entre la intuición y el formalismo. el concepto de límite1. de eudoxo de cnido a la primera mitad...
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Entrelaintuiciónyelformalismo.Elconceptodelímite
TomásOrtega
UNIVERSIDADDEVALLADOLID’2016
1
TomásOrtega.Didác@cadelaMatemá@ca.UniversidaddeValladolid
Entrelaintuiciónyelformalismo.Elconceptodelímite
Desde finales del siglo pasado, el concepto de límite ha sidoobjetodenumerosasinves@gacionesenelÁreadeDidác@cadelaMatemá@ca.EnlaUniversidaddeValladolidllevamosvariosañosenelasuntoyfrutodeestetrabajoeslacreacióndeunadefinición que, teniendo el mismo rigor que la definiciónmétrica, evita el formalismo ε-δ y hace más asequible sucomprensión. Aquí se presenta parte de la inves@gaciónrealizada, la definición construida y el uso de ésta parademostrar algunos teoremas tanto en sucesiones como enfuncionesreales.
TomásOrtega
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1. Lasdificultades que conllevael aprendizajede lanocióndelímiteenEducaciónSecundaria fuemo@vodepreocupaciónpara mí desde mis inicios de Profesor de Matemá@cas en
Bachillerato,yen ladécadade los80construíunprogramainterac@vo de ordenador para enseñar (facilitar los
aprendizajes)delaconceptualizaciónmétrica.
2. Creenciadequelímiteesunodelosconceptosmatemá@cos
más complicados (más di=ciles) en todos los niveleseduca@vos.
Miscreenciaspreviassobreelconceptodelímite
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3. Trasunperíodode inac@vidad (sinu@lizarel concepto) losalumnos (y profesores) @enen serias dificultades parareproducir la definición conceptual métrico-analí@ca con
absolutorigor.Asílocorroboranvariasconsultasrealizadasconalumnosegresados.
4. Losalumnospuedensercapacesdememorizarladefinicióny,u@lizando lamecánicade ciertas técnicas sencillasono,
también logran resolver problemas de cálculo de límites,pero pueden estar muy lejos de comprender la nociónconceptualydeaplicarlaensituacionesproblema.
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Miscreenciaspreviassobreelconceptodelímite
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TallyVinner(1981)indicanqueparalosalumnosellímitesecuencialesunprocesosinfin,inacabado,dondelostérminosdelasucesiónseaproximanpero no llegan al límite (0,9, 0,99… no llega a uno). Los términos de lasucesión son dis@ntos del límite. (los alumnos no consideran sucesionescomo0’9,1,0’99,1,…)
Vinner(1991)constatalossiguienteserroresenalumnosde18años:
• Unasucesiónnodebealcanzarsulímite.‒ 1,1,1,...y0,1,0’9,1,0’99,1,0’999,…notendríanlímite.
• Unasucesiónconvergentedebesermonótona‒ 1+(-1)n/n,nϵNno@enenlímite.
• Ellímiteeselúl@motérminodeunasecuencia‒ ¿Cuálesenelúl@monatural?‒ ¿Cuálesenelúl@motérminodean=1/n?
Antecedentes
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ANTESRobinet(19839;Cornu(1991);Cotrill,Dubinski, Ar@gue(1997),Sierpinska (1985, 1987 y 1990), …, Delgado (1995), Espinoza(1998),Sánchez(1997)
DESPUÉSGray,Loud,Sokolowski(2005);Roh&Lee(2011)…UniversidaddeGranada:
Coriat,SánchezyClaros;Rico,FernándezyRuizUniversidaddeAlicante:
Valls,PonsyLlinaresUniversidadAutónomadeBarcelona:
AzcárateyDeulofeu
Antesydespués
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AnálisiscríCcodetextosdeanálisis
ApartedevarioslibrosdeSecundaria,seanalizaronlossiguientestextosdeUniversidad:
1. Spivak,M.(1981,99-129)
2. Piskunov,(1983,28-48)3. Linés,E.(1983,192-220)4. Rudin,W.(1980,89-91)
5. GarcíaA.yotros(1993,196-200)6. Larson,R.,Hostetler,R.yEdwards,B.(1998,55-99)7. ThomasG.,FinneyR.(1998,51-86)
Ademásdemúl@plesincorrecciones,destacaelsubje@vismoylaausenciadeintencionalidaddidác@ca.
