República Bolivariana de Venezuela

Ministerio del Poder PopularPara la Educación

Universidad ‟Fermín Toroˮ

Espacio Vectorial

Asignatura: Algebra Lineal SAIA ‟B .ˮProfesora: Lic. Maria Victoria Paredes

Ponce.

Alumno: Valentino Raffaele Crocetta Yanuario.

C.I: 10.144.294. Semestre III.

La implementación y estudio de los vectores, son importantes porque mediante las reglas del álgebra vectorial (suma, resta, multiplicación de vectores) se pueden solucionar problemas de ingeniería. La mecánica y la física, por ejemplo, en la ingeniería, se representa

mediante vectores, las fuerzas que actúan sobre una estructura determinada (vivienda, puente, edificio, etc.) y luego se procede a los cálculos respectivos guiados por el álgebra vectorial, hallando las resultantes que finalmente nos permitirán diseñar y calcular la construcción de determinada obra, como las arriba mencionadas, en física los vectores son herramientas fundamentales para representar velocidades y fuerzas, éstos ayudan a analizar y resolver problemas, como por ejemplo cuando realizamos el diagrama de cuerpo libre que no es otra cosa que la representación de todas las fuerzas que actúan sobre determinado cuerpo y una vez ubicadas estas fuerzas calcular los efectos que se producen.

Vector Ortogonal: Para que dos vectores sean Ortogonales, se requiere que, su producto Escalar sea igual a cero. Si graficamos estos vectores ortogonales en el plano real, observamos que forman un angulo exacto de 90°, es decir, que estos vertores son perpendiculares entre si.

Ejercicio 1.- Determinar si el siguiente conjunto es ortogonal:

Si

Para determinar si los tres vectores anteriores son ortogonales o perpendiculares, se debe probar que:

V.W = 0

V.U = 0

W.U = 0

Por lo tanto se tiene:

Por lo tanto los vectores dados no son ortogonales

Vector Ortonormal:Para que dos vectores sean Ortonormales, se requiere, que su producto escalar sea igual a cero y además que los dos vectores sean unitarios, es decir, que la norma o módulo de cada uno de sus vectores es igual a uno.

Ejercicio 2.- Determina si el siguiente conjunto de vectores ortonormal:

Estos vectores se consideran ortonormal si el producto unitario es igual a uno es decir:

El conjunto ortonormalizado es:

Por lo tanto los vectores u, v son no ortonormal.

Gram-Schmit:El método de Gram-Schmit es un algoritmo para obtener, a partir de una base, otro conjunto ortonormal que genere el mismo espacio vectorial y además sea ortogonal.

Ejercicio 3.- Dada la base , construir su respectiva base ortonormal por el procedimiento de Gram-Schmidt,

Por el procedimiento de Gram-Schmidt se tiene lo siguientes pasos:

Primer paso: obtener un primer vector unitario

Si

Segundo paso: obtener un vector ortogonal a

Tercer paso: se normaliza el vector

Finalmente , el conjunto de vectores dado inicialmente es una base ortonormal de

Ejercicio 4.- Determine si el siguiente conjunto forma una base para y verifique al conjunto base , si genera al

vector (2,1,3).

Sean

Para determinar si forman una base R3 se escogen tres vectores los cuales se multiplican por los escalares

Por lo tanto:

El sistema homogeneo solo admite solucion trivial:

Por tanto los tres vectores iniciales son linealmete independiente y forman una base.

Por lo que se demuestra que no se genera el vector

Mínimos cuadrados: El método de mínimos cuadrados, es un procedimiento donde buscamos un promedio aproximado de los puntos en el gráfico, obteniendo así, una curva más flexible o menos irregular, esta curva me ilustra el comportamiento que tienen los datos en el gráfico con un margen de error tolerable, en este caso no necesitamos la precisión de

los datos, sino la ilustración del comportamiento que tienen los datos en el fenómeno que se esta estudiando.

Ejercicio 5.- Utilizando el metodo de los minimos cuadrados, calcular la solucion aproximada del sistema de ecuaciones

Para

X

-1 5

0 3

1 1

X

-1 -1/2

0 0

1 ½

X

-1 -1

0 2

1 5

Gráfica de la ecuación: