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Entrega 5 Mecรกnica de Fluidos Q1. Curso 2016/2017 M.A.B. , A.I.S. i A.P.E. 20/12/2016
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ENTREGA 5. MECรNICA DE FLUIDOS
Problema 1. El esquema de la figura 1 presenta dos depรณsitos para un grupo de bombeado.
La diferencia de cotas entre el nivel del lรญquido de los dos depรณsitos es de 65 metros, la
longitud del conducto que une los dos depรณsitos es de 2500 metros, el conducto es de PVC y
tienen un diรกmetros de 0,12 metros.
Sabiendo que las caracterรญsticas de la bomba se detallan con el diagrama siguiente (la grรกfica
estรก dada en H (m) y Q (l/min), curva de 40-250-220-. Determinar:
a.- El caudal circulante. (Punto de funcionamiento de la bomba).
b.- El diรกmetro del conducto para que la velocidad del fluido en el interior del mismo
sea de 1 m/s. ยฟCuรกl es el punto de funcionamiento en este caso?
c.- Quรฉ diferencia de cotas entre niveles del depรณsito serรญa necesaria para que
manteniendo el diรกmetro de conducto inicial se tenga una velocidad del fluido en el
interior del conducto de 1 m/s.
a) El cabal circulante. (Punto de funcionamiento de la bomba).
Primero de todo aplicaremos la ecuaciรณn de Bernoulli entre los puntos 1 y 2, el punto que estรก
en la superficie del lรญquido del primer depรณsito y el punto de la superficie del lรญquido del
segundo.
๐1๐๐
+ ๐ง1 +๐12
2๐+ ๐ป =
๐2๐๐
+ ๐ง2 +๐22
2๐+ โ๐12
Ambos tรฉrminos de la presiรณn quedan descartados ya que las consideramos presiones
relativas. Y tambiรฉn anularemos las velocidades porque la teorรญa de los grandes depรณsitos nos
dice que la velocidad de un punto de la superficie del lรญquido en un depรณsito grande que se
vacรญa por un agujero pequeรฑo, es cero.
๐ป = (๐ง2 โ ๐ง1) + โ๐12
๐ป = 65 + โ๐12
Representaciรณn de los depรณsitos
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๐ป = 65 + ๐8๐ฟ๐2
๐ท5๐๐2
Como tenemos de incรณgnitas los tรฉrminos Q, H y f, resolveremos la ecuaciรณn mediante el
mรฉtodo de iteraciรณn. Cogemos un valor de f cualquiera y lo verificaremos con la grรกfica de
Moody, sino volveremos a coger otro valor de este que nosotros consideremos que se
encuentra mรกs cerca de la opciรณn correcta. Tenemos la siguiente informaciรณn:
๐ป = โ83297๐2 + 127,95๐ + 99,985
Comenzamos con un factor de fricciรณn de valor 0,02:
๐ป = 65 + 0,02 ยท8 ยท 2500 ยท ๐2
0,125 ยท 9,81 ยท ๐2
๐ป = 65 + 166029,4038 ๐2
๐ป = โ83297๐2 + 127,95๐ + 99,985
Tenemos un sistema de ecuaciones con dos incรณgnitas, Q y H:
โ83297๐2 + 127,95๐ + 99,985 = 65 + 166029,4038 ๐2
249326,4038๐2 โ 127,95๐ โ 34,985 = 0
๐ = 0,01210496297๐3
๐ ๐ โ 0,01159178026
๐3
๐
Obviamente, descartamos el valor negativo del cabal, entonces obtendremos un valor de H de
89,32831 m
Mediante la hipรณtesis que tratamos con el agua como fluido, con una viscosidad de 1,02ยท106
m2/s, buscamos el valor de Re para comprobar el valor conseguido.
๐ ๐ =4๐
๐ท๐๐ โ ๐ ๐ =
4 ยท 0,01210496297
0,12 ยท ๐ ยท 1,02 ยท 10โ6= 125919,261
Y ahora calculamos la rugosidad relativa, sabiendo que la rugosidad del PVC es de 0,0015 mm:
๐๐ =0,0015
120= 1,25 ยท 10โ5
Con el valor de Re y el de la rugosidad relativa podemos encontrar el valor del factor de
fricciรณn fโ=0,0175. Como este valor no es exactamente el que habรญamos supuesto al inicio
(0,02), volvemos a aplicar el mismo mรฉtodo pero ahora con f=0,017:
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๐ป = 65 + 0,017 ยท8 ยท 2500 ยท ๐2
0,125 ยท 9,81 ยท ๐2
๐ป = 65 + 141124,9932 ๐2
๐ป = โ83297๐2 + 127,95๐ + 99,985
Encontramos H y Q:
โ83297๐2 + 127,95๐ + 99,985 = 65 + 141124,9932 ๐2
224421,9932๐2 โ 127,95๐ โ 34,985 = 0
๐ = 0,01277388538๐3
๐ ๐ โ 0,01220375409
๐3
๐
Volviendo a descartar el valor negativo obtenemos una H=88,027668 m.
๐ ๐ =4๐
๐ท๐๐ โ ๐ ๐ =
4 ยท 0,01277388538
0,12 ยท ๐ ยท 1,02 ยท 10โ6= 132877,5817
Buscamos el valor de Reynolds y para la rugosidad relativa nos da un valor de fricciรณn de
fโ=0,0172. Para ser mรกs exactos iteramos con un valor entre 0,0172 y 0,0175.
๐ป = 65 + 0,0172 ยท8 ยท 2500 ยท ๐2
0,125 ยท 9,81 ยท ๐2
๐ป = 65 + 142785,2872 ๐2
๐ป = โ83297๐2 + 127,95๐ + 99,985
Volvemos a encontrar H y Q:
โ83297๐2 + 127,95๐ + 99,985 = 65 + 142785,2872 ๐2
226082,2872๐2 โ 127,95๐ โ 34,985 = 0
๐ = 0,01272582618๐3
๐ ๐ โ 0,0121598818
๐3
๐
Descartando cabal negativo, tenemos H=88,12360 m. Con un nรบmero Re:
๐ ๐ =4๐
๐ท๐๐ โ ๐ ๐ =
4 ยท 0,01272582618
0,12 ยท ๐ ยท 1,02 ยท 10โ6= 132377,6563
Y finalmente obtenemos un factor de fricciรณn fโ=0,0174. Volvemos a iterar por รบltima vez con
el valor de f=0,0174, que mรกs adelante veremos que se trata del valor exacto porque nos
daremos cuenta que f=fโ.
๐ป = 65 + 0,0174 ยท8 ยท 2500 ยท ๐2
0,125 ยท 9,81 ยท ๐2
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๐ป = 65 + 144445,5813 ๐2
๐ป = โ83297๐2 + 127,95๐ + 99,985
Calculamos H y Q:
โ83297๐2 + 127,95๐ + 99,985 = 65 + 144445,5813 ๐2
227742,5813๐2 โ 127,95๐ โ 34,985 = 0
๐ = 0,01267830132๐3
๐ ๐ โ 0,0121164828
๐3
๐
Descartamos el valor negativo y obtenemos una H=88,21809 m. Con un nรบmero de Reynolds
que veremos que nos da un valor de fโ=0,0174, tal y como hemos mencionado antes, sucede
que f=fโ. Ya tenemos el valor exacto del coeficiente de fricciรณn.
