ULA. FACULTAD DE INGENIERIA. ESCUELA DE MECANICA. TEORIA DE CONTROL.

EJERCICIOS TEMA 9 1) Hacer las gráficas aproximadas, sin cálculo, de la respuesta de un sistema donde el proceso es de segundo orden,

sobrebamortiguado, el elemento de medición y el elemento final de control tienen constantes como función de transferencia, siendo la señal de referencia igual a 10 unidades y la perturbación igual a 5 unidades. Si la función de transferencia del controlador es:

a) pK

b)

sK

11

c) sK 1

(5 puntos) SOLUCION

a)

b)

c)

2) Hacer la gráfica aproximada sin cálculo de la respuesta de un sistema donde el proceso es de segundo orden, subamortiguado, el elemento de medición y el elemento final de control tienen constantes como función de transferencia, siendo la señal de referencia igual a 3 unidades y la perturbación igual a 1 unidad. Si la función de transferencia del controlador es:

a) pK b)

s

sK

11 c) sK 1

t

y(t) u(t) p(t)

10

5

t

y(t) u(t) p(t)

10

5

t

y(t) u(t) p(t)

10

5

3) Determinar la estabilidad y el valor en estado estable del siguiente sistema:

(8 puntos)

SOLUCION Debemos primeramente simplificar el diagrama de bloques. Comenzamos con hacer cero a p(t).

Simplificando tendremos

En segundo lugar hacemos que u(t) sea cero.

La solución completa será:

La estabilidad la determina la ecuación característica:

0416216 23 DDD Con el método de ROUTH determinamos la forma de estas raíces

6 16 021 4 0

0.1486 04

El sistema es ESTABLE

El valor en estado estable lo determinamos con el teorema del valor final:

lim→

2 3 16 21 16 4

10 6 36 21 16 4

5

_ lim→

104

154

254

6.25

4) Determinar la estabilidad y el valor en estado estable del siguiente sistema:

5) Determinar la estabilidad y el valor en estado estable del siguiente sistema:

6) Se tiene el siguiente sistema de Control:

a) Calcular la función de transferencia de lazo abierto del sistema. b) Determinar la estabilidad del sistema c) Calcular el valor en estado estable. d) Hacer la gráfica aproximada de la respuesta del sistema. e) Hacer la grafica aproximada de la respuesta del sistema suponiendo que se sustituye el controlador por uno cuya

función de transferencia es 1

7) Determine la influencia sobre la estabilidad y el valor en estado estable de un sistema cuyo proceso tiene una ecuación

característica de primer orden con constante de tiempo igual a 2, el elemento final de control tiene una constante igual a 3, el elemento de medición tiene una constante igual a , siendo el controlador PD con Kp = Kd = 1, si el sistema tiene una señal de referencia de una unidad y se somete a una perturbación de tres unidades.

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EJERCICIOS TEMA 10

1) Se tiene un sistema de control donde: 1

0.0001s 0.0126s 0.2725s 0.52s 1.4

La grafica de la respuesta transitoria del sistema en lazo abierto es: Utilizando el método de Ziegler Nichols basado en la respuesta al escalón determine los parámetros del controlador si quiere utilizar un controlador PID.

2) Se tiene un sistema de control donde la grafica de la respuesta transitoria del sistema en lazo abierto ante una entrada en escalón se muestra en la figura: Y su función de transferencia es:

Utilizando el método de Ziegler Nichols basado en la respuesta al escalón determine los parámetros del controlador suponiendo que se quiere utilizar un controlador PID.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

3) A- Se tiene un horno para tratamientos térmicos, tal como

se muestra en la figura. Obtenga el modelo matemático de dicho horno, donde una

entrada es el cuadrado del voltaje en el sistema ( 21 Vtu ),

la otra entrada es la temperatura exterior ETtu 2 y la salida

es la temperatura en el interior del horno ( Tty ).

