Instituto Politécnico Nacional.

Unidad Profesional Interdisciplinaria de Ingeniería

Campus Guanajuato.

Aplicaciones Matemáticas

Roxana Luis Rey Diaz.

“Reacciones Químicas”.

Ingeniería Biotecnológica.

3BV1

Ludvika alejandra Navarro Arias. Karina Gabriel Flores

Miriam Isabel Vargas Avila Victor Manuel Ortiz León

Silao de la Victoria, Guanajuato, México.

7 Septiembre del 2015.

Problemática Hacer una investigación e implementar un modelo matemático para dar solución a los diferentes órdenes de reacción y número de reactivos con base a conjuntos de datos ya establecidos. Análisis del problema Se buscó entender claramente lo requerido en el escenario donde nos indicaba que faltaba un modelo matemático pertinente para dar solución a los problemas que plantea este mismo, donde se indagó que los problemas a resolver, son: ­¿Qué es un orden de reacción? ­¿Qué es un modelo matemático? ­¿De qué orden de reacción es problema? ­¿Cuáles son los modelos matemáticos de los órdenes de reacción?

Conceptos ­Modelo matemático: es una descripción en lenguaje matemático de un objeto que existe en un universo no matemático. En general en todo modelo matemático se pueden determinar tres fases:

1.­Construcción del modelo, que es la transformación del objeto matemático en lenguaje matemático. 2.­Análisis del modelo que consiste en estudiar este modelo. 3.­Interpretación del análisis matemático, es la aplicación de los resultados del estudio matemático al objeto no­matemático.

­Reacción Química: Una reacción química es un proceso por el cual una o más sustancias, llamadas reactivos, se transforman en otra u otras sustancias con propiedades diferentes, llamadas producto. ­Reactivos: Un reactivo o reactante es, en química, toda sustancia que interactúa con otra en una reacción química y que da lugar a otras sustancias de propiedades diferentes. ­Productos: en una reacción química se dan lugar a otras sustancias de propiedades diferentes a partir de los reactivos siendo estas nuevas sustancias productos. ­Velocidad de reacción: es la velocidad con la que disminuye o aumenta la concentración de un producto en el proceso de la reacción. ­Ecuación química: es una descripción simbólica de una reacción química. es una representación de las sustancias que reaccionan. Marco teórico La cinética química es el estudio de las velocidades de las reacciones químicas y de los mecanismos mediante los que tienen lugar. La cinética química introduce la

variable tiempo en el estudio de las reacciones químicas y estudia el proceso que siguen los reactivos para convertirse en productos. Cuando se produce una reacción química, las concentraciones de cada reactivo y producto van variando con el tiempo, hasta que se produce el equilibrio químico, en el cual las concentraciones de todas las sustancias permanecen constantes. La velocidad de reacción indica el aumento de concentración de un producto o la disminución de concentración de un reactivo por unidad de tiempo dada por la función.

A + B→ C +D

−v = dtd[reactivos] = dt

d[productos] Por

− −v = dtd[A] = dt

d[B] = dtd[C] = dt

d[D]

Ley de la velocidad: es una ecuación que expresa la velocidad en función de las concentraciones de las sustancias y generalmente tiene la siguiente forma:

[A] [B] v = k m n Orden de reacción y sus leyes de velocidad ­Reacción de orden cero La velocidad de reacción es independiente de la concentración del reactivo, y se expresa:

− [A] v = dtd[A] = k

0 = k

­Reacción de primer orden La reacción se considera de descomposición de forma:

roductosA→ p La velocidad de reacción está dada por:

[A]− dtd[A] = k

Haciendo separación de variables

− t∫

[A]d[A] = k∫

d

Los límites de integración son:

[A] A] t = 0 = [ 0

t− ∫[A] t

[A] 0[A]d[A] = k∫

t

0d

[A] A] t = t = [ t Resolviendo la integral:

− Ln[A]| | [A] t[A] 0= k t| | t0

− Ln[A] n[A] || f − L 0

|| = k t[ − 0]

n[A] n[A] t (0)− L f + L 0 = k − k n[A] − t n[A] L f = k + L 0

Podemos observar que la ecuación resultante tiene la forma de la ecuación de la recta:

n[A] − t n[A] L f = k + L 0 xy = m + b

Donde k es una constante y es de igual forma que la pendiente de la recta. Por lo tanto se considera reacción de primer orden si la gráfica de Ln[A] contra tiempo (t) tiene la forma de una línea recta (y=mx+b) con pendiente ­k (Brown, 2014)

­Reacción de segundo orden

Se considera reacción de segundo orden cuando en una reacción sus concentraciones al principio no son iguales y son de forma:

roductosA + B→ p La velocidad de reacción está dada por:

− [A][B]v = dtd[A] = k

(Avery, 2002)

­Reacciones de tercer orden Supongamos que la reacción:

roductoA + B + C → p La ecuación de velocidad está dada por la expresión a continuación:

k[A] [B] [C] V = m m p

El orden de la reacción está dado por la suma algebraica de los exponentes de n t los exponentes de las concentraciones de reactivos:

n t = m + n + p

Por lo tanto se deben encontrar los valores de m. n y p, para ello se sigue el siguiente procedimiento que consiste en dividir la velocidad, en este caso llamado “tasa” del experimento número 1 al experimento número 2.

