enunciados examenes selectividad matematicas ii andalucia 2002-2013

Clases Online de Matemticas, Fsica y Qumica

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ENUNCIADOS EXAMENES SELECTIVIDAD ANDALUCIA MATEMATICAS II 2002-2013

MODELO 1 - 2001/2002

Y (2,2)

0

X

(4,1) (1,2)

http://granada-clases-matematicas.blogspot.com/


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MODELO 2 - 2001/2002



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Y 9

0

X


MODELO 3 - 2001/2002

Y

0

X



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MODELO 4 - 2001/2002



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MODELO 5 - 2001/2002



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MODELO 6 - 2001/2002



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IA UNIVERSIDADES DE ANDALUC PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDADa) Duraci on: 1 hora y 30 minutos.

MODELO 1 - 2002/2003

BACHILLERATO MATEMATICAS II

b) Tienes que elegir entre realizar u nicamente los cuatro ejercicios de la Opci on A o realizar u nicamente los cuatro ejercicios de la Opci on B. Instrucciones: c) La puntuaci on de cada pregunta est a indicada en las mismas. d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla gr aca), pero todos los procesos conducentes a la obtenci on de resultados deben estar sucientemente justicados.

Opci on A

Ejercicio 1. [25 puntos] Calcula Ln(1 + x) sen x , x sen x siendo Ln(1 + x) el logaritmo neperiano de 1 + x.x0

lim

Ejercicio 2. Sea f : R R la funci on denida por f (x) = ex/3 . (a) [1 punto] En qu e punto de la gr aca de f la recta tangente a esta pasa por el origen de coordenadas? Halla la ecuaci on de dicha recta tangente. (b) [15 puntos] Calcula el area del recinto acotado que est a limitado por la gr aca de f , la recta tangente obtenida y el eje de ordenadas.

Ejercicio 3. Considera las matrices 1 0 0 A = 1 m 0 , 1 1 1

0 1 1 B= 1 0 0 0 0 0

1 0 0 y C = 0 1 0 . 1 0 1

(a) [125 puntos] Para qu e valores de m tiene soluci on la ecuaci on matricial A X + 2B = 3C ? (b) [125 puntos] Resuelve la ecuaci on matricial dada para m = 1.

Ejercicio 4. Se sabe que los puntos A(1, 0, 1), B (3, 2, 1) y C (7, 1, 5) son v ertices consecutivos de un paralelogramo ABCD. (a) [1 punto] Calcula las coordenadas del punto D. (b) [15 puntos] Halla el area del paralelogramo.



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Opci on B

Ejercicio 1. [25 puntos] Sea f : (0, +) R la funci on denida por f (x) = (x 1)Ln(x), donde Ln(x) es el logaritmo neperiano de x. Calcula la primitiva de f cuya gr aca pasa por el punto (1, 3/2).

Ejercicio 2. [25 puntos] Estudia la derivabilidad de la funci on f : R R denida por x si x = 1 y x = 1, 1 |x| f (x) = 0 si x = 1 o x = 1. 2 2 1 x 1 2 y X = y . Ejercicio 3. Considera las matrices A = 2 1 2 2 z (a) [125 puntos] Siendo I la matriz identidad de orden 3, calcula los valores de para los que la matriz A + I no tiene inversa. (b) [125 puntos] Resuelve el sistema A X = 3X e interpreta geom etricamente el conjunto de todas sus soluciones.

Ejercicio 4. [25 puntos] Los puntos A(1, 1, 0) y B (2, 2, 1) son v ertices consecutivos de un rect angulo ABCD. Adem as, se sabe que los v ertices C y D est an contenidos en una recta que pasa por el origen de coordenadas. Halla C y D.



MODELO 2 - 2002/2003



Opci on A

Ejercicio 1. En la gura adjunta puedes ver representada parte de la gr aca de una funci on f que est a denida en el intervalo (3, 3) y que es sim etrica respecto al origen de coordenadas. (a) [075 puntos] Razona cu al debe ser el valor de f (0).

(b) [075 puntos] Completa la gr aca de f .

(c) [1 punto] Halla f (x) para los x (3, 3) en los que dicha derivada exista.

-

-

-

Ejercicio 2. [25 puntos] Se sabe que la funci on f : R R denida por f (x) = ax2 + bx + c tiene m aximo absoluto en el punto de abscisa x = 1, que su gr aca pasa por el punto (1, 4) y que 3 32 f (x) dx = . Halla a, b y c. 2 1 Ejercicio 3. [25 puntos] Determina razonadamente ecuaciones 2x + y + z = x + 2y + z = x + 2y + 4z = tiene m as de una soluci on. los valores de m para los que el sistema de mx my mz

Ejercicio 4. [ 25 puntos] Halla la ecuaci on de la recta que pasa por el punto (3, 1, 1), es paralela al plano 3x y + z = 4 y corta a la recta intersecci on de los planos x + z = 4 y x 2y + z = 1.



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Opci on BEjercicio 1. [25 puntos] Se sabe que la funci on f : R R denida por f (x) = ax3 + bx2 + cx + d es tal que f (0) = 4 y que su gr aca tiene un punto de inexi on en (1, 2). Conociendo adem as que la recta tangente a la gr aca de f en el punto de abscisa x = 0 es horizontal, calcula a, b, c y d.

Ejercicio 2. [25 puntos] En la gura adjunta puedes ver representada en el intervalo [0, 2] la gr aca de la par abola de ecuaci on y = x2 /4. Halla el valor de m para el que las areas de las supercies rayadas son iguales.

Ejercicio 3. anto vale (a) [1 punto] Se sabe que el determinante de una matriz cuadrada A de orden 3 vale -2 Cu el determinante de la matriz 4A? 1 2 0 1 , para qu e valores de la matriz 3B + B 2 no (b) [15 puntos] Dada la matriz B = 0 0 1 2 tiene inversa? x+yz = 1 y el plano x 2y + z = 0. y = 2

Ejercicio 4. Considera la recta r

(a) [1 punto] Calcula el haz de planos que contienen a la recta r. (b) [15 puntos] Halla el plano que contiene a la recta r y corta al plano en una recta paralela al plano z = 0.



MODELO 3 - 2002/2003



Opci on A

Ejercicio 1. [25 puntos] Se sabe que la funci on f : R R denida por f (x) = x3 + ax2 + bx + c tiene un punto de derivada nula en x = 1 que no es extremo relativo y que f (1) = 1. Calcula a, b y c.

Ejercicio 2. Sea f : R R la funci on denida por f (x) = x2 2x + 2. (a) [075 puntos] Halla la ecuaci on de la recta tangente a la gr aca de f en el punto de abscisa x = 3. (b) [175 puntos] Calcula el area del recinto limitado por la gr aca de f , la recta tangente obtenida y el eje OY.

Ejercicio 3. [25 puntos] Dadas las matrices 1 1 0 0 A = 3 2 1 5 1 halla la matriz X que cumple que A X = (B At )t .

y

5 0 3 1 , B = 1 1 2 4 3

Ejercicio 4. Considera el punto P (2, 3, 0) y la recta r

x+y+z+2 = 0 2x 2y + z + 1 = 0.

(a) [1 punto] Halla la ecuaci on del plano que pasa por P y contiene a la recta r. (b) [15 puntos] Determina el punto de r m as pr oximo a P .



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Opci on BEjercicio 1. [25 puntos] Se sabe que la funci on f : (0, 3) R es derivable en todo punto de su dominio, siendo x1 si 0 < x 2, f (x) = x + 3 si 2 < x < 3, y que f (1) = 0. Halla la expresi on anal tica de f .

