escuela politÉcnica nacional · 2020. 7. 20. · escuela politÉcnica nacional semestre 2019-b...

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

Semestre 2019-B ACCIÓN AFIRMATIVA

MANUAL DE PROCEDIMIENTOS:

MATEMÁTICA

0. ÍNDICE

1 Objetivo: 5

2 UNIDAD 1: 52.1 Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.1 Notación de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2 Clasificación de los números . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2.1 Números naturales: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2.2 Números enteros: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2.3 Números racionales: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2.4 Transformación de números decimales a fracción: . . . . . . 82.2.5 Números irracionales: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3 Orden de las operaciones y signos de agrupación . . . . . . . . . . . 112.3.1 Conocimientos previos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3.2 Operaciones Binarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3.3 Operaciones Combinadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3.4 Signos de agrupación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3.5 Reglas de los signos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3.6 Operaciones con números racionales: . . . . . . . . . . . . . 14

2.4 Máximo común divisor (mcd) y mínimo común múltiplo (mcm) . . 152.4.1 Métodos para encontrar el mcm y mcd . . . . . . . . . . . . 162.4.2 Simplificación de expresiones compuestas . . . . . . . . . . 17

2.5 Regla de tres simple y Conversión de Unidades: . . . . . . . . . . . 182.5.1 Conocimientos Previos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.5.2 Regla de tres: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.5.3 Métodos de resolución: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.6 Regla de Tres Simple Directa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.6.1 Método de proposiciones: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.6.2 Método práctico: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.7 Regla de Tres Simple Inversa: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.7.1 Método de proporción: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.7.2 Método práctico: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.8 Conversión de unidades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.9 Regla de 3 compuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.9.1 Ejercicios resueltos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.9.2 Repartos directamente proporcionales . . . . . . . . . . . . . 27

2.10 Ejercicios propuestos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1

3 Unidad 2: 323.1 Álgebra: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.1.1 Expresiones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.1.2 Interpretación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.2 Clasificación de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2.1 Monomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2.2 Binomio: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.2.3 Trinomio: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.2.4 Polinomio: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.2.5 Polinomio reducido: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.3 Términos semejantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.3.1 Reducción de términos semejantes . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.4 Suma y Resta de Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.4.1 Suma de Polinomios: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.5 Resta de polinomios: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.6 Multiplicación de Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.7 División de Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.8 División de un polinomio por un monomio . . . . . . . . . . . . . . 393.9 Ejercicios propuestos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4 Unidad 3: 424.1 Productos notables: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.1.1 Suma por la diferencia: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.1.2 Producto de la forma (ax + b)(ax + c): . . . . . . . . . . . . 424.1.3 Binomio al cuadrado: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.1.4 Trinomio al cuadrado: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.2 Cocientes notables: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.3 Factorización: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.3.1 Factor común: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.3.2 Factor común por agrupación: . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.3.3 Diferencia de cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.3.4 Trinomio cuadrado perfecto: . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.3.5 Diferencia de cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.3.6 Regla para factorizar una diferencia de cuadrados . . . . . . 554.3.7 Caso especial: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.3.8 Trinomio Cuadrado perfecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.3.9 Ejemplos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.3.10 Trinomio cuadrado perfecto y diferencia de cuadrados . . . 594.3.11 Trinomio cuadrado perfecto por adición y substracción . . 59

2

4.3.12 Factorización de la forma x2 + Bx + C: . . . . . . . . . . . . 604.3.13 Factorización de la forma Ax2 + Bx + C: . . . . . . . . . . . 624.3.14 Diferencia de cubos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.3.15 Factorización de una diferencia de cubos . . . . . . . . . . . 634.3.16 Suma de cubos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.3.17 Factorización de una suma de cubos . . . . . . . . . . . . . 644.3.18 División de polinomios: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.3.19 División larga: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.3.20 División sintética o Regla de Ruffini. . . . . . . . . . . . . . . 65

4.4 Ejercicios propuestos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5 Unidad 4: 715.1 Máximo común divisor y mínimo común múltiplo. . . . . . . . . . 71

5.1.1 Conocimientos previos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.2 Máximo común divisor: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.3 Mínimo común múltiplo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.4 Suma y resta de fracciones con expresiones algebraicas. . . . . . . . 735.5 Suma y resta de expresiones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.5.1 Método m.c.m para sumar y restar expresiones racionales. . 745.6 Ejercicios propuestos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

6 Unidad 5: 786.1 Relación de equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 786.2 Axiomas y teoremas de igualdad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 786.3 Axiomas de Igualdad: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 786.4 Teoremas de Igualdad: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796.5 Ecuaciones de primer grado con una incógnita. . . . . . . . . . . . . 80

6.5.1 Identidades: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 806.5.2 Ecuaciones lineales: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 816.5.3 Ecuaciones que llevan a ecuaciones lineales: . . . . . . . . . 83

6.6 Ecuación sin solución: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 846.7 Ecuaciones de primer grado con valor absoluto . . . . . . . . . . . . 856.8 Problemas con ecuaciones de primer grado con una incógnita: . . . 87

6.8.1 Pasos para establecer problemas aplicados: . . . . . . . . . . 876.8.2 Problema de inversiones: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 886.8.3 Determinación del salario por hora: . . . . . . . . . . . . . . 88

6.9 Resolución de fórmulas para variables indicadas. . . . . . . . . . . . 896.10 Sistemas de ecuaciones lineales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

6.10.1 Sistemas de ecuaciones lineales con 2 incógnitas: . . . . . . . 91

3

6.10.2 Método de sustitución: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 926.10.3 Método de reducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 936.10.4 Ejemplo de un sistema de ecuaciones lineales no consistente: 94

6.11 Ejemplo de un sistema de ecuaciones lineales dependientes: . . . . 956.12 Sistema de tres ecuaciones con tres variables: . . . . . . . . . . . . . 966.13 Ecuaciones de segundo grado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 976.14 Procedimiento para completar cuadrados. . . . . . . . . . . . . . . . 996.15 Método de completar cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 996.16 Método de obtención de la fórmula general: . . . . . . . . . . . . . . 1016.17 La fórmula cuadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1016.18 Aplicaciones de las ecuaciones de segundo grado. . . . . . . . . . . 104

6.18.1 Construcción de una caja: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1046.19 Construcción del borde de una jardinera: . . . . . . . . . . . . . . . 1056.20 Inecuaciones lineales: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1066.21 Inecuaciones lineales con una incógnita con valor absoluto. . . . . . 107

6.21.1 Desigualdades que incluyen valor absoluto: . . . . . . . . . 1076.22 Inecuaciones lineales con una incógnita de segundo grado. . . . . . 110

6.22.1 Métodos para resolver inecuaciones cuadráticas. . . . . . . . 1106.23 Ejercicios propuestos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

7 BIBLIOGRAFÍA 116

8 ANEXO 1. Protocolo de aplicación del manual de procedimientos 116

4

1. OBJETIVO:

Elaborar una guía de apoyo en Fundamentos de Matemática para los estudian-tes de Nivelación de la EPN.

2. UNIDAD 1:

2.1 Conjuntos

Los términos conjunto, punta, recta, etc; se consideran como nociones o con-ceptos primitivos, esto significa que no se pueden definir en función de otros tér-minos más sencillos, Por esta razón hemos de aceptar en nuestro estudio la nociónintuitiva de conjunto, como sinónimo de colección, reunión o agrupación de obje-tos que poseen una característica o propiedad común bien definida. Los conjuntosse representan con letras mayúsculas y sus elementos se delimitan con llaves yseparan con comas.

Ejemplos: https://www.overleaf.com/project/5ebc62e65bea8b0001d85121

a) Ejemplo 1: El conjunto formado por los dígitos, consiste en la colección denúmeros 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, de donde, su representación es:

D = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

b) Ejemplo 2: El conjunto de las vocales se representa por:

A = {a, e, i, o, u}.

c) Ejercicio 3: El conjunto de los días de la semana, viene representado por:

B = {Lunes,Martes,Miércoles,Jueves,Viernes,Sábado,Domingo}.

OBSERVACIÓN 1. La proposición "p es un elemento de A" o, equivalente "p pertenece

a A" se notará porp ∈ A,

por otro lado, la negación de la proposición p pertenece a A es

p /∈ A.

5

2.1.1. Notación de conjuntos

Presentaremos dos formas de especificar un conjunto en particular.

1. Por enumeración: Un modo consiste en la enumeración efectiva de sus ele-mentos, cuando esto es posible. Por ejemplo,

A = {a, e, i, o, u},

denota el conjunto A cuyos elementos son las vocales a, e, i, o, u.

2. Por extensión: Consiste en definir las propiedades que caracterizan los ele-mentos del conjunto. Por ejemplo,

O = {x|x es un mes del año},

se lee, el conjunto O está formado por los elementos x tales que x debe serun mes del año; cabe mencionar que el conjunto se puede representar evi-denciando a sus elementos, en efecto,

O = {Enero, Febrero, Marzo, ..., Noviembre, Diciembre},

es este caso, diremos que el conjunto es finito o contable.

2.2 Clasificación de los números

2.2.1. Números naturales:

El hombre ha tenido la necesidad de contar desde su aparición en la Tierra has-ta nuestros días, para hacerlo se ayudó con los números naturales, denotaremosal conjunto de los números naturales por:

N = {1, 2, 3, ...},

2.2.2. Números enteros:

Sin embargo, pronto se dio cuenta de que necesitaba un nuevo conjunto de nú-meros para las operaciones de descuento. Así, se formo el conjunto de los números

enteros, el cual, se notará por Z y estará formado por:

. . . ,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, . . . ,

donde, los puntos suspensivos indican que el patrón continua indefinidamente.

6

OBSERVACIÓN 2. Notemos queN ⊆ Z,

es decir, el conjunto de los números naturales es un subcojunto de los númerosenteros.

2.2.3. Números racionales:

Un número racional es aquel que puede expresar como un cociente

a

b,

donde a ∈ Z y b ∈ N.

DEFINICIÓN 1DEFINICIÓN 1

OBSERVACIÓN 3. Si x es un número racional, entonces usaremos la notación:

x ∈ Q.

En ocasiones los números racionales se representan como decimales. Por ejem-plo:

34= 0,75,

52= 2,5 y

766

= 0,1060606 · · · = 0,106.

Además, se tiene queZ ⊆ Q,

es decir, el conjunto de números enteros es un subconjunto del conjunto de núme-ros racionales.

Por otro lado, todo número racional puede expresarse en forma de fracción ocomo un decimal finito, infinito periódico puro o infinito periódico mixto. Las ex-presiones decimales de los números racionales se pueden clasificar de la siguienteforma:

• Decimal exacto: Cuando el número de cifras decimales es finito.

Ejemplo:58= 0,625.

• Decimal periódico puro: Cuando la parte decimal se repite indefinidamen-te, este conjunto de cifras se denominan periodo.

7

Ejemplo:59= 0,555 · · · = 0, 5.

• Decimal periódico mixto: Cuando el periodo comienza después de una ovarias cifras decimales. Las cifras que existen entre la coma y el periodo sedenomina anti-periodo.

Ejemplo:9655

= 1,7454545 · · · = 1,745.

2.2.4. Transformación de números decimales a fracción:

A continuación, se presenta los métodos para transformar números decimalesa fracción:

• Decimal exacto: Para este tipo de decimales seguimos los siguientes pasos:

1. Escribir en el numerador el número sin la coma.

2. En el denominador escribimos 10n, dónde n representa el número dedecimales del número.

3. Finalmente, calculamos la potencia.

Ejemplo: Expresar en fracción propia los siguientes números decimales.

1.0,75 =

75102 =

75100

=34

,

2.0,002 =

2103 =

21000

=1

500,

3.1,75 =

175102 =

175100

=74

.

• Decimal periódico puro: Para convertir un número decimal periódico puroa una fracción se siguen los siguientes pasos:

1. Adoptar la notación del "sombrero"para las cifras decimales periódicas(que se repiten).

2. En el numerador se coloca el número formado por la parte entera ydecimal periódico sin la coma.

3. A este numero se le resta la parte entera.

8

4. En el denominador se procede a colocar tantos nueves como cifras pe-riódicas existan.

5. Simplificar de ser posible.

Ejemplo: Convertir los siguientes decimales periódicos a fracciones:

Decimal: Notación: Número sin coma: Transformación:

0,333... 0, 3 33 − 0

9=

39=

13

3,232323... 3, 23 323323 − 3

99=

32099

15,555... 15, 5 155155 − 15

9=

1409

15,515515515... 15, 515 1551515515 − 15

999=

15500999

• Decimal periódico mixto: Estos números tienen una parte decimal exactay periódica, por lo que se produce una combinación de los procedimientosvistos previamente:

1. Adoptar la notación del "sombrero"para las cifras decimales periódicas.

2. En el numerador se coloca el número formado por la parte entera, de-cimal exacta y decimal periódica sin la coma.

3. A este número se resta el número formado por la parte entera y lascifras decimales exactas.

4. En el denominador se procede a colocar tantos nueves como cifras de-cimales periódicas existan, y tantos ceros como cifras exactas existan.

5. Simplificar de ser el caso.

Ejemplos: Convertir los siguientes decimales mixtos a fracciones:

9

Decimal: Notación: Número sin coma: Transformación:

0,2777 . . . 0, 27 2727 − 2

90=

2590

=518

12,3444 . . . 12, 34 12341234 − 123

90=

111190

7,0515151 . . . 7, 051 70517051 − 70

990=

6981990

1,2333 . . . 1, 23 123123 − 12

90=

11190

2.2.5. Números irracionales:

Un número irracional es aquel número que resulta de la división de dos nú-meros enteros, su representación decimal es infinita y no se tiene un bloquede números que se repitan.


OBSERVACIÓN 4. Si un número x es irracional, entonces usaremos la notaciónx ∈ I.

Son números irracionales:

√3, 3

√2, π, Φ y

√5.

Para mayor exactitud en los procesos aritméticos y algebraicos, los números irra-cionales se indican y no se escriben en su expresión decimal.

Con esto, al unir los mencionados conjuntos de números se forman los núme-

ros reales, los cuales se los representará en la denominada recta numérica. Si unnúmero x es real, entonces usaremos la notación:

x ∈ R.

10

El siguiente gráfico, resume la clasificación de los conjuntos de los númerosreales y complejos C:

Complejos

Reales.Imaginarios.

Racionales.Irracionales.

FraccionariosEnteros.

Cero. Positivos.

Naturales. Cardinales.

Negativos. Comunes.

Propios.

Impropios.

Mixto.

Decimales.

Exactos.

Periódicos Puros.

Periódicos Impuros.

2.3 Orden de las operaciones y signos de agrupación

2.3.1. Conocimientos previos:

a) Analizo la siguiente información:

En la Isla Santa Cruz en Galápagos residen personas de Ambato, Esme-raldas y Quito que trabajan atendiendo a los turistas nacionales y extranjerosen el mercado artesanal. Estéfano tiene 50 y compra una camiseta en $12,50;además un peluche de tortuga en $16,50 y 4 recuerdos en $1,20 cada uno.

b) Contesto mentalmente las siguientes preguntas:

• ¿Qué operación se realiza para saber el gasto total en la compras?

• ¿Qué operación se realiza para conocer cuanto dinero queda?

• ¿Cuál es el precio total de los 4 recuerdos?

2.3.2. Operaciones Binarias

Algunas expresiones, tales como:

2 + 4 = 6, 4 + (−6) = −2, y 20 ÷ 5 = 4,

tienen la particularidad de que si tomamos dos elementos de un conjunto numéri-co, en este caso, la operación genera un tercer número dentro o fuera del conjuntoal cual se está haciendo referencia.

La unión y la intersección de conjuntos también generan nuevos conjuntos.Lasoperaciones que toman 2 elementos de un conjunto y su resultado se encuentra en

11

el mismo conjunto tienen particular interés para nosotros y se denominan opera-ciones binarias.

Ejemplo 1:Consideremos el conjunto S, definido por:

S = {△, ⋄, ◦},

y la operación ∗ definida sobre S de la siguiente forma:

∗ △ ⋄ ◦△ △ ⋄ ◦⋄ ◦ △ ⋄◦ ⋄ ◦ △

Así, tenemos que△ ∗ ⋄ = ⋄.

Por lo tanto, tenemos que ∗ es una operación binaria sobre S, dado que cualquiercombinación siempre dará un elemento de S.

2.3.3. Operaciones Combinadas

Interiorizo la jerarquía de las operaciones.

12

Identificar las operaciones a realizar.

Ubicar signos de agrupación.

Resolver los paréntesis,corchetes y llaves

Multiplicar,dividir,sumar y restar.

Operaciones combinadas:

2.3.4. Signos de agrupación

Los signos de agrupación son:

a) Paréntesis ordinarios: ( ),

b) Corchetes o paréntesis angulares: [ ],

c) Llaves: { },

d) Vínculo o barra: −.

Los paréntesis son signos de asociación o agrupación, pues se usan para asociar oagrupar los números indicando una operación . Cuando una operación se encierraen un paréntesis, ello indica que dicha operación tiene que efectuarse primero, ycon el resultado de ella se verifica la otra operación indicada.

2.3.5. Reglas de los signos:

Para multiplicar dos números relativos se halla el producto de sus valores ab-solutos. Si los factores tiene el mismo signo se antepone al producto el signo +;por otro lado, si los factores tienen signos diferentes se antepone al producto elsigno −. Ahora, si uno de los factores es 0, entonces el producto es 0.

La regla de los signos se puede resumir en el siguiente cuadro:

13

(+)× (+) = (+)(−)× (−) = (+)(+)× (−) = (+)(−)× (+) = (−)

Ejemplos:

(+3)(+5) = +15, (−3)(−5) = +15, (+3)(−5) = −15,

(−3)(+5) = −15, (−3)(+5) = −15, (0)(+3) = 0.

EJERCICIO 1. Simplifique la siguiente expresión:

4,6 + [√

81 − 2,4 + 52 − 18,2]− 1,3.

Solución:

4,6 + [√

81 − 2,4 + 52 − 18,2]− 1,3 = 4,6 + [√

81 − 2,4 + 52 − 18,2]− 1,3

= 4,6 + 13,4 − 1,3

= 16,7.

2.3.6. Operaciones con números racionales:

OBSERVACIÓN 5. Se puede expresar la división de dos fracciones como una frac-ción compleja,quedando como resultado una fracción cuyo numerador es el pro-ducto de los extremos y el denominador es el producto de los medios.

14

Sean a, b, c, d ∈ R, tales que b 6= 0, c 6= 0, se tiene que

a

b÷ c

d=

a

bc

d

=

a

bc

d

.

Ejemplo:

Operación Análisis del ejercicio34+

[

32·(

23− 1

2

)]

=34+

[

32×(

4 − 36

)]

¿Que tipos de operaciones están involucradas ?

=34+

[

32×(

16

)]

¿Que operación se resolvió primero?

=34+

14

¿ Cuál es la secuencia de la operaciones cuando hay signos de agrupación ?44= 1

EJERCICIO 2. En una excursión de investigación que duro 3 días, Miguel via-jo 4 1

6 km y el primer día 4 34 km el segundo y 3 7

12 km el tercer día. El costo totaldel viaje fue 300 dólares. ¿ Cuál fue el precio por km del recorrido?

Solución: Vamos a sumar la distancia que Miguel recorrió en los tres días, así,(

256

+194

+4312

)

= ÷15012

,

para calcular el precio por km basta con dividir la distancia total para el precio,tenemos que

15012

÷ 300 = 24.

El costo por km es de 24 dólares.

2.4 Máximo común divisor (mcd) y mínimo común múltiplo (mcm)

El máximo común divisor (mcd) de dos o mas números es el mayor numeroque divide exactamente a todos.

DEFINICIÓN 3: Máximo común divisor:DEFINICIÓN 3: Máximo común divisor:

El mínimo común múltiplo (mcm) de dos o mas números es el menor númeroque contiene exactamente a todos.

DEFINICIÓN 4: Mínimo común múltiplo:DEFINICIÓN 4: Mínimo común múltiplo:

15

2.4.1. Métodos para encontrar el mcm y mcd

Método para encontrar el mcd:

1. Colocamos en forma horizontal los números propuestos.

2. Trazamos una línea vertical y otra horizontal, luego analizamos si todos losvalores son divisibles para 2, para 3 y para todos los números primos quesean posibles. De ser así dividimos para dichos valores.

3. El proceso finaliza cuando no existe un número primo divisible para todaslas cantidades.

4. Multiplicamos entre si los factores primos resultantes.

EJERCICIO 3. Hallar el máximo común divisor de 180 y 360.

180 240 360 290 120 180 245 60 90 315 20 30 53 4 6

Solución: Con esto, tenemos que

mcd(180, 240, 360) = 2 × 2 × 3 × 5 = 60.

Método para encontrar el mcm:

1. Colocamos en forma horizontal los números propuestos.

2. Trazamos una línea vertical y otra horizontal, luego analizamos si al menosu valor es divisible para 2, para 3 y luego para el resto de números primos.De ser así dividimos para dichos números.

3. Si alguno de los valores de los que buscamos el mcm no es divisible para losnúmeros primos anteriores, bajamos los valores que no fueron divididos.

4. El proceso finaliza cuando el cociente de cada número original es 1.

5. Multiplicamos entre si todo los divisores o factores primos resultantes.

16

EJERCICIO 4. Hallar el mínimo común múltiplo de 3, 4 y 6.

3 4 6 23 2 3 23 1 3 31 1 1

Solución: Con esto, tenemos que

mcd(3, 4, 6) = 2 × 2 × 3 = 12.

EJERCICIO 5. Analizo en grupos de trabajo la siguiente situación acerca de laparticipación de las mujeres es la vida pública de una sociedad.

Según datos de ONU Mujeres, en el planeta la mayor proporción de la po-blación es femenina sin embargo la participación de la mujer en la política esmarginal. Por ejemplo, en los organismos parlamentarios de algunos paísessu participación es : España 8

21 , Alemania 615 , Suecia 9

20 , EEUU: 15 ,Italia: 5

16 ,Afganistan: 2

17 .

1. ¿ A que números decimales corresponde?

2. ¿Cómo quedan ordenados estos valores de menor a mayor?

Solución: 1. España: 0,38, Alemania: 0,4,Suecia: 0,45,EEUU: 0,2, Italia: 0,31, Af-ganistan: 0,12.

2.10,12; 0,2; 0,31; 0,38; 0,4; 0,45.

Los países quedan ordenados de la siguiente forma: Afganistán, EE.UU, Italia,España, Alemania, Suecia.

2.4.2. Simplificación de expresiones compuestas

Para simplificar expresiones fraccionarias cuyo numerador sea un productoindicado y su denominador otro producto, se van dividiendo los factores del nu-merador y denominador por sus factores comunes hasta que no existan factorescomunes al numerador y denominador.

17

EJERCICIO 6. Simplifique la siguiente expresión:

12 × 10 × 10 × 3516 × 14 × 14 × 21

.

Solución:

12 × 10 × 3516 × 14 × 21

=✚✚❃

312 ×✚✚❃

510 ×✚✚❃

535

✚✚❃4

16 ×✚✚❃7

14 ×✚✚❃3

21= ✁✁✕

1

3 × 5 × 5

4 × 7 × ✁✁✕1

3

=1 × 5 × 54 × 7 × 1

=2528

.

2.5 Regla de tres simple y Conversión de Unidades:

2.5.1. Conocimientos Previos:

Proporcionalidad.

Magnitud:Es cualquier propiedad que sepuede medir numéricamente.

