ensayo 1
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-
UUNNIIVVEERRSSIIDDAADD
TTCCNNIICCAA DDEE AAMMBBAATTOO
FFAACCUULLTTAADD DDEE IINNGGEENNIIEERRAA
CCIIVVIILL YY MMEECCNNIICCAA
EENNSSAAYYOO
DDEE
MMAATTEERRIIAALLEESS
II
IINNGG.. DDAANNIILLOO MMOORRAALLEESS
AAMMBBAATTOO--EECCUUAADDOORR
-
INTRODUCIN
El uso extensivo de los estudios experimentales preliminares al diseo y construccin
de nuevos elementos mecnicos o estructurales y el uso de procedimientos de ensaye
para control de procesos establecidos de manufactura y construccin, son hechos
significantes y bien reconocidos de nuestro desarrollo tcnico. Prcticamente todas las
ramas de la Ingeniera, especialmente todas aquellas que tratan con estructuras y
mquinas, conciernen ntimamente a los materiales, cuyas propiedades deben ser
determinadas con ensayos. La produccin masiva satisfactoria depende de la inspeccin
y control de calidad de los productos manufacturados, lo que implica un sistema de
muestreo y ensaye. La preparacin de especificaciones adecuadas y la aceptacin del
material comprobado de acuerdo con las especificaciones involucra la comprensin de
los mtodos de ensaye e inspeccin. El arreglo de las disputas relacionadas con las
fallas y la calidad subnormal casi invariablemente demanda investigaciones que
involucran ensayos fsicos. La investigacin de ingeniera y la funcin de desarrollo en
gran escala con base experimental demandan ensayos bien estudiados y cuidadosamente
planeados.
Para la inteligente estimacin y el uso de los resultados de los ensayos, es importante
para los ingenieros, aun para aquellos no ocupados en la labor de ensaye real, poseer
una comprensin general de los mtodos comunes de ensaye de las propiedades de los
materiales, y de lo que constituye un ensayo vlido. An ms, al tratarse de las
especificaciones y a la aceptacin de los materiales, la comprensin de las limitaciones
impuestas por los mtodos de ensaye e inspeccin es importante.
Los siguientes temas son bsicos para el estudio del ensaye de materiales:
1. Tcnica de Ensaye. Cmo operan los tipos de equipo comnmente usados? Es
el aparato extensamente usado? Cules son las variantes comunes de los
aparatos ordinarios? Cules limitaciones impone al aparato a la exactitud
obtenible? Careciendo de equipo de primera clase, Cmo puede uno lograr
resultados aproximados de los burdos ensayos de campo? Posee la teora de los
modelos alguna aplicacin en el ensayo dado?
2. Principios fsicos y mecnicos involucrados en el aparato y procedimiento de
ensaye. Quedan satisfechas las condiciones supuestas? Qu es lo ms
susceptible de fallar o arrojar resultados incorrectos? Cules crudezas aparentes
-
pueden desestimarse? Cules refinamientos pueden hacerse para obtener mayor
exactitud?
3. Teora de las mediciones. Cul es la precisin de los resultados? Cul de las
mediciones involucradas controla la precisin de los resultados finales? Son el
tiempo y esfuerzo despreciados para lograr una innecesaria precisin en algunas
de las mediciones?
4. Variabilidad de los materiales. Cuntos ensayos resultan necesarios para
obtener un promedio significativo? Cul variacin del promedio justifica el
rechazo de los valores individuales? Qu rango de resistencia (u otra
propiedad) puede esperarse de un material dado al usrsele en condiciones de
trabajo?
5. Interpretacin de los resultados. Cul es el significado de los resultados de los
ensayos? Pueden los resultados numricos aplicarse directamente al diseo y
usos similares, o son de algn valor solamente para su comparacin con otros
resultados? Cmo pueden interpretarse los resultados de ensayos arbitrarios?
Poseen algn significado los resultados de ensayos arbitrarios si las
condiciones de ensayo quedan fuera del rango para el cual se han establecido
correlaciones? Considerando los mtodos de ensaye y la clase de material,
Cules son las limitaciones de los resultados de los ensayos, o cun confiables
son los datos e ensayo? Cmo se reflejan en las especificaciones las
limitaciones del mtodo de ensayo y la variabilidad de los materiales? Cmo
debe redactarse una especificacin satisfactoria para un material dado?
Conjuntamente con el avance de nuestro desarrollo tecnolgico han surgido notables
mejoramientos en los tipos ms antiguos de materiales, muchos descubrimientos de
otros nuevos, y una variedad de nuevos usos para todos stos. Ellos han entendido el
alcance de ensaye de materiales y han complicado su prctica. Sin embargo los
principios fundamentales involucrados en la realizacin de ensayos vlidos y
confiables son comunes a todos los ensayos y constituye el propsito de este libro
tratar estos principios por medio de la discusin de los mtodos de ensaye ordinarios
de los materiales de construccin comunes.
-
CONOCIMIENTO Y ENSAYO DE MATERIALES
Ensayo, es una reproduccin bajo control del trabajo real del material. Al ensayar, la
meta es determinar la calidad, es decir, los hechos ir respectivamente de las
implicaciones de los resultados.
Los conceptos de las propiedades de los materiales estn usualmente idealizados y sobre
simplificados. En realidad, nosotros no determinamos las propiedades, en el sentido que
derivemos algunos valores inmutables que describan definitivamente el
comportamiento del material. Ms bien, obtenemos solamente medidas, indicaciones o
manifestaciones de las propiedades descubiertas en muestras de materiales ensayados en
ciertos grupos de circunstancias.
CLASIFICACIN DE LOS ENSAYOS
Pueden ser destructivos y no destructivos, hechos en el laboratorio o en el campo. A
veces deben hacerse los ensayos en probetas, tomando muestras de los materiales o
tambin en ocasiones se debe ensayar piezas reales o toda la estructura.
Propiedades de los materiales, la determinacin de cualquiera o todas esta propiedades
puede constituir el tema del ensaye de ingeniera. Sin embargo, la mayor parte de la
labor de laboratorio de ensaye de materiales ordinario se relaciona con las propiedades
mecnicas. Esta labor frecuentemente es llamada ensaye mecnico. Como el factor
principal en la vida y el desempeo de las estructuras y las mquinas es la carga
aplicada, la resistencia es de suma importancia; un requerimiento inicial de cualquier
material de ingeniera es una resistencia adecuada. En su ms amplia aceptacin el
trmino resistencia puede suponerse que se refiere a la resistencia a la falla de una pieza
completa de material, una pequea parte de ella, o an la superficie.
MATERIALES
DEL
INGENIERO
Metales (Acero Estructural)
Maderas
Cemento Portland (Hormigones)
Materiales Ptreos (Ripio,
Arena)
Cermicos (Ladrillos, Bloques,
Cermicas) (Artesanales,
Industriales)
Plsticos
Estudiaremos
las
propiedades
(conducta en
diferentes
situaciones)
Mediante
ensayos
-
La variabilidad de los resultados se estudia mediante ESTADSTICAS y determinamos,
por ejemplo:
La resistencia mxima (lmite)
La resistencia Admisible
La falla en el material
Falla, es cuando el material deja de ser til para lo que fue previsto. El criterio de falla
puede ser tambin, ya sea la ruptura o la deformacin excesiva.
Cmo deben realizarse los ensayos?
Los ensayos deben hacerse en base a NORMAS, la ms comn es la NORMA INEN
(Instituto Ecuatoriano de Normalizacin). Para el caso de maderas, no hay normas,
entonces ensayaremos de acuerdo a la norma ASTM (American Society For Testing
and Materials) que no es gubernamental. Otras normas son: DIN, ISO, JIS.
ASPECTOS GENERALES DEL COMPORTAMIENTO MECNICO
Propiedades Mecnicas. En su acepcin amplia, la resistencia se refiere a la capacidad
de una estructura o mquina para soportar cargas sin fallar, lo cual puede ocurrir por la
ruptura debida al esfuerzo excesivo o verificarse a causa de de la deformacin excesiva.
La segunda causa de falla, a su vez, puede ser el resultado de que un esfuerzo limitativo
haya excedido o de una rigidez inadecuada. Las propiedades de los materiales que
poseen significacin en relacin con este problema general son las propiedades
mecnicas.
Las propiedades mecnicas pueden definirse especficamente como aquellas que tienen
que ver con el comportamiento (ya sea elstico o inelstico) de un material bajo fuerzas
aplicadas. Las propiedades mecnicas se expresan en trminos de cantidades que son
funciones del esfuerzo o de l deformacin o ambas simultneamente.