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Unejemplo.EltextodeThomas&FinneyI
1. Pone ejemplos de razones de cambio, lo que llevaríadirectamentealconceptodederivada
2. “Definicióninformal:“Seaf(x)definidaenunintervaloabiertoalrededordex0,posiblementeexceptoenx0.Sif(x)seacercademaneraarbitrariaaLparatodoxsuficientementecercadex0sedice…f(x)seaproximaallímite”…tantocomoqueramos.
• Redacciónconfusaparalosalumnosyrestricciónimportanteconsiderarunintervaloabierto.
• Parecequeindicaquesetratadeunacercamientoalazar.• ¿Cómocuántodecerca?• ¿Esunrumor?• Aunqueloexplicadespués,nosóloesunaaproximación.• Subje@vismo.
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Unejemplo.EltextodeThomas&FinneyII
3. Definición formal: “…Decimos que f(x) Hende al límite LcuandoxHendeax0yescribimos: lim┬𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) si,paracadanúmeroε>0…
• Caráctersubje@vooderumor.• Debesersi,ysolosi.Taninteresantees⇒como⇐.• Noseexplicasuficientementelasignificaciónde“@ende”• Parece que “para cada” indica una acotación unitaria encontraposicióna“paracualquier”,“paratodo”.
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Enlasilustracionesconsideraqueelpuntopertenecealdominio9
El problema de inves@gación se centra en el diseño de unasecuencia de enseñanza-aprendizajebasada en una definición delímiteadecuadatantoparasucesionescomoparafunciones.
Se desea aprovechar el hecho, ya señalado por muchos de losinves@gadores citados, de que los alumnos u@lizan más lasconcepciones que poseen del concepto de límite que la propiadefiniciónformal,yqueeslaconcepcióndinámica lamáspotenteen este sen@do. Esta concepción está ligada a la aproximación y,portanto,conlasindicacionesdelcurrículo,habíaquereconducirladefiniciónmétricadelímitehaciaotramás“sencillayrigurosa”.
Así,sedecidiódestacarlapropiedadquedis@ngueallímitedeunasimple aproximación, esto es, el hecho de ser la mejor de lasaproximaciones(laaproximaciónquenosepuedemejorar).
ObjeCvodelainvesCgación
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Marcoteóricodeintegración:1. Pensamientomatemá@coavanzado:
a. Imagenydefiniciónconceptual(EsquemasdeWinner).
2. ModelodecomprensióndeSierpinska.
a. Los cuatro actos de comprensión: Iden@ficación,discriminación,generalizaciónysíntesis.
b. Obstáculos y actos de comprensión asociados en elconceptodelímite.
3.Sistemasderepresentación.
Marcosteóricoymetodológico
MarcometodológicodeInves@gación-Acción3ciclosdeinves@gación(exploración-confirmación-cierre).
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1. DeEudoxodeCnidoalaprimeramitaddelsigloXVIII.Elmétododeexhauciónoexhausción.Métodosinfinitesimales.
2.Segundamitaddel sigloXVIII. Transformaciónde los fundamentosdelanálisisinfinitesimal.UnacanHdadeslímitedeotracanHdad,cuandounasegundacanHdadpuedeaproximarsealaprimeramásquecualquiercanHdaddadaporpequeñaqueselapueda suponer,sinque,noobstante la can/dadque seaproximapuedajamás sobrepasar a la can/dad a la que se aproxima; de manera que ladiferencia entre una tal canHdad y su límite sea absolutamente inasignable.(D’Alembert,Encyclopedie,1751-1784).
3.SigloXIXyprincipiosdelsigloXX.AritmeHzacióndelanálisis …., cuando los sucesivos valores que toma una variable se aproximanindefinidamenteaunvalorfijo,demaneraqueterminanpordiferirdeélentanpococomoqueramos,esteúlHmovalor se llamael límitede todos losdemás(Cauchy,1821).
AnálisisepistemológicoI
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Sidadocualquierε,existeunη0talquepara0<h<η0, ladiferenciaf(x0±h)-Lesmenorenvalorabsolutoqueε,entoncesLesel límitede f(x)parax=x0(Heine1872).
4.SigloXX.Generalización.
Concepcionestopológicas.
El concepto de límite es uno de losmás complicados y tambiénunodelosmásimportantesdelamatemá@caporquefundamentaelAnálisisMatemá@co.
