eso_1º - act. de ampliacion matematicas (esfera)

ESFERA

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Actividades de ampliación

41082_Ampliacio?n_V7:41082_Ampliacio ́n 20/4/10 09:51 Página 33

En el CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de ampliación.

34ESFERA Matemáticas 1.o ESO

AMPLIACIÓN 1Los alumnos que ya han aprendido los contenidos básicos deben ampliarlos de forma que apliquen correctamentetodas las propiedades de las operaciones con números naturales y las utilicen en el cálculo mental. También debenconocer los criterios de divisibilidad por 9, 10, 11, 25 y 100, y utilizarlos para agilizar el cálculo de múltiplos y divi-sores de un número natural, clasificar los números en primos y compuestos, y descomponerlos en factores primos.Y por último, deben obtener el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de más de dos números y re-solver problemas a partir del cálculo de los mismos.

• Practicar el cálculo mental utilizando la propiedad de la resta para convertirla en otra más sencilla, y la propie-dad distributiva para multiplicar dos números grandes descomponiendo uno de ellos en la suma de otros dos.

• Estudiar los criterios de divisibilidad agrupados en función de la semejanza de los mismos: 2, 5 y 10; 4, 25 y 100;3 y 9.

• Insistir en la correcta lectura de los enunciados de los problemas, comprobando que los entienden y anotandosiempre los datos y lo que deben calcular.

• Proponer problemas relacionados con su entorno que se resuelvan mediante el cálculo del máximo común divi-sor y del mínimo común múltiplo.

O R I E N T A C I O N E S M E T O D O L Ó G I C A S

La criptografía y los números primos

Organizados los alumnos en grupos de cuatro personas, se puede iniciar la actividad con un trabajo de investiga-ción acerca de la criptografía: qué es, métodos para cifrar y descifrar mensajes, cómo y dónde se utiliza en la ac-tualidad, y la importancia de los números primos en este campo.

Antes de iniciar esta actividad tal y como se propone, se puede trabajar con ejemplos sencillos para que compren-dan y manejen el cifrado y descifrado de mensajes.

Después les pediremos que elaboren un código para encriptar mensajes con las condiciones siguientes:

• Con las letras del abecedario ordenadas, asigna a la a un número de dos cifras y, de forma consecutiva, numerael resto.

• Elige dos números primos de una sola cifra y multiplícalos entre sí. Sea k el número obtenido.

• Ahora, multiplica el número asignado a cada letra por k y tendrás tu código secreto.

Primero escribirán con su código algunas frases y tratarán a su vez de descifrarlas para entender el mecanismo decifrado y descifrado. Y luego, uno de los componentes del grupo encriptará una frase y los demás tratarán de en-contrar su significado.

A C T I V I D A D D E G R U P O

1 a) 42 � 27 � 40 � 25 � 15

b) (20 � 3) � 7 � 20 � 7 � 3 � 7 � 161

2 a) 0, 2, 4, 6 u 8 c) 2

b) 1 d) 0 ó 5

3 113 es primo.

4 a) Compuesto: 119 � 7 � 17 c) Primo

b) Compuesto: 247 � 13 � 19 d) Primo

5 a) m.c.d. � 4 m.c.m. � 6552

b) m.c.d. � 12 m.c.m. � 10800

6 Utilizando A � B � m.c.d.(A, B) � m.c.m.(A, B) seobtiene que el número es 600.

7 1584 sellos

8 75

9 Después de 60 días, el 9 de septiembre.

10 Deben poner 15 bombones en cada caja.

Necesitan: 4 cajas del tipo A.5 cajas del tipo B.6 cajas del tipo C.

S O L U C I O N E S D E L A S A C T I V I D A D E S P R O P U E S T A S

Números naturales.Divisibilidad

Atención a la diversidad


35 ESFERA Matemáticas 1.o ESO

1 Explica cómo se puede calcular mentalmente cada una de las operaciones y da el resultado.

a) 42 � 27 b) 23 � 7

2 Calcula el valor que debe tener a para que el número 35a0 sea:

a) divisible por 4 c) divisible por 11

b) divisible por 9 d) divisible por 25

3 Estudia si el número 113 es primo.

Saber si un número mayor de 100 es primo resulta una tarea laboriosa; solo se puede afirmar que no lo es si acaba encifra par, claro. En caso contrario se realiza el siguiente proceso:1.º Estudiar si el número es divisible por el número primo más pequeño: 3 (si fuera divisible por 2, sería par). Si lo es,

se trata de un número compuesto.2.º Si no, se estudia si el número es divisible por alguno de los números primos conocidos del 1 al 100.3.º El proceso se detiene en uno de los dos casos siguientes:c) a. El número es divisible por alguno de los números primos, y en tal caso es un número compuesto.

c) b. El cociente de la división es más pequeño que el divisor, y en este caso es primo.Veamos si es primo el número 113.No es divisible por 3 ni por 5.

Como el último cociente, 10, es menor que el divisor, 11, el número 113 es primo.

4 Estudia si los siguientes números son primos o compuestos.

a) 119 b) 247 c) 797 d) 1009

5 Calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de las siguientes ternas de números naturales:

a) 104, 504 y 252 b) 300, 108 y 240

6 El máximo común divisor de dos números es 150, y el mínimo común múltiplo, 1800. Uno de los números es el 450.¿Cuál es el otro?

7 El número de sellos de la colección de Eva es una cantidad comprendida entre 1300 y 1800. Los puede colocar enlas páginas de un álbum de 4 en 4, de 6 en 6, de 9 en 9 y de 11 en 11 sin que sobre ni falte ninguno. ¿Cuántossellos forman la colección de Eva?

8 Calcula el número más pequeño que dividido entre 4, 6, 8 y 9 da de resto 3.

9 El camión que recoge los envases de vidrio pasa cada 15 días; el de los envases de plástico, cada 12 días, y el derecogida de papel, cada 5 días.

El día 10 de julio se produjo la recogida del vidrio, plástico y papel. ¿Cuándo volverá a producirse esta coincidencia?

10 A fin de recaudar dinero para una excursión, los alumnos de un centro han comprado bombones de tres tipos quevan a repartir en cajas. En total tienen: 60 bombones de tipo A, 75 de tipo B y 90 de tipo C.

Los quieren colocar en el menor número de cajas posible de forma que todas tengan el mismo número de bombones.¿Cuántos bombones deben poner y cuántas cajas necesitan?

1A C T I V I D A D E S D E A M P L I A C I Ó N

Números naturales.Divisibilidad


La división entre 7 es: 113 7 Entre 11: 113 1143 16 03 10

1Reso

lvem

os



AMPLIACIÓN 2Estos alumnos utilizan adecuadamente los números enteros, los representan y ordenan, y manejan con solturalas operaciones básicas. Por tanto, deben conseguir aplicar la propiedad distributiva para sacar factor común, rea-lizar operaciones combinadas más complicadas con y sin paréntesis, y resolver problemas de mayor dificultad encuya solución intervienen los números enteros.

• Proponer ejercicios de descomposición de un número en el producto/división de un entero por la suma/resta deotros dos. Por ejemplo: �24 � (�6) � (5 � 1)

• Aplicar la propiedad distributiva para ejercitar el cálculo mental, descomponiendo los números en suma de de-cenas más unidades.

• Comparar las distintas formas de resolver las actividades y especialmente las de sacar factor común, con el finde que se acostumbren a extraer el máximo factor común.

• Insistir en la correcta utilización de los paréntesis y las igualdades.

• Utilizar la calculadora para comprobar que las operaciones realizadas son correctas.


El juego del acercarse (con calculadora)

Los alumnos se distribuyen en grupos de 4 personas. Cada alumno tendrá un lápiz, una calculadora y un folio,y cada grupo tendrá un folio en el que anotar las puntuaciones. Además, antes de empezar se fija el número depuntos que hay que conseguir para ganar el juego o el número de partidas que se van a jugar.

Uno de los componentes del grupo dirá un número de dos cifras (en cada partida se irán alternando positivo y ne-gativo y se irá cambiando el componente que elige ese número). Luego, él y cada uno de los otros dirá un númerode una sola cifra (uno positivo y otro negativo).

El juego consiste en conseguir el número de dos cifras combinando con sumas, restas, multiplicaciones y divisio-nes los números de una cifra.

Todos los componentes del grupo lo intentarán a la vez durante un tiempo que ellos establecerán. Para conseguirlose ayudarán de la calculadora, que hace las operaciones más rápidamente, pero no se dará por válida la operaciónque no haya sido anotada en el folio que tiene cada uno.

Cada jugador obtendrá una puntuación que dependerá de la aproximación conseguida:

Si consigue el exacto, 10 puntos; si el resultado obtenido difiere en 5 unidades o menos, 6 puntos; si la diferen-cia está entre 6 y 10 unidades, 3 puntos, y si la diferencia es mayor de 10 unidades, (�2) puntos.


