V, es decir:

N (f) = {x V: f (x, y) = 0, y V }.

Si A Mnes la matriz de f (respecto de cualquier base) y si X = (x1, x2, , xn)son las coordenadas de un vector de N (f) entonces se cumplir queXAY t= 0para todo Y= (y1, y2, , yn) Kn. Ello solo es posible si y solo si XA = 0. Estonos da una condicin para obtener los vectores deN (f).Sern aquellos cuyascoordenadas Xveriquen XA = 0, es decir, las soluciones del sistema de ecuacio-nes lineales homogneo cuya matriz de coecientes es A. Por lo que sabemos deesos sistemas, solo hay soluciones no nulas si |A| = 0. Se concluye entonces queuna forma bilineal simtrica tiene nucleo distinto del {0} si y solo si es degenerada.

Ejemplo 4.2.Consideremos enR3la forma bilinealf (x, y) =x1y1+ x1y2+2x1y3+ x2y1+ x2y3+ 2x3y1+ x3y2+ 3x3y3, x = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3). Escribesu matriz respecto de la base cannica. Encuentra el subespacio conjugado deu = (1, 2, 0) y de U=< (1, 0, 3), (0, 1, 2) >. Encuentra el rango y el nucleo defy una base de R3formada por vectores conjugados para f.

Solucin. La matriz de fen la base cannica es:

A =

1 1 2

Ahora el conjugado de u es: 1 0 12 1 3

u0= {X = (x, y, z) R3: (1, 2, 0)AXt= 0} = {(x, y, z) R3: x + y = 0}.

El subespacio conjugado de U estar formado por los vectores que sean conjugadossimultneamente de ambos vectores de la base de U. As, denotando U0se tendr:

U 0= {X = (x, y, z) R3: (1, 0, 3)AX t= 0,(0, 1, 2)AX t= 0} == {(x, y, z) R3: 7x + 4y + 11z = 0, 3x + 2y + 5z = 0}.

El rango de fes el rango de A que es 2. Para el nucleo:

N (f) = {X = (x, y, z) R3: XA = 0} == {(x, y, z) R3: x + y + 2z = 0, x + z = 0, 2x + y + 3z = 0} =< (1, 1, 1) >.

Para buscar una base de vectores conjugados, debemos buscar un conjunto de tresvectores B0= {v1, v2, v3} que sean linealmente independientes y que cada uno seaconjugado de los dems. Hay innitas posibilidades, pero para simplicar los bus-caremos de la forma v1= (1, 0, 0), v2= (, , 0), v3= (, , ), y determinaremoslos parmetros para que f (v1, v2) = 0, f (v1, v3) = 0, f (v2, v3) = 0. Empleandola matriz A, f (v1, v2) = 0 equivale a la ecuacin + = 0. Un vector posible esv2= (1, 1, 0). Las otras dos igualdades f (v1, v3) = 0, f (v2, v3) = 0 proporcionan

las ecuaciones:

+ + 2 = 0 + = 0

Dos soluciones posibles son: v2= (1, 1, 0) y v3= (1, 1, 1).Ejercicio: Calcula la matriz defrespecto de la base de vectores conjugadosobtenida y comprueba que es

100A0=01 0000

En el ejercicio anterior se ha proporcionado un modo, si quiera sea como sencilloejemplo, de encontrar una matriz diagonal congruente con una matriz simtricadada: consiste en encontrar las coordenadas de vectores que formen una base deconjugados para la matriz simtrica (que es como decir para la forma bilinealsimtrica dada). La matriz asociada a la forma bilineal respecto de los vectoresconjugados es diagonal y la matriz de congruencia es la matriz de cambio debase de la de conjugados a la base dada. Obtener la matriz diagonal y la matrizde cambio de base es lo que se llama diagonalizar la forma bilineal simtrica odiagonalizar por congruencias la matriz simtrica dada.Hay otro mtodo para diagonalizar por congruencias una matrizA Mncuadrada simtrica. Consiste en emplear transformaciones elementales. El mtodoes totalmente anlogo al mtodo de Gauss para obtener la inversa de una matriz,que es bien conocido, con la salvedad de que cada transformacin que se hagapor las en la matriz, hay que hacerla tambin por columnas y no es necesarioobtener unos en la diagonal principal (solo ceros fuera). Las transformaciones quese hagan por las (las de por columnas no), han de hacerse tambin en la matrizIn, identidad de orden n, que al iniciar el proceso se adosa a A. Al nal se obtienela matriz diagonal donde inicialmente estaba A y la matriz Pdonde inicialmenteestaba In. Veamos un ejemplo.

Ejemplo 4.3. Diagonalizar por transformaciones elementales la matriz simtricadada en el ejercicio anterior.