C = CP = 1; RT1 = RT2 = 1; R = 22 Ω. a) Expresado en espacio de estado

Expresado como ecuación diferencial B- Se quiere medir la temperatura del horno presentado en el ejercicio anterior con un termómetro cuyo funcionamiento corresponde a un sistema de segundo orden con un coeficiente de amortiguamiento igual a 1 y una frecuencia natural de 0.5 radianes/minuto. Inicialmente el horno esta desconectado y la temperatura en su interior es igual a la temperatura ambiente (TE = 20ºC), y de repente se conecta el horno con lo cual su temperatura comienza a aumentar a razón de 40 ºC por minuto hasta 620 ºC, momento para el cual el controlador comienza a actuar y la temperatura se mantiene constante.

b) Haga la grafica de la respuesta del sistema. c) Calcule la temperatura indicada por el termómetro en el momento en que el horno alcanza su temperatura

máxima. d) Cual será el error en estado estable de la lectura del termómetro una vez que la temperatura del horno sea

constante. C- Se quiere controlar el horno del primer ejercicio, para mantener su temperatura constante en 620 ºC, utilizando un controlador PID. Para ello se usa como elemento de medición el termómetro del segundo ejercicio y la variable manipulada es el voltaje del circuito eléctrico. Se sabe además que la perturbación es constante e igual a la temperatura ambiente (20 ºC).

a) Haga el diagrama de bloques del sistema completo b) Determine la temperatura que se tendrá en el horno cuando el sistema se encuentra en estado estable

c) Haga la grafica de Nyquist suponiendo que el controlador es solo proporcional con una ganancia de 1 (KP

= 1) d) Calcule los parámetros necesarios para el controlador PID utilizando el método de Ziegler – Nichols

basando en la respuesta frecuencial Solución A- Las ecuaciones del sistema son:

Potencia eléctrica = calor entregado por la resistencia:

RVRIIVQR22

Pérdida de calor por las paredes del horno:

22

11

21

1

;T

EP

T

P

PP

R

R

TTQ

R

TTQ

DTCQQ

CDTQQ

Introduciendo las ecuaciones de la potencia eléctrica y de los calores en las otras dos ecuaciones obtenemos:

PPT

EP

T

P

T

P

DTCR

TT

R

TT

CDTR

TT

R

V

21

1

2

Reorganizando estas ecuaciones y tomando en cuenta cuales son las entradas y cual la salida podemos escribirlas de la siguiente forma:

Aire

Aislante

TE

R

T C VE

TP

CP

221

12

1

2

11

TP

E

TPTP

PTPTP

TPP

TT

P

RC

T

RCRC

TRCRC

RC

TT

CR

V

CR

T

CR

TT

Parte a) Espacio de estado Como:

21 Vtu ; ETtu 2 ; Tty

Se pueden tomar como variables de estado a:

Ttx 1 ; PTtx 2

El sistema se puede escribir en función de estas variables de estado como:

1

22

221

121

12

111

21

1

11

111

xy

uRC

xRCRC

RCRCx

RCx

uCR

xCR

xCR

x

TPTPTP

TPTP

TP

TT

Expresado matricialmente:

Cxy

BuAxx

Donde:

01

10

01

;1

11

221

12

1

11

C

RC

CRB

RCRC

RCRC

RC

CRCRA

TPTPTP

TPTP

TP

TT

01

10

022

1;

21

11

C

BA

Parte b) Ecuación diferencial En este caso lo mas fácil es volver a las ecuaciones del sistema:

221

12

1

2

11

TP

E

TPTP

PTPTP

TPP

TT

P

RC

T

RCRC

TRCRC

RC

TT

CR

V

CR

T

CR

TT

Despejando TP de la primera ecuación y sustituirlo en la segunda:

21

21

21

1

21

12

1 TP

ET

T

TPTP

TT

TPTP

TP RC

TDTCR

R

VRTD

RCRC

DTCRR

VRTRCRC

RC

T

Reacomodando nos queda:

2

2

2

1221

121

12

2

1221

11

TP

E

TPP

TPTPT

TPTPTP

TPTP

TPP

TPTPT

RC

TV

RRCC

RCRCDV

R

R

TRCRCRC

RCRCDT

RCC

CRCRCTDCR

Se puede simplificar la escritura de la siguiente forma:

ETcVbDVbTaDTaTDa 02

02

1012

2

Donde:

11

11

1

22

11;

22

1

11

1

1

111

311

1111

111

20

2

120

11

121

120

2

121

12

TP

TPP

TPTPT

TPTPTP

TPTP

TPP

TPTP

T

RCc

RRCC

RCRCb

R

Rb

RCRCRC

RCRCa

RCC

CRCRCa

CRa

ETVDVTDTTD 222

11

1

22

13

B- Parte a) Grafica de la respuesta El termómetro es de segundo orden críticamente amortiguado y su respuesta es de la forma:

Parte b) Respuesta del termómetro La ecuación del termómetro expresada en minutos es:

HTTT TTDTTD 25.025.05.0122

Donde la temperatura del horno TH varía en forma de rampa:

2040 tTH

Luego la ecuación es:

51025.02 tTDTTD TTT

20

620

15 0 t (min)

T (ºC)

Respuesta

Entrada

TT = ?