V 2V 1 = tasa 2

tasa 1 = k(A ) (B ) (C ) 2m

2n

2p

k (A ) (B ) (C ) 1m

1n

1p

Primero se debe encontrar el valor de m, se eliminan los términos que tiene n y p porque su valor es incógnita, se desarrolla la ecuación con los datos proporcionados en el problema y se obtiene el valor de m. Se vuelve a utilizar la fórmula para encontrar el valor de n, ya que se tienen los datos (m y n) se sustituyen en la fórmula principal, se despeja y se obtiene el valor de p. Por consiguiente ya se puede obtener el valor de orden de reacción utilizando la fórmula n t = m + n + p Si el valor de > 2, se toma el valor del coeficiente más alto; y este valor es el n t orden de la reacción.

Resolución a los problemas Problema 1

El agua oxigenada es el nombre común que recibe una disolución acuosa de peróxido de hidrógeno (H2O2). En el laboratorio se ha llevado a cabo la descomposición del peróxido de hidrógeno en fase líquida en un reactor discontinuo a temperatura constante. La reacción química es la siguiente:

2H2O22H2O + O2 En distintos instantes, se ha analizado la mezcla de reacción para determinar

la concentración del peróxido de hidrógeno. Los resultados obtenidos se muestran en la siguiente tabla:

Tiempo (min) 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

CA(mol/L) 25.4

18.6

12.8 9.7

7.3 4.8 3.7 2.7 2.1 1.5 1.1

Aplicando logaritmo natural a la concentración( [A]), siendo así la velocidad de reacción:; y linealizando la función.

t [A] Ln[A] 1/[A]

0 25.4 3.23 0.03

5 18.6 2.92 0.05

10 12.8 2.54 0.07

15 9.7 2.27 0.1

20 7.3 1.98 0.13

25 4.8 1.56 0.2

30 3.7 1.3 0.27

35 2.7 0.99 0.37

40 2.1 0.74 0.47

45 1.5 0.4 0.66

50 1.1 0.09 0.9

[Gráficas]

Con las gráficas podemos comprobar que la descomposición del peróxido de hidrógeno es una reacción de primer orden. Para calcular el valor de la constante k, hicimos una regresión lineal y calculamos la pendiente. La ecuación que representa a la gráfica es: y=­0.0625x+3.208 Por lo tanto k=m= ­0.0625 Problema 2 Conjunto de datos 2 (para dos reactivos) La siguiente tabla contiene los datos experimentales para la reacción entre el tiosulfato sódico y el ioduro de metilo a 25°C, estando expresadas las concentraciones en unidades arbitrarias.

Tiempo/min 0 4.75 10 20 35 55 ∞ [Na2S2O3] 35.35 30.5 27.0 23.2 18.6 18.6 17.1

[CH3I] 18.25 13.4 9.9 6.1 3.2 1.5 0

Una de las formas que se empleadas para determinar el orden de reacción es calculando la velocidad de reacción es

Considerando la y como la concentración inicial de A y B respectivamente, y la a b concentración que va cambiando con el tiempo como de A y B, respectivamente. x

(a )(b ) dtdx = k − x − x

Separando variables:

tdx(a−x)(b−x) = k

Integrando:

t∫

dx(a−x)(b−x) = k∫

d

Por método de fracciones parciales:

∫

dx(a−x)(b−x) =

A(a−x) +

B(b−x)

x = a B = 1

b−a y = b A = 1

a−b

∫

dx(a−x)(b−x) = ∫

1a−b(a−x) +∫

1b−a(b−x)

= 1a−b∫

dx(a−x) +

1b−a∫

dx(b−x)

= ln(a ) ln(b ) 1a−b − x + 1

b−a − x ln(a ) ln(b ) = 1

a−b − x − 1a−b − x

[ln(a ) n(b )] = 1a−b − x − l − x

ln = 1a−b [ (b−x)(a−x)]

Integrando

t t tek∫

d = k + c

Juntando integraciones

ln t te 1a−b [ (b−x)(a−x)] = k + c

Si t=0 y x=0 el valor de la constante es:

ln (0) te 1a−b [ (b−0)(a−0)] = k + c

tec = ln 1

a−b [ba] Sustituyendo el valor de la constante

ln t ln 1a−b [ (b−x)(a−x)] = k + 1

a−b [ba] Despejando k

ln ln t 1a−b [ (b−x)(a−x)] − 1

a−b [ba] = k 1

(a−b)t ln n [ (b−x)(a−x)] − l [ba] = k

ln k = 1(a−b)t [ ( )ba

(b−x)(a−x)]

ln k = 1(a−b)t [a(b−x)b(a−x)]