1 �22

2 �12

3 a) (�6) � [7 � (�2)] c) (�6) � (�3 � 7)

b) (�2) � (�1 � 3) d) (�1) � (18 � 5)

4 a) 7 b) �11 c) 23 d) �10

5 a) 5 � [9 � (�4)] � 25

b) 7 � [(�5) � 7] � 14

c) 4 � (3 � 14) � �44

d) (�9) � (7 � 9) � �144

6 a) 16 c) �19 e) 10 g) 26

b) 4 d) �16 f) 15 h) 0

7 a) No b) No c) Sí d) No

8 a) 6 � (3 � 5) � 2 � �24

b) 7 � 10 � (5 � 3) � 2

c) (8 � (�3) � 10) : 2 � �7

d) (2 � 5) � (�4) � 16 � �4

9 a)

b) Julia y Javier están en el mismo punto, en el �1.

10 Al empezar el mes tenía 1077 €.


Números enteros



+5013

PabloJavierJulia Ana



1 ¿Cuál es el número entero que sumado a 13 da �9?

2 Halla el número entero por el que hay que multiplicar �6 para obtener 72.

3 Descompón cada uno de los números siguientes en el producto de un entero negativo por la suma o diferencia deotros dos.

a) �30 b) 8 c) �24 d) �13

4 Calcula.

a) �8 � 5 � (�3) � c) �54 � (�6) � � �2 � (�7) �

b) (�9) � �16 � (�8) � d) ��12 � 10 � � 4 � ��3 �

5 Transforma las siguientes sumas y restas en productos y calcula después el resultado.

a) 45 � (�20) c) 12 � 56

b) �35 � 49 d) �63 � 81

6 Realiza en el orden adecuado las siguientes operaciones con números enteros.

a) 3 � (�12) � 6 � 36 � (�2) � 4 e) (�6) � 4 � [3 � 16 � (�2) � 7]

b) (�12) � 40 � (�10) � (�2) � 9 � 30 f) (�15) � [39 � (�2 � 1) � 17]

c) 8 � 15 � (�5) � 7 � 6 g) 14 � [5 � (17 � 3) � (�2) � 15] � 4

d) 32 � (�3 � 11) � (9 � 13) h) [(�2) � (6 � 8) � 4 ] � (�15)

7 Explica en cuáles de las siguientes operaciones no son necesarios los paréntesis o corchetes.

a) 9 � (6 � (�3)) c) (�8) � (4 � 12)

b) (45 � (�15)) � 7 d) [(�2) � (�9)] � 12

8 Pon paréntesis donde corresponda para que las siguientes igualdades sean ciertas.

a) 6 � 3 � 5 � 2 � �24 c) 8 � (�3) � 10 � 2 � �7

b) 7 � 10 � 5 � 3 � 2 d) 2 � 5 � (�4) � 16 � �4

9 Ana, Julia, Pablo y Javier han colocado una piedra en el suelo y se van a situar a dos lados de ella: derecha e iz-quierda. Ana se coloca 5 metros a la derecha; Pablo, 3 metros a la izquierda; Julia, 2 metros a la derecha de Pablo,y Javier, 6 metros a la izquierda de Ana.

a) Representa esta situación.

b) ¿Se han colocado algunos amigos en el mismo punto?

10 Los movimientos de la cuenta corriente de Eva durante el mes pasado fueron los siguientes: un ingreso de 1200 eurosde su paga mensual; cobraron dos recibos: uno de 74 euros de comunidad y otro de 35 euros de la luz; un ingreso deun trabajo extra de 250 euros; pagó 24 euros por el móvil y el banco le cobró 8 euros por el mantenimiento de sucuenta.

Al finalizar el mes tenía en su cuenta 2386 euros. ¿Cuál era el saldo al principio?


Números enteros




AMPLIACIÓN 3Se proponen diversas actividades, unas son de ampliación y otras son curiosidades matemáticas.

Para algunas actividades sería conveniente enseñar el uso de la calculadora. La calculadora es una herramienta quesirve para comprobar los resultados o para operar números con muchas cifras decimales. Las calculadoras simplesrealizan sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. Para la mayoría de las actividades de la unidad es suficientecon este tipo de calculadoras.

El otro tipo de calculadora es la científica. La calculadora científica simplifica el cálculo de potencias y de raíces cua-dradas, y se puede trabajar con números muy “grandes” o muy “pequeños”. A los alumnos de ampliación se les pue-de explicar la notación científica.


Dominó de potencias

Vamos a construir un dominó de potencias. Para realizar las fichas debes escribir en un papel un número entero,y en otro, diversas operaciones con potencias y raíces cuadradas cuyo resultado es el número entero escrito. Divididla pizarra en dos partes, en una ponéis las potencias, y en la otra, los resultados.

Comprobad que no coinciden dos operaciones o números. Cada uno de los alumnos fabricará varias piezas de do-minó con un número en uno de los extremos de la pieza y una serie de operaciones independientes de ese númeroen el otro extremo, para ello, repartid las operaciones y los números.

Una vez terminadas las fichas se puede jugar de varias formas.

Una forma sería repartir las fichas entre todos los alumnos de forma que cada uno tenga el mismo número de fichas.Se juega por turnos, el primero sitúa una pieza, el siguiente intenta poner una de las suyas a continuación en unode los extremos de forma que coincida la operación y el número, y así sucesivamente. Gana el primer alumno queconsiga poner todas sus fichas.

Otra forma puede ser intentar poner todas las fichas, una tras otra como en el anterior juego, hasta que se com-plete el círculo. Hay que intentar situar todas las fichas, lo cual puede resultar imposible.


1 Depende de la factorización de la base y del expo-nente.

a) 42

b) 26 u 82

c) 53

d) 493 ó 3432

2 1 vez: 21 � 2 mm2 veces: 22 � 4 mm3 veces: 23 � 8 mm4 veces: 24 � 16 mm5 veces: 25 � 32 mm100 veces: 2100 � 1,267 � 1030 mm

3 1 � 3 � 32 � 33 � 34 � 121 personas

4 La última cifra de un cuadrado perfecto puede ser 0,1, 4, 5, 6 ó 9.

5 No es posible. La raíz cuadrada entera de 450 es 21,y el resto es 9.

6 Si acaba en 5, su raíz acaba en 5.

Si acaba en 6, su raíz acaba en 4 ó 6.

Un cuadrado perfecto no puede acabar en 3.

7 Se puede formar un cuadrado de lado 223 fichas ysobran 271 fichas. Para el cuadrado de lado 224 fal-tan 176 fichas.

8 El método no es correcto. Por ejemplo, no se cum-ple para 2132.

9 263 � 17576 1 � 7 � 5 � 7 � 6 � 26

273 � 19683 1 � 9 � 6 � 8 � 3 � 27

10 12 � 22 � 22 � 22

16 � 42

23 � 32 � 32 � 22 � 12

238 � 152 � 32 � 22

239 � 152 � 32 � 22 � 12


Potencias y raíz cuadrada





1 Escribe las siguientes potencias como otra potencia distinta de exponente distinto de 1. ¿Existen varias formas? ¿Dequé depende?

a) 24 b) 43 c) 53 d) 76

2 Un folio mide 1 milímetro de grueso. Calcula el grosor si lo doblas 1 vez por la mitad. ¿Y si lo doblas 2, 3, 4 ó 5veces?

¿Es posible doblarlo 100 veces? Compara este último resultado con las potencias de 10 del mural de matemáticasde tu libro.

3 Gonzalo cuenta un secreto a tres amigos. A su vez, cada amigo les cuenta el secreto a tres de sus amigos, y así su-cesivamente.

¿Cuántas personas saben el secreto si se repite otras dos veces?

4 Escribe los primeros 20 cuadrados perfectos. ¿En qué cifras pueden acabar los cuadrados perfectos?

5 Ana le dice a Belén que su padre tiene una parcela cuadrangular de lado un número entero de metros y de super-ficie 450 metros cuadrados. ¿Son posibles estos datos de la parcela?

6 Un número de 10 cifras acaba en 5 y es un cuadrado perfecto. ¿Cuál es la última cifra de su raíz cuadrada? ¿Y siel número de 10 cifras acabara en 6? ¿Y si acabara en 3?

7 ¿Cuál es el cuadrado mayor que se puede formar con 50000 fichas iguales? ¿Cuántas fichas sobran? ¿Cuántas fi-chas más serán necesarias para obtener el cuadrado inmediato superior?

8 Fíjate en el siguiente método para calcular la raíz cuadrada de un número de 4 cifras:

Queremos calcular la raíz cuadrada de 2 025.1.º Dividimos el número en 2 grupos de 2 cifras, 20 y 25.2.º Sumamos ambos números, 20 � 25 � 45.3.º El cuadrado de este número es igual al dado, 452 � 2 025.La raíz cuadrada de 2 025 es 45.Comprueba que también se cumple para 3025 y 9801.

¿Es este método correcto?

9 El número 17 tiene una curiosa propiedad. Si lo elevamos al cubo, 173 � 4913, y sumamos sus cifras, 4 � 9 � 1 � 3 � 17,el resultado es el número inicial. Comprueba que ocurre lo mismo con 18.

