ESPACIO VECTORIAL:

La definición de un espacio vectorial envuelve un cuerpo (conjunto) arbitrario cuyos elementos se llaman ESCALARES (números). Adoptaremos las notaciones siguientes:

K el cuerpo oconjuntode los escalares .

a ,b , c ók Los elementosde K

V el espacio vectorial dado

u ,v ,w sonlos elementosdeV

V R

V

(5,1,2 )4

f :×

(20,4,8 )

Ley de composición EXTERNA

4 (5,1,2 )

DEFINICIÓN:

Sea K un cuerpo y V un conjunto no vacio con reglas de adición y multiplicación por escalar que asignan a todo u ,v∈V ; una suma u+v∈V y a todo u∈V ,k∈K un producto k u∈V . Entonces V se llama un ESPACIO VECTORIAL sobre K (y los elementos de V se llaman vectores), si cumplen los axiomas siguientes.

[ A1 ] : Para todo vector u ,v ,w∈V , (u+v )+w=u+(v+w)

[ A2 ] : Existe un vector en V , denotado por 0 y llamado vector CERO, tal que u+0=u para todo

vector u∈V

[ A3 ] : Para todo vector u∈V existe un vector en V , denotado por −u, tal que u+(−u )=0

[ A4 ] : Para todo vector u ,v∈V , u+v=v+u

[M 1 ] : Para todo escalar k∈K y todo vector u ,v∈V ,k (u+v )=ku+k v

[M 2 ] : Para todo escalar a ,b∈K y todo vector u∈V , (a+b )u=au+bu

[M 3 ] : Para todo escalar a ,b∈K y todo vector u∈V , (a ∙b )u=a(b ∙u)

[M 4 ] : Para el escalar unidad 1∈K ,1u=u para todo vector u∈V .

Los axiomas anteriores se dividen en dos clase: los cuatro primeros se relacionan únicamente con la estructura aditiva de V y podemos resumir diciendo que V es un grupo conmutativo (grupo abeliano) bajo la adición.

En consecuencia, toda suma de vectores de la forma:

v1+v2+v3+…+vm

No requiere paréntesis ni depende del orden de los sumandos, el vector 0 es único, el negativo de –u de u es único y se cumple la LEY CANCELATIVA:

u+w=v+w implicau=v

Para todo vector u ,v ,w∈V . También la sustracción está definida por:

u−v=u+(−v )

Los cuatro axiomas restantes (multiplicación), se refieren a la “acción” del cuerpo K sobre V .

LeyComposición Interna(Operacionentre elmismoconjunto){V ×V →Vu+w=v

LeyComposición Externa(Operacionentre dosconjuntos≠ s){ V × K→Vu∙k=uk

( x , y ) . k=( xk ; yk )

TEOREMA:

Sea V un espacio vectorial sobre el cuerpo K

i. Para todo escalar k∈K y 0⃗∈V ,k 0⃗=0⃗∨k (0,0,0 )=(k 0 , k 0 , k 0 )= (0,0,0 ) ii. Para 0∈K y todo vector u∈V ,0u=0∨0 (u1 ,u2, u3 )= (0u1 ,0u2 ,0u3 )=(0,0,0 )

iii. Si k u=0 , donde k∈K y u∈V , entonces k=0ou=0iv. Para todo escalar k∈K y todo vector u∈V , (−k )u=k (−u )=−k u

Ejemplos de Espacios Vectoriales:

Veamos un ejemplo generalizado del espacio Rn

Sea K un cuerpo arbitrario. El conjunto de todas las n−uplas de elementos de R con la adición de vectores y la multiplicación por escalar definidos por:

(a1;a2;a3;…; an )+(b1;b2;b3;…;bn )=(a1+b1 ;a2+b2;a3+b3;…;an+bn )

Y k (a1; a2; a3;…; an )=(k a1 ;k a2 ;k a3 ;…;k an )

Donde a i , bi∈Rn , k∈K , es un espacio vectorial sobre K denotado por Rn. El vector CERO en Rn

es la n−upla de CEROS, 0⃗=(0 ;0 ;0 ;…;0 ) ; entonces Rn es un espacio vectorial; el cual podemos

considerar que Rn contiene las operaciones definidas en el espacio vectorial sobre R .