Entonces realizamos los cรกlculos de Q y H con este justo factor de fricciรณn, que son:
๐ = 0,01267830132๐3
๐
๐ป = 88,21808514 m
b) El diรกmetro del conducto para que la velocidad del fluido en el interior del mismo
sea de 1 m/s. ยฟCuรกl es el punto de funcionamiento en este caso?
Volvemos a aplicar Bernoulli igual que anteriormente pero en este caso conocemos la
velocidad:
๐ = ๐ฃ ยท ๐ = 1 ยท๐ ยท ๐ท2
4=๐ ยท ๐ท2
4
Sustituyendo a la ecuaciรณn de la bomba:
๐ป = โ83297(๐ ยท ๐ท2
4)
2
+ 127,95(๐ ยท ๐ท2
4) + 99,985
๐ป = โ51381,777๐ท4 + 100,491695 ๐ท2 + 99,985
Otra vez Bernoulli
๐ป = 65 + ๐8๐ฟ (
๐ ยท ๐ท2
4 )2
๐ท5๐๐2= 65 + ๐
๐ฟ
2๐ท๐
Ahora haremos lo mismo que en el apartado anterior, suponemos una semilla de f, como por
ejemplos f=0,01.
๐ป = 65 + 0,01 ยท2500
19,62 ยท ๐ท
๐ป = โ51381,77736 ๐ท4 + 100,491695 ๐ท2 + 99,985
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Para resolver este sistema de dos ecuaciones precisaremos del programa matemรกtico Wolfram
Alpha, que no da las posibles soluciones de:
๐ป1 = 73,2585 ๐ ๐ ๐ท1 = 0,154291 ๐
๐ป2 = 100,028 ๐ ๐ ๐ท2 = 0,0363769 ๐
Se puede ver que con un diรกmetro pequeรฑo no nos acercaremos a la soluciรณn, ya que nos da
un factor de fricciรณn fโ el cual no se encuentra entre el intervalo [0.1-0.2], un intervalo de
factores de fricciรณn posibles para conductos comerciales. Nos quedamos con la restante, que
nos darรก un nรบmero Re de:
๐ ๐1 =๐ ยท ๐ท1๐ฃ
=1 ยท 0,154291
1,02 ยท 10โ6= 151265,6863
๐๐1 =0,0015
154,291 = 9,7218 ยท 10โ6
Con estos valores, en el diagrama encontraremos un valor de factor de fricciรณn de fโ=0,0167.
Aรบn seguiremos intentando acercarnos mรกs a la soluciรณn y optaremos por usar una iteraciรณn
de f=0,017.
๐ป = 65 + 0,017 ยท2500
19,62 ยท ๐ท
๐ป = โ51381,77736 ๐ท4 + 100,491695 ๐ท2 + 99,985
Resolvemos el sistema con el programa:
๐ป1 = 80,0574 ๐ ๐ ๐ท1 = 0,14386 ๐
๐ป2 = 99,5888 ๐ ๐ ๐ท2 = 0,062626 ๐
Cogemos el primer caso, ya que el segundo tiene un diรกmetro demasiado pequeรฑo.
Obtenemos un nรบmero de Re de:
๐ ๐1 =๐ ยท ๐ท1๐ฃ
=1 ยท 0,14386
1,02 ยท 10โ6= 141039,2157
๐๐1 =0,0015
143,86 = 1,0427 ยท 10โ5
Y finalmente conseguimos un factor de fricciรณn fโ=0,0168. Por รบltima vez probaremos con este
mismo factor de fricciรณn f=0.0168 y veremos que serรก el exacto, con el cual f=fโ.
๐ป = 65 + 0,0168 ยท2500
19,62 ยท ๐ท
๐ป = โ51381,77736 ๐ท4 + 100,491695 ๐ท2 + 99,985
Resolvemos el sistema con el programa:
๐ป1 = 79,8424 ๐ ๐ ๐ท1 = 0,144227 ๐
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๐ป2 = 99,618 ๐ ๐ ๐ท2 = 0,061837 ๐
Cogemos la primera soluciรณn ya que la segunda tiene un diรกmetro demasiado pequeรฑo.
Obteniendo entonces un nรบmero de Re:
๐ ๐1 =๐ ยท ๐ท1๐ฃ
=1 ยท 0,144227
1,02 ยท 10โ6= 141399,0196
๐๐1 =0,0015
144,227= 1,0400 ยท 10โ5
Y ahora sรญ, con estos valores encontramos que f=fโ=0.0168, el valor exacto del factor de
fricciรณn.
Ya podemos realizar el cรกlculo del diรกmetro con nuestro factor de fricciรณn exacto.
๐ท = 0,144227 ๐
El cabal consecuente a este diรกmetro tiene un valor de:
๐ = ๐ฃ ยท ๐ = 1 ยท๐ ยท ๐ท2
4=๐ ยท ๐ท2
4=๐ ยท 0,1442272
4= 0,01634
๐3
๐
Pudiendo calcular el valor final de H, que es:
๐ป = 79,8424 ๐
c) ยฟQuรฉ diferencia de cotas entre niveles del depรณsito serรญa necesaria para que
manteniendo el diรกmetro del conducto inicial se tenga una velocidad del fluido en
el interior del conducto de 1 m/s?
En este รบltimo apartado debemos calcular la diferencia de z ya que nos dan la velocidad del
fluido y su diรกmetro. Siempre aplicando Beroulli:
๐ = ๐ฃ ยท ๐ = 1 ยท๐ ยท ๐ท2
4=๐ ยท ๐ท2
4=๐ ยท 0,122
4= 0,01131
๐3
๐
๐ป = โ๐ง + ๐8 ยท ๐ฟ ยท ๐2
๐ท5 ยท ๐ ยท ๐2 โ ๐ป = ๐ง + ๐
8 ยท 2500 ยท 0,011312
0,125 ยท 9,81 ยท ๐2
๐ป = ๐ง + ๐1061,891691
Por otro lado podemos calcular la H con la ecuaciรณn de la bomba, sustuyendo el valor del cabal
que hemos calculado al inicio del apartado
๐ป = โ83297๐2 + 127,95๐ + 99,985
๐ป = โ83297(0,01131)2 + 127,95(0,01131) + 99,985
๐ป = 99,7771 ๐
Entonces ya podemos encontrar el valor del nรบmero de Reynolds y su rugosidad relativa
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๐ ๐ =๐ ยท ๐ท
๐ฃ=
1 ยท 0,12
1,02 ยท 10โ6= 117647,0588
๐๐ =0,0015
120= 1,25 ยท 10โ5
En este caso nos resultarรก un valor de f=0.018, valor del diagrama de Moody para conductos
comerciales. Y podremos encontrar la diferencia de las cotas z, de los dos depรณsitos.
Sustituyendo el valor de f en la ecuaciรณn de la H
โ๐ง = ๐ป โ ๐1061,891691
โ๐ง = 99,7771 โ 0,018 ยท 1061,891691
โ๐ง = 80,66 ๐
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Problema 2. Sea el conjunto depรณsitos y conductos que se expone en los dos esquemas
siguientes. Si se conoce: Que la curva caracterรญstica de la bomba estรก dada por la ecuaciรณn
๐๐๐๐๐๐ = ๐๐ โ ๐๐ธ๐, donde ๐๐ y ๐, son constantes conocidas, conociendo ademรกs las
longitudes, diรกmetros y rugosidades absolutas de todos los tramos, se pide determinar el
caudal que circula por las dos instalaciones y por cada uno de los tramos. Realizar el cรกlculo
mediante la determinaciรณn de las constantes equivalentes de los conductos. Supรณngase que
los tramos situados a la entrada y salida de la bomba son muy cortos y se puede despreciar
su efecto.