Por rotura
Por deformacin excesiva
Propiedades que se
obtienen al ensayar
los materiales
Resistencia
Rigidez
Costos
Obteniendo
resultados
Puden ser:
Cuantitativos
Cualitativos
Van a ser
variantes
-
El ensaye mecnico se ocupa de la determinacin de las medidas de las propiedades
mecnicas. Las mediciones primarias involucradas son la determinacin de la carga y el
cambio de longitud. Estas se convierten en trminos de Esfuerzo y Deformacin por
medio de la consideracin de las dimensiones de la probeta.
Rutina Estndar de ensayo que nos permite obtener informacin
1. Carga de Rotura (QR)
2. Alargamiento o deformacin de Rotura (R)
3. Programa del ensayo que nos de la Informacin 1. y 2.
4. Graficar los resultados
5. Generalizar los resultados
Q (Kp) (mm)
0 0
--- --- --- ---
Carga
Q
Deformacin
q1
q2
1 2
GRANITO
a1 = a2 = a3
(No importa el valor de a,
ya que va a ser la misma)
-
Esfuerzo unitario o presin nominal
Deformacin unitaria Nominal (A dimensional)
Las propiedades fundamentales son la resistencia, la rigidez, la elasticidad, la
plasticidad y la capacidad energtica.
LA RESISTENCIA:
La resistencia de un material se mide por el segn el cul se desarrolla alguna
condicin limitativa especfica. Las principales condiciones limitativas o criterios de
falla son la terminacin de la accin elstica y la ruptura. La dureza usualmente
indicada por la resistencia a la penetracin o la abrasin en la superficie de un material,
puede considerarse como un tipo o una medida particular de resistencia.
LA RIGIDEZ:
La Rigidez tiene que ver con la magnitud de la deformacin que ocurre bajo la carga;
dentro del rango de comportamiento elstico, la rigidez se mide por el mdulo de
elasticidad (E).
LA ELASTICIDAD:
La elasticidad (ms no mdulo de elasticidad) se refiere a la capacidad de de un
material de regresar a su forma y dimensiones originales cuando cesa la accin que lo
deform. Un material es elstico si aplicamos una carga y se deforma, y si quitamos la
carga regresa a su condicin original.
Si cargamos el material y regresa
a 0 entonces decimos que es
elstico; pero si no regresa a 0,
sino por ejemplo a 0 decimos que hemos pasado el lmite de
elasticidad.
CARGA
DESCARGA
0 0
2
1 3 2
1
3
-
El lmite de elasticidad, es el valor mximo de esfuerzo que permite que el material
regrese a su forma y dimensiones originales, tambin se puede decir que es el valor
numrico de la elasticidad; se lo puede obtener mediante un proceso de cargas y
descargas y no del diagrama vs , ya que se debe realizar un sinnmero de pruebas
que cuestan tiempo y dinero.
LA PLASTICIDAD:
Es cuando el material es incapaz de regresar a su condicin original cuando cesa la
accin que lo deform, es decir permanece deformado.
Todos los materiales, pasado el lmite elstico se comportan elestoplsticamente.
Ductilidad.- Cuando el material admite deformacin en fro sin llegar a romperse. Es
decir se deja hacer hilos muy finos.
CAPACIDAD ENERGTICA:
La capacidad de un material para absorber energa elstica depende de la resistencia y
de la rigidez; la capacidad energtica en el rango de accin elstica se denomina
resiliencia; la energa requerida para romper un material se toma como la medida de su
tenacidad.
Para que el material sea plstico debe
quedarse con la deformacin 2 una vez quitada la carga, sin embargo no es as ya
que existe una recuperacin. En
consecuencia no es correcto el concepto
de plasticidad que comnmente se
conoce.
CARGA
DESCARGA
0
2
2
LE
Deformacin
Permanente
Recuperacin
Zona
Elast.
Zona
Elestoplstica
-
LEY DE HOOKE
Establece la proporcionalidad entre la deformacin y el esfuerzo.
El Esfuerzo se define aqu como la intensidad de las fuerzas o componentes internas
distribuidas que resisten un cambio en la forma del cuerpo. El esfuerzo se mide en
trminos de fuerza por rea unitaria.
El termino deformacin se usa aqu en su acepcin general para indicar el cambio en la
forma de un cuerpo; puede deberse al esfuerzo, al cambio trmico, al cambio de
humedad o otras causas. En conjuncin con el esfuerzo directo, la deformacin
usualmente se supone como un cambio lineal y se mide en unidades de longitud.
En conclusin, se define a la deformacin como el cambio por unidad de longitud en
una dimensin lineal de un cuerpo, el cual va acompaado por un cambio de esfuerzo.
El Lmite de proporcionalidad, es el mximo esfuerzo hasta donde se cumple la ley de
Hooke y se obtiene directamente del diagrama -. El lmite de elasticidad es superior
que el lmite de proporcionalidad.
1.
2.
3.
(Ec. Ley de Hooke)
E =Mdulo de elasticidad o de Young.
LE
LP
Esfuerzo
Deformacin
1
LP
1 2
Si el material cumple la Ley de
Hooke, el diagrama - es una
lnea recta; pero llega a un punto
en el que deja de ser una recta a
este punto se le llama Lmite de
proporcionalidad
LP
Esfuerzo
Deformacin
1
22
1 22 33
33
-
E tiene las mismas unidades que el esfuerzo pero no es esfuerzo.
La ley de Hooke se puede expresar de otra forma:
, Esfuerzo Unitario Nominal.
, Deformacin Especfica Nominal.
Mdulo es un valor absoluto que establece una relacin entre dos magnitudes y es un
nmero a dimensional, por lo tanto E es mal llamado mdulo de elasticidad, ya que
este si posee unidades.
Si E no es un mdulo ni mide la elasticidad, entonces Qu es?
Es la medida de la rigidez, en otras palabras es la dificultad para deformar el material.
Mdulos de elasticidad de algunos materiales:
E acero = 2,1 x 106 Kp/cm
2
E aluminio = 7 x 105 Kp/cm
2
E hormign = 2,1 x 105 Kp/cm
2
E madera = 1 a 2 x 105 Kp/cm
2
E = k = tan
0 < E <
No hay material de rigidez cero, ya que
esto significara que se deforma sin
someterle a carga; ni material
indeformable.
Esfuerzo
Deformacin
E =
E = 0
-
PARMETROS PARA CUMPLIR HOOKE
1. CARGA AXIAL
Es aquella que coincide con el centro de gravedad de la seccin.
Si la carga es EXCENTRICA la sumatoria de 1, 2, 3, 4, y 5 nos da el valor de P,
pero el sistema no esta en equilibrio porque P y P no estn en la misma lnea de
accin.
2. SECCIN CONSTANTE
P P
1 2 3 4 5
Para este caso no se
usar las frmulas de
Hooke
P
1 2 3 4 5
P
P
P/5
P/5
P
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9
P/5
P/9
Para este caso se
usarn las frmulas
de Hooke, ya que la
seccin es constante.
Mientras que para este
otro caso no, porque
cambia de seccin y las
cargas no se equilibran.
-
La deformacin y la carga van de la mano, tienen una correspondencia
BIUNIVOCA.
Nota: Cuando hay cambio brusco de seccin, hay concentracin de esfuerzos.
P
P
Deformacin igual
en cada retculo
CARGA AXIAL
Para cargas iguales,
deformaciones iguales.
1
2
P
CARGA NO AXIAL
Para cargas diferentes,
deformaciones diferentes.
1 2
Para realizar un cambio
de seccin y no se
deforme mucho el
material, se debe hacer
con una ligera curva.
P
P
Deformacin
Brusca
E= Medida de Rigidez del material
LP
Esfuerzo
Deformacin
LP
LP
-
HAY MATERIALES QUE NO QUIEREN CUMPLIR HOOKE.
MTODO DEL DEZPLAZAMIENTO
Al trazar la tangente por el inicio de la curva podemos relacionar y en
ese primer sector donde la tan se confunde con la curva.
Podemos trazar una secante y obtenemos una E sec.
Y tambin podemos trazar una tangente en la parte final de la curva y
tenemos E tan.
LOS MATERIALES REALES CUMPLEN CON HOOKE O AL
MENOS NO SE ALEJAN MUCHO DE ELLA.
Lmite de Fluencia (LF), es el valor de esfuerzo que causa una deformacin creciente
al material con carga constante. Es posible obtenerlo del diagrama o en el ensayo. Esta
es la constante que ms se manejar se llama Lmite de Sedencia.
Por ejemplo, cuando se ensaya una varilla de acero oxidada, y al llegar esta al
proceso de fluencia, el xido empieza a desprenderse como si se descascarar,
esto se debe a que el xido no se deforma tanto.
Esfuerzo
Deformacin
E = tan inicial
E sec
E tan
LP
LE LF
Esfuerzo
Deformacin
LP
LE
LFs
LFi
-
En conclusin:
LP.- Se lo obtiene del diagrama con imprecisin.