Razón: Es el cociente entre dos magni-tudes comparables entre sí, expresadocomo fracción.

a → antecedente.

b → consecuente.

Proporción:Es una igualdad

Se lee "a

se llamanmedios.

Propiedad:mos es igual

18

Dos magnitudes son directamente proporcionales si la una aumenta cuandola otra crece en el mismo porcentaje o proporción. Y si la una disminuye, laotra también disminuye.

DEFINICIÓN 5: Proporcionalidad Directa.DEFINICIÓN 5: Proporcionalidad Directa.

Ejemplos:

1. La cantidad de manzanas y el valor pagado, a más manzanas mayor canti-dad de dinero pagado.

2. A mayor consumo de electricidad, mayor valor en la planilla de pago. Las

magnitudes son directamente proporcionales.

3. A mayor cantidad de trabajadores realizando una misma obra a la vez, me-nor tiempo utilizado en terminar la obra. Las magnitudes no son directamente

proporcionales.

Dos magnitudes son inversamente proporcionales si al aumentar una, dis-minuye la otra, en la misma proporción.


Ejemplo: La velocidad de un auto y el tiempo en recorrer una distancia. A mayorvelocidad menor tiempo.

2.5.2. Regla de tres:

La regla de tres es una operación que tiene por objeto hallar el cuarto términode una proporción, cuando se conocen tres.

La regla de tres puede ser simple o compuesta.Es simple cuando solamente intervienen en ella dos magnitudes y es com-

puesta cuando intervienen tres o más magnitudes.


OBSERVACIÓN 6. En una Regla de Tres el supuesto está constituido por los datosde la parte del problema que ya se conocen y las pregunta por los datos de la partedel problema que contiene la incógnita. Así en el problema: Si 4 libros cuestan $8,¿Cuánto costarán 15 libros?, el supuesto está constituido por 4 libros y $8 y lapregunta por 15 libros y x dólares.

19

2.5.3. Métodos de resolución:

La Regla de Tres se puede resolver por dos métodos: a) Método de las propor-ciones y b) Método práctico.

2.6 Regla de Tres Simple Directa.

Consiste en calcular uno de los términos, de una de las razones, de una pro-porción directa.


Organizar las magnitudes en forma vertical.

Magnitud 1

a

c

Magnitud 2

b

x

2.6.1. Método de proposiciones:

Una vez organizados los datos del problema, se debe aplicar la propiedad delas cantidades directamente proporcionales, es decir,

x · a = c · b,

luego, se debe "despejar"x, para ello, se debe tomar en cuenta que si una cantidadestá multiplicando en el primer miembro de la igualdad pasa al segundo miembrodividiendo y viceversa.

EJERCICIO 7. Leo el texto, identifico las variables y verifico que se realicen demanera correcta los cálculos.

Si 7 kilos de manzana cuestan $10,50, ¿cuántos dólares cuesta un kilo?¿cuántos kilos se pueden comprar con un dolar?

Peso de lasmanzanas (en kg)

Valor pagado(en $)

Peso de lasmanzanas (en kg)

Valor pagado(en $)

7 10,50 7 10,501 x x 1

20

Solución:

7 · x = 1 · 10,50 10,50 · x = 7 · 1

x =1 · 10,50

7x =

7 · 110,50

x =10,50

7x =

710,50

x = 1,5 x =0,66

1 kg cuesta $1,50 y con $1 se puede comprar 0,66 kg de manzanas.

2.6.2. Método práctico:

Una vez organizados los datos del problema, se escriben el supuesto y la pre-gunta, se compara cada una de las magnitudes con la incógnita (suponiendo quelas demás no varían), para ver si son directa o inversamente proporcionales. A lasmagnitudes directamente proporcionales se les pone debajo un signo + y encimaun signo −, y a las magnitudes que sean inversamente proporcionales se les ponedebajo un signo − y encima un signo +. Al valor de x siempre se le pondrá elsigno + y será igual al producto de todas las cantidades que llevan el signo +,dividido, para el producto de las cantidades que tiene el signo −.

EJERCICIO 8. Si 4 libros cuestan $8, ¿cuánto costarán 15? libros?

Solución: Comparamos: A más libros más dinero; luego, estás cantidades son di-rectamente proporcionales, así, colocamos el signo + debajo de los libros y el signo− encima.

− +

Supuesto: · · · 4 libros · · · $8Pregunta: · · · 15 libros · · · $x

+

Ahora, el valor de x será igual al producto de 8 por 15, que son las cantidades consigno +, divido por 4 que tiene −, es decir,

x =8 × 15

4= $30.

2.7 Regla de Tres Simple Inversa:

21

Consiste en calcular uno de los términos, de una de las razones, de una pro-porción inversa.


Magnitud 1

a

c

Magnitud 2

b

x

Así,

a · b = c · x

x =a · b

c.

2.7.1. Método de proporción:

EJERCICIO 9. Un ganadero tiene forraje suficiente para alimentar a 220 va-cas durante 45 días.¿Cuántos días podrá alimentar con la misma cantidad deforraje a 450 vacas?

Númerovacas.

Número de días.

220 45450 x

Solución:

450 · x = 220 · 45, x =220 · 45

450= 22.

¿Qué sucede con el número de días que dura el forraje cuando aumentan lasvacas? Disminuye.

¿Qué tipo de relación hay entre las magnitudes? Son inversamente proporcio-nales.

Respuesta: Si hay 450 vacas, el alimento durará 22 días.

2.7.2. Método práctico:

EJERCICIO 10. Una cuadrilla de obreros ha hecho una obra en 20 días tra-bajando 6 horas diarias. ¿En cuántos días habrá hecho la obra si hubieran

22

trabajado 8 horas diarias?

Demostración. A más días, menos horas diarias; ponemos − debajo de las horasdiarias y + encima, colocamos + a 20 días, así,

+ +

Supuesto: · · · 20 días · · · 6 horas diariasPregunta: · · · x días · · · 8 horas diarias

−

por lo tanto, el valor de x será:

x =20 × 6

8= 15 días.

2.8 Conversión de unidades.

Para empezar:

Sabías que alrededor del mundo existen varios tipos de medidad de tiem-po, de peso, de longitud y temperatura.

El Sistema Internacional (SI) de unidades es un sistema usado para medir lamateria; existen equivalencias de las diferentes unidades. Sin embargo, hay queconsiderar que las conversiones únicamente se pueden realizar si estas se ubicandentro de las mismas magnitudes. A continuación presentaremos las equivalen-cias entre las unidades de ciertas magnitudes:

23

Unidades de Longitud.

metro(m)

pulgada(”)

piemilla(mi)

1 39,37 3,281 6,214 × 10−4

Unidades de Masa.

kilogramos(kg)

unidad atómicade masa (u)

slugonza(oz)

libra(lb)

1 6,022 × 1026 6,852 × 10−2 35,27 2,205Unidades de Volumen.

m3 cm3 litro(l)

pulg3 pie3

1 106 103 6,102 × 104 35,31

Equivalencias adicionales:

1 ha = 0,01 km2 1” = 2,54 cm 1 f t = 30,48 cm 1 @ = 25 lb

1 qq = 100 lb 1 lb = 16 oz 1 cm3 = 1 ml 1 hora = 3600 s

EJERCICIO 11. 1. Transformar 1,3 km/min a m/s.

2. Carmen va al mercado y compra 380 gramos de lenteja, 1,5 kilogramosde lenteja y 45 onzas de chocolate. ¿Cuántas libras lleva en su canasta?

3. Un automóvil recorre una distancia a una velocidad de 36km

h¿Cuál es

la velocidad del automóvil enm

s?

Solución: 1.

1,3km

min×(

1000 m

1 km

)

×(

1 min

60 s

)

= 21,67m

s.

2.

380 g ×(

1 kg

1000 g

)

×(

2,205 lb

1 kg

)

= 0, 84 lb.

1, 5 kg ×(

2, 205 lb

1 kg

)

= 3, 31 lb.

45 oz ×(

1 lb

16 oz

)

= 3, 75 lb.

Por lo tanto lleva 7, 9 lb a la casa.

24

3.

36km

h×(

1000 m

1 km

)

×(

1 h

3600 s

)

= 10m

s.

2.9 Regla de 3 compuesta

La regla de 3 compuesta se aplica en problemas de proporcionalidad entre treso más magnitudes.

2.9.1. Ejercicios resueltos:

1. Tres Hombres trabajando 8 horas diarias han hecho 80 metros de una obraen 10 días. Cuantos días necesitarán 5 hombres trabajando 6 horas diariaspara hacer 60 metros de la misma obra?

Solución:

+ + - +Supuesto 3 hombres 8 h Diarias 80 ms 10 díasPregunta 5 hombres 6 h Diarias 60 ms 10 días

Comparamos: A más hombres, menos días; ponemos − debajo de hombresy + encima; a más horas diarias de trabajo, menos días en hacer la obra:ponemos − debajo de horas diarias y + encima; a más metros, más días,ponemos + debajo de metros y − encima; ponemos 10 también a 10 días.

El valor de x será el producto de 1 y 6, por 8 y por 3, que son los que tienenlos signos + partido por el producto de 80 por 6 y por 5, que son lo quetienen el signo −, así, tenemos que

x =10 × 60 × 8 × 3

80 × 6 × 5= 6 días.

2. Se se abre 9 grifos durante 10 horas diarias, la cantidad de agua que se con-sume equivale a un valor de $20. ¿ Qué precio se pagará si se abre 15 grifosdurante 12 horas durante los mismo días?

Solución:Supuestos: 9 Grifos → 10 horas diarias → $20Problemas: 15 Grifos → 12 horas diarias → x

• Si se abriese un solo grifo se pagará nueve veces menos dinero 209 .

• Al abrirse 15 grifos se pagará 15 veces más que la cantidad anterior:209 × 15.

25

• Si se abren los grifos durante 1 sola hora diaria, se pagará 10 vecesmenos: 20

9 × 15 ÷ 10.

• Y al abrirlos durante 12 horas diarias se pagará 12 veces más: 20×159×10 ×

12 = 40

Por lo tanto, si se abren 15 grifos durante 12 horas, entonces se pagará $40.

3. Seis elefantes consumen 345 kilos de heno en una semana. ¿ Cuál es el con-sumo de 8 elefantes en 10 días?

• ¿ Qué tipo de proporción hay entre el número de elefantes y la cantidadde heno ? Son directamente proporcionales

• ¿ Qué tipo de proporción hay entre el tiempo que permanecen los ele-fantes y la cantidad de heno que consumen? Son directamente proporcio-

nales

Solución:Supuestos: 6 elefantes → 7 días → 345 kilosProblema: 8 elefantes → 10 días → x

a) Se solo hubiese un elefante consumiera seis veces menos 345 ÷+6.

b) Como existen 8 elefantes, el consumo es: 3456 × 8 kilos.

c) En un día el consumo sería siete veces menos: 345×86 ÷ 7 kilos.

d) Mientras que en 10 días será 10 veces más: 345×8×106×7 = 657,14

Por lo tanto, si permanecen 8 elefantes durante 10 días, consumirán 657,14 kg

de heno.

4. Si 12 obreros, trabajando 8 horas dirías, levantan un muro de 240 metros en10 días, ¿ En cuántos días, 8 obreros que trabajan 8 horas dirías, le levantaran80 metros del muro?

Solución:Supuesto: 12 obreros → 8 horas diarias → 240 m 10 díasProblema: 8 obreros → 6 horas diarias 80 m → x días

Vamos a relacionar: obreros, horas diarias y metros con los días que se tar-dan. Para ello, nos preguntamos:

¿ Cuántos días se tardaría si se aplica las siguientes condiciones sucesiva-mente?

26

1 obrero 8 obreros Trabajando 1h por dia Trabajando 6 h por dia levantando 1 min levantando 8m10 × 12 (10 × 12)÷ 8 10×12

8 × 8 10×12×88 ÷ 6 10×12×8

8×6 ÷ 240 10×12×88×6×240 × 80

12 veces mas6 8 veces menos 8 veces mas 6 veces menos 240 veces menos 80 veces mas

2.9.2. Repartos directamente proporcionales

Consiste en distribuir un total en partes, de manera directamente proporcionalo una magnitud que ellas poseen, como : edad , tamaño , etc. Es decir, tenemosque

Parte1Magnitud1

=Parte2

Magnitud2=

TotalTotal magnitud

,

donde,Parte 1 + Parte 2 + · · · = Total,

yMagnitud 1 + Magnitud 2 + · · · = Total magnitud.

EJERCICIO 12. Juan y Freddy compraron el boleto ganador de una rifa cuyopremio era de $1500. El boleto costo $20. Juan puso $13 y Freddy $7 ¿Cuántodeberá recibir cada uno?

a) ¿ Cómo se representan los valores que recibirán Juan y Freddy?

b) ¿Cómo se plantea las proporciones para el reparto?

Demostración. a) Consideremos:

x = Cantidad de dinero que recibirá Juan,

y = Cantidad de dinero que recibirá Freddy.

1500 → 20 x · 20 = 1500 · 13x → 13 x = 1500·13

20 ; x = 975

1500 → 20 y · 20 = 1500 · 7 = y = 525y → 7

Por lo tanto, Juan recibirá $975 y Freddy $525.

2.10 Ejercicios propuestos:

Orden de las operaciones y signos de agrupación:

27

1. Resolver las siguientes operaciones:

• 52,15 + 6 · 1,4 − 30 ÷ 6 =,

• [12,4 + 50 − (8 · 32) + 15,5 − (9,6 ÷ 2)] =,

• 300 − 3(5 − 2) + (6 + 1)(9 − 3) + 4(8 + 1) =,

• 500 + 6(3 + 1) + (8 − 5)3 − 2(5 + 4) =,

• [(5 + 2)3 + (6 − 1)5][(8 + 6)3 − (4 − 1)2] =.

2. Resolver los siguientes problemas:

• Martín tiene tres pedidos de pizzas a domicilio, primero le solicitan 3pizzas de $15,40 cada uno, le pagan $60, el siguiente pedido es de unaorden de $27,52 y le cancelan $30, el último pedido es de un valor de$18,90 y cancelan lo justo, ¿qué valor total tiene los pedidos?

• Una familia recorre algunas ciudades del Ecuador viajando de la si-guiente manera:

Quito-El Carmen: 174km,

El Carmen-Manta: 210km,

Manta-Nobol: 156,2km,

Nobol-Daule: 9,6km,

Daule-Babahoyo: 72km,

Babahoyo-Guaranda: 96,6km,

Guaranda-Quito: 235,9km.

¿Qué distancia recorrieron?

• Alexandra compró tres papayas en $2,50 cada una, cuatro sandías a$3,20 cada una, $4 por veinte naranjas, cinco melones a $1,60 cada unoy dos babacos a $1,50 cada uno. Entrega dos billetes de $20, ¿cuánto ledieron de vuelto?

¿Qué frutas compró Alexandra?,

¿Cuánto pagó por las papayas?,

¿Cuánto pagó por las sandías?,

¿Cuánto pagó por los melones?,

¿Cuánto pagó por los babacos?,

¿Cuánto pagó por las naranjas?,

¿Qué operaciones se deben realizar?.

28

• El cráter producido por un meteorito en la superficie de cierto planetadeja una cresta de 9

√3m de altura, y presenta una profundidad máxima

de −20√

3m. ¿Qué operación permite calcular la distancia vertical entrela cresta y el punto más profundo del cráter?

Reglas de exponentes racionales:

1. Simplificar y hallar el valor númerico de las siguientes expresiones.

a)

34× 4 × 1

656× 6 × 1

10

2

b)

33 ×(

13

)3

23 ×(

12

)3

×(

13

)2

2

2. Simplifica cada una de las siguientes expresiones y elimina los exponentesnegativos.

a) a8a−4

b) b4(

13

b2)

(

12b−8)

c)a−3b4

a−5b5

d)

(

xy−2z−3)2

(x2y3)−3

3. Complete la siguiente tabla.

Base Exponente Potencia− 5

3 3 − 12527

−2 125

−101 03 1000

25 1625

4. Identifica los valores de las incógnitas w y k en las expresiones: (−27)1w =

−3 y k12 = 6.

29

5. Escribe los radicales en forma de potencia con exponente fraccionario o vi-ceversa.

Radical Potencia1√5

3√

72

423

1132

5√

53

a25

6. Realizar las siguientes operaciones entre radicales.

a) 10√

1610 · 4√

812 · 5√

1610

b) 6√

x7 · 4√

x3 · 7√

(x3)3 · 4√

(x3)4

7. Simplificar cada expresión utilizando las propiedades de los radicales y eli-minando los exponentes negativos.

a)

√

164

m−10b14 · 3√−64m9b−6

b)− 3√

t5h7

6√

th2

c)5√

g15b50 · 4√

(−81)4b−20

20√

g3

8. Explicar si cada igualdad es verdadera o falsa.

a)√

a + b =√

a +√

b

b) (4 + 3)√

2 = 4 + 3√

2

c)√

a · b =√

a ·√

b

d) (4 + 3)√

2 = 7√

2

9. Simplificar las siguientes expresiones radicales.

a)32

3√

1080

b)38

3√

16875

10. Resolver.

30

a)[

2−1 ÷ 12

]−4

− 1, 2 +√

2 ÷√

225

b)(

−12+

34

)−1

− 3√−8 ·

(

−32

)

+ (−2)−2 ÷ (−4)−1

c) (0,2)−1 +

√

16100

· (0, 3)2 +15÷ 1

10+ 1, 4

d)[

13− 0, 3 · (−3)

]

÷(

12

)−1

+ (0,626 ÷ 0,625)÷ 3√

0,027

31

3. UNIDAD 2:

3.1 Álgebra:

Se ha descrito el álgebra como una generalización de la aritmética donde seusan letras para representar números reales. De ahora en adelante, se usarán letrasdel final del alfabeto como x, y y z para representar variables y letras del principiodel alfabeto como a, b y c para representar constantes. En las expresiones 3x + 5 yax + b, se entiende que x es una variable y que a y b son constantes, aun cuandono estén especificadas.

3.1.1. Expresiones algebraicas

Una expresión algebraica es la combinación de constante y variable, mediantelas operaciones de suma, resta, multiplicación, división y elevación a potencia.

Notación o Terminología Significado Ejemplo

constante letra o símbolo que representa un elemento específico de un conjunto. 2, e, π

variable letra o símbolo que representa cualquier elemento de un conjunto x, y, z

Por ejemplo,a 3x4 ax2 + bx − 3

5xy−2 x2 + 3x + 8 +1x

x + 2x − 5

3.1.2. Interpretación

Transformar a lenguaje algebraico las siguientes expresiones del lenguaje ha-bitual:

1. Un número: x

2. Un número incrementado en 5: x + 53. Un número disminuido en 7: x − 74. El doble de un número: 2x

5. La tercera parte de un número: x3

6. El cubo de un número: x3

7. Un número par: 2x x es un número entero8. Dos números consecutivos: x; x + 1 x es un número entero9. Dos números impares consecutivos: 2x + 1; 2x + 3 x es un número entero10. El cuadrado de un número: x2

32

3.2 Clasificación de polinomios

Las expresiones pueden clasificarse de la siguiente manera:

3.2.1. Monomio

Un monomio en una variable es el producto de una constante por una variableelevada a una potencia entera no negativa, de la forma

axk,

donde a es una constante, x es una variable y k ≥ 0 es un entero. La constante a sellama coeficiente del monomio. Si a 6= 0, entonces k se llama grado del monomio.

Grado de un monomio:

Se llama grado de un monomio al número de factores literales que contengadisminuido el número de divisores literales.

El grado de un monomio es, por consiguiente, un entero positivo, negati-vo o nulo, según los casos.

Si el monomio no tiene factores o divisores literales su grado es 0.


Ejemplos:

Monomio: Grado: Monomio: Grado:

2abc. 1. −2 x2

y2z3 . 3.

−6a2b3. 5. 6x2. 2.a3b2

c2d. 2. −

√2x3. 3.

abc . 1. 3. 0.

abcd . 1. −5x. 1.abc . −1. x4. 4.

Expresiones que no son monomios:

1. 3x12 no es monomio, porque el exponente de la variable x es 1

2 , el cual, no esun entero no negativo.

2. 4x−3 no es un monomio, porque el exponente de la variable x es −3 que noes un entero no negativo.

33

Términos semejantes:

Dos monomios con la misma variable elevada a la misma potencia se llamantérminos semejantes.


Por ejemplo, 2x4 y −5x4 son términos semejantes. Por el contrario, los monomios2x3 y 2x5 no son términos semejantes. Los términos semejantes se suman o restanusando la propiedad distributiva, así,

2x2 + 5x2 = (2 + 5)x2 = 7x2 ∧ 8x3 − 5x3 = (8 − 5)x3 = 3x3.

3.2.2. Binomio:

La suma o diferencia de dos monomios que tienen grados diferentes se llamabinomio.


x2 − 2 ∧ 2x2 + 5x2 + 2 = 7x2 + 2,

son binomios.

3.2.3. Trinomio:

La suma algebraica indicada de tres monomios recibe el nombre de trinomio.


x3 − 3x + 5, 3x2 − 2x + 5 ∧ 4x3 + 2x2y + y4,

son trinomios.

3.2.4. Polinomio:

Un polinomio en una variable es una expresión algebraica de la forma

anxn + an−1xn−1 + · · ·+ a1x + a0,

donde an, an−1, . . . , a1, a0 son constantes, llamadas coeficiente del polinomio,n ≥ 0 es un entero.


34

Si an 6= 0, recibe el nombre de coeficiente principal y n se denomina el gradodel polinomio. En general, los polinomios se escriben en forma estándar, comen-zando con el término diferente de cero con el grado más alto y siguiendo con lostérminos en orden descendente de acuerdo con el grado.

Ejemplos de polinomios:

Polinomio: Coeficiente: Grado:

−8x3 + 4x2 − 6x + 2. −8, 4,−6, 2. 3.3x2 − 5 = 3x2 + 0x + (−5). 3, 0,−5. 2.

8 − 2x + x2 = x2 + (−2x) + 8. 1,−2, 8 2.5x +

√2 = 5x1 +

√2. 5,

√2. 1.

3 = 3 · 1 = 3 · x0. 3. 0.0. 0. Sin grado.

Expresiones que no son polinomios: Consideremos la expresiones algebrai-cas:

1x= x−1 ∧ x2 + 1

x + 5,

de donde, se sigue que no son polinomios. En efecto, la primera expresión tieneun exponente que no es un entero no negativo. Por otro lado, en la segunda ex-presión, el polinomio en el denominador tiene grado mayor que 0, de manera quela expresión no puede ser un polinomio.

3.2.5. Polinomio reducido:

Un polinomio se dice reducido cuando carece de términos semejantes y detérminos con coeficientes nulos.


Ejemplos:Son polinomios reducidos:

x2 − 5x + 6, a − b + c ∧ 3x − 2y + 6z2.

Por otro lado,x3 − 2x2 + 4x − 5x2 − 3x + 6 − x,

no está reducido, efectuando la reducción, se tiene que

x3 − 2x2 + 4x − 5x2 − 3x + 6 − x = x3 − 7x2 + 0x + 6 = x3 − 7x2 + 6.

35

3.3 Términos semejantes

Son monomios que poseen iguales letras y exponentes.