La ecuaciรณn que deberรก utilizarse para determinar las pรฉrdidas de carga en cada tramo es la
de Darcy Weisbach.
โ๐๐ = ๐๐๐ณ๐
๐ซ๐๐
๐๐ธ๐๐
๐ ๐
Tomar como primera aproximaciรณn, el factor de fricciรณn โfโ funciรณn de la rugosidad relativa
(ษ
๐ซ).
Resoluciรณn del primer caso:
Para empezar, debemos aplicar la ecuaciรณn de la energรญa entre las superficies libres de los dos
depรณsitos:
๐1๐+๐ฃ12
2+ ๐๐ง1 + ๐๐ต =
๐2๐+๐ฃ22
2+ ๐๐ง2 + โ๐12
Como trabajamos con presiones relativas i consideramos que la superficie de los dos depรณsitos
es muy grande, obtenemos las expresiones siguientes:
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๐
๐๐= ๐๐ต = ๐(๐ง2 โ ๐ง1) + โ๐12
โ๐12 = โ๐๐๐๐๐๐ยท๐๐๐ + โ๐4 โ โ๐๐๐๐๐๐ยท๐๐๐ = โ๐1 + โ๐2 + โ๐3
โ๐1 = ๐พ1๐12
โ๐2 = ๐พ2๐22
โ๐3 = ๐พ3๐32
Si estas tres รบltimas las comparamos con la ecuaciรณn de Darcy Weisbach, vemos que la ๐พ
representa todos los tรฉrminos a excepciรณn del cabal.
รsta constante depende del factor de fricciรณn, que es funciรณn de la rugosidad relativa y del
nรบmero de Reynolds. Estas constantes se suponen conocidas, ya que supondremos como
primera aproximaciรณn que el rรฉgimen en todo momento sea turbulento desarrollado.
De la ecuaciรณn de continuidad, tenemos lo siguiente:
๐4 = ๐1 + ๐2 + ๐3 = โโ๐๐๐๐๐๐ยท๐๐๐
๐พ1+โ
โ๐๐๐๐๐๐ยท๐๐๐๐พ2
+โโ๐๐๐๐๐๐ยท๐๐๐
๐พ3
Si definimos la constante equivalente de las pรฉrdidas del conjunto de las tres brancas en
paralelo como ๐พ๐๐, tenemos la expresiรณn siguiente:
โ๐๐๐๐๐๐ยท๐๐๐ = ๐พ๐๐๐42 = ๐พ๐๐ (โ
โ๐๐๐๐๐๐ยท๐๐๐
๐พ1+โ
โ๐๐๐๐๐๐ยท๐๐๐
๐พ2+โ
โ๐๐๐๐๐๐ยท๐๐๐
๐พ3)
2
โ๐๐๐๐๐๐ยท๐๐๐ = ๐พ๐๐โ๐๐๐๐๐๐ยท๐๐๐ (1
โ๐พ1+
1
โ๐พ2+
1
โ๐พ3)
2
โ ๐พ๐๐ =1
(1
โ๐พ1+
1
โ๐พ2+
1
โ๐พ3)
2
Nos falta definir la constante para la tobera 4:
โ๐4 = ๐พ4๐42
Asรญ pues, la ecuaciรณn de la energรญa planteada inicialmente quedarรก expresada de la siguiente
manera:
[๐2
๐ 2]
๐
๐๐4= ๐(๐ง2 โ ๐ง1) + ๐พ๐๐๐4
2 + ๐พ4๐42
Donde, multiplicando por ๐4, podemos encontrar la expresiรณn siguiente:
๐4 =
๐๐
(๐(๐ง2 โ ๐ง1) + ๐พ๐๐๐42 + ๐พ4๐4
2)
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Finalmente, las pรฉrdidas de carga en el tramo 4 y en las tres brancas en paralelo serรกn:
โ๐4 = ๐พ4๐42
โ๐๐๐๐๐๐ยท๐๐๐ = ๐พ๐๐๐42
Por lo tanto, el cabal en cada uno de los tramos se obtendrรก a partir de la siguiente expresiรณn:
โ๐๐๐๐๐๐ยท๐๐๐ = ๐พ๐๐๐42 = ๐พ1๐1
2 = ๐พ2๐22 = ๐พ3๐3
2
Donde tenemos:
๐1 = โ๐พ๐๐๐4
2
๐พ1 ; ๐2 = โ
๐พ๐๐๐42
๐พ2 ; ๐3 = โ
๐พ๐๐๐42
๐พ3
Resoluciรณn del segundo caso:
Al igual que con el primer apartado, aplicando la ecuaciรณn de la energรญa entre las superficies
libres de los dos depรณsitos, obtenemos que:
๐
๐๐๐ก๐๐ก๐๐= ๐๐ต = ๐(๐ง๐ต โ ๐ง๐ด) + โ๐๐ด๐ต
La diferencia es que, en este caso, las pรฉrdidas de energรญa se definirรกn como:
โ๐๐ด๐ต = โ๐๐๐๐๐๐ยท๐๐๐ 1โ3 + โ๐๐ท
Donde tenemos que:
โ๐๐๐๐๐๐ยท๐๐๐ 1โ3 = โ๐๐๐๐๐๐ยท๐๐๐ 1โ2 + โ๐2โ3 = ๐พ๐๐(1โ3)๐๐ก๐๐ก๐๐2
๐๐ก๐๐ก๐๐ = ๐(1โ3)๐ด + ๐23 = ๐(1โ3)๐ด +๐(1โ2)๐ต +๐(1โ2)๐ถ
Por otro lado tenemos las siguientes expresiones:
โ๐12 = โ๐(1โ2)๐ต = โ๐(1โ2)๐ถ
โ๐(1โ2)๐ต = ๐พ(1โ2)๐ต๐(1โ2)๐ต2
โ๐(1โ2)๐ถ = ๐พ(1โ2)๐ถ๐(1โ2)๐ถ2
Si lo sustituimos en la ecuaciรณn entre los puntos 1 y 2, obtenemos que:
๐23 = โโ๐(1โ2)๐ต๐พ(1โ2)๐ต
+โโ๐(1โ2)๐ถ๐พ(1โ2)๐ถ
โ๐12 = ๐พ(1โ2)๐๐๐ข๐๐ฃ๐๐๐๐๐ก๐2โ32 = ๐พ(1โ2)๐ต๐(1โ2)๐ต
