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ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

ANÁLISIS DE FOURIER Y ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES •PRUEBA 1

Semestre 2019-A Departamento de Formación Básica

Nombre: GR: Calificación:

1. a) Sean f1 : R→ R y f2 : R→ R dos funciones periódicas de periodos T1 y T2 respectivamente.

1) Pruebe que si existe k ∈ Z tal que T1 = kT2, el periodo de la función:

F : R −→ R

x 7−→ f1(x) f2(x)

es T1. Del mismo modo, si T2 = kT1, el periodo de F es T2.

2) Utilizando el resultado anterior, hallar el periodo de la función

F : R −→ R

x 7−→ sen( x

4

)cos

( x2

) .

b) Seag : R −→ R

x 7−→

sen(ax)

xx < 0

x2 + b x ≥ 0

con a, b ∈ R. ¿Bajo qué condiciones g es continua en 0? (2pt)

2. Realice las siguientes operaciones con números complejos sin utilizar calculadora. Hint: La mayoría delos ángulos (y valores de senos y cosenos) pueden obtenerse a partir de un triángulo equilátero de lado2√

3.

a) Escriba z = −3 +√

3i en coordenadas polares.

b) Escriba w = 2ei π3 en coordenadas rectangulares

c) Calcule: y = (z w̄) w̄. Exprese el resultado en coordenadas rectangulares.

d) Calcule: y8. Exprese el resultado en coordenadas rectangulares. (2pt)

3. Determine si las series que se presentan a continuación son convergentes o divergentes.

a)∞

∑n=1

n3kn/2

(k + 1)n k ∈ R+.

b)∞

∑n=1

10n

n42n+1 . (2pt)

4. Considere la función f : ]0, 2π[→ R definida por:

f (x) =

{x, si 0 < x < π,

0, si π < x < 2π.(1)

a) Esboce (grafique) dicha función y su extensión periódica. Cuál es el periodo de esta función?

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b) Redefina f de tal forma que la función resultante sea una función par en el intervalo ]− 2π, 2π[ yllame a esta “extensión par de f ” por F.Hint: Parta del gráfico de la función original f : ]0, 2π[→ R y “complete el gráfico” reflejando lafunción con respecto al eje y. Halle la ecuación de cada una de las curvas en ese gráfico y definala función F para cada uno de esos intervalos, es decir para: ]− 2π,−π[, ]− π, 0[, ]0, π[ y ]π, 2π[.El resultado debe presentarse como la ecuación (1). Alternativamente, esto también puede hacerseutilizando la definición de función par.

c) Esboce la función F y su extensión periódica. Cuál es el periodo de esta función?

d) Determine las integrales que permitan determinar los coeficientes a0, am y bm de la expansión enseries de Fourier de F. Importante: Solo plantee las integrales y no las resuelva. La respuesta debeser expresada por ejemplo como: bm = 1

2

´ 2−2 x2 sen

(mπx2

)dx. No olvide analizar la paridad de las

funciones dentro de la integral.

e) Redefina f de tal forma que la función resultante sea una función impar en el intervalo ]− 2π, 2π[

y llame a esta “extensión impar de f ” por G.

f ) Esboce la función G y su extensión periódica. Cuál es el periodo de esta función?

g) Determine las integrales que permitan determinar los coeficientes a0, am y bm de la expansión enseries de Fourier de G.No analice que ocurre en x = 0,±π,±2π, ... (4pt)




SERIES DE FOURIER

Sea f : [−L, L]→ R una función continua por partes y periódica con periodo p = 2L. La expansión enseries de Fourier de f (x) está dada por:

f (x) =a0

2+

∞

∑m=1

(am cos

(mπxL

)+ bm sen

(mπxL

)), −L ≤ x ≤ L,

donde m = 1, 2, ... y los coeficientes de Fourier a0, am y bm están dados por:

a0 =1L

ˆ L

−Lf (x) dx, am =

1L

ˆ L

−Lf (x) cos

(mπxL

)dx, bm =

1L

ˆ L

−Lf (x) sen

(mπxL

)dx.

Indicaciones:

1. Lea atenta y detenidamente cada pregunta.

2. Cualquier intento de copia será sancionado fuertemente.

3. Está prohibido el uso y poseción de cualquier dispositivo electrónico incluyendo calculadoras y relo-jes inteligentes.

