epistemología de funcion cuadratica

8/18/2019 epistemología de funcion cuadratica

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EVALUACIÓN EN MODELACIÓN MATEMÁTICA

EPISTEMOLOGÍA DE LA FUNCIÓN CUDRÁTICA

Proyecto de Tesis pr optr ! t"t#!o de Pro$esor de Mte%&tics yCo%p#tci'( co( e! )rdo de Lice(cido e( Ed#cci'(

Neemias Lemus – Ricardo Ponce – Pamela Reyes

Universidad de Playa Ancha – Campus San Felipe

Res#%e(

Esta epistemología se centra en lo realizado en Campos (2003) sobre la

epistemología de la función cuadrática, donde se rescata la triada Curva,

gráfica funcionalidad! "a epistemología desarrollada no se centra

puntualmente en cómo evolucionó el concepto de función cuadrática, sino

en cómo evolucionó la curva a trav#s del tiempo! "o anterior se debe a $ue

Campos (2003), afronta el fenómeno didáctico del privilegio del conte%to

algebraico, $ue consiste en soslaar la gráfica, donde #sta es solo una

ilustración de una ecuación o función! &'ora al ir en contra del discurso

matemático escolar, la gráfica sube de nivel es una fuerte fuente de

argumentación, más aun es una línea de construcción del conocimiento

matemático!

I(trod#cci'(El discurso matemático escolar (dE! presente en nuestra realidad soslaya la idea de "rá#ica o

curva$ siendo en este mundo el prota"onista la %al"e&rai'acin)* Campos (+,,-! e.presa /ue la

al"e&rai'acin no permite la construccin del conocimiento* Además esto lo vemos en el Cálculo y

"eometr0a anal0tica$ ya /ue se tra&a1a con la manipulacin al"e&raica /ue soslaya el tratamiento

"rá#ico* Para el dE las "rá#icas y curvas son representaciones de ecuaciones o #unciones$ pero al

momento de ir en contra del discurso$ las "rá#icas y curvas tienen un prota"onismo en la

construccin del conocimiento* Lue"o estas son #uentes de ar"umentacin$ desde donde es posi&le

la construccin del conocimiento*

Campos (+,,-! esta&lece /ue la pará&ola es una ecuacin o una #uncin cuadrática o un polinomio

de "rado dos* Cada acepcin tiene un escenario de#inido23 La pará&ola como ecuacin* Se discute la condicin "eom4trica de la pará&ola anal0ticamente

por la ecuacin √ ( x− p)2+ y2=| x+ p| *

3 La pará&ola como #uncin cuadrática* Se caracteri'a por la #rmula y= A x2+Bx+C paraesta&lecer concavidades y e.tremos de la #uncin*

3 La pará&ola como polinomio de "rado dos* Se caracteri'a por la ecuacin de "rado dos para

o&tener sus ra0ces2 A x2+Bx+C =0 !

5e&ido a esto es /ue nos ape"aremos a lo reali'ado por Campos (+,,-! so&re la epistemolo"0a de la

#uncin cuadrática$ /ue consiste en poner 4n#asis en el desarrollo de las curvas a trav4s de la

historia* Al mismo tiempo de ver este desarrollo anteriormente mencionado$ reali'aremos una &revemirada al desarrollo de la #uncin*


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Evaluacin en odelacin atemática

Ahora$ haremos un recorrido por el desarrollo de las curvas /ue nos ayudara a entender cmo sur"i

la #uncin cuadrática* 6racias a los "rie"os /ue plantearon - pro&lemas es /ue conoceremos la

cuadratri'*

*#drti+ o c#drtri, -pro+i%d%e(te ./0 1 c12

78u4 es la cuadratri'9 7En /u4 consiste9 7Cmo sur"i9 La cuadratri' es una curva descu&ierta por

los anti"uos matemáticos "rie"os /ue resuelve tres de los pro&lemas #amosos de la 4poca2 la

triseccin del án"ulo$ duplicacin del cu&o y la cuadratura del c0rculo: los dos primeros pro&lemas

están muy relacionados con la o&tencin de la ra0' cu&ica de un n;mero entero con m4todo

"eom4trico$ mientras /ue la cuadratura del c0rculo está relacionado con la trascendencia del n;mero