Ejercicio 2. Sea f : R R la funci on continua denida por f (x) = donde a es un n umero real. (a) [05 puntos] Determina a. (b) [2 puntos] Halla la funci on derivada de f . 1 1 1 Ejercicio 3. Dada la matriz A = m2 1 1 , se pide: m 0 1 (a) [1 punto] Determina los valores de m para los que la matriz A tiene inversa. (b) [15 puntos] Calcula, si es posible, la matriz inversa de A para m = 2. |2 x| x2 5x + 7 si si x < a, x a,

Ejercicio 4. Considera una recta r y un plano cuyas ecuaciones son, respectivamente, x=t x= y=t y= (t R) (, R). z=0 z= (a) [125 puntos] Estudia la posici on relativa de la recta r y el plano . (b) [125 puntos] Dados los puntos B (4, 4, 4) y C (0, 0, 0), halla un punto A en la recta r de manera que el tri angulo formado por los puntos A, B y C sea rect angulo en B .



MODELO 4 - 2002/2003



Opci on A

Ejercicio 1. [25 puntos] Sea Ln(1 x2 ) el logaritmo neperiano de 1 x2 y sea f : (1, 1) R la funci on denida por f (x) = Ln(1 x2 ). Calcula la primitiva de f cuya gr aca pasa por el punto (0, 1).

Ejercicio 2. [25 puntos] Se sabe que la funci on f : R R denida por f (x) = x3 + ax2 + bx + c tiene un extremo relativo en el punto de abscisa x = 0 y que su gr aca tiene un punto de inexi on en el1

punto de abscisa x = 1. Conociendo adem as que0

f (x) dx = 6, halla a, b y c.

Ejercicio 3. Considera los vectores u = (1, 1, 1), v = (2, 2, a) y w = (2, 0, 0). (a) [125 puntos] Halla los valores de a para los que los vectores u, v y w son linealmente independientes. (b) [125 puntos] Determina los valores de a para los que los vectores u + v y u w son ortogonales.

Ejercicio 4. [25 puntos] Sabiendo que las rectas rx=y=z y x = 1+ y = 3+ s z =

se cruzan, halla los puntos A y B , de r y s respectivamente, que est an a m nima distancia.



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Opci on B

Ejercicio 1. Dadas la par abola de ecuaci on y = 1 + x2 y la recta de ecuaci on y = 1 + x, se pide: (a) [15 puntos] Area de la regi on limitada por la recta y la par abola. (b) [1 punto] Ecuaci on de la recta paralela a la dada que es tangente a la par abola.

Ejercicio 2. Considera la funci on f : R R denida por f (x) = (x + 3) ex . (a) [05 puntos] Halla las as ntotas de la gr aca de f . (b) [15 puntos] Determina los extremos relativos de f y los puntos de inexi on de su gr aca. (c) [05 puntos] Esboza la gr aca de f .

Ejercicio 3. Sean C1 , C2 y C3 las columnas primera, segunda y tercera, respectivamente, de una matriz cuadrada A de orden 3 cuyo determinante vale 5. Calcula, indicando las propiedades que utilices: (a) [05 puntos] El determinante de A3 . (b) [05 puntos] El determinante de A1 . (c) [05 puntos] El determinante de 2A. (d) [1 punto] El determinante de una matriz cuadrada cuyas columnas primera, segunda y tercera son, respectivamente, 3C1 C3 , 2C3 y C2 . y+1 z x1 = = que equidista de Ejercicio 4. [25 puntos] Determina el punto P de la recta r 2 1 3 los planos x = 3 + y = + 1 x + y + z + 3 = 0 y 2 z = 6 .



MODELO 5 - 2002/2003



Opci on A

Ejercicio 1. Sea la funci on f : R R denida por f (x) = x2 + 3 2 x2 si si x 1, x > 1.

(a) [125 puntos] Calcula, si es posible, las derivadas laterales de f en x = 1. (b) [125 puntos] Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la funci on f .

Ejercicio 2. [25 puntos] Determina el valor positivo de para el que el area del recinto limitado por 2 la par abola y = x y la recta y = x es 1.

Ejercicio 3. Considera el sistema de ecuaciones: x + my z = 2 + 2my mx y + 4z = 5 + 2z 6x 10y z = 1. (a) [15 puntos] Discute las soluciones del sistema seg un los valores de m. (b) [1 punto] Resuelve el sistema cuando sea compatible indeterminado.

Ejercicio 4. Se sabe que el plano corta a los semiejes positivos de coordenadas en los puntos A, B y C , siendo las longitudes de los segmentos OA, OB y OC de 4 unidades, donde O es el origen de coordenadas. (a) [075 puntos] Halla la ecuaci on del plano . (b) [1 punto] Calcula el area del tri angulo ABC . (c) [075 puntos] Obt en un plano paralelo al plano que diste 4 unidades del origen de coordenadas.



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Opci on B 3 x.

Ejercicio 1. Sea f : R R la funci on denida por f (x) =

(a) [05 puntos] Calcula la recta tangente a la gr aca de f en el punto de abscisa x = 1. (b) [05 puntos] Esboza el recinto limitado por la gr aca de f y la recta tangente obtenida. (c) [15 puntos] Calcula el area del recinto descrito en el apartado anterior.

Ejercicio 2. Considera la funci on f denida para x = 2 por f (x) = (a) [125 puntos] Halla las as ntotas de la gr aca de f .

2x2 + 2 . x+2

(b) [125 puntos] Estudia la posici on relativa de la gr aca de f respecto de sus as ntotas.

Ejercicio 3. Considera la matriz

2x 0 0 M (x) = 0 1 x , 0 0 1

donde x es un n umero real. (a) [15 puntos] Para qu e valores de x existe (M (x))1 ? Para los valores de x obtenidos, calcula la 1 matriz (M (x)) . (b) [1 punto] Resuelve, si es posible, la ecuaci on M (3) M (x) = M (5).

Ejercicio 4. [25 puntos] Halla la perpendicular com un a las x=1+ y= y s r z =

rectas x= y = 2 + 2 z = 0.



MODELO 6 - 2002/2003



Opci on A

Ejercicio 1. [25 puntos] Sea la funci on f : R R denida por f (x) = 2x3 6x + 4. Calcula el area del recinto limitado por la gr aca de f y su recta tangente en el punto de abscisa correspondiente al m aximo relativo de la funci on.

Ejercicio 2. Dada la funci on f denida para x = 1 por f (x) = (a) [15 puntos] Las as ntotas de la gr aca de f .

x3 , determina: (1 + x)2

(b) [1 punto] Los puntos de corte, si existen, de dicha gr aca con sus as ntotas.

Ejercicio 3. Considera las matrices 1 0 1 3 , A= 0 m 4 1 m

1 B = 1 3

y

x X = y . z

(a) [075 puntos] Para qu e valores de m existe la matriz A1 ? (b) [1 punto] Siendo m = 2, calcula A1 y resuelve el sistema A X = B . (c) [075 puntos] Resuelve el sistema A X = B para m = 1.

Ejercicio 4. Considera el plano x 2y + 1 = 0 y la recta r

x 3y + z = 0 x y + az + 2 = 0.

(a) [125 puntos] Halla el valor de a sabiendo que la recta est a contenida en el plano. (b) [125 puntos] Calcula el angulo formado por el plano y la recta s x 3y + z = 0 x y + z + 2 = 0.



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Opci on B

Ejercicio 1. [25 puntos] De entre todos los rect angulos que tienen uno de sus v ertices en el origen de 2x2 (x > 1), uno de sus lados situado sobre coordenadas, el opuesto de este v ertice en la curva y = 2 x 1 el semieje positivo de abscisas y otro lado sobre el semieje positivo de ordenadas, halla el que tiene area m nima.

Ejercicio 2. Considera las funciones f, g : R R denidas por f (x) = 6 x2 y g (x) = |x|.

(a) [075 puntos] Dibuja el recinto acotado que est a limitado por las gr acas de f y g . (b) [175 puntos] Calcula el area del recinto descrito en el apartado anterior.

