EQUIVALENCIAS NOTABLES

RAFAEL MORA

BICONDICIONAL Y EQUIVALENCIA Es falso que ‘si y sólo si p, entonces q’ signifique lo

mismo que ‘p es equivalente a q’. Cuando decimos ‘si y sólo si p, entonces q’, estamos

usando el lenguaje para decir que lo enunciado por p es condición necesaria y suficiente de lo enunciado por q.

Cuando decimos ‘p es equivalente a q’ estamos utilizando el metalenguaje para expresar una relación entre nombres de enunciados y no entre enunciados mismos. Lo más correcto sería afirmar que ‘ ‘p’ es equivalente a ‘q’ ’.

Cuando decimos ‘si y sólo si p, entonces q’, estamos diciendo que sólo en el caso de que se dé lo enunciado por el antecedente se dará lo enunciado por el consecuente.

Cuando decimos ‘ ‘p’ es equivalente a ‘q’ ’ estamos diciendo que los valores de verdad del antecedente son en todos los casos los mismos que los del consecuente.

BICONDICIONAL Y EQUIVALENCIA Bicondicional y equivalencia son, por tanto, nociones situadas en niveles

distintos de lenguaje. Hay sin embargo, entre uno y otro concepto una relación que merece la pena señalar. Bicondicional y equivalencia se relacionan del siguiente modo: cuando un bicondicional es lógicamente verdadero, se puede decir que su antecedente equivale a su consecuente. Pero esto solo cuando el bicondicional sea lógicamente verdadero; y además no se trata de que ambas expresiones ‘si y solo si p, entonces q’ (siendo esta expresión lógicamente verdadera) y ‘ ‘p’ es equivalente a ‘q’ ’ vengan a decir lo mismo, sino que la segunda constituye una paráfrasis metalógica de la primera, un comentario sobre la primera hecho desde el metalenguaje. Contemplando el hecho de que un bicondicional es lógicamente verdadero, se nos puede antojar describirlo metalingüísticamente diciendo que las dos expresiones que flanquean el símbolo del bicondicional son equivalentes.

Así pues y puesto que por ejemplo, (p→q)↔(¬pq), es un esquema válido de inferencia podemos decir que ‘p→q’ es equivalente a ‘¬pq’. En cambio, dado un bicondicional como (pq)↔(¬pq), que no es una tautología, no podemos decir con verdad que el antecedente de la expresión equivalga a su consecuente: no podemos decir que sean los mismos valores de verdad de uno y otro.

EQUIVALENCIA DE FÓRMULAS Dos fórmulas ‘A’ y ‘B’ son equivalentes si y sólo si

sus matrices son iguales; si sus matrices son diferentes, de dice que ‘A’ y ‘B’ no son equivalentes. Notación:

A ↔ B: se lee ‘A’ es equivalente a ‘B’ A ↔1 B: se lee ‘A’ no es equivalente a ‘B’ Ejemplos: [(pq)→ r] ↔ [p → (q→r)] (Exportación) (p→q) ↔ [p ↔ (p q)] (Expansión 1) (p→q) ↔ [q ↔ (p q)] (Exp. 2) p ↔ p (q ~q) (Exp. 3) p ↔ p (q ~q) (Exp. 4)

PRINCIPIOS LÓGICOS CLÁSICOS La tradición aristotélica ha considerado como

fundamentales a los principios lógicos otorgándoles máxima jerarquía. Dichos principios pueden transformarse a fórmulas cuya evaluación de sus matrices lógicas nos revele que se trata de una tautología. Esto significa que no podemos privilegiar sólo a estas tautologías por sobre otras igual de válidas. Dichos principios son los siguientes:

1. Principio de Identidad: Toda proposición es verdadera si y solo si ella misma es verdadera

Forma Lógica: p↔p 2. Principio de No-contradicción: No es posible que

una proposición sea verdadera y falsa al mismo tiempo. Forma Lógica: ~(p~p) 3. Principio de Tercio Excluido: Toda proposición es

necesariamente verdadera o necesariamente falsa. No existe una posibilidad intermedia.

Forma Lógica: p~p

LEYES DE EQUIVALENCIAS NOTABLES -I- Conmutación (Conm.) (pq) ↔ (q p) (pq) ↔ (qp) (p↔q) ↔ (q↔p) (p ↔1 q) ↔ (p ↔1 q) Asociación (Asoc.) p(qr) ↔ (pq)r p(qr) ↔ (pq) r p ↔ (q ↔ r) ↔ (p ↔ q) ↔ r Distribución (Distrib.) (pq) r ↔ (pr) (qr) (pq) r ↔ (pr) (qr) p→(qr) ↔(p→q)(q→p) p→(qr) ↔(p→q)(q→p)

LEYES DE EQUIVALENCIAS NOTABLES -II- Doble Negación (DN) ~~p↔p ~~~p ↔~p Teoremas de De Morgan (DM) ~(pq) ↔ ~p~q ~(pq) ↔ ~p~q pq ↔ ~(~p~q) pq ↔ ~(~p~q) Idempotencia (Idem.) pp ↔ p pp ↔ p Def. del condicional (Def. cond.) p→q ↔ ~pq p→q ↔ ~(p~q)

LEYES DE EQUIVALENCIAS NOTABLES -III- Def. del bicondicional (Def. Bicondicional) p ↔ q ↔ (p→q) (q→p) p↔q ↔ [ (pq) (~p~q) ] Def. de la disyunción fuerte (Def. DF) p ↔1 q ↔ ~ (p ↔ q) p ↔1 q ↔ (pq) (~p~q) Absorción (Abs.) p (p q) ↔ p p (p q) ↔ p p (~p q) ↔ pq p (~p q) ↔ pq Transposición (Trans.) p→q ↔ ~q→~p p ↔ q ↔ (~ q ↔ ~p)

LEYES DE EQUIVALENCIAS NOTABLES -IV- Consideremos que T es una fórmula tautológica, C

es una fórmula contradictoria y Q es una fórmula consistente.

T Q ↔ Q C Q ↔ C T Q ↔ T C Q ↔ Q

T → Q ↔ Q C → Q ↔ T Q → T ↔ T Q → C ↔ ~Q

EJERCICIOS I. Demostrar que las siguientes equivalencias son tautológicas: 1. [(p→q) → (r→s)] ↔ ~(~s→~r)→~(~q→~p) 2. [(p→q)→r] ↔ [(pr) (~qr)] 3. [(pq) r] s ↔ ~[~(pq)→r] → s 4. ~(pqr) ↔ ~p~q~r 5. p→[~p→(q→r)] ↔ (p~pq)→r II. Responda las siguientes preguntas: 6. ¿Cuál es la relación entre bicondicional y equivalencia? 7. ¿Qué es una tautología? ¿Qué cosas pueden ser tautológicas? 8. ¿Cuál es la relación entre lógica proposicional y teoría de

conjuntos? 9. ¿Podemos leer lógicamente las equivalencias usando las tablas

de verdad? ¿Cómo? Dé unos ejemplos. 10. Si lo son ¿en qué sentido son importantes los principios lógicos?

¿qué correcciones le harías a los principios lógicos?

BIBLIOGRAFÍA GARCÍA, Ó. (2007) Lógica. Lima: UNMSM. LLANOS, M. (2003) Lógica Jurídica. Lima:

Logos. PISCOYA, L. (1997) Lógica. Lima: UNMSM. DEAÑO, A. (2001) Introducción a la Lógica

Formal. Madrid: Alianza Editorial.