GR PROFESORGR1/GR2 MARCELO ARIAS

GR3 ESTEBAN GUEVARAGR4 ANIBAL CRUZGR5 JESSICA MONTENEGROCP DIEGO VARGASCP EDWIN BONE

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ANÁLISIS DE FOURIER Y ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES •EXAMEN 1



Indicaciones:

• Lea atenta y detenidamente cada pregunta.

• Cualquier intento de copia será sancionado fuertemente.

• Está prohibido el uso y poseción de cualquier dispositivo electrónico.

1. Considere la función f : ]4π, 10π[→ R definida por:

f (x) =

{x2 − 2π, si 4π < x < 8π,

10π − x, si 8π < x < 10π.

y tal que f (x) = f (x + 6π). Plantee las integrales que permitan determinar los coeficientes a0, am y bm

de la representación en Series de Fourier de:

a) La función f (en el intervalo donde está definida, es decir, en ]4π, 10π[.

b) La EXTENSIÓN IMPAR de la función g donde g = F|]0,4π[, y F es la extensión periódica de f .Hint: La notación F|]0,4π[ se refiere a la "parte"de F que está definida en el intervalo ]0, 4π[.

c) Proponga, a partir de F, una forma alternativa de determinar los coeficientes de Fourier diferentea la realizada en el literal a) y plantee las integrales que permitirían su determinación.

IMPORTANTE: Para todos los literales, únicamente plantee las integrales y no las resuelva. Lasfunciones deben estar definidas expliícitamente (como lo está f (x)). (1pt)

2. Muestre que:

34+

∞

∑m=1

[(−1)m − 1

m2π2 cos (mπx)− 1mπ

sen (mπx)]=

1, si − 1 < x < 0,

x, si 0 < x < 1,12 , si x = 0.

Hint: Intuya sobre la función para la cual esta serie representa su Serie de Fourier y determine dichaserie. Utilice además el teorema de convergencia (de las Series de Fourier) para determinar el valor parax = 0. Las integrales necesarias se encuentran en la parte posterior de la hoja. (1pt)

3. Dada la función:f : [0, ∞[ −→ R

x 7−→ e−kx

con k > 0. Determine las representación en serie de Fourier de coseno de f y a partir de ella muestreque: ˆ ∞

0

cos(wx)k2 + w2 dw =

π

2ke−kx

Hint: Determine la representación en series de Fourier de la extensión par de f . Las integrales necesariasse encuentran en la parte posterior de la hoja. (1pt)

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4. Muestre que:

ˆ ∞

0

(sen (w)

w2 +cos (w)

w− 2 cos (2w)

w

)sen (wx)dw =

π2 x, si 0 ≤ x < 1,

α1, si x = 1,

π, si 1 < x < 2,

α2, si x = 2,

0, si x > 2

donde α1, α2 ∈ R. Determine los valores de α1 y α2 utilizando el teorema de convergencia y existenciade las integrales de Fourier. (1pt)




SERIES DE FOURIER

Sea f : [−L, L]→ R una función continua por partes y periódica con periodo p = 2L. La expansión enseries de Fourier de f (x) está dada por:

f (x) =a0

2+

∞

∑m=1

(am cos

(mπxL

)+ bm sen

(mπxL

)), −L ≤ x ≤ L,

donde m = 1, 2, ... y los coeficientes de Fourier a0, am y bm están dados por:

a0 =1L

ˆ L

−Lf (x) dx, am =

1L

ˆ L

−Lf (x) cos

(mπxL

)dx, bm =

1L

ˆ L

−Lf (x) sen

(mπxL

)dx.

INTEGRAL DE FOURIER

Sea f : I ⊆ R → R una función no necesariamente periódica, continua por tramos y absolutamenteintegrable. La representación en integral de Fourier de f (x) está dada por:

f (x) =ˆ ∞

0[A(w) cos(wx) + B(w) sen(wx)] dw,

para cada w ≥ 0. Donde A(w) y B(w) están dados por:

A(w) =1π

ˆ ∞

−∞f (v) cos(wv) dv y B(w) =

1π

ˆ ∞

−∞f (v) sen(wv) dv.

