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ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS AERONÁUTICOS

Mecánica de Fluidos I Examen 13—2—03

A través de una tobera convergente-divergente de área mínima Am y área de salida As se descargaal ambiente (presión pa) el aire de un depósito cuya temperatura y presión son Td y pd, constantes yconocidas. El aire se comporta como un gas ideal con γ = 1.4 en la descarga a través de la tobera.Se pide calcular:

1.- Valor de la relación de áreas Am/As, sabiendo que el máximo valor que el número de Mach puedetomar en la sección de salida es 2. Supongan que esta relación de áreas se mantiene para todos losapartados siguientes.

2.- Valor mínimo del cociente pd/pa para que la tobera esté bloqueada. Determinar el número deMach en la sección de salida en estas condiciones.

3.- Valor de pd/pa para que la tobera esté adaptada. Valor del número de Mach en la sección desalida.

4.- Valor de pd/pa para que haya una onda de choque normal en la sección de salida.

5.- Describir lo que ocurre, de acuerdo con la teoría de fluidos ideales, cuando el cociente pd/paaumenta desde el valor calculado en el apartado 2 al valor calculado en el apartado 4. ¿Para quévalor de pd/pa habrá una onda de choque normal en la sección de área (Am +As) /2 de la partedivergente de la tobera?

6.- Gasto a través de la tobera en los apartados 2, 3, 4 y 5.

ezequiel

Cuadro de texto

(No hacer lo referente a los apartados 4 y 5)

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID


Mecánica de Fluidos Examen final 19/09/2000

Mediante un compresor ideal de potencia W se toma aire del ambiente (presión pa ytemperatura Ta) y se introduce en un depósito aislado térmicamente, que a su vez sedescarga al ambiente a través de una tobera convergente-divergente de área mínima AM

y área de salida AS (AS/AM = 2). Una vez que se ha alcanzado el régimen estacionario,se pide:

1.- Valor mínimo de la potencia W = W ∗ para que la tobera esté bloqueada.

2.-Den las expresiones que determinan la potenciaW ≥W ∗, la temperatura en el depósitoTd y el gasto G a través de la tobera en función de la presión en el depósito pd (1).

3.- Valor de la potencia W del compresor para que en AS se tenga una onda de choquenormal.

1Se recomienda determinar las magnitudes adimensionales Td/Ta, G√

ha/paAM y W/pa

√haAM en

función de pd/pa, donde ha es la entalpía ambiente.

1

ezequiel

Cuadro de texto

(Apartado 3: la onda de choque en la sección de salida produce una elevación de la presión estática que vale Pdetrás de la onda / Pdelante de la onda ≈ 5.45 y deja al aire detrás en régimen subsónico)



Apellidos:................................................................ Nombre:......................D.N.I.:.............

Mecánica de Fluidos I Examen 07�02�2012

(ATENCIÓN: RELLENE LA PARTE DE ATRÁS Y ENTREGUE ESTA HOJA JUNTO

CON EL RESTO DEL EJERCICIO)

La �gura representa una tobera acoplada a un tubo por el que circula aire en condiciones ideales (g

= 1.4), con presión y densidad de remanso p0 y r0, cuyas áreas mínima Am, entrada Ae, y salida

As, cumplen Am/Ae = 0.4162 y Am/As = 0.6535. El conjunto funciona en régimen estacionario, en

ausencia de fuerzas másicas y está inmerso en una atmósfera a presión pa que supondremos en reposo,

excepto el chorro que sale de la tobera. Se pide:

1.- Fuerza adimensional según el eje X, Fx/(p0 ·Am), que el �ujo interior y el aire exterior ejercen sobre

la pared comprendida entre las secciones e y s en función del gasto G en la tobera, presión de remanso

p0, velocidades del aire en las secciones de entrada y salida ue y us, presiones en dichas secciones pe y

ps, presión atmosférica pa y áreas de la tobera Am, Ae, y As.

2.- Gasto adimensional G/(√γ · ρ0 · p0 ·Am

)en función de γ y el Mach en la sección m, Mm.

3.- Obtengan pa/p0 para bloqueo sónico, onda de choque normal en la sección de salida y adapta-

ción. Calculen los números de Mach en las secciones e, m y s. Calculen la velocidad adimensional

u/√γ · p0/ρ0 y las presiones p/p0 en las secciones e y s. Calculen el gasto.

4.- Para la condición pa/p0 = 0,95, calculen lo mismo que en el apartado 3.

5.- Calculen la fuerza adimensional del apartado 1 para las cuatro condiciones enunciadas en los

apartados 3 y 4.

6.- ¾Cómo se modi�ca el valor de la fuerza calculada en el apartado 5 si la distancia L0 fuera el doble?.

