ESFUERZO DE ORIGEN TRMICO

CALOR

Ms. JOEL HERRADDA VILLANUEVA

L=L0 T

ESFUERZO DE ORIGEN TRMICO

CALOR

Lo

L

L

*

se denomina Coeficiente de dilatacin trmica y es caracterstica de cada material; sus valores estn tabulados y se expresan en unidades 1/C.

En el caso mas simple, se tiene una barra de longitud Lo:

Lo

Lo dilata una cantidad L cuando la temperatura de Lo se incrementa.

Lo L

L

L=Lo+L =L/Lo=(L-Lo)/Lo es positivo

Lo contrae una cantidad L cuando la temperatura disminuye

L L

Lo

L=Lo-L =L/Lo=( L-Lo )/Lo es negativo

La experiencia ha demostrado que si incrementamos la temperatura de un cuerpo ste se dilata ( aumenta sus dimensiones) y si se decrementa la temperatura ste se contrae (reduce sus dimensiones); este fenmeno es reversible, es decir, cuando el cuerpo vuelve a la temperatura inicial, recupera las dimensiones que tena inicialmente.

Fcilmente se comprende que en un cuerpo en cuyo interior exista un gradiente de temperaturas, las dilataciones de las superficies que se encuentren en un instante determinado a mayor temperatura sern superiores a las de temperaturas ms bajas, y esta dilatacin relativa de unas superficies respecto de otras, sern causa de un estado de tensiones que en algunos casos (como ocurre en las turbinas de vapor y motores Diesel) puede ser de extraordinaria importancia su conocimiento.

Consideraremos en primer lugar, el caso en que el gradiente de temperaturas es nulo, es decir, cuando en todo el material la diferencia temperaturas es nula, esto es, cuando en todo el material la temperatura es uniforme.

Experimentalmente se ha obtenido que la variacin de la longitud con la temperatura es una funcin lineal, por lo que los alargamientos sern directamente proporcionales a los incrementos de temperatura.

= o (1 + a T)

o bien

l = a o T

La constante de proporcionalidad es una caracterstica fsica del material y se llama coeficiente de dilatacin trmica lineal. Los valores que toma este coeficiente para los materiales ms usuales en construccin se reflejan en la tabla que se muestra en la siguiente diapositiva.

En consecuencia, el cambio unitario en la longitud de la barra debido a la variacin de temperatura, T, ser:

Es evidente que si la barra sometida a un cambio de temperatura es libre, no aparecer tensin alguna, ya que no existe ninguna fuerza sobre la misma. En cambio, si la barra como frecuentemente ocurre en la prctica, est impedida de alargarse, o de acortarse, el fenmeno es equivalente a una compresin o a una tensin, cuyo acortamiento sea igual a la deformacin por efecto trmico.

Por la ley de Hooke, en la barra se crear una tensin normal (esfuerzo normal) dada por la ecuacin

s = E e = E a T

El signo + se usa cuando se trata de enfriamiento

El signo se usa cuando se trata de calentamiento

En la construccin y en el diseo de miembros de un mecanismo o de elementos estructurales, es necesario tener en cuenta las deformaciones trmicas, sobre todo cuando se emplean distintos materiales en dicho proceso.

Algunas veces, los valores del coeficiente de dilatacin trmica son casi iguales, entonces se favorece su uso conjunto, como ocurre con el hormign y el acero cuando se utilizan ambos en el concreto armado.

Es conveniente utilizar el siguiente procedimiento para determinar las tensiones trmicas cuando se impiden las dilataciones:Se calcula la dilatacin, como si sta fuera libre.Se aplica la fuerza de traccin o compresin monoaxial para que la pieza ocupe la posicin a la que est obligada por las ligaduras impuestas.Se hace un esquema grfico de los dos apartados anteriores y se deducir de l la relacin o relaciones geomtricas entre las deformaciones debidas a las variaciones trmicas y las fuerzas de traccin o compresin aplicadas.