Ejercicio 3. [25 puntos] Una empresa cinematogr aca dispone de tres salas, A, B y C . Los precios de entrada a estas salas son de 3, 4 y 5 euros, respectivamente. Un d a la recaudaci on conjunta de las tres salas fue de 720 euros y el n umero total de espectadores fue de 200. Si los espectadores de la sala A hubieran asistido a la sala B y los de la sala B a la sala A, se hubiese obtenido una recaudaci on de 20 euros m as. Calcula el n umero de espectadores que acudi o a cada una de las salas.

Ejercicio 4. [25 puntos] Halla la ecuaci on de una circunferencia que pase por el punto (1, 8) y sea tangente a los ejes coordenados.


MODELO 1 - 2003/2004UNIVERSIDADES DE ANDALUC IA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDADa) Duraci on: 1 hora y 30 minutos. b) Tienes que elegir entre realizar u nicamente los cuatro ejercicios de la Opci on A o realizar u nicamente los cuatro ejercicios de la Opci on B. Instrucciones: c) La puntuaci on de cada pregunta est a indicada en las mismas. d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla gr aca), pero todos los procesos conducentes a la obtenci on de resultados deben estar sucientemente justicados. PLANES DE 1994 y DE 2002 MATEMATICAS II

Opci on A2

Ejercicio 1. Sea f : R R la funci on denida por f (x) = x2 ex . (a) [075 puntos] Halla las as ntotas de la gr aca de f . (b) [125 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcula sus extremos relativos o locales (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la funci on). (c) [05 puntos] Esboza la gr aca de f .

Ejercicio 2. Considera la funci on f : R R denida por f (x) = x |x|. (a) [075 puntos] Dibuja la regi on acotada del plano que est a limitada por la gr aca de f y la bisectriz del primer y tercer cuadrante. (b) [175 puntos] Calcula el area de la regi on descrita en el apartado anterior.

Ejercicio 3. Se sabe que el sistema de ecuaciones x + y = 1 x + z = 1 y+z =

tiene una u nica soluci on. (a) [125 puntos] Prueba que = 0.

(b) [125 puntos] Halla la soluci on del sistema.

Ejercicio 4. [25 puntos] Calcula el area del tri angulo de v ertices A(0, 0, 1), B (0, 1, 0) y C , siendo C la proyecci on ortogonal del punto (1, 1, 1) sobre el plano x + y + z = 1.



[email protected] DE 1994 y DE 2002 MATEMATICAS II

UNIVERSIDADES DE ANDALUC IA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDADa) Duraci on: 1 hora y 30 minutos.


Opci on B

Ejercicio 1. [25 puntos] Halla una funci on f : R R tal que su gr aca pase por el punto M (0, 1), que la tangente en el punto M sea paralela a la recta 2x y + 3 = 0 y que f (x) = 3x2 .

Ejercicio 2. Considera la funci on f : R R denida por f (x) = ex + 4ex . (a) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y halla sus extremos absolutos o globales (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la funci on). (b) [15 puntos] Calcula el area del recinto limitado por la gr aca de f , el eje de abscisas y las rectas x = 0 y x = 2.

Ejercicio 3. Sabiendo que x y z t u v a b c 3x y z 3t u v . 3a b c 2y x z 2u t v . 2b a c y u 2y b z v . 2z c = 6,

calcula, indicando las propiedades que utilices, los siguientes determinantes: (a) [075 puntos]

(b) [075 puntos]

(c) [1 punto]

x t 2x a

x 2y + z = 0 y el plano 2x z = 4 x 2y z = 2. Halla la ecuaci on de la recta que pasa por A, es paralela a y corta a r. Ejercicio 4. [25 puntos] Considera el punto A(0, 1, 1), la recta r



Opci on A

Ejercicio 1. [25 puntos] Se desea construir una caja cerrada de base cuadrada con una capacidad de 80 cm3 . Para la tapa y la supercie lateral se usa un material que cuesta 1e /cm 2 y para la base se emplea un material un 50 % m as caro. Halla las dimensiones de la caja para que su coste sea m nimo.

Ejercicio 2. [25 puntos] Siendo Ln x el logaritmo neperiano de x, halla el area de la supercie sombreada. y = Ln x

PSfrag replacements 1 3

tiene al menos dos soluciones distintas.

Ejercicio 3. [25 puntos] Determina a y b sabiendo que el sistema de ecuaciones x + 3y + z = 1 x + y + 2z = 1 ax + by + z = 4

Ejercicio 4. [25 puntos] Se sabe que el tri angulo ABC es rect angulo en el v ertice C , que pertenece a la recta intersecci on de los planos y + z = 1 e y 3z + 3 = 0 , y que sus otros dos v ertices son A(2, 0, 1) y B (0, 3, 0). Halla C y el area del tri angulo ABC .






Opci on BEjercicio 1. De una funci on f : [0, 4] R se sabe que f (1) = 3 y que la gr aca de su funci on derivada es la que aparece en el dibujo. PSfrag replacements 1

1

2

3

4

(a) [05 puntos] Halla la recta tangente a la gr aca de f en el punto de abscisa x = 1. (b) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f . En qu e punto alcanza la funci on f su m aximo absoluto? (c) [1 punto] Estudia la concavidad y la convexidad de f . Ejercicio 2. [25 puntos] Calcula el area del recinto acotado que est a limitado por la recta y = 2x y 2 x por las curvas y = x2 e y = . 2 Ejercicio 3.

3 (a) [1 punto] Sabiendo que la matriz A = 1 1 (b) [15 puntos] Resuelve el sistema de 3 1 1

2 1 4 2 tiene rango 2, cu al es el valor de a? a1 a

ecuaciones 2 1 x 1 4 2 y = 0 . 6 5 z 1

Ejercicio 4. [25 puntos] Halla la perpendicular com un a las rectas x=1 x= y=1 y =1 r y s z= z = 1.



Opci on AEjercicio 1. [25 puntos] Calcula0 2

x2

1 dx. + 2x 3

Ejercicio 2. Se sabe que la funci on f : (1, 1) R denida por 1 2x2 x + c si 1 < x < 0, 2 f (x) = 1x si 0 x < 1. es derivable en el intervalo (1, 1). (a) [1 punto] Determina el valor de la constante c. (b) [05 puntos] Calcula la funci on derivada f . (c) [1 punto] Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la gr aca de f que son paralelas a la recta de ecuaci on y = x.

Ejercicio 3. Considera el sistema de ecuaciones x + y = x + y + ( 1)z = 1 . x + y = 2 +

(a) [15 puntos] Clasica el sistema seg un los valores del par ametro . (b) [1 punto] Resuelve el sistema cuando sea compatible indeterminado.

Ejercicio 4. [25 puntos] Considera las rectas r x=y z=2 y s x+y =1 z = 3.

Halla la ecuaci on de una recta que corte a r y s y sea perpendicular al plano z = 0.






Opci on B

Ejercicio 1. Sea f : [0, 2 ] R la funci on denida por f (x) = ex (cos x + sen x). (a) [125 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f . (b) [125 puntos] Halla los extremos relativos (locales) y absolutos (globales) de f .

Ejercicio 2. [25 puntos] Sea f : R R la funci on denida por f (x) = (x 1) e2x . Calcula la 2 primitiva de f cuya gr aca pasa por el punto (1, e ).

Ejercicio 3. Un tendero dispone de tres tipos de zumo en botellas que llamaremos A, B y C . El mencionado tendero observa que si vende a 1e las botellas del tipo A, a 3 e las del tipo B y a 4 e las del tipo C , entonces obtiene un total de 20 e . Pero si vende a 1e las del tipo A, a 3 e las del B y a 6 e las del C , entonces obtiene un total de 25 e . (a) [075 puntos] Plantea el sistema de ecuaciones que relaciona el n umero de botellas de cada tipo que posee el tendero. (b) [1 punto] Resuelve dicho sistema. (c) [075 puntos] Puede determinarse el n umero de botellas de cada tipo de que dispone el tendero? (Ten en cuenta que el n umero de botellas debe ser entero y positivo).