INTEGRALES´x sen(kx)dx = sen(kx)

k2 − x cos(kx)k + C, donde k, C ∈ R.´

x cos(kx)dx = x sen(kx)k + cos(kx)

k2 + C, donde k, C ∈ R.´e−kx cos(wx)dx = −k

k2+w2 e−kx (−wk sen(wx) + cos(wx)

)+ C, donde k, w, C ∈ R.



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1. Determine la transformada de Fourier de la función definida por: (2pt)

f (t) =

0, si t < −2,

−1, si − 2 < t < −1,

t + 1, si − 1 < t < 0,

1− t, si 0 < t < 1,

−1, si 1 < t < 2,

0, si t > 2,

A partir de:

a) La definición de transformada de Fourier.

b) La representación de f en términos de la función escalón unitario u(t− a) y/o impulso δ(t− a).

2. Sean L > 0, c > 0, u : [0, L] × [0,+∞[→ R, f : [0, L] → R tales que u ∈ C2([0, L] × [0,+∞[) yf ∈ C([0, L]). El objetivo de esta pregunta es hallar la solución de la ecuación de la onda unidimensionalcon las condiciones mixtas (de Dirichlet en x = 0 y de von Neumman en x = L) siguientes:

(P)

utt = c2uxx, (x, t) ∈ [0, L]× [0,+∞[,

u(0, t) = 0, ux(L, t) = 0, t ≥ 0,

u(x, 0) = f (x), ut(x, 0) = 0, 0 ≤ x ≤ L.

a) Suponga que existen dos funciones X : [0, L]→ R y T : [0, ∞[→ R tales que la solución al problema(P) puede expresarse como:

u(x, t) = X(x)T(t), para todo (x, t) ∈ [0, L]× [0,+∞[,

y por tanto, existe una constante α ∈ R tal que X y T son soluciones de los problemas:

(A)

X′′(x)− αX(x) = 0, 0 < x < L,

X(0) = 0,

X′(L) = 0

y

(B)

{T′′(t)− αc2T(t) = 0, t > 0

T′(0) = 0.

b) Muestre que para α ≥ 0, la solución u(x, t) es trivial.

c) Muestre que para α < 0, existe un número k = 0, 1, 2, ... tal que:

α = −((2k + 1)π

2L

)2

,

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y además, que X y T están dados por:

Xk(x) = Ck sen((2k + 1)π

2Lx)

, Tk(t) = Dk cos((2k + 1)cπ

2Lt)

, k = 0, 1, 2, ...

d) Utilice el principio de superposición para mostrar que la solución del problema (P) está dado por:

u(x, t) = c0 +∞

∑k=1

ck sen((2k + 1)π

2Lx)

cos((2k + 1)cπ

2Lt)

donde:

c0 =2L

ˆ L

0f (x) sen

( π

2Lx)

dx,

y

ck =2L

ˆ L

0f (x) sen

((2k + 1)π

2Lx)

dx.

(Determine c0 y cn paso a paso utilizando la ortogonalidad de las funciones trigonométricas y elteorema de Sturm-Liouville). (2pt)




1 TRANSFORMADA DE FOURIER

Sea f : R → R una función absolutamente integrable y contínua a trozos en cada intervalo finito, en-tonces la transformada de Fourier F{ f (t)} de f , con t ∈ R, existe y se define como:

F{ f (t)} = 1√2π

ˆ ∞

−∞f (t)e−iwt dt.

La transformada de Fourier de la función f y sus derivadas se relacionan por:

F{ f ′(t)} = (iw)F{ f (t)}.

F{ f ′′(t)} = (iw)2F{ f (t)}.

La transformada de Fourier de la función impulso δ(t− a) se define como:

F{δ(t− a)} = 1√2π

e−awi.



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PROBLEMAS CONCEPTUALES

1. Transforme el siguiente problema de conducción de calor con condiciones de frontera no-homogéneas(para u(x, t)):

(P)

ut = c2uxx, (x, t) ∈ [0, L]× [0,+∞[,

u(0, t) = T1, u(L, t) = T2, t ≥ 0,

u(x, 0) = f (x), 0 ≤ x ≤ L.

en un problema con condiciones de frontera homogéneas (para w(x, t)). Hint: Considere el siguienteansatz:

u(x, t) = w(x, t) + v(x).