Ejemplos:

La viga rgida indeformable articulada en el punto O est colgada de dos tirantes elsticos iguales. Determinar los esfuerzos en los tirantes al calentarlos T oC.

Cortamos los tirantes e introducimos las fuerzas N1 y N2 [figura (b)]. Igualando a cero la suma de los momentos de las fuerzas respecto a la articulacin O, hallaremos

N1 a + 2 N2 a = 0

Supongamos ahora que, como resultado del calentamiento de los tirantes, la viga rgida gira alrededor del punto O y ocupa la posicin AB [figura (b)]. De la semejanza de los tringulos OAA y =OBB, hallaremos

2 = 2 1

O, de acuerdo con la ecuacin que nos da el alargamiento de una barra homognea, solicitada en sus extremos y calentada uniformemente:

Es decir,

N2 2 N1 = E S T

Resolviendo esta ecuacin simultneamente con la de equilibrio, obtendremos,El signo negativo de N1 indica que la primera barra no trabaja a traccin como se supuso anteriormente, sino a compresin (la barra izquierda dilata menos que la de la derecha).

Se trata de un problema hiperesttico por lo que es conveniente suponer que el extremo superior se encuentra libre. El DSL ser como el de la figura. En esta condicin la viga puede deformarse libremente, entonces:

Esta sera la contraccin que sufrira la viga por efecto trmico estando su extremo libre.

Calcularemos entonces la fuerza que sera necesaria para colocar el extremos superior de la viga en su posicin original.

De la relacin:

Por lo tanto la tensin (esfuerzo) que se desarrolla en la viga por efecto trmico es:

Entonces:

Solucin:

El cambio de longitud (acortamiento) por efecto trmico si consideramos un extremo libre ser:

La deformacin axial unitaria es:

Luego, el esfuerzo que se desarrolla en la barra es:

Probablemente despus de una ligera deformacin, la barra se rompa, antes de que la temperatura alcance los 20 C.

De la relacin:

Obtenemos,

Solucin:

El aumento de temperatura necesario para que el extremo A de la barra alcance la pared rgida se determina de la expresin correspondiente a la deformacin por efecto trmico

El incremento de temperatura que exceda los 5,26 C originar esfuerzo de origen trmico en el interior de la barra.

Este incremento de temperatura es:

El esfuerzo que se genera en el interior de la barra por efecto de este incremento de temperatura es:

Solucin:

Podemos determinar la fuerza cortante en el tornillo vertical y en base a l se pueden realizar clculos para la varilla de acero.

rea del tornillo:

Entonces la fuerza cortante en el tornillo es:

La fuerza en la varilla ser:

El esfuerzo en la varilla es:

El aumento de temperatura que genere este esfuerzo se puede calcular utilizando la relacin:

As:

La barra AC representada en la figura es totalmente rgida, est articulada en A y unida a las barras BD y CE. El peso de AC es 5 000 kg y el de las otras dos barras es despreciable. Si la temperatura de las barras BD y CE aumenta 40 C. Hallar los esfuerzos producidos en esas barras. BD es de cobre para el cual E = 1,05 x 106 kg/cm2 , = 17,7 x 10-6 / C y la seccin 12 cm2 , mientras que CE es de acero para el cual E = 2,1 x 106 kg/cm2, = 11 x 10-6 / C y la seccin 6 cm2 , despreciar la posibilidad de pandeo lateral en las barras

EJEMPLO:

El diagrama de slido libre de la barra ABC se muestra en el grfico siguiente:

Del equilibrio del sistema podemos obtener las siguientes ecuaciones:

Como se aprecia el problema es hiperesttico, por lo que requerimos suplementar las ecuaciones del equilibrio con ecuaciones de deformacin de los componentes del sistema en estudio.