Ejercicio 4. Sean los puntos A(1, 0, 1) y B (2, 1, 3). (a) [15 puntos] Calcula la distancia del origen de coordenadas a la recta que pasa por A y por B . (b) [1 punto] Calcula el a rea del paralelogramo de v ertices consecutivos ABCD sabiendo que la recta determinada por los v ertices C y D pasa por el origen de coordenadas.



Opci on A9

Ejercicio 1. Considera la integral denida I =1

1 dx. 1+ x

(a) [15 puntos] Expresa la anterior integral denida aplicando el cambio de variables 1 + (b) [1 punto] Calcula I .

x = t.

Ejercicio 2. (a) [1 punto] Halla la ecuaci on de la recta tangente a la par abola y = x 2 que es paralela a la recta 4x + y + 3 = 0. (b) [15 puntos] Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la par abola y = x 2 que pasan por el punto (2, 0).

Ejercicio 3. Denotamos por M t a la matriz transpuesta de una matriz M . (a) [1 punto] Sabiendo que A = a b c d y que det(A) = 4, calcula los siguientes determinantes: y 2b 2a . 3d 3c

det (3At )

(b) [075 puntos] Sea I la matriz identidad de orden 3 y sea B una matriz cuadrada tal que B 3 = I . Calcula det(B ). (c) [075 puntos] Sea C una matriz cuadrada tal que C 1 = C t . Puede ser det(C ) = 3? Razona la respuesta.

Ejercicio 4. [25 puntos] Halla la distancia entre las rectas x=0 z2 r y s y1= 3

x1=1z y = 0.






Opci on B1 2 Ejercicio 1. Sea f : R R la funci on denida por f (x) = x2 + x + 1. 3 3 (a) [1 punto] Halla la ecuaci on de la recta tangente a la gr aca de f en un punto de la misma de ordenada y = 1, teniendo en cuenta que dicha recta tangente tiene pendiente negativa. (b) [15 puntos] Calcula el area de la regi on del plano limitada por la gr aca de f , la recta tangente obtenida y el eje de ordenadas.

Ejercicio 2. [25 puntos] Se quiere fabricar una caja abierta de chapa con base cuadrada y con 32 litros de capacidad. Halla las dimensiones de la caja que precisa la menor cantidad de chapa.

Ejercicio 3. Considera el sistema de ecuaciones mx + 2y + z = 2 x + my = m . 2x + mz = 0

(a) [05 puntos] Determina los valores de m para los que x = 0, y = 1 y z = 0 es soluci on del sistema. (b) [1 punto] Determina los valores de m para los que el sistema es incompatible. (c) [1 punto] Determina los valores de m para los que el sistema tiene innitas soluciones.

Ejercicio 4. [25 puntos] Considera los puntos P (6, 1, 10), Q(0, 2, 2) y R, que es el punto de intersecci on del plano 2x + y + z 2 = 0 y la recta r x+y+z1=0 y = 1.

Determina sabiendo que los puntos P , Q y R est an alineados.



Opci on A

Ejercicio 1. Sea f : R R la funci on denida por f (x) = 2 x |x|. (a) [075 puntos] Esboza la gr aca de f . (b) [1 punto] Estudia la derivabilidad de f en x = 0. (c) [075 puntos] Halla la ecuaci on de la recta tangente a la gr aca de f en el punto de abscisa x = 2.

Ejercicio 2. [25 puntos] Considera las funciones f : (0, +) R y g : R R denidas, respectivamente, por f (x) = Ln x y g (x) = 1 2x , siendo Ln x el logaritmo neperiano de x. Calcula el area del recinto limitado por las rectas x = 1 y x = 2 y las gr acas de f y g .

Ejercicio 3. [25 puntos] Considera el sistema de ecuaciones x + 3y + z = 0 2x 13y + 2z = 0 . (a + 2)x 12y + 12z = 0

Determina el valor a para que tenga soluciones distintas de la soluci on trivial y resu elvelo para dicho valor de a.






Opci on BEjercicio 1. [25 puntos] Se sabe quex0

lim

ex

a 1 1 2x

es nito. Determina el valor de a y calcula el l mite.

Ejercicio 2. [25 puntos] Determina b sabiendo que b > 0 y que el area del recinto limitado por la 1 2 par abola de ecuaci on y = ( x b) y los ejes coordenados es igual a 8. 3 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33

Ejercicio 3. Se sabe que siguientes determinantes: (a) [075 puntos]

= 2. Calcula, indicando las propiedades que utilices, los

3 a11 3 a12 15 a13 a21 a22 5a23 a31 a32 5a33 3 a21 3 a22 3 a23 a11 a12 a13 a31 a32 a33

(b) [075 puntos]

(c) [1 punto]

a11 a12 a13 a21 a31 a22 a32 a23 a33 a31 a32 a33

Ejercicio 4. Las rectas r x+y2=0 2x + 2y + z 4 = 0 y s x+y6=0 x+yz6=0

contienen dos lados de un cuadrado. (a) [125 puntos] Calcula el area del cuadrado. (b) [125 puntos] Halla la ecuaci on del plano que contiene al cuadrado.



Opci on A3 y que f (2) = 0. (x + 1)2

Ejercicio 1. De la funci on f : (1, +) R se sabe que f (x) = (a) [125 puntos] Determina f .

(b) [125 puntos] Halla la primitiva de f cuya gr aca pasa por el punto (0, 1).

Ejercicio 2. Considera la funci on f : R R denida por f (x) = (x + 1)(x 1)(x 2). (a) [1 punto] Halla las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gr aca de f en el punto de abscisa x = 1. (b) [15 puntos] Determina los intervalos de concavidad y de convexidad de f . Tiene puntos de inexi on la gr aca de f ?

Ejercicio 3. Considera el sistema de ecuaciones mx y = 1 x my = 2m 1 (a) [15 puntos] Clasica el sistema seg un los valores de m. (b) [1 punto] Calcula los valores de m para los que el sistema tiene una soluci on en la que x = 3. .

Ejercicio 4. Sean los puntos A(1, 2, 1), B (2, 3, 1), C (0, 5, 3) y D(1, 4, 3). (a) [1 punto] Prueba que los cuatro puntos est an en el mismo plano. Halla la ecuaci on de dicho plano. (b) [075 puntos] Demuestra que el pol gono de v ertices consecutivos ABCD es un rect angulo. (c) [075 puntos] Calcula el area de dicho rect angulo.






Opci on B

Ejercicio 1. Se sabe que la funci on f : (1, +) R denida por 2 si 1 < x < 0, x 4x + 3 f (x) = x2 + a si x 0. x+1 es continua en (1, +). (a) [125 puntos] Halla el valor de a. Es f derivable en x = 0? (b) [125 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f .

Ejercicio 2. [25 puntos] Determina b sabiendo que b > 0 y que el area de la regi on limitada por la 2 curva y = x y la recta y = bx es igual a 9/2.

Ejercicio 3. Considera las matrices A= 1 0 1 0 1 2 , 1 0 B= 0 1 0 0 1 0 y C = 0 2 . 1 0

(a) [125 puntos] Calcula A B , A C , At B t y C t At , siendo At , B t y C t las matrices transpuestas de A, B y C , respectivamente. (b) [125 puntos] Razona cu ales de las matrices A, B , C y AB tienen matriz inversa y en los casos en que la respuesta sea armativa, halla la correspondiente matriz inversa.

Ejercicio 4. [25 puntos] Dados los vectores u = (2, 1, 0) y v = (1, 0, 1), halla un vector unitario w que sea coplanario con u y v y ortogonal a v .



Opci on AEjercicio 1. [25 puntos] De la funci on f : R R denida por f (x) = ax3 + bx2 + cx + d se sabe que tiene un m aximo en x = 1, y que su gr aca corta al eje OX en el punto de abscisa x = 2 y tiene un punto de inexi on en el punto de abscisa x = 0. Calcula a, b, c y d sabiendo, adem as, que la recta tangente a la gr aca de f en el punto de abscisa x = 2 tiene pendiente 9.