Siendo las condiciones iniciales:

0;200 TT DTTt

Solución transitoria:

eett

Tt tCCT5.0

2

5.0

1

Solución en estado estable:

BtATTee

BDTTee

Sustituyendo en ecuación: 20405 tBtAB

180205

40

AAB

B

La solución completa será:

ttCCT eett

T 401805.0

2

5.0

1

ttCCCDT eeettt

T 405.05.05.0

2

5.0

2

5.0

1

Con las condiciones iniciales:

20018020 11 CC

1005.00 221 CCC

Por lo tanto la ecuación de la respuesta es:

ttT eett

T 401801002005.05.0

El horno alcanza su temperatura máxima en 15t minutos, en este momento la temperatura indicada por el termómetro será:

1540180000553.015100000553.0200 TT

6001808296.01106.0 TT

CTT º94.420

Parte c) Error en estado estable Cuando la temperatura del horno se mantiene constante, el error en la lectura del termómetro corresponde a la diferencia entre el valor en estado estable de la respuesta del termómetro y la temperatura real del horno. En este caso como se trata de un instrumento de 2do orden ante una entrada en escalón:

El error en estado estable es CERO.

C- Parte a) diagrama de bloque del sistema

Parte b) temperatura en estado estable

Como se utiliza un control PID la temperatura del horno en estado estable será: CTH º620

Parte c) Diagrama de Nyquis para 1PK

Primero se debe reducir el diagrama de bloques para obtener la función de transferencia de lazo abierto, consideraremos para ello una sola entrada, en este caso la referencia y se hace la perturbación cero:

Se debe entonces hacer el diagrama de Nyquist, considerando solo la ganancia proporcional y siendo esta igual a 1, luego G(s)H(s) será:

13144

2

22

422

ssss

s

KsKKs

sHsG

iDp

13144

2

11

222

ssss

ssHsG

1717164

2

11

2234

ssss

ssHsG

117718717644

42234

ssss

ssHsG

Sustituimos a js

117718717644

42234

jjjj

jsHsG

324 176771118744

24

j

jsHsG

Multiplico por el conjugado para obtener la parte real y parte imaginaria

324

324

324 176771118744

176771118744

176771118744

24

j

j

j

jsHsG

23224

324

176771118744

17677111874424

jjsHsG

23224

324

176771118744

1762477241124187244424

jjjjjsHsG

23224

332244

176771118744

21764176277477224421874187244444

jjjjjsHsG

23224

35

23224

24

176771118744

28633088

176771118744

44594176

jsHsG

La parte imaginaria es cero para:

0

176771118744

2863308823224

35

028633088 24

Esto ocurre en:

0 y 028633088 24 Esta ecuación tiene 5 raíces:

1.6653 2.1157 1.6653 2.1157

0.8521 0.8521

El valor que corresponde a un ángulo de fase de -180° es el valor real positivo: 0.8521. Una forma alternativa de ubicar es dibujar los diagramas de Bode y ver la frecuencia en la cual el ángulo de fase pasa por -180°.

El diagrama de Nyquist para esta función es:

Lo cual indica que el sistema es estable con 1PK .

Parte d) Calibración del controlador Para calibrar el controlador aumentamos el valor de KP hasta que la gráfica de Nyquist pase por el punto:

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Nyquist Diagrams

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3From: U(1)

To:

Y(1

)

-1 + j0

Este valor se obtiene con una ganancia crítica 25CK y una frecuencia crítica 8521.0C , en este caso el diagrama

de Nyquist se muestra en la figura siguiente.

Con estos valores buscamos en la tabla de Ziegler - Nichols para una respuesta frecuencial el valor de las ganancias del controlador: Los valores serán entonces los siguientes.

5.12255.05.0 CP KK

68.38521.0

)2(5.0

)2(5.05.0

Cci tT

88.08521.0

)2(12.012.0

ci tT

4) Para los ejercicios 3 a 6 del tema 9, determine el valor de las ganancias del controlador utilizando los dos criterios de

Ziegler Nichols. Utilice los tres tipos de controladores: P, PI y PID.

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Nyquist Diagrams

-4 -2 0 2 4 6 8 10-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8From: U(1)

To:

Y(1

)