P


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En el si"lo @ a*C* ipcrates de 8u0o reali'o la primera contri&ucin de importancia a los

pro&lemas de cuadrar el c0rculo y duplicar el cu&o$ a su ve' tam&i4n estudio el pro&lema de trisectar

un án"ulo$ ipcrates reali'a&a una #orma directa de trisectar cual/uier án"ulo$ era una

construccin muy #ácil de reali'ar$ pero /ue no es posi&le de hacer con una re"la no "raduada y un

compás$ por lo cual se dice /ue es una solucin mecánica$ a lo /ue Platn dec0a /ue procediendo dedicha #orma se perd0a irremedia&lemente lo me1or de la "eometr0a*

El so#ista ipias de Elis utili' una curva para resolver el pro&lema de la triseccin de un án"ulo*

Fi"ura -*

Siendo uno de los primeros innovadores en la evolucin del pensamiento "rie"o a #ines del si"lo @

a*C*$ es a /uien se de&e la curva /ue más tarde se denomin cuadratri'* Al si"lo si"uiente$

5inostrato$ demostr /ue con esa curva$ pod0a recti#icarse la circun#erencia o$ resolver el pro&lema

e/uivalente a la cuadratura del c0rculo*

Por su parte Nicomedes$ /uien vivi en la misma 4poca /ue Ar/u0medes$ cre su #amosa curva

concoide: es$ /ui'ás$ el m4todo más conocido de los intentos "rie"os por trisectar un án"ulo* Estacurva #ue inventada por Nicomedes precisamente para #ormali'ar el proceso de Ar/u0medes de rotar

una re"la manteniendo un punto so&re una l0nea* B 4sta es e.actamente la curva necesaria para

resolver las di#erentes versiones del pro&lema de la triseccin del án"ulo (orales$ +,,+! todas sus

aplicaciones las desarrollo Nicomedes$ sin em&ar"o$ no #ue hasta el si"lo @


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Fi"ura H*

ipcrates de 8uio es el primero en usar una construccin plana para encontrar un cuadrado con

área i"ual a la de una #i"ura con lados circulares$ sin em&ar"o$ esta&a consciente de /ue su m4todo

ha&0a #allado para cuadrar el c0rculo$ pero a pesar de eso ha sido el primero /uien cuadro una #i"ura

curvil0nea* El construyo semic0rculos en los tres lados de un trián"ulo recto issceles y mostr /ue

la suma de las lunas #ormadas es i"ual al área del trián"ulo mismo2 %L;nulas de ipcrates)

La cuadratura de la L;nula sosten0a /ue2

%Si so&re los lados de un trián"ulo rectán"ulo$ como so&re diámetros$ se construyen circun#erencias$

entonces la suma de las áreas de las l;nulas$ /ue se apoyan so&re los catetos$ será i"ual al área deltrián"ulo) (Campos$+,,-!*

Fi"ura I*

ipcrates con sus estudios y aplicaciones del teorema de la cuadratura del c0rculo lle"o a

con#undir a los matemáticos de la 4poca$ lle"ando a pensar /ue se pod0a cuadrar el c0rculo*

El pro&lema de la cuadratura del c0rculo$ en#rentado por ipcrates mediante la &;s/ueda de #i"uras

circulares cuadra&les$ tuvo su en#o/ue por al"unos so#istas como Ant0#anes$ cuyo raciocinio se

escri&e en un c0rculo un cuadrado y lue"o$ &isecando los arcos respectivos$ se inscri&e un octá"ono

y as0 sucesivamente lo"rara lle"ar a un pol0"ono el cual puede trans#ormarse en un cuadrado

e/uivalente$ donde /uedar0a demostrado la posi&ilidad de encontrar un cuadrado e/uivalente al

c0rculo* Por otro lado$ risn$ en el GH, a*C*$ lo"ra me1orar el ar"umento de Ant0#anes$ ya /ue nosolo inscri&e pol0"onos en el c0rculo sino /ue tam&i4n circunscri&i4ndolos$ declarando /ue el

c0rculo es mayor /ue todos los pol0"onos inscritos y menor /ue los circunscritos* A#irma /ue área

del c0rculo está comprendida entre la de los pol0"onos inscritos y circunscritos$ atri&uy4ndose el

error de /ue el área del c0rculo esta&a dado por el valor proporcional entre las áreas de los

cuadrados inscritos y circunscritos*

ipias y 5inostrato se asocian con el m4todo de cuadrar el c0rculo utili'ando la curva llamada