Ejercicio 2. Se sabe que las dos gr acas del dibujo corresponden a la funci on f : R R denida por f (x) = x2 ex y a su funci on derivada f . (a) [1 punto] Indica, razonando la respuesta, cu al es la gr aca de f y cu al la de f . PSfrag replacements (b) [15 puntos] Calcula el area de la regi on sombreada. 1 2 1 3 4 1 2 3

2 2 1 2 1 3 2 0 1 0 3 1 2 1 2 0 1 1 4

Ejercicio 3. Sean las matrices A =

, B=

y C=

.

(a) [1 punto] Tiene A inversa? En caso armativo, calc ulala. (b) [15 puntos] Determina la matriz X que cumple que A X + C B t = B B t , siendo B t la matriz transpuesta de B . x + 2y = 6 z = 2.

Ejercicio 4. Considera el punto P (2, 0, 1) y la recta r

(a) [1 punto] Halla la ecuaci on del plano que contiene a P y a r. (b) [15 puntos] Calcula el punto sim etrico de P respecto de la recta r.






Opci on Bx2 + 1 . x (a) [1 punto] Estudia y determina las as ntotas de la gr aca de f . (b) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcula sus extremos relativos o locales (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la funci on). (c) [05 puntos] Esboza la gr aca de f .

Ejercicio 1. Sea f la funci on denida para x = 0 por f (x) =

Ejercicio 2. Considera la funci on f : R R denida por f (x) = ex/2 . (a) [075 puntos] Halla la ecuaci on de la recta tangente a la gr aca de f en el punto de abscisa x = 0. (b) [175 puntos] Calcula el area de la regi on acotada que est a limitada por la gr aca de f , la recta de ecuaci on x = 2 y la recta tangente obtenida en (a).

Ejercicio 3. Considera el sistema de ecuaciones x + y + z = 2 x + 3y + z = 7 . x + 2y + ( + 2)z = 5

(a) [15 puntos] Clasica el sistema seg un los valores del par ametro . (b) [1 punto] Resuelve el sistema cuando sea compatible indeterminado.

v2 = (2, 1, 1) y v3 = (2, 3, 1). (a) [075 puntos] Son los vectores v1 , v2 y v3 linealmente dependientes?1

Ejercicio 4. Sean los vectores v = (0, 1, 0),

(b) [075 puntos] Para qu e valores de a el vector (4, a + 3, 2) puede expresarse como combinaci on lineal de los vectores v1 , v2 y v3 ? (c) [1 punto] Calcula un vector unitario y perpendicular a v y v .1 2



Opci on Aex . x1

Ejercicio 1. Sea f la funci on denida para x = 1 por f (x) = (a) [05 puntos] Halla las as ntotas de la gr aca de f .

(b) [075 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f . (c) [075 puntos] Determina los intervalos de concavidad y de convexidad de f . (d) [05 puntos] Esboza la gr aca de f .

Ejercicio 2. [25 puntos] Calcula la integral 3x3 + x2 10x + 1 dx. x2 x 2 Ejercicio 3. Considera el sistema de ecuaciones x + 3y + z = 5 mx + 2z = 0 . my z = m

(a) [1 punto] Determina los valores de m para los que el sistema tiene una u nica soluci on. Calcula dicha soluci on para m = 1. (b) [1 punto] Determina los valores de m para los que el sistema tiene innitas soluciones. Calcula dichas soluciones. (c) [05 puntos] Hay alg un valor de m para el que el sistema no tiene soluci on?

Ejercicio 4. Sea el punto P (1, 0, 3) y la recta r

2x y 1 = 0 x + z = 0.

(a) [1 punto] Halla la ecuaci on del plano que contiene a P y es perpendicular a r. (b) [15 puntos] Calcula las coordenadas del punto sim etrico de P respecto de r.






Opci on B

Ejercicio 1. [25 puntos] Determina los puntos de la par abola de ecuaci on y = 5 x 2 que est an m as pr oximos al origen de coordenadas. Calcula la distancia entre los puntos obtenidos y el origen de coordenadas. Ejercicio 2. Se sabe que la funci on f : [0, +) R denida por ax si 0 x 8, f (x) = x2 32 si x > 8. x4 es continua en [0, +). (a) [05 puntos] Halla el valor de a.10

(b) [2 puntos] Calcula0

f (x) dx.

Ejercicio 3. [25 puntos] Halla la matriz X que cumple que A X A B = 3 1 2 1 5 2 1 3 0 0 0 0 ,

siendo A =

y B=

.

Ejercicio 4. Se sabe que los puntos A(m, 0, 1), B (0, 1, 2), C (1, 2, 3) y D(7, 2, 1) est an en un mismo plano. (a) [15 puntos] Halla m y calcula la ecuaci on de dicho plano. (b) [1 punto] Est an los puntos B , C y D alineados?



Opci on A

Ejercicio 1. [25 puntos] Se sabe que

x sen x x2 es nito. Determina el valor de y calcula el l mite.x0

lim

Ejercicio 2. Sea f : R R la funci on denida por 2x + 4 f (x) = (x 2)2

si x 0, si x > 0.

(a) [1 punto] Calcula los puntos de corte de la gr aca de f con el eje de abscisas y esboza dicha gr aca. (b) [15 puntos] Halla el area de la regi on acotada que est a limitada por la gr aca de f y por el eje de abscisas.

Ejercicio 3. Considera el sistema de ecuaciones (b + 1)x + y + z = 2 x + (b + 1)y + z = 2 . x + y + (b + 1)z = 4

(a) [15 puntos] Clasica el sistema seg un los valores del par ametro b. (b) [1 punto] Resuelve el sistema cuando sea compatible indeterminado.

Ejercicio 4. Se sabe que las rectas r son paralelas. (a) [15 puntos] Calcula a. (b) [1 punto] Halla la ecuaci on del plano que contiene a las rectas r y s. x+yz3=0 x + 2y 2 = 0 y s ax + 6y + 6 = 0 x 2z + 2 = 0






Opci on BEjercicio 1. Considera las tres funciones cuyas expresiones respectivas vienen dadas, para x = 0, por x2 1 , x siendo Ln la funci on logaritmo neperiano. f (x) = g (x) = e1/x y h(x) = Ln |x|,

(a) [175 puntos] Halla las ecuaciones de las as ntotas de las gr acas de f , g y h. (b) [075 puntos] Identica, entre las que siguen, la gr aca de cada funci on, justicando la respuesta.

Gr aca 1

Gr aca 20

Gr aca 3

Gr aca 4

Ejercicio 2. [25 puntos] Calcula1

Ln (2 + x) dx, siendo Ln la funci on logaritmo neperiano. 0 1 1 1 . 0 b

(a) [125 puntos] Determina el valor de b para el que A2 2A + I = O.

0 Ejercicio 3. Sea I la matriz identidad de orden 3 y sea A = 1 1

(b) [125 puntos] Para b = 2 halla la matriz X que cumple que A X 2At = O, donde At denota la matriz transpuesta de A. Ejercicio 4. Considera las rectas r x+z2=0 xy1=0 y s x z =y1= . 2 3

(a) [125 puntos] Halla la ecuaci on del plano que contiene a s y es paralelo a r. (b) [125 puntos] Calcula la distancia de la recta r al plano .



Opci on A5x + 8 . +x+1

Ejercicio 1. Sea f : R R la funci on denida por f (x) =

x2

(a) [05 puntos] Calcula los puntos de corte de la gr aca de f con los ejes coordenados. (b) [05 puntos] Halla las as ntotas de la gr aca de f . (c) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcula sus extremos relativos o locales (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la funci on). (d) [05 puntos] Esboza la gr aca de f .

Ejercicio 2. Considera la funci on f : R R denida por f (x) = x2 5x + 4. (a) [075 puntos] Halla la ecuaci on de la recta tangente a la gr aca de f en el punto de abscisa x = 3. (b) [175 puntos] Calcula el area de la regi on acotada que est a limitada por el eje de ordenadas, por la gr aca de f y por la recta tangente obtenida.