O bien log k = 2.303

(a−b)t 10[a(b−x)b(a−x)] Esta reacción es de segundo orden del tipo: dos reactivos diferentes; iguales coeficientes estequiométricos y concentraciones iniciales diferentes. Su ecuación es la siguiente:

log k = 2.303(a−b)t 10[a(b−x)b(a−x)]

Acomodando una tabla en base a las concentraciones del problema

t

0 0

4.75 0.07

10 0.148

20 0.293

35 0.477

55 0.812

El cálculo de la pendiente dio como resultado 0.0145, por lo tanto:

Problema 3. Conjunto de datos 3 (para varios reactivos)

Experimento 1 2 3 4

[A]o 0.100 0.200

0.200 0.100

[B]o 0.100 0.100

0.300 0.100

[C]o 0.100 0.100

0.100 0.400

tasa 0.100 0.800

7.200 0.400

Se debe encontrar el orden de reacción de los datos dados en la tabla anterior. Para esto se utiliza la ecuación de la velocidad para reacciones de tercer orden porque en la tabla hay

datos para 3 reactivos V k[A] [B] [C] = m m p Para identificar el orden de reacción , se busca el valor de m dividiendo la n t velocidad del experimento 1 entre el experimento 2.

V 2V 1 = 0.800

0.100 = k(0.200) (0.100) (0.100) m n pk (0.100) (0.100) (0.100) m n p

.125 m .5 0 = 0.8000.100 = 0 m

og 0.125 log 0.5 l = m m = 3

Después se divide la velocidad del experimento 2 entre el experimento 3.

V 3V 2 = 7.200

0.800 = k(0.200) (0.300) (0.100) m n pk (0.200) (0.100) (0.100) m n p

.11 n .33 0 = 0.3000.100 = 0 n

og 0.11 log 0.33 l = n n = 2

Por último, se divide la velocidad del experimento 3 entre el experimento 4.

V 4V 3 = 0.400

7.200 = k(0.100) (0.100) (0.400) m n pk (0.200) (0.300) (0.100) m n p

Se sustituyen los valores que ya conocemos de m y n.

.25 0.25 0 = p og 0.25 log 0.25 l = p

p = 1 Ya que se tienen los valores de m, n y p se puede conocer el valor de . n t

n t = m + n + p = 3 + 2 + 1 = 6 El resultado de >2, por lo tanto se busca que coeficiente tuvo el resultado más n t alto, en ese caso fue m con valor de 3. Como resultado se obtuvo que la reacción es de orden 3. Conclusión Los modelos a tratar , dependen de la experimentación, y por ende ya que las particularidades de las reacciones se tiene la necesidad de tener varios modelos para poder dar solución a estos, donde existen varios aspectos en medio de ellos que conforme se van resolviendo los problemas vas cayendo en cuenta , ya que tiene caminos de resolución muy específicos, donde se delimita cada uno en base a la información dada en el escenario, haciéndonos percibir detalles y aplicar los conocimientos pertinentes.

Calendario de sesión

Sesión Actividad

Sesión 1 Se planteó el escenario a resolver, se identificaron los conceptos desconocidos y con lo que ya se conocía previamente se trató de plantear un método de resolución. Cada integrante se encargó de investigar los términos que no se conocían y buscar el método más eficiente para poder resolver los problemas planteados.

Sesión 2 Se compartió la información que previamente cada integrante había investigado. Esto nos ayudó a poder identificar el mejor método para resolver cada uno de los problemas. Se comenzó utilizando métodos que se creían eficientes pero algunos no resultaron y se optó por otra forma de resolución hasta llegar a el resultado.

Reporte Ya que se resolvieron los problemas, se recolectó información que se había obtenido en la investigación que cada quien realizo, con se fue armando la problemática y el marco teórico, después se mencionaron los métodos y fórmulas que se utilizaron para la solución, se plantearon lo problemas y la resolución clara de cada uno de ellos. Por último se llegó a una conclusión sobre lo que se aprendió en este ejercicio y de qué manera pueden servirnos los modelos matemáticos a resolver problemas. Cada integrante realizó su reflexión personal, y se fueron aportando ideas para armar una reflexión grupal.

Sesión 3 La exposición se realizará el día 8 de septiembre de 2015.

Tabla de distribución de actividades.