Ejemplo 2:

Sea F un cuerpo y K un cuerpo que contiene a F (F⊂K ). Consideramos R como un espacio Vectorial sobre F, utilizando la operación +¿ del espacio vectorial la adición de elementos de Ky definiendo para a∈F ,b∈K , a∙ b es el producto de a y b, como elementos en el cuerpo K ; entonces los axiomas M 1;M 2 ;M3 para un espacio vectorial son entonces consecuencias de la ley

distributiva hacia la derecha (un escalar respecto a dos vectores α (v+u )=α v+αu ) y la ley distributiva a la izquierda (dos escalares respecto a un vector u (α+ β )=αu+uβ) y la ley asociativa respectivamente que valen para Kpor ser un Cuerpo.

Ejemplos Aplicativos:

[ A1 ] :Seanu=(2 ;5 ;8 ) , v=(4 ;0 ;1 ) ,w=(5 ;7 ;1 ) ;entonces tenemos :

[ (2 ;5 ;8 )+(4 ;0 ;1)]+ (5 ;7 ;1 )=(2;5 ;8 )+ [ (4 ;0 ;1 )+(5;7 ;1)]

(6 ;5 ;9 )+(5 ;7 ;1 )=(2 ;5 ;8 )+(9 ;7 ;2 )

(11;12 ;10 )=(11;12;10)

[ A2 ] :El vector NULOo vectorCEROesta denotado enR3:(0 ;0 ;0)

¿=¿ si u (3 ;−8 ;5 )=¿>u+ 0⃗=(3 ;−8 ;5 )+(0 ;0 ;0 )=(3;−8 ;5 )=u

[ A3 ] :Seau=(6 ;−2; 9 )=¿=¿−u=−(6 ;−2; 9)

Luego: u+(−u )=(6 ;−2; 9 )+[−(6 ;−2; 9 ) ]

¿=¿u+(−u )=(6 ;−2 ;9 )+ (−6 ;+2 ;−9 )=(0 ;0 ;0 ) y esto es el vector NULO o vector CERO.

[ A4 ] : Sean los vectores u=(2 ;−4 ;5 ) y v=(−6 ; 9 ;1)

¿=¿u+v=v+u

(2 ;−4 ;5 )+(−6 ; 9;1 )=(−6 ;9 ;1 )+(2;−4 ;5)

(−4 ;5 ;6 )=(−4 ;5 ;6)

[M 1 ] : seanlos vectores u= (2 ;−5 ;1 ) y v=(5 ;7 ;−3 ) y sea el escalar igual a3

¿=¿k (u+v )=k u+k v=¿>3 [ (2;−5 ;1 )+(5 ;7 ;−3)]=3 (2;−5 ;1 )+3 (5 ;7 ;−3 )

3 (7 ;2 ;−2 )=(6 ;−15 ;3 )+(15 ;21 ;−9)

(21 ;6 ;−6 )=(21 ;6 ;−6)

[M 2 ] : Seana=3 yb=2∀ a ,b∈K ;sea u=(3 ;7 ;−1)

¿=¿ (a+b )u=au+bu=¿> [3+2 ] (3 ;7 ;−1 )=3 (3 ;7 ;−1 )+2(3 ;7 ;−1)

¿=¿5 (3;7 ;−1 )= (9;21 ;−3 )+(6 ;14 ;−2)

¿=¿ (15 ;35;−5 )=(15 ;35 ;−5)

[M 3 ] : Seana=3 yb=5 ∀a ,b∈K ; seau=(2 ;−3 ;9)

(a ∙b )u=a (b ∙u )=¿> [(3 ) . (5 ) ] (2;−3 ;9 )=3 [5 (2 ;−3 ;9 ) ]

¿=¿15 (2;−3 ;9 )=3(10 ;−15 ; 45)

¿=¿ (30 ;−45 ;135 )=(30 ;−45 ;135)

[M 4 ] :Seau=(2 ;6 ;7 )=¿>1u=u

1 (2;6 ;7 )=(2;6 ;7)

ESPACIO EUCLIDEANO:Es un espacio vectorial provisto de una estructura algebraica (conocido como conjunto de axiomas)Construir una geometría en el espacio euclideano R3, definimos sobre él, la operación producto escalar y la longitud de un vector.