Ejercicio 3. Sea I la matriz identidad de orden 2 y sea A =

2 1 1 2

.

(a) [1 punto] Halla los valores de x para los que la matriz A xI no tiene inversa. (b) [15 puntos] Halla los valores de a y b para los que A2 + aA + bI = O.

Ejercicio 4. [25 puntos] Calcula la distancia entre las rectas x = 6+ 2x 3y + 1 = 0 y = 1 2 r y s 3x y 2 = 0. z = 5 7






Opci on BEjercicio 1. [25 puntos] De un terreno se desea vender un solar rectangular de 12.800 m2 dividido en tres parcelas iguales como las que aparecen en el dibujo. Si se quieren vallar las lindes de las tres parcelas (los bordes y las separaciones de las parcelas), determina las dimensiones del solar para que la longitud de la valla utilizada sea m nima.

Ejercicio 2. Calcula las siguientes integrales: (a) [05 puntos] (b) [05 puntos]1

cos (5x + 1) dx. 1 (x + 2)3 xe3x dx. dx.

(c) [15 puntos]0

Ejercicio 3. Considera el sistema de ecuaciones 5x + 2y z = 0 x + y + (m + 4)z = my . 2x 3y + z = 0

(a) [1 punto] Determina los valores del par ametro m para los que el sistema tiene una u nica soluci on. (b) [15 puntos] Resuelve el sistema cuando tenga innitas soluciones y da una soluci on en la que z = 19. Ejercicio 4. Sean A(3, 4, 0), B (3, 6, 3) y C (1, 2, 1) los v ertices de un tri angulo. (a) [075 puntos] Halla la ecuaci on del plano que contiene al tri angulo. (b) [075 puntos] Halla la ecuaci on de la recta que es perpendicular a y pasa por el origen de coordenadas. (c) [1 punto] Calcula el area del tri angulo ABC .



Opci on AEjercicio 1. Se sabe que la gr aca de la funci on f : R R denida por f (x) = x 3 + ax2 + bx + c es la que aparece en el dibujo. (a) [125 puntos] Determina f . (b) [125 puntos] Calcula el area de la regi on sombreada. y = f (x)

PSfrag replacements

2 1

1

1

2

x2 4x + 3 . x2 (a) [1 punto] Estudia y determina las as ntotas de la gr aca de f . Ejercicio 2. Sea f la funci on denida para x = 2 por f (x) = (b) [075 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f . (c) [075 puntos] Calcula, si existen, el m aximo y el m nimo absolutos de f en el intervalo [0, 2) (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la funci on). Ejercicio 3. [25 puntos] Alvaro, Marta y Guillermo son tres hermanos. Alvaro dice a Marta: si te doy la quinta parte del dinero que tengo, los tres hermanos tendremos la misma cantidad. Calcula lo que tiene cada uno si entre los tres juntan 84 euros. Ejercicio 4. Considera el punto A(0, 3, 1), el plano 2x2y +3z = 0 y la recta r x+3 = y = (a) [1 punto] Determina la ecuaci on del plano que pasa por A y contiene a r. (b) [15 puntos] Determina la ecuaci on de la recta que pasa por A, es paralela a y corta a r. z3 . 2






Opci on Bax2 + b se sabe que la recta tangente x

Ejercicio 1. De la funci on f : (0, +) R denida por f (x) = a su gr aca en el punto de abscisa x = 1 viene dada por y = 2. (a) [15 puntos] Calcula a y b.

(b) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f .

Ejercicio 2. [25 puntos] Sea f : R R la funci on denida por f (x) = x2 sen(2x). Calcula la primitiva de f cuya gr aca pasa por el punto (0, 1). Ejercicio 3. Considera el sistema de ecuaciones x + my + z = 0 x + y + mz = 2 . mx + y + z = m

(a) [1 punto] Para qu e valor de m el sistema tiene al menos dos soluciones? (b) [15 puntos] Para qu e valores de m el sistema admite soluci on en la que x = 1?

est an contenidas en un mismo plano. (a) [125 puntos] Calcula b.

Ejercicio 4. Se sabe que las rectas x=1+t y = 1 t r z =b+t

y

s

xy+z =3 6x + 2z = 2

(b) [125 puntos] Halla la ecuaci on del plano que contiene a las rectas r y s.



Opci on A

Ejercicio 1. De una funci on f : R R se sabe que f (0) = 2 y que f (x) = 2x. (a) [1 punto] Determina f . (b) [15 puntos] Calcula el area de la regi on limitada por la gr aca de f , por el eje de abscisas y por las rectas de ecuaciones x = 2 y x = 2.

Ejercicio 2. Sea f : R R la funci on denida por f (x) = (x 1)2 ex . (a) [05 puntos] Halla las as ntotas de la gr aca de f . (b) [15 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcula, si existen, sus extremos relativos o locales y sus extremos absolutos o globales (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la funci on). (c) [05 puntos] Esboza la gr aca de f .

Ejercicio 3. [25 puntos] En una excavaci on arqueol ogica se han encontrado sortijas, monedas y pendientes. Una sortija, una moneda y un pendiente pesan conjuntamente 30 gramos. Adem as, 4 sortijas, 3 monedas y 2 pendientes han dado un peso total de 90 gramos. El peso de un objeto deformado e irreconocible es de 18 gramos. Determina si el mencionado objeto es una sortija, una moneda o un pendiente, sabiendo que los objetos que son del mismo tipo pesan lo mismo.

Ejercicio 4. Considera un plano x + y + mz = 3 y la recta r x = y 1 = (a) [075 puntos] Halla m para que r y sean paralelos. (b) [075 puntos] Halla m para que r y sean perpendiculares.

z2 . 2

(c) [1 punto] Existe alg un valor de m para que la recta r est e contenida en el plano ?






Opci on BEjercicio 1. De una funci on f : [0, 5] R se sabe que f (3) = 6 y que su funci on derivada est a dada por 5x 2 si 0 < x < 1, f (x) = 2 x 6x + 8 si 1 x < 5.

(a) [1 punto] Calcula la ecuaci on de la recta tangente a la gr aca de f en el punto de abscisa x = 3.

(b) [15 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcula sus extremos relativos o locales (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la funci on). 1 dx. 1+x1 3 (a) [125 puntos] Expr esala aplicando el cambio de variables 1 + x 1 = t. Ejercicio 2. Considera la integral denida I = (b) [125 puntos] Calcula I . a b c d e f g h i8

Ejercicio 3. Sabiendo que |A| = siguientes determinantes: (a) [1 punto] | 3A| y |A1 |. c b a f e d . 2i 2h 2g a b ac d e df g h gi

= 2, calcula, indicando las propiedades que utilices, los

(b) [075 puntos]

(c) [075 puntos]

.

Ejercicio 4. Sean los planos 1 2x + y z + 5 = 0 y 2 x + 2y + z + 2 = 0. (a) [15 puntos] Calcula las coordenadas del punto P sabiendo que est a en el plano 1 y que su proyecci on ortogonal sobre el plano 2 es el punto (1, 0, 3). (b) [1 punto] Calcula el punto sim etrico de P respecto del plano 2 .


MODELO 1 - 2005/2006UNIVERSIDADES DE ANDALUC IA MATEMATICAS II

PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDADa) Duraci on: 1 hora y 30 minutos. b) Tienes que elegir entre realizar u nicamente los cuatro ejercicios de la Opci on A o realizar u nicamente los cuatro ejercicios de la Opci on B. Instrucciones: c) La puntuaci on de cada pregunta est a indicada en las mismas. d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla gr aca), pero todos los procesos conducentes a la obtenci on de resultados deben estar sucientemente justicados.