LE.- No se lo obtiene del diagrama, si no de un proceso de carga y descarga.
LF.- Se lo obtiene del ensayo y del diagrama.
DETERMINACIN DE LA RESISTENCIA A LA DEFORMACIN O
SEDENCIA
Se traza una paralela a la recta 0-LF fijando un desplazamiento (a) arbitrario y en donde
corte con el grafico, ese es el lmite fluencia, pero no nos interesa el punto si no el valor
de LF.
Punto Eutctico: Cuando una mezcla cristalina funde a una temperatura
menor.
Nivel Fretico: Cuando se excavan los suelos y se encuentra agua.
EJERCICIOS
1.1 Cul es el error de medida en cada 20m?
Cinta de acero: E=2,1x106 Kp/cm
2
Cinta de aluminio: E=7x105 Kp/cm
2
L
P
LF
Esfuerzo
Deformacin
ACERO DE CONSTRUCCIN
ACERO DE ALTARESISTENCIA
LP
LF
Esfuerzo
Deformacin
0 0
a
LF
LF =7800Kp/cm2 al 0,2%
0,002 (0,2%)
7800
Kp/cm2
-
1.2 Calcular las deformaciones que se producen en el sistema y en cada
material.
1.3 Para el siguiente sistema combinado, calcular la deformacin y los esfuerzos
en cada material.
EA=1x105 Kp/cm
2
EB=2x105 Kp/cm
2
E Acero=2,1x106 Kp/cm
2
E Hormign=2,1x105 Kp/cm
2
-
Ambos materiales se deforman por igual: H = A
El sistema cristalino del acero es regular o cbico
Conclusin: , es decir que el acero es 10veces ms rgido, es
decir es 10 veces ms difcil de deformar.
1.4 Cul es la mxima carga que soporta la columna sin exceder esos
esfuerzos? Cul es la deformacin de cada material?
E Acero=2,1x106 Kp/cm
2
E Hormign=2,1x105 Kp/cm
2
H = 200 Kp/cm2
A = 1200 Kp/cm2
-
Deben salir las deformaciones iguales, por lo tanto esa no es la forma
correcta de resolver.
(El mximo esfuerzo que le podemos dar al hormign es de
120 Kp/cm2)
-
1.5 Cul es el valor de la reaccin superior e inferior? Cul es el movimiento
del punto de aplicacin de P?
(Es lo que se mueve el punto)
ETRAC =2x105 Kp/cm
2
ECOMP =1,5x105 Kp/cm
2
1)
200cm
150cm
P =25000 Kp
Ao = 20 cm2
Rs
P
Compresin
Ri
Traccin
-
ISOTROPA
Es el igual comportamiento o iguales propiedades de los materiales, sin importar el
sentido de aplicacin de los esfuerzos. En general se puede decir que los metales son
ISOTRPICOS, es decir tienen el mismo mdulo de elasticidad en tensin o
compresin.
MDULO DE POISSON
L = Deformacin Longitudinal
T = Deformacin Transversal
Convencin de signos:
Signo (+), cuando es traccin
Signo (-), cuando es compresin
TRAC = COMP
E TRAC = E COMP
Tan = E
TRACCIN
COMPRESIN
Acero
Maderas
Hormigones
Cermicos
ISOTRPICO
NO ISOTRPICO
L (
+)
T (-)
P
Lo
ao
P = 0
2) El modulo de Poisson va ha ser negativo porque las dos deformaciones
son opuestas, y siempre ser menor que
la unidad.
Si = -0,5, entonces el material no
cambia de volumen
-
Analizando un prisma:
Analizando un cubo: (a = b = c )
EJERCICIOS
2.1 Calcular las reacciones, el movimiento del punto de aplicacin de la carga y
el cambio de volumen en los elementos A y B.
a
b
a
c
b
c
P
Sentido longitudinal Acorta = a
Sentido transversal Alarga = b, c
P
a
a
a
Vista Superior
Sentido longitudinal
Sentido transversal
Nota: La cantidad de L, elevado a la n, tiende a
cero siempre y cuando n
no se encuentre en el
siguiente rango:
0 < n < 1
-
Suponiendo que B no se deforma Suponiendo que A no se deforma
P =10000 Kp
B
A
Ao= 4cm2
E= 106 Kp/cm2
= -0,25
400 cm
200 cm
Ao= 5 cm2
E= 2x106 Kp/cm2
= -0,30
3 m 6 m
10000 Kp
RA
RB
300 cm
600 cm X
300 cm 600 cm
Y
-
2.2 En el diagrama de la figura, calcular: a) las Reacciones, b) las
deformaciones en cada elemento vertical, c) el movimiento de punto de
aplicacin de la carga y d) el cambio de volumen en cada elemento vertical.
100 cm
B
A
400 cm
300 cm
100 cm
Ao= 15cm2
E= 2x105 Kp/cm2
= -0,25
Ao= 20 cm2
E= 105 Kp/cm2
= -0,30
60000 Kp
RB
RA
A = B P
-
2.3 A partir del diagrama calcule: a) las reacciones, b) los esfuerzos en cada
varilla.
0,6 m
B A
2 m
1 m
1 m 50 ton = 50000 Kp
RB
RA
P A
Ao= 300 mm2
E= 2,1x106 Kp/cm2
Ao= 600 mm2
E= 3,5x106 Kp/cm2
B
A
B
0,8 m
Rx
Ry
-
Relacin de tringulos:
PROPIEDADES DEL DIAGRAMA DEL ACERO
LP, Lmite de Proporcionalidad
LE, Lmite de Elasticidad
LFs, Lmite e Fluencia superior
LFi, Lmite de Fluencia inferior
Rm, Resistencia Mxima
ZE, Zona Elstica
ZP, Zona Plstica
ZE, Zona de Endurecimiento
ZA, Zona de Ahorcamiento
Rot, Permite cuantificar la
ductilidad del material
Seguro Inseguro Rot x100
ZE
LP
Rm
Esfuerzo
Deformacin
LE
LFs
LFi
Punto de
inflexin
Rotura
ZP ZE ZA
-
Descripcin de las Zonas en el diagrama de comportamiento del acero
La Zona Elstica, debera ir hasta el lmite se Elasticidad, pero como es muy difcil
de determinar y adema esta muy cerca del lmite de Fluencia tanto grfica como
numricamente, se l toma hasta el lmite de Fluencia.
Se le llama Zona de Ahorcamiento porque en esa zona la seccin del material se
reduce, es decir se ahorca si le damos una carga mayor a la carga mxima (Rm).
Se llama Zona de Endurecimiento porque si descargamos el material y volvemos a
cargar el material no regresa a cero sino queda una deformacin permanente; si lo
volvemos a cargar cumplir la ley de Hooke hasta el punto B que fue en el que lo
descargamos, es decir aumenta el lmite el proporcionalidad y ahora esta en el punto
B.
Se llama Zona Plstica porque si descargamos al material en algn punto de la
misma le permite sobrellevar la deformacin permanente sin que sobrevenga la
ruptura.
La propiedad por la cual el material aumenta su resistencia como consecuencia de una
deformacin plstica permanente se ACRITUD.
PMX P > PMX
Se ahorca hasta romperse
LFi
0
ZE ZP ZE ZA
LP
Rm
LE
LFs Punto de
inflexin
Rotura
Esfuerzo
Deformacin
0
B
LP
-
Ductilidad, Un material es ductil cuando la deformacin a la rotura es superior al 5%.
El punto de la rotura de un material sirve para determinar su ductilidad. Por ejemplo, si
estiramos una varilla de 1m y se rompe al 30%, es decir cuando tenga 130 cm
Un material que se rompe al menos del 5% de su longitud es un material FRAGIL.
EL MATERIAL ES DCTIL
EL MATERIAL ES FRAGIL
Propiedades del diagrama del Acero.
1. Partimos del diagrama P-
Por comodidad suponemos que el material cumple la ley de Hooke.
Al Aumentar la carga de P a dP, se desarrolla un diferencial de trabajo dt (t=F).
El diagrama P - determina las propiedades slo de esa muestra ensayada.
El diagrama determina las propiedades del MATERIAL de la muestra
ensayada.
PLP
LP d
P
dP
-
Resiliencia Elstica de la muestra (u):
Es la cantidad de energa o trabajo que se gasta en deformar a la muestra desde cero
hasta el lmite de proporcionalidad.
Unidades: u = Kp*cm (Sistema Internacional)
u = N * m (Julio) (S.I.)
Resiliencia Elstica del Material (U):
Es la cantidad de trabajo en cada unidad de volumen que se gasta para deformar al
material de cero hasta el lmite de proporcionalidad.