2 = ๐พ(1โ2)๐ถ๐(1โ2)๐ถ2
โ๐12 = ๐พ(1โ2)๐๐๐ข๐๐ฃ๐๐๐๐๐ก๐2โ32 = ๐พ(1โ2)๐๐๐ข๐๐ฃ๐๐๐๐๐กโ๐(1โ2) (
1
โ๐พ(1โ2)๐ต+
1
โ๐พ(1โ2)๐ถ)
2
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๐พ(1โ2)๐๐๐ข๐๐ฃ๐๐๐๐๐ก =1
(1
โ๐พ(1โ2)๐ต+
1
โ๐พ(1โ2)๐ถ)
2
Por otro lado:
โ๐(1โ3)๐๐๐๐๐ยท๐๐๐ = ๐พ(1โ3)๐๐๐ข๐๐ฃ๐๐๐๐๐ก๐๐ก๐๐ก๐๐2 = โ๐(1โ3)๐ด = โ๐(1โ2)๐๐๐๐๐ยท๐๐๐ + โ๐(2โ3)
๐พ(1โ3)๐๐๐ข๐๐ฃ๐๐๐๐๐ก๐๐ก๐๐ก๐๐2 = ๐พ(1โ3)๐ด๐(1โ3)๐ด
2 = ๐พ(1โ2)๐๐๐ข๐๐ฃ๐๐๐๐๐ก๐2โ32 + ๐พ2โ3๐2โ3
2
Asรญ pues:
๐พ(1โ3)๐๐๐ข๐๐ฃ๐๐๐๐๐ก๐๐ก๐๐ก๐๐2 = ๐พ(1โ3)๐ด๐(1โ3)๐ด
2 = ๐2โ32 (๐พ(1โ2)๐๐๐ข๐๐ฃ๐๐๐๐๐ก + ๐พ2โ3)
= โ๐(1โ3)๐ก๐๐๐ ๐ ๐ข๐๐๐๐๐๐ = โ๐(1โ3)๐ก๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐
๐พ(1โ2)๐๐๐ข๐๐ฃ๐๐๐๐๐ก +๐พ2โ3 =1
(1
โ๐พ(1โ2)๐ต+
1
โ๐พ(1โ2)๐ถ)
2 + ๐พ2โ3 = ๐พ(1โ3)๐ก๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐
Si recordamos que:
๐พ(1โ3)๐๐๐ข๐๐ฃ๐๐๐๐๐ก๐๐ก๐๐ก๐๐2 = ๐พ(1โ3)๐ก๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐2โ3
2 = ๐พ(1โ3)๐ด๐(1โ3)๐ด2
๐๐ก๐๐ก๐๐ = ๐2โ3 + ๐(1โ3)๐ด = โโ๐(1โ3)๐ก๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐
๐พ(1โ2)๐๐๐ข๐๐ฃ๐๐๐๐๐ก + ๐พ2โ3+โ
โ๐(1โ3)๐ด๐พ(1โ3)๐ด
๐พ(1โ3)๐๐๐ข๐๐ฃ๐๐๐๐๐ก๐๐ก๐๐ก๐๐2 = โ๐(1โ3)๐๐๐ข๐๐ฃ๐๐๐๐๐ก
= ๐พ(1โ3)๐๐๐ข๐๐ฃ๐๐๐๐๐ก [โโ๐(1โ3)๐ก๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐
๐พ(1โ2)๐๐๐ข๐๐ฃ๐๐๐๐๐ก + ๐พ2โ3+โ
โ๐(1โ3)๐ด๐พ(1โ3)๐ด
]
2
Donde tenemos que:
โ๐(1โ3)๐๐๐ข๐๐ฃ๐๐๐๐๐ก
= ๐พ(1โ3)๐๐๐ข๐๐ฃ๐๐๐๐๐กโ๐(1โ3)๐๐๐ข๐๐ฃ๐๐๐๐๐ก [1
โ๐พ(1โ2)๐๐๐ข๐๐ฃ๐๐๐๐๐ก + ๐พ2โ3+
1
โ๐พ(1โ3)๐ด]
2
๐พ(1โ3)๐๐๐ข๐๐ฃ๐๐๐๐๐ก =1
[1
โ๐พ(1โ2)๐๐๐ข๐๐ฃ๐๐๐๐๐ก + ๐พ2โ3+
1
โ๐พ(1โ3)๐ด]
2
โ๐๐ด๐ต = ๐พ(1โ3)๐๐๐ข๐๐ฃ๐๐๐๐๐ก๐๐ก๐๐ก๐๐2 + ๐พ๐ท๐๐ก๐๐ก๐๐
2
Por lo tanto, la ecuaciรณn de la energรญa que habรญamos planteado inicialmente nos queda
expresada de la siguiente manera:
๐
๐๐๐ก๐๐ก๐๐= ๐(๐ง๐ต โ ๐ง๐ด) + ๐๐ก๐๐ก๐๐
2 [๐พ(1โ3)๐๐๐ข๐๐ฃ๐๐๐๐๐ก + ๐พ๐ท]
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Si multiplicamos la ecuaciรณn por ๐๐ก๐๐ก๐๐, podremos aislar su valor:
๐๐ก๐๐ก๐๐ =
๐๐
๐(๐ง๐ต โ ๐ง๐ด) + ๐๐ก๐๐ก๐๐2 [๐พ(1โ3)๐๐๐ข๐๐ฃ๐๐๐๐๐ก +๐พ๐ท]
Seguidamente, tenemos que la pรฉrdida de la carga en cada uno de los tramos 1-3 serรก de:
๐๐ก๐๐ก๐๐2 = โ๐1โ3 [
1
โ๐พ(1โ2)๐๐๐ข๐๐ฃ๐๐๐๐๐ก + ๐พ2โ3+
1
โ๐พ(1โ3)๐ด]
2
Y por lo tanto:
โ๐1โ3 =๐๐ก๐๐ก๐๐2
[1
โ๐พ(1โ2)๐๐๐ข๐๐ฃ๐๐๐๐๐ก + ๐พ2โ3+
1
โ๐พ(1โ3)๐ด]
2
Asรญ pues, los cabales en cada uno de los tramos 1-3 serรกn:
โ๐1โ3 = ๐พ(1โ3)๐ด๐(1โ3)๐ด2 โ ๐(1โ3)๐ด = โ
โ๐1โ3๐พ(1โ3)๐ด
โ๐1โ3 = (๐พ(1โ2)๐๐๐ข๐๐ฃ๐๐๐๐๐ก + ๐พ2โ3)๐2โ32 โ ๐2โ3 = โ
โ๐1โ3
(๐พ(1โ2)๐๐๐ข๐๐ฃ๐๐๐๐๐ก + ๐พ2โ3)
Finalmente, nos damos cuenta de que tenemos que tener en cuenta las expresiones siguientes
para encontrar el cabal entre los puntos 1-2 de la tobera B y el cabal que circula entre estos
dos puntos en la tobera C:
๐2โ3 = ๐(1โ2)๐ต + ๐(1โ2)๐ถ
โ๐1โ3 = โ๐2โ3 + โ๐(1โ2)๐๐๐ข๐๐ฃ๐๐๐๐๐ก
Por lo tanto, llegamos a la conclusiรณn de que las expresiones finales que nos permiten
encontrar todas las incรณgnitas que tenรญamos inicialmente son:
โ๐2โ3 = ๐พ2โ3๐2โ3
โ๐(1โ2)๐๐๐ข๐๐ฃ๐๐๐๐๐ก = โ๐1โ3 โ โ๐2โ3
โ๐(1โ2)๐๐๐ข๐๐ฃ๐๐๐๐๐ก = โ๐(1โ2)๐ต = โ๐(1โ2)๐ถ
โ๐(1โ2)๐ต = ๐พ(1โ2)๐ต๐(1โ2)๐ต2 โ ๐(1โ2)๐ต = โ
โ๐(1โ2)๐ต๐พ(1โ2)๐ต
โ๐(1โ2)๐ถ = ๐พ(1โ2)๐ถ๐(1โ2)๐ถ2 โ ๐(1โ2)๐ถ = โ
โ๐(1โ2)๐ถ
๐พ(1โ2)๐ถ
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Problema 3. El esquema definido en la figura muestra una instalaciรณn de bombeo de agua.