Opci on AEjercicio 1. Sea f : R R la funci on denida por f (x) = Ln (x2 + 1), siendo Ln la funci on logaritmo neperiano. (a) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos de la funci on f (puntos donde se alcanzan y valor de la funci on). (b) [15 puntos] Calcula la ecuaci on de la recta tangente a la gr aca de f en el punto de inexi on de abscisa negativa.

Ejercicio 2. Sea f la funci on denida por f (x) = ex 1 si x 0 2 xex si x < 0

(a) [1 punto] Estudia la derivabilidad de f en x = 0 y, si es posible, calcula la derivada de f en dicho punto. (b) [15 puntos] Calcula el area del recinto limitado por la gr aca de f , el eje de abscisas y la recta x = 1. Ejercicio 3. Sean u = (x, 2, 0), v = (x, 2, 1) y w = (2, x, 4x) tres vectores de R3 . (a) [1 punto] Determina los valores de x para los que los vectores son linealmente independientes. (b) [15 puntos] Halla los valores de x para los que los vectores son ortogonales dos a dos. x = a+t x1 y+2 z y = 1 2 t y s la recta de ecuaci Ejercicio 4. Sea r la recta de ecuaci on on = = 2 1 3 z = 4t (a) [15 puntos] Calcula el valor de a sabiendo que las rectas r y s se cortan. (b) [1 punto] Calcula el punto de corte.


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IA UNIVERSIDADES DE ANDALUC MATEMATICAS II


Opci on B

Ejercicio 1. [25 puntos] Calculax 1

l m

1 1 Ln x x 1

siendo Ln la funci on logaritmo neperiano. a si x 1 x Ejercicio 2. Sea f : R R la funci on denida por f (x) = 2 x + 1 si x > 1 (a) [075 puntos] Halla el valor de a sabiendo que f es continua. (b) [05 puntos] Esboza la gr aca de f . (c) [125 puntos] Calcula el area del recinto limitado por la gr aca de f , el eje de abscisas y las rectas x + 2 = 0 y x 2 = 0.

Ejercicio 3. Considera el sistema de ecuaciones lineales x + y z = 1 x + y + z = x + y + z = 2 (a) [15 puntos] Clasica el sistema seg un los valores del par ametro . (b) [1 punto] Resu elvelo para = 2.

Ejercicio 4. [25 puntos] Halla un punto A de la recta r de ecuaci on x = y = z y un punto B de la recta s de ecuaci on x = z+1 y = de forma que la distancia entre A y B sea m nima. 1 2


MODELO 2 - 2005/2006IA UNIVERSIDADES DE ANDALUC MATEMATICAS II


Opci on A

Ejercicio 1. Sea f : R R la funci on denida por f (x) = x2 |x| (a) [075 puntos] Estudia la derivabilidad de f . (b) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f . (c) [075 puntos] Calcula los extremos relativos de f (puntos donde se alcanzan y valor de la funci on).

Ejercicio 2. Calcula (a) [15 puntos] (b) [1 punto] 5x2 x 160 dx. x2 25 (2x 3) tg (x2 3x) dx, siendo tg la funci on tangente.

Ejercicio 3. Considera el sistema de ecuaciones lineales x y z = 1 x + y + z = 4 x+y+z = +2 (a) [15 puntos] Clasica el sistema seg un los valores del par ametro . (b) [1 punto] Resuelve el sistema para = 2.

x = 0 z3 y1 = 2 equidistan del plano de ecuaci on x + z = 1 y del plano de ecuaci on y z = 3. Ejercicio 4. [25 puntos] Determina los puntos de la recta r de ecuaciones

que



[email protected]



Opci on B

Ejercicio 1. [25 puntos] Un alambre de longitud 1 metro se divide en dos trozos, con uno se forma un cuadrado y con el otro una circunferencia. Calcula las longitudes de los dos trozos para que la suma de las areas de ambos recintos sea m nima. Ejercicio 2. [25 puntos] Halla la funci on f : R R sabiendo que f (x) = 12x 6 y que la recta tangente a la gr aca de f en el punto de abscisa x = 2 tiene de ecuaci on 4x y 7 = 0. Ejercicio 3. [25 puntos] Resuelve A B t X = 2 C , siendo B t la matriz traspuesta de B y A= 1 0 3 2 1 0 , B= 1 3 0 0 2 2 y C= 1 4 0 1 .

Ejercicio 4. Considera los puntos A(1, 0, 2) y B (2, 3, 1). (a) [1 punto] Determina los puntos del segmento AB que lo dividen en tres partes iguales. (b) [15 puntos] Calcula el area del tri angulo de v ertices A, B y C , donde C es un punto de la recta de ecuaci on x = y 1 = z . Depende el resultado de la elecci on concreta del punto C ?


MODELO 3 - 2005/2006IA UNIVERSIDADES DE ANDALUC MATEMATICAS II


Opci on A

Ejercicio 1. [25 puntos] Determina un punto de la curva de ecuaci on y = x ex en el que la pendiente de la recta tangente sea m axima.2

2

Ejercicio 2. Sea I =0

x3 dx. 1 + x2

(a) [125 puntos] Expresa I aplicando el cambio de variable t = 1 + x2 . (b) [125 puntos] Calcula el valor de I.

Ejercicio 3. Considera A =

a 1 0 a

, siendo a un n umero real. 12 1 0 20 .

(a) [1 punto] Calcula el valor de a para que A2 A =

(b) [1 punto] Calcula, en funci on de a, los determinantes de 2A y At , siendo At la traspuesta de A. (c) [05 puntos] Existe alg un valor de a para el que la matriz A sea sim etrica? Razona la respuesta.

Ejercicio 4. Considera el plano de ecuaci on 2x+y z +2 = 0 y la recta r de ecuaci on (a) [1 punto] Halla la posici on relativa de r y seg un los valores del par ametro m.

z6 x5 =y= 2 m

(b) [075 puntos] Para m = 3, halla el plano que contiene a la recta r y es perpendicular al plano . (c) [075 puntos] Para m = 3, halla el plano que contiene a la recta r y es paralelo al plano .



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Opci on Bx4 + 3 , para x = 0. x

Ejercicio 1. Sea f la funci on denida por f (x) =

(a) [075 puntos] Halla, si existen, los puntos de corte con los ejes y las as ntotas de la gr aca de f . (b) [1 punto] Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos de f . (c) [075 puntos] Esboza la gr aca de f .

x2 e y = ax, Ejercicio 2. [25 puntos] El area del recinto limitado por las curvas de ecuaciones y = a con a > 0, vale 3. Calcula el valor de a. Ejercicio 3. [25 puntos] Resuelve 2 0 5 x 2 5 1 1 2 y + 2 = 0 1 1 1 z 3 2 x+yz3 = 0 x + 2z + 1 = 0

Ejercicio 4. Considera el punto P (3, 2, 0) y la recta r de ecuaciones

(a) [1 punto] Halla la ecuaci on del plano que contiene al punto P y a la recta r. (b) [15 puntos] Determina las coordenadas del punto Q sim etrico de P respecto de la recta r.




Opci on A

Ejercicio 1. (a) [15 puntos] Sea f : R R la funci on dada por f (x) = ax2 + b. Halla los valores de a y b sabiendo6

que0

f (x) dx = 6 y que la pendiente de la recta tangente a la gr aca de la funci on f en el punto

de abscisa 3 vale 12. on dada por f (x) = x2 + p x + q. Calcula los valores de p y q (b) [1 punto] Sea f : R R la funci sabiendo que la funci on f tiene un extremo en x = 6 y su valor en el es 2.

Ejercicio 2. [25 puntos] Calcula (x2 1) ex dx

Ejercicio 3. Sea

1 1 1 0 m3 3 A= m+1 2 0

(a) [1 punto] Determina los valores de m R para los que la matriz A tiene inversa. (b) [15 puntos] Para m = 0 y siendo X = x y z , resuelve X A = 3 1 1 .