3.3.1. Reducción de términos semejantes

Se puede reducir términos mediante las operaciones suma y resta.Por ejemplo:

x2y − 5xy2 + 6x2 − 7xy + 6x2y + 8xy − y2 − x2 = (x2y + 6x2y) + (−5xy2) + (6x2 − x2) +

= 7x2y − 5xy2 + 5x2 + xy − y2

3.4 Suma y Resta de Polinomios

3.4.1. Suma de Polinomios:

Se encontrará la suma de dos maneras:

1. Suma Horizontal: La idea es agrupar los términos semejantes y despuéscombinarlos. Dado los polinomios:

P(x) = 8x3 − 2x2 + 6x − 2 y Q(x) = 3x4 − 2x3 + x2 + x.

Realizar P(x) + Q(x). Tenemos que

P(x) + Q(x) = 8x3 − 2x2 + 6x − 2 + (3x4 − 2x3 + x2 + x)

P(x) + Q(x) = 3x4 + (8x3 − 2x3) + (−2x2 + x2) + (6x + x)− 2P(x) + Q(x) = 3x4 + 6x3 − x2 + 7x − 2,

2. Suma vertical: Este método consiste en alinear verticalmente los términossemejantes de cada polinomio y luego sumar los coeficientes.

8x3 −2x2 +6x −2(+) 3x4 −2x3 +x2 +x

3x4 +6x3 −x2 +7x −2

3.5 Resta de polinomios:

1. Resta horizontal: Dados los polinomios

P(x) = 3x4 − 4x3 + 6x2 − 1 y Q(x) = 2x4 − 8x2 − 6x + 5,

36

encuentre su diferencia.

Solución:

P(x)− Q(x) = 3x4 − 4x3 + 6x2 − 1 − (2x4 − 8x2 − 6x + 5)P(x)− Q(x) = 3x4 − 4x3 + 6x2 − 1 − 2x4 + 8x2 + 6x − 5P(x)− Q(x) = (3x4 − 2x4) + (−4x3) + (6x2 + 8x2) + 6x + (−1 − 5)P(x)− Q(x) = x4 − 4x3 + 14x2 + 6x − 6.

2. Resta vertical: Se alinean los términos semejantes, se cambia el signo de cadacoeficiente del segundo polinomio y se suma.

3x4 −4x3 +6x2 −1(−) 2x4 −8x2 −6x +5,

de donde, se obtiene que

3x4 −4x3 +6x2 −1(+) −2x4 +8x2 +6x −5

x4 −4x3 +14x2 +6x −6.

3.6 Multiplicación de Polinomios

Para multiplicar dos polinomios se aplica la ley distributiva, resultando unnuevo polinomio cuyos términos son los productos de cada término del primerpolinomio por cada término del segundo polinomio.

EJERCICIO 13. a) Multiplicar −am+1bn−2 por −4am−2b2n+4,

b) Multiplicar: a + b + c por x + y + z.

Solución: a)

(−am+1bn−2) · (−4am−2b2n+4) = 4a2m−1b3n+2

b)

(a + b + c)(x + y + z) = a(x + y + z) + b(x + y + z) + c(x + y + z)

= ax + ay + az + bx + by + bz + cx + cy + cz

37

En la multiplicación de polinomios ocurre frecuentemente que el productocontiene términos semejantes. Conviene entonces adoptar la disposición que seutiliza en los ejemplos siguientes, con lo cual se consigue que los términos seme-jantes queden en columna y sea fácil efectuar su reducción.

Antes de efectuar la multiplicación es conveniente ordenar los polinomios enpotencias ascendentes o descendentes del factor literal que contengan (o de unode ellos, si contienen varios factores literales).

EJERCICIO 14. a) Multiplicar x2 − 5x + 2 por 2x − 3,

b) Multiplicar x2 − xy + y2 por x + y.

Solución: a)x2 −5x +2

2x −32x3 −10x2 +4x

−3x2 +15x −62x3 −13x2 +19x −6.

b)x2 −xy +y2

x +y

x3 −x2y +xy2

+x2y −xy2 +y3

x3 +y3.

Producto continuado de Polinomios

Al poner los factores entre paréntesis la multiplicación está indicada. Se iniciamultiplicando dos factores cualesquiera; este producto se multiplica por el tercerfactor y este nuevo producto por el factor que queda.

EJERCICIO 15. Efectuar:

3x(x + 3)(x − 2)(x + 1).

38

Solución:

3x(x + 3)(x − 2)(x + 1) = (3x2 + 9x)(x − 2)(x + 1)= (3x3 + 9x2 − 6x2 − 18x)(x + 1)= (3x3 + 3x2 − 18x)(x + 1)= 3x4 + 3x3 − 18x2 + 3x3 + 3x2 − 18x

= 3x4 + 6x3 − 15x2 − 18x.

3.7 División de Polinomios

División de un monomios:

Dividir un monomio por otro es encontrar un tercero cuyo producto por elsegundo sea el primero.

EJERCICIO 16. 1. Dividir 15x3y2 para −3x2,

2. Dividir23

a2b3c entre −56

a2bc .

Solución: 1. La división de 15x3y2 por −3x2 viene dada por:

(15x3y2)÷ (−3x2) = −5xy−2.

2.23

a2b3c

−56

a2bc= −12

15b2 = −4

5b2.

3.8 División de un polinomio por un monomio

Se divide cada uno de los términos del polinomio por el monomio separan-do los cocientes parciales con sus propios signos. Esta es la ley distributiva de ladivisión.

EJERCICIO 17. Dividir 3a3 − 6a2b + 9ab2 entre 3a.

Demostración.

(3a3 − 6a2b+ 9ab2)÷ 3a =3a3 − 6a2b + 9ab2

3a=

3a3

3a− 6a2b

3a+

9ab2

3a= a2 − 2ab+ 3b2.

39

División de polinomios

Considerando dos polinomios P(x) y Q(x) (dividendo y divisor respectiva-mente) ordenados según las potencias descendentes de una letra y con el gradode P(x) mayor al grado de Q(x), existen R(x) y S(x) residuo y cociente respecti-vamente, tales que:

P(x)

Q(x)= S(x) +

R(x)

Q(x),

es decir;DIVIDENDO

DIVISOR= COCIENTE +

RESIDUODIVISOR

,

equivalentemente, tenemos que

P(x) = S(x) · Q(x) + R(x).

EJERCICIO 18. 1. Dados los polinomios:

P(x) = x3 − 6x − 5 y Q(x) = 2x − 6

RealizarP(x)

Q(x).

2. Dados:

P(x) = x6 + x5 + 7x4 + 8x3 + 9x2 + 6x + 3 y Q(x) = x2 + x + 1,

RealizarP(x)

Q(x).

Solución: 1.x3 −6x −5 2x −6

−x3 +3x2 12 x2 + 3

2 x + 32

3x2 −6x −5−3x2 +9x

3x −5−3x +9

4

40

Por lo tanto,P(x)

Q(x)=

12

x2 +32

x +32+

42x − 6

.

2.

x6 +x5 +7x4 +8x3 +9x2 +6x +3 x2 +x +1−x6 −x5 −x4 x4 +6x2 +2x +1

6x4 +8x3 +9x2 +6x +3−6x4 −6x3 −6x2

2x3 +3x2 +6x +3−2x3 −2x2 −2x

x2 +4x +3−x2 −x −1

3x +2

Con esto, se sigue que

P(x)

Q(x)= x4 + 6x2 + 2x + 1 +

3x + 2x2 + x + 1

.


Operaciones con polinomios:

1. Dado los polinomios, analizar la solución de los siguientes ejercicios.

◦ P(x) = 4x2 − 1

◦ Q(x) = x3 − 3x2 + 6x − 2

◦ R(x) = 6x2 + x + 1

◦ S(x) = 12 x2 + 4

◦ T(x) = 32 x2 + 5

Realizar:

a) P(x) + R(x) = 10x2 + x

b) Q(x) + S(x) = x3 − 52

c) P(x)− T(x) =52

x2 − 6

d) T(x)− Q(x) = −x3 +92

x2 − 6x + 7

41

4. UNIDAD 3:

4.1 Productos notables:

Los productos notables son multiplicaciones cuyo resultado puede escribirsedirectamente, sin hacer paso a paso la multiplicación. Son como las tablas demultiplicar del álgebra elemental.


4.1.1. Suma por la diferencia:

Sean a, b ∈ R, la expresión (a + b)(a − b) puede calcularse como:

(a + b)(a − b) = a2 − b2,

es decir, se eleva cada término al cuadrado y se restan.

4.1.2. Producto de la forma (ax + b)(ax + c):

Sean a, b y c ∈ R, se tiene que

(ax + b)(ax + c) = (ax)2 + (ab + ac)x + bc.

4.1.3. Binomio al cuadrado:

Sean a, b ∈ R, para elevar un binomio al cuadrado, se suman los cuadrados decada término más el doble del producto de ellos, es decir,

(a + b)(a + b) = (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.

Por otro lado,(a − b)2 = a2 − 2ab + b2.

4.1.4. Trinomio al cuadrado:

Sean a, b, c ∈ R, para elevar un trinomio al cuadrado; es decir, para determinarel valor de (a + b + c)2 se suman, sucesivamente:

• El cuadrado del primer término (a2), el cuadrado del segundo término (b2)

y el cuadrado del tercer término (c2).

42

• El doble producto primero por el segundo (2ab), el doble producto del pri-mero por el tercero (2ac) y el doble producto del segundo por el tercero(2bc).

Así,(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc.

EJERCICIO 19. Usando las fórmulas de productos notables, realice los siguien-tes ejercicios:

1. (x − 5)(x + 5) = · · · ,

2. (x + 7)2 = · · · ,

3. (2x + 1)2 = · · · ,

4. (3x − 4)2 = · · · ,

5. (x + 2)3 = · · · ,

6. (3x + 4)(3x + 2) = · · · ,

Solución:

1. Vemos que la expresión es una suma por la diferencia, así, debemos elevarcada término al cuadrado y restarlos:

(x − 5)(x + 5) = x2 − 52 = x2 − 25.

2. Usando el binomio al cuadrado, debemos sumar los cuadrados de cada tér-mino x2, 72 y el doble producto de estos 2(x)(7), así,

(x + 7)2 = x2 + 2(x)(7) + 72 = x2 + 14x + 49.

3. Por el binomio al cuadrado, identifiquemos el primer y segundo términopor a = 2x y b = 1, así,

(2x + 1)2 = (2x)2 + 2(2x)(1) + 1 = 4x2 + 4x + 1.

4. Nuevamente, por el binomio al cuadrado, tenemos que

(3x − 4)2 = (3x)2 − 2(3x)(4) + (4)2 = 9x2 − 24x + 16.

43

5. Usando la fórmula del trinomio al cuadrado perfecto, se sigue que

(x + 2)3 = x3 + 3x2(2) + 3x(2)2 + 23 = x3 + 6x2 + 12x.

6. Vemos que esta expresión es de la forma (ax + b)(ax + c), donde

a = 3, b = 4, ∧ c = 2,

así, aplicando la fórmula, tenemos que

(3x + 4)(3x + 2) = (3x)2 + (3(4) + 3(2))x + (4)(2) = 9x2 + 18x + 8.

Binomio al cubo:

Sean a, b ∈ R, para elevar un binomio al cubo; es decir, (a + b)3 se suman, lossiguientes términos:

• El cubo del primer término a3.

• El triple producto del cuadrado del primero por el segundo 3a2b.

• El triple producto del primero por el cuadrado del segundo 3ab2.

• El cubo del segundo término b3.

Así,(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.

Por otro lado, (a − b)3:

(a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3.

Binomio de Newton:

El Binomio de Newton es un método matemático que permite a determinarel valor de un binomio elevado a la n-ésima potencia. Para poder determinar elresultado mediante este método la potencia n debe ser un número entero positivo.Es un método que consiste en la sumatoria de una combinación de términos:

(a + b)n =n

∑k=0

(

n

k

)

an−kbk

(

n

k

)

=n!

k! (n − k)!

44

Cabe mencionar que a, b ∈ R y n, k ∈ N, k es un contador que va desde cero hastael valor de la potencia deseada.

OBSERVACIÓN 7. Tener en cuenta que 0! = 1.

EJERCICIO 20. Usando las fórmulas de productos notables, realice los siguien-tes ejercicios:

a) (2 + 3x)4 = · · · ,

b) (3x2 − x)3 = · · · ,

c) Hallar el término central en el desarrollo de:(

x13 + y

13

)12

,

d) Hallar el término independiente del siguiente binomio:(

x − 12x

)10

.

Solución: a) Como podemos ver es un binomio que está elevado a la cuarta, porlo que procederemos a utilizar el Binomio de Newton para resolverlo:

(2 + 3x)4 =4

∑k=0

(

4k

)

(2)4−k(3x)k

Para k=0,(

40

)

=4!

0! (4 − 0)!=

4!1 · 4!

=4 · 3 · 2 · 1

1 · (4 · 3 · 2 · 1)= 1

Para k=1,(

41

)

=4!

1! (4 − 1)!=

4!1 · 3!

=4 · 3 · 2 · 1

1 · (3 · 2 · 1)= 4

Para k=2,(

42

)

=4!

2! (4 − 2)!=

4!2! · 2!

=4 · 3 · 2 · 1

(2 · 1) · (2 · 1)= 6

Para k=3,(

43

)

=4!

3! (4 − 3)!=

4!3! · 1!

=4 · 3 · 2 · 1(3 · 2 · 1) · 1

= 4

Para k=4,(

44

)

=4!

4! (4 − 4)!=

4!4! · 0!

=4 · 3 · 2 · 1

(4 · 3 · 2 · 1) · 1= 1

Por lo tanto,

(2 + 3x)4 = 1 · (2)4−0 · (3x)0 + 4 · (2)4−1 · (3x)1

45

+ 6 · (2)4−2 · (3x)2 + 4 · (2)4−3 · (3x)3 + 1 · (2)4−4 · (3x)4

de donde, se tiene que

(2 + 3x)4 = 24 + 4 · (2)3 · (3x) + 6 · (2)2 · (3x)2 + 4 · (2) · (3x)3 + (3x)4,

luego,(2 + 3x)4 = 16 + 96x + 216x2 + 216x3 + 81x4.

b) La forma del binomio nos dice que es un binomio elevado al cubo por lo queprocedemos a aplicar la fórmula:

(3x2 − x)3 = (3x2)3 − 3(3x2)2(x) + 3(3x2)x2 − x3

(3x2 − x)3 = 27x6 − 27x5 + 9x4 − x3

c) Como n = 12,entonces la cantidad de términos es 13 y el término central es elséptimo, con lo que k = 6. Teniendo la siguiente forma:

(

126

)

·(

x13

)12−6

·(

y13

)6

(

126

)

x2y2

(

126

)

=12!

6! (12 − 6)!=

12!6! · 6!

=12 · 11 · 10 · 9 · 8 · 7 · 6!

6! · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1= 924

Así el séptimo término sería: 924x2y2

d) El término independiente se refiere al elemento que no contiene la ”x” en suexpresión, es decir consideramos un x0 ya que es igual a la unidad. Así, pre-sentamos el término general de la siguiente manera:

(

10k

)

(x)10−k(− 12x

)k

Para esto en primer lugar consideramos solo la x para igualar a cero su expo-nente:

x10−k

(

1xk

)

= x0

x10−kx−k = x0

10 − 2k = 0

46

10 = 2k

k = 5

Por lo tanto el término buscado es el sexto:(

105

)

(x)10−5(

− 12x

)5

=10!5! 5!

(

−12

)5

(

105

)

(x)10−5(

− 12x

)5

=10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5!5! · 5 · 4 · 3 · 2 · 1

(

− 132

)

(

105

)

(x)10−5(

− 12x

)5

= −25232

= −638

4.2 Cocientes notables:

Son aquellos cocientes que obedecen a reglas fijas y que pueden ser escritospor simple inspección.

Cociente de la diferencia de los cuadrados de dos cantidades entre la suma o ladiferencia de las cantidades

a.a2 − b2

a + b=

(a − b)(a + b)

a + b= a − b

El cociente de la diferencia de los cuadrados de dos cantidades entre la sumade las cantidades es igual a la diferencia de las cantidades.

b.a2 − b2

a − b=

(a − b)(a + b)

a − b= a + b

El cociente de la diferencia de los cuadrados de dos cantidades entre la dife-rencia de las cantidades es igual a la suma de las cantidades.

Cociente de la suma o diferencia de los cubos de dos cantidades entre la sumao la diferencia de las cantidades.

a.a3 + b3

a + b=

(a2 − ab + b2)(a + b)

a + b= a2 − ab + b2.

El cociente de la suma de los cubos de dos cantidades entre la suma de lascantidades es igual a el cuadrado de la primera cantidad menos el productode las dos cantidades más el cuadrado de la segunda cantidad.

47

b.a3 − b3

a − b=

(a2 + ab + b2)(a − b)

a − b= a2 + ab + b2,

El cociente de la diferencia de los cubos de dos cantidades entre la diferen-cia de las cantidades es igual a el cuadrado de la primera cantidad más elproducto de las cantidades más el cuadrado de la segunda cantidad.

Cociente de la suma o diferencia de potencias iguales de dos cantidades entrela suma o diferencia de las cantidades

a4 − b4

a − b= a3 + a2b + ab2 + b3 (Potencias pares)

a4 − b4

a + b= a3 − a2b + ab2 − b3 (Potencias pares)

a5 − b5

a − b= a4 + a3b + a2b2 + ab3 + b4 (Potencias impares)

a5 − b5

a − b= a4 + a3b + a2b2 + ab3 + b4 (Potencias impares)

a4 + b4

a + by

a4 + b4

a − b.

Se puede entender que:

• La diferencia de potencias iguales, ya sean pares o impares, es siempre divi-sible por la diferencia de las bases.

• La diferencia de potencias iguales pares es siempre divisible por la suma delas bases. La suma de potencias iguales impares es siempre divisible por lasuma de las bases.

• La suma de potencias iguales pares nunca es divisible por la suma i por ladiferencia de las bases.

Procedimiento:

1. El cociente tiene tantos términos como unidades tiene el exponente de lasletras en el dividendo.

2. El primer término del cociente se obtiene dividiendo el primer término deldividendo entre el primer termino del divisor y el exponente de a disminuye1 en cada termino.

48

3. El exponente de b en el segundo término de cociente es 1 y este exponenteaumenta el 1 en cada termino posterior a este.

4. Cuando el divisor es (a-b) todos os signos del cociente son +, y cuando eldivisor es ( a +b), los signos del cociente son alternativamente + y −

Ejemplos

1.x4 − y4

x − y= x3 + x2y + xy2 + y3

• Primer término:x4

x= x4−1 = x3

• Segundo término: x3−1 = x2 → y1 = x2y

• Tercer término: x2−1 = x1 = x → y1+1 = y2 → xy2

• Cuarto término: x0 = 1 → x0 = 1 → y2+1 = y3

Observa que el segundo término del dividiendo, o sea la y, se empieza acolocar a partir del segundo término de cociente, elevado a la potencia1; pero toda la potencia a la 1 es igual a su base: Ejemplo y1 = y

2.a5 − n5

a − n= a4 + a3n + 2n2 + an3 + n4

• Primer término: a5

a = a5−1 = a4

• segundo término: a4−1 = a3; n1 = n → a3n

• Tercer término: a3−1 = a2; n1+1 = n2 → a2n2

• Cuarto término: a2−1 = a1 = a; n2+1 = n3 → an3

• Quinto término: a(1 − 1) = a0 = 1; n3+1 = n4 → n4 = n4

3.64m6 − 729n6

2m + 3n=

(2m)6 − (3n)62m + 3n

= 32m5 − 48m4b + 72m3b2 − 108m2n3 +

162mn4 − 243m5

• Primer término: 2m6−1 = (2m)5 = 32m5

• segundo término: (2m)5−1 = (2m)4 = 16m4; (3n)1 → (16m4)(3n) =

16(3)m4n = 48m4n

• Tercer término: (2m)4−1 = (2m)3 = 8m3; (3n)1+1 = 3n2 = 9n2 →(8m3)(9n2) = (8)(9)m3n2 = 72m3n2

• Cuarto término: (2m)3−1 = (2m)2 = 4m2; (3n)2+1 = (3n)3 = 27n3 →(4m2)(27n3) = (4)(27)m2n3 = 108m2n3

49

• Quinto término: (2m)2−1 = (2m)1 = 2m; (3n)3+1 = (3n)4 = 81n4 →(2m)(81n4) = (2)(81)mn4 = 162mn4

• Sexto término: (2m)1−1 = (2m)0 = 1; (3n)4+1 = (3n)5 = 243n5 →(1)(243n5) = 243m5

El cociente original 64m6 − 729n6 se cambia por (2m)6 − (3n)6, dadoque 64m2 es igual a (2m)6y729n6 es igual (3n)6;→ se usa para el desa-rrollo de los términos de divisor 2m y 3n siguiendo los pasos que sehan utilizado en el desarrollo de los anteriores casos.

4.3 Factorización:

La factorización es una técnica que consiste en la descomposición de unaexpresión matemática en forma de producto. Para esto, se debe poner en evi-dencia un factor común, si es que lo hay, y luego analizar si el factor no comúncorresponde al desarrollo de uno o más de los productos notables.


OBSERVACIÓN 8. Todas las expresiones correspondientes a los productos nota-bles pueden ser usadas como expresiones de factorización si las leemos de derechaa izquierda.

4.3.1. Factor común:

Para emplear este método, se busca el monomio que es el máximo común di-visor de todos los términos del polinomio, factorizándolo como un factor comúnque es una aplicación de la ley distributiva.

OBSERVACIÓN 9. Recordemos que para todo a, b y c ∈ R, la ley distributiva esta-blece que:

a(b + c) = ab + ac.

Ejemplos:

Polinomios: Monomio factor común: Factor restante: Forma factorizada:2x + 4. 2. (x + 2). 2x + 4=2(x+2).3x − 6. 3. (x − 2). 3x − 6=3(x+2).

2x2 − 4x + 8. 2. (x2 − 2x + 4). 2x2 − 4x + 8 = 2(x2 − 2x + 4).8x − 12. 4. (2x − 3). 8x − 12 = 4(2x − 3).x2 + x. x. (x + 1). x2 + x = x(x + 1).

x3 − 3x2. x2. (x − 3). x3 − 3x2 = x2(x − 3).6x2 + 9x. 3x. (2x + 3). 6x2 + 9x = 3x(2x + 3).

50

4.3.2. Factor común por agrupación:

En ocasiones no hay un factor común a todos los términos del polinomio, sinoen cada uno de varios grupos de términos que juntos forman un polinomio. Cuan-do esto ocurre, el factor común de cada grupo se factoriza mediante la propiedaddistributiva. Esta técnica se llama factorización por agrupamiento.

EJERCICIO 21. a) Factorice el siguiente polinomio:

(x2 + 2) · x + (x2 + 2) · 3.

b) Factorice por agrupamiento:

3(x − 1)2(x + 2)4 + 4(x − 1)3(x + 2)3.

c) Factorice por agrupamiento el siguiente polinomio:

x3 − 4x2 + 2x − 8.

