Tecnicas Computacionales en Ingeniera CivilEnunciado Practica 3

Jose A. Gonzalez Perez

18 de Enero de 2016

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1. Plazo de entrega

Hasta el da 29 de Febrero de 2016 inclusive. La practica es estrictamenteindividual y el resultado se subira a la plataforma WebCT dentro del plazode entrega establecido.

2. Enunciado

Se pide implementar en C++ un programa de elementos finitos bidimen-sionales que, tras la lectura de un fichero de texto donde se define la malla,permita resolver con elementos triangulares o cuadrilateros (elementos finitoslineales de 3 o 4 nodos), uno de los dos casos propuestos en esta memoria.

x

y

C1 C2

C3

C4

C5

C6

18 m12 m

20 m

5 m

Figura 1: Dominio del problema con dimensiones geometricas y numeracionde los contornos.

El dominio del problema, representado en la Figura 1, es el mismo paralos dos casos propuestos, variando en ellos unicamente la fsica. El objetivosera pues realizar un modelo numerico del problema, resolviendo la ecuacionde gobierno mediante un planteamiento de elementos finitos lineales.

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El correcto funcionamiento del programa se verificara comparando losresultados obtenidos con dos mallas diferentes, una de elementos triangularesy otra de cuadrilateros.

2.1. Definicion de la malla de elementos finitos

Para discretizar el dominio debera usarse un tamano maximo del elementode 1m. La malla del problema a analizar se leera de un fichero de texto conformato fijo.

Estructura del fichero de entrada:1 NODES

2 n

3 x_1 y_1

4 . . .5 x_n y_n

6 ELEMENTS

7 e nen

8 n1_1 n1_2 . . . n1_nen9 . . .

10 ne_1 ne_2 . . . ne_nen11 DIRICHLET

12 nd

13 n_1 val_1

14 . . .15 n_nd val_n

16 NEUMANN

17 neu

18 e_1 side_1 q_1

19 . . .20 e_neu side_neu q_neu

El formato del fichero consiste en la separacion de cuatro apartadosmediante las palabras clave: NODES, ELEMENTS, DIRICHLET y NEU-MANN; siendo n el numero de nodos, e el numero de elementos, nen elnumero de nodos por elemento, nd el numero de condiciones de contornotipo Dirichlet y neu el numero de condiciones de contorno tipo Neumann.

Para cada elemento de ELEMENTS se define su conectividad usandouna numeracion de nodos ordenados de la misma manera en que se han ledopreviamente en el apartado NODES comenzando por 1. Para cada condicionde contorno tipo Dirichlet se indica numero del nodo y valor de la variablenodal. Para cada condicion de contorno tipo Neumman, se define el numerodel elemento, cara del elemento donde se aplica el flujo siguiendo el ordendefinido en la Figura 2 y el valor del flujo normal en dicha cara.

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ME 582 Finite Element Analysis in Thermofluids Dr. Cneyt Sert

3-9

Consider the BCs shown in Figure 3.6. There are 2 EBCs, 2 NBCs and 1 MBC. The following important observations can be made about the { } vector of equation (3.24)

x Similar to 1D, entry of the { } vector corresponding to an internal node (a node that is not on the problem boundary) is zero. For the sample 2D problem we are studying, 5th global node (global node numbers are given in Figure 3.4) is an internal node and .

x If an EBC is specified at a boundary node, the corresponding boundary integral entry is not necessary for the solution. As seen in Figure 3.6, EBCs are specified at global nodes 1, 2, 3, 4 and 7. Therefore we do not need to calculate 3 4 and .

x In short, we only need to calculate and .

Before calculating and lets first select a face numbering notation. As shown in Figure 3.7, the face between local nodes 1 and 2 of an element will be the 1st face and the other faces will be numbered consecutively in a counter clockwise order. According to this notation, boundary faces of the problem shown in Figure 3.6 are the 1st and 4th faces of element 1, 1st and 2nd faces of element 2, 3rd and 4th faces of element 3 and 2nd face of element 4.