Elhechodequeelconceptonosehayaformalizadohastaelsiglopasado da cuenta de las dificultades que trae consigo dichaformalización.
AnálisisepistemológicoII
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Se diseñaron unas categorías de contenido matemáCco paraanalizarelcontenidocurricularyevaluarlarelacióncontenido-profesorenlasecuenciadidác@caqueseimplementó.
• El límite secuencial debe introducirse de forma numérica,discriminando tendencias finitas e infinitas, para facilitar elestudiodetendenciasfuncionales.
• En una segunda etapa se debe profundizar e incluir laaritmé@cacomopreparacióndellímitefuncional.
• Elalumnohabráganadomadurezyconocimientosparahacerfrenteal límite funcionalque seráel tercerpasoy conél sefundamentaránlacon@nuidad,laderivadaylaintegral.
ApuntescurricularesI
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Ladefiniciónde límitedeberecogerelaspectonuméricoydeaproximaciónópCmaque lecaracterizaydebeser introducidadespués de fomentar el interés por el concepto mediante elestablecimientode suu@lidad comoherramientapara resolverciertosproblemas.
Elconceptodelímitenoessóloladefinición,esmuchomásricoy engloba un comportamiento funcional que no puede seraislado.
Launicidaddellímite,elencaje,elsigno,laaritmé@ca,…soncaracterís@cas funcionalesde@po localqueestán implícitasen el concepto y, por tanto, no pueden separarse de taldefinición.
ApuntescurricularesII
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1. Eltratamientoyestudiodellímitesecuencialentérminosdeaproximación óp@ma mejora la comprensión del límitefuncionalyesú@lparaestablecerresultadossencillos.
2. El tratamiento del límite finito en un punto comoaproximación óp@ma, y no como simple aproximación oaproximación subje@va, es una opción ventajosa a lostratamientosexistentesparaquelosalumnoscomprendanelconceptoylopuedanaplicaracasossencillos.
3. La definición del límite finito en un punto comoaproximación óp@ma es una opciónmás ventajosa que ladefiniciónmétricaporsusimplicidad.
HipótesisI
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4. La noción de límite lleva consigo graves dificultades decomprensión, sea cual sea la presentación que se haga.Conocer dichas dificultades, junto con las creencias que losalumnos@enesobreellímiteesunaherramientaeficazparasuenseñanza.
5. Esconvenientediscriminarloslímitesfinitosenunpuntodelresto de los límites, puesto que se u@lizan en situacionesmuy dis@ntas: el primero es la base de cues@ones sobrecon@nuidad y derivabilidad, mientras que el segundoaparece en el estudio de ramas infinitas y asíntotas defunciones.
6. La u@lización de disCntos registros (algebraico, numérico,gráfico,verbal)mejoralacomprensióndelconcepto.
HipótesisII
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Documentosdeanálisis
• Pretest(unoporcadaciclo).• Cuadernillosdetrabajo(unoporcadaciclo).• Postest(unoporcadaciclo).• Pruebasdeevaluación.• Grabacionesdeaudio.• Entrevistasconalumnos.
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1.Unaplantacreceenunahabitaciónde3metrosdealtura.Lasalturasquealcanzasonsucesivamente2´9,2´99,2´999,2´9999,…¿Llegaríalaplantaatocareltechodelahabitación?
2.- Observa la siguiente secuencia:
• Si la superficiedel cuadrado iniciales1 cm2, ¿qué fracción
rayadacorrespondeacadaelementodelasecuencia?• Si elproceso con@núa indefinidamente, ¿cuál será laparte
rayada?
AlgunasacCvidadesdelpretest
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3. Lossiguientesrectángulos@enentodoslamismasuperficie,perolaalturadecadaunoeslamitaddelaalturadelanterior.
AlgunasacCvidadesdelpretest
8.Dibujafuncionesquecumplan:8.1.Segúnseacercalaxa3,sus imágenesseacercana2tantocomoseapreciso.8.2. Según se acerca la x a 3, sus imágenes crecen indefinidamente,superandocualquiervalorpormuygrandequesea.8.3.Segúnlaxsehacemásgrande,susimágenesseacercanmásal2.8.4.Segúnxsehacemásgrande,susimágenescrecenindefinidamente,superandocualquiervalorpormuygrandequesea.