Las cotas de los puntos 1, 2, 3, 4, 5 y 6 son respectivamente: ๐๐ = ๐๐, ๐๐ = ๐๐๐, ๐๐ =
๐๐๐, ๐๐ = ๐๐๐, ๐๐ = ๐๐๐ i ๐๐ = ๐๐๐.
Se conoce que las pรฉrdidas de carga en cada uno de los tramos estรกn dadas por:
โ๐๐โ๐ = ๐๐๐๐ ยท ๐ธ๐โ๐๐
โ๐๐โ๐ = ๐๐๐๐ ยท ๐ธ๐โ๐๐
โ๐๐โ๐ = ๐๐๐๐๐ ยท ๐ธ๐โ๐๐
โ๐๐โ๐ = ๐๐๐๐ ยท ๐ธ๐โ๐๐
โ๐๐โ๐ = ๐๐๐๐ ยท ๐ธ๐โ๐๐
Recuรฉrdese que la pรฉrdida de carga genรฉrica estรก definida por:
โ๐๐ = ๐๐ข๐ณ๐
๐ซ๐๐
๐๐ธ๐๐
๐ ๐ ยท ๐
Se conoce ademรกs que la curva caracterรญstica de cada una de las bombas esta definida por:
๐ฏ๐ฉ๐ = ๐๐๐ โ ๐๐๐๐ ยท ๐ธ๐โ๐๐
๐ฏ๐ฉ๐ = ๐๐ โ ๐๐๐๐ ยท ๐ธ๐โ๐๐
Determinar:
1. El caudal circulante en cada tramo, asรญ como las presiones en cada uno de los nudos. En el
esquema siguiente se indica el sentido de circulaciรณn del fluido.
2. Si se conoce que la longitud de cada uno de los 5 tramos de conducto es de 500 m. y se
estima que f=0,02. Hallar el diรกmetro de cada uno de los conductos.
3. Comentar como se podrรญa mejorar la instalaciรณn partiendo de los datos obtenidos en el
caso. Determinar los nuevos caudales con la mejora establecida. (Realizar las hipรณtesis que
se crean oportunas).
Esquemas de los conjuntos de depรณsitos y conductos a estudiar
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Apartado 1:
Para encontrar las ecuaciones que caracterizan el sistema, aplicaremos la ecuaciรณn de
Bernoulli por un fluido incompresible, entre los extremos de los diferentes tramos que
conforman el sistema. Asรญ pues, aplicando Bernoulli entre los puntos 1 y 2, tenemos que:
๐1๐ ยท ๐
+๐12
2 ยท ๐+ ๐ง1 +๐ป๐1โ2 =
๐2๐ ยท ๐
+๐1โ22
2 ยท ๐+ ๐ง2 + โโ1โ2
Trabajamos con presiones relativas, y por lo tanto sabemos que:
๐1 = ๐3 = ๐5 = ๐6 = 0
Como no se conocen las dimensiones del depรณsito 1, se establece que la velocidad en este
depรณsito es menospreciable (๐1 โ 0). De manera que:
๐ป๐1โ2 =๐2๐ ยท ๐
+๐1โ22
2 ยท ๐+ ๐ง2 + โโ1โ2
Sustituyendo las dadas del enunciado:
๐ป๐1โ2 =๐2๐ ยท ๐
+๐1โ22
2 ยท ๐+ ๐ง2 + โโ1โ2
100 โ 3000 ยท ๐1โ22 =
๐2๐ ยท ๐
+๐1โ22
2 ยท ๐+ 20 + 5000 ยท ๐1โ2
2 [1]
Ahora, aplicando Bernoulli entre los puntos 2 y 3:
๐2๐ ยท ๐
+๐2โ32
2 ยท ๐+ ๐ง2 =
๐3๐ ยท ๐
+๐32
2 ยท ๐+ ๐ง3 + โโ2โ3
Como consideramos que la secciรณn del depรณsito 3 es muy grande comparada con la secciรณn de
los conductos, entonces se puede considerar que la velocidad en este depรณsito es de nuevo
menospreciable (๐3 โ 0). De forma que:
๐2๐ ยท ๐
+๐2โ32
2 ยท ๐+ 20 = 50 + 8000 ยท ๐2โ3
2 [2]
Con la ecuaciรณn de Bernoulli nuevamente entre los puntos 2 y 4:
๐2๐ ยท ๐
+๐2โ42
2 ยท ๐+ ๐ง2 =
๐4๐ ยท ๐
+๐42
2 ยท ๐+ ๐ง4 + โโ2โ4
Tal y como se observa en la figura del enunciado, los puntos 2 y 4 se encuentran a la misma
altitud (Z), y por lo tanto podemos afirmar que ๐2 = ๐4. Y entonces:
๐2๐ ยท ๐
=๐4๐ ยท ๐
+ 3000 ยท ๐2โ42 [3]
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Aplicando otra vez Bernoulli pero entre los puntos 4 y 5:
๐4๐ ยท ๐
+๐4โ52
2 ยท ๐+ ๐ง4 =
๐5๐ ยท ๐
+๐52
2 ยท ๐+ ๐ง5 + โโ4โ5
Siguiendo el mismo razonamiento que en el depรณsito 3, afirmamos que el depรณsito 5 tiene la
secciรณn muy grande comparada con la secciรณn de los conductos, y por eso consideramos que la
velocidad en el depรณsito es menospreciable (๐5 โ 0). De forma que:
๐4๐ ยท ๐
+๐4โ52
2 ยท ๐+ 20 = 40 + 10000 ยท ๐4โ5
2 [4]
Aplicando Bernoulli entre los puntos 4 y 6
๐4๐ ยท ๐
+๐4โ62
2 ยท ๐+ ๐ง4 +๐ป๐4โ6 =
๐6๐ ยท ๐
+๐62
2 ยท ๐+ ๐ง6 + โโ4โ6
Siguiendo el mismo razonamiento que en el depรณsito 3 y 5, podemos igualmente afirmar que
el depรณsito 6 tiene la secciรณn muy grande comparada con la secciรณn de los conductos, y por lo
tanto se puede considerar que la velocidad del depรณsito es menospreciable (๐6 โ 0). Y de
manera que como en los casos anteriores tenemos:
๐4๐ ยท ๐
+๐4โ62
2 ยท ๐+ 20 + 40 โ 6000 ยท ๐4โ6
2 = 80 + 6000 ยท ๐4โ62 [5]
Como de entrada no se conocen los diรกmetros de los conductos, los tรฉrminos
๐1โ22
2ยท๐,๐2โ32
2ยท๐,๐2โ42
2ยท๐,๐4โ52
2ยท๐,๐4โ62
2ยท๐ son muy pequeรฑos en comparaciรณn con los otros tรฉrminos, y se
pueden despreciar. Teniendo en cuenta que las incรณgnitas de las ecuaciones anteriores son los
cabales de cada tramo i las presiones en las intersecciones 2 y 4, debemos aplicar la ecuaciรณn
de continuidad en estos puntos y asรญ obtener un sistema del mismo nรบmero tanto en
ecuaciones como en incรณgnitas.