Encuentra dos números con la misma propiedad en la siguiente decena.

10 Hay un teorema de matemáticas que afirma: “Todo entero positivo es una suma de un máximo de cuatro cuadradosperfectos”. Por ejemplo: 215 � 142 � 32 � 32 � 12

A veces hace falta usar menos cuadrados: 430 � 152 � 142 � 32

Escribe los siguientes números como suma de cuadrados: 12, 16, 23, 238 y 239


Potenciasy raíz cuadrada




AMPLIACIÓN 4Los ejercicios propuestos para los alumnos avanzados son un adelanto de la complicación que se encontrarán enel siguiente curso.Hay ejercicios de operaciones combinadas con fracciones, es decir, operaciones con fracciones en las que intervienensumas, restas, multiplicaciones y divisiones. Sería conveniente repasar la prioridad de las operaciones. Es normalque, antes que las multiplicaciones o divisiones, realicen las sumas o restas. Además, esta prioridad de operacionespuede quedar alterada por medio de paréntesis.También hay problemas más avanzados. Es recomendable insistir en que la resolución de problemas se debe realizarde forma ordenada. Primero, identificar los datos y realizar esquemas para resolverlos. Por último, hay que com-probar si la solución es el dato que pide el enunciado y si cumple dicho enunciado.Para terminar se propone alguna curiosidad a fin de que los alumnos piensen un poco cómo es la última actividad.Aquí se propone conseguir los números del 1 al 10 utilizando nada más que cuatros. Esto se puede generalizar fá-cilmente con otros números, teniendo en cuenta que a lo mejor no tiene solución.


Las proporciones de mi clase

Vamos a calcular las diversas proporciones que ocurren en tu clase y las vamos a poner en una cartulina colgadaen el aula para que las vean todos.• Por ejemplo: ¿qué parte de los alumnos son chicas? Se cuenta el número de chicas en la clase y se divide por el

número total de alumnos. Se simplifica la fracción a la fracción irreducible, así se tiene la proporción de chicasen el total de la clase.

• Mira a ver si se te ocurren más proporciones. Sería conveniente que cada uno de vosotros consiguierais al me-nos tres proporciones distintas. Así se llena un mural con todas las proporciones que ocurren en tu clase.

Estos resultados se pueden cotejar con los de otras clases mostrando una de las utilidades de las fracciones, unaforma de indicar el número de partes de un total.


1 a) �97

� b) �2401�

2 a) �14221

� b) �2176�

3 Ana es la que más pesa, a continuación Carmen y fi-nalmente Blanca.

4 �185� de hora � 1 hora 52 minutos 30 segundos.

5 En acabar la pared tardan �6307� de hora = 1 hora 37 mi-

nutos 18 segundos.

6 Inicialmente tenía 130 €.

7 Cuesta 1375 €.

8 La fracción mayor es la de la segunda pizza.

9 �3aa� � �

13

�

10 �37

� � 28 � 12 alumnos han suspendido Lengua.

�25

� � 12 � �254� son chicas, que no es posible al no

ser un número entero.

11 Se ve muy fácil si se dibuja.

A un hijo, 3 llenas, 1 a medias y 3 vacías; a los otroshijos, 2 llenas, 3 a medias y 2 vacías.

12 �4 � 4

4� 4

� � 3 �4 �

44

� � 4 � 4

�4 � 4

4� 4� � 5 �

4 �4

4� � 4 � 6

�444� � 4 � 7

4 � 4 � 4 � 4 � 8 4 � 4 � �44

� � 9

�44

4� 4� � 10


Fracciones





1 Realiza las siguientes operaciones.

a) ��343� � �

190� � �

25

�� 111� � �

18

� � �52

�� 56

� � 2 b) 1 � �254� � ��

14

� � ��27

� � �65

� � 2��2 Realiza las siguientes operaciones.

a) ��12

� � �23

�� 52

� � �23

��2

b) ��12

��3

� ��152� � �

32

��2

� 4

3 Ana pesa �43

� del peso de Blanca, y Blanca, �79

� del de Carmen. ¿Cuál de las tres pesa más?

4 Un grifo llena un depósito en 5 horas, y otro, en 3 horas. ¿Cuánto tardarán en llenar el depósito si se abren los dosgrifos a la vez?

5 Un pintor tarda 6 horas en pintar una pared; otro pintor, 5 horas, y un tercero, 4 horas. ¿Cuánto tardarán en pintarla pared los tres a la vez?

6 María gasta �25

� de su dinero en comprar un pantalón y �13

� de lo que le queda en un libro. Al final le quedan 52 €.¿Qué dinero tenía inicialmente?

7 Queremos plantar 300 árboles en un huerto. Un cuarto van a ser naranjos; del resto, �29

� serán limoneros, y los demás,ciruelos. Plantar cada naranjo cuesta 5 €; cada limonero, 6 €, y cada ciruelo, 4 €. Calcula el coste total.

8 Tenemos cuatro pizzas redondas iguales. De la primera, un quinto que queda se corta en 3 porciones iguales. De lasegunda, un sexto que queda se corta en 2 porciones iguales. De la tercera, dos séptimos se cortan en 4 porcionesiguales. Y de la última, un tercio se corta en 5 porciones iguales. ¿De qué pizza deberemos tomar un trozo si que-remos coger una de las porciones más grandes?

9 El denominador de una fracción es el triple del numerador. Calcula su fracción irreducible.

10 Javier le dice a Gonzalo que en su clase, de 28 alumnos, �37

� han suspendido Lengua, y de estos, �25

� son chicas.

Gonzalo cree que eso no es posible, ¿podrías explicar por qué?

11 Un padre reparte 21 vasijas de miel a sus tres hijos. De las 21 vasijas, 7 están llenas; 7, llenas a la mitad, y 7, vacías.¿Cómo se reparten las vasijas si a cada hijo le toca la misma cantidad de miel y el mismo número de vasijas?

12 Fíjate en la siguiente construcción con cuatro cuatros:

44 � 44 � 0 �4444� � 1 �

44

� � �44

� � 2

¿Serías capaz de conseguir también los números del 3 al 10?


Fracciones




AMPLIACIÓN 5Algunos de los ejercicios propuestos para los alumnos avanzados son un adelanto de lo que se encontrarán en el si-guiente curso, como las actividades 1 y 2, que muestran cómo pasar un número periódico a fracción, excepto el casode número periódico mixto. Podría ser conveniente que a los más adelantados se les muestre que hay númerosdecimales no periódicos.

También hay ejercicios con operaciones combinadas de números decimales, se debe tener cuidado con la prioridadde las operaciones.

También se les proponen problemas más complicados. Es recomendable insistir en que se realicen esquemas pararesolverlos y que se compruebe si la solución cumple el enunciado.


Crucigramas decimales

Dividimos la clase en grupos de tres o cuatro alumnos. Cada grupo va a construir un crucigrama con números de-cimales.

El proceso de fabricación del crucigrama va a ser el contrario del proceso para resolverlo. Para ello se dibuja unacuadrícula de tamaño 8 � 8, numeradas las filas horizontales y las columnas verticales del 1 al 8; de las 64 casi-llas, cada grupo puede poner en negro un máximo de 12.

Cada cuadrícula se rellena con una de las 10 cifras (del 0 al 9) o con una coma, esta hoja es la solución del cru-cigrama decimal. En otra hoja hay que poner las preguntas horizontales y verticales con operaciones con númerosdecimales o fracciones cuyo resultado son los números decimales puestos en las soluciones, teniendo en cuentaque en una fila o columna puede haber más de un número si hay una casilla negra y que los números decimalesse leen de izquierda a derecha o de arriba abajo.

Una vez terminado el crucigrama, se pasa a otro grupo para que lo resuelva.


Números decimales



1 a) 0,325 � �1302040

� � �1430�

b) �1100302

� � �22558

�

c) �11

909020

� � �214295

�

2 a) �49

�

b) �3731�

c) �3

93976�

3 Hay varias soluciones, pues una fracción se puedeescribir de infinitas formas. La menor es la fracciónirreducible.

0,45 � �14050

� � �290�

4 a) 0,8281

b) 533,61

c) 64059,61

5 El camión puede cargar 7 sacos más.

6 Un litro de refresco pesa 1,1 kg.

7 En dar una vuelta completa a la pista tarda 14,8 se-gundos.

8 Al principio, 1000 € son 1000 � 1,231 � 1231 $.

Al cabo de un mes, 1231 $ son 1231 � 1,156 � 1064,88 €.

Ha ganado 64,88 €.

9 1,1 � 10�1 � 0,11 � 1,1 � 102 � 110 < 1,2 � 102 �� 120 � 1,1 � 103 � 1100




1 Mira el proceso siguiente para convertir un número decimal exacto en fracción.

23,422 � �23,42

12

0�

001 000

� � �213040202

� �

Expresa los siguientes números decimales exactos como fracciones.

a) 0,325 b) 10,32 c) 1,992

2 Estudia el proceso siguiente para convertir un número decimal periódico en fracción.

16,242424... � �1 624

99� 16� � �

196

908� � �

53336

�

Expresa los siguientes números decimales periódicos como fracciones.

a) 0,44444… b) 2,151515… c) 34,1010101…

3 El cociente de dos números naturales es 0,45. ¿Es la solución única? En el caso de que haya varias soluciones, en-cuentra la que tenga los menores números.