Demostración. a) Vemos que (x2 + 2) es el factor común del polinomio, así, por lapropiedad distributiva, tenemos que

(x2 + 2) · x + (x2 + 2) · 3 = (x2 + 2)(x + 3).

b) Notemos que (x − 1)2 · (x + 2)3 es un factor común del polinomio precedente,luego, por la propiedad distributiva, tenemos que

3(x − 1)2(x + 2)4 + 4(x − 1)3(x + 2)3 = (x − 1)2(x + 2)3[3(x + 2) + 4(x − 1)]

= (x − 1)2(x + 2)3[3x + 6 + 4x − 4]

= (x − 1)2(x + 2)3(7x + 2),

es decir,

3(x − 1)2(x + 2)4 + 4(x − 1)3(x + 2)3 = (x − 1)2(x + 2)3(7x + 2).

c) Para factorar este polinomio, por el método de agrupación, debemos agruparlos términos en dos grupos, de modo que, estos grupos tengan un factor encomún, así,

x3 − 4x2 + 2x − 8 = (x3 − 4x2) + (2x − 8),

notemos que x2 y 2 son factores comunes del primer y segundo grupo, respec-

51

tivamente, de donde, por la propiedad distributiva, tenemos que

x3 − 4x2 + 2x − 8 = x2(x − 4) + 2(x − 4),

nuevamente, puesto que (x − 4) es factor común de x2 y 2, obtenemos que

x3 − 4x2 + 2x − 8 = (x − 4)(x2 + 2).

4.3.3. Diferencia de cuadrados

Al estudiar productos notables teníamos lo siguiente:

(a + b)(a − b) = a2 − b2,

como se había mencionado en capítulos anteriores, la factorización no es más queir de izquierda a derecha, ya se busca dejar en forma de producto una expresiónmatemática, es por esto que la diferencia de cuadrados no es más que:

a2 − b2 = (a + b)(a − b),

es decir, la diferencia de cuadrados es igual al producto de la suma por la diferen-cia de sus bases.

Pasos a seguir para calcula la diferencia de cuadrados:

• Se extrae la raíz cuadrada de ambos términos.

• Se multiplica la suma por la diferencia de estas cantidades (el segundo ter-mino del binomio negativo es la raíz del termino del binomio que es negati-vo).

EJERCICIO 22. a) Factorice el siguiente polinomio:

16a2b4 − 36b4.

b) Factorice el siguiente polinomio:

49(m + n)2 − 144(m − n)2.

52

c) Factorizar el siguiente binomio:

x6

49− 4a10

121.

Demostración. a) Para factorizar la expresión, primero vamos determinar las raí-ces de los términos de este binomio:

√16a2b4 = 4ab2 y

√36b4 = 6b2.

Una vez determinadas sus raíces podemos factorizar de la siguiente manera:

16a2b4 − 36b4 = (4ab2 + 6b2)(4ab2 − 6b2).

Adicionalmente, podemos calcular un factor común en cada uno de los parén-tesis para obtener una expresión más simplificada:

16a2b4 − 36b4 = 2b2(2a + 3) · 2b2(2a − 3)

16a2b4 − 36b4 = 4b4(2a + 3)(2a − 3)

b) En primer lugar, vamos a calcular la raíz de cada término, en efecto, tenemosque

√

49(m + n)2 = 7(m + n) y√

144(m − n)2 = 12(m − n),

de donde, la factorización es

49(m + n)2 − 144(m − n)2 = [7(m + n) + 12(m − n)][7(m + n)− 12(m − n)],

luego, por la propiedad distributiva y reduciendo términos semejantes, se si-gue que

49(m + n)2 − 144(m − n)2 = (7m + 7n + 12m − 12n)(7m + 7n − 12m + 12n),

así,

49(m+n)2 − 144(m−n)2 = (19m− 5n)(−5m+ 19n) = (19m− 5n)(19n− 5m).

c) Nuevamente, calculamos las raíces, tenemos que

√

x6

49=

x3

7y

√

4a10121

=2a5

11,

53

luego, la factorización es

x6

49− 4a10

121=

(

x3

7+

2a5

11

)(

x3

7− 2a5

11

)

.

4.3.4. Trinomio cuadrado perfecto:

Para usar este método tenemos el polinomio con tres términos debe satisfacerlas siguientes condiciones:

• Dos de esos términos tienen que ser cuadrados perfecto,

• Esos dos cuadrados perfectos deben tener el mismo signo.

• El otro término debe ser el doble producto de las raíces de los cuadradosperfectos.

Ahora, procedemos a factorizar de la siguiente manera:

a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2.

EJERCICIO 23. Factorizar las siguientes expresiones:

1. 36x2 + 12xy2 + y4 = · · · ,

2. 25m4 − 40m2 + 16 = · · · ,

3. 125 + 25x4

36 − x2

3 = · · · .

Demostración. 1. Para esto analizamos las condiciones previamente menciona-das:

•√

36x2 = 6x,

•√

y4 = y2,

• 2(6x)(y2) = 12xy2.

Debido a que cumple con las condiciones, podemos factorizar de la siguientemanera:

36x2+12xy2 + y4 = (6x+y2)2

2. De igual forma, analizamos las condiciones:

54

•√

25m4 = 5m2

•√

16 = 4

• 2(5m2)(4) = 40m2

Debido a que si cumple las condiciones podemos factorizar de la siguientemanera:

25m4 − 40m2 + 16 = (5m2 − 4)2

3. Primero procedemos a ordenar:

25x4

36− x2

3+

125

,

luego, analizamos las condiciones:

•

√

25x4

36=

5x2

6

•

√

125

=15

• 2(

5x2

6

)(

15

)

=x2

3

con esto, se tiene que

25x4

36− x2

3+

125

=

(

5x2

6− 1

5

)2

.

4.3.5. Diferencia de cuadrados

La suma de dos cantidades multiplicadas por su diferencia es igual al cuadra-do del minuendo menos el cuadrado del sustraendo, es decir,

(a + b)(a − b) = a2 − b2.

4.3.6. Regla para factorizar una diferencia de cuadrados

Se extrae la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo, luego, se multiplica lasuma de estas raíces cuadradas por la diferencia entre la raíz del minuendo y ladel sustraendo.

1. Factorizar la expresión: 1 − a2.

55

Tenemos que √1 = 1 y

√a2 = a,

de donde, multiplicando (1 + a) por la diferencia (1 − a), se sigue que

1 − a2 = (1 + a)(1 − a).

2. Descomponer la expresión: 16x2 − 25y4. Sabemos que

√16x2 = 4x y

√

25y4 = 5y2,

de donde, multiplicando la suma de estas raíces (4x + 5y2) por su diferencia(4x − 5y2), se obtiene que

16x2 − 25y4 = (4x + 5y2)(4x − 5y2).

3. Factorizar 49x2y6z10 − a12, en efecto, se tiene que

49x2y6z10 − a12 = (7xy3z5 + a6)7xy3z5 − a6.

4. Factorizara24

− b4

9.

Sabemos que√

a2

4=

a

2y

√

b4

9

así, se sigue quea24

− b4

9=

(

a

2+

b2

3

)(

a

2− b2

3

)

.

5. Factorizar la expresión: a2n − 9b4m. Es fácil ver que

a2n − 9b4m = (a4 + 3b2m)(an − 3b2m).

4.3.7. Caso especial:

1. Factorizar (a + b)2 − c2.La regla empleada, es también aplicable a las diferencias de cuadrados enque uno o ambos cuadrados son expresiones compuestas.

Notemos que√

(a + b)2 = a + b y√

c2 = c,

56

de donde, obtenemos que

(a + b2)− c2 = [(a + b) + c][(a + b)− c] = (a + b + c)(a + b − c).

EJERCICIO 24. Usando la fórmula anterior factorice la expresión: 4x2 −(x + y)2.

Solución: Tenemos que

√

(a + x)2 = a + x y√

(x + 2)2 = x + 2,

con esto, tenemos que

(a + x)2 − (x + 2)2 = [(a + x) + (x + 2)][(a + x)− (x + 2)]

= (a + x + x + 2)(a + x − x − 2)

= (a + 2x + 2)(a − 2).

4.3.8. Trinomio Cuadrado perfecto

Una entidad es un cuadrado perfecto cuando es el producto de multiplicar dosfactores iguales.

Un trinomio cuadrado perfecto es de la forma general

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 o (a − b)2 = a2 − 2ab + b2.

Procedimiento:

a) Se ordena el trinomio,

b) Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer término,

c) Se halla el doble de producto de las raíces obtenidas en el paso anterior,

d) Si el producto hallado en el paso anterior es igual al segundo término del tri-nomio y si el primero y el tercer términos tiene igual signo, se trata de untrinomio cuadrado perfecto y se factoriza como tal,

e) Se escribe dentro de un paréntesis las raíces cuadradas del primero y tercertérminos, separadas por el signo del segundo término, y el paréntesis elevadoal cuadrado.

57

4.3.9. Ejemplos:

Factorar o descomponer en dos factores las siguientes expresiones:

1. a2 − 2ab + b2 a: raíz cuadrada del primer término del trinomio.b: raíz cuadrada del tercer término del trinomio2ab: ( Doble producto de las raíces cuadradas del primer y tercer términos):Segundo término del trinomio. Los signos del primero y tercer términos sonambos positivos por lo tanto, se trata de un trinomio cuadrado perfecto y, sefactoriza como tal: a2 + 2ab + b2 = (a + b2).

2. x2 − 2x + 1

x: raíz cuadrada de primer término de trinomio1:raíz cuadrada del tercer término del trinomio

2x: ( Doble producto de las raíces cuadradas del primer y tercer términos):segundo término del trinomio. Los signos del primero y tercer término sonambos positivos por lo tanto, se trata de un trinomio cuadrado perfecto y, sefactoriza como tal: x2 − 2x + 1 = (x − 1)2

3. a2 + 2a(a + b) + (a + b)2 a: raíz cuadrada de primer término de trinomio(a + b):raíz cuadrada del tercer término del trinomio

2a(a+ b): ( Doble producto de las raíces cuadradas del primer y tercer térmi-nos): segundo término del trinomio. Los signos del primero y tercer términoson ambos positivos por lo tanto, se trata de un trinomio cuadrado perfectoy, se factoriza como tal: a2 + 2a(a+ b)+ (a+ b)2 = (a+(a+ b))2 = (2a+ b)2

4. 9(x − y)2 + 12(x − y)(x + y) + 4(x + y)2

3(x − y): raíz cuadrada de primer término de trinomio2(x + y):raíz cuadrada del tercer término del trinomio

12(x − y)(x + y): ( Doble producto de las raíces cuadradas del primer y ter-cer términos): segundo término del trinomio. Los signos del primero y tercertérmino son ambos positivos por lo tanto, se trata de un trinomio cuadradoperfecto y, se factoriza como tal: 9(x − y)2 + 12(x − y)(x + y) + 4(x + y)2 =

(3(x − y) + 2(x + y))2 = (3x − 3y + 2x + 2y)2 = (5x − y)2

58

4.3.10. Trinomio cuadrado perfecto y diferencia de cuadrados

Estudiamos a continuación de descomposición de expresiones compuestas enas cuales mediante un arreglo conveniente de sus términos se obtiene uno o dostrinomios cuadrados perfectos y descomponiendo estos trinomios se obtiene unadiferencia de cuadrados.

1. Factorar a2 + 2ab + b2 − 1 Aquí tenemos que a2 + 2ab + b2 es un trinomiocuadrado perfecto; luego:

a2 + 2ab + b2 − 1 = (a2 + 2ab + b2)− 1

Factorando el trinomio: = (a + b)2 − 1Factorando la diferencia de cuadrados= (a + b + 1)(a + b − 1)

2. Descomponer a2 + m2 − 4b2 − 2am. Ordenando esta expresión, podemos es-cribirla: a2 − 2am + m2 − 4b2 y vemos que a2 − 2am + m2 es un trinomiocuadrado perfecto; luego:

a2 − 2am + m2

Factorando el trinomio = (a−m)2 − 4b2 Factorando la diferencia de cuadrados(a−m + 2b(a − m − 2b))

3. Factorar 9a2 − x2 + 2x − 1

Introduciendo los tres últimos términos en un paréntesis precedido del signo- para que x2 y 1 se hagan positivos, tendremos:

9a2 − x2 + 2x − 1 = 9a2 − (x2 − 2x + 1)Factorando de trinomio:= 9a2 − (x − 1)2

Factorando la diferencia de cuadrados: [3a + (x − 1)][3a − (x − 1)] = (3a +

x − 1)(3a − x + 1)

4.3.11. Trinomio cuadrado perfecto por adición y substracción

1. Factorar x4 + x2y2 + y4

Veamos si este trinomio cuadrado perfecto. La raíz cuadrada de X4 es x2;la raíz cuadrada de y4 es y2 y el doble producto de estas raíces es 2x2y2;luego, este trinomio no es perfecto. Para que sea cuadrado perfecto hay quelograr que el segundo termino x2y2 se convierte en 2x2y2, lo cual se consiguesumándole x2y2 pero para que el trinomio no varié hay que restarle la mismacantidad que se suma x2y2 y tendremos:

59

x4 +x2y2 y4

+x2y3 −x2y2

x4 +2x2y2 +y4 −x2y2

Obteniendo: (x4 + 2x2y2 + y4)− x2y2, de donde, factorizando, se tiene que

x4 + x2y2 + y4 = (x2 + y2 + xy)(x2 + y2 − xy) = x2 + xy+ y2)(x2 − xy+ y2).

2. Descomponer la expresión: 4a2 + 8a2b2 + 9b4.

La raíz cuadrada de 4a4 es 2a2; la raíz cuadrada de 9b4 es ab2 y el dobleproducto de estas raíces es 2 · 2a2 · 3b2 = 12a2b2; luego, este trinomio noes cuadrado perfecto por que su segundo termino es 8a2b2 y para que seacuadrado perfecto debe se 12a2b2.Para que 8a2b2 se convierte en 12a2b2.

Para que 8a2b2 se convierte en 12a2b2 le sumamos 4a2b2 y para que el trino-mio no se altere restamos 4a2b2, así, se tiene que

4a4 +8a2b2 +9b4

+4a2b2 −4a2b2

4a4+ 12a2b2 +9b4 −4a2b2

4.3.12. Factorización de la forma x2 + Bx + C:

Para factorizar un polinomio de segundo grado de la forma

x2 + Bx + C,

debemos encontrar enteros cuyo producto sea C y cuya suma sea B; es decir, de-bemos hallar a, b ∈ Z, tales que

C = a × b ∧ B = a + b,

de este modo, se tiene que

x2 + Bx + C = (x + a)(x + b).

EJERCICIO 25. a) Factorice completamente el polinomio x2 + 7x + 10.

b) Factorice completamente el polinomio: x2 − 6x + 8.

c) Factorice el polinomio x2 − x − 12.

60

d) Factorice completamente x2 + 4x − 12.

Solución: 1. Por el método anterior, primero encontremos todos los enteros cu-yo producto sea 10 y calculemos sus sumas, en efecto,

Enteros cuyo producto es 10: 1, 10. −1,−10. 5, 2. −5,−2.Suma: 11. −11. 7. −7.

Con esto, tenemos que 2, 5 tienen un producto de 10 y su suma es 7, así,

x2 + 7x + 10 = (x + 2)(x + 5).

2. Nuevamente, debemos encontrar todos los enteros cuyo producto sea 8 ycalculemos sus sumas, en efecto,


Así, como −6 es el coeficiente del término medio, tenemos que

x2 − 6x + 8 = (x − 4)(x − 2),

3. Encontremos todos los enteros cuyo producto sea 12 y calculemos sus su-mas, así,

Enteros cuyo producto es −12: 1,−12. −1, 12. 2,−6. −2, 6. 3,−4. −3, 4.Suma: −11. 11. −4. 4. −1. 1.

Como −1 es el coeficiente del término medio, obtenemos que

x2 − x − 12 = (x − 4)(x + 3).

4. Notemos que 6 y −2 son enteros tales que su producto es igual a −12 ysuman 4, por lo tanto,

x2 + 4x − 12 = (x + 6)(x − 2).

61

4.3.13. Factorización de la forma Ax2 + Bx + C:

Para factorizar un polinomio de segundo grado de la forma Ax2 + Bx + C,cuando A 6= 0 y A, B ∧ C no tienen factores comunes, los pasos son:

1. Determinar el valor de A × C.

2. Encontrar números enteros cuyo producto sea A × C y sumen B; es decir,hallar a, b ∈ Z tales que

A × C = a × b ∧ B = a + b.

3. Escribir Ax2 + Bx + C = Ax2 + ax + bx + C.

4. Factorizar la expresión predecente utilizando el método de factor comúnpor agrupación.

EJERCICIO 26. a) Factorice completamente 2x2 + 5x + 3.

b) Factorice completamente 2x2 − x − 6.

Demostración. a) Comparando 2x2 + 5x + 3 con Ax2 + Bx + C, tenemos que A =

2, B = 5 y C = 3, por lo tanto,

A × C = 6.

Ahora, vamos a determinar los enteros cuyo producto sea 6 y vamos a calcularsus sumas; en efecto,


Con esto, tenemos que los enteros cuyo producto es 6 y suman 5 son 2 y 3,así,

2x2 + 5x + 3 = 2x2 + 2x + 3x + 3,

de donde, factorizando por el método de agrupación, se sigue que

2x2 + 5x + 3 = 2x(x + 1) + 3(x + 1)

= (x + 1)(2x + 3),

es decir,2x2 + 5x + 3 = (x + 1)(2x + 3).

62

b) Comparando 2x2 − x − 6 con Ax2 + Bx + C, tenemos que A = 2, B = −1 yC = −6, así, A×C = −12, ahora, vamos a encontrar los enteros cuyo productosea −12 y vamos a calcular sus sumas:

Enteros cuyo producto es −12: 1,−12. −1, 12. 2,−6. −2, 6. 3,−4. −3, 4.Suma: −11. 11. −4. 4. −1. 1.

De este modo, los enteros cuyo producto es −12 y suman B = −1, son 3 y−4, por lo tanto,

2x2 − x − 6 = 2x2 − 4x + 3x − 6,

de donde, factorizando, se tiene que

2x2 − 4x + 3x − 6 = 2x(x − 2) + 3(x − 2)

= (2x + 3)(x − 2),

es decir,2x2 − x − 6 = (2x + 3)(x − 2).

4.3.14. Diferencia de cubos:

Se denomina diferencia de cubos a un binomio de la forma:

a3 − b3,

donde, a y b son números reales.Las siguientes expresiones son ejemplos de diferencias de cubos:

• 27 − x3

• m6 − n9

• a12 − 1

4.3.15. Factorización de una diferencia de cubos

La factorización de una diferencia de cubos a3 − b3 es el producto de un bino-mio y un trinomio, es decir,

a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2).

Ejemplos:

63

1. Factorizar 1253 − 27y5: Solución:

Descripción Diferencia de cubosSe obtiene la raíz cúbica de cada término 125x3 27y6

Raíces cúbicas 5x 3y2

Descripción Binomio BinomioSe construyen los correspondientes binomios y trinomios 5x − 3y2 25x2 + 15xy2 + 9y4

Por lo tanto, se tiene que

125x3 − 27y6 = (5x − 3y2)(25x2 + 15xy2 + 9y4).

2. Factorizar como una diferencia de cubos, la expresión: x − y3

Solución:

• Se obtiene la raíz cúbica de cada término de la diferencia

x → 3√

x

y3 → y

• Se construyen los correspondientes binomio y trinomiob́inomio → ( 3√

x−y)

• Trinomio 3√

x2 + 3√

x(y) + y2 Por lo tanto, x − y3 = (3√

x2 + 3√

x(y) + y2)

4.3.16. Suma de cubos:

Se llama diferencia de cubos a un binomio de la forma:

a3 + b3,

donde, a, b ∈ R. Algunos ejemplos de sumas de cubos son:

• 27 + x3,

• m6 + n9,

• a12 + 1.

4.3.17. Factorización de una suma de cubos

La obtención de la factorización de esta suma se apoya en el hecho de que esdivisible entre a + b, de donde, al realizar la división, se sigue que

a3 + b3

a + b= a2 − ab + b2,

64

por lo tanto, se obtiene que

a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2).

Ejemplos:

1. d3 + n3

Solución: Por la factorización arriba obtenida, se tiene que:

d3 + n3 = (d + n)(d2 − dn + n2)

Observación : Para la factorizar una suma de cubos basta con conocer “laregla“ que la define es:“La suma de la raíces cúbicas de los dos sumandos, por una suma de tres sumandos

que son: El cuadrado de la raíz cúbica de uno de ellos menos la multiplicación de las

raíces cúbicas de los dos y más el cuadrado de la raíz cúbica del otro sumando“.

2. Factorizar 2+ 1, como una suma de cubos según lo establecido en el párrafoanterior.

Solución: Si seguimos la regla, la factorización queda:

2 + 1 =(

3√

2 + 3√

1) [

(3√

2)2 − 3√

2 3√

1 + (3√

1)2]

4.3.18. División de polinomios:

4.3.19. División larga:

El procedimiento para dividir dos polinomios es similar al procedimiento paradividir dos enteros.

4.3.20. División sintética o Regla de Ruffini.

La regla de Ruffini facilita el cálculo rápido de la división de cualquier poli-nomio entre un binomio de la forma x − c, donde x es una variable y c ∈ R r 0.

El proceso de la división sintética surge de reescribir la división tradicionalen forma compacta, en la cual no se considera la variable x, sino solamente loscoeficientes de la función polinomial. Para emplear la división sintética se realizanlos siguientes pasos:

1. Escribir los coeficientes del polinomio en potencias descendentes de x en elprimer renglón y completar con ceros en caso de no existir algún coeficiente.

2. Trasladar el término de la izquierda del primer renglón al tercer renglón.

65

3. Multiplicar dicho término por el valor c del binomio x − c, colocar este re-sultado bajo la segunda columna del segundo renglón y efectuar la sumaalgebraica.

4. Colocar este nuevo resultado en la segunda columna del tercer reglón.

5. Repetir los pasos 3. y 4. para los siguientes términos hasta completar la ope-ración.

6. La última entrada del tercer renglón representa el residuo de la división.

7. Las otras entradas representan los coeficientes en orden descendente del co-ciente de la división, cuyo grado es uno menos que el del dividendo.

OBSERVACIÓN 10. Para verificar la división, el dividendo, debe ser igual al pro-ducto del divisor por el cociente más el residuo.

EJERCICIO 27. Utilice la división sintética para encontrar el cociente y resi-duo cuando x3 − 4x2 − 5 se divide entre x − 3.

Solución: 1. Vamos a escribir el dividendo en forma descendente en potenciasde x; en efecto,

1 − 4 0 − 5,

2. Debemos trasladar el número 1 al tercer reglón, así,

1 −4 0 −5

1

3. Multiplicar este término por c = 3, colocar el resultado bajo la segunda co-lumna del segundo reglón y efectuar la suma algebraica, así, tenemos que

3 1 −4 0 −53 Segundo reglón.

1 1 Tercer reglón.

4. Repitiendo los pasos anteriores, obtenemos que

3 1 −4 0 −53 −3 −9

1 −1 −3 −14

66

5. El último elemento del tercer renglón −14, es el residuo; los otros elementos,1,−1 y −3, son los coeficientes (en orden descendiente) de un polinomiocuyo grado es un grado menor que el del dividendo; por lo tanto, tenemosque

cociente: x2 − x − 3 ∧ residuo: − 14.

Utilice la división sintética para mostrar que el binomio x + 3 es un factor delpolinomio 2x5 + 5x4 − 2x3 + 2x2 − 2x + 3.

Solución:Primero, expresemos el polinomio en la forma x − c, en efecto, notemos que

x + 3 = x − (−3),

de donde, se tiene que c = −3. Así, obtenemos que

−3 2 5 −2 2 −2 3−6 3 −3 3 −3

2 −1 1 −1 1 0

Con esto, puesto que el residuo es 0, hemos probado que x + 3 es un divisorde 2x5 + 5x4 − 2x3 + 2x2 − 2x + 3. Además, tenemos que

(x + 3)(2x4 − x3 + x2 − x + 1) = 2x5 + 5x4 − 2x3 + 2x2 − 2x + 3.