Aplicamos esta ecuaciรณn de continuidad en la intersecciรณn 2, y obtenemos la siguiente
expresiรณn:
๐1โ2 = ๐2โ3 + ๐2โ4 [6]
En la intersecciรณn 4, tenemos:
๐2โ4 = ๐4โ5 + ๐4โ6 [7]
Y resolviendo el sistema de ecuaciones correspondiente a todas las ecuaciones encontradas a
lo largo del desarrollo, [1] a [7], determinadas en el siguiente parรฉntesis:
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{
100 โ 3000 ยท ๐1โ2
2 =๐2๐ ยท ๐
+๐1โ22
2 ยท ๐+ 20 + 5000 ยท ๐1โ2
2
๐2๐ ยท ๐
+๐2โ32
2 ยท ๐+ 20 = 50 + 8000 ยท ๐2โ3
2
๐2๐ ยท ๐
=๐4๐ ยท ๐
+ 3000 ยท ๐2โ42
๐4๐ ยท ๐
+๐4โ52
2 ยท ๐+ 20 = 40 + 10000 ยท ๐4โ5
2
๐4๐ ยท ๐
+๐4โ62
2 ยท ๐+ 20 + 40 โ 6000 ยท ๐4โ6
2 = 80 + 6000 ยท ๐4โ62
๐1โ2 = ๐2โ3 + ๐2โ4๐2โ4 = ๐4โ5 + ๐4โ6 }
Obtenemos los siguientes valores de Q i P:
{
๐12 = 0.07519 ๐
3/๐
๐23 = 0.02443 ๐3/๐
๐24 = 0.05076 ๐3/๐
๐45 = 0.02654 ๐3/๐
๐46 = 0.02452 ๐3/๐
๐2 = 3.4112 ยท 105 ๐๐
๐4 = 2.6529 ยท 105 ๐๐}
Apartado 2:
Como en el primer apartado del problema hemos determinado los cabales que circulan en
cada tramo, ya podemos calcular directamente el diรกmetro de cada conducto, acordรกndonos
de que las pรฉrdidas de energรญa debidas a la fricciรณn entre el conducto y el fluido vienen
determinadas por la ecuaciรณn de Darcy-Weisbach:
โโ๐โ๐ = ๐พ๐โ๐ ยท ๐๐โ๐2 = fi ยท
๐ฟ๐โ๐
๐ท๐โ๐5 ยท
8๐๐โ๐2
๐2 ยท ๐
๐ท๐โ๐ = โfi ยท๐ฟ๐โ๐
๐พ๐โ๐ยท
8
๐2 ยท ๐
5
En el enunciado del problema se especifican los valores de ๐พ๐โ๐; la longitud de todos los
tramos que es ๐ฟ = 500 ๐; y f = 0.02 en todos los tramos.
- Tramo 1-2:
๐ท๐โ๐ = โ0.02 ยท500
5000ยท
8
๐2 ยท 9.81
5
= 0.17524 ๐
- Tramo 2-3:
-
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๐ท๐โ๐ = โ0.02 ยท500
8000ยท
8
๐2 ยท 9.81
5
= 0.15752 ๐
- Tramo 2-4:
๐ท๐โ๐ = โ0.02 ยท500
3000ยท
8
๐2 ยท 9.81
5
= 0.19409 ๐
- Tramo 4-5:
๐ท๐โ๐ = โ0.02 ยท500
10000ยท
8
๐2 ยท 9.81
5
= 0.15255 ๐
- Tramo 4-6:
๐ท๐โ๐ = โ0.02 ยท500
6000ยท
8
๐2 ยท 9.81
5
= 0.16896 ๐
Tambiรฉn queremos remarcar que los diรกmetros obtenidos no son posibles en realidad, ya que
no existen conductos con estas dimensiones.
Apartado 3:
Para poder mejorar el sistema de distribuciรณn del agua, calculamos inicialmente cuรกl es la
velocidad del fluido en cada tramo. De los apartados anteriores, conocemos el cabal y el
diรกmetro correspondiente en cada tramo, y por esta razรณn podemos calcular la velocidad
siguiendo lo siguiente:
๐๐โ๐ = ๐๐โ๐ ยท ๐ = ๐๐โ๐ ยท ๐ ยท (๐ท๐โ๐2
4) ; ๐๐โ๐ =
4 ยท ๐๐โ๐
๐ ยท ๐ท๐โ๐2
- Tramo 1-2:
๐๐โ๐ =4 ยท 0.075189
๐ ยท 0.175242= 3.11743 ๐/๐
- Tramo 2-3:
๐๐โ๐ =4 ยท 0.024426
๐ ยท 0.157522 = 1.25340 ๐/๐
- Tramo 2-4:
๐๐โ๐ =4 ยท 0.050763
๐ ยท 0.194092= 1.71574 ๐/๐
- Tramo 4-5:
-
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๐๐โ๐ =4 ยท 0.026538
๐ ยท 0.15255 2= 1.45193 ๐/๐
- Tramo 4-6:
๐๐โ๐ =4 ยท 0.0245225
๐ ยท 0.168962= 1.08047 ๐/๐
Observamos entonces que hay dos posibles mejoras:
1. Velocidad del fluido cercana a 1m/s en todos los tramos. 2. Diรกmetros de los conductos que existen en realidad.
Para conseguirlas, debemos determinar cuรกl es el diรกmetro necesario en los conductos para
que la velocidad del fluido sea 1m/s.