#ormadora de cuadrados o cuadratri'$ aun cuando la curva se invencin de ipias$ su aplicacin

para cuadrar el c0rculo se de&e a 5inostrato$ dicha curva tuvo sus cr0ticas por suponer como

conocida la propiedad &uscada$ /ue se re/uer0a sa&er la relacin entre una l0nea y un arco de

c0rculo* 5inostrato nunca declaro /ue la cuadratri' #uera un m4todo plano para cuadrar el c0rculo* Nicomedes$ tam&i4n uso la cuadratri' para cuadrar el c0rculo*

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La cuadratri' de ipias es la primera curva conocida /ue se de#ine cinemáticamente$ es decir$ con

un movimiento de rotacin uni#orme alrededor de al";n e1e*

ipcrates lue"o de muchos titu&eos y /ue #ue 4l /uien pens en una solucin para la duplicacin

de cu&o* Encontr /ue entre dos rectas$ una do&le de la otra$ se insertan dos medias proporcionales$

se duplicará el cu&o$ el cual se convirti en una di#icultad en otra no menor* El resuelve el pro&lemaal hallar la interseccin de dos pará&olas o una pará&ola y una hip4r&ola* ipcrates no #ue más

allá$ ni &usco solucin al pro&lema plano$ sin em&ar"o$ no por eso de1a de ser menor su

contri&ucin al pro&lema de la duplicacin$ aun/ue el m4todo para resolverlo se acrediten a

enecmo*

Se";n U"alde (+,?-! los ára&es reali'aron una construccin de una pará&ola con mucha in#luencia

"rie"a$ la cual era usada por los artesanos ára&es en sus cerámicas* Esta consist0a en2

So&re una recta A6 se sit;a un punto ar&itrario y se tra'a la recta E$ perpendicular a A6* En

el se"mento 6 se marcan puntos ar&itrarios $ 5$ J$ *** Las semi circun#erencias de diámetros

A$ A5$ AJ$ *** determinan$ respectivamente$ los puntos $


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Fi"ura >* Secciones Cnicas*

Pappus menciona /ue el pro&lema de trisectar un án"ulo #ue resuelto tam&i4n por Apolonio por

medio de las cnicas* Pappus mismo da dos soluciones utili'ando una hip4r&ola$ dichas

construcciones muestran el hecho de /ue una solucin sea mecánica a otra /ue involucre las

secciones cnicas2 las soluciones planas eran imposi&les*

Fi"ura M*

asta el si"lo -$

pu&licado en el Oournal de Liouville* 6auus ase"uro /ue el duplicado del cu&o y trisectar un án"ulo

no podr0an ser resueltos con re"la y compás$ sin dar prue&as$ sin em&ar"o$ Pierre ant'el #ue el

primero en pro&ar estos resultados*

Por otro lado Pappus tuvo su contri&ucin so&re las cnicas$ lo más importantes #ue la introduccin

de los conceptos de #oco$ directri' y e.centricidad de una cnica con lo /ue se puede dar una

de#inicin e/uivalente en t4rminos de la proporcin entre la distancia de los puntos de las cnicas a

un #oco y la distancia a una directri': esta proporcin es constante y se denota con e y se le llamae.centricidad de la cnica*(Campos$ +,,-!

Fi"ura ?,* Pappus de Ale1andr0a* Campos (+,,-!

@arios autores posteriores han su"erido m4todos para duplicar el cu&o* Entre ellos están @ieta$5escartes$ Fermat$ de Slu'e y Neton* 5escartes consider no solamente el pro&lema de encontrar

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dos medias proporcionales$ con#orme se re/uer0a para resolver el pro&lema$ sino tam&i4n considerar

cuatro y Fermat lle" más le1os al considerar ciertas clases /ue involucran n medias proporcionales$

una l0nea de tra&a1o /ue #ue se"uida posteriormente por Clairaut*

Sin em&ar"o$ muchos de los pensadores no considera&an el tema de las coordenadas tan

#undamental como se le da en la actualidad$ por lo /ue conoceremos los inicios de esta$ Apoloniocre un sistemas coordenados pero insepara&les de sus curvas individuales$ tampoco se introducen

a;n las coordenadas para todos los puntos del plano* iempo despu4s es /ue iparco de Nicea y

Claudio Ptolomeo contri&uyeron en desarrollar las primeras #ormas de un sistema de coordenadas

para desi"nar lu"ares en la super#icie de la tierra indicando su longitud y su latitud (medidas de este

a oeste y de norte a sur respectivamente!

