equipo1 teorema existencia y def. integral defin
TRANSCRIPT
![Page 1: Equipo1 teorema existencia y def. integral defin](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062303/556d5883d8b42a6b4d8b45f8/html5/thumbnails/1.jpg)
EQUIPO 1
DEFINICIÓN DE INTEGRAL
TEOREMA DE EXISTENCIA
![Page 2: Equipo1 teorema existencia y def. integral defin](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062303/556d5883d8b42a6b4d8b45f8/html5/thumbnails/2.jpg)
DEFINICION DE INTEGRAL DEFINIDA
La integral definida es un concepto utilizado para determinar el valor de las áreas limitadas por curvas y rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que, para cada uno de sus puntos x, se define una función f (x) que es mayor o igual que 0 en [a, b], se llama integral definida de la función entre los puntos a y b al área de la porción del plano que está limitada por la función, el eje horizontal OX y las rectas verticales de ecuaciones x = a y x = b.
![Page 3: Equipo1 teorema existencia y def. integral defin](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062303/556d5883d8b42a6b4d8b45f8/html5/thumbnails/3.jpg)
La integral definida se representa por.
Donde:
∫ es el signo de integración.a límite inferior de la integración.b límite superior de la integración.f(x) es el integrando o función a integrar .dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la
función que se integra.
![Page 4: Equipo1 teorema existencia y def. integral defin](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062303/556d5883d8b42a6b4d8b45f8/html5/thumbnails/4.jpg)
Cuando se calcula el valor de la integral definida se dice que se e valúa la integral.
La continuidad asegura que los límites en las tres definiciones existen y dan el mismo valor por eso podemos asegurar que el valor es el mismo independientemente de cómo elijamos los valores de x para evaluar la función (extremo derecho, extremo izquierdo o cualquier punto en cada sub- intervalo). Enunciamos entonces una definición más general.
![Page 5: Equipo1 teorema existencia y def. integral defin](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062303/556d5883d8b42a6b4d8b45f8/html5/thumbnails/5.jpg)
Teorema Existencia
Integrales DefinidasSea una función real y = f (x), que es continua en un intervalo [a , b]. Entonces se puede afirmar que existe al menos un punto c perteneciente a dicho intervalo, para el que se verifica:
El valor f © se conoce como el valor medio de la función f (x) en el intervalo [ a, b].
![Page 6: Equipo1 teorema existencia y def. integral defin](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062303/556d5883d8b42a6b4d8b45f8/html5/thumbnails/6.jpg)
Quizá sea interesante hacer varias observaciones:
1) El punto c puede no ser único. El teorema asegura la existencia de por lo menos un punto con esa propiedad.
2) El valor medio de la función f (x) no se refiere a la tasa de variación media en el intervalo considerado. Se trata de un concepto diferente.
![Page 7: Equipo1 teorema existencia y def. integral defin](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062303/556d5883d8b42a6b4d8b45f8/html5/thumbnails/7.jpg)
3) El cálculo de dicho valor medio y el del punto c en el que se alcanza presupone el cálculo de una integral definida. Dicho cálculo puede hacerse por la Regla de Barrow (que se supone conocida) o bien, en el caso de funciones complicadas, utilizando métodos numéricos, como la Regla de Simpson por ejemplo. En esta unidad utilizaremos funciones de integración sencilla.
![Page 8: Equipo1 teorema existencia y def. integral defin](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062303/556d5883d8b42a6b4d8b45f8/html5/thumbnails/8.jpg)
REGLA DE BARROW
La regla de Barrow dice que la integral definida de una función continua f(x) en un intervalo cerrado [a, b] es igual a la diferencia entre los valores que toma una función primitiva G(x) de f(x), en los extremos de dicho intervalo.
![Page 9: Equipo1 teorema existencia y def. integral defin](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062303/556d5883d8b42a6b4d8b45f8/html5/thumbnails/9.jpg)
REGLA DE LOS TRAPECIOS
![Page 10: Equipo1 teorema existencia y def. integral defin](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062303/556d5883d8b42a6b4d8b45f8/html5/thumbnails/10.jpg)
Únanse las ordenadas consecutivas por líneas rectas (cuerdas); de esta manera se formarán trapecios. Puesto que el área de un trapecio es igual a la semisuma de las bases por la altura, tenemos:
½(Yo + Y1)∆x= área del primer trapecio,
½ (Y1 + Y2) ∆x= área del segundo trapecio, … ,
½ (Yn-1 + Yn) ∆x= área del enésimo trapecio.
![Page 11: Equipo1 teorema existencia y def. integral defin](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062303/556d5883d8b42a6b4d8b45f8/html5/thumbnails/11.jpg)
Sumando, se obtiene la fórmula del área de todos los trapecios:
At= ( ½ Yo + Y1 + Y2 + Y3, … , + ½ Yn) ∆x
Es necesario tomar en cuenta que cuando mayor sea el número de intervalos (cuanto más pequeño sea ∆x) tanto más se aproximará el total de los trapecios al área bajo la curva.
![Page 12: Equipo1 teorema existencia y def. integral defin](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062303/556d5883d8b42a6b4d8b45f8/html5/thumbnails/12.jpg)
FORMULA SIMPSON O PARABOLICA
Sumando el área de cada una de las tiras parabólicas, obtenemos de la fórmula de Simpson, donde n es par; es decir:
At= (∆x /3)(Yo + 4Y1 + 2Y2 + 4Y3 + 2Y4 + … + Yn)
![Page 13: Equipo1 teorema existencia y def. integral defin](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062303/556d5883d8b42a6b4d8b45f8/html5/thumbnails/13.jpg)
http://www.vitutor.com/integrales/definidas/regla_barrow.html
http://www.ithua.edu.mx/paginas/matematicas/unidad3.pdf
Garza Olvera, Benjamín, Cálculo Integral, Matemáticas V
DGETI, 1ra Edición, págs. 279-87.