TORREÓN, COAHUILA, 2015

PRESENTA:Jonatan Zamarripa GurrolaItzel Joselinn Flores Luna

PROFESOR: Edgar Gerardo Mata

ASIGNATURA:Matemáticas Avanzadas II

ENSAYO:Ventajas y Desventajas de los Métodos de

Bisección, Newton Raphson y Secante

INTRODUCCION

El presente ensayo comprende principalmente las ventajas y desventajas de los

siguientes métodos:

Método de Bisección

Método de Secante

Método de Newton Raphson

Para empezar podemos mencionar que estos métodos numéricos se utilizan para

resolver ecuaciones no lineales, para esto existen varios métodos numéricos, los

cuales los podemos clasificar en dos grupos: Cerrado o acotado y Abierto. En el primer

grupo encontramos el método de Bisección y Falsa Posición. En el segundo grupo nos

encontramos los métodos de Punto fijo, Newton Raphson y Secante.

Podemos destacar que cada método utiliza un procedimiento diferente por lo cual nos

permite concluir que cada uno de los métodos cuenta con ventajas y desventajas

distintas.

Pero podemos decir que en general algunas de las ventajas de estos métodos son las

siguientes:

Nos permite aproximar soluciones de ecuaciones no resolubles por otros métodos.

Es más rápido en la mayoría de los casos.

Y algunos de los inconvenientes son los siguientes:

No es 100% preciso.

A menudo consume mucha capacidad de proceso.

Método de Bisección:

El método de bisección, también es conocido como corte binario, de partición en dos

intervalos iguales o método de Bolzano.

Es un método de búsqueda incremental donde el intervalo se divide siempre en dos, si

la función cambia de signo sobre el intervalo se evalúa el valor en el punto medio.

Ventajas y desventajas del Método de Bisección:

Ventajas:

Funciona para ecuaciones algebraicas y trascendentes, pero se recomienda utilizarlo

después de un análisis gráfico.

Es siempre convergente.

Es óptimo para resolver una ecuación f(x) = 0 cuando no se sabe nada de “f”, excepto

calcular su signo.

Se puede establecer el límite de error.

Es fácil de implementar.

Desventajas:

Converge muy lentamente.

Permite encontrar solo una raíz aunque existan más en el intervalo.

Algunas veces la determinación del intervalo inicial no es muy fácil.

No puede determinar raíces complejas.

Es difícil generalizarlo para dimensiones superiores.

Método de la Secante:

El método de la secante es un método para encontrar los ceros de una función de

forma iterativa.

Es una variación del método de Newton-Raphson donde en lugar de calcular la

derivada de la función en el punto de estudio, teniendo en mente la definición de

derivada, se aproxima la pendiente a la recta que une la función evaluada en el punto

de estudio y en el punto de la iteración anterior.

Ventajas y desventajas del Método de la Secante:

Tiene ciertas ventajas frente a otros métodos, como el que no necesitamos saber la

primera derivada (newton) y se procede independientemente a los signos de la función

(a diferencia del método de la regla falsa).

Además, tiene un gran índice de aciertos, al considerar solamente dos puntos al

principio.

La ventaja principal del método de la secante es que se puede aplicar cuando la

función f(x) es demasiado compleja como para obtener su derivada (que se usaría en el

método de Newton-Raphson). Es decir: si f(x) es tan compleja que es dispendioso

obtener f '(x), mejor use el método de la secante.

En cuanto a las desventajas de este método podemos decir que su velocidad de

convergencia es menor que la de otros métodos como Newton-Raphson, y además

dicha convergencia no se asegura si la primera aproximación a la raíz no es lo

suficientemente cercana a ella, ni tampoco se asegura cuando la raíz es múltiple.

Esto no quiere decir que no se pueda usar el método en esos casos, significa que al

usarlo entramos en un riesgo de que este no converja y no podamos hallar la raíz.

Método de Newton Raphson

El método de Newton (conocido también como el método de Newton-Raphson o el

método de Newton-Fourier) es un algoritmo eficiente para encontrar aproximaciones de

los ceros o raíces de una función real.

Ventajas y desventajas del método Newton Raphson

Las ventajas son:

Algunas ventajas de este método son

Puede ser utilizado para encontrar el máximo o el mínimo de una función, encontrando

los ceros de su primera derivada.

Las desventajas son:

• Lenta convergencia debida a la naturaleza de una función en particular.

• Cuando un punto de inflexión, f’’(x) = 0, ocurre en la vecindad de una raíz.

• No existe un criterio general de convergencia.

• Tener un valor suficientemente cercano a la raíz.

• Apoyarse de herramientas gráficas.

• Conocimiento del problema físico.

• Evaluación de la derivada.

Conclusión

Como pudimos observar cada uno de los diferentes métodos numéricos cuentan con características diferentes. Por lo cual podemos decir que obviamente unos son mejores que otros por decirlo de cierta forma. Y es que a pesar de que todos nos ayudan a resolver ecuaciones no lineales, esto no quiere decir que no importa cual método utilices. Al contrario gracias a las ventajas y sobre todo las desventajas de estos podemos concluir que si existe una gran diferencia entre cual método utilizar para cada situación. Por ejemplo pudimos ver que el método de la secante es más conveniente que el método de newton raphson, ya que comparándolos podemos destacar que de cierta manera el método de la secante es más amigable.

Algunas de las Ventajas y desventajas generales de los métodos iterativos comparados con los métodos directos.

Ventajas

Probablemente más eficientes que los directos para sistemas de orden muy alto.

Más simples de programar.

Puede aprovecharse una aproximación a la solución, si tal aproximación existe.

Se obtienen fácilmente aproximando burdas de la solución.

Son menos sensibles a los errores de redondeo (valioso en sistemas mal condicionados).

Se requiere menos memoria de máquina. Generalmente, las necesidades de memoria son proporcionales al orden de la matriz.

Desventajas

Si se tienen varios sistemas que comparten la matriz coeficiente, esto no representará ahorro de cálculos ni tiempo de máquina, ya que por cada vector a la derecha de A tendrá que aplicarse el método seleccionado.

Aun cuando la convergencia esté asegurada, puede ser lenta y, por lo tanto, los cálculos requeridos para obtener una solución particular no son predecibles.

El tiempo de máquina y la exactitud del resultado dependen del criterio de convergencia.

Si la convergencia es lenta, los resultados deben interpretarse con cautela.