Encuentre la EDP para w(x, t) y sus respectivas condiciones de frontera e iniciales y exprese el respectivoproblema como en (P). Encuentre también v(x) explícitamente suponiendo que satisface la ecuación delcalor y que v(0) = T1 y v(L) = T2. (0.5pt)

2. Considere una lámina rectangular metálica de base B y altura H. El borde superior se encuentra aislado,mientras que por el borde inferior existe un flujo calor−J. El borde izquierdo se encuentra a en contactocon una fuente de calor variable descrita por una cierta función f (y) mientras que el derecho está encontacto con una fuente de calor que mantiene ese borde a una temperatura constante T. Si u(x, y, t) esla temperatura en el interior de la lámina, plantee la ecuación diferencial y las condiciones de fronterae iniciales que describen este problema. (0.5pt)

3. Considere una membrana (elástica, homogénea y flexible) rectangular de base B y altura H, fija en susbordes y de constante c = 1. Si se encuentra en reposo en la posición F(x, y) y luego se suelta. Utilice elmétodo de separación de variables para determinar las 3 EDO’s asociadas al problema y sus respectivascondiciones iniciales. (0.5pt)

4. La solución a un problema en dos dimensiones está dado por:

u(x, y, t) =∞

∑n=1

∞

∑m=1

Anm cos (λnmt) sen(nπx

a

)sen

(mπyb

). (1)

Determine explícitamente y paso a paso los coeficientes Anm. Para esto utilice la condición inicial u(x, y, 0) =F(x, y) en (1) y llame:

Kn(y) =∞

∑m=1

Anm sen(mπy

b

)(2)

Muestre que la condición inicial se convierte en:

F(x, y) =∞

∑n=1

Kn(y) sen(nπx

a

). (3)

Luego determine Kn(y) de la ecuación (3) y posteriormente Anm de la ecuación (2) (utilizando las propie-dades de ortogonalidad de la función seno). Finalmente, exprese los coeficientes Anm como una integraldoble de F(x, y).

(0.5pt)

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RESOLUCIÓN DE EDP’S

5. Considere una varilla metálica de longitud L, constante c = 1, cuyo borde izquierdo se encuentra aisladoy por el borde derecho existe un flujo calor J. El perfil de temperatura al tiempo t = 0 está descrito poruna cierta función f (x). Si u(x, t) es la temperatura de la varilla:

a) Plantee la ecuación diferencial y las condiciones de frontera e iniciales que describen este problema.

b) Utilice el método de separación de variables considerando:

u(x, t) = w(x, t) + v(x) + z(t),

y exija que:wt − wxx = 0.

y que wx(0, t) = 0, y wx(L, t) = 0. Además considere que v(0) = 0 y z(0) = 0. Encuentre explíci-tamente v(x), z(t) y w(x, t) y a partir de ellas encuentre una expresión que describa la temperaturade la varilla u(x, t) para todo x ∈ [0, L] y t ≥ 0. No es necesario determinar los coeficientes de laserie infinita que define a u(x, t). (1pt)

6. Encuentre una expresión para la temperatura u(x, y) en el estado estable (o estacionario) en el interiorde una placa metálica semi-infinita con constante c2 = 1 de base π y que se prolonga indefinidamenteen la dirección del eje y. Los bordes laterales se encuentran aislados y el borde inferior está descrito porla función f (x). Suponga que la solución u(x, y) está acotada cuando y → ∞ es decir, la solución nodiverge. Hint: Deje expresada la solución para y como una combinación de funciones exponenciales ytome el límite de u(x, y) cuando y→ ∞. (1pt)

1 ECUACIÓN DE LAPLACE

∆u = 0,

donde u = u(x) y x = (x1, x2, ..., xn) ∈ Rn.

2 ECUACIÓN DEL CALOR

ut = c2∆u,

donde u = u(x, t), x = (x1, x2, ..., xn) ∈ Rn y c ∈ R.

3 ECUACIÓN DE LA ONDA

utt = c2∆u,

donde u = u(x, t), x = (x1, x2, ..., xn) ∈ Rn y c ∈ R.

El laplaciano de u está definido como: ∆u = ux1x1 + ux2x2 + ... + uxnxn .



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