Ejercicio 4. Sea r la recta de ecuaci on

x5 y+2 z = = y s la recta dada por 2 1 4

3x 2y + z = 2 x + 2y 3z = 2

(a) [15 puntos] Determina la posici on relativa de ambas rectas. (b) [1 punto] Halla la ecuaci on del plano que contiene a la recta r y es paralelo a la recta s.


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Opci on BEjercicio 1. Sea f : R R la funci on denida por f (x) = x2 x + 1 x2 + x + 1

(a) [075 puntos] Estudia si existen y calcula, cuando sea posible, las as ntotas de la gr aca de f . (b) [125 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos relativos y los valores que alcanza en ellos la funci on f . (c) [05 puntos] Esboza la gr aca de f .

Ejercicio 2. [25 puntos] Halla el area del recinto limitado por la gr aca de la funci on f (x) = sen x y las rectas tangentes a dicha gr aca en los puntos de abscisas x = 0 y x = . 4 2 1 3

Ejercicio 3. Sea A =

y sea I la matriz identidad de orden dos.

(a) [125 puntos] Calcula los valores R tales que |A I | = 0. (b) [125 puntos] Calcula A2 7A + 10 I.

Ejercicio 4. Considera la recta r de ecuaciones

x+y+z = 1 x 2y + 3z = 0

(a) [125 puntos] Determina la ecuaci on del plano que contiene a la recta r y no corta al eje OZ . (b) [125 puntos] Calcula la proyecci on ortogonal del punto A(1, 2, 1) sobre la recta r.




Opci on Ax (Ln x)2 , siendo Ln la (x 1)2 funci on logaritmo neperiano. Estudia la existencia de as ntota horizontal para la gr aca de esta funci on. Ejercicio 1. [25 puntos] Sea f : (1, +) R la funci on dada por f (x) = En caso de que exista, h allala. Ejercicio 2. Sea f : [0, 4] R una funci on tal que su funci on derivada viene dada por 2 x si 0 < x < 3 3 f (x) = 2x + 8 si 3 x < 4 (a) [175 puntos] Determina la expresi on de f sabiendo que f (1) = 16 . 3

(b) [075 puntos] Halla la ecuaci on de la recta tangente a la gr aca de f en el punto de abscisa x = 1.

Ejercicio 3. Considera el sistema de ecuaciones lineales xy+z = 2 x + y + z = 8 x + y + z = 10 (a) [15 puntos] Clasica el sistema seg un los valores del par ametro . (b) [1 punto] Resuelve el sistema para = 2. z3 2

Ejercicio 4. Considera los puntos A(2, 1, 2) y B (0, 4, 1) y la recta r de ecuaci on x = y 2 = (a) [15 puntos] Determina un punto C de la recta r que equidiste de los puntos A y B . area del tri angulo de v ertices ABC . (b) [1 punto] Calcula el


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Opci on Bax + bx2 si 0 x < 2 4 + x 1 si 2 x 5

Ejercicio 1. Se sabe que la funci on f : [0, 5] R denida por f (x) = es derivable en el intervalo (0, 5). (a) [175 puntos] Calcula las constantes a y b.

(b) [075 puntos] Halla la ecuaci on de la recta tangente a la gr aca de f en el punto de abscisa x = 2. Ejercicio 2. [25 puntos] Sean las funciones f y g : [0, +) R , dadas por f (x) = x2 y g (x) = x, donde es un n umero real positivo jo. Calcula el valor de sabiendo que area del recinto limitado por 1 las gr acas de ambas funciones es . 3 Ejercicio 3. Considera las matrices 1 1 0 x 0 , X= y y O= 0 2 1 1 A= m4 1 1m z 0 (a) [1 punto] Halla el valor de m R para el que la matriz A no tiene inversa. (b) [15 puntos] Resuelve A X = O para m = 3.

Ejercicio 4. [25 puntos] Halla la ecuaci on de un plano que sea paralelo al plano de ecuaci on x + y + z = 1 y forme con los ejes de coordenadas un tri angulo de area 18 3 .




Opci on AEjercicio 1. Sea f : R R la funci on denida por f (x) = x3 + a x2 + b x + 1 aca de f pasa por el punto (2, 2) y tiene un (a) [15 puntos] Determina a, b R sabiendo que la gr punto de inexi on de abscisa x = 0. aca de f en el punto de (b) [1 punto] Calcula las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gr inexi on.

Ejercicio 2. Sea f : (0, 2) R la funci on denida por f (x) = siendo Ln la funci on logaritmo neperiano. (a) [1 punto] Estudia la derivabilidad de f en el punto x = 1.15

Ln x si 0 < x 1 Ln (2 x) si 1 < x < 2

(b) [15 puntos] Calcula1

f (x) dx.

Ejercicio 3. Considera las matrices A= 3 2 , B= 2 1 y C= 1 2 6 6

(a) [125 puntos] Halla, si existe, la matriz inversa de AB + C . (b) [125 puntos] Calcula, si existen, los n umeros reales x e y que verican: C x y =3 x y .

Ejercicio 4. [25 puntos] Sea la recta r de ecuaci on

x1 y+2 z3 = = y el plano de ecuaci on 1 3 1

x y + z + 1 = 0. Calcula el area del tri angulo de v ertices ABC , siendo A el punto de corte de la recta r y el plano , B el punto (2, 1, 2) de la recta r y C la proyecci on ortogonal del punto B sobre el plano .


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Opci on B

Ejercicio 1. [25 puntos] Se desea construir una lata de conserva en forma de cilindro circular recto que tenga una supercie total de 200 cm2 . Determina el radio de la base y la altura de la lata para que el volumen sea m aximo. Ejercicio 2. Ejercicio 2. (a) [075 puntos] Haz un esbozo del recinto limitado por las curvas y = (b) [175 puntos] Calcula el area de dicho recinto. 15 e y = x2 1. 1 + x2

Ejercicio 3. Considera el sistema de ecuaciones lineales x+ y z = 4 3x + y + z = 1 2x + y = 2 (a) [125 puntos] Clasica el sistema seg un los valores del par ametro . (b) [125 puntos] Resuelve el sistema para = 1.

Ejercicio 4. [25 puntos] Halla las ecuaciones param etricas de una recta sabiendo que corta a la recta r de ecuaci on x = y = z , es paralela al plano de ecuaci on 3x + 2y z = 4 y pasa por el punto A(1, 2, 1).



PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDADa) Duraci on: 1 hora y 30 minutos. b) Tienes que elegir entre realizar u nicamente los cuatro ejercicios de la Opci on A o realizar u nicamente los cuatro ejercicios de la Opci on B. c) La puntuaci on de cada pregunta est a indicada en las mismas. Instrucciones: d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora cient ca (no programable, sin pantalla gr aca y sin capacidad para almacenar, transmitir o recibir datos), pero todos los procesos conducentes a la obtenci on de resultados deben estar sucientemente justicados.

Opci on AEjercicio 1.- Sea f : (0, +) R la funci on denida por f (x) = 3x + 1 . x

(a) [15 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valores que se alcanzan). (b) [1 punto] Calcula el punto de inexi on de la gr aca de f .

Ejercicio 2.- Sea f : R R la funci on denida por f (x) = x |x 2|. (a) [1 punto] Estudia la derivabilidad de f en x = 2. (b) [05 puntos] Esboza la gr aca de f . (c) [1 punto] Calcula el area del recinto limitado por la gr aca de f y el eje de abscisas.

Ejercicio 3.- Sean I la matriz identidad de orden 2 y A =

1 m 1 1

.

(a) [125 puntos] Encuentra los valores de m para los cuales se cumple que (A I )2 = O, donde O es la matriz nula de orden 2. (b) [125 puntos] Para m = 2, halla la matriz X tal que AX 2AT = O, donde AT denota la matriz traspuesta de A.

Ejercicio 4.(a) [125 puntos] Halla los dos puntos que dividen al segmento de extremos A(1, 2, 1) y B (1, 0, 3) en tres partes iguales. (b) [125 puntos] Determina la ecuaci on del plano perpendicular al segmento AB que pasa por su punto medio.



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