ESCUELA DE OFICIALES DE LA POLICÍA NACIONAL DEL PERÚ

Lic. Kelly Bedón A.

Matemática - Informática

LÓGICALa Condicional y Bicondicional

LA CONDICIONALEjemplo 1 (Verdadera implica Verdadera) es Verdadera

Si p y q son verdaderas, entonces p→q es verdadera. Por ejemplo:Si 1+1 = 2 entonces el sol sale por el este.Aquí p: "1+1 = 2" y q: "El sol sale por el este.“

Observa que las proposiciones p y q no tiene nada que ver una con otra. No estamos diciendo que el sol sale por el este porque 1+1 = 2, simplemente que la proposición entera es lógicamente verdadera.

Ejemplo 2 Verdadera no Puede Implicar Falsa

Si p es verdadera y q es falsa, entonces p→q es falsa. Por ejemplo considera:

Cuando llueve, llevo un paraguas.

Aquí p: "Esta lloviendo," y q: "Llevo un paraguas." En otras palabras, podemos reformular la frase o oración como: "Si llueve entonces llevo un paraguas." De hecho, es frecuentemente el caso que llueve (p es verdadera) y se me olvido traer mi paraguas (q es falsa). En tal momento la proposición p→q es claramente falsa.

Observa que interpretamos "Cuándo p, q“ como "Si p entonces q."

Ejemplo 3: Falso implica cualquier cosa

Si p es falso, entonces p→q es verdadera, no importa si q es verdadera o no Por ejemplo: Si la luna es hecha de queso verde, entonces soy el rey de Inglaterra.

Aquí p: "La luna es hecha de queso verde," que es falsa, y q: "Soy el rey de Inglaterra." La proposición p→q es verdadera, si o no el orador suele ser el rey de Inglaterra (o si, lo que es más, aún hay un rey de Inglaterra).

"Si tuviera 1 millón de dólares estaría en Easy Street." "Sí claro, y si mi abuela tuviera ruedas ella sería un autobús." El punto de la réplica es que si la hipótesis es falsa, la implicación entera es verdadera.

Contesta lo siguiente. En caso de duda, usa una tabla de verdad o consulta los tres ejemplos anteriores.

"Si 1+1 = 3, entonces 1+2 = 3."   es V F

"Si la tierra es redonda entonces marte es plano."   es V F

"Si la tierra es plana marte es plano."   es V F

"Si la tierra es redonda, marte es redondo."   es V F

"Si marte es redondo, yo soy el hombre de la luna."   es V F

Ejemplo 4 Cogito; Ergo Sum

Echemos un vistazo a la reclamación famosa de Descartes:Cogito; ergo sum: "Pienso; por lo tanto yo soy."Para concluir que "yo soy" por "pienso," Descartes hace la

siguiente preposición implícita: "Si pienso, entonces soy." Si Descartes no piensa, entonces no importa si el existe o no. Si él existe, entonces no importa si él piensa o no. El único caso que podría contradecir su proposición es si rompe la promesa: Él piensa, pero no existe.

Ejemplo 5: Switcheroo

Muestra que p→q = ~p v q) En otras palabras, p→q es verdadera si p es falsa o q es verdadera. Por la ley De Morgan estas proposiciones tambíen son equivalentes a ~(p (~q)). La única forma que el condicional puede ser falsa en el caso de la promesa rompas: cuando p es verdadera y q es falsa.Debería sorprender el hecho de que podemos convertir la implicación en una disyunción. De hecho, detrás de todo esto es una técnica muy poderosa. No es muy difícil (usando la tabla de verdad) para convertir cualquier proposición lógica en una disyuncción de conjunciones de átomos o sus negaciones. A esto se le llama la forma normal disyuntiva, y es esencial en el diseño de los circuitos lógicos que componen las computadoras digitales.Por falta de un nombre mejor, llamaremos a la equivalencia p→q (~p) v q la ley de "Switcheroo“En palabras, esto expresa la equivalencia entre decir "si p es verdad, entonces q debe ser verdad" y decir "p no es verdad, o bien q debe ser verdad."

Marca lo correcto:1) p: "Hay vida en Marte, entonces debemos financiar la NASA.“ a) Hay vida en Marte o debemos no financiar la NASA b) No hay vida en Marte o debemos financiar la NASA c) No hay vida en Marte o debemos no financiar la NASA d) Hay vida en Marte o debemos financiar la NASA2) p: "Si tu eres alto entraras al equipo de lacrosse.“ a) A menos que eres alto no entrarás al equipo de lacrosse b) Si tú eres alto no entrarás al equipo de lacrosse c) No eres alto o entrarás al equipo de lacrosse d) Entrarás al equipo de lacross o no eres alto3) p: "Financiaremos la NASA solo si hay vida en Marte.“ a) Hay vida en Marte o no financiaremos la NASA. b) Financiaremos la NASA o no hay vida en Marte. c) Hay vida en Marte o financiaremos la NASA. d) Hay vida en Marte, puede que no financiaremos la NASA.

Ejemplo 6 Reformulación con el condicionalReformula la frase "Si es martes, debe ser Bélgica."

SoluciónAquí hay varias maneras de reformular la oración:"Siendo martes implica que es Bélgica.""Es Bélgica si es martes.""Es martes solo si es Bélgica.""No es martes a menos que sea Bélgica.""Siendo martes es suficiente para que sea Bélgica.""Sea Bélgica es una condición necesaria para que sea martes."

Conversa

A la proposición q→p se llamada la conversa de la proposición p→q. Un condicional y su conversa no son equivalentes.

El hecho de que un condicional facilmente se puede confundir con su conversa a menudo se utiliza en la publicidad. Por ejemplo, el eslogan "Bebe Boors, la bebida designada al equipo olípico de los EUA" sugiere que todos los atletas Olímpicos de EUA beben Boors (es decir, si eres atleta Olímpico de los EUA, debes beber Boors). Lo que esta tratando de decir al mismo tiempo puede ser la conversa: Todos los que beben Boors pueden ser atletas olípicos de los EUA (si tu bebes Boors entonces serás un atleta Olímpico de los EUA, o: Es suficiente beber Boors para convertirte en atleta olímpico de los EUA).

Contrapositiva

A la proposición (~q) → (~p) se llamada la contrapositiva de la proposición p→q. Una condicional es equivalente a su contrapositiva.

Ejemplo Contrapositiva

Reescribe la proposición "Este animal grotesco es una vaca Jersey, entonces debe ser pinta," como su contrapositiva.

Solución

La proposición dada tiene la forma p→q, dónde p: "Este grotesco animal es una vaca Jersey," y q: "Este grotesco animal es pinto." La contrapositiva es la proposición (~q)→(~p), y se escribe de la siguiente manera: "Si este animal grotesco no es pinto, entonces no puede ser una vaca de Jersey."

Ejemplo  Conversa

A continuación da la conversa de la proposición del ejemplo anterior.

Solución

La conversa de p→q es q→p, y puede expresarse como: "Si este grotesco animal es pinto, entonces es una vaca de Jersey.“

PRACTICAMOS…

1.- Obtén la contrapositiva de la proposición: “Si no pagas el rescate, nunca volverás a ver a tu mascota Chia”

2.- Lo conversa de p→(~q) es

3.- La contrapositiva de p→(~q) es

4.- La contrapositiva de (~p)→(~q) es