Solucin. En lo que sigue indicaremos las transformaciones empleadas:

1 0 0 1 1 210 0 112 10 0 102

0 1 0 1 0 1 f2f1 1 1 0 011 2c1 1 1 0 0110 0 1 2 1 3 00 1 21 3 00 1 21 3

10 0 102

10 0 100

f32f1 1 1 0 0 11 c32c1 1 1 0 011 f3f22 0 1 0 11 2 0 1 01-1

1 00 100

100 100 110 011 c3c2 110 01 0 11 1 000As se tiene que:

- 1 1 1 000

100100

P= 110 ,D = 01 0 11 1y se tiene que P AP t= D. 000Una observacin: Una misma matriz A Mn simtrica puede tener ms de unaforma diagonal, y la forma bilineal asociada, varias bases de vectores conjugados,pero todas las formas diagonales de A tienen la misma cantidad de elementos nonulos en la diagonal, y en el caso en que los elementos de A sean nmeros reales(matriz real simtrica), dos formas diagonales de A tienen la misma cantidad detrminos positivos en la diagonal.

Formas Cuadrticas.

Consideremos una forma bilineal simtrica fsobre un espacio vectorial V. Sellamaforma cuadrticaasociada a f a la aplicacinw : VKdenida por: w(x) = f (x, x). La aplicacin fes conocida como forma polar de w. A la matrizasociada a fen una base B se le llama tambin matriz asociada a w en B.Se cumple que

w(x) = 2w(x), x V, K. (4.2)

Adems, conocida la forma cuadrtica, se puede deducir la forma polar porque secumple entre ambas la relacin:

2f (x, y) = w(x + y) w(x) w(y),x, y V. (4.3)

De hecho se puede denir forma cuadrtica sobre un espacio vectorial Vcomo:toda forma sobre Vque cumpla (4.2) y al denir f con la expresin (4.3) se obtieneuna forma bilineal simtrica.

Ejemplo 4.4. En el espacio vectorial R3se dene la forma

w(x, y, z) = 2x2+ y2 2xz 3z2.

Comprueba que es una forma cuadrtica. Encuentra su matriz respecto de la basecannica.

Solucin. Se tiene quew(x, y, z ) = 2(x)2 + (y)2 2xz 3(z)2= 2(2x2 + y2 2xz 3z2) = 2 w(x, y, z). Adems si denimos:f (x, y) =1 2(w(x + y) w(x) w(y)),conx = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3),tras realizar los clculos se obtiene: f (x, y) = 2x1y1+ x2y2 x1y3 y1x3 3x3y3.En forma matricial es

201y1f (x, y) = (x1, x2, x3) 0101 03 y2y3

Claramente es una forma bilineal simtrica, por lo que w es forma cuadrtica, yrespecto de la base cannica esa es su matriz asociada.

. Dos vectores x, y Vse dicen conjugados para una forma cuadrtica w si ysolo si lo son para su forma polar f . Igual se dene la conjugacin de subespacioso de bases: son conjugados para para w si y solo si lo son para f . Tambin se diceque w es forma cuadrtica degenerada o forma cuadrtica ordinaria si lo es f . Elrango de w se dene como el rango de la matriz asociada a w (en cualquier base).Diagonalizar una forma cuadrtica es diagonalizar su matriz asociada respecto deuna base cualquiera (encontrar la matriz diagonal y una base de vectores conju-gados). Dos matrices diagonales asociadas a la misma forma cuadrtica puedentener elementos distintos en la diagonal, pero las dos tienen siempre la mismacantidad de elementos no nulos, y si el cuerpo es R entonces ambas matrices tie-nen la misma cantidad de trminos estrictamente positivos (y por tanto la mismacantidad de trminos negativos. En lo que sigue nos ocuparemos de estas formascuadrticas, las formas sobre el cuerpo de los nmeros reales.

Formas Cuadrticas Reales SeaV un espacio vectorial de dimensin nsobre R. La forma cuadrtica q : V R se llama forma cuadrtica real.Se llama signaturadeqa un par de nmeros enteros no negativos (r, s) quedenotan respectivamente la cantidad de trminos positivos y la cantidad de trmi-nos negativos que aparecen en cualquier matriz diagonal asociada a q. Puesto quepara una matriz diagonal el rango coincide con el nmero de elementos no nulos,de la denicin se deduce que rang(q) = r + s.La forma cuadrtica real qcuyo rango sea ky su signatura (r, s) se dice quees:

denida positiva si q(x) > 0,x6= 0. Equivalentemente, r = n.

denida negativa si q(x) < 0,x6= 0. Equivalentemente, s = n.

semidenida positivasiq(x)0,xV,yq(y) = 0 para algny6= 0.Equivalentemente, k = r < n.

semidenida negativasiq(x)0,xV,yq(y) = 0 para algny6= 0.Equivalentemente, k = s < n.

indenida en cualquier otro caso; es decir, existen x, y Vtales que q(x) 0 o bien q(z) = 0, z V.