En el caso de onda de choque normal en la sección de salida, y considerando la expresión del apartado

1, ¾qué diferencia hay entre considerar la onda de choque dentro o fuera del volumen de control?.

ezequiel

Cuadro de texto

(No hacer los apartados referentes a la onda de choque)

ezequiel

Cuadro de texto

(Apartado 2: cuando aparece la onda de choque normal en la sección de salida, ésta produce una elevación de la presión estática que vale Pdetrás de la onda / Pdelante de la onda ≈ 8.03 y deja al aire detrás en régimen subsónico. Como consecuencia, la relación Pdepósito / Patmosférica ≈ 0.372)




Un depósito aislado térmicamente., de área transversal A y altura H, está inicialmente lleno deaire a la presión ambiente pa y a la temperatura ambiente Ta. En la parte superior del depósitohay una tobera convergente de área mínima Am ¿ A. La tobera tiene un diafragma que nopermite el paso de aire. El diafragma se rompe cuando la presión interior es 3 γpa.

Por la parte inferior del depósito se introduce agua mediante una bomba que funciona enrégimen ideal. El agua introducida en el depósito comprime al aire atrapado en el mismo,hasta que se rompe el diafragma. Suponiendo que ρgH ¿ pa, se pide:

1.- Determinar la altura h (t) de agua en el depósito, así como la presión pd y temperatura Tddel aire en él, antes de que se rompa el diafragma. Determinar también el instante tR de rotura.La potencia de la bomba en este periodo es constante e igual a W0.

2.- Tras la rotura del diafragma el aire sale del depósito a través de la tobera. Desde el instantede rotura y hasta que el depósito se llena totalmente de agua, la potencia suministrada a labomba se ajusta para que la presión en el depósito pd mantenga su valor igual al de rotura. Enestas condiciones se pide determinar h (t), Td, la potencia W de la bomba, el gasto Gd de airea través de la tobera y el tiempo de llenado del depósito.

W0

pa

H h(t)

pd Td

t < tR t > tR

W(t)

Gd

Am

pd Td h(t)

pa




Un depósito aislado térmicamente, tiene una pared móvil de área Ap y un orificio de área mínima Ae(Ae ¿ Ap). Inicialmente el volumen del depósito es V0 ∼ A

3/2p y el aire en su interior está a la presión pa y

temperatura Ta, las mismas que en el exterior.

A partir de un cierto instante inicial, la pared móvil se desplaza con velocidad constante up, aumentando

el volumen del depósito. Como consecuencia de este movimiento, se genera una depresión en el interior del

depósito, que fuerza al aire exterior a penetrar en él. La velocidad up es tal que el número de Mach Me en

el orificio es menor que la unidad. Se pide:

1.- Escribir las cuatro ecuaciones que permiten determinar la evolución con el tiempo de la presión p (t) y

la densidad ρ (t) en el interior del depósito, el número de Mach Me (t) en la sección mínima del orificio y el

volumen V (t) del aire dentro del depósito. Impongan las condiciones iniciales a las ecuaciones diferenciales.

2.- Escriban estas cuatro ecuaciones en forma adimensional utilizando las variables ϕ = p/pa, ψ = ρ/ρa

y τ = upApt/V0. Muestren que, además de la relación de calores específicos γ, la solución depende del

parámetro α = upAp/aaAe, donde aa es la velocidad del sonido ambiente.

3.- Estimen el orden de magnitud del número de Mach Me.

4.- Simplifiquen las ecuaciones anteriores en el supuesto que α ¿ 1. Muestren que en este caso Me es

también pequeño y que la presión adimensional ϕ difiere poco de la unidad.

5.- A la vista de los resultados anteriores, supongan ϕ = 1−α2ϕ̃ y ψ = 1−α2ψ̃ con ϕ̃ y ψ̃ de orden unidad.Sustituyan estos desarrollos en las ecuaciones diferenciales y obtengan la solución ϕ̃ (τ) y ψ̃ (τ) para τ ∼ 1y para τ ∼ α2 ¿ 1.



Un depósito de volumen V0, aislado térmicamente, está dividido en dos por una pared móvil, también aislada

térmicamente, de área Ap (Ap ∼ V2/30 ). Esta pared divide inicialmente al depósito en dos partes iguales.

Una de las paredes fijas del depósito (véase figura adjunta) tiene una tobera convergente, de área mínima a

la salida As ¿ Ap.

Inicialmente el aire de todo el depósito está a la presión y densidad ambientes, pa y ρa (velocidad del sonido

aa) y a partir de un cierto instante, que consideraremos como el inicial, la pared móvil se pone en movimiento

con una velocidad constante y conocida up ¿ aa, hasta que anula el volumen que está comunicado con el

exterior a través de la tobera. En el exterior la presión es también pa.

Durante el proceso, el volumen de aire que no está comunicado con el exterior, aumenta desde su valor

inicial 12V0 hasta V0, mientras que el que está comunicado con el exterior a través de la tobera le ocurre todo

lo contrario: pasa de 12V0 hasta 0. Se pide:

1.- Determinar la evolución con el tiempo de la presión p1 y densidad ρ1 del aire en el interior de la parte

del depósito no comunicada con el exterior.

