[1] Demostrando área mínima de la esfera

Demostrando que la esfera es un área mínima By Héctor L. Cervantes C.

Abstract.- Se utiliza coordenadas polares para la ecuación de una línea en el plano para su rotación y se escoge el funcional de área que genera la superficie de revolución también en coordenadas polares así como el funcional de longitud en polares para demostrar que el medio círculo produce un máximo de área con un mínimo de perímetro. Se emplean desigualdades para dos variables, de manera muy sencilla y evidente se explica por qué el análisis matemático de Euler excluye a la esfera y solamente se obtiene el catenoide que es una superficie abierta y no cerrada como lo es la esfera que les gana a todas las superficies de revolución.

Introducción.- Mucho se ha tratado de mostrar que la esfera tiene un área minimal utilizando argumentos muy ingeniosos, pero se intenta dar una explicación académica en esta ocasión.

No se puede demostrar dicha propiedad utilizando coordenadas cartesianas.

CURVA CON PERÍMETRO EXTREMO

Cristo la fórmula diferencial para obtener el perímetro en coordenadas polares es:

𝐿 = ∫ √𝑟2 + (𝑑𝑟

𝑑𝜃)

2

𝑑𝜃𝜋

0

Cristo entonces el funcional de longitud es 𝐹 = √𝑟2 + (𝑑𝑟𝑑𝜃

)2 dentro del radical

observamos que hay dos términos que eliminando uno hacemos que el radical sea

mínimo, esto es: 𝑟2 + (𝑑𝑟

𝑑𝜃)

2> 𝑟2 pero también 𝑟2 + (

𝑑𝑟

𝑑𝜃)

2> (

𝑑𝑟

𝑑𝜃)

2

𝑟2 + (𝑑𝑟

𝑑𝜃)

2

> 𝑟2 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 (𝑑𝑟

𝑑𝜃)

2

= 0

𝑟2 + (𝑑𝑟

𝑑𝜃)

2

> (𝑑𝑟

𝑑𝜃)

2

𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑟2 = 0

La primera desigualdad dice que el radio se mantiene constante en toda la curva, lo que instantáneamente produce un círculo. primera evidencia

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La segunda desigualdad solamente genera un punto y es desechada.

∴ 𝑟(𝜃) = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 para un extremal de perímetro (conclusión L)

El perímetro del semi-circulo produce en extremal

Funcional modificada para producir un perímetro extremal 𝐹1 = 𝑟

SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN CON MINIMA ÁREA

La fórmula diferencial para el área de revolución en coordenadas polares es:

𝑠 = 2𝜋 ∫ 𝑑𝑙 ∙ 𝑟(𝜃)𝑏=𝜋

𝑎=0

∙ sin 𝜃 𝑑𝜃

Cristo aquí el funcional 𝐹2 = 𝑑𝑙 𝑟(𝜃) sin 𝜃 es para un área de superficie de revolución

como 𝑑𝑙 = √𝑟2 + (𝑑𝑟

𝑑𝜃)

2 entonces

𝐹2 = 𝑑𝑙 𝑟(𝜃) sin 𝜃 (𝜃) = 𝒓(𝜽) 𝐬𝐢𝐧 𝜽 √𝒓𝟐 + (𝒅𝒓

𝒅𝜽)

𝟐> 𝒓 𝐬𝐢𝐧 𝜽 √𝒓𝟐

Cristo esta última desigualdad para el funcional de superficie de revolución solo ocurre

cuando 𝑑𝑟

𝑑𝜃= 0 es decir para r=constante=a; donde a es el radio de la esfera.

Funcional modificado para el área extremal de revolución de la esfera:

𝑭𝟑 = 𝒂𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝜽

y entonces su integral de superficie es 𝒔 = 𝟐𝝅𝒂𝟐(− 𝐜𝐨𝐬 𝜽)𝜋0

Cristo para demostrar que la superficie 𝒔 así obtenida es una superficie mínima se debe de deribar

doblemente de acuerdo a la variación de su funcional modificado, 𝑭𝟑 = 𝒂𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝜽 es decir que

𝜕2𝑆

𝜕𝐹32 > 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒

La variabilidad del funcional 𝑭𝟑 depende de θ, pero si analizamos si es un mínimo ó máximo derivando dos veces respecto de θ , obtendremos una ambigüedad de signos en la fluctuación del

coseno en el tramo de integración de 0 → 𝜋, ya que 𝒔 siempre representara en cada punto una

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integral definida en todo su tramo de integración original. Con la ambigüedad de signos anteriormente mencionada impide una conclusión clara del resultado del resultado de análisis al respecto

𝝏𝟐𝑺

𝝏𝑭𝟑𝟐 = ±?

Para evitar la ambigüedad (1) se derivará dos veces respecto del 𝐬𝐢𝐧 𝜽 esto no afecta el resultado del análisis, y si evita la ambigüedad de signos generada por el coseno, a lo largo del tramo de integración. La función seno es siempre positiva en el tramo 𝟎 → 𝝅

𝑑𝑆

𝑑(sin 𝜃)=

𝑑

𝑑(sin 𝜃){𝟐𝝅𝒂𝟐(− 𝐜𝐨𝐬 𝜽)} = −𝟐𝝅𝒂𝟐

𝑑

𝑑(sin 𝜃){√1 − 𝑠𝑖𝑛2𝜃}

Ya que √1 − 𝑠𝑖𝑛2𝜃 = cos 𝜃

𝑑𝑆

𝑑(sin 𝜃)= −{(− sin 𝜃)(1 − 𝑠𝑖𝑛2𝜃)−1/2} = (sin 𝜃)(1 − 𝑠𝑖𝑛2𝜃)−1/2

𝑑2𝑆

𝑑(sin 𝜃)2 = (1 − 𝑠𝑖𝑛2𝜃)−1/2 − (sin 𝜃)(− sin 𝜃)(1 − 𝑠𝑖𝑛2𝜃)−3/2

Finalmente:

𝒅𝟐𝑺

𝒅(𝐬𝐢𝐧 𝜽)𝟐 = (𝟏 − 𝒔𝒊𝒏𝟐𝜽)−𝟏/𝟐 + (𝐬𝐢𝐧 𝜽)𝟐(𝟏 − 𝒔𝒊𝒏𝟐𝜽)−𝟑/𝟐 > 𝟎

Se trata entonces de la superficie de la esfera es un área mínima que además de ser cerrada, supera a todas las demás áreas minimales encontradas con la ecuación de Euler para dos variables

(𝐜𝐨𝐧𝐜𝐥𝐮𝐬𝐢ó𝐧 𝐒)

La conclusión S aclara que el extremal encontrado para la funcional modificada de la longitud (que es el semi-círculo), se trata de un perímetro mínimo ya que genera una superficie de revolución minimal que es la esfera. El semi-círculo tiene un área debajo de él que es máxima es decir la esfera encierra un volumen máximo con un mínimo de superficie envolvente.

(1)

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