Unidades: = Kp*cm c/cm3 (No se simplifica)
= = J c/m3 (Sistema Internacional)
Porque:
PL
P
L
P
P
LP
LP
LP
LP
Donde;
Por lo tanto:
-
A la misma frmula llegamos si partimos del diagrama .
Tenacidad (T t):
Esta es la cantidad de energa o trabajo que se requiere parar llevar a la muestra desde
cero hasta la rotura, o es la cantidad de energa por unidad de volumen si se trata del
material.
(Se calcula con el rea bajo diagrama 0-A)
(Se calcula con el rea bajo todo el diagrama)
(Se calcula con el rea bajo diagrama 0-A)
(Se calcula con el rea bajo todo el diagrama)
LP
LP d
d
rea
bajo la
curva
- P
-
Rotura
A
0
-
Para calcular el trabajo realizado por una carga aplicado a una barra, se calcula por:
N de Mrito (#M - #m):
Es el rea de la capa envolvente al grfico.
Resiliencia Hiperelstica (UHmx -uHmx):
Es la cantidad de energa por unidad de volumen que devuelve el material siempre y
cuando la descarga ocurra en un punto superior al lmite de elasticidad.
Energa Absorbida (En Abs en abs):
Es la resta de la tenacidad menos la resiliencia Hiperestica a la rotura.
Capa envolvente
del grfico
- P
-
Rotura
- P
-
Rotura
- P
-
Rotura
LP
LE
A (descargamos)
rea del Tringulo
UHmx -uHmx
x
d P
-
HISTERESIS: La energa absorbida en cada proceso de carga y descarga pero sin dejar
deformacin ya que este proceso se hace dentro de la zona elstica.
La cantidad de Histerisis es mayor cuando mayor es el punto de carga y descarga.
EJERCICIOS
3.1 Calcular la cantidad de energa del elemento A y B del problema 2.1.
A: P=5000 Kp = 0,2 cm vA = 2000 cm3
B: P=15000 Kp = 0,75 cm
T menos la UHrotura
- P
-
Rotura
LP
LE UHrotura -uHrotura
x
A
Energa no devuelta
Histresis
- A
- A
A
Si damos carga hasta un punto bajo
el lmite de elasticidad, y
descargamos el material regresa a 0 y
sin deformacin, pero no devuelve el
100% de energa que gastada en la
carga o deformacin
-
P: P=10000 Kp = 1,225 cm
3.2 Una pieza de 2 cm2de seccin y 25cm de longitud fue ensayada en traccin y dio
el diagrama mostrado. Calcular: a) el Lmite de elasticidad del material, b) la
rigidez del material, c) la resiliencia elstica de la muestra y del material, d) la
carga y la energa para deformar la muestra de 30mm, e) la tenacidad de la
muestra y del material, f) la energa absorbida por 1 cm3 del material luego de
la rotura, y g) si el material es dctil o frgil.
Diagrama para la muestra Diagrama para el material
a) El Lmite de elasticidad no es posible obtenerlo del grfico, pero sabemos que
esta entre el LP y el LF, y como en este caso: LE =2000 Kp/cm2
b)
c)
-
4 Kp*cm 50 cm3
X 1 cm3
X = 0,08 Kp*cm/cm3
d)
(El material se rompe cuando P=8000Kp y =5 x10-2 mm,
entonces no puede haber una =30)
Probemos con una =0,3mm=30x10-2:
(Ojo es la ec. de la ley de Hooke, valida solo hasta LP,
si usamos con =0,3mm ya esta pasa la recta que cumple Hooke, entonces
graficamos en el diagrama.
e) Tenacidad Material =rea bajo la curva del Diagrama -
f)
ENER ABS =Tenacidad Recuperacin
ENER ABS = T - UH
ENER ABS = (5,64 -0,18) Kp*cm c/cm3
ENER ABS = 5,46 Kp*cm c/cm3
-
g) ROTURA nos permite evaluar sie l material es dctil o frgil representado en
porcentaje
3.3 Una muestra de 25 cm2 se ensay a traccin y dio el grfico mostrado a
continuacin. Calcular a) la resiliencia elstica del material y la muestra, b) la
tenacidad del material, c) la mxima resiliencia Hiperelstica del material y d)
la energa absorbida por 1cm3 del material luego de la rotura.
a)
800 Kp*cm 25 cm3
X 1 cm3
X = 32 Kp*cm/cm3
b)
ROT =20x10-4
*100 =0,2%
Material es Frgil
-
c)
d) ENER ABS =En gastada En devuelta
ENER ABS = T - UH
ENER ABS = (848-128) Kp*cm c/cm3
ENER ABS = 720 Kp*cm c/cm3
3.4 A partir de los datos calcule: a) Rigidez de la muestra, b) Rigidez del material,
c) Resiliencia Elstica de la muestra, d) Resiliencia elstica del material, e) La
tenacidad del material, f) La mxima resiliencia Hiperelstica de la muestra, g)
La energa absorbida por el material luego de la rotura, h)La carga y la
Energa para deformar a la muestra 10mm, y i) Diga si el material es dctil o
frgil y porque?.
MATERIAL (-) MUESTRA (P-)
a)
b)
c)
-
d)
e)
f)
g)
UH rotura
UH mxima
X Y
z
A
-
h)
i)
(Es un Material dctil porque rot > 5%)
DUREZA
Es una solidez o firmeza del contorno de un material. Los ensayos de dureza no son
universales, se los hace segn el uso que se va a dar a ese material.
Penetracin o Identacin
Por rebote (Choque) Tiene que ver ms con la resiliencia elstica
A la Abrasin (Efecto Liso)
Por desgaste del material
Al Rayado
A la cortadura (Penetracin por corte)
1. Clasificacin
2. Control de calidad al 100%
3. Relacin Dureza vs Otra propiedad
ENSAYO DE PENETRACIN
1. Ensayo Brinell.- Este ensayo se desarrolla para evaluar la dureza en los
materiales, su norma es la ASTM-10 y se lo realiza con carga dinmica.
3000 Kp (metales duros, aceros)
1500 Kp (metales medios, cobre y bronce)
500 Kp (metales suaves, aluminio y plomo)
D = 10 mm
D
U
R
E
Z
A
Carga esttica
Carga dinmica Lim. Elstico
P
Muestra
D
-
Luego de aplicar la carga:
El NBD, es el esfuerzo que causa la penetracin. El ensayo de dureza de Brinell
se considera estandarizado si se usan los valores dados (D=10mm, P=1500Kp,
500Kp, 3000Kp)
Limitaciones del ensayo Brinell
El resultado debe ser menor que 600.
La superficie debe ser lisa, bien pulida.
El espesor debe ser e 10t
Se debe mantener aplicada la carga no menos de 30
Es conveniente que la huella este separada de los bordes l = 2,5 d
2. Ensayo Rockwel.- El NDR (nmero de dureza Rockwel) es la profundidad de
penetracin causada por el penetrador y carga estndar. Se puede probar en
cualquier material. La norma para este ensayo es la ASTM-E18 y trabaja con
carga esttica.
Este ensayo usa cargas pequeas y en consecuencia las huellas son ms
pequeas. Eventualmente el ensayo Rockwel suele usar esferas de acero de =
1/16 en lugar del cono de punta de diamante.
El procedimiento es el siguiente:
1. Se encera el medidor con una carga de 5 0 10Kp de manera que
exista una pequea deformacin.
NBD: # de dureza Brinell.
D: dimetro de la esfera
d: dimetro de huella
e
l d
t
Muestra
P
Muestra
120
r = 0,002
Cono con punta de
diamante
-
2. Se mantiene la carga hasta que la aguja se detenga.
3. Ensayo Janka.- Exclusivamente para maderas (ms precisamente para pisos) y
consiste en medir la carga para que la bola penetre hasta la mitad.
ENSAYO POR REBOTE
1. Ensayo Shore.- Para metales, mide la altura de rebote que se produce en el
material.
C = Cono de diamante +150Kp
B = Bola de acero 1/16 +100Kp A = Bola de acero de 1/16 +60Kp
Cada nmero de esta escala
equivale a 0,002mm
100
5 Kp
10 Kp P
25 75
50
D = 0,444 D =11,27 mm
DH = 11,27 mm
AH = 1 cm2
D
Huella D En Carga Radial
Ensayo en cara transversal
Ensayo en cara
Tangencial
Altura de Rebote = Dureza
12
-
2. Ensayo de Schmidt.- Esta diseado para medir la dureza y la posible resistencia
a la compresin del hormign. Este ensayo se hace con el esclermetro de
dureza o martillo escleromtrico.
Dato: La resistencia del hormign =240 Kp/cm2.