4 Realiza las siguientes operaciones.

a) (0,12 � 0,9)2

b) (2,31 � 0,1)2

c) (2,56 � 0,12 � 2,9)2

5 Un camión lleva dos cajas de 325,2 kilogramos y 4 sacos de 31 kilogramos. Si el peso máximo que puede cargar elcamión es de 1000 kilogramos, ¿cuántos sacos podemos añadir?

6 Una botella vacía pesa 0,34 kilogramos. Llena de un refresco pesa 2,1 kilogramos, y llena de agua, 1,94. ¿Cuántopesa un litro de refresco?

7 Un ciclista ha tardado 12 minutos y 22 segundos en recorrer 15 kilómetros dando 50 vueltas a una pista. ¿Cuántoha tardado de media en dar una vuelta completa a la pista?

8 Un hombre cambia 1000 euros en dólares cuando un euro equivale a 1,231 dólares. Al cabo de un mes cambia losdólares porque el euro baja a 1,156 dólares. ¿Cuánto dinero ha ganado?

9 Trabajar con números muy grandes o muy pequeños es muy engorroso; para abreviar se utiliza la notación científica:cifras potencia de 10. El exponente de la potencia de 10 indica cómo se desplaza la coma.

Ejemplos: 1,23 � 103 � 1 230, se desplaza tres lugares a la derecha la coma.

1,234 � 10�2 � 0,01234, se desplaza dos lugares a la izquierda la coma.

Ordena de mayor a menor los siguientes números en notación científica.

1,1 � 102 1,1 � 103 1,1 � 10�1 1,2 � 102

11 711�500


Números decimales




AMPLIACIÓN 6Se pueden proponer dos tipos de actividades a los alumnos: ecuaciones de primer grado más complicadas, ecuacio-nes con denominadores que pueden tener la incógnita en ellos, y la realización de problemas, ya que se supone queestos alumnos dominan la resolución de ecuaciones. En los problemas, lo complicado es el planteamiento de la ecua-ción. Se recomienda realizar un gran número de problemas para que planteen con soltura las ecuaciones.

A los que dominen estos ejercicios se les puede mostrar que hay ecuaciones que tienen varias soluciones. En par-ticular se les puede ir adelantando la resolución de ecuaciones de segundo grado, especialmente las ecuaciones deeste grado incompletas. Para resolver estas ecuaciones basta con sacar factor común si falta el término indepen-diente, y con despejar la incógnita y tomar raíces cuadradas si falta el término de primer grado.


Concurso de problemas de ecuaciones

Formad grupos de dos o tres alumnos. Cada grupo debe desarrollar unas frases que se puedan trasladar al lenguajealgebraico por medio de ecuaciones de primer grado con una incógnita. Estas frases podrían tratar sobre:

• Edades. Por ejemplo, “La edad de Juan es el doble de la que tenía hace tres años”.

• Precios u objetos. Por ejemplo, “Si regalo tres CD, tengo la mitad de los que tenía”.

• Figuras geométricas. Por ejemplo, “El perímetro de un cuadrado mide 16 centímetros”.

Además de escribir las frases, debéis escribir la ecuación correspondiente y su solución. Cuidado, porque deben plan-tearse problemas que tengan sentido.

El juego consistirá en ir planteando estas frases a otros grupos para que escriban las ecuaciones y las resuelvan.Gana quien resuelva más problemas.


1 a) x � 2 b) x � 5 c) x � 6

2 a) x � 2 b) x � �12

�

3 Es la ecuación b.

4 La altura mide 6 m, y la longitud, 18 m.

El área es de 108 m2.

5 Cada niño recibe 6 €, y cada niña, 7 €.

6 El número pedido es 9.

7 El número inicial es 233.

8 Hay 24 conejos.



11 Los ángulos miden 58, 60 y 62.


El lenguaje algebraico.Ecuaciones





1 1. Resuelve las siguientes ecuaciones.

a) �x �

53

� � �x �

46

� � �x �

31

� � 2

b) �5x

� � �x �

41

� � 1 � �x

1�0

5�

c) �2x

2� 1� � �

34x� � �

2x4� 1� � �

x �8

4�

2 Resuelve las siguientes ecuaciones.

a) �3x

� � �32x� � �

161�

b) 1 � �4x

� � �29x�

3 ¿Cuál de las ecuaciones corresponde a la frase “Si un número lo aumentamos en 2 unidades, se obtiene el doble delnúmero y además una unidad”?

a) x � 2 � 2(x � 1)

b) x � 2 � 2x � 1

c) 2x � 2 � x � 1

4 La longitud de un rectángulo es el triple de la altura. Si el perímetro es de 48 metros, ¿cuál es su área?

5 Reparte 47 euros entre 2 niños y 5 niñas de modo que cada niña reciba un euro más que cada niño.

6 Encuentra un número que al restarle 5 y dividirlo por 4 sea lo mismo que restarle 4 y dividirlo por 5.

7 Se tiene un número de tres cifras con la cifra de las unidades y de las decenas igual. Calcula el número sabiendoque la suma de las cifras es 8 y que si se invierte el orden de sus cifras, el número aumenta en 99 unidades.

8 En una granja hay gallinas y conejos. Calcula el número de conejos sabiendo que hay 32 cabezas y 112 patas.

9 Encuentra un número entero al que si se le suma la mitad, la mitad de la mitad, la mitad de la mitad de la mitady una unidad, se obtiene el doble del número.

10 Halla un número sabiendo que el quíntuplo de ese número más su quinta parte es 182.

11 Los tres ángulos de un triángulo son tres números pares consecutivos. ¿Cuánto mide cada ángulo?


El lenguaje algebraico.Ecuaciones




AMPLIACIÓN 7La mayoría de los ejercicios propuestos en este cuadernillo son problemas un poco más difíciles que los del textode referencia; por tanto, a lo mejor es necesario explicar algunos conceptos nuevos que no aparecen en el libro delalumno.

En algunas de las actividades propuestas se tratan otras unidades de medidas de longitud no vistas en la unidad,pero que se utilizan en alguna parcela de la vida real, en particular años luz o micras. En otros ejercicios se usanfórmulas de volumen de cuerpos que pueden ser desconocidas para los alumnos; estas fórmulas serán vistas a lolargo de la etapa. También habría que explicarles las equivalencias entre las medidas de capacidad, masa y volu-men, aclarándoles en qué condiciones un litro de agua pesa exactamente un kilogramo.

Otra forma de ampliación de contenidos para estos alumnos es que sean capaces de realizar estimaciones de me-didas a simple vista. Por ejemplo, de determinar el volumen, peso o superficie de un cuerpo que se les muestre.

También se les puede enseñar a medir volúmenes de cuerpos irregulares introduciendo estos en recipientes llenosde agua y midiendo el volumen de agua desplazada. Para este experimento es necesaria la utilización de probetas.


Sumas de medidas

El objetivo del juego es conseguir una medida determinada que se decide previamente. Se juega entre dos personas.Para ello se pueden utilizar medidas de longitud, superficie, volumen, capacidad y masa.

Primero hay que fabricar bastantes fichas, cada una con una medida distinta de cualquier magnitud. Ejemplos defichas: 3 m, 2 cm2, 40 g, etc. Cada vez que juguemos podemos crear fichas nuevas.

La mecánica del juego es la siguiente:

• Se sortea quién empieza.

• El primer jugador indica la medida a conseguir; por ejemplo, 5 m2 o 2 t.

• El segundo jugador escoge la ficha que desee, luego el otro y así sucesivamente.

• Gana el primero que consiga que sus fichas sumen la medida indicada. En caso de que ninguno consiga la me-dida, gana el que más se aproxime a ella.

• La medida prefijada no debe ser exageradamente mayor que las fichas fabricadas.

En una variante del juego pierde el primer jugador que sobrepase la medida indicada.


1 a) 1352,233 m

b) 1202,85 a

c) 2003010,078 L

2 Se pueden llenar 4000 botellas de 2 litros, y 32000de 0,25 litros.

3 Un año luz mide 9460800000000 kilómetros.

4 Un rayo tarda 8 minutos y 20 segundos en llegar delSol a la Tierra.

5 Cada página mide 80 micras.

6 La caja pesa 18,7 kilogramos.

7

8 Caben 512 litros en el depósito.

9 En el huerto caben al menos 838 naranjos.

10 Contiene 21216 pintas.


Sistemas de medida



Tamaño Dimensiones (mm) Peso (g)

A0 841 � 1189 79,99

A1 594 � 841 39,96

A2 420 � 594 19,96

A3 297 � 420 9,98

A4 210 � 297 4,99



1 Expresa las siguientes medidas en la unidad indicada.

a) En metros: 1 km 3 hm 2 dam 32 m 2 dm 33 mm

b) En áreas: 12 hm2 2 dam2 85 m2

c) En litros: 2 dam3 3 m3 10 dm3 78 cm3

2 Un depósito lleno de agua tiene la forma de un cubo de 2 metros de arista. ¿Cuántas botellas de 2 litros se puedenllenar con el agua del depósito? ¿Y cuántas de cuarto de litro?