Indicar si el siguiente conjunto constituye un espacio vectorial:

Sea V= {( x , y ) / y=3 x+10 , x∈R }

Para que indicar que V es espacio vectorial, debe cumplir lo siguiente:

1. Si x∈V ∧ y∈V=¿>( x+ y )∈V (cerradurabajo lasuma) 2. Si x∈V ∃otro vector−x∈V t .q . x+(−x )=0(ElementoOpuesto )3. ∃un vector 0⃗∈V t .q .∀ x∈V ; x+ 0⃗=0⃗+x=x(Elemento Neutro Aditivo)

Verificamos si se cumple la propiedad (1)

Sea x⃗=(x1 , y1 )∧ y⃗=(x2 , y2 )=¿>la suma de estos dos vectores x⃗+ y⃗=(x1 , y1)+ (x2 , y2 )

¿=¿ (x1, y1 )+(x2 , y2 )=(x1+x2 , y1+ y2 )…… (α )

Recordando nuestros conocimientos de funciones donde y depende dex; tenemos:

y1=3 x1+10∧ y2=3 x2+10 ; reemplazando estos valores en (α ) tenemos:

(x1+x2 , y1+ y2 )=(x1+x2 ,3 x1+10+3x2+10 )=(x1+x2 ,3x1+3 x2+20 )

Observamos que no se cumple el axioma de cerradura por lo tanto V no es espacio Vectorial

SUB ESPACIOS VECTORIALES:

Sea V un espacio vectorial sobre el cuerpo K .

Decimos que W es un sub espacio vectorial de V , si cumple las siguientes condiciones:

W ≠∅

Si w1,w2∈W=¿>(w1+w2 )∈W (ley de composición Interna)

Esto significa que: “Si dos vectores pertenecen al conjunto W , entonces la suma de dichos vectores también pertenecen a W ” (ley de composición Interna)

Si α∈K y w∈W=¿>α ∙w∈W (ley de composición externa)

Esto significa: “Si cogemos un escalar cualquiera α perteneciente al cuerpo K y un vector w perteneciente al conjunto W , entonces el producto α ∙w pertenecerá al conjunto W ” (Ley de composición de Externa)

Ejemplo Ley de composición interna:

u∈V ∧w∈V=¿>(u+w )∈V

Sea u=(2 ,−4,6 ); w= (1,7 ,−2 )=¿>u+w=(2 ,−4,6 )+(1,7 ,−2 )= (3 ,3 ,4 )∈V

Ejemplo Ley de composición externa:

u∈V ∧α∈K=¿>(α ∙u )∈V

Sea u=(2 ,−4,6 )∧α=3=¿>α ∙u=3 (2 ,−4,6 )=(6 ,−12 ,18 )∈V

Ejemplo:

Demostrar que el siguiente conjunto S= {( x , y , z )∈R3/x+ y=3 z } es un Sub-espacio de R3

Esto quiere decir: la suma de la primera componente con la segunda componente es igual al triple de la 3ra componente.

Demostración:

Debemos probar que se cumpla las 3 condiciones de la definición:

1. El conjunto S≠∅ . Esta afirmación es verdadera, pues el conjunto S tiene al menos un elemento (0 ,0 ,0 ); pues (0 ,0 ,0 )∈S y cumple con la condición:

x+ y=3 z=¿>0+0=3 (0 )=¿>0=0

2. Escogeremos dos elementos de S y denotémoslo por s1 y s2

Luego:

i. Si s1∈S=¿=¿ s1= (x , y , z )∧ x+ y=3 z

ii. Si s2∈S=¿=¿ s2=(a ,b , c )∧a+b=3c

Debemos de probar la suma ( s1+s2 )∈S

Veamos:

s1=( x , y , z )

s2= (a ,b , c )

¿=¿ s1+s2=( x , y , z )+ (a ,b , c )=( x+a , y+b , z+c )

Para que esta terna pertenezca al conjunto S deberá cumplir con la condición:

( x+a )+( y+b )=3 ( z+c )

Ahora basándonos en las proposiciones (i) y (ii)

s1=( x , y , z )∧ x+ y=3 z

s2= (a ,b , c )∧a+b=3c

Sumando miembro a miembro, tenemos:

( x+a )+( y+b )=3 z+3c=¿> (x+a )+( y+b )=3 ( z+c )

Con esto se prueba la 2da condición de Sub-Espacio Vectorial.