¿Quérelaciónhayentrelabaseylaaltura?¿Quéocurreconlaalturasicon@nuamos el proceso indefini-damente? ¿Qué figura se ob@ene?¿Cuáleselvalordellímite?
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Resultadossobretendencias
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Afirmaciones de los alumnos sobre la tendencia del producto an→ bn→ an·bn→ an→ bn→ an·bn→
0 +∞ 0 68% +∞ +∞ +∞ 100%
0 +∞ Indet 21,1%-∞ +∞
-∞ 89,5%
0 +∞ +∞ 10,5% Indet 10,5%
Cuando se trata de suma de sucesiones los resultados sonposi@voscasienel100%delasrespuestas,salvoenelcasode indeterminación(→+∞)+(→- ∞).
Engeneral, seobservaque losalumnos@enen la concepcióndelinfinitocomounnúmeroeintentanoperarconél,inclusoconsideran productos infinitos sin plantearse su significado.Porestarazón,cuandolaextensióndelaoperaciónaritmé@caesambiguacometenmuchoserrores
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Resultadossobretendencias
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Afirmaciones de los alumnos sobre la tendencia del cociente an→ bn→ an/bn→ an→ bn→ an/bn→
K>0 0─
Indet 42,15
-∞ -∞
Indet 41,1%+∞ 26,3% +∞ 36,8%-∞ 10,5% 1 15,8%
0 5,3% -∞ 5,3%
NC 5,3%
k -∞
0 63,2%
-k 5,3% -∞ 26,3%
±∞ 5,3% NC 5,3%
+∞ K>0 +∞ 100% Indet 5,3%
0 00 78,9%
k +∞
0 63,2%
indet 21,1% +∞ 26,3%
-∞ K<0 -∞ 89,5% NC 5,3%
+∞ 10,5% Indet 5,3%22
Resultadossobretendencias
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Afirmaciones de los alumnos sobre la tendencia del producto
an→ bn→ anbn → an→ bn→ an
bn →
1 +∞ 1 47´4%
0 k≠00 73´7%
Indet 47,4% Indet 26´3%+∞ 5,2%
+∞ k<0
0 68´4%
0 +∞ 0 57´9% +∞ 10´5%
Indet 36,8% NC 10´5%
+∞ 5,3% -∞ 5´3%
+∞ +∞
+∞ 79% Indet 5´3%
-∞ 10´5%
+∞ 0
1 73´7%
Indet 10´5% +∞ 15´8%
+∞ -∞ 0 68´4% NC 5´3%
Indet 21´1% Indet 5´3%
NC 10´5% 0 0 Indet Resuelt
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Actosdecomprensiónenaproximación
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IIden@ficación de laaproximación numéricadevaloresde“x”.
IIIden@ficación de laaproximaciónnuméricadevaloresde“y”.
IIIDiscriminacióndelasaproximacionesnuméricasde“x”yde“y”.
IVSíntesis: mejorarla aproximaciónallímite.
VISíntesis de entorno delnúmeroalqueseaproximanlosvaloresde“x”alfijarK.
VIIIden@ficación deentornoreducidodeunnúmero.
VDiscriminación de valoresde “x” cuyas imágenesmejoranunaaproximación.
VIIIDiscriminación de entornoreducido de los valores de“x”queseaproximan.
XSíntesisdeentornodevalores“y”quesonimagenymejorandichaaproximación
XIGeneralización de límite como valor cuyasaproximaciones (H≠L) se pueden mejorar contodaslasimágenesdeunentorno.
IXSíntesisdeentornoreducidodel número al que seaproximan los valores de“x”.
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Discriminaciónentreaproximaciónytendencia
¿Seaproxima0´9,0´99,0´999,…a10?
0´9,0´99,0´999,…,seaproximaa1másquecualquieraproximaciónfijadadis@ntade1(@endea1)
0´9,0´99,0´999,…,seaproximaa2perono@endea2.
0´9,0´99,0´999,…seaproximaa1y@endea1
Ladefinicióninformal(an)nϵNseaproximaaLcuandon@endeainfinitonosirveypuedeinduciraerror.
Seaproximamássiladistancia(restaposi@va)esmenor.
Latendenciadenainfinitoesnaturalynonecesitamayorénfasis.