Productos notables:

1. Multiplique los polinomios usando las fórmulas de productos notables. Ex-prese su respuesta como un polinomio en forma estándar.

a) b) c) d) e) f)

(x − 7)(x + 7), (x + 4)2, (3x + 4)(3x − 4), (3x + y)(3x − y), (2x + 1)3, (2x + 3)2.

2. Usando las fórmulas de productos notables, encuentre el valor de las si-guientes expresiones:

a) 412,

b) 98,

c) (18)(22).

67

Pista: Notar que 41 = 40 + 1, 98 = 100 − 2 ∧ (18)(22) = (20 − 2)(20 +

2).

3. En cada expresión, encontrar el error o los errores, y escribir de manera co-rrecta el producto notable empleado.

a) b) c) d)

(x − 7)(x + 7) = x2 + 49, (x + 6)2 = x2 + 6x + 36, (x − 8)2 = x2 + 16x − 64, (5x − 2)(5x − 2) = 25x2 − 4.

Factorización:

1. a) Conceptos y vocabulario.

1) Si se factoriza completamente, 3x3 − 12x = . . . . . . .

2) Falso o Verdadero:

3x3 − 2x2 − 6x + 4 = (3x − 2)(x2 + 2).

b) Factorice cada polinomio mediante el método de factor común:

1. 3x + 6. 2. 7x − 14. 3. ax2 + a. 4. ax − a. 5. x3 + x2 + x.6. x3 − x2 + x. 7. 2x2 − 2x. 8. 3x2 − 3x. 9. 3x2y − 6xy2 + 12xy. 10. 60x2y − 48xy2 + 72x3y.

c) Factorice cada polinomio mediante el método de factor común por agru-pación:

1. 2x2 + 4x + 3x + 6. 2. 3x2 − 3x + 2x − 2. 3. 2x2 − 4x + x − 2.4. 3x2 + 6x − x − 2. 5. 6x2 + 9x + 4x + 6. 6. 9x2 − 6x + 3x − 2.

d) Factorice completamente cada una de las siguientes expresiones:

1. 2(3x + 4)2 + (2x + 3) · 2(3x + 4) · 4. 2. 2(2x + 5) + x2 · 2. 3. 4(x + 5)3(x − 1)2 + (x + 5)4 · 2(x − 1).4. (4x − 3)2 + x · 2(4x − 3) · 4. 5. 3x2(3x + 4)2 + x3 · 2(3x + 4) · 3. 6. (4x + 5)2 · 4(5x + 1)2 + (4x + 5)3 · 2(5x + 1).

2. Sean a, b, m, x, y, z ∈ R, usando el método de factor común por agrupación,factorice cada una de las siguientes expresiones:

• 2ax + 2bx − ay + 5a − by + 5b,

• ax + ay + 4x + 4y,

• 4a − 7x2a + ya + 4z − 7x2z + yz,

• 8ac − 4ad − 6bc + 3bd,

68

• 17ax − 17mx + 3ay − 3my + 7az − 7mz,

• xy2 − b2x + xy + bx,

• a3 + a + a2 + 1 + x2 + a2x2,

• (1 + 3a)(x + 1)− 2a(x + 1) + 3(x + 1),

• x(a + 2)− a − 2 + 3(a + 2),

• (3x + 2)(x + 7 − z)− (3x + 2)− (x + y − 1)(3z + 2).

3. Usando los métodos de diferencia de cuadrados y trinomio cuadrado per-fecto, factorice cada una de las siguientes expresiones:

• x4 + 64y4,

• (x + y)2 − a2,

• 4 + 625x8,

• 64m2 − (m − 2n)2,

• 16m8 − 64m5n − 64m2n2,

• 4x8 + y8,

• 4a2 − 9,

• 100 − x2y2,

• 256a12 − 2894m10.

División sintética:Conceptos y vocabulario:

1. Para verificar la división, la expresión que se está dividiendo, el dividendo,debe ser igual al producto del . . . . . . . . . por el . . . . . . . . . más el . . . . . . . . . .

2. Para dividir 2x3 − 5x + 1 entre x + 3 usando división sintética, el primerpaso es escribir: . . . . . . . . .

3. Escriba verdadero (V) o falso (F), según corresponda:

a) Al usar la división sintética, el divisor siempre es un polinomio de gra-do 1 cuyo coeficiente principal es 1.

b) La expresión

−2 5 3 2 1

−10 14 −32 significa que: 5x3+3x2+2x+1x+2 = 5x2 − 7x + 16 + −31

x+25 −7 16 −31

69

Ejercicios:

1. Utilice la división sintética para encontrar el cociente y el residuo, verifiqueel resultado de la división:

1. x3 − x2 + 2x + 4 entre x − 2, 2. x3 + 2x2 − 3x + 1 entre x + 1,3. 3x3 + 2x2 − x + 3 entre x − 3, 4. −4x3 + 2x2 − x + 1 entre x + 2,

5. 0,1x3 + 0,2x entre x + 1,1, 6. 0,1x2 − 0,2 entre x + 2,1.

2. Utilice la división sintética para determinar si x − c es un factor del polino-mio dado.

1. 4x3 − 3x2 − 8x + 4; x − 2, 2. −4x3 + 5x2 + 8; x + 3, 3. 3x6 + 82x2 + 27; x + 3,4. 2x6 − 18x4 + x2 − 9; x + 3, 5. 2x4 − x3 + 2x − 1; x − 1

2 , 6. 3x4 + x3 − 3x + 1, x + 13 .

3. Encuentre la suma de a, b y c, si:

x3 − 2x2 + 3x + 5x + 2

= ax2 + bx + c +d

x + 2.

70

5. UNIDAD 4:

5.1 Máximo común divisor y mínimo común múltiplo.

5.1.1. Conocimientos previos:

Sean a, b ∈ Z, con a 6= 0, se dice que a divide a b si existe k ∈ Z tal que b = ka.


OBSERVACIÓN 11. Si a divide a b utilizaremos la notación: a | b.

5.2 Máximo común divisor:

Sean a, b ∈ Z, se dice que c ∈ Z es el máximo común divisor o M.C.D de a yb, si:

• c > 0,

• c|a y c|b,

• Si d|a y d|b, entonces d|c.


OBSERVACIÓN 12. En otras palabras, el M.C.D. de un conjunto de números en-teros es el mayor entero positivo que es divisor de cada uno de los números delconjunto.

EJERCICIO 28. a) Considere el conjunto de los números enteros dado por:

A := {24, 36, 48}.

Calcule el M.C.D del anterior conjunto.

b) Un vendedor dispone de 24, 36 y 48 unidades de tres artículos diferentes,respectivamente. Necesita elaborar paquetes por cada artículo, de tal for-ma que el número de unidades de todos los paquetes sea el mismo y elmás grande posible. El vendedor necesita calcular el número de unidadesque debe tener cada paquete y cuántos paquetes por artículo obtendrá.

71

Solución: Vamos a descomponer cada uno de los números del conjunto en fac-tores primos, en efecto,

24 = (2)3 · 3,

36 = (2)2 · (3)2,

48 = (2)4 · 3,

de donde, por la definición de máximo común divisor, obtenemos que

M.C.D(A) = (2)2 · 3 = 12.Notemos que debemos calcular el divisor más grande que tengan en co-

mún las unidades de los tres artículos, es decir, debemos determinar el valordel máximo común divisor, el cual, por el ejercicio anterior es 12. Con esto,tenemos que cada paquete debe incluir 12 unidades de cada artículo, obte-niéndose 2,3 y 4 paquetes de los tres artículos, respectivamente.

5.3 Mínimo común múltiplo:

El m.c.m. de un conjunto de números enteros es el menor entero positivo quees el múltiplo de cada uno de los números dados.

EJERCICIO 29. a) Considere el siguiente conjunto de números enteros:

B := {2, 6, 10}.

Determine el m.c.m del anterior conjunto.

b) Un fabricante tiene tres productos en su inventario, los cuales se revisanperiódicamente cada 2, 6 y 10 semanas, respectivamente. El fabricante ne-cesita calcular cuál será el mínimo tiempo que debe transcurrir en sema-nas para que la revisión de los tres productos coincida.

Solución: 1. Vamos a descomponer los números del conjunto B en sus factoresprimos, en efecto, tenemos que

2 = 2,

6 = 2 · 3,

10 = 2 · 5,

72

de donde, el m.c.m está dado por:

m.c.m = 2 · 3 · 5 = 30.

2. Notemos que para encontrar la solución de este problema se debe calcular elmúltiplo más pequeño posible entre 2, 6 y 10. Es decir, vamos determinar elmínimo común múltiplo, en efecto, del ejemplo anterior se tiene que este nú-mero es 30. Por lo tanto, cada 30 semanas los tres productos serán revisadossimultáneamente.

5.4 Suma y resta de fracciones con expresiones algebraicas.

Las reglas para sumar y restar expresiones racionales son las mismas que parasumar y restar números racionales. Entonces, si los denominadores de dos ex-presiones racionales que se van a sumar (respectivamente restar) son iguales, sesuman (respectivamente restan) los numeradores y se conserva el denominadorcomún.

Sean a, b y c ∈ R con b 6= 0, consideremos las siguientes expresiones racionales:

a

b∧ c

b,

de donde, la suma y resta de las expresiones, vienen dadas por:

a

b+

c

b=

a + c

b∧ a

b− c

b=

a − c

b.

EJERCICIO 30. Realice la operación indicada y simplifique el resultado. Deje

su respuesta en la forma factorizada:2x2 − 42x + 5

+x + 3

2x + 5.

Solución: Como las dos expresiones racionales poseen el mismo común denomi-nador, procedemos a sumar sus numeradores, en efecto,

2x2 − 42x + 5

+x + 3

2x + 5=

(2x2 − 4) + (x + 3)2x + 5

=2x2 + x − 1

2x + 5,

de donde, factorizando, se tiene que

2x2 − 42x + 5

+x + 3

2x + 5=

(2x − 1)(x + 1)2x + 5

.

73

5.5 Suma y resta de expresiones racionales

Si los denominadores de dos expresiones racionales que se van a sumar o restarno son iguales, debemos calcular el mínimo común múltiplo entre los denomina-dores y efectuar las operaciones.

5.5.1. Método m.c.m para sumar y restar expresiones racionales.

a) Factorizar completamente el polinomio en el denominador de cada expresiónracional.

b) El m.c.m del denominador es el producto de cada uno de estos factores eleva-dos a una potencia igual al mayor número de veces que cada factor aparece enlos polinomios.

c) Escribir cada expresión racional usando el m.c.m como denominador común.

d) Efectuar las operaciones.

EJERCICIO 31. Realice la operación indicada y simplifique el resultado.

1.x

x2 + 3x + 2+

2x − 3x2 − 1

, para x ∈ R tal que x 6= −2,−1, 1.

2.3

x2 + x− x + 4

x2 + 2x + 1, para x ∈ R tal que x 6= −1, 0.

Demostración.

Realice la operación indicada y simplifique el resultado.

1. Para realizar la operación indicada, vamos a emplear el método del mínimocomún múltiplo:

a) Factorice completamente los polinomios en los denominadores.

En la primera expresión racional se tiene que

x2 + 3x + 2 = (x + 2)(x + 1),

por otro lado,x2 − 1 = (x + 1)(x − 1).

b) Utilizando el paso anterior, obtenemos que el m.c.m es:

(x + 2)(x + 1)(x − 1).

74

c) Escriba cada expresión racional usando el m.c.m como denominador.En efecto, multiplicando el numerador y denominador por (x − 1), te-nemos que

x

x2 + 3x + 2=

x

x2 + 3x + 2=

x

(x + 2)(x + 1)· x − 1

x − 1=

x(x − 1)(x + 2)(x + 1)(x − 1)

.

(1)Análogamente, multiplicando el numerador y el denominador por (x+

2), se tiene que

2x + 3x2 − 1

=2x + 3

(x + 1)(x − 1)· x + 2

x + 2=

(2x + 3)(x + 2)(x − 1)(x + 1)(x + 2)

. (2)

d) Efectuar las operaciones. Combinando las ecuaciones (5) y (2), obtene-mos que

x

x2 + 3x + 2+

2x − 3x2 − 1

=(2x + 3)(x + 2)

(x − 1)(x + 1)(x + 2). +

(2x + 3)(x + 2)(x − 1)(x + 1)(x + 2)

=(x2 − x) + (2x2 + x − 6)(x + 2)(x + 1)(x − 1)

=3x2 − 6

(x + 2)(x + 1)(x − 1)

=3(x2 − 2)

(x + 2)(x + 1)(x − 1.

2. a) Factorice completamente los polinomios en los denominadores.

En efecto, notemos que

x2 + x = x(x + 1),

x2 + 2x + 1 = (x + 1)2.

b) El mínimo común múltiplo es:

x(x2 + 1).

c) Escriba cada expresión racional usando el m.c.m como denominador.En efecto, multiplicando el numerador y denominador por (x + 1), te-nemos que

3x2 + x

=3

x(x + 1)· x + 1

x + 1=

3(x + 1)x(x + 1)2 (3)

Análogamente, multiplicando el numerador y el denominador por x,

75

se tiene que

x + 4x2 + 2x + 1

=x + 4

(x + 1)2 · x

x=

x(x + 4)x(x + 1)2 . (4)

d) Combinando las ecuaciones (3) y (4), obtenemos que

3x2 + x

− x + 4x2 + 2x + 1

=3(x + 1)x(x + 1)2 − x(x + 4)

x(x + 1)2

=3(x + 1)− x(x + 4)

x(x + 1)2

=3x + 3 − x2 − 4x

x(x + 1)2

=−x2 − x + 3

x(x + 1)2 .


Máximo común divisor y mínimo común múltiplo:

1. Realice las operaciones indicadas y simplifique el resultado. Deje su respues-ta en forma factorizada.

a)2x − 53x + 2

+x + 4

3x + 2,

con x 6= − 23 .

b)4

x − 2+

x

2 − x,

con x 6= 2.

c)2

x + 5− 5

x − 5,

con x 6= −5, 5.

d)x − 3x + 2

− x + 4x − 2

,

con x 6= −2, 2.

e)x − 1

x3 +x

x2 + 1.

76

con x 6= 0.

2. Simplificación de fracciones:

Realizar los siguientes ejercicios:

a)5x2 − 5

x3 + 5x2 − 6x÷ 7x3 + 7

x3 − 36x= · · · ,

b)2x − 6x2 − 4

· x2 + 4x + 4x2 − 6x + 9

= · · · ,

c)3x + 9x − 3

÷ x3 + 8x2 + 21x + 18x2 − 9

· · · ,

d)x2 − 2x − 82x3 − 5x2 · 4x2 − 25

6x2 + 11x − 2= · · · ,

e)6x3 − 6x

x2 − 2x + 1÷ x3 + 3x2 − 4

2x3 + 8x2 + 8x= · · · .

77

6. UNIDAD 5:

6.1 Relación de equivalencia

Sean A un conjunto no vacío y R un subconjunto de A × A, decimos que R

es una relación de equivalencia si y solamente si:

1. Reflexividad: a ∼ a para toda a ∈ A,

2. Simetría: a ∼ b implica b ∼ a, para todo a, b ∈ A

y

3. Transitividad: a ∼ b y b ∼ c implica a ∼ c, para todo a, b, c ∈ A.

DEFINICIÓN 21: Relación de equivalencia.DEFINICIÓN 21: Relación de equivalencia.

6.2 Axiomas y teoremas de igualdad.

Un enunciado en el que dos expresiones (iguales o distintas) denotan el mis-mo objeto matemático se llama igualdad matemática. Dos objetos matemáti-cos son considerados iguales si los objetos poseen el mismo valor.


OBSERVACIÓN 13. Por ejemplo, la frase «la suma de dos y dos» y la expresión«cuatro» se refieren al mismo objeto matemático, un cierto número natural. Laexpresión es igual a o es lo mismo que se suele representar en matemáticas con elsigno =. Así, el ejemplo anterior suele escribirse como:

2 + 2 = 4.

6.3 Axiomas de Igualdad:

La igualdad se define como una relación de equivalencia que cumple los si-guientes axiomas:

1. Reflexividad: Para todo x ∈ R, se tiene que x = x.

2. Simetría: Para todo x, y ∈ R, si x = y, entonces y = x.

3. Transitividad: Para todo x, y, z ∈ R, si x = y e y = z, entonces x = z.

78

OBSERVACIÓN 14. Principio de Sustitución: Si dos símbolos son iguales, enton-ces uno puede ser sustituido por el otro.

6.4 Teoremas de Igualdad:

Si a, b, c, d ∈ R, entonces para la relación de igualdad (=) se cumplen las pro-piedades siguientes:

1. Si a = b y c = d, entonces

• a + c = b + d,

• a · c = b · d.

2. Propiedad cancelativa de la suma: En la adición, tenemos que si a + c =

b + c, entoncesa = b.

3. Propiedad de cancelación de la multiplicación: Análogamente, para la mul-tiplicación, si a · c = b · c, para c 6= 0, entonces

a = b.

EJERCICIO 32. En R, para a, b ∈ R, se define la relación:

aRb ⇐⇒ a2 − b2 = a − b.

Pruebe que R es una relación de equivalencia sobre R.

Solución: Vamos a demostrar que aRb es una relación de equivalencia, para ello,vamos a demostrar las tres propiedades que definen una relación de equivalencia,en efecto, sean a, b, c ∈ R cualesquiera.

1. Reflexividad: Vamos a demostrar que aRa, esto se sigue del hecho de que

a2 − a2 = 0 ∧ a − a = 0,

de donde, por la simetría y transitividad de la igualdad, obtenemos que

a2 − a2 = a − a,

es decir, aRa, con esto, hemos probado que R es reflexiva.

79

2. Simetría: Supongamos que aRb, vamos a demostrar que bRa, se tiene que

a2 − b2 = a − b,

de donde, multiplicado por (−1) la igualdad precedente, se sigue que

b2 − a2 = b − a,

es decir, bRa.

3. Transitividad: Supongamos que

aRb ∧ bRc,

vamos a demostrar que aRc, en efecto, tenemos que

a2 − b2 = a − b ∧ b2 − c2 = b − c,

de donde, puesto que c2 = b2 − b + c, se tiene que

a2 − c2 = a2 − (b2 − b + c)

= (a2 − b2) + b − c

= a − b + b − c

= a − c,

es decir,a2 − c2 = a − c,

por lo tanto, aRc.

Con esto, hemos probado que R es una relación de equivalencia sobre R.

6.5 Ecuaciones de primer grado con una incógnita.

6.5.1. Identidades:

Una identidad es a una igualdad entre dos expresiones, lo que es cierto seancuales sean los valores de las distintas variables empleadas. Las identidades,al confirmarse invariablemente su igualdad, suelen utilizarse para transfor-mar una expresión matemática en otra equivalente, particularmente para re-solver una ecuación.


80

EJERCICIO 33. Determine si la siguiente expresión:

2(x + 4) + 3x = 5x + 8,

corresponde a una identidad.

Solución: Por la definición de identidad, para x = 1 tenemos que

2(1 + 4) + 3(1) = 5(1) + 8

13 = 13

Por otro lado, para x = 5 se tiene que

2(5 + 4) + 3(5) = 5(5) + 8

33 = 33

Por lo tanto, podemos concluir que la expresión 2(x + 4) + 3x = 5x + 8 es unaidentidad.

6.5.2. Ecuaciones lineales:

Una ecuación lineal en una variable es equivalente a una ecuación de la for-ma:

ax + b = 0,

donde a ∈ R y b ∈ R r 0.


EJERCICIO 34. Hallar la solución de la ecuación presentada en la Definición1.

Solución: Sumando el inverso aditivo de b, en ambos lados de la expresión, tene-mos que

ax + b + (−b) = 0 + (−b),

de donde, puesto que b + (−b) = 0, se sigue que

ax = −b,

luego, puesto que a 6= 0, multiplicando la ecuación por el inverso multiplicativo

81

de a, obtenemos que

x = − b

a.

Con esto, hemos encontrado una solución general para las ecuaciones lineales dela forma ax − b = 0, donde a ∈ R ∧ b ∈ R r 0.

Resuelva la ecuación:12(x + 5)− 4 =

13(2x − 1).

Solución:Para simplificar los denominadores en la ecuación, debemos multiplicar am-

bos miembros de la misma por el mínimo común múltiplo entre 2 ∧ 3, es fácilver que mcm(2, 3) = 6. Así, tenemos que

6[

12(x + 5)− 4

]

= 6[

13(2x − 1)

]

,

de donde, por las propiedades distributiva y asociativa, se tiene que

3(x + 5)− 24 = 2(2x − 1),

luego, nuevamente por la propiedad distributiva, obtenemos que

3x + 15 − 24 = 4x − 2,

así, reduciendo términos semejantes, se sigue que

3x − 9 = 4x − 2,

ahora, sumando el inverso aditivo de −9, tenemos que

3x − 9 + 9 = 4x − 2 + 9,

de donde,3x = 4x + 7,

análogamente, sumando el inverso aditivo de 4x, se tiene que

−x = 7,

es decir,x = −7.

Con esto, tenemos que CVA = {−7}.

82

6.5.3. Ecuaciones que llevan a ecuaciones lineales:

Los siguientes ejemplos ilustran ecuaciones que llevan a ecuaciones linealesmediante la eliminación de términos semejantes.

1. Resuelva la ecuación: (2y + 1)(y − 1) = (y + 5)(2y − 5).

Solución:

Por la propiedad distributiva, tenemos que

2y2 − y − 1 = 2y2 + 5y − 25,

de donde, al sumar el inverso aditivo de −x2, obtenemos que

−y − 1 = 5y − 25,

así,−y − 5y = −25 + 1,

luego,−6y = −24,

ahora, dividiendo la ecuación por −6, se sigue que

y = 4.

Por lo tanto, tenemos que CVA = {4}.

2. Resuelva la ecuación:3

x − 2=

1x − 1

+7

(x − 1)(x − 2).

Solución: Antes de resolver la ecuación, notemos que el dominio de la va-riable x, es el conjunto {x ∈ R : x 6= 1 ∧ x 6= 2}.

Ahora, para simplicar los denominadores debemos multiplicar por el míni-mo común múltiplo entre (x − 2), (x + 1) y (x − 1)(x − 2), notemos que elmínimo común múltiplo es (x − 1)(x − 2), así,

(x − 1)✘✘✘✘(x − 2)3

✘✘✘x − 2= (x − 1)(x − 2)

[

1x − 1

+7

(x − 1)(x − 2)

]

,

de donde, simplificando los términos en común y por la propiedad distribu-tiva, se sigue que

3(x − 1) =✘✘✘✘(x − 1)(x − 2)1

✘✘✘x − 1+✭✭✭✭✭✭✭(x − 1)(x − 2)

7

✭✭✭✭✭✭✭(x − 1)(x − 2)

,

83

luego, simplificando, obtenemos que

3(x − 1) = (x − 2) + 7,

así, se tiene que3x − 3 = x + 5,

de donde,3x − x = 5 + 3,

por lo tanto,2x = 8,

es decir,x = 4.

Comprobación: En la ecuación, vamos a reemplazar la variable x por el nú-mero 4; en efecto,

3x − 2

=3

4 − 2=

32

,

por otro lado,

1x − 1

+7

(x − 1)(x − 2)=

14 − 1

+7

(4 − 1)(4 − 2)=

13+

76=

32

.

Con esto, tenemos que CVA = {4}.