En la practica, para clasicar una forma cuadrtica real qse puede procederde alguna de las siguiente formas:- Obtener una matriz diagonal asociada a qy sobre ella obtener el rango y lasignatura.

- Obtener los autovalores de cualquier matriz asociada a q . Es notable recordarque toda matriz real simtrica tiene todos sus autovalores en R y es diagonaliza-ble. Adems es ortogonalmente diagonalizable. El signo de los autovalores denentambin el rango y la signatura de q . Adems la diagonalizacin ortogonal, queestudiamos con detalle en el tema anterior, proporciona otro mtodo para diago-nalizar la forma cuadrtica. Al aplicarlo, ha de tenerse presente que para seguircreando y empleando la matriz de la forma cuadrtica por las, los sistemas de

ecuaciones que proporcionan los subespacios propios han de crearse por las delmodo X (A I ) = 0, siendo X = (x1, x2, , xn) y A Mnla matriz de la formacuadrtica. Los autovectores asociados al mismo autovalor se tomarn ortogonales(respecto al producto escalar usual de Rn). Se normalizarn y formarn (por -las) la matriz P . Esta matriz ser a ortogonal (P 1 = P t ), y vericar P AP t = D,siendoD la matriz diagonal formada por los autovalores de la matriz A. Esta matriz D ser a matriz de la forma cuadrtica.- Estudiando el signo de los menores diagonales de cualquier matriz asociadaa q(no necesariamente matriz diagonal). El menor diagonal de ordenrde unamatriz A Mn es el menor de A cuya diagonal principal consta de los r primeroselementos de la diagonal principal de A. Si idenota el menor diagonal de ordeni de A, entonces:Si i> 0 para todo i = 1, 2, , n se tiene que q es denida positiva.Si i> 0 para i par y j< 0 para j impar, se tiene que q es denida negativa.Si algn menor de orden par es menor que cero, entonces q es indenida.En cualquier otro caso, este mtodo no decide la clasicacin salvo que Vsea

de dimensin 3 (equivalentemente, cualquier matriz asociada a qes cuadrada deorden 3). En este caso, se tiene un paso ms: Si 1> 0, 2> 0, 3= 0, la formaes semidenida positiva. Si 10, 3= 0, la forma es semidenidanegativa.

Ejemplo 4.5. Clasica la forma cuadrtica del ejemplo anterior,w(x, y, z) = 2x2 + y2 2xz 3z2.

Solucin. Puesto que obtuvimos la matriz respecto de la base cannica, si estudia-mos sus menores diagonales encontramos que 1= 2,2= 2,3= 7. As queel mtodo de los menores diagonales no decide. Si calculamos los autovalores, ob-tenemos: 1,2 11,2 + 11. Por tanto el rango es tres y la signatura es(2, 1). As la forma es indenida y no degenerada.

Producto escalar. Si se observa la denicin de producto escalar sobre un espacio vectorial Vdada en el tema 2, es fcil comprobar que todo producto escalar es una formabilineal simtrica cuya forma cuadrtica asociada es real, denida positiva. Lamatriz mtrica de un producto escalar es pues una matriz real simtrica cuyosmenores diagonales son todos estrictamente positivos. El reciproco es tambincierto: toda forma bilineal simtrica cuya matriz asociada en cualquier base tengatodos los menores diagonales estrictamente positivos, es un producto escalar sobreV , es decir, toda forma bilineal simtrica cuya forma cuadrtica asociada sea real,denida positiva es un producto escalar en V . De este modo, todo lo dicho paraestas formas, es vlido para un producto escalar. La denicin de ortogonalidades exactamente la de conjugacin para estas formas. As, se tiene que los mtodospara obtener una base de vectores conjugados son aplicables para obtener una baseortogonal y dividiendo por la norma de cada vector obtenido se tiene una baseortonormal. Tambin para el subespacio ortogonal a un vector dado o comprobar si dos subespacios son ortogonales. Es fcil probar que, dado un conjunto de vectoresP , todos ellos no nulos, si cada uno es ortogonal con los dems entonces Pes unsistema libre. Se debe recordar el concepto de ngulo, norma y distancia dados apartir de un producto escalar.

Ejemplo 4.6. En R3se considera la forma bilineal denida por

x/y = 2x1y1x1y2x1y3x2y1+x2y2x3y1+2x3y3, x = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3).