3. Escogemos un escalar α∈K y un vector s= ( x , y , z )∈S, debemos demostrar que α ∙ s∈S

Ahora para probar esto debemos comprobar que αx+αy=3 (αz )

En efecto:

α ∙ s=α ( x , y , z )=(αx ,αy ,αz )

Si s= ( x , y , z )∈S=¿>x+ y=3 z…………(¿)

Pero:

α ∙ s=α ( x , y , z )=(αx ,αy ,αz )

En ambos miembros de la igualdad que aparece en (*) multiplicamos por α∈ R y así obtenemos:

α (x+ y )=α (3 z )≤¿>αx+αy=(α 3 ) z= (3 α ) z

Lo cual con esto comprobamos que la 3ra condición de Sub-Espacio Vectorial se cumple:

Por lo tanto S es un Sub-Espacio vectorial de R3

Nota Importante:

Todo SubEspacio S es un subconjunto de un Espacio Vectorial V , pero cualquier subconjunto de V no siempre es un SubEspacio de V .

Ejemplo 2:

Demostrar que el siguiente conjunto E={( x , y , z ,w )∈ R4 t . q . x+ y+z=4w }

Demostración:

Debemos probar que se cumpla las 3 condiciones de la definición:

1. El conjunto E≠∅ . Esta afirmación es verdadera, pues el conjunto E tiene al menos un elemento (0 ,0 ,0 ,0 ); pues (0 ,0 ,0 ,0 )∈ E y cumple con la condición:

x+ y+z=4w=¿>0+0+0=4 (0 )=¿>0=0

2. Escogeremos dos elementos de E y denotémoslo por e1 y e2

Luego:

i. Si e1∈ E=¿=¿e1=( x , y , z ,w )∧ x+ y+ z=4w

ii. Si e2∈ E=¿=¿e2=(a ,b ,c , d )∧a+b+c=4d

Debemos de probar la suma (e1+e2 )∈ E

Veamos:

e1=( x , y , z ,w )

e2=(a ,b , c , d )

¿=¿e1+e2=( x , y , z ,w )+(a ,b ,c , d )=( x+a , y+b , z+c ,w+d )

Para que este vector pertenezca al conjunto E deberá cumplir con la condición:

( x+a )+( y+b )+( z+c )=4 (w+d )

Ahora basándonos en las proposiciones (i) y (ii)

e1=( x , y , z ,w )∧ x+ y+ z=4w

e2=(a ,b , c , d )∧a+b+c=4d

Sumando miembro a miembro, tenemos:

( x+a )+( y+b )+( z+c )=4w+4d=¿>( x+a )+ ( y+b )+( z+c )=4 (w+d )

Con esto se prueba la 2da condición de Sub-Espacio Vectorial.

3. Escogemos un escalar α∈K y un vector e=( x , y , z ,w )∈E, debemos demostrar que α ∙ e∈ E

Ahora para probar esto debemos comprobar que αx+αy+αz=4 (αw )

En efecto:

α ∙ e=α ( x , y , z ,w )=(αx ,αy ,αz ,αw )

Si e=( x , y , z ,w )∈E=¿>x+ y+z=4w…………(¿)

Pero:

α ∙ e=α ( x , y , z ,w )=(αx ,αy ,αz ,αw )

En ambos miembros de la igualdad que aparece en (*) multiplicamos por α∈ R y así obtenemos:

α (x+ y+z )=α (4w )≤¿>αx+αy+αz=(α 4 )w=( 4α )w

Lo cual con esto comprobamos que la 3ra condición de Sub-Espacio Vectorial se cumple:

Por lo tanto E es un Sub-Espacio vectorial de R4