Esclermetro
Ensayo de dureza utilizando el Esclermetro
Elemento N de
Ensayo
Angulo
() Dureza
Promedio
de dureza
Esfuerzo
(Kp/cm2)
Columna 1
(Planta
Baja)
1
2
3
0
28
28
23
26,3 185,50
Columna 2
(Planta
Baja)
1
2
3
0
23
26
28
25,3 176,24
Gradas
1
2
3
+45
28
27
29
28,0 153,00
Loza
(planta alta)
1
2
3
+90
31
35
34
33,3 221,61
Viga de
borde
1
2
3
0
28
33
30
30,3 247,28
Viga de
borde
1
2
3
+90
29
33
38
33,3 221,61
Columna 3
(Planta
Alta)
1
2
3
0
18
15
25
19,3 98,43
Columna 4
(Planta
Alta)
1
2
3
0
28
29
33
30,0 242,00
Viga
Colgante
1
2
3
+90
32
31
35
32,7 210,56
Viga
Colgante
1
2
3
0
26
28
24
26,0 181,00
-
DUREZA A LA ABRASIN
Se lo realiza en la Mquina de los ngeles, que simula el funcionamiento natural el
lecho de los ros (es decir arrastra las piedras hasta volverlas redondas).
PASA RETIENE
1 1 125025
1 125025
125025
3/8 125025
= 500010
La mquina de los ngeles gira a una velocidad de V=33 1/3 rpm y da 500 vueltas.
La dureza se cuantifica por:
El nmero del cedazo es igual al nmero de agujeros que hay en cada pulgada lineal, y
para el hormign de alta resistencia, la dureza 25%.
(Si ocurre esta relacin el material es
heterogneo)
DUREZA AL RAYADO (De Mohs)
Se considera 10 parmetros en funcin de los materiales en la naturaleza. Prepara una
escala de dureza de los minerales.
1. Talco (Mg3Si4O10 (OH)2), se puede rayar fcilmente con la ua.
2. Yeso (CaSO4.2H2O), se puede rayar con la ua con ms dificultad.
3. Calcita (CaCO3), se puede rayar con una moneda de cobre.
4. Fluorita (CaF2), se puede rayar con un cuchillo.
5. Apatito (Ca5 (PO4)3(OH-, Cl-, F-)), se puede rayar difcilmente con un cuchillo.
6. Ortoclasa (KALSi3O8), se puede rayar con una lija de acero.
7. Cuarzo (SiO2), Raya el vidrio.
8. Topacio (Al2SiO4 (OH-, F-)2), raya todos los anteriores.
9. Corindn (Al2O3), Zafiros y rubes son formas de corindn.
10. Diamante (C), es el mineral natural ms duro.
Ripio Retenido en
el Tamiz 3/8
(50010gr)
12 Bolas de acero
de 1 25/32 =45mm
-
DUREZA A LA PENETRACIN POR CORTADURA
Se lo hace simplemente utilizando el taladro de Bauer, y se mide la profundidad del
agujero.
FACTORES QUE MODIFICAN LA RELACIN ( vs )
1. Velocidad de aplicacin de la carga.- En general los metales son prcticamente
insensibles a la velocidad de aplicacin de la carga si se ensaya en las maquinas
convencionales como la prensa Hidrulica. Las maderas son sensibles con la
velocidad al igual que los plsticos y Hormigones.
En consecuencia, en un ensayo se debe fijar la velocidad de la carga o la
velocidad de deformacin.
Cuando se trata de una mquina hidrulica se fija la velocidad de
aplicacin de la carga o la velocidad de crecimiento del esfuerzo.
Cuando se trata de mquinas mecnicas o de tornillo se especifica la
velocidad de deformacin.
2. Historia de un material.- Se refiere al estado en el que llegan los materiales y
pueden ser el Hormign, madera y cermicos.
En el caso del Hormign es conveniente dar una carga de 80% de la posible
carga de rotura cuando es virgen para poder usarlo.
A mayor duracin del ensayo
mayor deformacin.
A menor duracin del Ensayo
menor deformacin.
Tiempo
Rotura
Rotura
Duracin
Duracin
Maderas-Hormign-Cermicos-Plsticos
-
Al aumentar el lmite de proporcionalidad, el material gana Resistencia pero
pierde Deformabilidad y Tenacidad.
3. Temperatura del Ensayo.- Hay materiales que son sensibles a la variacin de
temperatura y otros no.
El material virgen no cumple
Hooke, pero luego de descargar
y volver a cargar, cumplir esta
ley.
Maderas-Hormign-Cermicos-Plsticos
Rotura
0 0
Virgen
LP
ACERO
Rotura
0 0 1
A
LP
B
2
Si cargamos y descargamos
desde A no altera.
Si hacemos lo mismo desde
B, se altera y Regresa a 0.
Si volvemos a cargar desde
0el material cumple Hooke,
pero sube el lmite de
proporcionalidad y ya no
Hace la curva caracterstica.
Resistencia Mxima
METALES
Deformacin a la
Rotura
E
LF
t (C)
El lmite de fluencia baja
drsticamente, cuando se
eleva la temperatura igual
que la resistencia mxima y
el Mdulo de elasticidad.
La deformacin de rotura
crece con el aumento de
temperatura.
-
En hormign, madera y cermicos son insensibles al cambio trmico dentro
de ciertos lmites.
4. Contenido de Carbono.- Esta es exclusiva del acero.
Los aceros de bajo carbono son ms tenaces.
Los aceros de alto contenido de carbono son ms resistentes pero poco
tenaces.
5. Contenido de Humedad.- Los metales obviamente no tienen contenido de
humedad.
Si el hormign esta hmedo pierde resistencia. En los cermicos pasa igual cosa,
si esta saturado su resistencia es baja. Por tal razn para ensayar hormign y
cermicos, se los hace saturados para obtener la resistencia mnima.
En el caso de maderas es ms complejo y el agua la encontramos en tres formas.
Agua Libre, es aquella que llena la cavidad celular.
Bajo contenido de carbono 0,5% menos.
METALES
Rotura
(Alto Carbono)
Rotura
(Medio Carbono)
Rotura
(Bajo Carbono)
E = cte
LF aumenta 430 Kp/cm2
Rm aumenta 700 Kp/cm2
rotura Disminuye 5%
Si aumentamos
0,1%
E = tan
HORMIGONES
% CH
Hormign seco > resistencia
Hormign saturado < resistencia
-
Agua de Constitucin, es aquella que forma la materia orgnica.
Agua de Saturacin Invivisin, es la que seta saturando la pared
celular.
El agua libre y el agua de saturacin pueden perderse en la madera, pero el
agua de constitucin no. Mientras la madera esta perdiendo el agua libre las
propiedades fsicas y mecnicas permanecen constantes, cuando el agua de
saturacin empieza a perderse ocurre cambios fsicos como rajaduras y aumento
de resistencia hasta que la madera queda anhidra, es decir solo con el agua de
constitucin.
PSF: Punto de saturacin de las fibras
CHE: Contenido de humedad de equilibrio.
Para ensayar madera se lo debe hacer cuando esta se encuentre en condicin
verde, e otras palabras cuando posea un 30% CH, ya que as se obtiena la
resistencia mnima.
6. Forma de la Probeta.- El hormign normalmente es ensayado como cilindros.
Seca al
aire
% CH
Verde 0% Humedad
Madera
an
hid
ra o
seca
da a
l h
orm
o
0 8% PSF
CHE 22%
Consideraciones:
Seca al aire cuando CH es
aproximada al 8% y se llama
tambin contenido de humedad de
EQUILIBRIO.
2D
D
P
cilindro cubo = 0,8 cilindro
P
cubo
-
7. Tecnologa del Ensayo.- Por ejemplo:
Obtenemos una mayor resistencia del ladrillo mambrn si lo ensayamos
en plano que cado o parado (vertical).
Tendremos diferente resultado si las personas miden su estatura de pie o
acostados.
8. Experiencia del Operador.- El resultado de un laboratorista u operador ser ms
confiable que la de un novato.
CRCULO DE MHOR
Conveccin de Signos:
Compresin positivo (+):
Tensin negativo (-):
P
b
b' a'
a
c
b
b' a'
a
c
T T
+
-
Plano Principal, es donde el esfuerzo
cortante se hace cero
Los Planos de cortante mximo, es
donde el material Falla
-
EJERCICIOS
4.1 Determinar por el crculo de Mhor las tensiones normal y cortante mximas y
mnimas.
A (, )
A (20, 5) PH
B (-10, -5) PV
Resumen:
c = 21 Kp/ cm2
T = -11 Kp/ cm2
mx = 16 Kp/ cm2, -16Kp/cm
2
PP = 2
Plano de Falla: T = -3,1 Kp/ cm2
mx = 13,6 Kp/ cm2
10
20
5
1
1
PH
PV
5
5
5
20
10
-
4.2 Determinar por el crculo de Mhor las tensiones normal y cortante mximas y
mnimas.