3 La luz viaja siempre a la misma velocidad, aproximadamente 300000 kilómetros por segundo. Para medir distanciasastronómicas se usa el año luz, que es la distancia que recorre la luz en un año. Calcula cuántos kilómetros mideun año luz.

4 La distancia entre la Tierra y el Sol es de unos 150 millones de kilómetros. Calcula cuánto tiempo, en minutos, tar-da la luz en llegar del Sol a la Tierra. (La velocidad de la luz la tienes en el ejercicio anterior.)

5 En la unidad has visto algunos submúltiplos del metro; existen más, por ejemplo, la micra. La micra es la millonésimaparte del metro o la milésima parte de un milímetro; como símbolo para representarla se usa la letra griega .Calcula cuántas micras mide el grosor de una página de un libro sabiendo que tiene 250 páginas y mide 2 centí-metros de grosor.

6 Un litro de agua tiene, aproximadamente, la masa de un kilogramo. ¿Cuántos kilogramos tendrá una caja con unadocena de botellas de agua de litro y medio si la masa de cada botella es de 50 gramos, y la del cartón, de 1 hecto-gramo?

7 Las hojas de papel cumplen el formato DIN. Se parte de una hoja DIN-A0 y los siguientes números se obtienen di-vidiendo la hoja por la mitad: una hoja DIN-A1 es la mitad de tamaño que la A0, una hoja DIN-A2 es la mitad quela A1, y así sucesivamente como se indica en el dibujo. Las hojas de papel suelen pesar unos 80 gramos el metrocuadrado. Sabiendo que las dimensiones de una hoja de papel DIN-A0 son de 841 � 1189 milímetros, calcula lasdimensiones y el peso de una hoja DIN-A4.

8 La base de un depósito en forma de cubo mide 0,64 metros cuadrados. Calcula la capacidad del depósito medida enlitros.

9 La superficie de un huerto de naranjos es de 5 hectáreas 3 áreas 22 centiáreas. Si cada naranjo necesita unos 60metros cuadrados, ¿cuántos naranjos hay en el huerto?

10 En Inglaterra, la pinta es una medida de capacidad que equivale a 0,5683 litros. La cisterna del camión tiene formade cilindro. ¿Cuántas pintas contiene si el depósito está lleno? (Vcilindro � � � r 2 � h)


Sistemas de medida


A 1

A 2

A 3

A 4

A 5A 6

6 m

80 cm



AMPLIACIÓN 8Estos ejercicios nos pueden servir para ese grupo de alumnos que han alcanzado los objetivos propuestos en la unidady que tienen necesidad de avanzar un poco más.

• Podemos introducir ejercicios con un grado de dificultad un poco mayor y también otros en los que aparezcanmás de dos magnitudes, puesto que les pueden servir para tener alguna base en temas que se estudiarán en añosposteriores.

• Se pueden añadir problemas de repartos directamente proporcionales, cuya resolución se puede llevar a cabo me-diante la regla de tres simple directa.

• También podemos usar cantidades escritas con letra, ya que los alumnos tienden a extraer los datos de los pro-blemas de los números que aparecen. Con esto favorecemos la lectura pausada y reflexiva de los problemas.

• Sería interesante que estos alumnos realizasen algún trabajo utilizando el IMC (índice de masa corporal) al quehace referencia el libro del profesor.


Razón áurea

Podemos hacer grupos de cuatro o cinco alumnos para buscar una de las razones de proporcionalidad más bellasde la historia de la humanidad. Propondremos a cada uno de los grupos que trate de buscar dicha razón. Para ello lespodemos dar las siguientes pistas:

• El Partenón de Grecia.

• El hombre de Vitrubio, de Leonardo da Vinci.

• D. N. I.

• Estrella de cinco puntas.

• En la mano, …

Tratarán de buscar el mayor número posible de proporciones áureas. Para ello, además de las pistas dadas, les re-sultaría de gran ayuda utilizar Internet. Podríamos realizar una competición en la que los alumnos reciban algúntipo de compensación, para ver cuál de los grupos es capaz de encontrar más razones áureas.

También se podrán proyectar en clase algunos vídeos como Investigación matemática 10 y hacer algún trabajo re-lacionado con su contenido.


1 a � 1, b � 3 y c � 2

2 El segundo debe cobrar 2000 euros.

3 928 minutos, es decir, 15 horas y 28 minutos.

4 a) 450 g b) 75 g c) 3750 g

5 a) 45 días.

b) 22,5 días.

c) 12 días.

d) En 30 días, el 7 de septiembre.

6 La barra de pan pesa 250 gramos.

7 El número es 3775.

8 Al primer camarero le corresponden 800 euros.

Al segundo 600 euros.

Al tercero 700 euros.

9 El primero puso 40000 €.

El segundo puso 48000 €.

El tercero puso 52000 €.


Magnitudes proporcionales.Porcentajes





1 Calcula a, b y c en las razones �2a1� � �

6b3� � �

4c2�, sabiendo que 3c � �2b � 12.

2 La razón entre los sueldos de dos trabajadores de una determinada empresa es �35

�. Si el primero percibe 1200 €

mensuales, ¿cuánto debe cobrar el segundo?

3 Un grifo tarda en llenar un depósito de 250 litros de agua 32 minutos. ¿Cuánto tardará en llenar otro depósito de7,25 metros cúbicos de capacidad?

4 Seis gallinas consumen en cuatro días 1800 gramos de pienso. Calcula:

a) ¿Cuánto pienso consumen seis gallinas en un día?

b) ¿Cuánto consume una gallina en un día?

c) ¿Cuántos kilogramos consumen diez gallinas en cinco días?

5 El día 8 de agosto, José Luis, Almudena y Delfina tienen 5 kilogramos de arroz y 2 de pollo, con los que pueden ali-mentarse durante 30 días. Contesta razonadamente a las siguientes cuestiones:

a) Si Delfina se va, ¿para cuántos días tienen alimento?

b) Viene Rafael. ¿Cuántos días se podrán alimentar?

c) Pasan 10 días, y vuelven a casa los dos hermanos de Almudena. ¿Para cuántos días habrá comida?

d) Y si a los 10 días se va Delfina, ¿en qué fecha se acabará el alimento?

6 En una barra de pan, un 30% es agua; �35

�, harina, y los 25 gramos restantes están compuestos por levadura. ¿Cuántopesa la barra de pan?

7 El 20% de un número más 25 es igual a 780. ¿De qué número estamos hablando?

8 Tres camareros han conseguido un bote de 2 100 € durante el mes de junio. El primer camarero ha trabajado160 horas; el segundo, 120, y el tercero, 140. ¿Cuántos euros del bote le corresponden a cada uno?

9 Tres amigos deciden comprar una tienda de zapatos que les cuesta 140000 €. Al cabo de un año deciden repartirselos beneficios obtenidos por las ventas realizadas y les corresponden 20000, 24000 y 26000 euros, respectivamente.¿Cuánto dinero aportó cada uno en la compra de la tienda?


Magnitudes proporcionales.Porcentajes



50

AMPLIACIÓN 9Estos ejercicios nos pueden servir para ese grupo de alumnos que han alcanzado los objetivos propuestos en la uni-dad y que tienen necesidad de avanzar un poco más.

Podemos introducir ejercicios con un grado de dificultad un poco mayor, y también otros donde aparezcan variasfunciones representadas sobre los mismos ejes.

Nos centraremos en la interpretación gráfica, por ser esta una de las aplicaciones más directas de las funciones.

También les propondremos que representen funciones en las que algunos de sus términos estén compuestos porfracciones. Sería interesante que les enseñásemos a probar algunos valores antes de representar, para conseguir quelos resultados obtenidos estén formados por números enteros.


Búsqueda y representación gráfica

Es un tema que se presta a la utilización de prensa, revistas y otros medios de comunicación en los que los alum-nos puedan ver la gran cantidad de gráficas que contienen.

Se pueden proponer actividades en grupos de cuatro o cinco alumnos para que hagan una recogida de datos queposteriormente agruparán en tablas y representarán gráficamente.

Les haremos ver la utilidad de esto para:

• Simplificar un conjunto de datos.

• Presentar de forma visual dichos datos.

• Interpretar de forma sencilla los resultados.

Podemos sugerir que la búsqueda de datos se haga sin ningún tipo de ayuda o recomendar algunas páginas webcomo http://www.ine.es, donde pueden encontrar multitud de datos.

Se pueden proyectar algunos vídeos como los de las series “Ojo matemático” y “Más por menos”, producidas por TVE.