- Aplicando Bernoulli entre los puntos 1 y 2:
100 โ 3000 ยท ๐1โ22 =
๐2๐ ยท ๐
+๐1โ22
2 ยท ๐+ 20 + 5000 ยท ๐1โ2
2
100 โ 3000 ยท (๐12 ยท ๐ ยท๐ท122
4)
2
=๐2๐ ยท ๐
+1
2 ยท ๐+ 20 + 5000 ยท (๐12 ยท ๐ ยท
๐ท122
4)
2
100 โ 3000 ยท (๐ ยท๐ท122
4)
2
=๐2๐ ยท ๐
+1
2 ยท ๐+ 20 + 5000 ยท (๐ ยท
๐ท122
4)
2
- Aplicando Bernoulli entre los puntos 2 y 3:
๐2๐ ยท ๐
+๐2โ32
2 ยท ๐+ 20 = 50 + 8000 ยท ๐2โ3
2
๐2๐ ยท ๐
+1
2 ยท ๐+ 20 = 50 + 8000 ยท (๐23 ยท ๐ ยท
๐ท232
4)
2
๐2๐ ยท ๐
+1
2 ยท ๐+ 20 = 50 + 8000 ยท (๐ ยท
๐ท232
4)
2
- Aplicando Bernoulli entre los puntos 2 y 4:
๐2๐ ยท ๐
=๐4๐ ยท ๐
+ 3000 ยท ๐2โ42
๐2๐ ยท ๐
=๐4๐ ยท ๐
+ 3000 ยท (๐24 ยท ๐ ยท๐ท242
4)
2
๐2๐ ยท ๐
=๐4๐ ยท ๐
+ 3000 ยท (๐ ยท๐ท242
4)
2
-
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- Aplicando Bernoulli entre los puntos 4 y 5:
๐4๐ ยท ๐
+๐4โ52
2 ยท ๐+ 20 = 40 + 10000 ยท ๐4โ5
2
๐4๐ ยท ๐
+1
2 ยท ๐+ 20 = 40 + 10000 ยท (๐45 ยท ๐ ยท
๐ท452
4)
2
๐4๐ ยท ๐
+1
2 ยท ๐+ 20 = 40 + 10000 ยท (๐ ยท
๐ท452
4)
2
- Aplicando Bernoulli entre los puntos 4 y 6:
๐4๐ ยท ๐
+๐4โ62
2 ยท ๐+ 20 + 40 โ 6000 ยท ๐4โ6
2 = 80 + 6000 ยท ๐4โ62
๐4๐ ยท ๐
+1
2 ยท ๐+ 20 + 40 โ 6000 ยท (๐46 ยท ๐ ยท
๐ท462
4)
2
= 80 + 6000 ยท (๐46 ยท ๐ ยท๐ท462
4)
2
๐4๐ ยท ๐
+1
2 ยท ๐+ 20 + 40 โ 6000 ยท (๐ ยท
๐ท462
4)
2
= 80 + 6000 ยท (๐ ยท๐ท462
4)
2
Y ahora aplicando las ecuaciones de continuidad a las intersecciones 2 y 4:
- Intersecciรณn 2:
๐1โ2 = ๐2โ3 + ๐2โ4
๐12 ยท ๐ ยท๐ท122
4= ๐23 ยท ๐ ยท
๐ท232
4+ ๐24 ยท ๐ ยท
๐ท242
4
๐ท122 = ๐ท23
2 +๐ท242
- Intersecciรณn 4:
๐2โ4 = ๐4โ5 + ๐4โ6
๐24 ยท ๐ ยท๐ท242
4= ๐45 ยท ๐ ยท
๐ท452
4+ ๐46 ยท ๐ ยท
๐ท462
4
๐ท242 = ๐ท45
2 + ๐ท462
Y resolviendo el sistema definido en el siguiente parรฉntesis:
-
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20
{
100 โ 3000 ยท (๐ ยท
๐ท122
4)
2
=๐2๐ ยท ๐
+1
2 ยท ๐+ 20 + 5000 ยท (๐ ยท
๐ท122
4)
2
๐2๐ ยท ๐
+1
2 ยท ๐+ 20 = 50 + 8000 ยท (๐ ยท
๐ท232
4)
2
๐2๐ ยท ๐
=๐4๐ ยท ๐
+ 3000 ยท (๐ ยท๐ท242
4)
2
๐4๐ ยท ๐
+1
2 ยท ๐+ 20 = 40 + 10000 ยท (๐ ยท
๐ท452
4)
2
๐4๐ ยท ๐
+1
2 ยท ๐+ 20 + 40 โ 6000 ยท (๐ ยท
๐ท462
4)
2
= 80 + 6000 ยท (๐ ยท๐ท462
4)
2
๐ท122 = ๐ท23
2 +๐ท242
๐ท242 = ๐ท45
2 + ๐ท462 }
Obtenemos que:
{
๐ท12 = 0.40176 ๐๐ท23 = 0.25769 ๐๐ท24 = 0.30840 ๐๐ท45 = 0.22272 ๐๐ท46 = 0.21280 ๐
๐2 = 5.0804 ยท 105 ๐๐
๐4 = 3.4460 ยท 105 ๐๐}
Obviamente estos conductos no existen en la realidad, y aproximando los diรกmetros hemos
obtenido los siguientes valores:
๐ท12(๐๐๐๐) = 0.40 ๐
๐ท23(๐๐๐๐) = 0.25 ๐
๐ท24(๐๐๐๐) = 0.30 ๐
๐ท45(๐๐๐๐) = 0.25 ๐
๐ท46(๐๐๐๐) = 0.20 ๐
Una vez definidos los valores de los diรกmetros reales, calculamos el valor de los cabales de
cada tramo, utilizando las expresiones siguientes:
-
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21
{
100 โ 3000 ยท ๐1โ2
2 =๐2๐ ยท ๐
+8 ยท ๐1โ2
2
๐2 ยท ๐ ยท 0.44+ 20 + 0.02 ยท
500
0.45ยท8 ยท ๐1โ2
2
๐2 ยท ๐
๐2๐ ยท ๐
+๐2โ32
๐2 ยท ๐ ยท 0.254+ 20 = 50 + 0.02 ยท
500
0.255ยท8 ยท ๐2โ3
2
๐2 ยท ๐
๐2๐ ยท ๐
=๐4๐ ยท ๐
+ 0.02 ยท500
0.305ยท8 ยท ๐2โ4
2
๐2 ยท ๐
๐4๐ ยท ๐
+๐4โ52
๐2 ยท ๐ ยท 0.254+ 20 = 40 + 0.02 ยท
500
0.255ยท8 ยท ๐4โ5
2
๐2 ยท ๐
๐4๐ ยท ๐
+๐4โ62
๐2 ยท ๐ ยท 0.204+ 20 + 40 โ 6000 ยท ๐4โ6
2 = 80 + 0.02 ยท500
0.205ยท8 ยท ๐4โ6
2
๐2 ยท ๐๐1โ2 = ๐2โ3 + ๐2โ4๐2โ4 = ๐4โ5 + ๐4โ6 }
Obtenemos:
{
๐12 = 0.12708 ๐
3/๐
๐23 = 0.01555 ๐3/๐
๐24 = 0.11152 ๐3/๐
๐45 = 0.08507 ๐3/๐
๐46 = 0.02645 ๐3/๐
๐2 = 2.9626 ยท 105 ๐๐
๐4 = 2.5477 ยท 105 ๐๐}
; ๐๐โ๐ =4 ยท ๐๐โ๐
๐ ยท ๐ท๐โ๐2
Y asรญ, en cada uno de los tramos tenemos que:
- Tramo 1-2:
๐๐โ๐ =4 ยท 0.127076
๐ ยท 0.42= 1.0112 ๐/๐
- Tramo 2-3:
๐๐โ๐ =4 ยท 0.0155529
๐ ยท 0.252 = 0.3168 ๐/๐
- Tramo 2-4:
๐๐โ๐ =4 ยท 0.111523
๐ ยท 0.32= 1.577 ๐/๐
- Tramo 4-5:
๐๐โ๐ =4 ยท 0.085068
๐ ยท 0.25 2= 1.733 ๐/๐
- Tramo 4-6:
๐๐โ๐ =4 ยท 0.0264548
๐ ยท 0.22= 0.84208 ๐/๐
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Problema 4. En una central tรฉrmica de producciรณn de energรญa elรฉctrica se tiene una
instalaciรณn cuyo esquema se muestra a continuaciรณn, siendo el fluido de trabajo agua.
Se sabe que la presiรณn y la temperatura en la caldera de vapor son de P = 2 bar (absoluta), T
= 400ยบC, y que en la turbina se produce una expansiรณn adiabรกtico-isentrรณpica con un salto
entรกlpico de 777 KJ/Kg. (Considรฉrese este salto entre los puntos 3 y 6.)
Si las pรฉrdidas de carga en la tuberรญa de aspiraciรณn son ฮh = 104 Q2 y en la tuberรญa de
impulsiรณn ฮh = 312 Q2, siendo Q [m3/s], ฮh [m columna de agua], y sabiendo que la bomba
que se utiliza es el modelo 150/315, con un diรกmetro de rodete de 270 mm, (y se considera
que la cota del nivel del lรญquido del condensador estรก 1m por encima de la cota del nivel del
lรญquido de la caldera,) se pide hallar:
1. El punto de funcionamiento de la bomba.
2. La cota Z (respecto al nivel del lรญquido del
condensador) a la que hay que colocar la bomba
para que no se produzca cavitaciรณn.