A (, )
A (-10, -3) PH
B (0, 3) PV
Resumen:
c =0,8 Kp/ cm2
T = -10,9 Kp/ cm2
mx = 5,8 Kp/ cm2, -5,8 Kp/cm
2
PP = 2
Plano de Falla: T = -10,6 Kp/ cm2
mx = 1,5 Kp/ cm2
10
3
3
3
3
10
PH
PV
a
a
-
JUNTAS REMACHADAS
Ventajas de la Soldadura
1.- Fcil y rpida
Desventajas
1.- Se requiere mano de obra altamente calificada
2.- La suelda se pone caliente y al esforzarse se contrae y origina tensiones
3.- Deja una unin muy rgida sin posibilidad de movimiento
* En lugar de la suelda se usan remaches
Hiptesis de clculo de remaches
1.- Se desprecia el rozamiento generado entre las placas de unin
2.- Supondremos que el esfuerzo unitario en los remaches es uniformemente distribuido
(carga axial)
-
1.- Calcular el esfuerzo cortante en los remaches
2.- Calcular el esfuerzo de traccin en los remaches
3.- Calcular el esfuerzo compresin en las placas
Es el ms critico en las juntas remachadas y se debe poner mas cuidado
4.- Calcular el esfuerzo cortante en la placa
-
Calcular todos los valores de esfuerzos de la siguiente junta remachada
Remache = 12 mm
Agujero= 12.5 mm
2
2
2
13.1
4
2.1*
4
*
cmA
A
DA
R
R
R
2/93.1415
2*13.1*5
16000
cmKp
A
P
R
R
R
R
2/93.1415
13.1
1600
1600
10
cmKp
A
p
Kpp
Pp
R
R
R
R
2
2
2
2
/89.1545
9.0*25.1*214
16000
*
cmKp
tDa
P
T
T
A
T
2
1
1
1
/65.1040
9.0*25.1*314
1600*6
*
6
cmKp
tDa
p
T
T
A
T
2/96.2962
9.0*2.1
1600*2
*
2
*
cmKp
tD
p
tD
P
C
C
R
C
R
C
2
1
1
1
/59.592
9.0*3*2
1600*2
**2
*2
**2
cmKp
te
p
te
P
P
P
P
P
2
2
2
2
/50.273
9.0*5.6*2
1600*2
**2
*2
cmKp
te
p
P
P
P
5mm
16000 Kp 16000 Kp 9mm
5mm
3 3.5
140mm
1 2
-
Calcular la carga mxima que puede soportar el ensamble sin exceder los esfuerzos
indicados
Remache = 11 mm R =1000 Kp/cm2
Agujero= 12 mm c = 1200 Kp/cm2
T = 800 Kp/cm2
2
2
2
95.0
4
1.1*
4
*
cmA
A
DA
R
R
R
KpP
P
pP
Kpp
p
tDa
p
A
T
12096
1344*9
*9
1344
2.1*2.1*312
*91200
*
*91
KpP
P
pP
Kpp
p
tDa
p
A
T
18144
2016*9
*9
2016
2.1*2.1*312
*91200
*
*62
KpP
P
pP
Kpp
p
Ap
A
p
RR
R
R
8550
950*9
*9
950
95.0*1000
*
kpP
P
pP
Kpp
p
tD
p
R
C
9504
1056*9
*9
1056
12*1.1800
*
kpP
P
pP
Kpp
p
tD
p
R
C
4752
528*9
*9
528
12*1.1
2800
*
2
Pmx = 4752 Kp
6mm
12mm
8mm
120mm
1 2
-
Calcular los valores de esfuerzo en la siguiente junta remachada
Remache = 1.15cm
Agujero= 1.2cm
2
2
2
039.1
4
15.1*
4
*
cmA
A
DA
R
R
R
KpP
p
pP
2000
16
32000
*9
2/50.1925
039.1
2000
cmKp
A
p
R
R
R
R
2
3
3
3
/44.1870
4.1*2.1*214
32000
*
cmKp
tDa
P
T
T
A
T
2
2
2
2
/08.1923
4.1*2.1*314
2000*14
*
*14
cmKp
tDa
p
T
T
A
T
2
1
1
1
/24.1242
4.1*2.1*414
2000*8
*
*8
cmKp
tDa
p
T
T
A
T
2/24.1242
4.1*15.1
2000
*
cmKp
tD
p
C
C
R
C
2/47.2484
4.1*15.1
2000*2
*
*2
cmKp
tD
p
C
C
R
C
2/57.178
4.1*4*2
2000
**2
cmKp
te
p
P
P
P
2 1
14cm
3
32000Kp 32000Kp
1cm
1.4cm
0.6cm
-
ESFUERZOS Y DEFORMACIONES VERDADERAS EN TRACCIN
%300320
60
%100140
40
o
o
L
L
Valores dentro de la Zona Elstica
-
Esfuerzo transversal verdadero
iA
PS
Ai = rea instantnea cuando la carga ha sido aplicada
P = carga aplicada
1ln
1ln
ln
ln
Lln - Lln =
ln
o
0
o
o
o
o
L
i
i
i
L
L
L
L
L
L
L
dLd
Para el acero supuesto V = 0
reas Dimetros
i
o
o
o
o
o
oo
o
A
A
L
L
A
A
L
L
A
A
LALA
VV
ln
lnln
**
i
o
i
o
i
o
i
o
D
D
D
D
D
D
A
A
ln*2
ln
4
*
4
*
ln
ln
2
2
2
2
-
rea instantnea Esfuerzo Verdadero
1 =
= + 1
ln = ) + (1ln
ln
oi
i
o
i
o
i
o
AA
A
A
A
A
A
A
1* =
1 =
1
=
=
S
A
PS
A
PS
A
PS
i
o
i
RESUMEN
Transversales iA
PS =
i
o
A
Aln
Longitudinales 1* = S
1ln
Ejemplo:
P (Kp)
(mm)
Longitud
(mm)
rea
(cm2)
(mm) Ao
P =
Lo
=
0 30 250 7.068 0 0 0
2000 29.5 259 6.835 5 282.97 0.036
4000 29 268 6.605 18 565.93 0.072
6000 27 309 5.726 59 848.90 0.236
8000 25 346 5.107 96 1131.86 0.384
iA
PS =
i
o
D
Dln*2
1* = S
1ln
0 0 0 0
292.61 0.034 293.16 0.035
605.60 0.068 606.65 0.069
1047.85 0.211 1049.24 0.212
1566.47 0.325 1566.49 0.325
-
En la zona elstica los valores de esfuerzo y deformaciones nominales y verdaderas
prcticamente coinciden
Si S y a de las zonas plstica y de endurecimiento se llevan a una escala logartmica, se
obtiene una grfica con tendencia lineal
K = coeficiente de endurecimiento especfico
n = exponente de endurecimiento especfico (Acritud)
log S = log K + log
S = K n Ecuacin de Mc Gregor
log S = log A + log B
A = K
B = n
Mtodo de l a doble Carga
nKS
S
22
n
11 K =
aS
S
2
1
n
nb
2
n
1
ln (a) = n ln (b)
-
0
**
*
ln
*
0
eSddSeAdP
eASe
ASP
eAA
e
AA
A
A
ASPA
PS
o
o
o
i
o
i
i
o
i
i
P mx. = Limite de la zona de endurecimiento y ahorcamiento. Tambin conocido
como carga de inestabilidad o carga ltima.
Traducimos a cargas ltimas
Acritudn
un
u
un
uKnuK
uKnud
dSu
uKSu
KS
ud
dSuSu
eudSuedSu
n
n
nn
n
n
uu
1
1
1
***
**
*
0***
n
n
on
u
on
u
o
n
nkSu
Au
Puu
e
AuKPu
e
AuKPu
e
AAu
uKSu
AuSuPu
*
*
*
*
*
Acritud es la propiedad o proceso por el cual el material se endura o gana resistencia
como consecuencia de una deformacin permanente, se la calcula en la zona de
endurecimiento.