6.6 Ecuación sin solución:

Resuelva la ecuación:3x

x − 1+ 2 =

3x − 1

.

Solución:Antes de resolver la ecuación, notemos que el dominio de la variable x, es el

conjunto {x ∈ R : x 6= 1}.Para simplificar los denominadores de la ecuación se multiplica por (x − 1),

así,

(x − 1)[

3x

x − 1+ 2]

=✘✘✘✘(x − 1)3

✘✘✘x − 1,

de donde, por la propiedad distributiva, se tiene que

✘✘✘✘(x − 1)3x

✘✘✘x − 1+ 2(x − 1) = 3,

84

luego, simplificando, obtenemos que

3x + 2(x − 1) = 3,

nuevamente, por la propiedad distributiva, se sigue que

3x + 2x − 2 = 3,

así,5x = 5,

es decir,x = 1.

Por otro lado, 1 /∈ {x ∈ R : x 6= 1}, por lo tanto, la ecuación no tiene solución.

6.7 Ecuaciones de primer grado con valor absoluto

Valor absoluto es una expresión matemática que nos devuelve un valor nu-mérico positivo y se expresa de la siguiente manera:

|a| = a

| − a| = a

donde se puede determinar que el valor del resultado de valor absoluto pue-de venir tanto de un número positivo como negativo, es decir:

|5| = 5| − 5| = 5


Así podemos expresar ecuaciones de lineales que contengan una expresión devalor absoluto, para resolver las mismas, es necesario seguir estos pasos:

1. Despejar la expresión de valor absoluto.

2. Destruir el valor absoluto abriendo en dos soluciones posibles, una para ca-da signo como ya lo hemos podido ver.

3. Resolver las ecuaciones lineales.

4. Escribir los resultados.

85

EJERCICIO 35. a) Resolver la siguiente ecuación con valor absoluto: |x +

2| = 5,

b) Resolver la siguiente expresión:14− 2|x + 2| = 0,

c) Resolver la siguiente ecuación: |x + 1| = 2x + 1,

d) Resolver la siguiente ecuación: |2x − 1| = −5.

Demostración. a) Para resolver esta ecuación procedemos a destruir el valor ab-soluto de la siguiente manera:

(x + 2) = 5 y −(x + 2) = 5x + 2 = 5 y −x − 2 = 5

x = 5 − 2 y −x = 5 + 2x = 3 y x = −7

Por lo tanto, las soluciones de la ecuación |x + 2| = 5 son: x = 3 y x = −7.

b) Primero despejamos el valor absoluto:

14= 2|x + 2|

14 · 2

= |x + 2|

18= |x + 2|

Ahora, por la definición de valor absoluto, se sigue que

(x + 2) =18

−(x + 2) =18

x + 2 =18

−x − 2 =18

x =18− 2 −x =

18+ 2

x = −158

x = −178

Por lo tanto las soluciones de la ecuación14− 2|x + 2| = 0 son: x = −15

8y

86

x = −178

.

c) Nuevamente, por la definición de valor absoluto, obtenemos que

(x + 1) = 2x + 1 −(x + 1) = 2x + 1x + 1 = 2x + 1 −x − 1 = 2x + 1

x − 2x = 1 − 1 −x − 2x = 1 + 1−x = 0 −3x = 2

x = 0 x = −23

Se pensaría que ambas son soluciones, pero debido a que tenemos la variablex afuera del valor absoluto, tenemos que reemplazar y ver cual(es) cumplen,pueden darse casos en que cumplan ambas soluciones, una solución, o ningu-na.Así la solución de la ecuación |x + 1| = 2x + 1 es x = 0.

d) Como se había mencionado en un principio, el valor absoluto de cualquiernúmero siempre es positivo, por lo que la ecuación: |2x − 1| = −5 no tienesolución.

6.8 Problemas con ecuaciones de primer grado con una incógnita:

6.8.1. Pasos para establecer problemas aplicados:

• Paso 1: Lea el problema con cuidado, quizá dos o tres veces. Ponga atenciónespecial en la pregunta que se hace con el fin de identificar lo que busca. Sipuede, determine las posibilidades reales para la respuesta.

• Paso 2: Asigne una letra (variable) para representar lo que busca y, si esnecesario, exprese cualesquiera cantidades desconocidas en términos de estavariable.

• Paso 3: Realice una lista de todos los hechos y tradúzcalos en expresionesmatemáticas. Éstas toman la forma de una ecuación que involucra la varia-ble.

• Paso 4: Resolver la ecuación en términos de la variable, utilizando los méto-dos descritos en el tema anterior.

• Paso 5: Verifique la respuesta con los hechos del problema.

87

6.8.2. Problema de inversiones:

EJERCICIO 36. Se invierte un total de $1800, parte en acciones y parte en bo-nos. Si la cantidad invertida en bonos es la mitad de lo invertido en acciones,¿cuánto se invierte en cada categoría?

Demostración. Pongamos x := la cantidad de dinero invertida en acciones, así,1800 − x representa la cantidad de dinero invertida en bonos, en efecto, tenemosla siguiente tabla:

Cantidad en acciones: Cantidad en bonos: Razón:

x 1800 − x 1800.

Por otro lado, sabemos que la cantidad invertida en bonos es la mitad de loinvertido en acciones, es decir,

1800 − x =12· x, (5)

por lo tanto, para resolver el problema basta con encontrar la solución de (5). Enefecto, vamos a despejar x:

1800 =12· x + x

1800 =32· x,

de donde, por la propiedad reflexiva de la igualdad, obtenemos que

32· x = 1800,

luego, multiplicando la igualdad precedente por23

, se sigue que

x = 1800 · 23= 1200.

Con esto, tenemos que se invierten $12000 dólares en acciones y 1800− 1200 = 600dólares en bonos.

6.8.3. Determinación del salario por hora:

EJERCICIO 37. Pedro tuvo ingresos de $435 una semana trabajando 52 horas.

88

Su jefe paga salario y medio por todas las horas extra trabajadas, despuésde 40 horas. Con esta información, ¿podría determinar el salario normal porhora de Pedro?

Demostración. Pongamos x := Salario normal por hora, así, tenemos la siguientetabla:

Horas trabajadas: Salario por hora: Salario:

Normal: 40 x 40x,

Horas extra: 12 x +12

x =32

x 12 · 32

x = 18x.

Ahora, notemos que la suma del salario normal y el salario por horas extra esigual al salario total; es decir,

40x + 18x = 435,

de donde, reduciendo términos semejantes, obtenemos que

58x = 435,

luego,x = 7,5,

con esto, tenemos que el salario normal por hora de Pedro es de $7,5 dólares.

6.9 Resolución de fórmulas para variables indicadas.

EJERCICIO 38. En Matemáticas, es conocido que para a, r ∈ R tal que |r| < 1,

la serie geométrica

(

n

∑k=1

ark

)

n∈N

converge aa

1 − r, es decir,

S :=+∞

∑k=1

ark =a

1 − r.

Resuelva esta fórmula para la variable r.

Demostración. Tenemos que

S =a

1 − r,

de donde, multiplicando la ecuación predecente por 1 − r, obtenemos que

(1 − r) · S = a,

89

luego, diviendo para S, se sigue que

1 − r =a

S,

sumando r en ambos lados de la ecuación, se tiene que

1 + (−r + r) =a

S+ r,

así, usando la propiedad reflexiva de la igualdad y el hecho de que r + (−r) = 0,tenemos que

a

S+ r = 1,

de donde,r = 1 − a

S,

es decir,

r =S − a

S.

OBSERVACIÓN 15. Para conocer más sobre la convergencia de la serie geométrica,puede visitar el siguiente enlace:

https://es.wikipedia.org/wiki/Serie_geom%C3%A9trica#F%C3%B3rmula

6.10 Sistemas de ecuaciones lineales.

Sean m, n ∈ N, un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, es unconjunto de ecuaciones lineales que son verificadas simultáneamente, y pue-de escribirse de la forma:

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2...

......

am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm,

donde, para todo i ∈ {1, . . . , n} y todo j ∈ {1, . . . , m} los elementos aij sedenominan coeficientes del sistema. Las incógnitas de sistema son las va-riables x1, . . . , xn y los valores b1, b2, . . . , bm son considerados términos inde-pendientes.


90

https://es.wikipedia.org/wiki/Serie_geom%C3%A9trica#F%C3%B3rmula

Una solución del sistema de ecuaciones lineales es un vector de númerosreales (x1, x2, . . . , xn) que tienen la propiedad que cada ecuación se convierteen una proposición verdadera al reemplazar x1 = s1, x2 = s2, . . . , xn = sn enel sistema de ecuaciones lineales.


Un sistema de ecuaciones lineales que tiene solución se dice que es consis-tente, si y sólo si:

• Tiene solución única, o

• Tiene infinitas soluciones.

Si el sistema de ecuaciones lineales no tiene solución se dice que es inconsis-tente.

DEFINICIÓN 28: Sistemas de ecuaciones lineales consistentes e inconsistentesDEFINICIÓN 28: Sistemas de ecuaciones lineales consistentes e inconsistentes

6.10.1. Sistemas de ecuaciones lineales con 2 incógnitas:

La solución de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables se pue-de tratar como un problema geométrico. La gráfica de cada una de las ecuacionesdel sistema es una recta. Así, tenemos los siguientes casos:

1. Si las rectas se cortan, entonces el sistema de ecuaciones tiene una soluciónúnica, dada por el punto de intersección. El sistema es congruente y las ecua-ciones son independientes. Véase la figura 1a).

2. Si las rectas son paralelas, entonces el sistema de ecuaciones no tiene una so-lución, porque las rectas nunca se cortan. El sistema es incongruente. Véasela figura 1b).

3. Si las líneas son coincidentes, entonces el sistema de ecuaciones tiene infi-nidad de soluciones, representadas por la totalidad de los puntos sobre larecta. El sistema es congruente y las ecuaciones son dependientes. Véase lafigura 1c).

91

0 1 2−1−2

0

−1

1

2

x

y

0 1 2 3−1−2

0

−1

1

2

x

y

0 1 2−1−2

0

−1

1

2

x

y

6.10.2. Método de sustitución:

1. Seleccionar una de las ecuaciones y despejar una de las variables de modoque la ecuación quede en términos de las otras variables.

2. Sustituir el resultado en las demás ecuaciones.

3. Si se consigue una ecuación con una variable, resuélvala. Si no es el caso,repetir los pasos 1. y 2. hasta conseguir una ecuación con una sola variable.

4. Encontrar los valores de las demás variables por medio de la sustituciónhacia atrás.

5. Comprobar la solución encontrada.

EJERCICIO 39. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

2x + y = 5 (1)

−4x + 6y = 12 (2).

Demostración. En la ecuación (1), vamos a despejar la variable y, en efecto, se tieneque

y = 5 − 2x, (3)

92

reemplazamos el valor de y en la ecuación (2), así, obtenemos que

−4x + 6(5 − 2x) = 12,

de donde, por la propiedad distributiva se sigue que

−4x + 30 − 12x = 12,

luego, reduciendo términos semejantes, se tiene que

−16x = −18,

finalmente, despejando x, tenemos que

x =−18−16

=98

.

Ahora, para calcular el valor de y, basta con reemplazar el valor de x =98

en laecuación (3), así,

y = 5 − 2(

98

)

= 5 − 94

=114

.

Con esto, tenemos que la solución del sistema es x = 98 e y = 11

4 .

6.10.3. Método de reducción.

La idea subyacente al método de eliminación radica en reemplazar el sistemade ecuaciones originales por un sistema equivalente, de manera que al sumar dosde las ecuaciones se elimine una variable. Las reglas para obtener un sistema deecuaciones equivalentes son:

1. Intercambiar cualesquiera dos ecuaciones del sistema.

2. Multiplicar (o dividir) ambos lados de la ecuación por la misma constantedistinta de cero.

3. Reemplazar cualquier ecuación del sistema por la suma (o diferencia) de laecuación y un múltiplo constante distinto de cero de cualquier otra ecuacióndel sistema.

93

EJERCICIO 40. Resolver el sistema de ecuaciones lineales por el método deeliminación:

2x + 3y = 1 (1)

−x + y = −3 (2).

Demostración. Para eliminar la variable x, vamos a multiplicar por 2 la segundaecuación, así, tenemos el sistema equivalente:

2x + 3y = 1 (1)

−2x + 2y = −6 (2),

de donde, sumando las ecuaciones (1) y (2) obtenemos que

2x + 3y = 1−2x + 2y = −6

5y = −5,

de donde,y = −1.

Ahora, para encontrar el valor de x, basta con sustituir y = −1 en la ecuación (1);en efecto,

2x + 3(−1) = 1,

luego,2x = 1 + 3,

por lo tanto,x = 2.

Con esto, tenemos que la solución del sistema es x = 2 e y = −1.

6.10.4. Ejemplo de un sistema de ecuaciones lineales no consistente:

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

2x + y = 5 (1)

4x + 2y = 8 (2).

Solución:

94

Por el método de sustitución, vamos a despejar la variable y en la ecuación (2),así, tenemos que

y = 5 − 2x, (3)

ahora, reemplazando la ecuación (3) en la ecuación (2), obtenemos que

4x + 2(5 − 2x) = 8,

de donde, por la propiedad distributiva, tenemos que

4x + 10 − 4x = 8,

luego,0 · x = −2,

lo cual no es cierto, por lo tanto, el sistema de ecuaciones precedente no poseesolución.

6.11 Ejemplo de un sistema de ecuaciones lineales dependientes:

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

2x + y = 4 (1)

−6x − 3y = −12 (2).

Solución: Utilizando el método de eliminación de variables, para eliminar la va-riable x, vamos a multiplicar por 3 la ecuación (1), así,

6x + 3y = 12−6x − 3y = −12

0 = 0,

con esto, tenemos el sistema equivalente

2x + y = 4, (1)

0. (2)

Por lo tanto, las soluciones de este sistema vienen dadas por la expresión:

x = t ∧ y = 4 − 2t,

donde t ∈ R.

95

6.12 Sistema de tres ecuaciones con tres variables:

Un sistema de tres ecuaciones lineales con tres variables posee exactamenteuna solución; en este caso, se denomina sistema consistente con ecuaciones inde-pendientes, no tiene solución (un sistema inconsistente) o posee una infinidad desoluciones (un sistema consistente con ecuaciones dependientes). Desde el pun-to de vista geométrico, un sistema de tres ecuaciones lineales con tres variablesrepresenta a tres planos en el espacio.

EJERCICIO 41. Utilizar el método de eliminación para resolver el siguientesistema de ecuaciones lineales:

x + y − z = −1, (1)

4x − 3y + 2z = 16, (2)

2x − 2y − 3z = 5. (3)

Demostración. Por el método de eliminación, vamos a eliminar la variable x, de lasecuaciones (2) y (3), en efecto, multiplicado la ecuación (1) por −4 y sumando laecuación (2), simultáneamente, multiplicado la ecuación (1) por −2 y sumando laecuación (3), obtenemos que

−4x − 4y + 4z = 4 −2x − 2y + 2y = 24x − 3y + 2z = 16 2x − 2y − 3z = 5

−7y + 6z = 20 −4y − z = 7,

con esto, obtenemos el sistema equivalente

x + y − z = −1, (1)

−7y + 6z = 20, (2)

−4y − z = 7. (3)

Notemos que las ecuaciones (2) y (3), forman un sistema de ecuaciones con dosincógnitas, así, vamos a eliminar la variable z, para ello, vamos a multiplicar por6 la ecuación (3) y sumar la ecuación (2), en efecto,

−7y + 6z = 20−24y − 6z = 42

−31y = 62,

96

nuevamente, obtenemos el sistema equivalente:

x + y − z = −1, (1)

−7y + 6z = 20, (2)

y = −2. (3)

Ahora, para hallar el valor de z, vamos a reemplazar y = −2 en la ecuación (2),así,

−7(−2) + 6z = 20,

de donde,6z = 6,

es decir,z = 1.

Finalmente, para hallar el valor de x, debemos reemplazar y = −2 y z = 1 en laecuación (1), así,

x + (−2)− 1 = −1,

de donde,x = 2.

Con esto, tenemos que la solución del sistema es x = 2, y = −2 ∧ z = 1.

6.13 Ecuaciones de segundo grado.

Una ecuación cuadrática es una expresión matemática que presenta una in-cógnita, la cual debe ser determinada para cumplir con la ecuación, su repre-sentación es:

ax2 + bx + c = 0,

donde, a, b, c ∈ R, tal que a 6= 0 y la incógnita x es la que debe ser hallada.


Ahora bien, así, como en las ecuaciones lineales encontramos solo una solu-ción, en el caso de las ecuaciones cuadráticas se necesitan hallar dos soluciones, ypara resolver estas ecuaciones hay varios métodos.

EJERCICIO 42. a) Resolver la siguiente ecuación cuadrática: 3x2 − 24x = 0,

b) Resolver la siguiente ecuación: x2 − 10x + 9 = 0,

97

c) Resolver la siguiente ecuación: x2 + 2x + 1 = 0,

d) Resolver la siguiente ecuación: (x − 5)2 − 9 = 0,

e) Resolver la siguiente ecuación: 4x2 + 7x − 2 = 0.

Demostración. a) Debemos determinar que método de factorización resulta másconveniente para la solución de nuestro ejercicio, así, pues para este caso, po-demos obtener un factor común:

3x(x − 8) = 0,

ahora, para que la ecuación pueda tener solución igualamos cada uno delos factores a cero y determinamos el valor de x, en efecto, se tiene que

3x = 0 x − 8 = 0x = 0 x = 8

Ahora teniendo las dos respuestas podemos decir que el conjunto soluciónpara la ecuación planteada es: {0, 8}.

b) Procedemos a factorizar:(x − 1)(x − 9) = 0,

de donde,

x − 1 = 0 x − 9 = 0x = 1 x = 9

Ahora, teniendo las dos respuestas podemos decir que el conjunto soluciónpara la ecuación planteada es: {1, 9}.

c) Observando la ecuación se puede factorizar como un trinomio cuadrado per-fecto, así, tenemos que

(x + 1)2 = 0,

luego, tenemos quex = −1,

por lo tanto, el conjunto solución es: {−1}

d) Para este caso, la factorización recomendada es la diferencia de cuadrados.

(x − 5 + 3)(x − 5 − 3) = 0

Ahora igualando a cero cada uno de los factores se obtiene:

98

x − 2 = 0 x − 8 = 0x = 2 x = 8

Por lo tanto el conjunto solución para esta ecuación es: x = {2, 8}

e) Solución Factorizamos un trinomio de la forma ax2 + bx + c = 0 de la siguien-te manera:

(4x + 8)(4x − 1)4

= 0

(x + 2)(4x − 1) = 0

Ahora igualamos cada factor a cero para obtener la solución:

x+2=0 4x − 1 = 0

x = −2 x =14

Teniendo así el conjunto solución: {−2,14}.

6.14 Procedimiento para completar cuadrados.

Consideremos el polinomio de la forma x2 + mx, donde x es una variable y

m ∈ R r 0. Si sumamos el valor(m

2

)2al polinomio precedente, entonces:

x2 + mx +(m

2

)2=(

x +m

2

)2.

Ejemplos:

Polinomio: Completando el cuadrado:1. x2 + 4x, x2 + 4x + 4 = (x + 2)2.2. x2 + 12x, x2 + 12x + 36 = (x + 6)2.3. x2 − 6x, x2 − 6x + 9 = (x − 3)2.

4. x2 + x, x2 + x + 14 =

(

x +12

)2

.

6.15 Método de completar cuadrados

Ahora se introduce el método de completar cuadrados. La idea detrás de estemétodo es ajustar el lado izquierdo de una ecuación cuadrática, ax2 + bx + c = 0,de manera que se convierta en un cuadrado perfecto; es decir, el cuadrado de unpolinomio de primer grado.

99

EJERCICIO 43. a) Resuelva completando cuadrados la ecuación: x2 + 5x +

4 = 0,

b) Resuelva completando cuadrados la ecuación: 2x2 − 8x − 5 = 0.

Demostración. 1. Reescribiendo la ecuación, tenemos que

x2 + 5x = −4,

ahora, vamos a completar el cuadrado del primer miembro de la ecuación,para esto, vamos a sumar el valor

( 52

)2en ambos miembros de la ecuación;

en efecto, tenemos que

x2 + 5x +

(

52

)2

= −4 +(

52

)2

,

de donde,(

x +52

)2

=94

,

luego, tomando la raíz cuadrada en la ecuación, obtenemos que

x +52= ±3

2,

así,

x =32− 5

2∨ x = −3

2− 5

2,

es decir,x = −1 ∨ x = −4,

con esto, tenemos que el conjunto solución es {−4,−1}.

2. Vamos a reescribir la ecuación; en efecto, tenemos que

2x2 − 8x = 5,

de donde, dividiendo para 2 ambos lados de la ecuación de modo que elcoeficiente principal sea 1, tenemos que

x2 − 4x =52

,

ahora, sumando 4 en ambos lados de la ecuación para completar el cuadra-

100

do, obtenemos que

x2 − 4x + 4 =132

,

es decir,

(x − 2)2 =132

,

luego, tomando la raíz cuadrada en la ecuación precedente, se sigue que

x − 2 = ±√

132

,

así,

x = 2 +

√

132

∨ x = 2 −√

132

,

con esto, tenemos que el conjunto solución de la ecuación es{

2 −√

132 , 2 +

√

132

}

.

6.16 Método de obtención de la fórmula general:

Una ecuación cuadrática es una ecuación equivalente a una de la forma

ax2 + bx + c = 0

donde a, b y c son números reales y a 6= 0


Se dice que una ecuación cuadrática escrita en la forma ax2 + bx + c = 0 está en laforma estándar.

6.17 La fórmula cuadrática

Se usa el método de completar el cuadrado para obtener una fórmula generalpara resolver la ecuación cuadrática.

x =−b ±

√b2 − 4ac

2a

¿Qué pasa si b2 − 4ac es negativo? Entonces la ecuación anterior establece que nose tiene una solución real. Este término se lo denomina también discriminante,y nos puede dar una predicción del tipo de soluciones que se pueden dar en laecuación.

101

1. Si b2 − 4ac > 0, existen dos soluciones reales diferentes.

2. Si b2 − 4ac = 0, existe una solución repetida, una raíz de multiplicidad 2.

3. Si b2 − 4ac < 0, no hay una solución real.

EJERCICIO 44. a) Utilice la ecuación cuadrática para encontrar las solucio-nes reales, si las hay, de la ecuación: 3x2 − 5x + 1 = 0,

b) Utilice la fórmula cuadrática para encontrar las soluciones reales, si lashay, de la ecuación:

252

x2 − 30x + 18 = 0,

c) Utilice la fórmula cuadrática para encontrar las soluciones reales, si lashay, de la ecuación 3x2 + 2 = 4x,

d) Encuentre las soluciones reales, si las hay, de la ecuación: 9 + 3x − 2

x2 =

0, x 6= 0.

Demostración. a) La ecuación está en la forma estándar, de manera que se com-para con ax2 + bx + c = 0 para encontrar a, byc.

Con a = 3, b = −5 y c = 1, se evalúa el discriminante b2 − 4ac

b2 − 4ac = (−5)2 − 4(3)(1) = 25 − 12 = 13

Como el b2 − 4ac > 0, existen dos soluciones reales, que se podrían encon-trar usando la fórmula cuadrática.

x =−b ±

√b2 − 4ac

2a= x =

−(−5)±√

132(3)

El conjunto de soluciones es{

5−√

136 , 5+

√13

6

}

.

b) La ecuación está dada en la forma estándar. Sin embargo, para simplificar laaritmética, se eliminan las fracciones. Multiplicando a toda la ecuación por 2.