Además, a estos alumnos les podríamos iniciar en el manejo de algunos programas informáticos sencillos, comopuede ser el Graphamatica, que se puede conseguir de forma gratuita en Internet.


1 a) Sí b) No

2 a)

b) La población que ha tenido un mayor porcentajede crecimiento es la de los hombres. Dicho por-centaje es 3,7.

3 a) Dedicaban menos dinero al ahorro en el tercer tri-mestre de 2003. Dedicaban más en el tercer trimes-tre de 2001 y en el cuarto trimestre de 2004.

b) 2%

4 a) Apartamentos: mayo de 2005

Alojamientos de turismo rural: enero de 2005

Campamentos: mayo de 2004 y abril de 2005

b) Agosto de 2004

5 La función es: y � 1,35 � 0,63xA 20 kilómetros del aeropuerto: 13,95 €

Pagando 20,25 € habríamos tomado el taxi a30 kilómetros del aeropuerto.

6 La función que nos permite cambiar el dinero es:y � 1,203xPor 15 euros nos darían 19,25 dólares

Es una función lineal, la variable independiente sonlos euros y la dependiente los dólares.


Funciones


ESFERA Matemáticas 1.o ESO Atención a la diversidad

230

235

240

245

250

2001 2002 2003 2004

N.°

de

pers

onas

MujeresHombres

255



1 1. Di si los siguientes conjuntos de puntos están alineados.

a) A(0, �1), B(1, 2) y C (2, 5) b) D(0, �5), E (1, �3) y F (3, 2)

2 La tabla adjunta nos muestra la evolución de la población masculina y femenina de la provincia de Ciudad Real.

Se pide:

a) Dibujar en los mismos ejes de coordenadas una gráfica aproximada parael crecimiento de hombres y otra para el crecimiento de mujeres.

b) ¿Cuál de las dos poblaciones ha experimentado un mayor porcentaje decrecimiento? ¿Cuál es ese porcentaje?

3 a) ¿En qué época podían dedicar menos dinero al ahorro? ¿Y más?

b) ¿Qué diferencia de porcentaje hay entre el tercer trimestre de2004 y el primer trimestre de 2003?

4 La siguiente gráfica nos muestra la evolución del grado de ocupación por tipo de alojamiento de vacaciones.

a) ¿Cuándo se produce la menor ocupación de apartamentos? ¿Y dealojamientos de turismo rural? ¿Y de campamentos?

b) ¿En qué fecha habríamos tenido más dificultad para encontrar alo-jamiento?

5 Para ir al aeropuerto de Barajas tomamos un taxi. Nos cobran 1,35 euros por la bajada de bandera y 0,63 euros porcada kilómetro recorrido. ¿Cuál es la función que relaciona el precio del trayecto con los kilómetros recorridos?

Si hemos tomado el taxi a 20 kilómetros del aeropuerto, ¿cuánto debemos pagar?

Y si hubiéramos pagado 20,25 euros, ¿a cuántos kilómetros del aeropuerto habríamos tomado el taxi?

6 Sabiendo que 1 euros equivale a 1,203 dólares, escribe una función que nos permita cambiar dinero en euros pordinero en dólares. ¿Cuántos dólares nos darían por 15 euros?

La función que has obtenido, ¿es lineal? ¿Cuál es la variable dependiente? ¿Y la independiente?


Funciones


Año Mujeres Hombres

2004 249216 243698

2003 247067 240603

2002 245958 238380

2001 243593 234988

2001 2002 2003 2004 2005

34

35

36

37

38

39

40Pueden dedicar dinero al ahorro

Cada división verticalrepresenta un trimestre

May

-04

Jun-

04

Jul-0

4

Ago-

04

Sep

-04

Oct

-04

Nov

-04

Dic

-04

Ene-

05

Feb-

05

Mar

-05

Abr-0

5

May

-050

20

40

60

80

Evolución del grado de ocupaciónpor tipo de alojamiento

Alojamientos de turismo ruralApartamentos Campamentos


52

AMPLIACIÓN 10Estos ejercicios nos pueden servir para ese grupo de alumnos que ha alcanzado los objetivos propuestos en la unidady que tiene necesidad de avanzar un poco más.

Además de los que ofrecemos aquí, podemos introducir ejercicios con un grado de dificultad un poco mayor, como,por ejemplo, completar tablas estadísticas. También se pueden utilizar otro tipo de representaciones gráficas como laspirámides de población, pictogramas o cualquier gráfico aparecido en periódicos o revistas.

En cuanto a la parte de probabilidad, podemos introducir algunos conceptos sencillos, como suceso seguro o sucesoimposible, para que los alumnos se encarguen después de calcular su probabilidad.


Nos familiarizamos con la Estadística

Se podría realizar la misma actividad que con los alumnos de refuerzo.

Se organizan grupos de 6 alumnos. Se nombra un moderador en cada grupo que será el encargado de hablar y co-mentar las decisiones de su grupo de compañeros.

• Los alumnos se encargan de traer gráficos y tablas estadísticas que aparezcan en la prensa.

• A partir de las tablas o gráficos, los alumnos calcularán la media y la moda. Después dibujarán un gráfico de ba-rras o de sectores.

Con todos estos datos, nuestros alumnos se van familiarizando con el mundo estadístico de una forma fácil y amena.Al final de la actividad se hará una puesta en común de todos los resultados obtenidos.


1

2 a)

b) Mejor media, la clase 1: 5,1

c) Moda clase 1: 5 Moda clase 2: 3

3 a) 1580823 personas poseían estudios.b) Moda � estudios de 2.º grado.

4

a) Media � 5,90 €b) Moda � 5,50 € y 5,60 €

5 �366� � �

16

�

6 Se ha suprimido el 6.

7 �238�


Estadística y probabilidad



Datos 1 2 3 4F. absoluta 10 2 5 3F. relativa 0,5 0,1 0,25 0,15

1 2 3 4Tiempo (horas)

024

68

10

F. a

bsol

uta

12

Datos F. absoluta C1 F. absoluta C20 1 21 2 32 1 13 5 64 3 25 6 56 2 37 5 28 1 49 2 110 2 1

66°

28°55º46-65

16-25

26-45

>65

211°

Datos F. absoluta F. relativa4,2 1 0,15,2 1 0,15,3 1 0,15,5 2 0,25,6 2 0,26,7 1 0,17,3 1 0,18,1 1 0,1



1 Completa la siguiente tabla estadística que hemos obtenido al preguntar a 20 alumnos de una clase sobre el nú-mero de horas que dedican cada día al estudio. Realiza un diagrama de barras.

2 Las siguientes gráficas representan las notas obtenidas por dos clases en el último examen de Matemáticas.

a) Construye una tabla estadística con las frecuencias absolutas.

b) ¿Cuál tiene mejor media?

c) ¿Cuál es la moda de cada una de las clases?

3 Según la Dirección General de la Policía, en el año 2004 residían enEspaña 1810794 extranjeros de más de 16 años.

a) ¿Cuántos poseían estudios?b) ¿Cuál es la moda?c) Dibuja un diagrama de sectores teniendo en cuenta la siguiente in-

formación:

4 Se ha hecho un estudio sobre el precio medio de una entrada de cine en algunos países europeos y se han obtenidolos siguientes datos:

a) Elabora una tabla estadística.

b) Calcula la media.

c) Calcula la moda.

5 ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar dos dados la diferencia de sus resultados sea 3?

6 De un conjunto de tres datos cuya media vale 8 se elimina uno de ellos, de tal forma que los dos datos restantestienen media 9. ¿Qué dato se ha suprimido?

7 Se extrae al azar una ficha de un dominó normal, compuesto por 28 fichas, y sumamos los puntos de sus dos partes.Calcula la probabilidad de que la suma de sus puntos sea 5.


Estadística y probabilidad


Datos 1 2 3 4F. absoluta 2 3F. relativa 0,5 0,25

7Clase 1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100123456

Notas

N.°

de

alum

nos

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1001234567

Notas

N.°

de

alum

nos

Clase 2

Analfabetos3,2%

Tercer grado14,6%

Sin estudios9,5%

Segundo grado53,7%

Primer grado19,0%

Edad N.º de extranjeros16-25 127873326-45 106208346-65 1330639� 65 1139339

Países Precio (€)Suecia 8,10Dinamarca 7,30Reino Unido 6,70Bélgica 5,60Grecia 5,60Alemania 5,50Francia 5,50Italia 5,30Irlanda 5,20España 4,20


54

AMPLIACIÓN 11Los alumnos deben identificar ángulos de lados paralelos y establecer relaciones de igualdad entre ellos; calcularla longitud de un arco de circunferencia y resolver problemas geométricos con los contenidos de la unidad.

• A partir de la construcción de ángulos de lados paralelos a uno dado, deben medir y comprobar que son igualesal ángulo inicial o a su suplementario.

• Orientarles para que con las fórmulas del cálculo de la longitud de una circunferencia y de su arco puedan ob-tener el radio de la circunferencia y la medida del ángulo central que abarca ese arco.