Lasucesión(an)nϵN@endeaunnúmeroLsilasaproximacionesdeanaLmejoran(estánmáscercanas)quecualquieraproximaciónfijada.
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Límitefinitodeunasucesión
Las definiciones, al igual que la secuencia didác@ca de laexperimentación, han evolucionado a lo largode los tres ciclos,demaneraqueenelúl@modeellosseperfeccionayseenunciatrasdiscriminaraproximaciónytendenciaEllímitedeunasucesión(an)nϵNesLsi,ysólosi,paracualquieraproximaciónHdeL(H≠L)existeun índicekϵNtalqueaparCrde él (para todo p>k) todos los términos apmejoran dichaaproximación.El concepto de aproximación es muy intui@vo, pero convienefijarlo:UnnúmeroH (H≠L)esmejoraproximacióndelnúmeroLqueotronúmeroK(K≠L)si,ysolosi,ladiferenciaposi@vaentreHyLesmenorqueladiferenciaposi@vaentreLyK.
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Hacialacomprensióndelconcepto
La generación de tablas numéricas ayuda a comprender el concepto.Aquí, considerando la sucesión 1+log(n2+1)-log(n2), nϵN y la tablageneradaconGeoGebra,setratadelosiguiente:1. Conjeturarcuálpuedeserelvalordellímite.(ellímitees1)2. Considerada una aproximación, por ejemplo 1,001, encontrar el
enteroKtalqueapar@rdeéltodoslostérminosdelasucesiónqueaparecenenlatablamejoranlaaproximaciónfijada.
n an n an n an n an n an n an2 1,22314 8 1,01550 14 1,00509 20 1,00250 26 1,00148 32 1,00098
3 1,10536 9 1,01227 15 1,00443 21 1,00227 27 1,00137 33 1,00092
4 1,06062 10 1,00995 16 1,00390 22 1,00206 28 1,00127 34 1,00086
5 1,03922 11 1,09823 17 1,00345 23 1,00189 29 1,00119 35 1,00082
6 1,02740 12 1,00692 18 1,00308 24 1,00173 30 1,00111 36 1,00077
7 1,02020 13 1,00590 19 1,00277 25 1,00160 31 1,00104 37 1,00073
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Teorema1.Siellímitedeunasucesión(an)nϵNesL>0,existeuníndicektal que a par@r de él (p>k) todos los términos ap sonposi@vos.
Demostración.Considerando que 0 es una aproximación de L, existe uníndicekϵNtalqueapar@rdeél(p>k)todoslostérminosdeapmejorandichaaproximacióny,portanto,seránposi@vos.
ak+1ak+2
ak+3
UnpardeteoremasI
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Teorema2.Toda sucesión (an)nϵN monótona, creciente y acotadasuperiormente@ene límite (Essuficienteconque lasucesiónseanodecreciente).
Demostración.Como (an)nϵN está acotada superiormente, @ene extremosuperior. Sea L este extremo superior y sea H unaaproximación de L (H<L). Por ser L el extremo superior,exis@ráunkϵNtalqueakestarámáspróximoaLqueH,yporsermonótonacrecientetambiénestaránmáscercanostodoslos términos posteriores a ak y, en consecuencia, L es sulímite.