25x2 − 60x + 36 = 0


102

b2 − 4ac = (−60)2 − 4(25)(36) = 3600 − 3600 = 0

La ecuación tiene una solución repetida, que se encuentra usando la fór-mula cuadrática.

x =60 ±

√0

50=

6050

=65

El conjunto de soluciones es{

65

}

c) La ecuación, como está dada, no se encuentra en la forma estándar,

3x2 − 4x + 2 = 0


b2 − 4ac = (−4)2 − 4(3)(2) = 16 − 24 = −8

Como b2 − 4ac < 0, la ecuación no tiene soluciones reales.

d) En su forma actual, no es una ecuación cuadrática, sin embargo, se puedetransformar en una multiplicando cada lado por x2. El resultado es:

9x2 + 3x − 2 = 0

Además, hay que tener en consideración que x2 6= 0. Con a = 9, b = 3 yc = −2, el discriminante es:

b2 − 4ac = (3)2 − 4(9)(−2) = 9 + 72 = 81,

ahora, como el b2 − 4ac > 0, existen dos soluciones reales.

x =−3 ±

√81

18=

−3 ± 918

,

luego, el conjunto de soluciones es:{

−23

,13

}

.

103

6.18 Aplicaciones de las ecuaciones de segundo grado.

6.18.1. Construcción de una caja:

EJERCICIO 45. En cada esquina de una hoja de metal cuadrada, corte un cua-drado con lado de 9 centímetros. Doble hacia arriba las orillas para forma unacaja cuadrada. Si la caja debe tener una capacidad de 144 centímetros cúbicos(cm3), ¿cuáles deben ser las dimensiones de la hoja de metal?

Demostración. En primer lugar, consideremos:

• x := la longitud del lado de la hoja cuadrada de metal.

Ahora, analicemos gráficamente el problema, así, tenemos que:

Figura 1: Gráfica aplicación.

Con esto, notemos que la caja tendrá 9 cm de altura y su base cuadrada tendráx − 18 cm como longitud del lado. Por otro lado, sabemos que el volumen de unsólido viene dada por:

V = (largo)× (ancho)× (altura)

= (x − 18)(x − 18) · 9

= 9(x − 18)2,

además, tenemos que el volumen de la caja debe ser 144 cm3, así, se sigue

9(x − 18)2 = 144,

de donde, dividiendo para 9, se tiene que

(x − 18)2 = 16,

104

luego, tomando la raíz cuadrada en la ecuación, obtenemos que

x − 18 = ±4,

así,x = 18 + 4 ∨ x = 18 − 4,

es decir,x = 22 ∨ x = 14.

Finalmente, notemos que la longitud del metal debe ser 22 cm y descartamos x =

14, en efecto:

• Si x = 22 cm , entonces V = (22 − 18)(22 − 18)9 = 144.

• Si x = 14 cm3, entonces la base de la caja es x − 18 = 14 − 18 = −4 cm, locual, no es cierto.

6.19 Construcción del borde de una jardinera:

EJERCICIO 46. Un arquitecto de paisaje acaba de terminar una jardinera deflores que mide 6 por 10 pies, ordena 1 yarda cúbica de cemento pre-mezcladoque se usará todo para crear un borde de ancho uniforme alrededor de lajardinera. Si el borde debe tener 3 pulgadas de grueso, ¿qué tan ancho puedeser?

Demostración. Antes de plantear el problema transformemos las unidades cúbicay pulgada a pies, en efecto, tenemos que

1 yarda cúbica= 27 pies cúbicos y 3 pulgadas = 0,25 pies.

Los datos del problema son:

• V := Volumen del borde de la jardinera = 27 pies cúbicos.

• Grueso del borde de la jardinera = 0,25 pies.

Además, consideremos: x := ancho del borde de la jardinera (pies).Gráficamente, tenemos que:

105

Figura 2: Gráfica aplicación 2.

Con esto, podemos ver que

V1 = V2, V3 = V4 ∧ V = 2V1 + 2V3. (6)

Por otro lado, vamos a calcular cada uno de estos volúmenes, en efecto:

V1 = (10 + 2x) · x · 0,25 V2 = 6 · x · 0,25

= 0,25(10x + 2x2) V2 =32

x,

de donde, junto con (6) se tiene que

V = 2[

0,25(10x + 2x2)]

+ 2[

32

x

]

=12(10x + 2x2) + 3x

= 5x + x2 + 3x

= x2 + 8x,

es decir,x2 + 8x = 27,

luego, completando cuadrados, tenemos que

(x + 4)2 = 43,

así,x =

√43 − 4 ∨ x = −

√43 − 4,

por lo tanto, el borde del ancho es de 2,56 pies.

6.20 Inecuaciones lineales:

106

Una inecuación es una desigualdad en la que aparece una incógnita. Si elgrado de la inecuación es uno, se dice que la inecuación es lineal.


Resolver una inecuación es encontrar los valores de la incógnita para los cualesse cumple la desigualdad. La solución de una inecuación es, por lo general, unintervalo o una unión de intervalos de números reales.

El método para resolver una inecuación es similar al utilizado para resolverecuaciones, pero teniendo presente las propiedades de las desigualdades. Es con-veniente ilustrar la solución de una inecuación con una gráfica.

Si la solución incluye algún extremo del intervalo, en la gráfica representamosdicho extremo con un círculo en negrita; en cambio, si la solución no incluye elextremo, lo representamos mediante un círculo blanco (transparente).

EJERCICIO 47. a) Resolver la siguiente inecuación: 3x − 5 > x + 7,

b) Resolver la siguiente ecuación: 4(x + 1) ≤ 2x − 8.

Demostración. a) Tenemos que

3x − 5 > x + 7 ⇔ 3x − x > 7 + 5,

de donde,2x > 12

es decir,x > 6

Por lo tanto, x > 6 o equivalentemente x ∈]6;+∞[.

b)4(x + 1) ≤ 2x − 8 ⇔ 4x + 4 ≤ 2x − 8

4x − 2x ≤ −8 − 42x ≤ −12

x ≤ −6

Con esto, tenemos que x ≤ −6 ó equivalentemente x ∈]− ∞;−6].

6.21 Inecuaciones lineales con una incógnita con valor absoluto.

6.21.1. Desigualdades que incluyen valor absoluto:

107

Si a es un número positivo y u una expresión algebraica, entonces:

1. |u| ≤ a es equivalente a −a ≤ u ≤ a,

2. |u| ≤ a es equivalente a u ≤ −a ∨ u ≥ a.

TEOREMA 1TEOREMA 1

EJERCICIO 48. a) Resuelva la desigualdad |2x + 4| ≤ 3 y grafique el conjun-to de soluciones,

b) Resuelva la desigualdad |1− 4x| < 5 y grafique el conjunto de soluciones,

c) Resuelva la desigualdad |2x− 5| > 3 y grafique el conjunto de soluciones.

Demostración. a) Por el Teorema 1, tenemos que

−3 ≤ 2x + 4 ≤ 3,

de donde, sumando el inverso aditivo de 4, tenemos que

−7 ≤ 2x ≤ −1,

luego, dividiendo para 2, obtenemos que

−72≤ x ≤ −1

2,

es decir, el conjunto solución es{

x ∈ R : −72≤ x ≤ −1

2

}

=

[

−72

,−12

]

.

Gráficamente, tenemos que

0 1 2 3−1−2−3

0

−1

1

x

y

b) Nuevamente, por el Teorema 1, tenemos que

−5 < 1 − 4x < 5,

108

de donde, sumando el inverso aditivo de 1 en la inecuación, se tiene que

−6 < −4x < 4,

luego, puesto que −4 < 0, al dividir por este número la inecuación cambia desentido, así,

32> x > 1,

es decir,

1 < x <32

,

con esto, tenemos que el conjunto solución es{

x : 1 < x <32

}

=

]

1,32

[

.


0 1−1

0

−1

1

x

y

c) Por el Teorema 1, tenemos que

2x − 5 < −3 ∨ 2x − 5 > 3,

de donde, sumando el inverso aditivo de −5, se tiene que

2x < 2 ∨ 2x > 8,

luego, dividendo las inecuaciones para 2, se sigue que

x < 1 ∨ x > 4,

con esto tenemos que el conjunto solución es:

{x ∈ R : x < 1 ∨ x > 4} = ]−∞, 1[ ∪ ]4,+∞[ .

Gráficamente, se tiene que

109

0 1 2 3 4 5−1

0

−1

1

x

y

6.22 Inecuaciones lineales con una incógnita de segundo grado.

Este tipo de inecuaciones tienen una pequeña diferencia con las inecuacioneslineales de una incógnita y es que se debe ver el signo que va a tener la inecuación,ya que al ser una cuadrática habrá zonas en donde será negativa y zonas dondeserá positiva. Las inecuaciones cuadráticas son de la forma:

ax2 + bx + c < 0 o ax2 + bx + c > 0,

donde a, b, c ∈ R con a 6= 0.

6.22.1. Métodos para resolver inecuaciones cuadráticas.

1. Escribir la inecuación de la forma general (como se mostró arriba).

2. Encontrar las raíces de la expresión cuadrática.

3. Hallar los signos en cada uno de los intervalos encontrados.

4. La solución será los intervalos con los signos correspondientes según lainecuación.

EJERCICIO 49. a) Resuelva la desigualdad x2 + 4x − 5 ≥ 0 y exprese el con-junto solución.

b) Resuelva la desigualdad 7x2 + 21x − 28 < 0 y grafique el conjunto desoluciones.

Demostración. a) Por el método de factorización de la forma x2 + bx + c , se tieneque

(x + 5)(x − 1) ≥ 0,

de donde, se procede a encontrar las raíces de la expresión cuadrática

x = −5 o x = 1

110

Por lo que nuestros intervalos son los siguientes:

Factor ]− ∞,−5] ]− 5, 1] ]1, ∞]

x + 5 − + +

x − 1 − − +

(x + 5)(x − 1) + − +

Ahora analizamos los signos y en la tabla de arriba y el signo de nuestra de-sigualdad, ya que nos pide los mayores o igual es a cero, escogemos solo losintervalos con signo positivo es decir, el conjunto solución es

{x ∈ R : x ≤ −5 ∨ x ≥ 1} =]− ∞,−5] ∪ [1,+∞[.

Gráficamente, se tiene que

0 1 2−1−2−3−4−5−6−7

0

−1

1

x

y

b) Nuevamente, obtenemos las raíces, pero primero podemos dividir a toda lainecuación para 7 con el fin de simplificarla:

x2 + 3x − 4 < 0,

factorizando. se sigue que

(x − 1)(x + 4) < 0,

se obtienen las raícesx = 1 ∨ x = −4

ahora se analiza el signo de cada intervalo:

FACTORES ]− ∞,−4] ]− 4, 1] ]1,+∞]

(x + 4) − + +

(x − 1) − − +

(x + 4)(x − 1) + − +

con esto, analizando los signos y la inecuación tomamos el intervalo negativo,

111

es decir el conjunto solución es

{x ∈ R : −4 < x < 1} =]− 4, 1[


0 1 2−1−2−3−4

0

−1

1

x

y


Relaciones de equivalencia:

1. Sea A = {1, 2, 3}, vamos a considerar la relación en A, dada por

R1 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 3), (3, 2)}.

¿R1 es una relación de equivalencia en A?

Hint: Encuentre un par ordenado en R que no cumpla con la propiedadreflexiva o simétrica.

2. Considere el conjunto definido en el literal anterior, definamos la relación:

R2 = {(1, 1), (2, 2)(3, 3)}.

¿R2 es una relación de equivalencia?

Ecuaciones lineales con valor absoluto:Resolver las siguientes ecuaciones lineales con valor absoluto:

• 3|x + 4| − 2 = x,

•∣

∣

∣

∣

x − 3x + 2

∣

∣

∣

∣

= 2,

• ||5 − 2x| − 4| = 10,

•∣

∣

∣

∣

3 − x

3

∣

∣

∣

∣

− 2 = 0,

• |2x − 1| = 2|x − 5|,

112

• |x + 1|+ 5700 = 2.

Problemas con ecuaciones lineales de primer grado:

1. Resuelva cada fórmula para la variable indicada.

a) Fórmula en electricidad:

1R

=1

R1+

1R2

,

para R.

b) Fórmula en Mecánica:v = −gt + v1,

para t.

2. Resuelva los siguiente problemas de aplicación de las ecuaciones de primergrado con una incógnita.

a) Al presentar el examen final, que contará como dos tercios de la cali-ficación final, Mike tiene calificaciones en exámenes de 86, 80, 84 y 90.¿Qué calificación necesita Mike en el examen final para obtener B, querequiere promedio de 80? ¿Qué necesita para obtener A, que requierepromedio de 90?

b) Existen 900,000 semillas del ermitaño las cuales deben dividirse entreGokú, Veggeta y Gohan para derrotar a Freezer, de la siguiente manera:

Veggeta recibe34

de las semillas que obtiene Gokú, mientras que Gohan

recibe12

de lo que recibe Gokú. ¿Cuánto recibe cada uno?

Ecuaciones de segundo grado:

1. Resolver las siguientes ecuaciones cuadráticas mediante el método de facto-rización.

• x2 + x − 6 = 0,

• 2x2 − 7x + 3 = 0,

• x2 − 5x − 84 = 0,

• 2x2 + 3x − 27 = 0,

• x2 − 4x + 4 = 0,

• x2 − 2x − 15 = 0,

113

• x2 +12

x − 12= 0.

2. ¿Qué número debe sumarse para completar el cuadrado de cada expresión?

a) x2 − 13

x,

b) x2 − 23

x,

c) x2 − 25

x.

3. Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones cuadráticas utilizando el mé-todo de completar cuadrados.

a) x2 +23

x − 13= 0,

b) 3x2 + x +12= 0,

c) 2x2 − 3x − 1 = 0.

4. A partir de método de completación de cuadrados, demuestre la fórmulageneral para la solución de ecuaciones cuadráticas.

Hint: Recuerde que si la forma cuadrática es ax2 + bx + c = 0, entonces

x =−b ±

√b2 − 4ac

2a, donde a, b, c ∈ R tal que a 6= 0.

5. Encuentre las soluciones reales, si las hay, de cada ecuación.

• x2 − 4x + 2 = 0

• 4u2 − 6u + 9 = 0

• 4 − 1x − 2

x2 = 0

• 34 m2 − m − 1

2 = 2

Aplicaciones de las ecuaciones de segundo grado.

1. Resuelva cada uno de los siguientes problemas:

a) Dimensiones de una ventana: El área de una ventana rectangular debeser 306 cm2. Si la longitud excede al ancho en 1 cm, ¿cuáles son lasdimensiones de la ventana.

b) Construcción de una caja: Debe construirse una caja abierta a partir deuna hoja cuadrada de metal cortando cuadrados de lado 1 pie en cadaesquina y doblando las orillas hacia arriba. Si la caja debe tener 4 piescúbicos de capacidad, ¿cuáles deben ser las dimensiones de la hoja demetal?

114

c) Física: Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba desde lo alto deun edificio que mide 36 pies, con una velocidad inicial de 80 pies porsegundo. La distancia s (en pies) de la pelota al suelo después de t se-gundos es:

s(t) = 96 + 80t − 16t2.

a) ¿Después de cuántos segundos llega la pelota al suelo?

b) Después de cuántos segundos pasa la pelota por lo alto del edificioen su caída al suelo?

Inecuaciones lineales y cudráticas.

1. Resolver las siguientes inecuaciones lineales y expresar la solución en formagráfica y en intervalos.

• 4(x + 2)− 3(x − 5) < −x + 13,

• −(1 − x − 2(1 − x − 3(17 − 17x))) ≥ 0,

• 11−x2 <

x+62 ,

• −x + 23 ≥ x + 1,

•5x − 3x + 2

25−

−50 +25x

3+ 5x

20≤

−2x +15

10− 3(25x − 10 − 3x)

15.

2. Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones lineales con valor absoluto.Exprese su respuesta usando la notación de conjuntos o de intervalos.

• |1 − 2x| > 3,

• 2 < |x − 3| ≤ 4,

• −|2x − 1| ≥ −3,

• | − x − 2| ≥ 1,

• |1 − 4x| − 7 < −2.

3. Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones lineales con una incógnitade segundo grado. Exprese su respuesta usando la notación de conjuntos yde intervalos.

• 2x2 + x − 2 > 0,

• x2 + 3 ≤ x,

• x(1 − x) ≥ 2,

• (x + 2)2 ≥ 2x,

• −7x2< −15x2 + 48x + 40.

115

7. BIBLIOGRAFÍA

1. Ministerio de Educación. (2016). Texto del Estudiante. Matemática 8(QuintaEdición), Quito, Ecuador: Medios Públicos EP.

2. Ministerio de Educación. (2016). Texto del Estudiante. Matemática 9(QuintaEdición), Quito, Ecuador: Medios Públicos EP.

3. Ministerio de Educación. (2016). Texto del Estudiante. Matemática 10(Quin-ta Edición), Quito, Ecuador: Medios Públicos EP.

4. Instituto de Ciencias Matemáticas de la Escuela Superior Politécnica del Li-toral. (2006). Fundamentos de Matemáticas para Bachillerato, Guayaquil,Ecuador: ICM-ESPOL.

5. Álgebra y Trigonometría 7ma edición Sullivan

6. Fundamentos de Matemática de la ESPOL

7. Fundamentos de Matemática de la EPN

8. ANEXO 1. PROTOCOLO DE APLICACIÓN DEL MANUAL DE

PROCEDIMIENTOS

116

116

PROTOCOLO DE APLICACIÓN DEL MANUAL DE

PROCEDIMIENTOS DE LA ASIGNATURA DE MATEMÁTICA

1. FICHA TÉCNICA

ÁREA: Ciencias Naturales y Matemática

CARRERA: Nivelación: para estudiantes de

Ingenierías y Tecnologías

ASIGNATURA: Matemática

REQUISITOS: ➢ Ser Bachiller de la República.

➢ Pertenecer al segmento

poblacional Política de Cuotas

(acción afirmativa).

➢ Rendir la prueba de diagnóstico y

no haber obtenido más del 70% del

rendimiento ponderado.

HORAS SEMANALES

10

TOTAL, DEL HORAS: 160

2. CARACTERIZACIÓN DE LA ASIGNATURA

2.1 JUSTIFICACIÓN E IMPORTANCIA DE LA ASIGNATURA

En esta época de incesante cambio tecnológico, la Matemática es más

importante que nunca. El uso de la Matemática en la etapa universitaria y

luego en el trabajo y en la cotidianidad permitirá a los estudiantes operar

equipos de cómputo, planificar horarios y programas, examinar, interpretar y

analizar datos, contrastar costos, administrar finanzas personales y ejecutar

otros trabajos de resolución de problemas.

Paralelamente, en la etapa de diagnóstico del proyecto PIJ-17-12

“Implementación de un Curso Preparatorio Piloto para Estudiantes de

Grupos Vulnerables – Política de Cuotas”, y del proyecto PIE-INEDITA-02-

2018 ““Diseño e implementación de un modelo inclusivo de admisión para el

Sistema de Educación Superior del Ecuador”, se determinó que los

estudiantes de Política de Cuotas presentaron conocimientos deficientes en

los conocimientos matemáticos del Subnivel Superior de Educación General

Básica, en consecuencia, surge la necesidad de nivelar y mejorar los

conocimientos con los que ingresan los estudiantes al Curso Piloto de

Nivelación.

116

2.2 UBICACIÓN DE LA ASIGNATURA EN LA MALLA CURRICULAR DEL

CURSO PILOTO DE NIVELACIÓN:

La asignatura de Matemática se dictó en el Curso Piloto de Nivelación de la

EPN. Tributa directamente a la materia de Fundamentos de Matemática y a

las demás asignaturas del Curso de Nivelación, y, a través de esta, con

Cálculo en una variable, Álgebra Lineal y todas las asignaturas relacionadas

con la Matemática. Horizontalmente se relaciona con Geometría y

Trigonometría.

2.3 CONTRIBUCIÓN DE LA ASIGNATURA AL PERFIL DEL EGRESADO DEL

CURSO PILOTO DE NIVELACIÓN:

Lo que se aprende en Matemática y la forma en que este conocimiento se

adquiere, proporcionará a los estudiantes la satisfacción personal y la

preparación para afrontar un futuro de constante cambio y desafíos

incesantes. Además, fomenta el trabajo tanto independiente como en equipo,

desarrolla el pensamiento científico-crítico y el razonamiento lógico,

sustentados en los conceptos básicos de la Matemática.

3. OBJETIVOS DE LA ASIGNATURA

3.1 GENERAL:

Resolver problemas relacionados con situaciones concretas de la realidad

mediante la aplicación de los conocimientos apropiados concernientes a las

operaciones en el campo de los reales, operaciones con polinomios,

productos notables, factorización, ecuaciones, inecuaciones y funciones en

una variable; a nivel productivo, mediante la búsqueda y procesamiento de

información, como una vía para desarrollar el pensamiento lógico, crítico y

científico.

3.2 ESPECÍFICOS:

Resolver problemas de operaciones en el campo de los reales, a nivel

productivo, utilizando las propiedades de campo.

Resolver problemas de operaciones con polinomios, a nivel productivo,

mediante la búsqueda y procesamiento de información y el desarrollo del

pensamiento lógico, crítico y creativo.

Resolver problemas de productos notables y factorización a nivel

productivo, mediante la búsqueda y procesamiento de información y el

desarrollo del pensamiento lógico, crítico y creativo.

Resolver problemas relacionados con las Ciencias Naturales e

Ingeniería, a nivel productivo, en el marco de las ecuaciones e

inecuaciones lineales, cuadráticas, racionales, irracionales y valor

absoluto; mediante la búsqueda y procesamiento de información, la

construcción de modelos concretos de la realidad y el desarrollo del

pensamiento lógico, crítico y creativo.

116

Resolver problemas relacionados con las Ciencias Naturales e

Ingeniería, a nivel productivo, en el marco de las funciones en el campo

de los reales en una variable, mediante la búsqueda y procesamiento de

información, la construcción de modelos concretos de la realidad y el

desarrollo del pensamiento lógico, crítico y creativo.

Graficar funciones en el campo de los reales en una variable, a nivel

reproductivo, a partir de sus raíces o puntos críticos y sus propiedades.

4. SÍNTESIS DE CONTENIDOS

Se propone una síntesis de contenidos con las respectivas horas a ser dictadas por el

docente, las cuales se ponen a consideración, junto con los contenidos, especificados

y detallados más adelante, sumando un total de 148 horas, quedando un faltante de

12 horas para las evaluaciones.

5. PROPUESTA DE EVALUACIÓN

La metodología en cuanto a la evaluación: se sugiere que el estudiante sea evaluado

en función del esfuerzo a lo largo del tiempo, es decir si el estudiante cumple y estudia

los parciales, entonces la nota final de mayor peso tendrá una mayor probabilidad de

obtener un mayor puntaje. Cabe mencionar que la cada prueba parcial tuvo una

duración de 2 horas, así como cada examen bimestral, sumando 12 horas, más las

No. TÍTULO DE LA UNIDAD HORAS

1 OPERACIONES EN EL CAMPO DE LOS REALES 16

2 OPERACIONES CON POLINOMIOS 8

3 PRODUCTOS NOTABLES, COCIENTES NOTABLES

Y FACTORIZACIÓN 24

4 OPERACIONES CON FRACCIONES 6

5 ECUACIONES E INECUACIONES 34

6 FUNCIONES EN UNA VARIABLE EN EL CAMPO DE

LOS REALES 12

7 TRIGONOMETRÍA 26

8 VECTORES 8

9 LÓGICA MATEMÁTICA 14

TOTAL 148

No. EVALUACIÓN BIMESTRAL Puntos /10

1 PRUEBA PARCIAL 1 2

2 PRUEBA PARCIAL 2 2

3 DEBERES Y TALLERES 2

4 EXÁMEN 4

TOTAL 10

116

148 horas de contenidos y ejercicios se completa un total de 160 horas, propuestas

para la asignatura.