----(1)

Las barras BD y CE se deforman por accin mecnica y efecto trmico, entonces la barra ABC adoptar una posicin inclinada como se muestra en el esquema

De este esquema se obtiene:

La deformacin cuando es originada por accin mecnica y por efecto trmico se expresa de la forma siguiente:

-------- (2)

De la ecuacin (2) con los datos del problema se tiene:

De donde: 7,1429 CE-4,2857 BD = 87 840 ----------(3)

Considerando la ecuacin (1) tenemos:

7,1429 CE 14,2857(5 000 kg 2 CE) = 87840de donde:

CE = 4 459,52 kg y BD = - 3 919,04 kgentonces los esfuerzos sern:

T

l

l

l

l

l

D

=

-

=

D

=

a

e

0

0

0

T

S

E

P

D

a

+

=

D

l

l

l

D

+

=

D

+

T

S

E

N

T

S

E

N

a

a

l

l

l

l

1

2

2

T

S

E

5

1

N

y

T

S

E

5

2

N

2

1

D

a

=

D

a

-

=

m

x

C

m

C

x

T

L

L

4

6

10

34

,

2

)

15

5

)(

1

)(

/

10

4

,

23

(

-

-

-

=

-

=

D

=

D

a

L

E

A

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F

.

.

D

=

kg

m

cm

kg

x

cm

m

x

F

2

,

655

1

)

/

10

8

,

2

)(

10

)(

10

34

,

2

(

2

5

2

4

=

=

-

2

10

2

,

655

cm

kg

A

F

=

=

s

2

/

52

,

65

cm

kg

=

s

T

L

L

D

=

D

a

mm

C

mm

C

x

L

1

,

62

)

200

20

)(

300

)(

/

10

5

,

11

(

4

-

=

-

=

D

-

207

,

0

300

1

,

62

=

=

D

=

mm

mm

L

L

e

)

/

10

1

,

2

(

207

,

0

2

5

mm

N

x

E

=

=

e

s

2

/

43470

mm

N

=

s

T

L

L

D

=

D

a

C

mm

C

x

mm

L

L

T

26

,

5

)

200

)(

/

10

19

(

2

,

0

6

=

=

D

=

D

-

a

C

C

C

T

74

,

44

26

,

5

50

=

-

=

D

T

E

E

D

=

=

a

e

s

GPa

C

C

x

GPa

0935

,

0

)

74

,

44

)(

/

10

19

)(

110

(

6

=

=

-

s

MPa

5

,

93

=

s

2

5

2

10

854

,

7

4

)

01

,

0

(

4

m

x

m

D

A

=

=

=

p

p

N

m

x

Pa

x

A

F

8

,

9424

)

10

854

,

7

)(

2

)(

10

60

(

)

2

(

2

5

6

=

=

=

-

t

N

F

P

8

,

9424

=

=

Mpa

Pa

x

m

x

N

A

P

120

10

2

,

1

10

854

,

7

8

,

9424

8

2

5

=

=

=

=

-

s

T

E

D

=

a

s

C

C

x

Pa

x

Pa

x

E

T

50

)

/

10

12

)(

10

200

(

10

2

,

1

6

9

8

=

=

=

D

-

a

s

C

T

50

=

D

0

0

=

=

x

x

A

F

kg

CE

BD

A

F

y

y

5000

0

=

+

+

=

)

120

(

5000

)

240

(

)

120

(

0

=

+

=

CE

BD

M

A

kg

CE

BD

5000

2

=

+

BD

CE

CE

BD

cm

D

=

D

D

=

D

2

240

120

T

A

E

P

D

+

=

D

a

l

l

l

+

=

+

-

-

)

40

)(

/

10

7

,

17

(

90

)

12

(

/

10

05

,

1

)

90

(

2

)

40

)(

/

10

11

(

90

)

6

(

/

10

1

,

2

)

90

(

6

2

2

6

6

2

2

6

C

C

x

cm

cm

cm

kg

x

cm

BD

C

C

x

cm

cm

cm

kg

x

cm

CE

2

6

52

,

4459

cm

kg

CE

=

s

2

/

25

,

743

cm

kg

CE

=

s

2

12

04

,

3919

cm

kg

BD

-

=

s

2

/

59

,

326

cm

kg

BD

-

=

s