• Hacer gráficos que reflejen la situación del problema anotando los datos y lo que hay que calcular.

• Buscar las formas geométricas estudiadas en el entorno inmediato del alumno: centro de estudios, vivienda, lugarde residencia… así como en las artes, principalmente en la arquitectura, donde son abundantes.


Calcula radios de circunferencias y arcos de sectores a partir de sus longitudes

Utilizando elementos circulares del entorno (botellas, latas, mesas, figuras decorativas, fuentes, zonas ajardinadas…)y organizando a los alumnos en grupos, les propondremos dos tipos de actividades:

Buscar circunferencias• Pedir a los alumnos que busquen circunferencias en su entorno y midan su longitud con una cinta métrica.

• Anotar en un cuaderno los resultados indicando la figura que contiene la circunferencia medida y haciendo unesbozo de la misma.

• Utilizar la fórmula de la longitud de una circunferencia para calcular su radio, ayudándoles a despejarlo o

• calculando primero el diámetro a partir de la relación: �dL� � �.

Medir sectores circularesComo los sectores circulares no son fáciles de encontrar, podemos preparar unos en cartulina, que es un materialbarato y fácil de conseguir.

• Los alumnos deben medir con la cinta métrica la longitud del sector y el radio del mismo.

• Anotar en su cuaderno los resultados indicando la situación mediante un dibujo en el que aparezcan las medi-das y el ángulo que se va a calcular.

• Calcular el ángulo del sector a partir de la fórmula que permite hallar su longitud. Para ello es necesario que elprofesor les dé unas indicaciones que les ayuden a despejar n.


1 Opuestos por el vértice: Ap y 25, que miden 25 y Gpy Hp, que miden 155.Lados paralelos: Cp y 115, que miden 115 y Ep y 40,que miden 40.

2 a) Son iguales.b) Son paralelas si son ángulos iguales, y perpen-

diculares si son suplementarios.

3 Las doce menos veinte, las seis y diez, las seis me-nos veinte, las dos, las dos y media, las ocho o lasocho y media.

4 10,05 cm

5 180

6

El de lados perpendiculares mide igual que Ap.

7 2 cm

8 7,33 m

9 60


Formas geométricas



^A

^B

^C



1 En la siguiente figura hay ángulos opuestos por el vértice y ángulos de lados paralelos. Indica cuáles son y cuántomiden.

2 Mediante un dibujo, estudia cómo son las bisectrices de:

a) Dos ángulos opuestos por el vértice. b) Dos ángulos de lados paralelos.

3 ¿Qué hora tendrá un reloj cuando el ángulo formado par las manecillas tenga los lados paralelos al formado cuandoson las doce y diez?

4 La siguiente circunferencia tiene 8 centímetros de radio y se ha dividido en partes iguales. Calcula la longitud delarco que abarca el ángulo Ap.

5 ¿Cuánto debe medir un ángulo inscrito para que la longitud del arco que abarca coincida con la longitud de la cir-cunferencia?

6 Construye un ángulo Bp de lados paralelos a Ap y que sea suplementario a él, y otro Cp de lados perpendiculares. ¿Quérelación tiene este último con Ap?

7 Una circunferencia tiene 9,42 centímetros de longitud, y otra, 7 centímetros de diámetro. ¿A qué distancia debenestar sus centros para que sean tangentes interiores?

8 En algunas construcciones aparecen arcos como el de la figura.

Calcula la longitud del arco en el caso de que la circunferencia tenga un radio de 2 metros.

9 El sector circular tiene de 22 centímetros de diámetro. Calcula el ángulo Ap.


Formas geométricas


115°40° 25°

Â

^C ^

H

Ê

^G

Â

Â

150°

Â


56

AMPLIACIÓN 12Los alumnos manejan los conceptos y elementos de los polígonos, así como la descomposición de estos en trián-gulos consecutivos cuyos vértices coinciden con los del polígono. Por tanto, deben ser capaces de obtener la sumade los ángulos interiores de un polígono sin realizar dicha descomposición. También tienen que manejar con solturalos criterios de igualdad de triángulos para estudiar si dos triángulos son iguales y utilizar las propiedades de lasrectas y puntos notables del triángulo para resolver problemas geométricos.

• Utilizar los elementos de los polígonos para intentar buscar otras características comunes a ellos.

• Siempre que sea posible, trabajar con el entorno para plantear y resolver ejercicios en los que intervengan losconceptos de la unidad.

• Proponer actividades de utilización de los criterios de igualdad en las que los triángulos tengan posiciones diferentes.

• Hacer un dibujo aproximado con los datos del problema y lo que se pretende calcular.

• Aplicar las propiedades de las rectas y puntos notables del triángulo para resolver problemas geométricos.


La recta de Euler

Es un trabajo de investigación que debe ser orientado para que construyan la recta de Euler, estudien sus propie-dades y traten de resolver alguna otra cuestión relacionada con todos los puntos notables.

1. Dibujar un triángulo escaleno cualquiera y señalar en él todos los puntos notables del triángulo. Conviene quecada grupo ponga las medidas que quiera y que no coincidan para que más tarde comprueben que el ortocen-tro, O; baricentro, B, y circuncentro, C, siempre están alineados.

2. Trazar la recta que pasa por el circuncentro y el baricentro. ¿Pasa por algún otro punto notable?

3. Medir la distancia desde el baricentro a cada uno de los otros dos puntos y calcular la razón �GB

OC�.

4. Exponer las soluciones que han obtenido todos los grupos y observar que todas son iguales.

5. Dar el nombre de la recta o proponerles que investiguen el nombre dándoles las pistas oportunas para que en-cuentren al matemático descubridor de la misma.

Se puede ampliar pidiéndoles que investiguen en qué tipo de triángulo el incentro es un punto de la recta de Euler.


1 Los dos tienen las diagonales perpendiculares.

2 Hay 6 trapecios rectángulos y uno isósceles, el de laforma de la bandera.

3 El dodecágono. Sus ángulos suman 1800.

4

5 Como es regular, cada ángulo agudo mide 60, y cadaángulo obtuso, 240.

6 T1 y T2 son iguales por tener iguales los lados y elángulo comprendido entre ellos

7 Al dibujar los segmentos que unen los puntos dos ados, se obtiene un triángulo. La circunferencia cir-cunscrita pasa por los tres puntos, A, B y C.

8 a) En el circuncentro, que es el punto que está a lamisma distancia de los tres.

b) El pozo estará a unos 357 m de cada casa.


Figuras planas



4 cm

5 cm

6 cm56°

83° 41°

A

C B

6 cm

4 cm 5 cm

56°83°

41°D E

F



1 Observa estos dos cuadriláteros y di qué tienen en común.

2 ¿Cuántos trapecios hay en la siguiente figura y de qué tipo son?

3 ¿Qué polígono se puede descomponer en 10 triángulos? ¿Cuánto suman sus ángulos interiores?

4 Los triángulos ABC y DEF son iguales. Completa las medidas de lados y ángulos que faltan en cada uno de ellos.

5 En el polígono de la figura, todos los lados son iguales. Calcula cuánto mide cada uno de sus ángulos.

6 En un pentágono se han dibujado dos de sus diagonales, d y D, como se ve en la figura. Demuestra que son iguales.

7 Explica cómo se puede trazar una circunferencia que pase por los puntos A, B y C.

8 Los vecinos quieren excavar un pozo de tal forma que todos recorran la misma distancia para ir a por agua.

a) ¿En qué punto deben situarlo?

b) ¿A qué distancia del pozo se encuentra cada una de sus casas?


Figuras planas


4 cm

5 cm

6 cm

41°

56°A

C B

D E

F

DdT1 T5

AB

C

A

BC

400 m700 m

500 m



AMPLIACIÓN 13Como estos alumnos utilizan correctamente el teorema de Pitágoras, lo que deben conseguir es aplicarlo a la reso-lución de actividades y problemas en los que sea necesario calcular una distancia como paso intermedio para obte-ner la solución. Y puesto que también conocen y aplican las fórmulas del cálculo de áreas de figuras planas, han deavanzar en este sentido y ser capaces de obtener el área de figuras circulares y de otras que son el resultado de lacomposición y descomposición de figuras más sencillas.• Mostrar el teorema de Pitágoras como un método para calcular medidas indirectas necesarias en la resolución

de problemas.• Proponer problemas relacionados con la vida cotidiana insistiendo en que hagan un esbozo de la situación y anoten

los elementos conocidos y desconocidos, así como las fórmulas que los relacionan.• Animarles en la búsqueda de distintas formas de descomposición de una figura para calcular su área.• Utilizar el arte y la naturaleza como elementos geométricos susceptibles de ser medidos.• Realizar alguna actividad fuera del aula, como, por ejemplo, un paseo por los alrededores del centro escolar, para

buscar la geometría en la calle.


