Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales.

Br. Esaú J. Sánchez G. – C.I. V - 16.669.954Ingeniería en Computación

Fecha: 27-11-2015

UNIVERSIDAD “FERMÍN TORO”

SISTEMA DE APRENDIZAJE INTERACTIVOS A DISTANCIA

(SAIA) – CABUDARE

Análisis Numérico Sección: SAIA BProf. : Domingo Méndez

Actividad Nro. 3

El proceso de eliminación de Gaussisana o de Gauss, consiste en realizar transformaciones elementales en el sistema inicial (intercambio de filas, intercambio de columnas, multiplicación de filas o columnas por constantes, operaciones con filas o columnas, . . . ), destinadas a transformarlo en un sistema triangular superior, que resolveremos por remonte. Además, la matriz de partida tiene el mismo determinante que la matriz de llegada, cuyo determinante es el producto de los coeficientes diagonales de la matriz.

Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales.

1.- MÉTODOS DE ELIMINACIÓN GAUSSIANA

Uno de los problemas de la eliminación Gaussiana es que debemos dividir entre el pivote; si este es un número muy pequeño, entonces un error de redondeo puede arrojar serias ”dudas” sobre la respuesta final.

En forma general este método propone la eliminación progresiva de variables en el sistema de ecuaciones, hasta tener sólo una ecuación con una incógnita. Una vez resuelta esta, se procede por sustitución regresiva hasta obtener los valores de todas las variables.

Este método se aplica para resolver sistemas lineales de la forma:

A . X = B

Ejemplo. MÉTODOS DE ELIMINACIÓN GAUSSIANA

Solución:

Resolver el siguiente sistema, usando eliminación Gaussiana (simple)

Usando eliminación Gaussiana (simple) obtenemos:

Que nos da el sistema equivalente:

De donde, ; sustituimos arriba y obtenemos:

El resultado cambia drásticamente de acuerdo al número de cifras significativas que se usen.

Resumimos los resultados en la siguiente tabla:

Para calcular este error se tomó el valor verdarero de

Ahora resolvemos el mismo sistema pero intercambiando los renglones 1 y 2

Que nos da el sistema equivalente:

De donde obtenemos, ; sustituyendo arriba y nos da:

Nuevamente tomamos distintas cifras significativas y resumimos los resultados en la siguiente tabla:

En este último caso, vemos que el error relativo porcentual no varía drásticamente como en la solución anterior.

Así, vemos que los elementos que son cercanos a cero, son elementos malos para hacer ceros. En general, para evitar este problema se elige como elemento para hacer ceros (el cual recibe el nombre de elemento pivotal o simplemente pivote) como el elemento mayor en valor absoluto de entre todos los candidatos.

A este procedimiento se le llama pivoteo parcial y aplicado a la eliminación Gaussiana, nos dá el llamado método de eliminación Gaussiana con pivoteo (parcial).

El proceso de eliminación de Gauss - Jordán consiste en realizar transformaciones elementales en el sistema inicial, destinadas a transformarlo en un sistema diagonal. El número de operaciones elementales de este método, es superior al del método de Gauss (alrededor de un 50% más).

Sin embargo, a la hora de resolver el sistema de llegada por remonte, el número de operaciones es menor, motivo por el cual, el método de Gauss - Jordán es un método computacionalmente bueno cuando tenemos que resolver varios sistemas con la misma matriz A y resolverlos simultáneamente, utilizando el algoritmo de Gauss-Jordán.

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2.- MÉTODO DE GAUSS-JORDAN.

Ejemplo. MÉTODO DE GAUSS-JORDAN

Asumamos por simplicidad que por medio del método de Gauss hemos llegado a la matriz:

(1 2−1 2 00 20 1 1

0 0−3 3 20 0 0 0 00 0 0 0 0

)La cual corresponde al sistema de ecuaciones

-

- 3

Podemos utilizar el primer elemento diferente de 0 de izquierda a derecha de la segunda fila, 2, como pivote, logrando la matriz:

Y luego el primer elemento diferente de cero de la tercera fila, -3, como pivote, para lograr que cada pivote sea el único elemento diferente de cero de la columna.

Lo cual es equivalente a lograr que la incógnita respectiva del sistema de ecuaciones aparezca en una sola de las ecuaciones (nos referimos a los coeficientes que fueron utilizados como pivotes en el método de Gauss).

Llegando a:

Dividiendo ahora la segunda fila por 2 y la tercera fila por –3, obtenemos:

Hemos llegado a la forma de Gauss Jordan y por lo tanto al sistema de ecuaciones equivalente:

Del cual se deduce fácilmente que la variable x 4 se puede tomar como variable independiente y que por lo tanto el sistema de ecuaciones tiene infinitas soluciones. Este método denominado método de Gauss Jordan, en el cual los pivotes se convierten a 1, en alguna parte del proceso y se utilizan para lograr ceros en toda la columna, excepto en el punto pivote requiere cálculos adicionales y a no ser que sea indispensable llegar a ésta forma por alguna razón especial, se utiliza poco por la razón citada.

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3.- DESCOMPOSICIÓN LU.

El método de descomposición LU para la solución de sistemas de ecuaciones lineales debe su nombre a que se basa en la descomposición de la matriz original de coeficientes (A) en el producto de dos matrices (L y U).

Esto es:

Donde:L - Matriz triangular inferiorU - Matriz triangular superior con todos los elementos de la diagonal principal iguales a 1.

A = L . U

De lo anterior, para matrices de 3x3 se escribe:

=   

Si efectuamos la multiplicación de L y U, igualando los elementos de ese producto con los de la matriz A correspondientes, se obtiene:

De aquí que los elementos de L y U son, en este caso:

Si el sistema de ecuaciones original se escribe como:A x = b

lo cual resulta lo mismo escribir:L U X = b

Definiendo a:U X = Y

podemos escribir:L Y = b

Resolviendo para Y, encontramos:

El algoritmo de solución, una vez conocidas L, U y b, consiste en encontrar primeramente los valores de "Y" por sustitución progresiva sobre "L Y = b". En segundo lugar se resuelve "U x = y " por sustitución regresiva para encontrar los valores de "x", obteniendo:

La determinación de los elementos de las matrices L y U se realizan eficientemente aplicando una forma modificada del método de eliminación de Gauss.

Ejemplo. MÉTODO DE DESCOMPOSICIÓN LU

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones, factorizando la matriz en LU:

    = 

Las matrices de factores L y U de A son:

L =    U = 

El primer paso es resolver la ecuación L Y = b por sustitución progresiva para obtener los elementos del vector auxiliar Y:

=

Donde       

El segundo paso es resolver la ecuación U X = Y para encontrar los elementos de X, por sustitución regresiva:

=

De donde se obtiene:      

Se observa que el método de descomposición LU opera sólo sobre la matriz de coeficientes, sin modificar el vector de excitación (en este caso b), por lo que resulta superior al método de eliminación gausiana.