Sesión 1 Investigación Sesión 2 Reporte Sesión 3

Karina Orden de Aclaración Resolución del

Interpretación y análisis del escenario

reacción de la investigación

y proporcionar análisis

resolutivo del problema 1

problema 1, marco teórico pertinente al 1er problema

Ludvika Determinación de los objetivos a seguir

Conceptos desconocidos, métodos

matemáticos, órdenes de reacción.

Resolución en base a la teoría del problema 3

Resolución del problema 3. Marco teórico pertinente al 3er problema

Miriam Definición de los puntos a tratar en la problemática

Modelos matemáticos

de ecuaciones diferenciales resolutivos a los casos

Comprensión y resolución en base a la teoría del problema 2

Resolución del problema 2, bibliografía recopilada,

Víctor Establecimiento de la problemática

Modelos matemáticos resolutivos

Comprensión y resolución en base a la teoría del

problema 1 y 2

Resolución del problema 2 y 1

tabla de distribución

Reflexión individual

Ludvika Alejandra Navarro. Cuando se comenzó a realizar la actividad, me costó razonar la problemática

que teníamos que resolver, compartiendo ideas con los integrantes del equipo llegamos al acuerdo de investigar los conceptos que fueran desconocidos para nosotros y así poder comprender mejor el escenario que se nos presentó. En la siguiente sesión ya que estuvimos mejor informados sobre métodos para resolver el problema planteado, cada quien compartió su investigación y fuimos completando información en nuestras bitácoras, esto enriqueció mucho al equipo porque así se aclaró un poco más la idea de lo que se iba a realizar, se repartieron las actividades a cada integrante, aunque durante la resolución surgieron más dudas, se hizo lo posible por llegar a un resultado concreto.

Miriam Isabel Vargas Avila

Desde el comienzo de la sesión, al leer el escenario me di una idea de que era lo que teníamos que resolver, solo que los conceptos no los relacionaba de manera que pudiera darle un enfoque matemático, fue algo complicado pues fue un tuve que ya había visto con anterioridad y se supone que tendría que ver su solución más pronta, no fue así, al investigar conceptos que se desconocían la idea fue más clara pero entre más conceptos tenía mayor era la confusión para usarlos, consultando varias fuentes trate de encontrar similitud y la encontré, finalmente comprendí que este ejercicio tiene varios caminos de solución, los cuales me parecieron adecuados y lógicos para una solución concreta; con la práctica será más fácil la identificación de los conceptos y su relación con lo matemático.

Victor Manuel Ortiz Leon Existen varias maneras de representar fenómenos químicos de manera matemática y suelen ser muy complejos pero fáciles de percibir en el cómo utilizarlos en la demostración de las variables que estos emplean; y al ser una materia clara para nosotros la química se pudo apreciar como se puede relacionar más estrechamente lo que conocemos de ella con los conocimientos matemáticos utilizando la investigación como herramienta, así como la interpretación de las cosas que podemos desarrollar al realizar y comprender las situaciones, de una forma matemática

Karina Gabriel Flores Al principio de la sesión no comprendí qué era lo que teníamos que hacer, pues estamos acostumbrados a que nos den un problema definido y un método para resolverlo, pero en esta materia eso es diferente. Tuve que leer el problema muchas veces y con ayuda de los integrantes de mi equipo me fui dando una idea de que es lo que teníamos que hacer. Después de hacer mi investigación entendí cual era el camino que debíamos de seguir. Me gusta la materia porque tienes que pensar y aplicar matemáticas de un modo que nunca nos han enseñado. Reflexión Grupal En el equipo pudimos ver las relaciones que existen entre los modelos matemáticos de las órdenes de reacción y sus comportamientos, la forma de aplicar nuestros conocimientos de cálculo y ecuaciones diferenciales , al igual de como nuestro razonamiento se puede agilizar teniendo la información pertinente, con el trabajo previo pertinente para la resolución de los problemas. Bibliografía

Avery H., (2002) Cinética Química Básica y Mecanismos de Reacción. España:Editorial Reverté. Moreno A. (2013) Cinética Química. Instituto de Química, UNAM. Recuperado el 6 de septiembre del 2015 en http://depa.fquim.unam.mx/amyd/archivero/CINETICA­QUIMICA_25635.pdf Paniagua M., Díaz D., Zuluaga J. (2010) Tema 4: Cinética Química. UAM. Recuperado el 6 de septiembre del 2015 en http://www.qfa.uam.es/labqui/presentaciones/Tema4.pdf Castillo S. (2012) Cinética Química. Facultad de Química, UNAM. Recuperado el 6 de septiembre del 2015 de http://depa.fquim.unam.mx/amyd/archivero/CQ1_348.pdf Brown, Lemay, Murphy, (2014).Química: la ciencia central. México: Editorial Reverté, 12va Edicion. Anhegta J., Velázquez M. (2002). Cinética Química para sistemas homogéneos. México:Instituto Politécnico Nacional, Primera Ed.