Logotipos

Se trata de que los alumnos observen cómo las Matemáticas están en cualquier rincón. En este caso estudiaremosla Geometría a nuestro alrededor. Se propone a los alumnos que busquen en la prensa algunos de los logotiposde las marcas de coches para estudiar su diseño geométrico.• Organizamos a los alumnos en grupos de tres o cuatro personas.• Cada grupo debe tener varios logotipos. Si no han encontrado ninguno, se lo podemos facilitar nosotros.• Deben descomponer los logotipos en figuras planas más sencillas y clasificarlas; después deben calcular las di-

mensiones de sus lados para seguidamente proponerles calcular el perímetro y el área de cada uno de ellos.• En el último logotipo aparecen tres sectores circulares iguales. ¿Cuál es el área de cada uno de ellos?

Se puede complicar el ejercicio si les pedimos que nos digan si algún logotipo se ha conseguido por medio de si-metrías o giros de alguna misma figura. Además se les puede animar a que diseñen su propio logotipo utilizandofiguras planas.


1 El lado del rombo mide 15 cm. Su perímetro, 60 cm.

2 a) A Triángulo � 240 cm2 b) ACírculo � 127,41 cm2

3 AHexágono � 41,52 cm2

ACuadrado � 72 cm2

La baldosa cuadrada ocupa mayor superficie.

4 a) ARectángulo � 48 cm2

b) A Trapecio � 36 cm2

5 El radio debe tener 4,56 cm aproximadamente.

6 En el CD, 445,10 cm2, y en el mini-disc, 193,90 cm2

de material.

7 a) A � 540 cm2 b) A � 34,32 cm2

8 A suelo � 2,25 m2; Aducha � 0,5762 m2

Quedan libres 1,68 m2 aproximadamente.

9 a) A � 1157 m2 b) A � 1587 m2


Longitudes y áreas



NISSAN



1 Halla el perímetro de un rombo cuyas diagonales miden 24 y 18 centímetros.

2 Calcula el área de:

a) Un triángulo isósceles sabiendo que sus lados iguales miden 26 centímetros, y el lado desigual, 20 centímetros.

b) Un círculo circunscrito en un cuadrado de 9 centímetros de lado.

3 La forma de una baldosa es un hexágono regular de 4 centímetros de lado, y la de otra, un cuadrado de 12 centí-metros de diagonal. ¿Cuál de las dos ocupa mayor superficie?

4 Calcula el área de las siguientes figuras:

a) b)

5 Por la dificultad de esta actividad, podrían organizarse en parejas.

En un círculo de 5 centímetros de radio se dibuja un sector circular cuyo ángulo central es de 60.

¿Con qué radio habría que dibujar una circunferencia concéntrica con la anterior para que la corona circular que de-terminen tenga el mismo área que el sector circular anterior?

6 Observa el CD y el mini-disc de la figura y calcula la cantidad de material que se emplea en su elaboración.

a) b)

7 Calcula el área de las siguientes figuras mediante descomposición en otras más sencillas.

a) b)

8 El suelo de un baño tiene forma cuadrada de 1,50 metros de lado. Se va a instalar una ducha con forma de sectorcircular de 85 centímetros de radio y cuyo ángulo central es de 90º. ¿Qué superficie del baño queda libre paracolocar el resto de los sanitarios?

9 La planta de las catedrales góticas presenta distintas formas. Calcula la medida de la superficie que ocupan cadauna de las siguientes.

a) b)


Longitudes y áreas


10 cm

6 cm

12 cm

6 cm

5 cm

15 mm

12 cm 8 cm

15 mm

18 cm

15 cm 4 cm

9 cm

20 m

22 m 12 m

8 m

10 m

7 m7 m

15 m

37 m

13 m

10 m

7 m

7 m7 m

16 m5 m

5 m



AMPLIACIÓN 14Estos alumnos han adquirido los conocimientos básicos de la geometría del espacio, por ello deben orientar estosconocimientos en la utilización de las fórmulas del volumen para fines distintos al de su propio cálculo, en la ob-tención del volumen de figuras que resultan de la composición de las formas básicas y en la resolución de proble-mas en los que el cálculo del volumen sea un paso intermedio para conseguir otros objetivos como son:

• Calcular volúmenes de figuras obteniendo previamente alguno de los elementos de la fórmula.

• Utilizar la fórmula del volumen para calcular alguna de las dimensiones de un cuerpo geométrico.

• Resolver problemas relacionados con la vida cotidiana insistiendo en que hagan un dibujo aproximado, anotandolos elementos conocidos y los desconocidos, y las fórmulas que los relacionan.

• Obtener el volumen de una figura que resulta de la composición de otras más sencillas.

• Resolver problemas en los que las fórmulas del volumen se utilicen con una finalidad distinta a la del cálculo delmismo.


Distinta dimensión, igual volumen

Utilizando los diseños de los envases se propone a los alumnos una actividad que consiste en buscar cómo cambiael volumen de los mismos al modificar alguna de sus dimensiones. Para ello se organizarán en grupos de tres, cadauno de los cuales debe llevar a clase un envase con una forma geométrica conocida: ortoedro, cubo, cilindro…

En el aula:

• Empezarán por hacer un dibujo de cada uno de los envases anotando las medidas reales del mismo.

• Después deben hallar el volumen de cada figura.

• Pedirles que modifiquen las dimensiones aumentando una y disminuyendo las otras en la misma cantidad. Porejemplo, si se trata de un cilindro, disminuir la altura en una unidad y aumentar el radio en una unidad. Tam-bién deben considerar el caso contrario, aumentar en una unidad la altura y disminuir en una unidad el radio.

• Calcularán el volumen de las nuevas figuras, las compararán con la original y escribirán las conclusiones obtenidas.

• Por último, deben buscar otro envase con igual forma y volumen, pero con dimensiones diferentes de las del quetienen.

También se les puede proponer que comparen las medidas de volumen de los envases y que traten de encontrarlas dimensiones que debería tener cada uno de ellos para que todos ocuparan el mismo espacio.


1 7 cm

2 a) 5,03 dm

b) 2,90 dm

c) Vesfera � Vcubo � 81,41 dm3 quedan sin ocupar.

3 7,16 cm

4 a) La apotema del hexágono mide 4,33 cm. Su vo-lumen, 584,55 cm3.

b) La altura del cono es de 10,43 cm.

Su volumen, 133,80 cm3.

5 La altura mide 29,93 cm.

El volumen, 3.390,67 cm3

6 Vprisma � Vcilindro � 171,73 cm3 de madera tiene la pieza.

7 Se necesitan aproximadamente 4 enciclopedias com-pletas y media más y 112,5 volúmenes.

8 10080 m3

9 1437,75 cm3

10 a) La de Keops mide 146,44 m de altura y 230,12 mde lado de la base.

b) V � 7754761,60 m3 � 7754761,60 T de tierra

�VV

p

c

i

a

rá

m

m

ió

id

n

e� � 2154100,44 camiones


Cuerpos geométricos.Volúmenes





1 El volumen de un cubo es de 343 metros cúbicos. ¿Cuánto mide su lado?

2 a) ¿Cuál debe ser el radio de una esfera para que tenga una capacidad de 105,80 litros?

b) ¿Y el lado del cubo más grande que se puede poner dentro de ella?

c) ¿Qué espacio queda sin ocupar entre la esfera y el cubo?

3 Calcula la altura de un cilindro de 1,8 decímetros de diámetro sabiendo que su volumen es de 1781,28 centímetroscúbicos.

4 Halla el volumen de las siguientes figuras:

a) b)

5 Calcula el volumen de una pirámide cuadrangular sabiendo que el lado de la base mide 2 decímetros, y la apotemade la pirámide, 36 centímetros.

6 Los soportes de unas estanterías se sujetan al techo y al suelo mediante unas piezas de madera con forma de pris-ma cuadrangular de 10 centímetros de altura y 4 de lado de la base. En el centro del mismo hay un hueco de formacilíndrica de 9 centímetros de altura y 2 de diámetro.

¿Qué cantidad de madera se necesita para hacer el soporte?

7 Una enciclopedia está formada por 25 volúmenes de 20 � 28,50 � 3,5 centímetros cada uno. ¿Cuántas enciclope-dias se necesitarían para llenar una caja de 2 � 1,5 � 3 decímetros? ¿Cuántos volúmenes?

8 La figura siguiente representa la capilla de un castillo. Calcula el volumen que ocupa.

9 De un queso se ha cortado una cuña como se muestra en la figura. Calcula el volumen del trozo que ha quedado.

10 Trabajo de investigación.

a) Busca las dimensiones de alguna de las pirámides de Egipto.

b) Halla las toneladas de tierra que se necesitarían para construir una igual, pero maciza.

Si se transportara la tierra en camiones con un remolque de 3 metros de largo, 1,5 de ancho y 0,8 de alto, ¿cuán-tos se necesitarían para construirla?


Cuerpos geométricos.Volúmenes


9 cm

5 cm

11 cm

7 cm

h

15 m

32 m18 m

20 m

7 cm

10,5 cm

50°


Notas

62ESFERA Matemáticas 1.o ESO Atención a la diversidad



Notas



eso_1º - act. de ampliacion matematicas (esfera)

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