3. Debido a que se ha hecho un reajuste en el
proceso, se precisa aumentar el caudal en un 20%. Si
al motor de accionamiento de la bomba se le acopla
un variador de frecuencia, determine a quรฉ
revoluciones deberรญa girar para que la bomba
suministre el nuevo caudal. ยฟCon quรฉ rendimiento
trabaja ahora la bomba?
Antes de empezar debemos encontrar las condiciones termodinรกmicas que nos faltan a partir
de los diagramas adjuntos en el enunciado.
En la caldera, que es el punto 3, el enunciado
nos dice que:
๐3 = 2๐๐๐
๐3 = 400ยบ๐ถ
dรณnde la presiรณn es absoluta.
En el segundo diagrama (el que muestra
entalpรญa-entropรญa para el vapor de agua)
buscamos el punto que se corresponde a 2bar
y 400ยบC:
โ3 = 3250๐พ๐/๐พ๐
En la figura de la derecha mostramos el punto
de intersecciรณn encontrado con un punto azul.
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Hemos estimado el valor de โ3, pues es muy difรญcil encontrar el valor exacto.
Por otro lado, el enunciado indica que el salto entรกlpico entre 3 y 6 es de 777Kj/Kg con una
expansiรณn adiabรกtico-isentrรณpica.
โ6 = (3250 โ 777)๐พ๐/๐พ๐ โ 2500๐พ๐ฝ/๐พ๐
Introduciendo esta entalpรญa en el diagrama anterior encontramos (marcado en punto rojo):
๐6 = 0,05๐๐๐
๐6 = 35ยบ๐ถ
Habiendo encontrado esto ya podemos empezar con el ejercicio.
1. El punto de funcionamiento de la bomba.
Primero de todo aplicamos Bernoulli entre las superficies libres del condensador (subรญndice co)
y la caldera (subรญndice ca):
๐๐๐๐๐
+ ๐๐๐ +๐๐๐
2
2๐+ ๐ป =
๐๐๐๐๐
+ ๐๐๐ +๐๐๐
2
2๐+ โโ7โ2
dรณnde โโ7โ2 es la variaciรณn de entalpรญa entre el punto 7 y el 2.
De aquรญ aislamos H:
๐ป =๐๐๐ โ ๐๐๐๐๐
+ ๐๐๐ โ ๐๐๐ +๐๐๐
2 โ ๐๐๐2
2๐+ โโ7โ2
Considerando despreciables las energรญas cinรฉticas en las superficies libres de los depรณsitos:
๐ป =๐๐๐ โ ๐๐๐๐๐
+ ๐๐๐ โ ๐๐๐ + โโ7โ2
Sustituyendo los valores obtenidos anteriormente tenemos:
๐ป =(2 โ 0,05)105
1000 ยท 9,81โ 1 + 416๐2
๐ป = 18,877 + 416๐2 (1)
La intersecciรณn entre esta curva y la curva caracterรญstica de la bomba da lugar al punto de
funcionamiento. Para obtenerla primero cogemos una serie de puntos de la grรกfica de la
bomba, pasando el cabal a m3/s:
Q (m^3/h) Q (m^3/s) H
0 0 24
50 0,01388889 24
100 0,02777778 24
150 0,04166667 23,5
200 0,05555556 23
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250 0,06944444 22
300 0,08333333 18
350 0,09722222 14
Ahora trazamos en una misma grรกfica estos puntos unidos por una lรญnea continua y la ecuaciรณn
(1) obtenida:
๐ = 0,0726๐3/๐ = 261,36๐3/โ
๐ป = 21,0912๐
2. La cota Z (respecto al nivel del lรญquido del condensador) a la que hay que colocar la bomba
para que no se produzca cavitaciรณn.
Aplicamos Bernoulli entre las superficies libres del condensador (subรญndice co) y la bomba
(subรญndice 8):
๐๐๐๐๐
+ ๐๐๐ +๐๐๐
2
2๐=๐8๐๐
+ ๐8 +๐82
2๐+ โโ7โ8
๐๐๐ โ ๐8 =๐8 โ ๐๐๐๐๐
+๐82 โ ๐๐๐
2
2๐+ โโ7โ8
Como no se conoce el diรกmetro del conducto y el tรฉrmino de energรญa cinรฉtica de la brida de
aspiraciรณn de la bomba es mucho mayor que en el condensador se desprecian ambos
tรฉrminos. Por tanto NPSDHd queda:
๐๐๐๐ป๐ =๐8๐๐
โ๐๐ฃ๐๐๐๐๐๐
Sustituyendo en Bernoulli:
๐๐๐ โ ๐8 = ๐๐๐๐ป๐ +๐๐ฃ๐๐๐๐๐๐
โ๐๐๐๐๐
+ โโ7โ8
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En el punto de cavitaciรณn incipiente se cumple que:
๐๐๐๐ป๐ = ๐๐๐๐ป๐
Buscamos en la grรกfica de la curva caracterรญstica de la bomba el valor de ๐๐๐๐ป๐ para un
caudal de ๐ = 261,36๐3/โ:
Se cumple aproximadamente ๐๐๐๐ป๐ = 3๐.
Ahora suponiendo que la temperatura del lรญquido en el condensador es la misma que en la
bomba (35ยบC), la presiรณn del vapor tambiรฉn serรก la misma que la del condensador (0,05bar):
๐๐๐ โ ๐8 = 3 +0,05 ยท 105
๐๐โ0,05 ยท 105
๐๐+ 104(
261,36
3600)2
= 3,55๐
3. Debido a que se ha hecho un reajuste en el proceso, se precisa aumentar el caudal en un
20%. Si al motor de accionamiento de la bomba se le acopla un variador de frecuencia,
determine a quรฉ revoluciones deberรญa girar para que la bomba suministre el nuevo caudal.
ยฟCon quรฉ rendimiento trabaja ahora la bomba?
Nuevo caudal de trabajo: ๐โฒ = 261,36 โ 1,2๐3/โ = 313,63๐3/โ
Aplicando la ecuaciรณn (1) obtenida en el apartado 1 encontramos la nueva altura de
funcionamiento:
๐ป = 18,877 + 416(313,63
3600)2
= 22,03๐
La constante de una curva que pase por el nuevo punto de trabajo se denomina curva de
afinidad y se halla como:
โโ = ๐พ๐2
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๐พ =22,03
(313,633600
)2 = 2903,123
Trazamos en la grรกfica que ya habรญamos usado antes una 2ยช ecuaciรณn, โโ = 2903,123๐2, y
hallamos el punto de intersecciรณn con la curva inicial:
๐ = 0,0805๐3/๐ = 289,8๐3/โ
๐ป = 18,813๐
Aplicamos entre los puntos {๐ป = 22,03๐, ๐ = 313,63๐3/โ} y {๐ป = 18,813๐, ๐ =
289,8๐3/โ} los grupos adimensionales, cifra caracterรญstica, altura de elevaciรณn y cifra
caracterรญstica de caudal:
๐ป1
๐ค12๐ท1
2 =๐ป2
๐ค22๐ท2
2
Consideramos los diรกmetros iguales:
22,03
๐ค12=18,813
14502 โ ๐ค1 = 1569,08๐๐๐
El rendimiento al que trabaja la bomba serรก prรกcticamente el mismo que antes, segรบn
observamos en la grรกfica caracterรญstica.