UnpardeteoremasII
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Límitefinitodeunafunción
Sea funa funciónyaunnúmero real,elnúmeroL esel límitede lafunción f en el punto a, y se escribe límx→af(x)=L, sií para cualquieraproximaciónHdeL (H≠L) existeotraaproximaciónKdea (K≠a) talque las imágenes, f(x), de todos los puntos, disHntos de a, quemejoranestaaproximación,mejoranlaaproximaciónHdeLSeafunafunciónyaunnúmeroreal,elnúmeroLesellímitedelafunción f enelpuntoa, y seescribe límx→af(x)=L, siíparacualquieraproximaciónHdeL (H≠L)existeunentornoreducidodeatalquelasimágenesdetodossuspuntosmejoranlaaproximaciónHdeL.Ellímitedeunavariablexenx=aesaporquefijadaunaaproximacióna, existe un entorno reducido de a tal que todos los puntos delentornomejorandichaaproximación. (Tambiénsepuedeconsiderarlafuncióniden@dad)
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HacialacomprensióndelconceptoI
L
a
A
B C
D
L
a
Aproximación
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UnaaproximaciónKaLgeneraunabandahorizontal(eselequivalentea L-ε, L-ε yelentorno reducidodeageneraunabandaver@cal. EstasbandasdeterminanelrectánguloADCB yLesel límitedefenAsií lagráfica de la función entra en el rectángulo por AB y sale de élexclusivamenteporCD
HacialacomprensióndelconceptoII
Lageneracióndetablasnuméricasayudaacomprenderelconcepto.Aquí,considerando la función f(x)=(1+x)/(1+sen2(x)) y la tabla generada conGeoGebra,setratadelosiguiente:1. Conjeturarcuálpuedeserelvalordellímite(x→0yellímitees1).2. Considerada una aproximación del límite, por ejemplo 1,0005,
encontrarelentornoreducidodellímitedextalquetodaslasimágenesdeesteentornomejoranlaaproximaciónfijada(-0’00044,0’00039)
x f(x) x f(x) x f(x) x f(x)-0,1 0,89112 -0,00204 0,99796 -0,00059 0,99941 -0,00028 0,99972
0,025 1,02436 0,00156 1,00156 0,00051 1,00051 0,00025 1,00025
0,01111 0,98877 -0,00123 0,99876 -0,00044 0,99956 -00023 0,99977
0,00625 1,00621 0,001 1,001 0,00039 1,00039 0,00021 1,00021
-0,004 0,99598 -0,00083 0,99917 -0,00035 0,99965 -0,00019 0,00081
0,00278 1,00277 0,00069 1,00069 0,00031 1,00031 0,00017 1,00017
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Teorema1:
Siellímitedeunafunciónenunpuntoesposi@vo,entonceslafunciónesposi@vaenunentornoreducidodelpunto.
Demostración:
Esidén@caqueensucesiones:0esunaaproximación…
Teorema2:
Sif(x)≥0enunentornodex=ay@enelímiteena,entonceslímx→af(x)≥0
Demostración:
Es una consecuencia directa del teorema 1. Suponiendo que límx→af(x)=L<0,como0esunaaproximacióndeL,exis@ráunentornoreducidodex=atalquelasimágenesdetodossuspuntosmejorandichaaproximación,esdecir,será[email protected]ótesisy,portanto,límx→af(x)≥0
UnpardeteoremasII
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Teorema3:
Sif(x)yg(x)sondosfuncionesconlímiteenx=ayf(x)≥g(x)enunentornoreducidodex=a,entonceslímx→af(x)≥límx→ag(x)
Demostración:
Seconsidera lafuncióndiferenciaf(x)-g(x).Estafunciónesnonega@vaenunentornoreducidodeay,portanto,límx→a(f(x)-g(x))≥0.
Aplicandoahorael teoremadel límitede la suma límx→af(x) - límx→ag(x)≥0y,finalmente,límx→af(x)≥límx→ag(x).Unaaplicacióninmediatadeesteteoremaesesteotro:
Teorema4:
Sif(x)>g(x)>h(x)enunentornoreducidodeay límx→af(x)=límx→ah(x),el límitedeg(x)enx=aeselmismo.
Otropardeteoremas
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Teorema5:Ellímitedeunafunciónenunpuntox=a,siexiste,esúnico.Demostración:
Suponiendo que L y L’ sean dos límites y que L<L’, M=(L+L’)/2 es unaaproximacióndeLydeL’.• ConsiderandoqueLeslímite,exis@ráunentornoreducidodeatalque
las imágenesde todossuspuntosmejorandichaaproximacióny,portanto,seránmayoresqueM.
• Considerando que L’ es límite, exis@rá un entorno reducido de a talque las imágenesdetodossuspuntosmejorandichaaproximacióny,portanto,seránmenoresqueM.
• Las imágenesdetodos lospuntosdelentorno interseccióndeambosseránmayoresymenoresqueM.Sucesoimposibley,portantoL’≤L.
• AnálogamenteseestablecequeL≤L’y,portanto,L=L’.
Unteoremasmás
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L’ML
a
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UnaaproximaciónporunladollevaasociadalamismaaproximaciónporelotroygeneradosformasdecontrolarloserroresdeaproximaciónaL:a. Medianteaproximacionesporlaizquierda,L-K.b. Medianteaproximacionesporladerecha,K-L.