Comprueba que es un producto escalar y encuentra una base ortonormal. Parael subespacio S=< (1, 2, 1), (0, 3, 1) >, obtener el subespacio de los vectoresortogonales a S. Obtener una base ortogonal de S. Obtener el ngulo y la distanciaentre los vectores dados para generar S .

Solucin. Respecto de la base cannica, la matriz de / es:

A =

211 110102 .

Que es real y simtrica. Los menores diagonales de A valen: 2, 1, 1 Por tanto laforma cuadrtica asociada es denida positiva. En consecuencia es un productoescalar. Diagonalizando la matriz por transformaciones elementales se obtienenlas matrices Py D siguientes:

P =

0 1 0

1 0 0 1 1 0 ,D = 0 1 01 1 1 0 0 1

As, una base ortonormal es Bo= {(0, 1, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)}. Ntese que con estemtodo la base que se obtiene habitualmente es una base ortogonal y para la baseortonormal hay que dividir por la norma de los vectores, que es la raz cuadradade los elementos diagonales de la matriz diagonal. En este caso la matriz diagonales la identidad, lo que equivale a que los vectores de la base tienen ya norma uno,es decir la base es ya ortonormal. Un vector es ortogonal a S si y solo si es ortogonal a cada uno de los vectoresde la base dada de S. Si S denota el subespacio ortogonal de S, entonces:S= {(x, y, z) V : (x, y, z)/(1, 2, 1) = 0,(x, y, z)/(0, 3, 1) = 0}.As se tiene que cumplir simultneamente:2111(x, y, z) 1102

211

0

102 1 = 0 y (x, y, z) 1 10102 3 = 0.1Se obtiene: S = {(x, y, z) V : 3x + 3y z = 0,4x + 3y + 2z = 0}.Para obtener una base ortogonal deS, debemos encontrar dos vectores de Sque sean conjugados para /. Denotaremos e1, e2a esos vectores Fijamos uno deellos: e1= (1, 2, 1) y e2= (0, 3, 1)(1, 2, 1). (De ese modo aseguramos queambos vectores estn en S). Determinando para que e1y e2sean ortogonales,sern tambin linealmente independientes y por tanto base. Ahora

e1/e2= 0(1, 2, 1)/((0, 3, 1) (1, 2, 1)) = 0 =(1, 2, 1)/(0, 3, 1)4(1, 2, 1)/(1, 2, 1)=5.As una base ortogonal de Ses B = {1, 2, 1), (4/5, 7/5, 9/5)}.La distancia entre los vectores u(= (1, 2, 1) y v = (0, 3, 1) es |u v| =

5 y el ngulo, arcosu/v 8 = 40,29o|u||v|= arcos 10 11

4.5.Ejercicios y Cuestiones

1. Muestra que toda matriz cuadrada real A Mn se puede poner como sumade una matriz simtricaA1y una matriz antisimtricaA2,A1 , A2 Mn,y la descomposicin es nica. Deduce de ello que toda forma bilineal sobreRnse puede poner como suma de una forma bilineal simtrica y una formabilineal antisimtrica y la descomposicin es nica. (Sugerencia: Dene A1=1/2(A + At) y A2= 1/2(A At) y comprueba que verican lo que se pide)

2. Sea Vun espacio vectorial de dimensin n sobre K y f, g aplicaciones linealesde Ven K, cuyas matrices respecto de una base Bdenotamos por M, NMn,1respectivamente. Comprueba que la aplicacin h : V V K denidapor: h(x, y) = f (x)g(y) es una forma bilineal. Encuentra la matriz de h apartir de las matrices de f y g. Indica alguna condicin sobre fy g para queh sea bilineal simtrica.

3. Considera la forma cuadrtica q : R3 R denida por q(x, y, z) = x2 y23z2+ 2xz + 4yz. Encontrar la matriz respecto de la base cannica, encontrarsu nucleo y el conjugado de (1, 2, 0). Diagonalizarla y clasicarla.

4. Sea : R3 R la forma cuadrtica que en una cierta base B = {e1, e2, e3}tiene por matriz asociada

01

2

101 211Sea B0= {u1, u2, u3} otra base relacionada con la anterior por: e1= u1u2 + u3, e2= 2u1 + 2u2 u3, e3= 2u1+ u2 u3 . Hallar la matriz A0de en la base B0. Obtener otra base en la cual la matriz de sea diagonal. Conella obtener rango, signatura y clasicacion.

5. Sea : R3 R la forma cuadrtica real que tiene por ecuacin (en la basecannica):

(x, y, z) = x2+ ( + )y2+ (1 + )z2+ 2xy + 2yz, , R.

Clasicar atendiendo al rango y la signatura, en funcin de y .