6. INDICACIONES DE APLICACIÓN DEL MANUAL DE PROCEDIMIENTOS

1. Se ha propuesto una nivelación de conocimientos, en la asignatura de

matemática, previo al ingreso de los estudiantes al Sistema de Educación

Superior, los cuales pertenecen al grupo de política de cuotas. Para lo cual se

adjunta el manual de procedimientos, con los materiales como conceptos y

ejercicios prácticos, para que los estudiantes tengan una guía de temas

propuestos, en base a las necesidades académicas que exige el curso de

nivelación de la EPN, y en general de las universidades del país.

2. Se ha establecido un total de 80 clases, cada una de 2 horas, las cuales se

impartieron 10 horas semanales, y se muestran divididas por cada unidad.

3. El curso estuvo constituido por dos bimestres, cada bimestre estuvo

acompañado de las respectivas evaluaciones. Tomando en consideración

deberes, talleres, y evaluaciones; sumando un total de 10 puntos bimestrales.

4. El manual de procedimientos deberá ser revisado por el docente a impartir la

materia, a los estudiantes antes mencionados.

5. Posterior, deberá ser compartido por vía email, para iniciar con el proceso de

impartición de la asignatura.

6. Luego se deberá iniciar con la capacitación, cumpliendo con lo establecido, por

ejemplo: cantidad de horas asignadas en cada una de las unidades de la materia.

7. Los estudiantes deben estar en constante práctica de los ejercicios propuestos,

y resolver los mismos que se encuentran en el manual de procedimientos, con

el objetivo de mejorar la habilidad cognitiva de la asignatura.

8. Finalmente, las evaluaciones deberán ser tomadas en cuenta por los docentes

en periodos y fechas que culmines las unidades parciales, para verificar el

aprendizaje de los estudiantes, y así los estudiantes adquieran una formación

académica de la materia, la cual les servirá de base, para afrontar las materias

venideras en las respectivas carreras.

116

UNIDAD 1: OPERACIONES EN EL CAMPO DE LOS REALES HORAS ESTIMADAS: 16

OBJETIVO DE LA UNIDAD: Resolver ejercicios de operaciones en el campo de los reales, a nivel productivo, utilizando las propiedades de

campo. [1] [2] [3] [4]

PLANIFICACIÓN DE CLASES

CONTENIDOS HORAS OBJETIVOS

ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS

INDICADOR DE EVALUACIÓN Métodos Técnicas

Organización

1.1 Introducción y clasificación de los números reales.

2

Conocer los conjuntos de números reales y su clasificación.

Inductivo- Deductivo

Participativa Equipos de trabajo

Clasifica los números reales en conjuntos y subconjuntos

1.2 Orden de las operaciones y signos de agrupación. Regla de signos

2

Identificar el orden de las operaciones y signos de agrupación.



Identifica el orden de las operaciones

1.3 Operaciones con números racionales 2

Resolver ejercicios con las cuatro operaciones usuales con números racionales.



Realiza ejercicios con las cuatro operaciones usuales con números enteros y quebrados

1.4 Regla de exponentes, potenciación y radicación

2

Aplicar las reglas de exponentes racionales.



Aplica las reglas de exponentes racionales en operaciones con expresiones numéricas y algébricas.

116

1.5 Regla de tres simple - conversión de unidades

2

Utilizar la regla de tres simple y conversión de unidades en la solución de problemas



Resuelve problemas utilizando la regla de tres simple y conversión de unidades.

1.6 Regla de tres compuesta 2

Utilizar la regla de tres compuesta en la solución de problemas



Resuelve problemas utilizando la regla de tres compuesta.

1.7 Miscelánea, ejercicios y problemas de razonamiento aritmético

2

Resolver problemas de razonamiento aritmético utilizando todo lo aprendido.



Resuelve problemas de razonamiento aritmético

1.8 Miscelánea, ejercicios y problemas de razonamiento aritmético

2

Resolver problemas de razonamiento aritmético utilizando todo lo aprendido.



Resuelve problemas de razonamiento aritmético

116

UNIDAD 2: OPERACIONES CON POLINOMIOS HORAS ESTIMADAS: 8

OBJETIVO DE LA UNIDAD: Resolver ejercicios de operaciones con polinomios, a nivel productivo, mediante la búsqueda y procesamiento

de información y el desarrollo del pensamiento lógico, crítico y creativo. [1] [2] [3] [4]


CONTENIDOS HORAS OBJETIVOS ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS

INDICADOR DE EVALUACIÓN Métodos Técnicas Organización

2.1 Definiciones básicas de Polinomios

2 Identificar los elementos de un polinomio.

Inductivo-Deductivo

Participativa Equipo de trabajo Distingue cuales expresiones algebraicas son polinomios.

2.2 Suma y resta de Polinomios 2 Resolver ejercicios de suma y resta de polinomios

Inductivo-Deductivo

Participativa Conferencia-Taller Resuelve ejercicios de suma y resta de polinomios

2.3 Multiplicación de Polinomios

2 Resolver ejercicios de multiplicación de polinomios.

Inductivo-Deductivo

Participativa Conferencia-Taller Resuelve ejercicios de multiplicación de polinomios

2.4 División de Polinomios 2 Resolver ejercicios de división de polinomios.

Inductivo-Deductivo

Participativa Conferencia-Taller Resuelve ejercicios de división de polinomios

116

UNIDAD 3: PRODUCTOS NOTABLES, COCIENTES NOTABLES Y FACTORIZACIÓN HORAS ESTIMADAS: 24

OBJETIVO DE LA UNIDAD: Resolver ejercicios de productos notables y factorización a nivel productivo, mediante la búsqueda y

procesamiento de información y el desarrollo del pensamiento lógico, crítico y creativo. [1] [2] [3] [4]




3.1

Productos notables: Suma por la diferencia, producto de la forma (ax+b)(ax+c), binomio al cuadrado, trinomio al cuadrado.

2

Resolver ejercicios de productos notables

Inductivo-Deductivo

Participativa Equipo de trabajo Resuelve ejercicios combinados de productos notables.

3.2 Productos notables: Binomio al cubo, binomio de Newton

2

Resolver ejercicios de productos notables

Inductivo-Deductivo

Participativa Equipo de trabajo Resuelve ejercicios combinados de productos notables.

3.3 Cocientes notables básicos 2

Resolver ejercicios de cocientes notables

Inductivo-Deductivo

Participativa Equipo de trabajo Resuelve ejercicios combinados de cocientes notables.

3.4 Factor común, factor común por agrupación

2

Resolver ejercicios de factorización de polinomios

Inductivo-Deductivo

Participativa Equipo de trabajo Resuelve ejercicios de factor común y factor común por agrupación

116

3.5 Diferencia de cuadrados y trinomio cuadrado perfecto

2


Inductivo-Deductivo

Participativa Equipo de trabajo Resuelve ejercicios de factorización de diferencia de cuadrados y trinomio cuadrado perfecto.

3.6 Diferencia de cuadrados y trinomio cuadrado perfecto y combinación por suma y resta

2


Inductivo-Deductivo

Participativa Equipo de trabajo Resuelve ejercicios combinados de factorización de diferencia de cuadrados y trinomio cuadrado perfecto por suma y resta.

3.7 Factorización x2+bx+c Factorización ax2+bx+c

2


Inductivo-Deductivo

Participativa Equipo de trabajo Resuelve ejercicios de factorización de polinomios: x2+bx+c y ax2+bx+c

3.8 Factorización x2+bx+c Factorización ax2+bx+c

2


Inductivo-Deductivo

Participativa Equipo de trabajo Resuelve ejercicios de factorización de polinomios: x2+bx+c y ax2+bx+c

3.9 Suma de cubos Diferencia de cubos

2


Inductivo-Deductivo

Participativa Equipo de trabajo Resuelve ejercicios de factorización de suma de cubos y diferencia de cubos

116

3.10 División sintética o Regla de Ruffini

2

Aplicar la Regla de Ruffini en la división sintética

Inductivo-Deductivo

Participativa Equipo de trabajo Aplica la Regla de Ruffini en ejercicios de división sintética.

3.11 Miscelánea de ejercicios 2

Resolver ejercicios combinados de factorización de polinomios

Inductivo-Deductivo

Participativa Equipo de trabajo Resuelve ejercicios combinados de factorización de polinomios.

3.12 Miscelánea de ejercicios 2

Resolver ejercicios combinados de factorización de polinomios

Inductivo-Deductivo

Participativa Equipo de trabajo Resuelve ejercicios combinados de factorización de polinomios.

116

UNIDAD 4: OPERACIONES CON FRACCIONES HORAS ESTIMADAS: 6

OBJETIVO DE LA UNIDAD: Resolver ejercicios de operaciones con fracciones a nivel productivo, mediante la búsqueda y procesamiento de

información y el desarrollo del pensamiento lógico, crítico y creativo. [1] [2] [3] [4]




4.1 Máximo común divisor y mínimo común múltiplo. Suma y resta de fracciones

2

Resolver ejercicios de suma y resta de fracciones

Inductivo-Deductivo

Participativa

Equipo de trabajo

Resuelve ejercicios de suma y resta de fracciones.

4.2 Multiplicación, división de fracciones

2

Resolver ejercicios de multiplicación y división de fracciones

Inductivo-Deductivo

Participativa

Equipo de trabajo

Resuelve ejercicios de multiplicación y división de fracciones

4.3 Simplificación de fracciones 2

Resolver ejercicios de simplificación de fracciones

Inductivo-Deductivo

Participativa Equipo de trabajo

Resuelve ejercicios de simplificación de fracciones

116

UNIDAD 5: ECUACIONES E INECUACIONES HORAS ESTIMADAS: 34

OBJETIVO DE LA UNIDAD: Resolver problemas a nivel productivo, en el marco de las ecuaciones e inecuaciones lineales, cuadráticas,

racionales, irracionales y valor absoluto; mediante la búsqueda y procesamiento de información, la construcción de modelos concretos de la

realidad y el desarrollo del pensamiento lógico, crítico y creativo. [1] [2] [3] [4]


CONTENIDOS HORAS OBJETIVOS

ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS

INDICADOR DE EVALUACIÓN Métodos Técnicas

Organización

5.1 Axiomas y teoremas de la igualdad 2

Reconocer los axiomas y teoremas de la igualdad

Inductivo-Deductivo Participativa

Equipo de trabajo

Reconoce los axiomas y teoremas de la igualdad

5.2 Ecuaciones de primer grado con una incógnita. Definiciones, diferencia entre identidad y ecuación.

2 Resolver ecuaciones de primer grado

Inductivo-Deductivo


Resuelve ecuaciones de primer grado

116

5.3 Ecuaciones de primer grado con una incógnita. Ecuaciones literales.

2

Resolver ecuaciones de primer grado que incluyen expresiones literales


Equipo de trabajo

Resuelve ecuaciones de primer grado que incluyen expresiones literales

5.4 Ecuaciones de primer grado con una incógnita que incluyen valor absoluto

2

Resolver ecuaciones de primer grado que incluyen valor absoluto


Equipo de trabajo

Resuelve ecuaciones de primer grado que incluyen valor absoluto

5.5 Ecuaciones de primer grado con una incógnita. Problemas

2

Resolver problemas que se modelan con ecuaciones de primer grado con una incógnita


Equipo de trabajo

Resuelve problemas que se modelan con ecuaciones de primer grado con una incógnita

5.6 Sistema de ecuaciones de primer grado.

2

Resolver sistemas de dos y tres ecuaciones de primer grado

Inductivo-Deductivo


Resuelve sistemas de dos y tres ecuaciones de primer grado

116

5.7 Sistema de ecuaciones de primer grado. Problemas

2

Resolver problemas que se modelan con sistemas de ecuaciones de primer grado


Equipo de trabajo

Resuelve problemas que se modelan con sistemas de ecuaciones de primer grado

5.8 Ecuación de segundo grado. Definiciones. Primer método, factorizando

2

Resolver ecuaciones de segundo grado mediante factorización

Inductivo-Deductivo


Resolver ecuaciones de segundo grado mediante factorización

5.9

Ecuación de segundo grado.

Segundo método, obteniendo un cuadrado perfecto y extrayendo la raíz

2

Resolver ecuaciones de segundo grado mediante el método de la raíz


Equipo de trabajo

Resuelve ecuaciones de segundo grado mediante el método de la raíz

5.10

Ecuación de segundo grado.

Tercer método, obtención de la fórmula ecuación de segundo grado

2

Resolver ecuaciones de segundo grado mediante el método de la fórmula


Equipo de trabajo

Resuelve ecuaciones de segundo grado mediante el método de la fórmula

5.11 Problemas que se resuelven con ecuaciones de segundo grado.

2

Resolver problemas que se modelan con ecuaciones de segundo grado


Equipo de trabajo

Resuelve problemas que se modelan con ecuaciones de segundo grado

116

5.12 Problemas que se resuelven con ecuaciones de segundo grado. 2

Resolver problemas que se modelan con ecuaciones de segundo grado


Equipo de trabajo

Resuelve problemas que se modelan con ecuaciones de segundo grado

5.13 Teoremas de desigualdades 2 Reconocer los teoremas de desigualdades


Equipo de trabajo

Reconoce los teoremas de desigualdades

5.14 Teoremas de desigualdades 2 Reconocer los teoremas de desigualdades


Equipo de trabajo

Reconoce los teoremas de desigualdades

5.15 Inecuaciones lineales con una incógnita de primer grado

2

Resolver inecuaciones lineales de primer grado con una incógnita


Equipo de trabajo

Resuelve inecuaciones lineales de primer grado con una incógnita

5.16 Inecuaciones lineales con una incógnita que contengan valor absoluto

2

Resolver inecuaciones lineales de primer grado con valor absoluto


Equipo de trabajo

Resuelve inecuaciones lineales de primer grado con valor absoluto

5.17 Inecuaciones lineales con una incógnita de segundo grado

2

Resolver inecuaciones lineales de segundo grado


Equipo de trabajo

Resuelve inecuaciones lineales de segundo grado

116

UNIDAD 6: FUNCIONES EN UNA VARIABLE EN EL CAMPO DE LOS REALES HORAS ESTIMADAS: 12

OBJETIVO DE LA UNIDAD: Resolver problemas a nivel productivo, en el marco de las funciones en el campo de los reales en una variable,

mediante la búsqueda y procesamiento de información, la construcción de modelos concretos de la realidad y el desarrollo del pensamiento

lógico, crítico y creativo. [1] [2] [3] [4]




6.1 Relaciones y funciones. Función: Concepto, definición, dominio y recorrido.

2

Discriminar entre una relación y una función

Inductivo-Deductivo


Discrimina entre una relación y una función

6.2 Función lineal: dominio, recorrido, monotonía

2

Aplicar las propiedades de la función lineal

Inductivo-Deductivo


Aplica las propiedades de la función lineal

6.3 Función cuadrática: dominio, recorrido, gráfica.

2

Aplicar las propiedades de la función cuadrática

Inductivo-Deductivo


Aplica las propiedades de la función cuadrática

116

6.4 Función cuadrática: monotonía 2

Distinguir la monotonía de función cuadrática

Inductivo-Deductivo


Distingue la monotonía de función cuadrática

6.5 Función racional homográfica: dominio, recorrido y gráfica.

2

Aplicar las propiedades de la función homográfica

Inductivo-Deductivo

Participativa

Equipo de trabajo

Aplica las propiedades de la función homográfica

6.6 Función Racional homográfica: monotonía.

2

Distinguir la monotonía de función homográfica

Inductivo-Deductivo


Distingue la monotonía de función homográfica

116

UNIDAD 7: TRIGONOMETRÍA HORAS ESTIMADAS: 26

OBJETIVO DE LA UNIDAD: Resolver problemas relacionados con las Ciencias Naturales e Ingeniería, a nivel productivo, en el marco de las

funciones en el campo de los reales en una variable, mediante la búsqueda y procesamiento de información, la construcción de modelos

concretos de la realidad y el desarrollo del pensamiento lógico, crítico y creativo.




7.1

Definición de ángulo. Relaciones trigonométricas como relaciones de los lados de un triángulo rectángulo. Circulo trigonométrico. Líneas trigonométricas. Relaciones trigonométricas de ángulos fundamentales

2

Reconocer los diferentes tipos de relaciones trigonométricas de ángulos fundamentales

Inductivo-Deductivo


Reconoce los diferentes tipos de relaciones trigonométricas de ángulos fundamentales.

7.2 Identidades trigonométricas fundamentales.

2

Identificar las identidades trigonométricas fundamentales desde el punto de vista geométrico.

Inductivo-Deductivo


Identifica las identidades trigonométricas fundamentales desde el punto de vista geométrico.

7.3 Identidades trigonométricas fundamentales.

2

Utilizar las identidades trigonométricas desde el punto de vista geométrico.

Inductivo-Deductivo


Utiliza las identidades trigonométricas fundamentales desde el punto de vista geométrico.

7.4 Análisis trigonométrico. Seno y coseno de la suma y diferencia de dos ángulos.

2

Utilizar el análisis trigonométrico. Seno y coseno de la suma y diferencia de dos ángulos.

Inductivo-Deductivo


Utiliza el análisis trigonométrico. Seno y coseno de la suma y diferencia de dos ángulos.

116

7.5

Análisis trigonométrico. Tangente y cotangente de la suma y diferencia de dos ángulos.

2

Utilizar el análisis trigonométrico. Tangente y cotangente de la suma y diferencia de dos ángulos

Inductivo-Deductivo


Utiliza el análisis trigonométrico. Tangente y cotangente de la suma y diferencia de dos ángulos

7.6 Análisis trigonométrico. Seno, coseno, tangente y cotangente del ángulo doble

2

Utilizar el análisis trigonométrico. Seno, coseno, tangente y cotangente del ángulo doble

Inductivo-Deductivo


Utiliza el análisis trigonométrico. Seno, coseno, tangente y cotangente del ángulo doble

7.7 Análisis trigonométrico. Seno, coseno, tangente y cotangente del ángulo mitad.

2

Utilizar el análisis trigonométrico. Seno, coseno, tangente y cotangente del ángulo mitad

Inductivo-Deductivo


Utiliza el análisis trigonométrico. Seno, coseno, tangente y cotangente del ángulo mitad

7.8

Análisis trigonométrico.

Sumas y diferencias de senos y cosenos en producto.

2

Utilizar el análisis trigonométrico.


Inductivo-Deductivo


Utiliza el análisis trigonométrico.


116

7.9

Análisis trigonométrico.


2

Utilizar el análisis trigonométrico.


Inductivo-Deductivo


Utiliza el análisis trigonométrico.


7.10

Análisis trigonométrico Ejercicios sobre demostraciones de identidades trigonométricas.

2

Aplicar el análisis trigonométrico en ejercicios sobre demostraciones de identidades trigonométricas.

Inductivo-Deductivo


Aplica el análisis trigonométrico en ejercicios sobre demostraciones de identidades trigonométricas.

7.11 Análisis trigonométrico. Gráfica de las funciones trigonométricas. Periodicidad.

2

Aplicar análisis trigonométrico. Gráfica de las funciones trigonométricas. Periodicidad.

Inductivo-Deductivo


Aplica análisis trigonométrico. Gráfica de las funciones trigonométricas. Periodicidad.

7.12 Análisis trigonométrico. Solución de Ecuaciones trigonométricas.

2 Resolver ecuaciones trigonométricas

Inductivo-Deductivo


Resuelve ecuaciones trigonométricas

7.13 Análisis trigonométrico. Solución de Ecuaciones trigonométricas.

2 Resolver ecuaciones trigonométricas

Inductivo-Deductivo


Resuelve ecuaciones trigonométricas

116

UNIDAD 8: VECTORES HORAS ESTIMADAS: 8

OBJETIVO DE LA UNIDAD: Desarrollar el pensamiento lógico, crítico y creativo en el campo de los vectores.




8.1

Conceptos y definiciones. Plano cartesiano Vector, módulo de un vector Representación de un vector

2

Aplicar los conceptos y definiciones del vector y su representación gráfica

Inductivo-Deductivo


Aplica los conceptos y definiciones del vector y su representación gráfica.

8.2 Suma y resta de vectores. Método gráfico Método analítico

2

Aplicar los métodos gráfico y analítico para la suma y resta de vectores

Inductivo-Deductivo


Aplica los métodos gráfico y analítico para la suma y resta de vectores

8.3 Producto escalar de dos vectores

2

Aplicar la definición de producto escalar

Inductivo-Deductivo


Aplica la definición de producto escalar

8.4 Producto vectorial de dos vectores

2

Aplicar la definición de producto vectorial

Inductivo-Deductivo


Aplica la definición de producto vectorial

116

UNIDAD 9: LÓGICA MATEMÁTICA HORAS ESTIMADAS: 14

OBJETIVO DE LA UNIDAD: Desarrollar el pensamiento lógico, crítico y creativo en el campo de la lógica matemática. [1] [2] [3] [4]




9.1 Conceptos, definiciones y tablas de verdad de los conectores lógicos y proposiciones simples.

2

Identificar los principios y elementos de la lógica proposicional

Inductivo-Deductivo

Participativa

Equipo de trabajo

Identifica los principios y elementos de la lógica proposicional

9.2 Proposiciones lógicas compuestas.

2

Identificar las principales proposiciones lógicas reconociendo si son simples o compuestas

Inductivo-Deductivo

Participativa

Equipo de trabajo

Identifica las principales proposiciones lógicas reconociendo si son simples o compuestas

9.3 Definiciones. Implicación lógica, equivalencia lógica.

2

Aplicar las definiciones de implicación lógica y equivalencia lógica

Inductivo-Deductivo


Aplicar las definiciones de implicación lógica y equivalencia lógica

9.4 Algebra de proposiciones 2 Aplicar el álgebra de proposiciones

Inductivo-Deductivo


Aplica el álgebra de proposiciones

116

9.5 Razonamientos válidos. Reglas de inferencia

2

Determinar el valor de verdad de un conjunto de premisas aplicando las reglas de inferencia

Inductivo-Deductivo


Determina el valor de verdad de un conjunto de premisas aplicando las reglas de inferencia

9.6 Reglas de inferencia. Ejercicios. 2

Resolver ejercicios de aplicación de las reglas de inferencia

Inductivo-Deductivo


Resuelve ejercicios de aplicación de las reglas de inferencia

9.7 Métodos de demostración. 2

Seleccionar el método de demostración más adecuado en cada situación

Inductivo-Deductivo


Selecciona el método de demostración más adecuado en cada situación

116

Realizado Por:

Colaboradores: Ing. Belén Cadena

PROYECTO PIJ-17-12

Ing. Jessica Reina

Gestor Técnico Administrativo FIRMA

Fecha de presentación del informe 20/05/2020

Aprobado Por:

Ing. Tarquino Sánchez A. MBA.

DIRECTOR DEL PROYECTO FIRMA

Fecha de aprobación del informe

escuela politÉcnica nacional · 2020. 7. 20. · escuela politÉcnica nacional semestre 2019-b...

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