En los materiales dctiles el valor de n es bajo, o sea, si el material es poco deformable,
n es bajo, si es fcilmente deformable n es alto
dP = 0
tg * Su
dP = 0
-
no
o
n
oo
o
n
o
n
o
o
n
n
eLLu
LeLLLu
LeLu
eL
u
L
ue
ue
un
uu
*
*
1
1
1
1ln
1ln
1ln
o
o
LLuu
Lu
u
Ejercicios
De la tabla determinar los valores K y n para valores transversales y longitudinales y
calcular la carga ltima
P (Kp)
(mm)
Longitud
(mm)
rea
(cm2)
(mm) Ao
P =
Lo
=
0 30 250 7.068 0 0 0
2000 29.5 259 6.835 5 282.97 0.036
4000 29 268 6.605 18 565.93 0.072
6000 27 309 5.726 59 848.90 0.236
8000 25 346 5.107 96 1131.86 0.384
iA
PS =
i
o
D
Dln*2
1* = S
1ln
0 0 0 0
292.61 0.034 293.16 0.035
605.60 0.068 606.65 0.069
1047.85 0.211 1049.24 0.212
1566.47 0.325 1566.49 0.325
Transversales Longitudinales
n
nKS
S
211.083.1047
.3250= 1566.47
K =
n
22
n
11
n
nKS
S
212.024.1049
325.0 = 1566.69
K =
n
22
n
11
-
93.0
54.1ln*495.1ln
54.1495.1
n
n
n
938.0
533.1ln*493.1ln
533.1493.1
n
n
n
2
93.0
93.0
/25.4455
325.0
1566.47
325.0*47.1566
*
cmKpK
K
K
KS n
2
938.0
938.0
/10.4496
325.0
1566.69
325.0*69.1566
*
cmKpK
K
K
KS n
KpPu
e
Pu
enKPu
n
n
468.11613
7.068*93.0*23.4455
A**
93.0
93.0
o
KpPu
ePu
enKPu
n
n
604.11713
7.068*938.0*10.4496
A**
938.0
938.0
o
2
93.0
o
7887.2
068.7
A
cmAu
eAu
eAu
n
cmLu
Lu
Au
LALu
AuLuLA
VuV
oo
oo
o
628.633
7887.2
25*068.7
A partir de los datos del cuadro calcular:
a) La Resiliencia elstica del material
b) La carga mxima
c) La longitud y la seccin al inicial el ahorcamiento
d) La mxima Resiliencia hiperelstica del material
P
(Kp)
A
(cm2)
Longitud
(mm)
(mm) oA
u P
oL
1S 1ln
0 2.0 250 0 0 0 0 0
2000 259 9 1000 0.036 1036 0.035
4000 263 13 2000 0.052 2104 0.051
6000 282 32 3000 0.128 3384 0.120
8000 299 299 4000 0.196 4784 0.179
-
mmLu
eLu
eLLu
KpPu
ePu
enKPu
cmcmKpU
U
U
n
n
n
73.596
*250
*
97.15862
287.0*22.21370
A**
/*18
2
036.0*1000
2
*
87.0
9
87.0
87.0
o
3
LpLp
2
87.0
1
2
1
/22.21370
179.0
4784
*
87.0
491.1ln*414.1ln
491.1414.1
120.0*3384
179.0*4784
*
*
cmKpK
K
KS
n
n
K
K
KS
KS
n
n
n
n
n
n
2
87.0
o
84.0
2
A
cmAu
eAu
eAu
n
2/75.18931
84.0
97.15862
Pu
cmKpu
u
Auu
2/78.27777
036.0
1000
cmKpE
E
ELp
Lp
2
2
2
/39.6451
78.27777*2
75.18931
*2
u
cmKpU
U
EU
Hmx
Hmx
Hmx
A partir de los datos del cuadro calcular:
a) La acritud
b) La rigidez del material
c) La carga a la que inicia el ahorcamiento
d) Su longitud ltima
-
P
(Kp)
A
(cm2)
Longitud
(mm)
(mm) oA
u P
oL
iA
PS
i
o
A
Aln
0 4.0 150 0 0 0 0 0
2000 3.91 162 12 500 0.08 511.51 0.023
4000 3.83 100 1044.37 0.043
7000 3.72 1750 1881.72 0.0736
9000 3.25 2250 2769.23 0.208
2
37.0
1
2
1
/93.4955
073.0
72.1881
*
369.0
351.0ln*679.0ln
351.0679.0
208.0*23.2769
073.0*72.1881
*
*
cmKpK
K
KS
n
n
K
K
KS
KS
n
n
n
n
n
n
mmLu
eLu
eLLu
KpPu
ePu
e
AnKPu
cmkpE
E
E
n
o
n
on
Lp
Lp
16.217
*150
*
32.9478
4*37.0*93.4955
**
/5250
08.0
500
37.0
37.0
37.0
2
-
EXCENTRICIDAD
ba *
P
I
c*M
CTab
eP
ab
2
3
*
**6
12
*
a/2*e*P
CONVENCIN DE SIGNOS
Compresin (+)
Traccin (-)
a
e
ba
P
ab
eP
ba
*61
*
*
**6
*
P
1
21
a
e
ba
P
ab
eP
ba
*61
*
*
**6
*
P
2
22
-
TIPOS DE DIAGRAMAS
axial > excntrico axial = excntrico
axial < excntrico
Excentricidad mxima
6
*
**6
*
P2
21
ae
ab
eP
ba
Ncleo Seccional
-
Ejemplo:
En la columna que se muestra a continuacin calcular y graficar los esfuerzos
2
2
2
1
/4020
2*61
15*20
30000
/16020
2*61
15*20
30000
*61
*
cmKp
cmKp
a
e
ba
P
cme
e
ae
mx
mx
mx
33.3
6
20
6
e = 2cm
-
En la columna que se muestra a continuacin calcular y graficar los esfuerzos
2
4321
/100
18*20
36000
*
cmKp
ba
P
C
2
3
32
41
/100
12
18*20
2/18*3*36000
*
cmKp
I
cM
T
C
2
3
21
43
/120
12
20*18
2/20*4*36000
*
cmKp
I
cM
T
C
-
1 2 3 4
P axial 100 100 100 100
e = 3cm 100 -100 -100 100
e = 4cm -120 -120 120 120
Totales 80 -120 120 320
Calcular el esfuerzo axial en las esquinas
-
2
4321
/100
20*15
30000
*
cmKp
ba
P
C
2
3
32
41
/60
12
20*18
2/20*2*30000
*
cmKp
I
cM
T
C
2
3
/120
12
15*20
2/15*30*3000
*
cmKp
I
cM
1 2 3 4
P axial 100 100 100 100
e = 2cm 60 -60 -60 60
Q -120 -120 120 120
Totales 40 -80 160 280
-
ECUACIN PARA COLUMNAS (PANDEO)
(EULER)
Falla > Crtico
2
22 ***
Lefect
IEnPcrtico
n = # de restricciones de la columna
Simplemente apoyado
o doblemente
articulado
Empotrado Doblemente
empotrado
En volado
-
Columna corta ------- Falla por aplastamiento (No cumple Euler)
Columna Intermedia ------ Falla por aplastamiento mas pandeo (Cumple Euler)
Columna Esbelta ------ Falla por pandeo (Cumple Euler)
Ejercicios:
Calcular la carga mxima aplicable suponiendo todas las condiciones de apoyo en los
extremos.
320075,1052
75.1052
200*12
4*8*101*
***
2
332
2
22
KpPcrtico
xPcrtico
Lefect
IEnPcrtico
320056.1871
56.1871
200*4
3*12
4*8*101*
***
2
332
2
22
KpPcrtico
xPcrtico
Lefect
IEnPcrtico
320008.4211
08.4211
200*2
1*12
4*8*101*
***
2
332
2
22
KpPcrtico
xPcrtico
Lefect
IEnPcrtico
Falla por Pandeo Falla por Pandeo Falla por Aplastamiento
-
Calcular a que altura h se debe colocar un apoyo para tener la mxima capacidad de la
columna, cual es esa mxima capacidad y cual es su deformacin en ese instante
cmh
hhL
abajoLefectarribaLefect
57.228
4
3
..