Teorema:todasucesiónconvergenteesunasucesióndeCauchy.Demostraciónmétrica:porser límn→∞an=L,paracualquierε>0existeunkϵNtalquesip>kyq>k,|𝑎↓𝑝 −𝐿|<ε/2y|𝑎↓𝑞 −𝐿|<ε/2.Portanto,|𝑎↓𝑝 −𝑎𝑞|≤|𝑎↓𝑝 −𝐿|+|𝐿− 𝑎↓𝑞 |<ε/2+ε/2=ε.
Teorema:siylímx→ag(x)=L’,entonceslímx→a(f(x)+g(x))=L+L’Lademostraciónessimilaralaanterioryapareceentodoslosmanuales.
Estos teoremas también se pueden probar aplicando nuestra definición. En elprimero, para cualquier aproximación por la izquierda, H, se considera otra,aproximación,K,tambiénporlaizquierda,talqueL-Kseamenoroigualque(L-H)/2…Porejemplo,K=(H+L)/2.
¿Sepuedenprobartodoslosteoremas?
TomásOrtega.Didác@cadelaMatemá@ca.UniversidaddeValladolid
límx→af(x)=L
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Ladefiniciónmétricaesmásdi=cilqueladefinicióncomoaproximaciónópCma
AnálisisdelasdificultadesatravésdeundebateEl debate completo consta de 315 intervenciones, de la siguienteforma:
a. Paralaideaintui@vadelímite,14:7delaprofesoray7delosalumnos
b. Parael conceptodeaproximaciónymejorar laaproximación,13:6delaprofesoray7delosalumnos.
c. Paraeldetendenciadeunavariable,13:6delaprofesoray7delosalumnos.
d. Paraladefinicióndelímitecomoaproximaciónóp@ma,29:14delaprofesoray15delosalumnos.
e. Para ladefiniciónmétrica, 246: 122de laprofesora y 124delosalumnos.
TomásOrtega.Didác@cadelaMatemá@ca.UniversidaddeValladolid37
Elolvidodelconcepto
Variacióndelaspuntuacionesmediassobre10conelpasodel@empo(alumnos de ingeniería): Nadie escribe la definición métrica (ni poraproximación).Losmásu@lizanaproximaciones(definicióninformal)ytendencias.
TomásOrtega.Didác@cadelaMatemá@ca.UniversidaddeValladolid
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2001 2002 2003 20044años 3años2años 1año
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AmododeconclusiónII
Losalumnosdelasexperimentacionesprefierenu@lizarlosregistrosnumérico y gráfico, huyen del formalismo y el uso de so�ware esmuymo@vador.
Elaprendizajedelconceptopresentanumerosísimasdificultades,severifican lashipótesis enunciadas y sehan corroborado las tesisdelosantecedentes.Aquísólodestacodosaspectos:
• La no discriminación entre funciones con límite en un punto yfuncionessinlímiteenunpunto.Abuenapartedelosalumnoslesresulta imposibleescribiruna funciónqueno tenga límiteenunpunto.
• Hay numerosas diferencias entre las definiciones dadas porautores de libros de Análisis Matemá@co y en general sonsubje@vas.
TomásOrtega.Didác@cadelaMatemá@ca.UniversidaddeValladolid39
La definición construida es esta inves@gación es preferida por losalumnos de ingeniería, afirman que la en@endenmuchomejor y danmuchasrazones,entreellaslaausenciadeformalismo.
Consideramosque ladefinicióncomoaproximaciónópCmadebeserlaantesaladeladefiniciónmétricaysóloseentenderáéstacuandosehayacomprendidoaquella.
Estadefiniciónperduramás@empoenlamentedelosalumnosqueladefiniciónmétricayconvieneprobarconellalosteoremassencillos.
La escritura simbólica bastante usual de las indeterminaciones esconfusaylesllevaaerror.Ensulugarsedebenescribirtendencias:
AmododeconclusiónII
TomásOrtega.Didác@cadelaMatemá@ca.UniversidaddeValladolid40
Entrelaintuiciónyelformalismohayunaconcepcióndelímitetanrigurosacomolamétricaperomenosformal:ladefinicióncomoaproximaciónópCma.Losalumnoslacomprendenmuchomejorypuedeserlaantesalaparalacomprensióndeladefiniciónmétrica.
MUCHASGRACIASTomásOrtega
UNIVERSIDADDELOSANDES’2016
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