Fi"ura ??*

Esta o&ra contiene errores$ dichos errores lle"aron a pensar a Colon /ue podr0a lle"ar a la


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Se destaca /ue Fermat presenta la curva pará&ola utili'ando el m4todo de coordenadas$ en donde$

solo utili'o un e1e correspondiente a la a&scisa y los valores de otras varia&les tam&i4n

representados en se"mentos$ se";n un án"ulo recto*

Actualmente el concepto de #uncin ha tomado un si"ni#icado más claro /ue en la anti"edad$ la

pre"unta es 7Cmo se ha lle"ado a esa concepcin9$ es necesario entender /ue el concepto ha sido

desarrollado con el tiempo$ su si"ni#icado #ue cam&iado "anando precisin a trav4s de los a=os*

Desrro!!o de! co(cepto de $#(ci'(

Ahora veremos el desarrollo /ue ha tenido la #uncin$ es de&ido a esto /ue Campos (+,,-! declara

/ue el concepto de #uncin tuvo un lar"o desarrollo /ue lle"a a consolidarse en el si"lo @

+* Los "rie"os$ de I,, a* C* a G,, d* C*$ apro.imadamente*

-* Pue&los orientales y sem0ticos$ entre I,, a* C* y el si"lo


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Por otro lado$ de ha&er sido este el caso$ su tra&a1o no tuvo su#iciente trascendencia en

comparacin con los "rie"os*

A su ve' los e"ipcios tam&i4n han hecho uso de #unciones particulares$ una ta&la con la

descomposicin de /8( en #racciones unitarias para los impares n desde H hasta ?,? aparece en

el Papiro Rhind o Papiro Ahmes$ de G,,, a=os de anti"edad considerado como el primer tratado de matemáticas /ue se conserva*

U"alde (+,?-! dice /ue la versin más rudimentaria del concepto es la dependencia entre

cantidades$ las cuales se evidencian en las ta&las de cálculo de los &a&ilnicos y los papiros de

los e"ipcios* Por otro lado Campos (+,,-! menciona el uso de ta&las se.a"4simales$ de

cuadrados y ra0ces cuadradas* A"re"a tam&i4n /ue se %ela&ora&an ta&las de e#em4rides del sol$

la luna y los planetas)* U"alde menciona /ue en estos periodos se %estudiaron pro&lemas como

la variacin de la luminosidad de la luna en intervalos i"uales de tiempo$ o periodos de

visi&ilidad de un planeta respecto a su posicin relativa con el sol)*

/1 Los )rie)os9 de :00 1 C1 .00 d1 C19 pro+i%d%e(te*

Campos (+,,-! dice /ue los "rie"os determinaron leyes sencillas de la ac;stica$ como la

relacin entre las lon"itudes y los tonos de las notas$ cuando las cuerdas de una misma especie

eran pulsadas en tensiones i"uales*

U"alde (+,?-! hace re#erencia a los tra&a1os hechos por Ar/u0mides$ como las leyes de la

mecánica y la cuadratura de la pará&ola$ donde en la primera se vio más claro la nacin de

dependencia entre cantidades*

;1 P#e6!os orie(t!es y se%"ticos9 e(tre :00 1 C1 y e! si)!o -, (ocho si"los antes de la 4poca en cuestin! escri&i

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Census et $uin$ue radices e$uantur virginti $uator,

Para representar x+5√ x=24 *Como se"undo momento #ue el nuevo en#o/ue para estudiar la naturale'a$ donde los

e.perimental y lo #0sico al ser estudiadas desde una perspectiva más matemática$ se descu&r0an

nuevas relaciones y pro"resos en la ciencia*

:1 Si)!o


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esa$ B* y @illa Dchoa$ O* (+,??!* Elementos histricos$ epistemol"icos y didácticos para la

construccin del concepto de #uncin cuadrática* +evista irtual niversidad Católica del

-orte$ .(+?!*

orales$ L* (+,,+!* La cuadratura La cuadratura del c0rculo y otros pro&lemas de"eometr0a* Ciencias$ (,IH!*

R0os$ S* y Edin$ C* (+,?G! /ierre de ermat VPresentacin PoerPointW* Recuperado de

http2XXes*slideshare*netXEdinRios?X#ermatTedinTrios*

U"alde$ * (+,?-!* Funciones2 desarrollo histrico del concepto y actividades de ense=an'a

aprendi'a1e* +evista igital1 atemática, Educación e nternet $ .4(?!* ?TG>*

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http://es.slideshare.net/EdwinRios1/fermat-edwin-rioshttp://es.slideshare.net/EdwinRios1/fermat-edwin-rios

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