384014.1182
14.1182
43.171*12
4*6*101.1*
***
2
352
2
22
KpPcrtico
xPcrtico
Lefect
IEnPcrtico
384014.1182
14.1182
57.228*4
3*12
4*6*101.1*
***
2
352
2
22
KpPcrtico
xPcrtico
Lefect
IEnPcrtico
cm
x
E
L
A
P
18.0
101.1
400*
6*4
14.1182
*
5
320019.263
19.263
200*2*12
4*8*101*
***
2
352
2
22
KpPcrtico
xPcrtico
Lefect
IEnPcrtico
Falla por pandeo
E = 1.1x105 Kp/cm
2
Falla = 160 Kp/cm2
PFalla = Falla * rea
PFalla = 160 * (4 * 6 )
PFalla = 3840 Kp
-
FLEXIN
2
3
*
*6
12
*
2/*
*
hb
M
hb
hM
I
CM
A
A
Isotrpico No Isotrpico
21
2
1
2
1
1
ZZ
Z
Z
E
E
Z
Z
EE
T
c
TC
21
2
1
2
1
1
ZZ
Z
Z
E
E
Z
Z
EE
T
c
TC
21
2
1
2
1
1
ZZ
Z
Z
E
E
Z
Z
EE
T
c
TC
M = Momento en el punto A
h
b
c
Z2
Z1
C
T
C = EC * C
C = EC * C
C
T
-
TC
T
C
T
C
TT
CC
T
C
TC
C
T
E
E
Z
Z
Z
Z
E
E
Z
Z
ZE
ZE
Z
Z
E
E
Z
Z
bZ
bZ
TC
Z
Z
2
1
2
2
2
1
2
1
1
2
2
1
2
1
12
2
1
*
*
*
*
2
**
2
*
C
T
C
T
C
C
C
C
C
T
C
T
C
TT
CC
T
C
TC
C
T
E
E
hb
M
E
E
hb
M
Zhb
ZM
Zhb
ZM
ZZZhb
M
h
h
Zhb
M
Z
Z
E
E
Z
Z
ZE
ZE
Z
Z
E
E
Z
Z
bZ
bZ
TC
Z
Z
1**
*3
1**
*3
**
**3*
**
**3
***
*3
***
*3
*
*
*
*
2
**
2
*
2
2
2
2
2
2
1
21
2
2
2
2
2
2
1
2
1
1
2
2
1
2
1
12
2
1
Ejercicios:
ET =1x105 Kp/cm
2
EC = 1.2x105 Kp/cm
2
-
cmZ
cmZ
cmZZ
ZZ
x
x
Z
Z
E
E
Z
Z
T
C
14.7
86.7
15
*1.1
101
102.1
2
1
21
21
5
5
2
1
2
1
2
5
5
2
5
2
2
5
5
2
5
2
/19.1020
102.1
1011*
15*5
102*3
1**
*3
/57.1117
101
102.11*
15*5
102*3
1**
*3
cmKp
x
xx
E
E
hb
M
cmKp
x
xx
E
E
hb
M
C
C
C
T
C
C
C
T
C
C
En la viga de la figura los medidores 1 y 2 registraron los datos que se muestran.
Calcular:
a) La posicin del plano neutro
b) Los esfuerzos en los puntos 1 y 2
c) Los mdulos de elasticidad en traccin y compresin
M mx
M mx = 2000 * 100
M mx = 2x105 Kp*cm
7.14cm
7.86cm
PN
80cm 80cm 80cm
1500Kp 1500Kp
20cm
10cm
240cm
1=1x105 Kp/cm
2
(acortamiento)
2= 1.2x105 Kp/cm
2
(alargamiento)
-
cmZ
cmZ
cmZZ
ZZ
Z
Z
x
x
Z
Z
C
T
11.11
89.8
20
*8.0
105.1
102.1
2
1
21
12
2
1
4
4
2
1
2
2
1
2
5
2
/02.162
11.11
89.81*90
1*15*5
102*3
1**
*3
cmKp
Z
Zx
E
E
hb
M
C
C
C
T
C
C
2
1
2
2
5
2
/47.202
89.8
11.111*90
1*15*5
102*3
1**
*3
cmKp
Z
Zx
E
E
hb
M
T
T
T
C
T
T
26
4
26
4
/1068.1
102.1
47.202
/1008.1
105.1
02.162
cmKpx
xE
E
cmKpx
xE
E
T
T
T
T
T
C
C
C
C
C
En la viga de la figura se registraron los datos que se muestran. Calcular:
a) La posicin del plano neutro
b) Los esfuerzos en los puntos
500Kp
25cm
5cm
150cm
50cm
4cm
1(T)
2(C)
3 ET =1.25EC
PN
1.2x10-4
1x10-4
-
cmZ
cmZ
cmZZ
ZZ
Z
Z
E
E
Z
Z
E
E
Z
Z
C
C
T
C
77.11
23.13
25
*89.0
89.0
*25.1
2
1
21
12
1
2
1
2
1
2
2
2
22
22
2
1
21
21
/1.136
*25.11*
25*5
500*150*3
1**
*3
/153
*25.11*
25*5
500*150*3
1**
*3
cmKp
E
E
E
E
hb
M
cmKp
E
E
E
E
hb
M
C
C
C
C
T
C
C
T
C
C
T
C
T
T
2
'3
2'3
2'3
/4.45
*25.11*
25*5
500*50*3
1**
*3
cmKp
E
E
E
E
hb
M
C
C
C
C
T
C
C
2
3
3
/76.13
23.13
423.13
4.45
cmKp
En la viga de la figura los medidores 1, 2 y 3 registraron los datos que se muestran.
Calcular:
a) La posicin del plano neutro
b) Los esfuerzos en los puntos 1, 2 y 3
c) Los mdulos de elasticidad en traccin y compresin
3
3
4 13.23
45.4
3
33
-
Medidor 2 se acorta = 1x10-5
Medidor 3 se alarga = 12x10-5
cmZ
cmZ
ZZ
x
Z
x
Z
4.11
6.13
15012
101
5.12
1012
2
1
11
5
1
5
1
41
5
1
5
1
1
2
101
6.13
1012*4.11
1012
x
x
xZ
Z
2
1
21
2
1
21
21
/153
4.11
6.131*
25*5
500*150*3
1*25*5
500*150*3
1**
*3
cmKp
Z
Z
E
E
hb
M
T
T
T
C
TT
2
3
23
1
2
23
23
/1.136
6.13
4.111*
25*5
500*150*3
1*25*5
500*150*3
1**
*3
cmKp
Z
Z
E
E
hb
M
C
C
C
T
C
C
26
5
/1013.1
1012
1.136
cmKpxE
xE
E
C
C
C
C
C
26
4
/105.1
101
153
cmKpxE
xE
E
T
T
T
TT
2
2
56
2
22
/3.11
101*1013.1
*
cmKp
xx
EC
25cm
5cm
500Kp
150cm
12.5cm
1
2
3
Z2
1
3
12.5 Z1
12x10-5
2
-
ccmZ
cmZ
cmZZ
ZZ
E
E
Z
Z
E
E
Z
Z
ZZ
EE
T
T
C
T
TC
55.13
45.11
25
85.0
*4.1
2
1
21
21
2
1
2
1
12
2
2
2
2
2
2
/97.785
*4.11*
25*10
5000*150*3
1**
*3
/26.664
*4.11*
25*10
5000*150*3
1**
*3
cmKp
E
E
E
E
hb
M
cmKp
E
E
E
E
hb
M
bC
T
T
BC
T
C
BC
AT
T
T
AT
C
T
AT
2
'
2'
2'
/262
*4.11*
25*10
5000*50*3
1**
*3
cmKp
E
E
E
E
hb
M
CC
T
T
CC
T
C
CC
2/6.147
45.11
262
545.11
cmKpC
C
P = 5000Kp
25cm
10cm
100cm 50cm
5cm
A(T)
B(C)
C
EC =1.4ET
C
C
5 11.45
262
c
33
-
En la viga dela figura calcular: a) la posicin del plano neutro, b) los valores de
esfuerzos para las cargas indicadas, c) graficar los valores totales
EC = 105 Kp/cm
2
ET = 1.2x105 Kp/cm
2
2
5
5
2
2
/14
101
102.11*
30*10
200*100*3
1**
*3
cmKp
x
x
E
E
hb
M
AT
AT
C
T
AT
2
5
5
2
2
/8.12
102.1
1011*
30*10
200*100*3
1**
*3
cmKp
x
x
E
E
hb
M
bC
BC
T
CBC
2/20
30*10
6000
cmKp
A
Q
C
C
C
BAC
A = 6 Kp/cm2(compresin)
B = 32.8Kp/cm2(compresin)
No hay plano neutro, el plano neutro esta fuera de la seccin y sobre A
En la viga dela figura calcular: a) la posicin del plano neutro, b) los esfuerzos en los
puntos 1 y 3, c) los mdulos de elasticidad en traccin y compresin
P = 100Kp
30cm
10cm
200cm
Q = 6000Kp
15cm
A
B
+ =
14
12.8 20
20 6
32.8
-
Medidor 1 se acorta = 10-4
mm/mm
Medidor 2 = 0
12
2
1
4
4
2
1
4
4
5.1
10
105.1
105.1
128
10
ZZ
Z
Zx
Z
Z
x
C
T
T
T
cmZ
cmZ
ZZ
12
8
5.120
1
2
22
2
1
21
2
1
21
21
/5.937
8
121*
20*10
5000*100*3
1*20*10
5000*100*3
1**
*3
cmKp
Z
Z
E
E
hb
M
C
C
C
T
CC
2
3
23
1
2
23
23
/625
12
81*
20*10
5000*100*3
1*20*10
5000*100*3
1**
*3
cmKp
Z
Z
E
E
hb
M
T
T
T
C
T
T
26
4
/1037.9
10
5.937
cmKpxE
E
E
C
C
C
C
C
26
4
/1017.4
105.1
625
cmKpxE
xE
E
T
T
T
TT
100cm 200cm 100cm
5000Kp 5000Kp
20cm
10cm
1
2
3
12cm
10-4
12cm
T