2.- Suponiendo que el número de Mach, Ms, en la sección As de salida de la tobera es siempre menor que

la unidad, se pide obtener la ecuación diferencial, y condición inicial, que permite determinar la evolución

del cociente de densidades ρ2/ρa en la parte del depósito comunicada con el exterior, en función del tiempo

adimensional τ = upApt/V0 y de los parámetros adimensionales ε = upAp/aaAs y la relación de calores

específicos γ. Para ello tengan en cuenta que es necesario determinar previamente, en función de ρ2/ρa y γ:

la relación de presiones p2/pa; el número de Mach Ms a la salida; y el gasto másico G/ρaaaAs a través de

la tobera.

3.- Volviendo a la ecuación del apartado 2, supongan que el parámetro ε = upAp/aaAs es pequeño (ε¿ 1).

En este supuesto analicen la ecuación y obtengan la solución. Para ello tengan en cuenta que en primerísima

aproximación se obtendría ρ2/ρa = 1, lo que obliga retener algún término más. Para ello supongan ρ2/ρa =

1 + δ (ε)ψ, con ψ ∼ 1 y δ (ε) ¿ 1 a determinar. Obsérvese también que la escala de tiempos apropiada a

este caso es τ̃ = τ/δ (ε) ∼ 1.

up

Ap

p1

ρ1

p2

ρ2

As

pa

V1 V2



En un depósito, aislado térmicamente, se introduce aire desde el exterior (presión pay temperatura Ta) mediante un compresor ideal de potencia W . El aire del depósito,cuya presión es pd y temperatura Td, también se descarga al exterior a través de unatobera convergente-divergente de área mínima Am y área de salida As (As/Am = 2.5).Suponiendo régimen estacionario en todos los casos siguientes, se pide:

1o.- Valor mínimo del cociente pd/pa para que la tobera esté bloqueada. Para este valor depd/pa determinar también la temperatura del aire en el depósito Td/Ta, el gasto a travésdel compresor G/ρaaaAm, la potencia del compresor ω = W/Gha y el número de MachMs en la sección de salida de la tobera (ρa, aa y ha son la densidad, velocidad del sonidoy entalpía del aire a la presión y temperatura ambientes respectivamente).

2o.- Determinar ω para tener una onda de choque normal en la sección de salida de latobera.

3o.- Representar esquemáticamente el valor de Ms en función de la potencia ω del com-presor (cuando se ha alcanzado el régimen estacionario en cada caso).

NOTA: Supongan que el área de salida del compresor es lo suficientemente grande frentea Am, para que la energía cinética sea despreciable frente a la térmica.

Am

As

W

pa Ta

pa

pd Td

ezequiel

Cuadro de texto

(Cuando aparece la onda de choque normal en la sección de salida, ésta produce una elevación de la presión estática que vale Pdetrás de la onda / Pdelante de la onda ≈ 6.78 y deja al aire detrás en régimen subsónico)

ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROSAERONÁUTICOS


Un depósito de volumen V aislado térmicamente se carga mediante un compresorideal de potencia W constante que toma aire de la atmósfera (presión pa y temper-atura Ta). El área de la sección de salida del compresor es muy grande, de modo quela energía cinética del aire a la salida del compresor es despreciable frente a su en-ergía térmica. A su vez, el depósito se descarga a la atmósfera a través de una toberaconvergente divergente de área mínima Am y área de salida As, tales que As/Am = 2.

Si se espera el tiempo suficiente, se alcanza un régimen estacionario que dependede la potencia del compresor. Suponiendo que se ha alcanzado el régimen estacionario,se pide:

1.- Utilizar la teoría de turbomáquinas ideales para escribir la relación que liga lapotencia W del compresor, el gasto G de aire a través del mismo y las entalpias ha yhsc a la entrada y salida del compresor. Reescribir esta relación en términos de W ,G, ha, y las presiones en el depósito y en la atmósfera, pd y pa.

2.- Mediante las ecuaciones de continuidad y energía para el depósito, determinarel gasto a través de la tobera en función del gasto a través del compresor; y latemperatura en el depósito, Td, en función de la temperatura a la salida del compresor,Tsc.

3.- Si la potencia del compresor es tal que en el régimen estacionario hay una ondade choque normal en la sección de salida, As, de la tobera, se pide:

3.a) Número de Mach en la sección As, delante de la onda de choque normal.3.b) Presión en la sección As, delante de la onda de choque normal.3.c) Presión y temperatura en el depósito.3.d) Gasto a través de la tobera y del compresor.3.e) Potencia W del compresor.Escribir los resultados en forma adimensional, adimensionalizando las presiones

con la presión atmosférica pa, las temperaturas con la temperatura atmosférica Ta, yel gasto la potencia en la forma

GqRgTa

paAmy

W

paAm

qRgTa

respectivamente.

ezequiel

Cuadro de texto

(Cuando aparece la onda de choque normal en la sección de salida, ésta produce una elevación de la presión estática que vale Pdetrás de la onda / Pdelante de la onda ≈ 5.48 y deja al aire detrás en régimen subsónico)

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