Figure 3.7 Face numbering notation for 2D elements

Now we are ready to calculate and . Similar to [ ] and { } calculations, we can calculate the { } vector element by element, followed by an assembly. Since the 1st element of Figure 3.6 has no NBC or MBC faces, we do not need to perform any boundary integral calculation for it. Next comes the 2nd element, shown below.

Figure 3.8 Second element of sample 2D mesh. Faces of this element located at the problem boundary are shown as thick lines. One of these faces has NBC.

For this 2nd element the elemental boundary integral vector is

Face 1

1

2

3

4 1

2

3 Face 2

Face 3 Face 4 Face 1

Face 2

Face 3

e=2

1 2

4 3

NBC :

Figura 2: Numeracion de las caras del elemento cuadrilatero y triangular.

Propiedad Valor UnidadesDensidad 1800 kg/m3

Permeabilidad 0.001 m/s

Cuadro 1: Propiedades del material para el caso 1.

2.2. Caso 1 (puntuacion maxima 7 puntos)

Resolver en el dominio de la Figura 1 el problema de flujo estacionario enun medio poroso homogeneo, dado por la ecuacion de gobierno:

k2h = 0 en donde k es la permeabilidad del medio y h(x, y) la altura piezometrica.

Las propiedades mecanicas del medio se definen en el Cuadro 2.2 y lascondiciones de contorno a considerar son:

Contorno C1 con altura piezometrica constante h = 20m.

Contorno C3 con altura piezometrica constante h = 25m.

Resto de contornos con velocidad de flujo normal nula.

Se pide como resultado, representar en una grafica la velocidad de flujonormal obtenida a lo largo del contorno C1 (en funcion de la coordenada x).

2.3. Caso 2 (puntuacion maxima 10 puntos)

Resolver en el dominio de la Figura 1 el problema termico transitorio detransmision de calor por conduccion, dado por la ecuacion de gobierno:

cT

t k2T = 0 en

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Propiedad Valor UnidadesDensidad 2200 kg/m3

Calor especfico 837 J/kgKConductividad termica 1.5 W/mK

Cuadro 2: Propiedades del material para el caso 2.

donde es la densidad, c el calor especfico, k la conductividad termica delmedio y T (x, y) la temperatura.

Resolver en el dominio de la Figura 1 el problema termico transitorio detransmision de calor por conduccion adoptando los siguientes parametros delmaterial.

Las propiedades mecanicas del medio se definen en el Cuadro 2.3 y lascondiciones de contorno a considerar son:

Contorno C1 con temperatura constante T = 20C.

Contorno C3 con temperatura constante T = 25C.

Resto de los contornos con flujo normal nulo.

Como condiciones iniciales suponer una temperatura uniforme de T0 =10C.

Se pide como resultado, representar en una grafica (en funcion de la coor-denada x y el tiempo t) la velocidad de flujo normal obtenida para distintostiempos a lo largo del contorno C1 hasta alcanzar el estado estacionario.

3. Formato de la memoria

La memoria del trabajo ha de incluir al menos los siguientes puntos:

1. Descripcion del problema elegido.

2. Descripcion del metodo de solucion explicando claramente:

a) Metodo de aplicacion de las condiciones de contorno.

b) Proceso de calculo de los flujos.

3. Descripcion del modelo de objetos implementado incluyendo:

a) Diagrama estatico de clases.

b) Resumen de las clases anadidas con breve descripcion de sus pro-piedades y metodos.

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4. Resolucion del caso propuesto. Representacion de los flujos del contornoC1.

5. Comparacion e interpretacion de los resultados.

Finalmente, se subira a WebCT el resultado en una carpeta comprimidaen formato zip que contenga:

1. Memoria en formato pdf.

2. Proyecto con el codigo fuente del programa.

3. Ejecutable del programa y ficheros de entrada utilizados.

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Plazo de entregaEnunciadoDefinicin de la malla de elementos finitosCaso 1 (puntuacin mxima 7 puntos)Caso 2 (puntuacin mxima 10 puntos)

Formato de la memoria